高考数学复习 5.5 解三角形 角化边、边化角问题练习 文

4五、三角形 中的边角转换选择题分别为角A, B,C 的对边）U AABC 的形状为（【答案】AA.4【答案】BcosA =3,2由余弦定理得： a = b c - 2bccosA ,即 1 = 3 c 二-3c 解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去）, 则 c=2.故选：B.则ABC 面积的最大值是（【答案】D1.【2018届天津市南开中学高三上学期第一次月考】在 MBC 中，COS 2-B22c(a,b,cA.直角三角形B.等边三角形C. 等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形I c 为直角,则2.【2018届陕西省西 安中学高三 10月月考】ABC 的内角代B,C 的对边分别为a,b,c ，若B=_2A ,a =1,A. 1 或 2B. 2C.D. 1【解析】•••B =2Aa =1 , •••由正弦定理asinA si nBb得:sinA si nB si n2A 2sinAcosA3. [2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】在 ABC 中, 31B 二 ，若 b = 2「2 ,A. 4 4 2B. 4C.4 2 D. 2 2 27 25【解析】•••a si nAb si nBc n，由 B=, b = 2 2，得 a = 4si nA, c = 4si n C ,sinC41S = acsinB2 =4 2sinAsi nC .又 sinAsi nC 二 sinAsin n- A-B 二 si nAs in i =si nA 2 2 cosA sinA 2 •••面积的最大值为 2sin2A - 4 45n .，•当 2A-2 2 2，故选D. 4.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】在锐角 b = 2asinB ,则角A 等于 A.上3 B. nC. 6 n n ［、5 nD. 一或一 4 cos2A」sin 2A- 2 n ■ '2 4 【答案】 【解析】 由正弦定理得 sin B=2s in Asi nB sinA sinAsinC 取得最大值 ABC 中，角A,B,C 所对角为 a,b,c.5•在- ABC 中，内角 则 cosC A. -7 25B.25【答案】 ITC 所对的边分别是a C. <5D.24 25【解析］据正弦定理结合已知可得匕 sm84 2 2 2c 4故cos- = -,由二倍角公式得=b ,c ，已知 8b = 5c , C =2B ,sin C5—c8tn —2= 2x(rc ，整理得6.【2018届河北省武邑中学高三上第二次调研】在 ABC 中，a, b, c 是A, B , C 的对边,若a , b, c 成等比数列,A =60，则bsinB二()的最小值为*选G届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】在锐角 若竺+竺二工11兰，甜昭+冉锁nB = 2，^唸+ f 的取值范围【解析】由题意—---—可得: c SsinCc cos B + b cos C sinCco^ B + sinBcos CA.12 B. C.D.【答案】 【解析】 由题意可得: 结合正弦定理可得 本题选择B 选项. 7. A. 3 B. 【答案】C 【解析】rb 2B 、C.2=ac, sin B 二 sinAsinC , bsinB的最小值为C1D.+沪）＞ 由余弦走理得，cosC = a +" C ° +乃~ 1lab违当且仅士 "时取A. B.【答案】B() -C.D.be bsinC bsinC& 【2018 角AB J C 的对边分别为a,bjC ，sin(B + C) 2^sinA+ V3sinBfi2 y COS B in B=2Ab2nB=T0O：<--Aa - r = sinA + s: cos L i 3 sii101故答案选卜.9.【2018届河南省原名校咼三第三次联考】在ABC中, C的对边，且2absinC =讥3 b2A. 3B. 3.3C. 2 3 a，b，c分别为内角A，B，c = 3，则ABC的面积为（）2，理得書 整理窄10 •在锐角三角形 ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=1n= cosA, -1 ,且m — n,则b c 的取值范围是【答案】DSUL31【解袖Ibcsii的面*A. 1,2]B.1,2] C.3,2D.3,2【解析丘=（COS^, —1）,且亦丄元j.n •••由正弦定理得asinA si nBsinC . 3sinB si nC =2 sinB sin 23 L 乙3JT233i cosB - sinB 3 2 2二 cosB 、3sinBJI= 2sin B ；••• 0 ： B ：：—,且0 B2 32，【答案】D 【答案】B[ JI :::sin I BI 6_1,二b • e和v'3,2 ，即b c的取值范围是3, 2 D.11. [ 2018届福建省数学基地校高三单元过关联考】在厶ABC中，角A B C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为評则：i-的最大值是（b cA. 8B. 6C. 3D. 4b c【解析】b c =be 这个形式很容易联想到余弦定理:b2 +c2-a2cosA =----- ------------2bc，①而条件中的“高”容易联想到面积,1 <3—bcsinA ,2besi nA，②将②代入①得: =2bc(cosA +、. 3 si nA),、3 si nA) = 4sin(A + —)，当A=6 —时取得最大值4,故选D. 312. [ 2018届衡水金卷全国高三大联考】已知止址j|：的内角A丿B ；；的对边分别c,且(卅+b：- c：)・©cosB +比茁A)二伫臥若j」「I】-/，则-的取值范围为A.(0.2)B. [12)C. D.阳所C 口0朋 (2言又匚：(因 7f 且(a+b)2；I所以［，即 ，又 ^所以 | .故选B. 二、填空题13. 【2017年浙江省源清中学高三 9月月考】在 ABC 中，若b = 2,A=120，三角形的面积S=*3，贝U c= _______ ;三角形外接圆的半径为【答案】2 21【解析】S = 3 2csin120，解得c=2.2a 2 =22 +22 —2 汉2 汉2 汉cos120” = 12 ,解得a =2j 3 ,解得R=2.故答案为：2;2.14. 【2018届深圳中学高三第一次测试】在 ABC 中, 则cosC 的取值范围为 _______ .【答案】1,112丿sinAc nnBcosA)=: k + B) = sinC.2R2 2 2sin B sin C = sin A —sinBsinC ,asi nA【：析由弦T <.二 < 二 <15. [ 2018届河南省天一大联考高三上10月联考】在=ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为222sin Ba,b,c ，若 2a -c si nC = b ，c-a，且 b = 3 U ^ABC 周长的取值范围为b【答案】4 3,6 3【解析】依题意c 2sinC -sinA=SinBb 2c 2-a 2，故 b2si nB 2222sinC -sinAb c -a ，则 2sinC-sinA = 2sinBcosA ，因为 2bcC =180，- A B ，所以 2sin A B -sinA -2sinBcosA ，化简得 sinA 2cosB T i=0长的取值范围为 4-3,6、3，故答案为4、3,6、3 .16. [ 2018届安徽省蚌埠市第二中学高三 7月月考】已知在 感战中，角如風用的对边分别是 *』讹，其满足食…詡k 演；一心燧1i 译訂，点】在边抵上且糜匚號，则一的取值范围■ ■ BF是 __________ .1 由于 sinA = 0，故 cosB =2 a 2 c 2 -ac =12 ,即 a c 即a ■ c _ 4、3，当且仅当aJI，因为0注「:，故 Bl ，由已知及余弦定理得2-3…，可得a c -3. 22<12 , (a +c )兰48= c =2.3时，取等号，所以 2“3乞a • c^4J3，故 ABC 周【答案】【解析】根据正弦定理变形，- 可化为m二二二二一-二二二二二二，即诙，占-鋪呗□:},所以加:竝虑，则-,A如上團》AB3= BC2 +AC2-2BC -AC-cosC = 10a a - 6a2cosC,BF2= BC2 + FC2-2BC FC cosC = 2a2-2a3cosC,所以AE J ICa3—6a J cosC S-3DCM C1-l-aCl —CD&Q 2 .------------------ °—“—=------------------------------------------- —= I , —=4= ±EF J 3a2-2H?<™<；,YM€I-CD&C1-coSrC 、因为D <C<n,所叹—1 <cosC <1, 0< 1 - cosC < 2,则匸衆> 1,所以兽>4,则詈> 2.三、解答题17. 【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】在阳進中，狎；：.分别为角训嵐的对边，已知<A- mi U(i)求角二的值；(II)若求］弭］电得取值范围.【答案】(1) (2) ：— -【解析】试题分析：(1)由遊弘-3cos(B+C) = 1,得2co S3A+3c OS A-2 = 0,解得wsA二得到结果;J*'!—2(2)由余弦走理易得:b3 + c3-bc = 4,即Cb + c)a-3bc = 4?又be < (^)，从而得到b+c<4,又因为b 4- c > 2,求得结果.试题解析：(|)由「二二…沁J -C:-，得验劉R沁加姑[：即?rc.=...-:.匚—・〔'解得…二-.2因为，所以’：二.3(11)「「：： - 厂寸，臼二12 二一，于护「卜以-hr 一二22:、(b+护-3bc=4/<'bc<[yj /-(b+c)2= 4 + 3bc<4+^(b + c)3A(b+<03< 16^b+c<4又因为加:壮2所以一■:点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果.18. [ 2018届南宁市高三摸底联考】在阀毓中，角如風肾的对边分别为f；：[:止,已知吧缶饰馮：•瑟-曲矍("求证::躺二日彳:<1(2) 若「'二，拡诫的面积为块恳求•【答案】⑴证明见解析；(2)爲匚点.【解析】试题分析: (1) 由正弦定理边化角统一角，得 :胚过弍 「，再用正弦定理角化边即证。

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记ABC 的面积为S ，其内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1c =，)2214a b S +-=．(1)求C ；(2)求ABC 面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求tan B 的值；(2)设3a =，1c =，求b 和△ABC 的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））在ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =，ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在ABC中，内角、、A B C 的对边分别为a 、b 、c ，在条件：①sin cos a C A ；()sin 0B C A ++=；③222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A 的大小；(2)若b c a +=ABC 的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2B Cb a B +⋅=，(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求a 的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角ABC中，()()sin sinA B A B+=-=.(1)求tan tanAB；(2)若7AB=，求ABC的面积S.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．(1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AD 2AB =，3BC AE ==，5CD DE ==.(1)若2BE =，求()tan ABE BEA ∠+∠的值；(2)若120BCD ∠=︒，求BE 的长.（2）连接BD .在BCD △中，3BC =，CD 2235235cos1203430BD =+-⨯⨯⨯︒=-由余弦定理，得22232cos 23BE AEB BE +-∠=⨯⨯余弦定理，得22257cos BE BED +-==∠9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=.(1)求证：2A B =；(2)若3cos 4B =，点D 为边AB 上的一点，CD 平分ACB ∠，1CD =，求边长b .中，由正弦定理可得：在ACD10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①10ac =，②a =③()sin sin 6sin b A C B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值及三角形ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在,ABC 它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2,3,sin Bb bc C==___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为三边，2cos c b B =，2π3C =．(1)求角B 的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC 边上的中线的长度．①ABC 的面积为4；②ABC 的周长为4+的三个12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设ABC的面积为S．且有关系式：内角A，B，C所对的边长为a，b，c，ABC2+=+．cos2cos22cos2sin sinA B C A B(1)求C；(2)求2cS的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=．(1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=；(2)若3A B =，求B 的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ､b ､c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求角A 的大小；(2)若5a =，2c =，求ABC 的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角OAB 中，OA OB =，延长BA 到C ，使得3AC =，4AOC π∠=，sin 3OAC =∠.(1)求OC ；(2)求sin BOC ∠.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：sin sin 2B C b a B +=，条件②：1cos 2b a Cc =+，条件③：tan (2)tan b A c b B =-这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan cos 2cos C B C A =-且角A 为锐角.(1)求角B ；(2)若ABC b 的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan S B =⋅.(1)求B ；(2)若a 、b 、c 成等差数列，ABC ∆的面积为32，求2b .19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =c b +的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A 卷））如图所示，经过村庄B 有两条夹角为60︒的公路BA 和BC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F ，分别在两条公路边上建两个仓库D 和E （异于村庄B ），设计要求3FD FE DE ===（单位：千米）.(1)若30BDE ∠=︒，求BF 的值（保留根号）；(2)若设BDE θ∠=，当θ为何值时，工厂产生的噪音对村庄B 的居民影响最小（即工厂F 与村庄B 的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1 1.732≈）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin b c C B c a A +-=-(1)求B ；(2)若2a =，b =ABC 的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在①23coscos cos 24A C A C --=；②()22sin sin sin 3sin sin A C B A C +=+；③2cos 2b C c a +=这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B 的大小；(2)若a c +=ABC 周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知())cos ,cos ,,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅ ，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a 22b c +的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知ABC 的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若角A B C ，，成等差数列，且2b =，（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =；(2)若π3A =，AD ABC 的周长l ．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S AB AC →→=⋅.(2)延长AC 至点D ，使得CD ＝AC ，且BD ＝2BC ，若c ＝6，求△ABC 的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 26A C b C ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)若a b =，P 为ABC 内一点，2PA =，4PC =，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①BP CP ⊥；②PB =；③150∠= BPA ．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B =，求ABC 面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=+．(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 边上一点，且2CD DB =，若2AD =，求△ABC 面积的最大值．因为2CD DB=，23 AD AB=由222133AD AB AC⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以。

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第八节解三角形夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第八节解三角形A组基础题组1。

若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的( ）A.北偏东15°B.北偏西15°C。

北偏东10° D.北偏西10°2。

已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A,C两地间的距离为( ）A.10 km B。

10 km C.10 km D.10 km3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:≈1。

732）( ）A.11.4 km B。

6.6 km C.6.5 km D。

5.6 km4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ）A。

专题59 边角转化解三角一、单选题1．设ABC 的内角，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a b +=，sin 2sin A B =，则角C =（ ）A ．6πB ．3πC ．D ．56π 【答案】B【分析】由正弦定理得出边,,a b c 之间的关系，再由余弦定理求得cos C ，由角的范围可得选项.【详解】根据正弦定理，由sin 2sin A B =，得2a b =，又a b +=，所以令2a t =，b t =，c =，0t >. 由余弦定理可得())22221cos 222t t C t t +-==⨯⨯，又故0C π<<，所以3C π=. 故选：B.2．在锐角ABC 中，角A 、B 所对的边长分别为a 、b，若2sin a B =，则A ∠等于（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒【答案】A【分析】由条件结合正弦定理可得，然后得到sin A =即可选出答案. 【详解】因为2sin a B =所以由正弦定理可得，因为sin 0B ≠，所以sin A =因为角A 为锐角，所以故选：A3．在锐角ABC 中，内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4cos abC b a +=，则（）A ．1B ．12 C ．4 D ．2【答案】D【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可【详解】锐角ABC 中，4cos b a C a b +=，由余弦定理可得，化简得：2222a b c +=，又22222222222c ab c ab a b c c c =⋅==+--．故选：D4．ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别是，B ，C ，若2sin b a B =，则角A =（ ）A ．30B ．150︒C ．60︒或120︒D ．30或150︒ 【答案】D【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解.【详解】在ABC 中，由正弦定理知 则sin sin 1sin 2sin 2a B a B Ab a B ⋅⋅===⋅， 因为角是ABC 的内角，所以0180A <<︒︒，所以角等于30或150︒．故选：D ．5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角，B ，C 的对边，若，则B =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 【答案】C【分析】根据条件由正弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得得出答案.【详解】 由，得a b c a c a b-=-+，可得222a b ac c -=-所以222a cb ac +-=，则2221cos 222a c b ac B ac ac +-=== 又0B π<<，所以3B π=故选：C 6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，ABC 的面积等于6，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【分析】利用正弦，余弦定理将角化边，结合三角形面积公式，列方程求解即可.【详解】 2sin sin sin B A C =+2b a c ∴=+① 3cos 5B = 222325a cb ac +-∴=② ()0,B π∈4sin 5B ∴= 据题设可得14625ac ⨯=③ 由①②③解得4b =故选：C7．在ABC 中，a 、b 、c 分别为ABC 的内角、B 、C 的对边，2sin (sin sin )3sin A A B C B +=23sin C +，则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】A【分析】由正弦定理将角化边，即可得到222sin 33C b c a =+-，再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-⋅，即可得到626cos b a C C a b+=+，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到)3C π+= 【详解】解：因为22sin (sin sin )3sin 3sin A A B C B C +=+由正弦定理可得22(sin )33a a C b c +=+，即222sin 33C b c a =+-，又由余弦定理可知2222cos c a b ab C =+-⋅，则，则626cos b a C C a b +=+33cos b a C C a b+=+，3cos )3C C C π+=+≤33cos b a C C a b +=+≥=，当且仅当3b a a b=时取等号，∴)3C π+=32C ππ+=，6C π=，故选：A.【点睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.8．已知ABC ∆的内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足4A π=，a =222cos cos sin sin sin B C A A B --=-⋅，则边长b 的值为（ ）A ．4B ．2C D 【答案】D【分析】由同角三角函数的平方关系、正弦定理、余弦定理可求出cos C 的值，可求得角C 的值，利用三角形的内角和定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得b 的值.【详解】222cos cos sin sin sin B C A A B --=-⋅，则()()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ----=-⋅，即222sin sin sin sin sin C B A A B --=-⋅，由正弦定理得222c b a ab --=-，所以，222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===， 0C π<<，3C π∴=， 又4A π=，则512B π=，且.又，所以，sin 2sin a b B A =⋅==， 故选：D.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则A 的最大值是（ ）A ．56πB ．23πC ．6πD ．3π 【答案】C【分析】先根据题中条件，由正弦定理，得到，sin 2cos sin A B C =-，由两角和的正切公式，得出22tan tan 13tan C A C=+，利用基本不等式，即可得出结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，则，所以，因为A ，B ，C 为ABC 的内角，则，，所以cos 0B <，则2B ππ<<，所以、C 都为锐角；又由可得，即tan 3tan =-B C ，则()2tan tan 2tan tan tan 1tan tan 13tan B C C A B C B C C+=-+=-=-+， 令tan 0x C =>，则222tan 1133x A x x x ==≤=++， 当且仅当13x x =，即3x =时，等号成立； 所以()max tan A =，因此的最大值为6π. 故选：C.【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于利用正弦定理，结合三角恒等变换，得到22tan tan 13tan C A C=+，再利用基本不等式，求解即可.（求解时，要注意角的范围）.10．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，且，则ABC 周长的取值范围是（ ）A ．(2,4)B ．(4,6)C ．(2,6) D．2,6) 【答案】B【分析】把已知式中2换成a 后用正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得2A B =，然后由正弦定理把,b c 用角B 表示，得周长的表达式，求出B 角范围后可得周长的范围，【详解】因为2a =，，所以，所以，所以，则B A B =-，即2A B =.由正弦定理可得，则，，故ABC 的周长1124cos 4cos 2cos cos l a b c B B B B=++=++-=+. 因为0π,02π,0π3π,B B B <<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩解得π03B <<，则1cos 12B <<，故ABC 的周长()4,6l ∈. 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，解题关键是把已知等式中的2用边a 替换，这样可用正弦定理进行边角转化，化边为角，从而求得2A B =，然后可得B 角范围，同时再用正弦定理求出边,b c （表示为B 的函数），从而可求得周长的范围．11．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a =cos 3sin A a B =，则ABC 面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】用正弦定理化边为角，求出tan A ，sin A ，cos A ，再用余弦定理求出,b c 的关系，由基本不等式得bc 的最大值，从而可得三角形面积的最大值．【详解】cos 3sin A a B =，所以，所以，即tan A =，sin A =3cos 4A =. 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即223362b c bc =+-31222bc bc bc ≥-=，则72bc ≤，故ABC 的面积11sin 72224S bc A =≤⨯⨯=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查求三角形面积的最值，应用的知识较多：正弦定理进行边角转换，同角间的三角函数关系，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式等．要求掌握所有的知识点才能正确求解，本题属于中档题．12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a c =，cos C =，则（ ） A ．27 B ．47 C ．57 D ．67【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为角C 是三角形的内角，所以(0,)C π∈，由cos C =，可得：3sin 7C ===，由正弦定理可知：，因为2a c =，3sin 7C =， 所以6sin 2sin 7A C ==. 故选：D二、多选题13．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．若A B >，则B ．若sin 2sin 2A B =，则A B =C ．若，则ABC 为钝角三角形D ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理与余弦定理，可判断AC 选项；根据诱导公式及三角形的性质，可判断B 选项；根据三角恒等变换和正弦定理，可判断D 选项.A 选项，在ABC 中，大边对大角，由AB >可得a b >，利用正弦定理，可得；故A 正确； B 选项，在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=；故B 错；C 选项，若，则222cos 02a b c C ab+-=<，所以角C 为钝角，即ABC 为钝角三角形；故C 正确；D 选项，若cos cos sin b C c B a A +=，则2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，则2sin sin A A =，又为三角形内角，所以，则2A π=.故选：ACD.14．下列说法正确的是（ ） A ．在ABC 中，若，则A B >． B ．在ABC 中，．C ．在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．D ．在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，则此三角形有一解． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐项判定，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为，根据正弦定理，可得a b >，由三角形的性质，大边对大角，所以AB >，故A 正确； B 选项，在ABC 中，由正弦定理可得（R 为ABC 外接圆半径），所以，故B 正确；C 选项，在三角形中，若已知两边与两边夹角，可直接根据三角形面积公式求三角形面积；若已知两边一邻角，可根据余弦定理，先求出第三边，再根据三角形面积公式即可求出三角形面积；即在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．故C 正确；D 选项，在ABC 中，已知40b =，20c =，60C =︒，由正弦定理可得：40sin 2sin 120b CB c===>，显然不成立，所以此三角形不存在，故D 错.故选：ABC.三、解答题15．在①，②cos cos 2b C c B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，③sin cos B B +=题中，若问题中的三角形存在，求ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6A π=，__________，4b =？【答案】答案见解析. 【分析】选择①结合余弦定理和正弦定理求出2a =，2B π=，c =即可求出三角形面积；选择②由正弦定理可得，从而可求出B 的大小，再结合正弦定理可求出a ，从而可求出三角形的面积；选择③由辅助角公式可求出4B π=，结合正弦定理可求出a =.【详解】选择①：由余弦定理可知，222222cos cos 222a c b a b c c B b B c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，由正弦定理得，sin sin 1b A B a==，又()0,B π∈，所以2B π=，所以ABC 是直角三角形，则c =，所以ABC 的面积12S ac ==. 选择②：由正弦定理得，sin cos sin cos 2B C C B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即， 又，所以sin 0C ≠，所以sin cos B B =，即， 又()0,B π∈，所以4B π=.由正弦定理得，，所以ABC 的面积.选择③：因为sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又(0,)B π∈，所以，所以，42B ππ+=，即4B π=.由正弦定理得，， 所以ABC 的面积. 【点睛】 思路点睛：三角形相关问题，若已知条件中既有边又有角，则常运用正弦定理进行边角互换，偶尔也会用到余弦定理或余弦定理的变形形式进行边角互换.16．从条件①22cos b a c A -=，②tan cos cos c C a B b A -=，③4cos 5c B a b -=中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，b =________，求ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分． 【答案】答案见解析.【分析】若选①，利用余弦定理可得222a b c ab +-=，求出角后可计算三角形的面积. 若选②，利用正弦定理可得，求出角后可计算三角形的面积. 若选③，利用正弦定理可得4cos 5C =-，求出角的正弦后可计算三角形的面积. 【详解】解：选择①，因为22cos b a c A -=， 所以由余弦定理得， 所以222a b c ab +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，而C 为三角形内角，所以sin C =，所以ABC 的面积为113sin 12224ab C ⋅=⨯=． 选择②，因为tan cos cos c C a B b A -=， 所以由正弦定理得， 所以．又0C π<<，所以sin 0C ≠，所以，而C 为三角形内角，所以π4C =，所以sin 2C =，所以ABC 的面积为11sin 12224ab C ⋅=⨯=选择③，因为4cos 5c B a b -=， 所以由正弦定理得4sin cos sin sin 5C B A B -=， 即5sin cos 5sin()5sin cos (5sin cos 5cos sin )4sin C B B C C B B C B C B -+=-+=，所以．又0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以4cos 5C =-，而C 为三角形内角，所以3sin 5C =，所以ABC 的面积为113sin 122510ab C ⋅=⨯=． 【点睛】思路点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.17．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，2b =，sin sin 14A B +=． （1）求的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）7；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理，由题中条件，求出ABC 外接圆的半径，进而可求出；（2）先由（1）求出cos B ，根据余弦定理，求出c 的值，并检验，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】（1）根据正弦定理，由sin sin A B +=可化为22a b R R +=R 为ABC 外接圆半径），因为3a =，2b =，所以2R =则sin 273b B R ===；（2）因为ABC为锐角三角形，所cos 7B ==， 由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-2120c -+=，解得c =c =当c =时，222a b c >+，此时为钝角，舍去．所以c =18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且满足)cos cos a C c A -= （1）求角C 的大小；（2）若a=bc ，求△ABC 的面积【答案】（1）π4C =；（2）16. 【分析】（1）利用正弦定理把)cos cos a C c A -= 中边统一成角，然后利用三角函数公式化简可求出角C 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，再利用面积公式可求得结果 【详解】解：（1）∵)cos cos a C c A -= ，∴由正弦定理有， ∴，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴cos C =π4C =． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴222)22c =+-⨯⨯∴2320c -+=，∴c =∴8b ==，∴11sin 816222ABC S ab C ==⨯=△．19．在ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，4b c =.（1）求tan C 的值；（2）若a =，求ABC 的面积.【答案】（12【分析】(1)7sin 2C C =，进而得解； (2)根据已知条件，利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-求得c 的值，进而利用面积公式计算. 【详解】（1）由正弦定理可得， 由4b c =，可得sin 4sin B C =. 因为3A π=，所以23B C π+=， 故2sin 4sin 3C C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 4sin 2C C C +=，7sin 2C C =，得tan C =. （2）在ABC 中，由余弦定理，得22222212cos 1624132a b c bc A c c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=，又因为a =，所以1c =，4b =，所以ABC 的面积为1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，涉及两角差的正弦公式和同角三角函数的关系，属基础题,关键是利用正弦定理将边的关系化为角的正弦的关系和根据已知条件选择合适的余弦定理的形式求得c 的值, 20．在ABC 中，角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若ABC 为锐角三角形，且2a =，求ABC 周长的取值范围. 【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理化简得到222b c a bc +-=，然后再利用余弦定理求解.（Ⅱ）结合2a =，3A π=，在ABC 中利用正弦定理得到4sin 6B π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据ABC 为锐角三角形，求得B 的范围，利用三角函数的性质求解. 【详解】 （Ⅰ）因为，由正弦定理可得，即为222b c a bc +-=.由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（Ⅱ）在ABC 中由正弦定理得sin sin sin3ab cB C π==，又2a =，所以b B ，， 所以，3sin 2B B ⎫=+⎪⎪⎝⎭， 4sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形， 所以，且()3B b c π≠≠， 所以62B ππ<<且3B π≠， 所以2363B πππ<+<且62B ππ+≠， 所以，所以()b c +∈，所以ABC 周长a b c ++的取值范围是.【点睛】易错点点睛：第二问在确定角B 的范围时，容易忽视sin sin 0B C -≠，结合3A π=即3B π≠的条件.21．在ABC 中，内角、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan a B b A =.（1）求的值；（2）若a =，，求ABC 的周长.【答案】（1）3π；（2）5+【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得1cos 2A =，结合范围()0,A π∈，可求的值.（2）由已知可得()45bc b c =+，又由余弦定理可得2213b c bc +-=，联立解得b c +的值，即可得解三角形的周长.【详解】 解：（1）由题意可得sin 2sin cos b A a B A =，可得sin cos 2sin b A A a B =， 由正弦定理可得，因为()0,A π∈，可得3A π=.（2）由，可得()45bc b c =+， 又由余弦定理可得2213b c bc +-=，可得()2313b c bc +-=， 可得212()()135b c b c +-+=，解得5b c +=，或135b c +=-（舍去），故ABC 的周长为522．在ABC 中，3B π∠=，b =______，求BC 边上的高.在①sin 7A =；②sin 3sin A C =；③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选①，先根据正弦定理得2a =，再根据余弦定理得3c =，进而得BC 边上的高为sin h c B ==； 选②，由sin 3sin A C =得3a c =，进而根据余弦定理得1c =，进而得BC 边上的高为sin 2h c B ==；选择③，由2a c -=得2a c =+，进而由余弦定理得1c =，进而得BC边上的高为sin h c B =. 【详解】解：选择①， 在ABC7=，解得2a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22172222c c =+-⨯⨯⨯， 化简得2230c c --=，解得3c =或（舍去）； 所以BC边上的高为sin 3h c B ===选择②，在ABC 中，由正弦定理得，又因为sin 3sin A C =，所以，即3a c =；由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2217(3)232c c c c =+-⨯⨯⨯， 化简得277c =，解得1c =或（舍去）；所以BC边上的高为sin 1h c B ===选择③，在ABC 中，由2a c -=，得2a c =+；由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2217(2)2(2)2c c c c =++-⨯+⨯⨯ 化简得2230c +c -=，解得1c =或3c =-（舍去）；所以BC 边上的高为sin 122h c B ==⨯=. 【点睛】本题解题的关键在于应用正余弦定理的方程思想计算出边c ，进而根据BC 边上的高为sin h c B =求解，考查运算求解能力，是基础题.23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos a C c B b C =+（1）求角C 的正弦值；（2）若2c =，求+a b 的最大值．【答案】（1）；（2）4.【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得1cos 2C =，从而可求得角C 的正弦值； (2)利用正弦定理将三角形的边转化为角，利用三角函数的值域可求得所求的最值.【详解】解：（1）∵2cos cos cos a C b C c B =+，∴，∵0A π<<，∴．∴1cos 2C =，0C π<<，∴3C π=，∴sin 2C =；（2）∵2c =，∴2sin sin sin sin 3c b a C B A π====23A B C ππ+=-=，∴2sin sin sin sin sin sin 3c c a b A B A A C C π⎫⎛⎫+=+=+- ⎪⎪⎝⎭⎭4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵203A π<<，∴， 当62A ππ+=，即3A π=时，max ()4a b +=．【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. （4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.24．在ABC 中，角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C +=-+. （1）求角B 的大小.（2）若ABC S =BA BC ⋅的值.【答案】（1）23π；（2）-4. 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求得B 角；（2）由三角形面积公式得ac ，再由数量积的定义求得数量积．【详解】（1）∵sin sin sin sin c A B b a A C+=-+，∴由正弦定理：， ∴222ac c b a +=-，222c a b ac +-=-.由余弦定理：∴2221cos 222c a b ac B ac ac +-==-=-. ∵)(0,B π∈，∴23B π=.（2）由1sin 24ABC S ac B ac ===，8ac =，. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，解三角形时，边角出现在一个等式中，常常利用正弦定理进行边角互化，化角后应用三角性等变换公式化简，化边后，一种利用代数式的运算进行变形，一种利用余弦定理求角．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若.（1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）6【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简即得解；（2）利用基本不等式求出2b ≥，即得ABC 周长的最小值和此时ABC 的面积.【详解】（1）∵，由己知结合正弦定理可得22()a c a c b -+=，∴222a c b ac +-=， ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,)B π∈， ∴3B π=.（2）∵22222cos ()3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， ∴221632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2,b ABC =周长的最小值为6，此时ABC 的面积1sin 2S ac B ==【点睛】 方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（研究函数的单调性求出最值）；（2）导数法（利用导数求出函数的单调性得到函数的最值）；（3）数形结合法（把数和形结合起来求出函数的最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式法求函数的最值）.26．已知在ABC 中，角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且.（1）求角的大小；（2）若a =2b =，求ABC 的面积.【答案】（1）4A π=；（2）4.【分析】 （1）利用正弦定理化边为角可得，由sin 0B ≠可得，即可求角的大小；（2）利用余弦定理求出边c ，再利用面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，在ABC 中，由正弦定理得，即，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，∴，π04A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又∵0()A π∈，，∴4A π=， （2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，则220442c c ⎛=+-⋅ ⎝⎭，即2160c --=，解得c =或c =-(舍)，∴11sin 24222ABC S bc A =⋅=⨯⨯=. 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的关键是利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅求出边c ，再利用面积公式1sin 2ABC S bc A =⋅即可求ABC 的面积. 27．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角，B ，C 的对边，.（1）求B ；（2）若4b =，ABC 的面积为a c +.【答案】（1）3π；（2）8. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得222b a c ac =+-，由余弦定理可得1cos 2B =，结合范围0B π<<，可求B 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而利用余弦定理可求a c +的值．【详解】（1）由，根据正弦定理可得，即222b a c ac =+-，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得，由于0B π<<，所以3B π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ac B ==16ac =， 因为22216b a c ac =+-=，所以2232a c +=，所以8a c +==【点睛】方法点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.28．已知ABC 中，角，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22a b bc =+．（1）求证：2A B =；（2）若π6B =，2b =，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足，当线段BP 的长度取得最小值时，求APC △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据余弦定理得2cos =-b A c b ，再由正弦定理得()sin sin A B B -=，由角的范围可得证； （2）由（1）和已知条件求得π2C =，π3A =，再由向量垂直的条件得点P 在以AC 为直径的圆上，且当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，再由三角函数的定义和正弦二倍角公式可求得APC △的面积．【详解】（1）∵2222cos a b c bc A =+-，22a b bc =+，∴2cos =-b A c b ，由正弦定理得2sin cos sin sin =-B A C B ，∵，代入得，，即()sin sin A B B -=，∵，B ，C 为三角形的内角，∴2A B =．（2）因为π6B =，所以π2C =，π3A =．由题意，得PA PC ⊥，点P 在以AC 为直径的圆上，∵2b =，∴4AB =，BC =设O 为AC 中点，连结BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时．设∠=OCP θ，则，2sin =PA θ，2cos =PC θ，Rt BCO △中，，APC △的面积12sin cos sin 2213=⨯===S PA PC θθθ∴当BP 1-时，APC △的面积为．【点睛】关键点点睛：本题关键在于由已知条件得出点P 的轨迹，找到BP 取得最小值时，点P 的位置. 29．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知cos sin c B b C =.（1）求角B ；（2）若4,c D =为边BC 的中点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）4B π=；（2）8.【分析】（1）利用正弦定理边化角和同角公式可求得结果；（2）在ABD △中，根据余弦定理可求得BD =，再根据三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）因为cos sin c B b C =，所以sin cos sin sin C B B C =，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos sin B B =，即.因为0B π<<，所以4B π=.（2）在ABD △中，4,4AB AD ABD π==∠=.由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，则2816242BD BD =+-⨯⨯⨯，即280BD -+=，解得BD =.故ABC 的面积为.【点睛】关键点点睛：第（1）问利用正弦定理边化角是解题关键，第（2）问在ABD △中，根据余弦定理求出BD 是解题关键.30．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A C a c =. （1）求C 的大小；（2）如果6a b +=，ABC S =c 的值.【答案】（1）3C π=；（2）c =.【分析】（1）利用正弦定理边角互化，可得C 的大小；（2）利用三角形的面积公式求出ab ，利用余弦定理可得c 的值．【详解】（1）由正弦定理，sin A C a c=可化为，即tan C =又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由ABC S =1sin 2ab C =8ab ∴=. 由余弦定理，得22222cos ()22cos 3c a b ab C a b ab ab π=+-=+--22()363812a b ab =+-=-⨯=∴c =.31．已知ABC 中，角，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .（1）求的大小；（2）若3cos 5B =，5BC =，17BD BA =，求CD 的长.【答案】（1）π4A =；（2）CD =【分析】（1）由正弦定理得，再由，代入得，可求得的大小；（2）由正弦定理，求得AC =7AB =，1BD =，利用余弦定理求得答案.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得，又，所以即，整理得，因为sin 0C ≠可得cos sin A A =，又0A π<<， 所以π4A =； （2）在ABC中，4sin 5B ==，由4sin sin 5AC BC AC B A =⇒=，解得AC = 又因为，所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =， 由17BD BA =得17BD BA =，所以1BD =， 所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.【点睛】 关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围. 32．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c，a =3b =，sin 2sin C A =. （1）求c 的值；（2）求sin A 的值.【答案】（1）2.. 【分析】（1）已知sin 2sin C A =，根据正弦定理可得2c a =，即求c 的值；（2）根据余弦定理求出cos A ，根据平方关系式求sin A ，得到结果.【详解】（1）由正弦定理得sin 2sin C c a a A===（2）由（1）知c =又因为a =3b =，由余弦定理得222cos2b c a A bc +-===，又因为0A π<<，所以sin 5A =. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，解题方法如下：（1）根据正弦定理，结合题中条件，建立等量关系式，求得结果；（2）结合（1）的结论，得到c =cos A ，根据平方关系式求sin A .33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角A 的大小；（2）若点D 是BC 的中点，且AD =，求△ABC 的面积的最大值.【答案】（1）23π；（2）【分析】（1）由正弦定理的角化边公式化简得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理解出角的大小；（2）利用1()2AD AB AC =+两边平方得到2221()4AD AB AC AB AC =+-⋅,再利用基本不等式得出最大值.【详解】（1）由题意得 222,b c a bc ∴+-=-()1cos ,0,2A A π∴=-∈，2.3A π∴= （2）1()2AD AB AC =+ 2221(2)4AD AB AC AB AC =++⋅221()4AB AC AB AC =+-⋅ 12(2)4AB AC AB AC ∴≥⋅-⋅,当且仅当AB AC =时，等号成立. 8,AB AC ∴⋅≤故△ABC 的面积的最大值是【点睛】用三角形中线向量进行转化是解题关键.34．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若(2)cos cos b c A a C +=- （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积【答案】（1）23π；（2【分析】（1）由正弦定理将边化成角，再根据和角公式化简即可；（2）由余弦定理代入数据，求出4bc =，再由面积公式求解即可.【详解】（1）根据正弦定理得2sin cos (sin cos cos sin )B A A C A C ∴=-+即2sin cos sin()sin B A A C B =-+=- 又1sin 0,cos 2B A >=- 又20,3A A ππ<<∴=； （2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅则222()22cos 3b c bc bc π=+--⋅11216222bc bc ⎛⎫∴=--⋅- ⎪⎝⎭4bc ∴=11sin 422∴=⋅=⨯=ABC S bc A 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用，涉及到三角形面积公式，属于中档题.35．ABC 的内角，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos2A a C c =． （Ⅰ）求；（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =，求AD ．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）AD =. 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化可得sin cos 2A A =，再利用二倍角公式即可求解. （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，根据3ABD ADC SS =可得12h h =，从而确定AD 是ABC 角的内角平分线，然后由34ABD ABC S S =△△，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）因为sin cos 2A a C c =， 由正弦定理得sin sin sin cos2A A C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos 2A A =， 所以，因为，所以cos 02A ≠， 所以，即26A π=，所以3A π=． （Ⅱ）设ABD △的AB 边上的高为1h ，ADC 的AC 边上的高为2h ，因为3ABD ADC S S =，3c =，1b =， 所以1211322c h b h ⋅=⨯⋅， 所以12h h =，AD 是ABC 角的内角平分线，所以π6BAD ∠=， 因为3ABD ADC S S =，可知34ABD ABC S S =△△， 所以，所以AD =． 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是ABC 角的内角平分线，考查了运算能力.36．ABC 中，内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos (2)cos B c A =. （1）求角的大小；（2）若2a =，b =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2或【分析】（1)2sin cos A B C A +=，然后根据A B C π+=-得出，最后根据sin 0C ≠以及0A π<<即可得出结果；（2）本题首先可根据正弦定理求出3B π=或23π，然后求出角C 的大小，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.【详解】（1cos (2)cos B c A =，cos (2sin )cos A B C B A =-，)2sin cos A B C A +=，因为A B C π+=-，所以，因为sin 0C ≠，0A π<<，所以cos 2A =，6A π=.（2）因为2a =，b =6A π=，所以，即，解得sin B =，3B π=或23π，若3B π=，则2C π=，1=sin 2ABC S ab C △=若23B π=，则6C π=，1=sin 2ABC S ab C △=故ABC 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理边角互化的应用以及解三角形面积公式，考查两角和的正弦公式，正弦公式，解三角形面积公式1=sin 2S ab C ，考查计算能力，是中档题. 37．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知.（1）求的值；（2）若1cos 6B =，2b =，求c 的值. 【答案】（1）3；（2）2.【分析】（1）由题中条件，根据正弦定理，将原式化简整理，即可得出结果；（2）由（1）的结果，结合正弦定理，得到3c a =，再由余弦定理，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，则，即sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A B A B B C B C +=+，即，即sin 3sin C A =，∴.（2）∵，∴3c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得：22149236a a a a =+-⨯⨯， 解得23a =， ∴32c a ==.38．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222b c a +=+，（1）求sin A ；（2）若ABC 外接圆的面积为16π，求边长a ．【答案】（1）1sin 2A =；（2）4a =． 【分析】（1）由题中条件，根据余弦定理，求出cos A ，进而可求出sin A ；（2）根据题中条件，先求出外接圆半径，再由正弦定理，即可求出结果.【详解】（1）由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-又222b c a +=+，∴2cos bc A =，∴cos A =，又为三角形ABC 的内角，所以sin 12A ==；（2）∵ABC 外接圆的面积为16π，设该圆半径为R ，则216R ππ=，∴4R =， 由正弦定理得：28sin a R A==，所以8sin 4a A ==.四、填空题39．在ABC 中，若，则ABC 是________三角形．【答案】等腰直角【分析】根据正弦定理，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由正弦定理可知：，因为，所以，由，当且仅当时取等号，即a b A B =⇒=，有2sin 2C ≥，所以，而，所以，π2C =，因此ABC 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角40．在ABC 中，内角，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若()cos()cos sin a B C A C a -=-，则A =_______. 【答案】3π 【分析】先利用三角恒等变换，将原式化为，根据正弦定理，得到sin A A =，进而可求出结果.【详解】由()cos()cos sin a B C A C a -=-得cos()cos sin cos a B C a A C A -+=，则cos()cos()sin cos a B C a B C C A --+=，则即，由正弦定理可得：，又角，B ，C 为三角形内角，所以()0A B C π∈,,,，则sin A A =，即tan A =3A π=. 故答案为：3π. 41．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）.在非直角ABC 中，a ，b ，c 为内角，B ，C 所对应的三边，若3a =，且()cos a c B C =，则ABC 的面积最大时，c =______.【答案】3【分析】先利用正弦定理将边化为角，化简整理得b =，带入面积公式，配方可得最值．【详解】解：()cos a c B C =，()sin sin cos A C B C ∴=+， ，， ABC 非直角三角形，cos 0C ∴≠，，即b =，，当且仅当29c =，即3c =时，S 有最大值.故答案为：3．【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，注意三角形内角和的应用．五、双空题42．如图，设ABC 的内角、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若点D 是ABC 外一点，1CD =，3AD =，则当D ∠=______时，四边形ABCD 的面积的最大值为____________【答案】56π 32+【分析】利用正弦定理边角互化结合B 的取值范围可求得3B π∠=，可判断出ABC 为等边三角形，利用余弦定理求得2106cos AC θ=-，利用三角形的面积公式可得出四边形ABCD 的面积关于θ的表达式，利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得四边形ABCD 面积的最大值及其对应的θ的值，即可得解.。

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题06解三角形之判断三角形形状和边角证明类问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2a b c b c a bc +++-=，那么ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】B【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果.【详解】在ABC 中，()()()2222222a b c b c a b c a b c a bc bc +++-=+-=+-+=，2220b c a ∴+-=，即222b c a +=，则ABC 为直角三角形，故选：B.2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3．在ABC 中，1cos b cA c++=，则三角形的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形【答案】A【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到222c b a =+，进而得到ABC 的形状为直角三角形.二、基础知识过关4．ABC ∆中，sin sin A B >是a b >的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB c =，AC b =，BC a =，则下列关系不成立的是（）A ．cos a cB =⋅B ．tan tan 1A B ⋅=C ．cos b c A =⋅D ．tan a b B=6．ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若ABC 是锐角三角形,则（）A ．sin cos AB <B ．tan tan 1A B >C ．cos()0A B +>D ．sin()sin A B C+>二、填空题7．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos bA c=，则ABC 的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．8．ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足2cos a b C =，则此三角形的形状是_____.【答案】等腰三角形【分析】利用正弦定理边角互化，由π()A B C =-+结合三角函数和差公式和角的范围即可得B C =，即可得到结果.【详解】因为2cos a b C =，所以由正弦定理可得sin 2sin cos A B C =，又在ABC 中π()A B C =-+,所以sin sin()sin cos sin cos 2sin cos A B C B C C B B C =+=+=，所以sin cos sin cos 0C B B C -=即sin()0C B -=，由,(0,π)B C ∈，故B C =，则此三角形的形状是等腰三角形，故答案为：等腰三角形四、解题技巧实战1．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(cos cos )a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状；2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB⋅+⋅=⋅(1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2tan tan cos cos A BA B B A+=+．（1）证明：2a b c +=；4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：2sin a bc C--=.1．（2022·高三课时练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos cos a A b B c C +=，判断ABC 的形状．2．（2022春·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b c =sin cos b A B =．(1)判断ABC 的形状；(2)若O 为ABC 所在平面内一点，且O ，C 在直线AB 的异侧，22OA OB ==，求OC 的最大值．五、跟踪训练达标θ32在AOB 中，由正弦定理可知：sin AB 由余弦定理可知，2cos OB OBA ∠=∴233sin cos 4AB OBC AB AB θ-∠=-=∴在OBC △中，由余弦定理可得：2222cos OC OB BC OB BC 3．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（1）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222b c a bc +=+，tan tan tan A B A B ++，判断ABC 的形状；（2）在ABC 中，120,B AB == A 的平分线AD =，求AC 的长.2sin 2ADB ∠∴=，由题意知060ADB ∠<< 4．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．(1)若aa bba b c+=++，判断ABC 的形状；(2)若ABC 不是钝角三角形，求ac的取值范围．5．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ (1)若cos cos A Bb a=，判断ABC 的形状并说明理由；(2)若ABC 是锐角三角形，求sin C 的取值范围.6．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明；(2)若a b ¹，求sin sin sin A B C ++的取值范围．7．（河北·模拟预测）在△ABC 中，()12cos c b A =+，求证：2A B =.所以A B B -=或180A B B -+=(舍)，所以2A B =8．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．9．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，求证：（1）()()222222tan tan 0a b c A a b c B --+-+=；（2）2222cos 2cos 211A B a b a b-=-.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）根据余弦定理将2222222cos ,2cos bc A ac B a b c a b c ==---+-代入左式，整理结合正弦定理，即可证明等式；（2）用二倍角公式将cos2,cos2A B 转化为sin ,sin A B ，再由正弦定理，即可证明等式.10．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，sin sin sin sin a b C B c A B--=+.(1)求A ；(2)若33c b =，证明：2c b =.11．（2023·高三课时练习）在ABC 中，22sin cos 222+=(1)求B 的大小；(2))2a c b +=，证明：a c =.12．（2020春·山东济南·高三统考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点.（1）证明：CD =.（2）已知4a =，6b =，4CD =，求ABC 的面积.。

角化边边化角规则
角化边边化角规则是几何学中常用的转换方法，它指的是将角变
为边，或将边变为角的过程。

这种规则虽然简单易懂，但在实际应用
中却有着非常重要的意义。

角化边，就是将一个角通过作出一条垂线，将其转化为两条相邻
边的夹角。

这种方法在解决三角形相关问题时非常常见。

例如，当我
们解决一个三角形的面积时，往往需要通过角化边的方法将其转化为
两个已知直线段的乘积。

同样，当我们需要求出一个三角形内某个角
的度数时，也可以通过角化边的方法将其转化为两条直线段的比值。

边化角，则是将两条边的夹角通过延长其中一条边，形成一个新
的角度。

这种方法适用于解决一些与直线相关的问题。

例如，当我们
需要判断两条线段是否垂直时，可以通过边化角的方法将两个角度转
化为两个线段的比值，从而得出结论。

同样，当我们需要求出两条线
段之间的夹角时，也可以通过边化角的方法将其转化为两个头端点的
坐标，再通过向量运算求解。

同时，角化边边化角规则也具有一定的指导意义。

它告诉我们在
解决几何问题时，不一定要固守传统的方法，而可以通过合理运用规则，将问题转化为我们更加熟悉、便于处理的形式。

因此，在做题时，我们应该灵活运用规则，利用几何学的基本知识与技巧，更好地解决
问题。

总之，角化边边化角规则是几何学中一个非常重要的转化方法。

在解决几何问题时，合理运用这一规则，不仅可以简化问题难度，还能提高我们的解题效率。

在学习和应用中，我们需要加强练习，熟练掌握相关技巧，以此来提高自己的几何学水平。

高中数学《三角函数与解三角形》期末考知识点一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅， 所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）ABCD【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-．由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．7．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】 【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin sin 022A A A A A +==所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 1232222s a b c bc A ⎛-=+-=+⨯= ⎝⎭所以a =所以222232cos22a c bBac+-+-===因为0,2Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4Bπ=故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.9．定义在R上的函数()f x既是偶函数又是周期函数，若()f x的最小正周期是π，且当π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sinf x x=，则5π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A．12-BC．D．12【答案】B【解析】分析：要求53fπ⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sinf x x=来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f xQ的最小正周期是π552333f f fππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f xQ是偶函数33f fππ⎛⎫⎛⎫∴-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f fππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sinf x x=，则5sin3332f fπππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．10．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.11．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ） A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】1sin 1sin2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C12．已知ππ43πsin()cos(),0,322ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（ ）A ．5B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin cos sin sin cos 22225ααααα++=+=-433sin 65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.13．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.14．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r代入22=,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min9355OP ==u u u r故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.15．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.16．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.17．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．18．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．19．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A．1) B1 C1 D．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.20．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．。

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略： (1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解； (2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．[典例] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝2π3，a ＝3c ，则cb ＝______.[思路点拨]本题条件涉及三角形边、角的数量关系，结论是求边比问题，必然通过解三角形来处理．注意正弦定理和余弦定理的灵活应用．[方法演示]法一：角化边(余弦定理)由余弦定理及a ＝3c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－2c 22bc ＝－12，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法二：边化角(正弦定理)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，∠A ＝2π3得sin A ＝3sin C ＝32，即sin C ＝12. 又角C 是三角形的内角，则∠C ＝π6.又∠A ＝2π3，所以∠B ＝π6，从而有c b ＝sin C sin B ＝1.法三：几何法过点C 作BA 的垂线CD ，交BA 的延长线于点D ，如图，由∠BAC ＝2π3，得∠DAC ＝π3，即在Rt △DAC 中，AD ＝12b ，CD ＝32b .由△BDC 是直角三角形，得CD 2＋BD 2＝BC 2， 即⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a 2. 由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法四：坐标法根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∠CAB ＝2π3，则A (0,0)，B (c,0)，C －b 2，32b .根据两点间距离公式，BC ＝⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a .由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法五：向量法由BC ―→＝AC ―→－AB ―→，得|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→ |2＝|AC ―→|2－2AC ―→·AB ―→＋|AB ―→|2.又由|BC ―→|＝a ＝3c ，得3c 2＝b 2－2bc cos 2π3＋c 2，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)．法六：特殊值法因为a ＝3c ，不妨令c ＝1，所以a ＝3，结合条件∠A ＝2π3，由余弦定理得b ＝1，于是cb ＝1.答案：1 [解题师说]本题法一、法二分别运用了余弦定理和正弦定理，这两种方法(边化角、角化边)是最基本的方法，其本质就是将题中的边、角统一，方便求解；法三运用了三角形的几何性质，回归三角形的本质；法四和法五都是将题中的边和角坐标化、向量化，将几何问题代数化，从而求出结果．易知法五和法一的本质是相同的，因为我们知道余弦定理是可以用向量法证明的．法六是抓住了条件a ＝3c 的本质，这是两个边的比例关系，通过令c ＝1将比例变为了具体数值，便于计算，也体现了基本量的思想．[应用体验]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2， 所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b )sin C2＝12，(a －b )cos C2＝5，则c ＝________.解析：因为(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C2＝5，所以(a ＋b )2(1－cos C )2＝144，①(a －b )2(1＋cos C )2＝25，②由①②得2a 2＋2b 2－4ab cos C2＝169，即a 2＋b 2－2ab cos C ＝169， 由余弦定理得c 2＝169，所以c ＝13. 答案：13三角形中的最值、范围的求法(1)目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．(2)数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围．[典例] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[思路点拨]本题条件为三角形的边角关系式，而问题是求三角形面积的最值，势必要利用三角形的正、余弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换，再利用三角形的几何性质和均值不等式来解决最值问题．[方法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3. 法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，△ABC 的角A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ，则S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3.法四：函数思想 由法三得S ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.答案： 3 [解题师说]上述四种解法，可归为两类：法一、三、四是借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；法二是结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速．不难发现，法三与法四的区别仅是对式子sin B ·sin C 的变形方法不同，两者本质相同． [应用体验]1．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ， 则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)2．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理， 得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝3a 8b ＋b 4a －24≥6－24，当且仅当3a 2＝2b 2时取等号． 故cos C 的最小值为6－24.答案：6－24一、选择题1．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sin π3＝2，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝41－cos 2B 2＋1－cos[2(A ＋B )]2＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6.所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]．2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝0，∴23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 3．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( ) A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255或cos ∠DCB ＝－255.又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以舍去cos ∠DCB ＝－255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，又sin ∠DCB ＝55，由正弦定理得sin ∠DBC ＝CD sin ∠DCB 2＝1010，在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233.4.如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝( )A.223B.24C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin A ，所以BD ＝AD ＝22sin A .因为AD ＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BD sin C ＝BC sin BDC ，得22sin A 32＝4sin 2A，整理得cos A ＝64. 5.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )A.3＋64 km 2B.3－64 km 2C.6＋34km 2D.6－34km 2解析：选D 如图，连接AC ，根据余弦定理可得AC ＝22＋12－2×2×1×12＝＝3，故△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，故△ADC 为等腰三角形，设AD ＝DC ＝x ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3(2－3)．所以所求小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km 2)．6．若钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.22B ．1 C. 2D. 5解析：选D 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.7．在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 为最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2.8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A.334B.34C.332D.32解析：选A 根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，可得a －b ＝c (a －c )a ＋b，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.10.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋32m B ．2 m C ．(1＋3)mD ．(2＋3)m解析：选D 设BC 的长度为x m ，AC 的长度为y m ，则AB 的长度为(y －0.5)m ，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得(y －0.5)2＝y 2＋x 2－2xy ×12，化简得y (x －1)＝x 2－14.因为x >1，所以x －1>0，因此y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥3＋2，当且仅当x －1＝34(x －1)时取等号，即x ＝1＋32时，y 取得最小值2＋3，因此AC最短为(2＋3)m.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736 C.334或213D.334或736解析：选D 由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，可得2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，得A ＝π2，因为C ＝π3，则B ＝π6，又c ＝7，由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝213，由三角形的面积公式知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A ，得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝12，可得a ＝1，b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝334.综上可知，△ABC 的面积为736或334. 12.如图所示，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A.若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，则四边形OACB 面积的最大值是( )A.4＋534B.8＋534 C ．3 D.4＋52 解析：选B 由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ．又b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534. 二、填空题13．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 答案：3214．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝__________.解析：如图，AD 为△ABC ，BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a .又B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a . 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12BC ·AD ， ∴12×23a ×53a ·sin ∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝310＝31010. 答案：31010 15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为__________．解析：由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1.∵0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc .又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.答案：816．在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.又ADsin ∠ACD ＝CD sin A ，所以sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin A sin B＝4. 答案：4。

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题05 三角形中的边角、面积计算问题【典例1】【2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)】V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ． 【思路引导】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果. 解：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈Q ，3A π\=.（2）2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=Q (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：2b c +=Q sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=. 【典例2】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()sin cos bA B A B a=+-+. （1）求A ；（2）若2b =+，求cos B .【思路引导】（1）由正弦定理将边化角，再利用两角和差的正弦公式化简可得；（2）利用正弦定理将边化角，利用三角恒等变换可得sin 4B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而求出角B ，再用两角和的余弦公式计算可得. 【解】（1）由正弦定理得：sin sin cos sin BC C A=+ sin sin sin sin cos B A C A C ∴=+即()sin sin sin sin cos A C A C A C +=+整理，得cos sin sin sin A C A C =因为sin 0C ≠，则cos sin A A = 又()0,A π∈Q ，4A π∴=（2）由正弦定理得：2sin B A C =+2sin 4B π∴=+4B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin cos B B ∴-=sin 42B π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭304B π<<Q ，442B πππ∴-<-<，43B ππ∴-=即43B ππ=+，所以1cos cos cos cos sin sin 43434322224B ππππππ⎛⎫=+=-=-=⎪⎝⎭【典例3】【山东省德州市2019-2020学年高三上学期期末】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①33()b ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【思路引导】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.解：（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-== 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②. 故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2862c c =++，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==【典例4】【2020届广东省中山市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . （1）若cos :cos :cos 2:2:7A B C =，求sin B ；（2）若sin :cos :tan 2:2:7A B A =，试判断ABC ∆的形状. 【思路引导】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2ac =，再利用余弦定理求得cos B 的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.（2）结合已知条件得到sin cos A B =，2tan 7sin A A =，结合A 为锐角，求得π2A B +=，由此证得三角形ABC 是直角三角形.解：（1）∵cos :cos :cos 2:2:7A B C =，∴a b =，222222:2:722b c a a b c bc ab+-+-=，∴22222:2:722c a c ac a -=，∴224720a ac c --=，∴()()420a c a c +-=， ∴2a c =或4c a =-（舍去），∴2221cos 24a cb B ac +-==，∴sin B ==. （2）∵sin :cos :tan 2:2:7A B A =，∴sin cos A B =，2tan 7sin A A =， ∴2A B π+=或2A B π-=，2cos 07A =>，A 为锐角.∴2A B π-=（舍去），∴2A B π+=，∴ABC ∆为直角三角形.【典例5】【2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆b ，c 的值；（2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围. 【思路引导】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cos A 、sin A 的值； （1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b 、c 的值； （2）利用正弦定理和余弦定理，结合角C 为钝角，求出k 的取值范围． 解：△ABC 中，4acosA ＝cos cos c B b C +，∴4sinAcosA ＝sin cos sin cos C B B C +＝sin （C +B ）＝sin A ，∴cos A 14=，∴sin A ==； （1）a ＝4，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 212-bc＝16①； 又△ABC 的面积为：S△ABC=1sin 2bc A12=bc∴bc ＝8②；由①②组成方程组，解得b ＝4，c ＝2或b ＝2，c ＝4； （2）当sin B ＝sin k C （k ＞0），b ＝kc ， ∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ＝（kc ）2+c 2﹣2kc •c •14=（k 212-k +1）c 2；又C 为钝角，则a 2+b 2＜c 2， 即（k 212-k +1）+k 2＜1，解得0＜k 14＜；所以k 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭． 【典例6】【2020届湖南省湘潭市高三模拟考试】ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,C A =4,a =6c =.（1）求b ；（2）求ABC V 内切圆的半径. 【思路引导】（1）由2,C A =得2cos c a A =，即可计算出cos A ，再由余弦定理计算出边b . （2）由面积公式()12ABC S a b c r ∆=++（r 为内切圆的半径），及1sin 2ABC S bc A ∆=解得. 解：（1）由2C A =，得sin sin 22sin cos C A A A ==， 则2cos c a A =又4,a =6c =，所以3cos 4A =. 由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即231636264b b =+-⨯⨯， 即29200b b -+=，解得4b =或5.若4,b =4,a =2C A =， 则ABC V 为等腰直角三角形，与6c =矛盾，舍去，故5b =.（2）当5b =时，ABC V 的面积为1sin 24bc A =，则ABC V 内切圆的半径244562r ==++. 【典例7】【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试】ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2B CbsinasinB +＝． （1）求A ；（2）若23b c BAC ∠＝，＝，平分线AD 交BC 于点D ，求AD 的长． 【思路引导】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinB ≠0，可得2B CsinsinA +＝，利用三角形内角和化简，进而可求A 的值（2）由已知利用三角形的面积公式可得31422AD AD +＝，即可求解. 解：如图：（1）2B CbsinasinB +Q ＝， ∴由正弦定理可得2B CsinBsin sinAsinB +＝， 0sinB ≠Q ，2B Csin sinA +∴＝，180A B C ++︒Q ＝， sin cos 22B C A +∴＝，2sin cos 222A A A cos ∴=，02A cos ≠Q ，1sin 22A ∴=，60A ∴︒＝．（2）2360b c A ︒Q =，=，=，12ABC S b c sinA ∴⋅⋅V ＝， 133024ABD S b AD sin AD ⋅⋅︒V ＝＝，113022ACD S b AD sin AD ⋅⋅︒V ＝＝，∴由3142AD AD +，可得AD ．1.【2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a b c <<，sin 2A b=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a =b =c 及ABC ∆的面积.【思路引导】（12sin sin A B A =，再由a b c <<得B C <，根据三角形的内角的范围可求得角B 的大小；（2）根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⋅建立关于c 的方程，解之可得c ，再根据三角形的面积公式可求得三角形的面积.解：（Ⅰ）sin 2A b=Q ，2sin b A =2sin sin A B A =，又0A Q π<<，sin 0A ∴>，sin B ∴=， a b c <<Q ，B C ∴<，所以02B π<<，故4B π=.（Ⅱ）a =Q ，b =2222c c =+-，即2230c c --=, 解得3c =或1c =-（舍去），故3c =.所以113sin 3222ABC S ac B ∆===. 2.【天津市和平区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【思路引导】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值. （2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又cos C =sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果.解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =,又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=,解得cos 5C =.（2）由（1）知sin 5C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+314525=+⋅=3.【2020届河南省高三上学年期末】a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知3a =，sin sin sin c C A b B =+，且60B =︒.（1）求ABC ∆的面积；（2）若D ，E 是BC 边上的三等分点，求sin DAE ∠. 【思路引导】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得c ，根据三角形面积公式求得三角形ABC 的面积. （2）首先利用余弦定理求得AD ，求得b ，判断出AC AD =，由此证得AE CD ⊥，解直角三角形求得sin DAE ∠.解：（1）∵sin sin sin c C A b B =+，∴由正弦定理得222c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-.又60B =︒，∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-，∴4c =，∴ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==（2）设D 靠近点B ，则1BD DE EC ===.在ABD ∆中，由余弦定理，得AD ==又b =AC AD =.∵DE EC =，∴AE CD ⊥，故sin DE DAE AD ∠==.4．【福建省福州市2019-2020学年高三上学期期末质量检测】 在ABC ∆中，1,AC BC = （1）若150A =︒，求cos B ；（2）D 为AB 边上一点，且22BD AD CD ==，求ABC ∆的面积． 【思路引导】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sin B ，再利用同角三角函数基本关系式可求出cos B ； (2)根据题意知ACD ∆为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD ∆为等边三角形可得60A =︒，从而求出ABC ∆的面积．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理及题设得sin sin AC BC B A=，故1sin B =，解得sin B = 又030B ︒<<︒，所以cos 14B ==. （2）设AD CD x ==，则2BD x =．在ABC ∆中，由余弦定理得， 2`222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即27916cos x x A =+-，①在等腰ACD ∆中，有112cos 2ACA AD x ==，② 联立①②，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．解法二：（1）同解法一．（2）设AD x =，则,2,CD x BD x == 因为ADC BDC ∠=π-∠， 所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理得，得22222472142x x x x x +--=-，所以21x =，解得1x =或1x =-（舍去）． 所以ACD ∆为等边三角形，所以60A =︒，所以11sin 31sin 6022ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯︒=．5.【2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末】cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A C b A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC∆的面积.【思路引导】无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积．在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.cos sin )sin sin B C A C B -=.由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin sin sin B C C B =.由0C π<<，得sin 0C ≠.所以sin B B =.又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan B =又0B π<<，得23B π=.由余弦定理及b =得22222cos3a c ac π=+-， 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”.解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C ++=.又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以有2cos sin sin 0B C C +=.因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠.从而有1cos 2B =-.又(0,)B π∈，所以23B π=由余弦定理及b =得22222cos 3a c ac π=+- 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以11sin 422ABC S ac B ==⨯=V在横线上填写“sin sin 2A C b A +=”解：由正弦定理，得sin sin sin2B B A A π-=. 由0A π<<，得sin A θ≠，所以sin 2B B =由二倍角公式，得2sin cos 222B B B =.由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22B =.所以23B π=，即23B π=.由余弦定理及b =22222cos3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.所以1sin 2ABC S ac B =△1422=⨯⨯=6.【2020届福建省莆田市（第一联盟体)上学期高三联考】在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 2sin cos A B c b B A b-=. （1）求A ；（2）设2AC =，点D 在AB 上，且3AD DB =，若BCD V ，求BC 的长.【思路引导】(1)由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简即可求解；(2)由题意得出ABC ∆的面积，由三角形面积公式得出8c =，再由余弦定理求出BC 的长. 解：（1）∵sin cos 2sin cos A B c b B A b -=，∴sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B-= ∴sin cos 2sin sin cos A B C B A =- ∴sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-∴sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=∴()sin 2sin cos A B C A +=∴sin 2sin cos C C A =又∵()0C π∈，，∴sin 0C ≠ ∴1cos 2A =，且()0A π∈，，∴3A π= （2）∵3AD DB =，∴4ABC BDC S S =V V∵BDC S =V ABC S =V 2AC =∴1sin 2bc A =122c ⨯=∴8c =∴2222cos a b c bc A =+- ∴2644282cos3a π=+-⨯⨯∴a =.7.【2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2)22cos()sin A C A C A +=++. （1）当sin 2sin B A =时，求cos A 的值；（2）若D 为AC 的中点，且4,AC =2BD =，求ABC V 的周长.【思路引导】（1）利用三角恒等变换将sin(2)22cos()sin A C A C A+=++化简为sin 2sin C A =，再由正弦定理将角化边，最后利用余弦定理即可求出cos A 的值.（2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-，在BDC ∆和BDA ∆中，分别利用余弦定理求出边a ，即可求出三角形的周长.解：解：（1）由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++， sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+，sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =，sin 2sin C A ∴=，由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =Q 2b a ∴=. 则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=222(2)(2)222a a a a a +-=⨯⨯78=. （2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-.在BDC V 和BDA V 中，利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅， 2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-，结合（1）可得22222222cos a α=+-⨯⨯，222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-，两式相加可得2516a =，即5a =，故ABC V 的周长2445l a a =++=+. 8.【2020年1月辽宁省沈阳市一模】ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 7a B b A +=，sin2sin A A =. （1）求A 及a ；（2）若2b c -=，求BC 边上的高.【思路引导】（1）根据正弦定理化简可得a ；根据二倍角正弦公式化简可得A ；（2）先根据余弦定理求得bc ，再根据三角形面积公式求BC 边上的高.解：（1）cos cos sin cos sin cos sin a B b A A B B A C +=∴+=Qsin sin C C a ∴=∴= 1sin 2sin 2sin cos sin cos (0,)23A A A A A A A A ππ=∴=∴=∈∴=Q Q ； （2）由余弦定理得2222222cos 7,7(),74,3a b c bc A b c bc b c bc bc bc =+-∴=+-=-+∴=+=, 设BC 边上的高为h .1111sin 3222422414ABC ABC S bc A S ah h ∴==⨯⨯==∴==V V Q .即BC 9.【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D为边BC 的中点，且AD =（1）求A ；（2）若2b c =，求ABC ∆的面积.【思路引导】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A ； (2)由AD 为ABC ∆的中线得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，同时平方可得2228c b bc =++，与2b c =联立解出b ，c 的值，代入三角形面积公式即可得解. 解：（1）由()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，可得222a b bc c -+=， 由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， 所以3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r， 两边同时平方可得22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故2228c b bc =++.因为2b c =，所以2c =，4b =.所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 10.【河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高三12月联考】在ABC ∆中，10AB AC +=. （1）当1cos ,39ACB AC ∠=-=时，求sin ABC ∠的值；（2）当16,cos 3BC BAC =∠=时，求ABC ∆的面积. 【思路引导】（1）直接由1cos 9ACB ∠=-求出sin ACB ∠= （2）由1cos 3BAC ∠=求出sin BAC ∠，再利用余弦定理可求AB AC ⋅，然后代入三角形面积公式即可求解． 解：（1）因10,3,7AB AC AC AB +==∴=1cos ,sin 99ACB ACB ∠=-∴∠=，由正弦定理可得sin sin sin 9,37ABC ACB ABC AC AB ∠∠∠=∴=，sin 21ABC ∠=∴.（2）1cos ,sin 3BAC BAC ∠=∴∠=， 10AB AC +=Q 由余弦定理22262cos AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，即()2283BC AB AC AB AC =+-⋅，24AB AC ∴⋅=，1in 122ABC S AB ACs BAC ∆∴=⋅∠==11.【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin B C；(2)若AD ＝1，DC，求BD 和AC 的长． 思路引导：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.解：（1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠. （2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，DC =， ∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅ 22223cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，223x -=1x =， 即1AC =．12.【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测】已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =，且sin cos cos sin sin sin A C A C C A c b a a b++=+--. （1）求ABC V 外接圆的半径；（2）若3c =，求ABC V 的面积.【思路引导】（1）根据正余弦定理进行边角互化即可求解；（2）利用余弦定理建立等式，求解边长即可得出面积.解：（1）依题意，sin(),sin sin A C c b a C A a b ++-=+-sin 1sin sin B c C A a b=-+-， 由正弦定理得1b c c a a b =-+-，整理得222b c a bc +-=-， 所以222cos 2b c a A bc+-=12=-，因为0A π<<，所以23A π=，故所求外接圆半径2sin a r A ===；（2）因为a =3,c =23A π=，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2213923cos 3b b π=+-⨯⨯⨯，即2340b b +-=，解得1b =或4b =-（舍去），所以1sin 2S bc A =1132=⨯⨯=.。

浙江省２018版高考数学一轮复习专题05 解三角形中的边角转换特色训练编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(浙江省２018版高考数学一轮复习专题05 解三角形中的边角转换特色训练)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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五 、三角形中的边角转换一、选择题1.【201８届天津市南开中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中, 2cos 22B a c c+= （,,a b c 分别为角,,A B C 的对边),则ABC ∆的形状为（ ).A 直角三角形 .B 等边三角形 .C 等腰三角形 .D 等腰三角形或直角三角形【答案】A2．【2０18届陕西省西安中学高三1０月月考】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2B A =， 1a =, 3b =,则c =( ）A. 1或2 B ． 2 C 。

2 D. 1 【答案】Ｂ【解析】∵2B A =， 1a =， 3b =, ∴由正弦定理a b sinA sinB =得： 133322sinA sinB sin A sinAcosA===， ∴32cosA =, 由余弦定理得： 2222a b c bccosA =+-,即2133c c =+-, 解得：c=2或c=1(经检验不合题意,舍去)， 则c=2。

故选:B 。

３．【2018届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】在ABC ∆中， 4B π=,若22b =ABC ∆面积的最大值是( ）Ａ。

B ．。

【答案】D得4sin 4sin a A c C ==，,∴．又()sin sin sin sin πA C A A B =--, sin sin A C 取得最大值故选D ．4.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】在锐角ABC ∆中,角A,B,C 所对角为ａ，b ，c.若2sin b a B =,则角A 等于Ａ。

专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式sin a b Asin b A a ba b a b a b解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C ．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。

这时有且只有一解。

问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间 0, 内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。

题设三角形中，已知一个角A 和两个边b a ,，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母A 第二步：标斜边（非对角边）b 第三步：画角的高，然后观察（A b a sin ,）易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.C ．若222222a bb c a a c b b a，则ABC 为等腰三角形D ．若ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C1．在ABC 中，已知3cos 5A ，sinB a ，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（）A ．40,5B ．30,{1}5C ．40,{1}5D ．4,152．在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，有如下判断，其中正确的判断是（）A ．若sin 2sin 2AB ，则ABC 为等腰直角三角形B ．若sin cos a b C c B ，则π4CC ．若12,10,60a b B ，则符合条件的ABC 有两个D ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a 恒成立3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，以下说法中正确的是（）A ．若AB ，则sin sin A B B ．若π8,10,4a b A，则符合条件的三角形有一个C ．若4,5,6a b c ，则ABC 为钝角三角形D ．若21sin222A b c ，则ABC 直角三角形4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（）A ．若AB ，则sin sin A BB ．若30A ，4b ，3a ，则ABC 有两解C ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c D ．若sin 2sin 2A B ，则此三角形为等腰三角形5．对于△ABC ，有以下判断，其中正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若A B ，则sin sin A BC ．若9a ，10b ，60A ，则符合条件的三角形有两个D ．若222sin sin sin A B C ，则△ABC 是锐角三角形sin2A =sin2B 《正弦定理》①正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ②变形：acA C c b CB b a B A sin sin ,sin sin ,sin sin ③变形：C B A c b a sin :sin :sin :: ④变形：CcB b A aC B A c b a sin sin sin sin sin sin⑤变形：B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin 《余弦定理》①余弦定理：Cab c b a B ac b c a A bc a c b cos 2,cos 2,cos 2222222222 ②变形：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222核心问题：什么情况下角化边什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《sin 》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《sin 》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①A bc S B ac S C ab S ABC ABC ABC sin 21,sin 21,sin 21 ② rl c b a r S ABC2121 其中l r ,分别为ABC 内切圆半径及ABC 的周长推导：将ABC 分为三个分别以ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③RabcC B A R S ABC 4sin sin sin 22（R 为ABC 外接圆的半径）推导：将A R a sin 2 代入ACB a S ABCsin sin sin 212可得C B A R S ABC sin sin sin 22 将C R c B R b A R a sin 2sin 2,sin 2 ，代入CB A R S ABC sin sin sin 22可得Rabc S ABC 4④CBA c SBC A b S A C B a S ABC ABC ABC sin sin sin 21,sin sin sin 21,sin sin sin 21222 ⑤海伦公式 c p b p a p p S ABC （其中 c b a p 21）推导：根据余弦定理的推论abc b a C 2cos 222222222121cos 121sin 21ab c b a ab C ab C ab S ABCc b a b a c a c b c b a c b a ab 4124122222令 c b a p 21，整理得c p b p a p p S ABC 正规方法：面积公式+基本不等式① C c ab ab c C ab b a C ab c b a C ab S cos 122cos 2cos 2sin 212222222② B b ac ac b B ac c a B ac b c a B ac S cos 122cos 2cos 2sin 212222222③ A a bc bc a A bc c b Abc a c b A bc S cos 122cos 2cos 2sin 212222222易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A =sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”例．对于ABC ，有如下命题：①若sin 2sin 2A B ，则ABC 为等腰三角形；②若sin cos A B ，则ABC 为直角三角形；③若222sin sin cos 1A B C ，则ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是（）易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）解三角形的实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。

解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R .(其中R 为ΔABC 外接圆的半径)⇔a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(边化角)⇔sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R;(角化边)2.余弦定理：cos A =b 2+c 2-a 22bc,cos B =a 2+c 2-b 22ac,cos C =a 2+b 2-c 22ab.⇒a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .3.三角形面积公式：S ΔABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =12a +b +c r r 为三角形ABC 的内切圆半径 4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )⇔C 2=π2-A +B2⇔2C =2π-2(A +B ).5.二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α=2sin αcos α②cos2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α升幂公式：1+cos2α=2cos 2α1-cos2α=2sin 2α 降幂公式：cos 2α=12(1+cos2α)sin 2α=12(1-cos2α)③tan2α=2tan α1−tan 2α.6.辅助角公式a sin x ±b cos x =a 2+b 2sin (x ±φ)，(其中tan φ=ba)；求f (x )=A sin (ωx +φ)+B 解析式A ,B 求法方法一：代数法A +B =f (x )max-A +B =f (x )min方法二：读图法B 表示平衡位置；A 表示振幅ω求法方法一：图中读出周期T ，利用T =2πω求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.φ求法方法一：将最高(低)点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B 求解；方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC 中，D 为CB 的中点，2AD =AC +AB，然后再两边平方，转化成数量关系求解！(常用)8.角平分线如图，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法S ΔABC =S ΔABD +S ΔADC ⇒12AB ×AC ×sin A =12AB ×AD ×sin A 2+12AC ×AD ×sin A2(常用)②内角平分线定理：AB BD =AC DC 或AB AC =BDDC ③边与面积的比值：AB AC =S △ABDS △ADC 9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)①ab ≤a +b2②a 2+b 2≥2ab10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理a =2R sin A ，b =2R sin B ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。

总纲：条件中同时含有 边和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，则都化成边（即“角化边”），或者都化成角（即“边化角”）来处理。

第一阶：典例1（直接使用正余弦定理）：（2013年高考上海卷（理）改编）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22232330a ab b c ++-=,则C cos =典例2：（不能直接使用定理）在ABC ∆中，（1） 已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状（2） 已知B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状第二阶：方法指导：含有x sin 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 ， 角化边。

例3：（2013年高考天津卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 练习3．（2013年高考江西卷（文））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知12cos sin sin sin sin =++B C B B A(1) 求证: ,,a b c 成等差数列; (2) 若C =23π,求a b的值. 方法指导：含有a ,b ,c 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 边化角。

例4．（2013年高考陕西卷（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定练习4．（2013年辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 而且1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab += a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π方法指导：含有x cos 的式子，优先考虑 余弦定理 角化边。

三角函数与解三角形1．三角函数（1)以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、单调性、对称性、周期性．（2）考查三角函数式的化简，三角函数的图象的性质以及平移和伸缩变换． 2．解三角形（1)利用正余弦定理进行三角形边和角的计算，三角形形状的判断、面积的计算，以及有关的参数的范围．（2）考查运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、三角函数 1．公式（1）诱导公式：(2）同角三角函数关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=- （5)降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=2．三角函数性质3．函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响（2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响（3）A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义(2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形 1．正余弦定理（为外接圆半径）； ；，，；，，；；;；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1)已知两角一边,用正弦定理，只有一解．（2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在ABC△中,已知，和角A时，解得情况如下：上表中A为锐角时，，无解．A为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边,用余弦定理，有解时，只有一解．(4）已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）（表示边上的高)；(2）；（3）(为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2217cos 2cos 22cos 12136639πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想， 属于基础题．2．函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A．1BC． D ．3【答案】B【解析】因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令4x πθ=+，则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+,则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-，令f ′(θ)=0,得cos 1θ=-或1cos 2θ=,经典训练题（70分钟）当11cos 2θ-<<时，f ′(θ)<0；1cos 12θ<<时，f ′(θ)>0，所以当1cos 2θ=时，f (θ)取得最大值,此时sin 2θ=，所以()max2f x =，故选B ．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值． 3．已知锐角ϕ满足cos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（） A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】A 【解析】由cos 1ϕϕ-=,知2sin()16πϕ-=，即1sin()62πϕ-=， ∴锐角3πϕ=，故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+, ∴()17sin(2)26f x x π=+，故f(x)是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到，故选A ．【点评】由辅助角公式化简已知条件求锐角ϕ，根据f(x)的函数式，应用二倍角、诱导公式将f(x)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式．4．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)，(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．−√2B ．√2C ．−√3D ．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π,则1ω=, ∴f (x )=2sin (x +φ)，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-,则()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=,故选A ．【点评】本题主要考查三角函数图象，需要利用三角函数的周期性以及对称性进行处理,再结合图象的平移,三角函数的单调性进行解题,本题属于中档题．5．已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx （0ω>，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的命题中正确的是（） A ．函数g (x )是奇函数B ．g (x )的图象关于直线6x π=对称C ．g (x )在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[0,2］ 【答案】B【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意知函数周期为π，则2T ππω==，2ω=，从而()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，g (x )不是奇函数，A 错；g (x )在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递增，C 错;,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[1，2］,D 错；g (x )的图象关于直线π6x =对称，B 对，只有选项B 正确，故选B ．【点评】本题考查三角函数,图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ,b ,c ,若3A π=，b =4，△ABC的面积为3√3,则sin B =（）A BC ．13D 【答案】A【解析】1sin 2S bc A ===c =3，由余弦定理可得2222cos 13ab c bc A =+-=,得a =√13，又由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin 13b A B a ==,故选A ．【点评】本题主要考了三角形的面积公式以及余弦定理公式的运用，属于基础题型．7．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】因为在三角形中,sin cos sin CA B<变形为sin sin cos C B A <， 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +<，化简可得sin cos 0A B <，cos 0B ∴<，所以2B π>,所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．二、填空题．8．已知(0,π)α∈，且有1−2sin 2α=cos 2α，则cos α=_________．【答案】5【解析】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,π)α∈，所以sin 0α≠， 因此由2πsin 2sin cos sin 2cos tan 20,2ααααααα⎛⎫=⇒=⇒=⇒∈ ⎪⎝⎭，而()22sincos 11αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此cos 5α=，故答案为5．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴,终边经过点P (3，4)，则tan π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．【答案】34-【解析】由三角函数的定义可得4sin 5α==，3cos 5α==,因此,3sin cos 325tan 42sin 4cos 52παπααπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+====- ⎪-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为34-．【点评】本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．三、解答题．10．已知函数2()cos 222x x xf x =+．(1)求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2)5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）()2πcos 2sin()2224x x x f x x x x =+-=+=+，令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知,sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4πx ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 2π4x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭,所以函数f(x)的值域为2⎡⎤⎣⎦．(2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>, ∵f(ωx)=√3，2sin()4x πω∴+=,即sin()42x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ， 由于方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解,所以243ππωπ+≥，解得512ω≥， 所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法:（1）将函数化简整理为f(x)=A sin (ωx +φ),再利用三角函数性质求值域；（2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．11．已知函数()2sin 2cos 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2)若0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1123f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 26πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1)递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)3-．【解析】（1）由题意得()21sin 2cos 2cos 2sin 2sin 23222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]20,23x ππ+∈， 令0232x ππ≤+≤，解得,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 令32232x πππ≤+≤，解得7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；令32223x πππ≤+≤，得75,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2）由（1）知1sin 21263f ππββ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为2π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π2,66ππ6β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1π1sin 2632β⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以2,π62ππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2π6β⎛⎫+== ⎪⎝⎭．【点评】三角函数的化简求值的规律总结:1．给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2．给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系； 3．给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）． 12．在四边形ABCD 中,AB //CD ，AD =CD =BD =1． （1）若32AB =，求BC ；(2）若AB =2BC ，求cos BDC ∠．【答案】（1）2BC =；（2）cos 1BDC ∠=．【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，∵CD //AB，∴∠BDC =∠ABD ，在△BCD 中,由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=,2BC =．（2)设BC =x ，则AB =2x ，在△ABD 中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅， 在△BCD 中,22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知,∠BDC =∠ABD ，所以，cos ∠BDC =cos ∠ABD ,即222x x -=，整理可得x2+2x −2=0,因为x >0，解得x =√3−1， 因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==．【点评】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角"或“角化边",变换原则如下:（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角"； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4）代数式变形或者三角恒等变换前置；(5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解;（6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b −c )cos A =acosC．(1）求角A ；（2)若a =√13，b +c =5，求△ABC 的面积． 【答案】（1）π3A =；（2）√3．【解析】（1）在三角形ABC 中，∵(2b −c )cos A =acos C , 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=, 三角形中sin 0B ≠，解得1cos 2A =，A ∈(0，π)，∴π3A =．（2）由余弦定理得2222cos ab c bc A =+-，∵a =√13，b +c =5，∴13=(b +c )2−3cb =52−3bc，化为bc =4，所以三角形ABC 的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=【点评】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用,涉及三角函数恒等变换，属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用．14．已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin (A +B −C )=c sin (B +C )．（1)求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．【答案】（1）π3C =；(2)6+2√3．【解析】（1）∵a sin(A +B −C)=c sin(B +C)，sin sin(π2)sin sin A C C A ∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠,1cos 2C ∴=，0πC <<,π3C ∴=． (2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得c2=12，c =2√3，此时周长为6+2√3．【点评】本题主要考查了三角形的内角及诱导公式在三角形化简中的应用,还考查了三角形的面积公式及余弦定理,属于基础题．15．在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2c sin B =3a sin C ，1cos 3C =． （1）求证：△ABC 为等腰三角形;(2）若△ABC 面积为2√2，D 为AB 中点，求线段CD 的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】(1）由2c sin B =3a sin C ,根据正弦定理可得2cb =3ac ，所以2b =3a ,则32b a =， 又1cos 3C =，根据余弦定理可得222222222913144cos 332322a a c a c abc C ab a a a +--+-====⋅，则222134aa c =-,所以32c a b ==, 因此△ABC 为等腰三角形．（2）因为角C是三角形内角，所以sin C>0，则sin C==因为△ABC面积为2√2，所以113sin222ab C a a==⋅a=2，所以b=c=3，又D为AB中点，所以cos cosADC BDC∠=-∠，则222222333222332222CD CDCD CD⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，整理得2174CD=,所以CD=．【点评】本题主要考查正余弦定理、三角形的面积公式的综合运用,利用正弦定理进行边角转换等，属于中档题型．16．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c．已知sin cos2Aa C c=．（1)求A；（2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足3ABD ADCS S=△△，求AD．【答案】（1）π3A=；(2）4AD=．【解析】（1）因为sin cos2Aa C c=，由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C=，因为sin C≠0，所以sin cos2AA=，所以2sin cos cos222A A A=,因为0π22A<<，所以cos02A≠，所以1sin22A=，即π26A=，所以π3A=．(2)设△ABD的AB边上的高为ℎ1，△ADC的AC边上的高为ℎ2,因为3ABD ADCS S=△△，c=3，b=1，所以1211322c h b h⋅=⨯⋅,所以ℎ1=ℎ2，AD 是△ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=，因为S△ABD=3S △ADC,可知34ABDABC SS =△△， 所以131sin sin 26423ππAB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以4AD =．【点评】关键点点睛:本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是△ABC 角A 的内角平分线，考查了运算能力．一、选择题．1．已知函数()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为(）A ．221124x y +=B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 4π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移π12个单位得2sin 22sin 21πππ263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2in 4πs 3y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,高频易错题故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin [ω(x +φ)]=sin (ωx +ωφ)，而不是y =sin (ωx +ϕ),考查运算求解能力，是基础题．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________． 【答案】(2√2，2√3)【解析】由sin2sin b aA A=，得b =4cos A ,由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒, 01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos 2A A ︒<<︒⇒<<,cos A <<b =4cos A ∈(2√2，2√3)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．一、选择题．1．如图,角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(）A ．cos(α−β)B ．cos(α+β)C ．sin(α−β)D ．sin(α+β)精准预测题【答案】A【解析】由图可知()cos ,sin A αα,()cos ,sin B ββ， 所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-,故选A ．【点评】本题考查运用向量进行余弦定理的证明，属于基础题型．2．已知()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C【解析】因为()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,利用诱导公式可得()sin 2cos αα-=⨯-，即tan 2α=，所以tantan 1214tan 41231tan 4πta πn πααα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+⋅,故选C ．【点评】本题主要考查诱导公式，正切的两角和差公式的应用，属于基础题．二、解答题． 3．已知函数()22cos 12xf x x =-+． （1）若()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2)若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】(1）；（2）[−1，2]．【解析】（1）()22cos 1cos π2sin 26x f x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，因为()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以πsin 6αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 22ααα-=，所以−3√3sin α=cos α,所以tan 9α=-．(2)f(x)图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数g(x)的图象,所以g(x)的解析式为()()π22sin 26g x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以−1≤g(x)≤2，故g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[−1，2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域,属于中档题． 4．设函数()212coscos 5f x x x x =--．（1)求f(x)的最小正周期和值域;（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=−5，a =√3,求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π,[−4√3+1，4√3+1](2）(3+√3，3√3]． 【解析】（1）()2212coscos 512cos 25f x x x x x x =--=--6cos 221π216x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，πT ∴=，值域为[−4√3+1，4√3+1]．（2）由f(A)=−5，可得212coscos A A A=，因为三角形为锐角△ABC ，sin A A=，即tan A =π3A =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，2π2sin 2sin()3c C B ==-，所以2π12sin sin()2(sin sin )322a b c B B B B B ⎡⎤++=+-=++⎢⎥⎣⎦32(sin cos ))22π6B B B =++=++．因为△ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,π02C <<， 即022π3π02πB B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得π6π2B <<， 所以ππ2π363B <+<sin()16πB <+≤，即3)6πB ++≤，所以周长的取值范围为区间(3+√3，3√3]．【点评】在解三角形的周长范围时,将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域, 求周长的取值范围，是常用解法．。

三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。

考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR =；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=．111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B ．5C ．4D ．252．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．（结果精确到 0.01 千米）．5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <． （1）求角B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求角A 的大小；（2）若23a =，6b c +=，求ABC 的面积．7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直． （1）求ABC 的面积； （2）若7b c +=，求a 的值．1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．1202．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 303．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．6B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ） A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 236．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为3A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ）A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +157．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b cD ．22++≤a b c 8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________．9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c =---，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________．10．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______．11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长； (2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长.13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ．14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B =，求ABC 面积的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a -=，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若333c a b =+，证明：ABC 是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=． (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值．20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =，337AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1B 2C 5D ．33．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，3AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．5．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________． 6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 7．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，360B =︒，223a c ac +=，则b =________．8．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin A C =b ．13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）15．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3318．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。