2018届江苏省苏锡常镇高三3月教学情况调研(一)数学(文)试题Word版含答案

江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研单项选择题：1.下列各式属于定义式的是A. 加速度a ＝F mB. 电动势E n t ∆Φ=∆C. 电容4S C kd επ=D. 磁感应强度F B IL= 【答案】D【解析】 F a m=是牛顿第二定律的表达式，不是加速度的定义式，故A 错误．电动势E n t ∆Φ=∆是法拉第电磁感应定律的表达式，不是定义式，选项B 错误；电容4S C kdεπ= 是电容的量度公式，是定义式，选项C 错误；磁感应强度F B IL =是磁感应强度的定义式，采用比值法定义，故D 正确．故选D.2.如图所示为从静止开始做直线运动的物体的加速度—时间图象，关于物体的运动下列说法正确的是( )A. 物体在t ＝6 s 时，速度为0B. 物体在t ＝6 s 时，速度为18 m/sC. 物体运动前6 s 的平均速度为9 m/sD. 物体运动前6 s 的位移为18 m【答案】B【解析】物体在t =6s 时，速度为1v 66/18/2at m s m s ==⨯⨯=，选项B 正确，A 错误；因物体做变加速运动，无法求解前6s 的位移和平均速度，故选B.3.高空滑索是勇敢者的运动．如图所示一个人用轻绳通过轻质滑环悬吊在足够长的倾斜钢索上运动（设钢索是直的），下滑过程中到达图中A 位置时轻绳与竖直线有夹角，到达图中B 位置时轻绳竖直向下．不计空气阻力，下列说法正确的是A. 在A位置时，人的加速度可能为零B. 在A位置时，钢索对轻绳的作用力可能小于人的重力C. 在B位置时，钢索对轻环的摩擦力为零D. 若轻环在B位置突然被卡住，则此时轻绳对人的拉力等于人的重力【答案】B【解析】在A位置时，人受到重力和线的拉力，合力沿斜面向下，不为零，则加速度不可能为零；拉力T=mgtanθ，当θ<450时，T<mg，故A错误，B正确；在B位置时，细绳的拉力竖直，则人匀速下滑，此时钢索对轻环的摩擦力等于重力的分力mgsinθ，选项C错误；若轻环在B位置突然被卡住，则此时人将做圆周运动，根据T-mg=m2vL可知，轻绳对人的拉力大于人的重力，选项D错误；故选B.4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能E p与位移x的关系如图所示，下列图象中合理的是【答案】D【解析】粒子仅受电场力作用，做初速度为零的加速直线运动，电场力做功等于电势能的减小量，故：F P E x=，即pE x ﹣图象上某点的切线的斜率表示电场力； A 、pE x ﹣ 图象上某点的切线的斜率表示电场力，故电场力逐渐减小，根据EF q=，故电场强度也逐渐减小，A 错误； B 、根据动能定理，有：k F?x E =，故kE x ﹣图线上某点切线的斜率表示电场力；由于电场力逐渐减小，与B 图矛盾，B 错误；C 、按照C 图，速度随着位移均匀增加，根据公式2202v v ax -=，匀变速直线运动的2x v ﹣图象是直线，题图v x ﹣图象是直线；相同位移速度增加量相等，又是加速运动，故增加相等的速度需要的时间逐渐减小，故加速度逐渐增加；而电场力减小导致加速度减小；故矛盾，C 错误；D 、粒子做加速度减小的加速运动，D 正确；故选D 。

【题文】如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点.求证：（1）B 1M ∥平面A 1BN ；（2）AD ⊥平面A 1BN .【答案】证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，3CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=， 则1AD A N ⊥，又1BNA N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .【解析】 【标题】江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（一）（3月）数学试题【结束】。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A BC -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,)2，点A 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n . 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值. C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 258 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=（2）因为//a b ，sin()14a πα+=，α(s i nc o s c o s s i n )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263jkiλμ+=⋅⋅， 所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈， 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n n n nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=； 综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQn CQ n CQ⋅<>===， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =.23. 解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。

2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学I试题一、填空题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.请把答案填写在做题. 卡相应位置上.1.集合A ={-1,1}, B={Z0,1},那么集合AP|B=.2.复数z满足z j =3 -4i 〔i为虚数单位〕,那么z =.2 2X V3 .双曲线一=1的渐近线方程为4 34.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人, 其中高二年级被抽取的人数为21 ,那么n =.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子〔每个面上分别写有数字1, 2, 3, 4〕先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,那么两次数字之和等于6的概率为.6.如图是一个算法的流程图,那么输出S的值是.2 37.假设正四棱锥的底面边长为2cm,侧面积为8cm ,那么它的体积为cm .8.设S n是等差数列｛4｝的前n项和,假设az+a4=2, 5+S4 =1 ,那么劣.=.2 39.a >0 , b>0,且一+—= JOb ,那么ab的最小值是 .a btan A 3c-b10.设三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,■tanA = V c—b ,那么tanB bcos A = ________a -e x ,x ：： 111 .函数f(x)=«4 (e 是自然对数的底).假设函数y = f (x)的最小值是4, x , x ,1x那么实数a 的取值范围为 ___________ .12 .在AABC 中,点P 是边AB 的中点, CP|=J3, CA1 = 4, ZACB=2-,那么 CP CA =.2213 .直线l ： x —y+2=0与x 轴交于点 A,点P 在直线l 上,圆C ： (x-2) +y =2 上有且仅有一个点 B 满足AB_LBP,那么点P 的横坐标的取值集合为 .14 .假设二次函数f (x) =ax 2 +bx+c (a >0)在区间［1,2］上有两个不同的零点, 那么49的取 a 值范围为.二、解做题：本大题共6小题,共计90分.请在做题卡指定区域 内作答,解答 应写出文字说明、证实过程或演算步骤.(1)假设角口的终边过点(3,4),求a b 的值;⑵假设a//b,求锐角u 的大小.16.如图,正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1的高为而,其底面边长为2.点M , N 分别是棱AG , AC 的中点,点D 是^^CC I 上靠近C 的三等分点(2) AD _L 平面 ABN .15.向量b=(1,sin(： -)).42 217.椭圆C： '+%=1 (a Ab A0)经过点(J3,1),.火),点A是椭圆的下顶点. a2 b2- 2 2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A且互相垂直的两直线11, 12与直线y = x分别相交于E, F两点,OE =OF ,求直线l i的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6, O是圆心,且OC_LAB.在OC上2二_有一座欣赏学Q,其中ZAQC = —.方案在BC上再建一座欣赏亭P,记.POB - 乂0「二：二n, ,一一..(1)当日=一时,求/OPQ的大小；3(2)当NOPQ越大,游客在欣赏亭P处的欣赏效果越佳,求游客在欣赏亭P处的欣赏效果最正确时,角8的正弦值.19.函数f (x) =x3+ax2+bx+c , g(x)=lnx.(1)假设a=0, b = -2,且f (x)之g(x)恒成立,求实数c的取值范围；(2)假设b = -3,且函数y = f(x)在区间(一1,1)上是单调递减函数.①求实数a的值；f (x) f (x) _ g(x)②当c =2时,求函数h(x) = < (人()g()的值域. g(x), f (x):二g(x)20.S n是数列｛a n｝的前n项和,a1 =3,且2S n =a n由—3(n= N ).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)对于正整数i , j , k(i < j <k),九aj , 6ai , ^a k成等差数列,求正整数% , 口的值；〔3〕设数列｛b n ｝前n 项和是T n ,且满足：对任意的正整数 n ,都有等式一n 1 一 一 Tn 1a 〔b n +a 2b n°+a 3b nN +…3门〞=34n —3成立.求满足等式一=—的所有正整数n .a n 32021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学n 〔附加题〕21.【选做题】在A, B, C, D 四小题中只能选做两题,每题 10分,共计20 分.请在做题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤. A.选彳4-1 :几何证实选讲如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点 C , 且满足DA = DC .〔2〕假设AB =2,求线段CD 的长. B.选彳4-2 :矩阵与变换…4 0 1 矩阵A=, B = 〕1。

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学文 Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B = ． 2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23ab a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则c o s A = ． 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP = ，4CA = ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α= ，(1,sin())4b πα=+ .（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1(3,)2，3(1,)2，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n . 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. 32y x =±4. 635. 3166. 257.4338. 8 9. 26 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=， 所以2sin sin()4a b a πα⋅=++2sin sin cos 4παα=+cos sin 4πα+ 4242552=+⨯3232522+⨯=. （2）因为//a b ，所以2sin sin()14a πα+=，即2sin α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =， 又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A = ，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，16AA =，2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA AN AC CD ==， 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANAAA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N = ，BN ，1A N ⊂平面1A BN ， 所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x =-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得112k =±，综上可得，直线1l 的斜率为12±.18.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=， 所以3OQ =，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠， 即33sin sin()6παπα=--，所以3sin sin()6παπα=--5sin()6πα=-， 则53sin sincos 6παα=5cos sin 6πα-13cos sin 22αα=+，所以3sin cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3tan 3α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即33sin sin(())2παπαθ=---，所以3sin sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+， 从而(3sin )sin θα-cos cos αθ=，其中3sin 0θ-≠，cos 0α≠， 所以cos tan 3sin θαθ=-，记cos ()3sin f θθθ=-，213sin '()(3sin )f θθθ-=-，(0,)2πθ∈； 令'()0f θ=，3sin 3θ=，存在唯一0(0,)2πθ∈使得03sin 3θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大， 又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3sin 3θ=.答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为33. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.x(0,1)1(1,)+∞'()f x -+()f x极小值0∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k i λμ+=⋅⋅， 所以3312j i k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥， 所以333j iλλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<，所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3.。

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ一、填空题，本大题共14 题，每小题5 分，共70 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合A ={0，1，2}，B ={x | -1 <x < 1}，则A∩B =▲ ．2、i为虚数单位，复数(1- 2i)2 的虚部为▲ ．3、抛物线y 2 = 4x 的焦点坐标为▲ ．4、箱子中有形状、大小相同的3只红球、1只白球，一次摸出2 只球，则摸到的2 只球颜色相同的概率为▲ ．5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2 组的频数为▲ ．6、如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲ ．7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=， 则实数a = ▲ ．8、中国古代著作《 张丘建算经》 有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半， 七天一共行走了 700 里， 那么这匹马在最后一天行走的里程数为 ▲ ．9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2， 则这个圆柱的侧面积的最大值为 ▲ ．10、设定义在区间 (0，2π)上的函数 y =x 的图像与 y = 3cos 2x + 2 的图像交于点P ， 则点 P 到 x 轴的距离为 ▲ ．11、在△ABC 中 ， 角 A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a = 8b ，A = 2B ， 则sin （A -4π）＝ ▲ ． 12、若直线 l : ax + y - 4a = 0 上存在相距为 2 的两个动点 A ，B ，圆 O : x 2 + y 2 =1上存在 点 C ， 使得△ABC 为等腰直角三角形（C 为直角顶点）， 则实数 a 的取值范围为 ▲ ． 13、在△ABC 中， 已知 AB = 2， AC = 1，∠BAC = 90º， D ，E 分别为 BC ，AD 的中点， 过点 E 的直线交 AB 于点 P ，交 AC 于点 Q ， 则BQ CP ⋅u u u r u u r的最大值为 ▲ ． 14、已知函数 f (x ) = x 2 +｜x - a ｜， g (x ) = (2a -1)x + a ln x ， 若函数 y = f (x ) 与函数 y = g (x ) 的图像恰好有两个不同的交点， 则实数 a 的取值范围为 ▲ ．二、 解答题： 共 6 小题， 共 90 分、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（ 本小题满分 14 分）如图，三棱锥 D - ABC 中，已知 AC ⊥ BC ， AC ⊥ DC ， BC = DC ， E ，F 分别为BD ， CD 的中点， 求证： （1） EF // 平面 ABC ; （2） BD ⊥平面 ACE.16．（ 本小题满分 14 分）已知向量 a = (2cos α，2sin α )，b = (cos α - sin α，cos α + sin α ). （1） 求向量a 与b 的夹角； （2） 若(λb - a ) ⊥ a ，求实数 λ的值.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化. 已知空地的一边是直路 AB ，余下的外围是抛 物线的一段弧， 直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴（ 如图） . 拟在这个空地上划出 一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪， 其中 A ， B ，C ， D 均在该抛物线上. 经测量， 直路 AB 长为 40 米， 抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 米. 设点C 到抛物线的对称轴的距离为m 米， 到直路AB 的距离为 n 米. （1） 求出 n 关于 m 的函数关系式；（2） 当m 为多大时， 等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？ 并求出其最大值.18．（ 本小题满分 16 分）已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b +=>> （1） 求椭圆 E 的标准方程；（2） 已知 P (t ，0) 为椭圆 E 外一动点， 过点 P 分别作直线 l 1和 l 2 ， l 1和 l 2 分别交椭圆 E 于点 A ， B 和点C ，D ， 且 l 1和 l 2 的斜率分别为定值k 1 和k 2，求证：PA PBPC PD为定值.已知函数 f (x ) = (x +1)ln x + ax (a ∈ R ).（1） 若 y = f (x ) 在(1，f (1)) 处的切线方程为 x + y + b = 0 ， 求实数 a ，b 的值；（2） 设函数 g (x ) ＝()f x x， x ∈ [1，e ]（ 中 e 为自然对数的底数） . ①当 a =- 1时， 求 g (x ) 的最大值；②若h (x ) =()g x x是单调递减函数， 求实数 a 的取值范围.20．（ 本小题满分 16 分）定义： 若有穷数列 a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n 同时满足下列三个条件， 则称该数列为 P 数列.①首项 a 1 = 1； ② a 1 < a 2 < ⋅⋅⋅ < a n ； ③对于该数列中的任意两项 a i 和 a j (1 ≤ i ≤ j ≤ n ) ， 其积 a i a j 或商j ia a 仍是该数列中的项.（1） 问等差数列1，3，5 是否为 P 数列？（2） 若数列 a ，b ，c ，6 是 P 数列， 求 b 的取值范围；（3） 若 n > 4 ，且数列 b 1，b 2，…，b n 是 P 数列， 求证： 数列 b 1，b 2，⋅⋅⋅，b n 是等比数列.2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知x ，y ∈R ，12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵A ＝ 10 x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值﹣1的一个特征向量，求矩阵A 的另一个特征值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l ：sin()03πρθ-=，在直角坐标系（原点与极点重合，x 轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C 的参数方程为1414y t tx t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．设l 与C 交于A ，B 两点，求AB 的长．C ．选修4—5：不等式选讲若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X 表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）蚊：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X ＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X ＝3)”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X 的数学期望E(X)． 23．（本小题满分10分）已知34268243451681022()n nn n C C C C f n C C C C ++=++++，562468243451681022()n nn n C C C C g n C C C C +++=++++，其中n N *∈，2n ≥．（1）求(2)f ，(3)f ，(2)g ，(3)g 的值；（2）记()()()h n f n g n =-，求证：对任意的m N *∈，m ≥2，总有1(2)2mm h ->．2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅰ参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{}0 2．4- 3．(1,0) 4．125．408. 700127 9．2π 10．313．94- 14．1a >二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（1）三棱锥D ABC -中，∵E 为DC 的中点，F 为DB 的中点，∴EF BC ∥， …………………………3分 ∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ． ……………………………………………………………6分 （2）∵AC BC ⊥，AC DC ⊥，BC DC C =，∴AC ⊥平面BCD ， …………………………………………………………………8分 ∵BD ⊂平面BCD ，∴AC BD ⊥， ………………………………………………10分 ∵,DC BC E =为BD 的中点，∴CE BD ⊥， ……………………………………12分 ∵AC CE C =，∴BD ⊥平面ACE ． …………………………………………14分 16．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，==b ………………………4分 所以cos θ⋅=⋅a ba b =22==…………………………………………………………7分 考虑到0πθ剟，得向量a 与b 的夹角4π． ………………………………………9分（2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ， ………………………12分 因为2⋅=b a ，24=a ，所以240λ-=，解得2λ=． ……………………………………………………14分 17.（1）以路AB 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系， …………………………………………………1分 则(20,0)A -，(20,0)B ，(0,40)P ， …………………………………………………2分∵曲线段APB 为抛物线的一段弧，∴可以设抛物线的解析式为(20)(20)y a x x =-+， 将点(0,40)P 代入得：40400a =-，解得110a =-， ………………………………4分∴抛物线的解析式为21(400)10y x =-， …………………………………………5分 ∵点C 在抛物线上，∴21(400)10n m =-，00m <<2． ………………………6分（2）设等腰梯形ABCD 的面积为S ，则211(240)(400)210S m m =⨯+⨯-， ………………………………………………8分321(204008000)10S m m m =--++， ………………………………………………9分 ∵211(340400)(320)(20)1010S m m m m '=--+=--+， ………………………10分令0S '=，得20m =， …………………………………………………………11分分 ∴当203m =时，等腰梯形ABCD 的面积最大，最大值为2560027平方米． …………14分18． (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，c a=2a c c -=，222c a b =-， ………………………………………3分 解得2a =，1b =，c = …………………………………………………………5分∴椭圆E 的标准方程是2214x y +=． ………………………………………………6分 (2)由题意，设直线1l 的方程为1()y k x t =-，代入椭圆E 的方程中，并化简得，22222111(14)8440k x k t xk t +-+-=， …………………………………………………8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．则211221814k t x x k +=+，22112214414k t x x k -=+，因为P A 1t -，PB 2t -，……………………………………10分 所以PA PB ⋅=2112(1)k x t x t +--2211212(1)()k t x x t x x =+-++2222221112211844(1)1414k t k t k t k k -=+-+++221211|4|14k t k +-=+（）， ……………………………12分同理，PC ⋅ PD =222221|4|14k t k +-+（）， …………………………………………………14分所以PA PB PC PD ⋅⋅=22122221(114114k k k k ++++)()()()为定值． ………………………………………16分 19．（1）1()ln x f x x a x+'=++，(1)21f a '=+=-，3a =-， ………………………1分 (1)3f a ==-，(1,3)-代入0x y b ++=解得2b =． ……………………………2分 （2）①∵1()(1)ln 1g x x x =+-，则222ln 1ln 1()x x x x g x x x x +-+'=-+=． …………3分令()ln 1x x x ϕ=-+，则1()10x xϕ'=-≥，()x ϕ在[]1,e 单调递增， …………………………………5分()(1)0x ϕϕ>≥， ………………………………………………………………6分∴()0g x '>，()g x 在[]1,e 单调递增，∴()g x 的最大值为1(e)eg =． …………8分 ②同理，单调递增函数()()f x g x x =1,1e a a ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦， ……………………………9分则11()(1)ln ex h x x a x =++⋅．1若0a ≥，()0g x ≥，1(1)ln ()e xx ax h x ++=，111ln (1)ln ()exx x x ax x x h x +-+-+-'=222(1)ln 10e x x x x ax x x -++-++=…， 令22()(1)ln 1u x x x x ax x =-++-++， 则1()(12)ln (21)0u x x x a x x'=-+--+<． 即()u x 在[]1,e 单调递减，∴max ()(1)20u x u a ==-+…，∴2a ≥．……………11分2若a …1知，h 即221(1)ln ax x x x x +-++≤对[1,e]x ∈恒成立，3若e +-[)2,⎤+∞⎥⎦．20．（1）∵3515⨯=，53均不在此等差数列中， ∴等差数列1,3,5不是P 数列； …………………………………………………2分 （2）∵数列a ，b ，c ，6是P 数列，所以1＝a ＜b ＜c ＜6， ………………………3分由于6b 或6b是数列中的项，而6b 大于数列中的最大项6， ∴6b 是数列中的项，同理6c也是数列中的项， ……………………………………5分考虑到1＜6c ＜6b ＜6，于是6c ＝b ，6b＝c ，∴bc ＝6，又1＜b ＜c ，所以1＜b …………………………………………7分综上，b 的取值范围是(1． ………………………………………………8分（3）∵数列{b n }是P 数列，所以1＝b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n ，由于b 2b n 或2n b b 是数列中的项，而b 2b n 大于数列中的最大项b n ， ∴2n b b 是数列{b n }中的项， …………………………………………………………10分 同理3n b b ，4n b b ，…，1n n b b -也都是数列{b n }中的项， 考虑到1＜1n n b b -＜…＜2n b b ＜b n ，且1，1n n b b -，…，2n b b ，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项， ∴21n n b b b -=，…，12n n b b b -=， 从而b n ＝b i b n ＋1－i (i ＝1，2，…，n －1)，① ………………………………12分又∵b n －1b 3＞b n －1b 2＝b n ，所以b n －1b 3不是数列{b n }中的项， ∴13n b b -是数列{b n }中的项，同理14n b b -，…12n n b b --也都是数列{b n }中的项， 考虑到1＜12n n b b --＜…＜14n b b -＜13n b b -＜3n b b ＝b n －2＜b n －1＜b n ， 且1，12n n b b --，…，14n b b -，13n b b -，3n b b ，b n －1，b n 这n 个数全是共有n 项的增数列1， b 2，…，b n 中的项，于是，同理有，b n －1＝b i b n －i (i ＝1，2，…，n －2)，② …………………………14分在①中将i 换成i ＋1后与②相除，得1n n b b -＝1i ib b +，i ＝1，2，…，n －2， ∴b 1，b 2，…，b n 是等比数列． …………………………………………………16分2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，三小题，每小题10分．A ．（选修4—2：矩阵与变换）解：∵12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵10x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值1-的一个特征向量， ∴111022x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴21,22,x y +=-⎧⎨=-⎩解得3,1x y =-=-， ……………………4分 ∴3101A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， …………………………………………………………………6分 特征多项式为31()001f λλλ+-==+，即(3)(1)0λλ++=， ……………………8分 ∴另一个特征值为3λ=-． …………………………………………………………10分B ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴建立坐标系， 直线sin()03πρθ-=的直角坐标方程为y =， ……………………………………2分 曲线1,41,4y t t x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的普通方程为221y x -=， ……………………………………………4分则直线与曲线的交点为A和(B ， ………………………………7分∴AB ==． ………………………………………………………………10分C ．（选修4—5：不等式选讲） 解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分．22．解： 由于批量较大，可以认为随机变量(10,0.05)X B , ………………………2分（1）恰好有2件不合格的概率22810(2)0.050.95P X C ==⨯⨯，恰好有3件不合格的概率33710(3)0.050.95P X C ==⨯⨯， ……………………………4分 ∵22810337100.050.95(2)571(3)0.050.958C P X P X C ⨯⨯===>=⨯⨯， ∴(2)(3)P X P X =>=，即恰好有2件不合格的概率大； …………………………6分（2）∵1010()(1)k k k k P X k p C p p -===-，0,1,2,,10k =.随机变量X 的概率分布为：故0()0.5k k E X kp ===∑． ………………………………………………………………9分答：随机变量X 的数学期望()E X 为0.5． …………………………………………10分23．解：（1）24363(2)10C f C ==，3264346841(3)70C C f C C =+=， 44361(2)20C g C ==，5464346819(3)140C C g C C =+=；……………………………………………3分 （2）∵222122(2)!(2)!(!)(!)((2)!)((2)!)(22)!((1)!)((1)!)k k k k k k k k C C k k k k k C k k +++--⋅-⋅+=++⋅+ 2(1)(2)(1)(1)(22)(21)(2)k k k k k k k k ++-+-=+++ (1)(42)1(22)(21)(2)2k k k k k k ++==++++， ………………………………………4分 ∴222122221()()()2k k n n k k k k k k C Ch n f n g n C k ++==+-=-==+∑∑．……………………………………5分 下面用数学归纳法证：对任意的*,2N m m ∈≥，总有1(2)2m m h ->． 当2m =时，111371(4)456602h =++=>，命题成立；则当1m t =+时，11111(2)(2)232422t t t t t h h ++=+++⋅⋅⋅++++ 111111122324252622t t t t t t +->++++⋅⋅⋅++++++（）， …………………………7分 ∵3t ≥，1113232422t t t ++-+++1(23)2(23)(24)(22)t t t t t +--22=+++0>， ∴1113232422t t t ++>+++． ……………………………………………………………8分 又1111252622t t t ++⋅⋅⋅++++111111222222t t t +++>++⋅⋅⋅++++ 12222t t +-=+， ………………………………………………………………………9分 ∴1111322(2)222222t t t t t t h +++-->++=++， ∴命题成立． ……………………………………………………………………………10分。