三角变换及解三角形-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点(word版含答案)

1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( ) A .15 B ．－15C ．5D ．－5解析：由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A . 答案：A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C .12D ．3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C . 答案：C4．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：∵a sin B ＝102，∴sin B<b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个． 答案：B5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋sin θ＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋7π6的值是( ) A .45 B .435 C ．－45D ．－435解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋sin θ＝435， 所以32cos θ＋32sin θ＝435， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝435，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－45.故选C . 答案：C6．若sin 2α＝55，sin (β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4 D .5π4或9π47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A .74B .34C .73 D .13解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， ∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 答案：A8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos (A －C)＋cos B ＝1，a ＝2c.则C ＝( )A .π6或5π6B .π6C .π3或2π3 D .π3解析：cos (A －C)＋cos B ＝1，故cos (A －C)－cos (A ＋C)＝1,2sin A sin C ＝1. 又由已知a ＝2c ，根据正弦定理得，sin A ＝2sin C ， ∴sin C ＝12，∴C ＝π6或5π6.∵a>c ，∴A>C ，∴C ＝π6.答案：B9．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为( )A .332B .32 C .34 D .33410．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a2sin A ＋b2sin B＝2c 2，sin A(1－cos C)＝sin B sin C ，b ＝6，AB 边上的点M 满足AM →＝2MB →，过点M 的直线与射线CA ，CB 分别交于P ，Q 两点，则MP 2＋MQ 2的最小值是( )A ．36B ．37C ．38D ．39解析：由正弦定理，知a2sin 2A ＋b2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ， ∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A(1－cos C)＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ 2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36. 答案：A11．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13 B ．3 C.913D.139答案 B解析 由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，∴tan α＝43，∵tan(α－β)＝－13，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan α·tan α－β ＝3.12．tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值等于( ) A. 3 B.33C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°·tan50°＝－3，即tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－ 3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由已知可得，b ＝c2cos A＝2c cos A ，∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴cos A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°，由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc得a 2－c 2＝0，∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形，故选C.14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.38 B.36 C.34D.32答案 C15．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A 解析 ∵sin2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴cos2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.16．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋4sin 2αsin2α的值为________．答案334解析 1＋cos2α＋4sin 2αsin2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.18．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析 根据图示，AC ＝1002m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin45°＝AMsin60°⇒AM ＝1003m.在△AMN 中，MN AM＝sin60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)． 19．在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ≠c ，且sin 2C －sin 2B ＝3sin B cos B －3sinC cos C . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin C ＝34，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1－cos2C 2－1－cos2B2＝32sin2B －32sin2C ， 整理得32sin2B －12cos2B ＝32sin2C －12cos2C ， 即sin(2B －π6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6，由b ≠c ，得B ≠C ，又B ＋C ∈(0，π)， 得2B －π6＋2C －π6＝π，即B ＋C ＝23π，所以A ＝π3.(2)因为a ＝3，sin C ＝34，由正弦定理asin A ＝c sin C ，得c ＝32. 由c <a ，得C <A ，从而cos C ＝74， 故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×74＋12×34＝3＋218.所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×32×3×3＋218＝932(3＋7)． 20．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4. (1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值范围．(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3， 所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2，所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋c b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6.(1)求B ；(2)若b ＝27，△ABC 的面积S ＝33，求a ＋c 的值．解析：(1)由已知得a ＋c ＝2b sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6，由正弦定理知sin A ＋sin C ＝2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin C cos π6＋cos C sin π6，即sin (B ＋C)＋sin C ＝sin B(3sin C ＋cos C)， 整理得3sin B sin C －cos B sin C ＝sin C ， 因为sin C>0，所以3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.22．已知点P(3，1)，Q(cos x ，sin x)，O 为坐标原点，函数f(x)＝OP →·QP →. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f(A)＝4，BC ＝3，△ABC 的面积为334，求△ABC 的周长．解析：(1)由题易知，OP →＝(3，1)， QP →＝(3－cos x,1－sin x)，所以f(x)＝3(3－cos x)＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝0，则x ＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z ，因为0<A <π，所以A ＝2π3，因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝334，所以bc ＝3.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得b2＋c2＝6，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝12，即b＋c＝2 3. 所以△ABC的周长为3＋2 3.。

2017届高三数学跨越一本线精品误区二：三角函数图象变换失误三角函数的图象变换,是三角函数考查热点之一,也是易错点之一,虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类,但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是,究其原因,是对函数性质及其图象特征认识不够深入,因此在变换中,对变换的数据无法完全把握,从而造成失误.本文重点从高考中涉及较多的伸缩变换和平移变换加以辨析.一、伸缩变换伸缩变换是容易出现错误的一个类型,是因为这类变换体现在横坐标和纵坐标上的变化似乎不一样,比如：将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝2f (x )的图象,需要将y ＝f (x )图象上每一点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍；而将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝f (2x )的图象,则需要将y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的12.之所以出现这个差异(一个是扩大,一个是缩小),原因很简单,注意到后一个关于横坐标的变化中,系数2就是x 的系数,而前一个关于纵坐标的变换,系数2并不是y 的系数,如果要将这个系数写到y 身上,则是12y ＝f (x ),这样以来,变换的“拉伸”和“压缩”与系数的关系就统一起来了.【例1】【山西省运城市2017届高三上学期期中】把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6π个单位,这是对应于这个图象的解析式为（）A．sin(2)3y x π=-B．sin(26y x π=-C．sin(23x y π=-D．sin(26x y π=-【分析】本题的第一步变换容易出现失误,题目要求“把所得各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)”,不少考生将x 的系数由1变为12,导致解题错误【解析】函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变得到sin 2x ,再把图象向右平移6π个单位,得到sin 2sin 263x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【答案】A【小试牛刀】把函数)(sin R x x y ∈=的图象上所有的点向左平移6π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数为【分析】本题与例1及极其相似,关键是后一步伸缩变化时,不要将系数12误写为2.【答案】)621sin(π+=x y .二、平移变换相对来说,平移变换似乎问题少一些,因为大家都记住了一个口诀：左加右减,上加下减.却很少有人追问：为什么向y 轴正方向(上方)平移就是加,而向x 轴正方向(右方)平移却是减？其实,理由与伸缩变换的理由很类似,y ＝f (x )变换为y ＝f (x )＋1,确实是纵坐标增大了一个单位,所以向上平移；而将y ＝f (x )变换为y ＝f (x ＋1),对应的x 应该减小1个单位,函数式才能保持等量关系,所以需要向左(负方向)平移1个单位.【例2】【2017湖北省荆州市高三上学期第一次质检】将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移0m m >个单位长度,所得函数图象关于轴对称,则的最小值为()A．B． C.D．【分析】先得到平移后的解析式y,再根据所得函数的图象关于轴对称,写出m 的表达式,找出最小值.【答案】C【点评】(1)平移变换中,记住“左加右减,上加下减”的口诀是没有错,但这只能确定平移方向,还需要注意平移的幅度,否则也是很容易出现差错的.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x ,±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴．【小试牛刀】【2016届福建省师大附中高三上学期期中】要得到函数的图象,只需要将函数的图象（）。

专题09 三角恒等变换与解三角形 文【考向解读】正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，1.和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．2.预测2017年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，复习时应引起足够的重视．3.边和角的计算；4.三角形形状的判断；5.面积的计算；6.有关的范围问题．【命题热点突破一】三角恒等变换例1、(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 【答案】：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.【答案】：－43【解析】如图，不妨设在Rt△ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 【答案】：C【感悟提升】 解决三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的．在三角函数问题中变换的基本方向有两个：一个是变换函数名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系等；变换角的形式可以使用两角和、差的三角函数公式、倍角公式，对角进行代数形式的变换等．【变式探究】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝14，那么cos 2α＝________．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A ．－45B ．－35 C.45 D.35【答案】（1）－78（2）A【解析】 （1）依题意得cos α＝14，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.（2）由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－4 35，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－4 35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.【命题热点突破二】 正、余弦定理例2、【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】【感悟提升】 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．求三角形中的角，关键是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余弦值，再根据角的范围求出对应的角的大小．解题时要注意利用三角形内角和定理，即A ＋B ＋C ＝π.【答案】 23π【解析】 ∵cos B cos C ＋2a c ＋bc ＝0，∴ccos B ＋2acos C ＋bcos C ＝0，由正弦定理得sin Ccos B ＋2sin Acos C ＋sin Bcos C ＝0， ∴sin （B ＋C ）＋2sin Acos C ＝sin A ＋2sin Acos C ＝0， ∵sin A≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝23π.【变式探究】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且csin B ＝bcos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c.【解析】【感悟提升】 求解三角形的边和面积的关键是利用正、余弦定理求出相关角度和边长．正弦定理揭示了三角形三边和其对角的正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．正弦定理可以使各边的比值和各个内角的正弦的比值相互转化．只要知道了三角形三边之间的比例关系即可利用余弦定理求出三角形的内角．【命题热点突破三】 正、余弦定理的实际应用例3、已知一块四边形园地ABCD 中，A ＝45°，B ＝60°，C ＝105°.若AB ＝2 m ，BC ＝1 m ，则该四边形园地ABCD 的面积等于________m 2.【答案】6－34【解析】 如图所示，连接AC.根据余弦定理可得AC ＝ 3 m ，易知△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，所以∠DAC ＝15°，∠DCA ＝15°，故△ADC 为等腰三角形.设AD ＝DC ＝x m ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3（2－3）.所以四边形园地ABCD 的面积为12×1×3＋12×3×（2－3）×12＝2 3＋6－3 34＝6－34m 2.【感悟提升】 使用正、余弦定理解三角形的关键是把求解目标归入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的应用条件，能够求出三角形各个元素的三角形)，在一些复杂的问题中，需要把求解目标分解到两个或者更多个可解三角形之中．【变式探究】如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A 处时，经观察，在河对岸有一参照物C 与学生前进方向成30°角，学生前进200 m 后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( )A ．50(3＋1)mB ．100(3＋1)mC ．50 2 mD ．100 2 m【答案】A【解析】 在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，AB ＝200，由正弦定理得BC ＝200×sin 30°sin 45°＝100 2（m ），所以河的宽度为BCsin 75°＝100 2×2＋64＝50（3＋1）（m ）.【命题热点突破四】正、余弦定理解具有空间结构的三角形综合问题例4、如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 °的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 °的方向上，仰角为30 °，则此山的高度CD ＝________m.【答案】100 6 【解析】【感悟提升】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【变式探究】如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.【答案】150【解析】在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，所以AC＝100 2.在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理有AMsin∠MCA＝ACsin∠AMC，即AM＝sin 60°sin 45°×100 2＝100 3，于是在Rt△AMN中，有MN＝sin 60°×100 3＝150.【易错分析】对于求解有空间结构的三角形问题，有两个易错点：一是方位角的确定；二是选择合适的三角形，并在相关三角形中进行边和角的转换．【高考真题解读】1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（）（A）725（B）15（C）15-（D）725-【答案】D2.【2016高考新课标3理数】若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（）(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C 【解析】2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312s i n ,s i n 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B A C A C A C A C =-+=+=+=，又因为s i n s i na b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.3.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ .【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又即最小值为8.1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【解析】2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π． 【解析】3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】（Ⅰ）由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+（）， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C ++=π,所以()()sin sin sin A B C C +=π-=.从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b cC abab++-+-==（）311842b a a b =+-≥（），当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 1.【2015高考四川，理12】=+75sin 15sin .【答案】.2.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.【解析】1cos 2sin 23()1)2242x x f x x π-=++=-+，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++，Z k ∈.3.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II)max ()4f x =,min 1()2f x =-.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为，最小值为12-.4.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性. 【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为22-；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【解析】5.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A A AB AC A AB AC =⋅⋅=+⇒⋅=112,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-==-6.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，ABC ∆A B C a b c a =1sin 2B =，则 .【答案】1．【解析】因为且，所以或，又，所以，，又由正弦定理得即解得，故应填入1．7.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】28.【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o ，AB ，A 的角平分线AD 则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠，即=，解得sin ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，6C =πb =1sin 2B =()0,B π∈6B π=56B π=6C π=6B π=23A B C ππ=--=a =sin sin a b A B =2sin sin 36bππ=1b =2cos30AC AB =︒9.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】7【解析】10.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．。

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表：(2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1)一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.10．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C 3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u rsin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 93555OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.14．若函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞ B ．)+∞C ．()+∞D ．()【答案】A 【解析】 【分析】计算tan 203x π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭恒成立，得到答案. 【详解】∵0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2033x ππ-<-<，∴tan 203x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，函数tan 23y x k π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，∵tan 23x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.15．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =，综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.16．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．17．已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.18．4cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的一个零点为6x π=【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6x π=代入 3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭判断D .【详解】()sin f x x x = 23sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x 周期22,1T A ππ==正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，25,,,63326x x πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ()f x ∴在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，C 正确； 6x π=时，1032f x f ππ⎛⎫⎛⎫+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6x π=不是3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.20．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。

1．y＝A sin（ωx＋φ）的有关概念y＝A sin(ωx ＋φ）（A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝错误!＝错误!ωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin（ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x错误!错误!错误!错误!错误!ωx＋φ0错误!π错误!2πy＝A sin(ωx＋φ）0A0－A03。

函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0,ω>0)的图象的步骤如下:【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1）利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（×）(2）y＝sin错误!的图象是由y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的．( √)(3）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．（√）（4)函数f(x）＝A sin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．（×)(5）函数y＝A cos（ωx＋φ）的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.（√）1．y＝2sin错误!的振幅、频率和初相分别为( ）A．2，错误!，－错误! B．2，错误!，－错误!C．2，错误!,－错误!D．2,错误!，－错误!答案A2．为了得到函数y＝sin（2x＋1）的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动错误!个单位长度B．向右平行移动错误!个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案A解析y＝sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度得到函数y＝sin 2(x ＋错误!)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．3．（2015·湖南)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x）的图象，若对满足|f(x1）－g（x2)|＝2的x1，x2，有｜x1－x2｜min＝错误!，则φ等于（)A。

2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数二填空选择题【答案】【答案】【解析】1. (2017年天津卷文)设函数f(X )2sin( x ),x R ，其中o’ 丨兀若 f(5n )2，f0,且f(x)的 最小正周期大2 n ,则2 3 1 3n12 11 n 24(B ) (D)2 3 1 311 n 72 7n 24【解析】由题意得58 11 82匕k2，其中k i ,k 2所以3(k 22kJ -，又 T —23，所以1，所以2k 1，由|也，故选A .2. (2017年天津卷理 )设函数f(x) 2si n(R ，其中)0，且f (x)的最小正周期大于2 ，则(A )12 (B )12 24(D)24【解析】由题意81182k 1 k2所以 2k 11 12 ，3.( 2017年全国川卷文22，其中 k 1,k 2 Z,所以故选A.ABC 内角 3(k2A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2kJ ，又T 0■,所以015根据正弦定理有:sin 600sin B2 n已知曲线 C 1： y =cos x ，C 2： y =sin (2x +)，则下面结论正确的是3冗A •把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2450 A7504.(2017年新课标I ) 9.A.4B.2C.D.B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n 个单位长度，得到曲线12 C 2C . 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1倍, 2纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移n个单位长度，得到曲线6C 2D . 把C 上各点的横坐标缩短到原来的1倍, 2纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移n个单位长度，得到曲线12C2【答案】D6.（2017年浙江卷）14 .已知△ABC , AB = AC =4 , BC =2.点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ,贝U △BDC 的面积是 _____ cos Z BDC = _____ ,8.（ 2017年新课标n 文）16.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若2b cosB= a cosC+c cosA,则B=— 39. （ 2017年新课标n 文）3.函数f x = sin （ 2x+—）的最小正周期为 （C ）3【解析】f x 1 cos 2 x , 3cosx3 cos 2x \ 3 cosx -44cosx乜21, x 0,：那么cosx 0,1，当 cosx3时函数取得最大值222【答案】11.【解析】取 BC 中点E , DC 中点F , 由题意：AE BC,BF CD , .15 △ ABE 中，BE 1DBC1DBC 1cos ABCcos一 ,siL 1—AB 44:164SA BCD5. （ 2017年新课标n 卷理）14•函数f x .2sin x 3 cosx 0,2的最大值是-BD BC sin DBC .2 22又 cos DBC 1 2s in DBF1, sin DBF 410 4cos BDC sin DBF综上可得，△ BCD 面积为cos BDC-10 47.（2017年新课标n 文）.13函数f x =2cosxsinx 的最大值为10.(2017年浙江卷)11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 n,理论上能把n 的值计算到任意精度.【解析】本题选择D 选项.4]! tan( -)ta^ 1 丄 4 4 614.(2017年江苏卷 5. tan()若15. (2017年新课标I 文)11 . △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c 。

1.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79-3.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos∠BDC =_______．【答案】24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=．4.【2017课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。

【答案】(1)15cos 17B =； (2) b=2 【解析】b=2（1）由题设及，故上式两边平方，整理得解得（2）由，故又由余弦定理 及得所以b=2.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】 由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．7.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.8.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C ==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.9.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=65bc ，根据余弦定理，有 cos A=2222b c a bc+-=35．所以=45． 由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B ，所以45sin B=45cos B+35sin B ， 故tan B=sin cos BB=4．10.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【答案】（I ）证明见解析；（II ）2π或4π．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 于是()sin sin ΒA Β=-．又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()πB A B =--或B A B =-， 因此πA =（舍去）或2A B =， 所以，2A B =．（Ⅱ）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =． 又B ，()0,πC ∈，所以π2C B =±． 当π2B C +=时，π2A =； 当π2C B -=时，π4A =．综上，π2A =或π4A =．易错起源1、三角恒等变换例1、(1)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6答案 (1)2425(2)C解析 (1)因为α为锐角，cos(α＋π6)＝35>0，所以α＋π6为锐角，sin(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×45×35＝2425.又cos(2α－π6)＝sin(2α＋π3)，所以cos(2α－π6)＝2425.(2)因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. 所以β＝π4.【变式探究】(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α等于( ) A.45 B ．－45 C ．－35 D.35 (2)3cos10°－1sin170°等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4答案 (1)D (2)D解析 (1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210， 得sin αcos π4－cos αsin π4＝7210，即sin α－cos α＝75，①又cos2α＝725，所以cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝725，因此cos α＋sin α＝－15.②由①②得sin α＝35，故选D.(2)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝－12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. 【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016·课标全国丙)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010 B.1010C ．－1010D ．－31010(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 (1)C (2)π4解析 (1)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ·23a ＝－1010. 故选C.(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin2π33＝22，因为A 为钝角，所以B ＝π4.【变式探究】如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. 【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【锦囊妙计，战胜自我】1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题 例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.【变式探究】已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若f (A2)＝2且a 2＝bc ，试判断△ABC 的形状．解 (1)f (x )＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以T ＝π，f (x )∈[－2,2]．【名师点睛】解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．【锦囊妙计，战胜自我】。