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第11讲 成比例线段与平行线分线段成比例课程标准1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形；2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题；4.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论；5.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。
知识点01 形状相同的图形形状 ，大小、位置 的图形叫做形状相同的图形。
一般而言，形状相同的图形就是相似图形。
全等图形是一种特殊的形状相同的图形。
注意：（1）形状相同的图形不受图形的位置与大小的约束。
（2）大小不一定相同是指图形的周长、面积等可以不同。
（3）成旋转对称或成轴对称的两个图形一定是形状相同的图形。
知识点02 两条线段的比1．两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即n m CD AB ::=，或者写成n m CD AB =。
其中，线段AB ,CD 分别叫做这个线段比的和。
如果把nm表示为比值k ，那么k CDAB=或者CD k AB ⋅=。
2．比例尺在地图或工程图纸上， 与它所表示的 通常称为比例尺。
比例尺是两条线段的比的一种。
知识点03 成比例线段四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
类似地，还可以得到c d a b =，bda c =分别对应b ，a ，d ，c 成比例，c ，a ，d ，b 成比例。
知识精讲目标导航注意： （1）如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项； （2）在比例式a ：b =c ：d 中，b ，c 称为内项，a ，d 称为外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
（3）在通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的长度单位应该一致，但有时为了方便，也可以a 与b 的长度单位一致，c 与d 的长度单位一致。
初二数学【教学进度】几何第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB= ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC= ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''////求证：CC B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。
初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。
掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。
3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。
三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。
2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。
3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。
四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。
2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。
五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。
2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。
教学内容一、 知识要点：1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。
2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段 相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
FED C B A FEDCBA问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？ 牛刀小试：1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。
求BD 、DF 的长。
A BC DE F2、 如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________L 3L 2L 1FEDCBA3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。
求BF 、CE 的长。
第 1 页 共 9 页4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。
FCED B A二、典型例题：1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。
LFCEDBA巩固练习： 1、已知abcx,求作x,则下列作图正确的是（ ） Axc ba Bxc b aCxcba Dx c ba2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ） A 、AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE=BE CF2L 3L 2L 1FED CB A4、如图已知a ∥b ∥c ，AC=2，CG=4，BF=9，DH=10，EM=1，FH=3。
求BE 、AH 、DE 、MH 、AB 的值。
A BC D E M NF G H思维拓展：1、如图，已知：平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，21BF FC =，求CO ：AO 的值。
初二数学【教学进度】几何第二册第五章第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成平行线分线段成比例比例定理定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线直线，所得的对应线段成比例。
，所得的对应线段成比例。
2．三角形一边．三角形一边平行线的性质平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
，所得的对应线段成比例。
3．三角形一边的平行线的．三角形一边的平行线的判定定理判定定理：如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）（或两边的延长线）（或两边的延长线）所得的对应所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。
例的最重要方法之一。
定理的基本图形定理的基本图形∵l 1∥l 2∥l 3 ∴DFEFAC BC DF DEAC AB EF DEBC AB === ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。
应。
②为了强调对应和②为了强调对应和记忆记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下”可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB =， 可以说成“上比全等于上比全”可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC =， 可以说成“下比全等于下比全”等可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形基本图形L L L 图1-（1）CFA B E D FC图1-（2）3E D 12B A F3L C 图1-（3）2L L 1BE A 图1-（4）FL 3CL 2L 1B D A 3L 2L L 1(D)(E)AB CD EFl 123l l 图3图4A D B C E 图5C B E F G A D∵DE ∥BC ∴ ACCE AB DB AC AE AB AD ECAEDB AD === ①图2—（1），图2—（3）称为“A ”型，图2—（2）称为“X ”型”型 ②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线 3．三角形一边平行线的．三角形一边平行线的判定定理判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。
初中数学成比例线段与平行线分线段成比例编稿老师董志臣一校杨雪二校黄楠审核郑建彬一、考点突破1. 理解并掌握比例的基本性质，成比例线段的定义。
2. 理解平行线分线段成比例的定理及其证明。
3. 应用相关知识解决问题。
二、重难点提示重点：成比例线段及平行线分线段成比例定理的理解。
难点：应用比例性质及平行线分线段成比例定理解决问题。
1. 成比例线段：在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
【注意顺序问题】A. 当题目给出a、b、c、d为成比例线段时，表示有先后顺序之分：为（）；B. 当题目问a、b、c、d是否为成比例线段时说明没有先后顺序，只要按照一定的顺序，满足比值相等就行。
2. 常用的比例性质：①基本性质：若则ad=bc，可由ad=bc推出a:b=c:d;a:c=b:d;d:b=c:a和d:c=b:a②合比性质：若则；③反比性质：若则；④等比性质：若=…=＝k, 则 (b+d+…+n≠0)。
3. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例题1（青浦区一模）已知：线段a、b、c，且==。
（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足a+b+c=27，求a、b、c的值。
思路分析：（1）根据比例的性质得出=，即可得出的值；（2）首先设===k，则a=2k，b=3k，c=4k，利用a+b+c=27求出k的值即可得出答案。
答案：解：（1）∵=，∴=，∴=；（2）设===k则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=27，∴2k+3k+4k=27，∴k=3，∴a=6，b=9，c=12。
衔接教材09 平行线分线段成比例定理 知识点讲解在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.经典例题解析 例1如图，123////l l l ，且2,3,4,ABBC DF 求,DE EF . 解1232////,,3AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DE AB AC BC==. 证法（一）：//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE ∴∽ABC ，.AD AE DE AB AC BC∴== 证法（二）：如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴==.AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.解假设能找到，如图，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G . //,EG AC EF FC =，∴EGF CDF ≅，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BD AC DC. 证明过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BD AD CE AE DCAD 平分,,BAC BAD DAC 由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE,,E ACE AE AC 即AB BD AC DC. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.实时训练一、单选题1．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（）A ．AD CE BC DF =B ．AD BC BE AF = C ．AB CD CD EF = D ．AD DF BC CE= 【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF =BCCE，即ADBC=DFCE，所以A选项错误，D选项正确；AD AF =BCBE，所以B选项错误；同理C选项也错误．故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中，正确的个数有（）①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】【分析】根据对称中心图形的性质分别判断得出即可．【详解】①这两个图形能够完全重合，此选项错误；②对称点的连线应相交于一点，故此选项错误；③对称点所连的线段不一定相等，此选项错误；④对称点的连线相交于一点，此选项正确；⑤对称点所连的线段被同一点平分，此选项正确；⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等，此选项正确．故正确的有3个．故选：A．【点睛】此题主要考查了对称图形的性质，根据其定义得出是解题关键．二、填空题3．在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.【答案】20cm或22cm；【分析】∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∠A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明△ABE是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设∠A的平分线交BC于E点，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，又∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE．而BC=3+4=7．①当BE=4时，AB=BE=4，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；②当BE=3时，AB=BE=3，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．所以▱ABCD的周长为22cm或20cm．故答案为22cm或20cm．【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三、解答题4．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）1l ∥2l ∥3l ，求证：AB DE BC EF.【答案】见解析.【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．【详解】证明：如图，过点E 作直线MN ∥AC ，交1l 、3l 于点G 、H ，∵1l ∥2l ∥3l ，MN ∥AC ，∴四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形∴AB=GE,BC=EH,且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠∴△DGE ∽△FHE ， ∴DE GE AB EF HE BC== 即AB DE BC EF = 原题得证．【点睛】 本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．5．为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50B ∠=︒，85C ∠=︒，35D ∠=︒，判断AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若35C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85C ∠=︒，35D ∠=︒，//AB DE ，请直接写出此时B 的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）35°或145°，画图、过程见解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）过点C 作CF ∥AB ，根据∠B =50°，∠C =85°，∠D =35°，即可得CF ∥ED ，进而可以判断AB 平行于ED ；（2）根据题意作AB ∥CD ，即可∠B =∠C =35°；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B 的度数．【详解】解：（1）AB 平行于ED ，理由如下：如图2，过点C 作CF ∥AB ，∴∠BCF =∠B =50°，∵∠BCD =85°，∴∠FCD =85°-50°=35°，∵∠D =35°，∴∠FCD =∠D ，∴CF ∥ED ，∵CF ∥AB ，（2）如图，即为所求作的图形．∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=35°，∴∠B的度数为：35°；∵A′B∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∴∠B的度数为：145°；∴∠B的度数为：35°或145°；（3）如图2，过点C作CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∴∠B=∠BCF=50°．答：∠B的度数为50°．如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=130°；如图6，∵∠C=85°，∠D=35°，∴∠CFD=180°-85°-35°=60°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=60°，如图7，同理得：∠B=35°+85°=120°，综上所述，∠B 的度数为50°或130°或60°或120°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运用．6．如图，已知点()A 4,0，()B 0,3，点C 是直线AB 上异于点B 的任一点，现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ，射线OC 与直线DE 交于点P ，若点C 的横坐标为m ．()1求直线AB 的函数表达式．()2若点C 在第一象限，且点C 为OP 的中点，求m 的值．()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1：2的两条线段)，请直接写出点C 的坐标．【答案】（1）3y x 34=-+；（2）48m 25=；（3）2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，作OG ⊥BC 于G ，OH ⊥OB 于H ．只要证明△OCG ≌△CPD ，利用全等三角形的性质可得OG=CD ，由此构建方程即可解决问题；（3）在第一象限和第二象限分两种情形，分别构建方程求出m 即可解决问题；【详解】解：()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠，把()A 4,0，()B 0,3代入得到{4k b 0b 3+==，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为3y x 34=-+．()2如图，作OG BC ⊥于G ，OH OB ⊥于H ．四边形BCDE 是正方形，BC//ED ∴，OCG CPD ∠∠∴=，CO CP =，OGC CDP 90∠∠==， OCG ∴≌CPD ，OG CD ∴=，AB 5∴=，OA OB 12OG AB 5⋅∴==，CH m =，4cos BCH cos BAO 5∠∠==，5BC m 4∴=，5CD m 4∴=，512m 45∴=，48m 25∴=．()3①当点C 中第一象限，OC 2PC =时， OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m 4=，56m 45∴=，24m 25∴=，∴C （2425，5725）②当点C 中第一象限，PC 2OC =时，． OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 1=：2，24CD 5∴=， 5BC m 4=，524m 45∴=，96m 25∴=，∴C （9625，325）③当点C 中第二象限，PC 2OC =时，． OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 1=：2，24CD 5∴=， 5BC m 4=-，524m 45∴-=，96m 25∴=-，∴C （9625-，14725）.④当点C 中第二象限，OC 2PC =时，OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m 4=-， 56m 45∴-=， 24m 25∴=-， ∴C （2425-，9325） 综上所述，满足条件的点C 坐标为2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点P 是边BC 上由B 向C 运动（不与点B 、C 重合）的一动点，P 点的速度是1cm/s ，设点P 的运动时间为t ，过P 点作AC 的平行线交AB 与点N ，连接AP ，（1）请用含有t 的代数式表示线段AN 和线段PN 的长，（2）当t 为何值时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一？（3）在点P 的运动过程中，是否存在某一时刻的t 的值，使得△APN 的面积有最大值，若存在请求出t 的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） PN=34t ，AN =5﹣54t ；（2）当t 为43s 时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一；（3）t=2时，△PAN 的面积最大，最大值为32． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN 、BN 即可解决问题；（2）由题意：12•PN•PC ＝13×12•PC•AC ，推出AC ＝3PN ，由此构建方程即可解决问题； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，∴AB=（cm ），∵PN ∥AC ，PB=t ， ∴PB BC =BN BA =PN AC， ∴4t =5BN =3PN ， ∴BN=54t ，PN=34t ， ∴AN=AB ﹣BN=5﹣54t ． （2）由题意：12•PN•PC=13×12•PC•AC ， ∴AC=3PN ，∴3=334⨯t ， ∴t=43， ∴当t 为2s 时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一．（3）由题意：S △APN =12•PN•PC=12•34t （4﹣t ）=﹣38（t ﹣2）2+32， ∵﹣38＜0， ∴t=2时，△PAN 的面积最大，最大值为32． 【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．8．西成高铁的开通，使得以前的“蜀道难”变的不再难了，从西安出发的列车，经过4小时左右即可到达成都．周末小华和小亮计划去成都游玩，准备一起去北客站乘车．为了赶时间，他们通过“滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站．如图，是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数图象．请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求线段AB 所在直线的函数关系式；（2）已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时，每分钟加收0.6元，小华和小亮到达北客站时，共付费43.2元，其中低速行驶8分钟，求小华他们的出发地离北客站有多少千米？【答案】（1） 2.2 3.2y x =+；（2）16千米【详解】解：（1）设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+，根据题意，将点()()4,12,9,23A B 代入得412923k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩， ∴线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+；（2）根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=，解得16x =，答：小华他们的出发地到北客站的路程有16千米．。
