实验上机五复化求积法

复化求积公式复化求积公式是计算定积分的一种常用方法。

它的基本思想是将区间分成多个小区间，用每个小区间上的函数近似代替原函数，然后将这些小区间的近似结果相加得到总的近似结果。

这个方法的优点是能够适用于各种函数类型，而且在计算机上也可以很方便地实现。

具体来说，我们可以将区间[a, b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度都为Δx = (b-a)/n。

然后我们在每个小区间上选择一个点xi（可以是小区间的左端点、右端点、中点等）作为代表，然后计算这些小区间上的函数值f(xi)。

这样我们就得到了n个高度为f(xi)的矩形，它们的面积就是Δx * f(xi)。

将这n个矩形的面积相加，就得到了近似的定积分的结果。

单个小区间的近似结果可以表示为Δx * f(xi)。

为了得到更精确的结果，我们可以进一步增加小区间的数量，即取n趋向于无穷大的极限。

这样，我们就可以得到复化求积公式的一般形式：∫[a, b] f(x) dx ≈ Δx/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)]其中，Δx = (b-a)/n，x0 = a，xn = b，xi 是每个小区间上的代表点。

复化求积公式的精确度与小区间的数量n有关，通常情况下，n越大，近似结果越精确。

但是同时也需要注意，小区间的数量过大会导致计算量过大，需要更多的时间和计算资源。

复化求积公式在实际应用中有很重要的作用，特别是在数值计算和科学工程领域。

通过这个方法，我们可以近似地计算各种复杂的函数的定积分，例如概率密度函数、信号处理中的卷积运算等。

同时，复化求积公式也为数值积分提供了一种计算机实现的思路，可以通过编程语言实现自动计算定积分的功能。

总之，复化求积公式是计算定积分的一种重要方法，通过将区间分成多个小区间，用每个小区间上的函数近似代替原函数，并将这些小区间结果相加，从而获得近似结果。

它在实际应用中具有广泛的适用性和指导意义，为求解各种复杂问题提供了一种有效的数值计算方法。

复化求积公式的算法及其应用复化求积公式是数值计算方法中重要的一种技术，用于近似计算函数的积分值。

该方法通过将积分区间等分为多个小区间，并在每个小区间上使用求积公式来估计函数在该区间上的积分值。

本文将介绍复化求积公式的算法及其应用。

一、复化求积公式算法1.复化梯形求积公式复化梯形求积公式是复化求积公式中最简单的一种，其基本思想是将积分区间等分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值。

算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

2) 在每个小区间上使用梯形求积公式计算积分值，即Ii=h/2*(f(xi)+f(xi+1))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-12. 复化Simpson求积公式复化Simpson求积公式是一种更为精确的复化求积公式，它通过在每个小区间上使用Simpson求积公式来计算积分值，从而提高了计算精度。

算法步骤：1)将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

2) 在每个小区间上使用Simpson求积公式计算积分值，即Ii=h/6*(f(xi)+4f(xi+h/2)+f(xi+h))，其中xi=a+i*h，i=0,1,2,...,n-13)将所有小区间的积分值相加得到最终的积分值，即I≈I0+I1+I2+...+In-1二、复化求积公式应用1.数学分析中的数值积分计算，用于计算函数的定积分值。

2.物理学中的积分计算，用于计算物理量的平均值或总量。

3.统计学中的积分计算，用于计算概率密度函数的面积值。

4.工程学中的积分计算，用于计算工程问题中的各种积分量。

5.金融学中的积分计算，用于计算金融衍生品的价格或价值。

总结：复化求积公式是一种重要的数值计算方法，在数学、物理、统计、工程、金融等领域中有广泛的应用。

应用软件课程设计——复化求积公式求数值积分数学0801班 ***一、实验目的程序1：利用复化梯形公式以及复化辛普森公式求解定积分的数值解。

程序2：分析剖分区间个数对复化梯形公式精度的影响。

程序3：比较MATLAB 的quad 、quadl 命令与上述两种方法的精度；比较在相同剖分区间下两种求数值积分方法的精度。

分析与探讨两种方法精度不同的原因。

说明：原题目给出的积分精确值I=4.006994稍过粗糙，所以通过计算机求解得到更为精确的解析解。

详见测试结果。

二、算法说明自定义函数有：积分函数〔在此题中为dx e I x ⎰+=201〕：hanshu.m 〔附录1〕复化梯形公式求定积分数值解tixing.m 〔附录2〕 复化辛普森公式求定积分数值解xps.m 〔附录3〕 积分原函数解析解jxj.m 〔附录4〕程序1：p1.m 〔附录5〕1、n=2000;%确定积分区间分割份数2、tx=tixing(0,2,n);%用复化梯形公式求解3、xps=xps(0,2,n);%用复化辛普森公式求解4、显示结果disp(['积分区间分割分数为：',num2str(n)]) disp('复化梯形公式的求解结果：'),disp(tx) disp('复化辛普森公式的求解结果：'),disp(xps)程序2-1：p21.m 〔附录6〕1、jxj=jxj(2)-jxj(0);%求出解析解。

2、tx=zeros(5,1);%给数值解向量赋值。

d=zeros(5,1);%给误差向量赋值。

3、i=1,2,3,4,54、n=10^i;%定义剖分份数。

5、tx(i)=tixing(0,2,n);%将剖分份数n 代入，求出该n 下的数值解。

d(i)=tx(i)-jxj;%求出误差。

6、结束循环 7、输出结果程序2-2：p22.m 〔附录7〕1、jxj=jxj(2)-jxj(0);%求出解析解。

Lab5．复化求积实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解复化求积方法，能用Matlab 语言编写按复化梯形公式和复化Simpson 公式进行数值积分的程序；2．掌握用复化梯形公式和复化Simpson 公式进行数值积分的方法。

3．对dx x ⎰+=10142π，用所编写的程序计算T 8和S 4，通过结果的比较和理论分析，以了解复化梯形公式和复化Simpson 公式精度。

【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述复化梯形公式和复化Simpson 公式。

2．用Matlab 语言编写按复化梯形公式和复化Simpson 公式求积分的程序。

3．对于dx x ⎰+=10142π，用所编写的程序计算T 8和S 4。

并比较计算结果的精度。

【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab5．复化求积实验一、复化梯形公式和复化Simpson 公式将区间[a,b]划分为N 等分，分点Xk=a+(k-1)h,h=(b-a)/n,k=1,2,…,n,n+1,在每个子区间[Xk,Xk+1](k=1,…n)上采用梯形公式，则得I=)()]()([2)()(1111f R x f x f h dx x f dx x f n k n k k n k xk xk b a ∑∑⎰⎰=+=+++==把∑∑==++++=n k k n k k k n b f x f a f h x f x f h T 211)]()(2)([2]()([2＝）称为复化梯形公式，其余项为)(12)(2ηn n f h a b f R --= ),(b a ∈η将区间划分为N 等分，且N=2M ，在每个子区间上采用辛普森公式，若记,22h x x k k +=+则得I=⎰∑∑==+--+++==b a m k m k f n k k k k k R x f x f x f h dx x f x dx x f 11)(12212212)]()(4)([62)()( 记∑∑∑==+=+-+++=++=m k m k k k m k k k k n b f x f x f a f h x f x f x f h S 12122112212)]()(2)(4)([3)]()(4)([3称为复化辛普森求积公式，其余项为：)()2(180)(44ηf h a b f R n --= ),(b a ∈η二、复化梯形和复化Simpson 的程序x=a;T=0;for i=1:(n-1)x=x+h;T=T+f(x);ends=(f(a)+2*T+f(b))*h/2;%复化Simpson程序function s=fhxps(a,b,n)%[a,b] %为积分区间，n为等分数h=(b-a)/n;x=a;x2=a+h/2;T=0;S=f(x2);for i=1:(n-1)x2=x2+h;x=x+h;S=S+f(x2);T=T+f(x);ends=(f(a)+4*S+2*T+f(b))*h/6;三、数值计算实验function f=fun(x)f=x./(4+x.^2);%利用梯形求积公式：a=0;b=1;n=8;T=ftxing(a,b,n)运行计算得：T=0.1114代数精度为1次%利用辛普森求积公式：a=0;b=1;n=4;S=fxpin(a,b,n)运行计算得：S=0.1116代数精度为3次四、实验总结答：通过实验发现，利用辛普森公式进行数值计算所得结果的代数精度为三次。

中国矿业大学（北京）理学院数值分析实验报告实验名称 不动点迭代法求方程的近似根 实验时间 5月8日组长签名龙纯鹏 班级信息与计算科学（1）班学号11107200110 成绩组员签名1110720010111107200102 11107200103 1110720011911107200120一、实验目的,内容 二、相关背景知识介绍 三、代码四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会 一、实验目的、内容实验目的：取不同的步长h ，分别用复合梯形及复合辛普森求积公式计算积分，通过这个实验清楚地认识到在同样的等分份数下，复合辛普森公式的近似程度明显优于复合梯形公式。

内容：分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算下列积分 (1) ⎰+3021dx x x ，等分数n 自己取定；并与准确值比较精度并估计误差；(2)⎰-12dx ex ，等分数n 自己取定。

二、相关背景知识介绍 （1）算法原理或计算公式 :设将区间[a,b]划分为n 等份，步长b ah n-=,选取等距节点k x a kh =+构造出的插值型求积公式()0()()nn n k k k I b a C f x ==-∑，称为牛顿—柯特斯公式。

由于牛顿—柯特斯公式在n ≥8时具有不稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。

为了提高精度通常可把积分区间分成若干个子区间，再在子区间上用低阶求积公式。

当n=1时，就是我们熟悉的梯形公式 []()()()2ba b af x dx f a f b -≈+⎰，在每个子区间[]1,k k x x +(k=0,1,```,n-1)采用梯形公式，则得[]11110()()()()()2k kn n bx k k n ax k k h I f x dx f x dx f x f x R f +--+=====++∑∑⎰⎰即复合梯形公式为[]11101()()()()()22n n n k k k k k h h T f x f x f a f x f b --+==⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦∑∑当n=2时，就是辛普森公式如下：()4()()62b a a b S f a f f b -+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦在每个子区间上采用辛普森公式就得：[]1111/210()()()4()()()6k kn n bx k k k n ax k k h I f x dx f x dx f x f x f x R f +--++=====+++∑∑⎰⎰即复合辛普森公式为1111/211/2001()4()())()4()2()()66n n n n k k k k k k k k h h S f x f x f x f a f x f x f b ---+++===⎡⎤=++=+++⎢⎥⎣⎦∑∑∑.三、代码（Matlab ） syms x f = x*sqar(1+x^2) int(f, 0, pi*2) -2*pi clear a=0; b=1; n=100; h=(b-a)/n; t=0;for k=1:1:n-1; x(k)=a+k*h; t=t+g(x(k)); endt=h/2*(g(a)+g(b)+2*t); t =0.7468cleara=0;b=2*pi;n=100;h=(b-a)/n;t=0;for k=1:1:n-1;x(k*2)=a+k*h;x(k*2+1)=x(k*2)+h/2;t=t+4*p(x(k*2+1))+2*p(x(k*2)); endt=h/6*(p(a)+p(b)+t);tt =-6.2832cleara=0;b=2*pi;n=100;h=(b-a)/n;t=0;for k=1:1:n-1;x(k*2)=a+k*h;x(k*2+1)=x(k*2)+h/2;t=t+4*l(x(k*2+1))+2*l(x(k*2)); endt=h/6*(l(a)+l(b)+t);tt =0.8444四、步骤及数值结果=+⎰3021)1(x x -6.2832)2(=⎰-12x e 0.8444五、计算结果的分析利用梯形公式的余项公式，可得复合梯形公式的截断误差为：),(),(12)()(2b a f h a b T R n ∈''--=ξξ,梯形公式的精确度比较低，收敛也比较慢，因此，梯形公x1=a+k*hf1=f1+f(x1)k<n?YNt1=h/2*(f(a)+2*f1+f(b)) J=1x2=a+j*(1.0/2)*hJ%2==f2=f2+f(x2)f3=f3+f(x2)t2=h/6*(f(a)+4*f3+2*f2+f(b)) r2=fabs(-4.0/9-t2) YNj<2n?YN输出t1,r1 输出 t2,r2式并不直接用来计算积分，而是为其它的积分法(如龙贝格积分法)提供初始数据，在那里，由梯形公式得出的这些不够准确的近似值，将被一些简单的运算加工后变得非常准确。