高中数学竞赛指导(第四讲)

第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ，N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM .欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2. ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ②由②即得①，命题得证.例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ，△OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA .由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK .求证：∠DMA ＝∠CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B CK MN P Q B ′C ′A B CO O O O 123？？C D分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC . 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直例4．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和 M .求证：∠BMO =90°. (第26届IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC ，OK ，MC ，MK ，延长BM 到G .易得∠GMC =∠BAC =∠BNK =∠BMK .而∠COK =2·∠BAC =∠GMC + ∠BMK =180°-∠CMK ，∴∠COK +∠CMK =180°⇒C ，O ，K ，M 四点共圆. 在这个圆中，由OC =OK ⇒ OC =OK ⇒∠OMC =∠OMK . 但∠GMC =∠BMK ， 故∠BMO =90°. (3)判断图形形状例5．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易得∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.此时 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ，∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B=360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.A BO K N CMG A BC D I C I DA I I B同样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. (4)计算例6．正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989㎝2.P 为正方形内一点，且∠OPB =45°，PA :PB =5:14.则PB =__________ (1989，全国初中联赛) 分析：答案是PB =42㎝.怎样得到的呢？连接OA ，OB .易知O ，P ，A ，B 四点共圆，有∠APB =∠AOB =90°. 故PA 2+PB 2=AB 2=1989.由于PA :PB =5:14，可求PB .(5)其他例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断). (1978，全国高中联赛)分析：设△EFG 为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F ，G 两点在正方形的一组对边上. 作正△EFG 的高EK ，易知E ，K ，G ，D 四点共圆⇒∠KDE =∠KGE =60°.同理，∠KAE =60°.故△KAD 也是一个正 三角形，K 必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF 丄AB 时，边长为1，这时边长最小，而面积S =43也最小.当KF 通过B 点时，边长为2·32-，这时边长最大，面积S =23-3也最大.例8．NS 是⊙O 的直径，弦AB 丄NS 于M ，P 为ANB 上异于N 的任一点，PS交AB 于R ，PM 的延长线交⊙O 于Q .求证：RS ＞MQ . (1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP ，NQ ，NR ，NR 的延长线交⊙O 于Q ′.连接MQ ′，SQ ′.易证N ，M ，R ，P 四点共圆，从而，∠SNQ ′=∠MNR =∠MPR =∠SPQ =∠SNQ .根据圆的轴对称性质可知Q 与Q ′关于NS 成轴对称⇒MQ ′=MQ . 又易证M ，S ，Q ′，R 四点共圆，且RS 是这个圆的直径(∠RMS =90°)，MQ ′是一条弦(∠MSQ ′＜90°)，故RS ＞MQ ′.但MQ =MQ ′，所以，RS ＞MQ .练习题1.⊙O 1交⊙O 2 于A ，B 两点，射线O 1A 交⊙O 2 于C 点，射线O 2A 交⊙O 1 于D 点.求证：点A 是△BCD 的内心.(提示：设法证明C ，D ，O 1，B 四点共圆，再证C ，D ，B ，O 2··P O A B C D A BC D E F KG ······四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD.(提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)。

高一数学竞赛指导——多项式问题
凌惠明
【期刊名称】《新高考（高一数学）》
【年(卷),期】2013(000)011
【总页数】3页(P46-48)
【作者】凌惠明
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.略说多项式的应用方法——陕西省大学生高等数学竞赛题系列分析之三 [J], 龚冬保;褚维盘;叶正麟
2.多项式乘法与乘法公式——数学竞赛辅导系列讲座（11） [J], 李小福
3.高中数学竞赛中的多项式问题 [J], 彭广阳;张红玲;李宝毅
4.数学竞赛系列讲座(适合高一)——第四讲函数问题及其解法(二) [J], 冯大学;赖立新
5.由一道数学竞赛题引出的新题──兼议单位根在多项式整除性问题中的应用 [J], 戴月
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数学竞赛完整课程教案高中1. 学生能够掌握数学竞赛中常见的解题技巧和方法；2. 学生能够熟练运用数学知识解决竞赛中的问题；3. 学生能够提升自信心和解决问题的能力。

教学内容：1. 数论2. 代数3. 几何4. 统计教学过程：第一课：数论1. 介绍数论的基本概念和常见的解题技巧；2. 给出一些数论题目并引导学生解决；3. 分析解题思路和方法，引导学生总结经验。

第二课：代数1. 讲解代数的基本知识和解题技巧；2. 给出一些代数题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升解题能力。

第三课：几何1. 引导学生理解几何知识和解题技巧；2. 给出一些几何题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升几何解题能力。

第四课：统计1. 讲解统计知识和解题技巧；2. 给出一些统计题目供学生练习；3. 分析解题思路和方法，帮助学生提升统计解题能力。

第五课：综合练习1. 给出一些综合性的竞赛题目供学生练习；2. 帮助学生分析解题思路和方法；3. 鼓励学生多练习，提高解题速度和准确性。

评价方法：1. 平时的课堂练习；2. 期中和期末的考试；3. 数学竞赛的模拟比赛。

教学资源：1. 数学竞赛教材和习题集；2. 电子教学资源；3. 纸质习题和答案。

教学建议：1. 鼓励学生多练习，勤奋钻研；2. 注重引导学生理解数学知识，而不是死记硬背；3. 鼓励学生互相合作，相互学习。

以上是数学竞赛完整课程教案的高中范本，希朅能对您有所帮助。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

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几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

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2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。

二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。

三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。

四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。

第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。

第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。

第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。

五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。

六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。

七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。

教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。

同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。

希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。

第四讲三角函数性质及其应用赛点直击一、三角函数线及其应用在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A 点,与y轴正向交于B点，并设α角与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在二三象限）于T点，过B点作BS⊥y 轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则sinα＝→MP 的数量，cosα＝→OM 的数量tanα＝→AT 的数量，cotα＝→BS的数量y由单位圆中函数线不难看出：（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；（2）sin α＜α＜tan α , α∈(0,π2) (实质为S ΔOPM＜S 扇形OPA ＜S ΔOAT ) 二、三角函数值1.三角函数的诱导公式(不列出，参照课本)2.八个基本关系平方关系：sin ²α＋cos ²α＝1, tan ²α＋1＝sec ²α, cot ²α＋1＝csc ²α .商的关系：tan α＝sin αcos α , cot α＝cos αsin α .倒数关系：csc α＝1sin α , sec α＝1cos α,cot α＝1tan α.三、三角函数的性质1.正、余弦函数的有界性2.三角函数的单调性3.三角函数的奇偶性4.三角函数的周期性赛题解析【例一】 设x ∈[0,π]，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.解：令x ＝0,π2,π，分别代入cos(sinx)和sin(cosx)，易得: cos(sinx)＞sin(cosx);又当π2＜x ＜π时，0＜sinx ＜1＜π2, －π2＜－1＜cosx ＜0,则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).下面证明当0＜x ＜π2时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证明sin(π2－sinx)＞sin(cosx)因为0＜x ＜π2，则0＜π2－sinx ＜π2,0＜cosx ＜1＜π2.故只需证明：π2－sinx ＞cosx ，即证明：sinx ＋cosx ＜π2,而sinx＋cosx ≤2＜π2成立.(注：最后一步是因为sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)≤2).【例二】 已知x 是第二象限角，且sinx ＋cosx ＝a(|a|≠1)，求下列各式的值： (1)tanx －cotx;(2)1－sinx1＋sinx ＋1－cosx1＋cosx.解：（1）tanx －cotx ＝(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)sinxcosx .根据sinx ＋cosx ＝a ，两边平方得：1＋2sinxcosx ＝a ² , 即有sinxcosx ＝a ²－12. 于是(sinx －cosx)²＝2－a ²又x 是第二象限角，则sinx －cosx ＝2－a ²，因此， tanx －cotx ＝2a 2－a ²a ²－1.(2)1－sinx1＋sinx＋1－cosx 1＋cosx ＝1－sinx －cosx ＋1－cosxsinx＝(sinx －cosx)( sinx ＋cosx ＋1)sinxcosx ＝22－a ²a ＋1.【说明】由sinx ±cosx ＝a 可以推出sinxcosx ＝±a ²－12，并可求出关于sinx,cosx 的任意一个对称式，如sin ³x ＋ cos ³x ,sin 2x cosx ＋cos 2xsinx 等的值.【例三】 求证：ab ≤(asin 2x ＋bcos 2x)(bsin 2x ＋acos 2x)≤(a ＋b)²4(a ,b ＞0).【分析】从中间向左右两侧变形在于消x，联想公式sin²α＋cos²α＝1，可以考虑通过不等变换，凑出sin2x＋cos2x 结构.证明：因为a ,b＞0，且sin2x＋cos2x＝1，则(asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)≤[(asin2x＋bcos2x)＋(bsin2x＋acos2x)2]²＝(a＋b)²4又 (asin2x＋bcos2x)(bsin2x＋acos2x)＝(a²＋b²)sin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)≥2absin2xcos2x＋ab(sin4x＋cos4x)＝ab(sin2x＋cos2x)²＝ab.故原不等式成立.【例四】已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋B,|f(x)|在0≤x≤3π2上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时M最小？并证明之. 【分析】解决一个问题首先应考虑简化，题中函数f(x)可看作函数2sin(2x＋π4)和函数Ax＋B相加而成，2sin(2x＋π4)为静态的，Ax＋B为动态的（相对于f(x)的最值而言），本题主要考虑Ax ＋B 对f(x)的最大值和最小值的影响，借助图像可以使问题分析更直观.解：由函数解析式化简得：f(x)＝2sin(2x ＋π4)＋Ax ＋B.令g(x)＝2sin(2x ＋π4),x ∈[0,3π2];h(x)＝Ax ＋B,x ∈[0,3π2].作出函数h(x)＝Ax ＋B,x ∈[0,3π2]和g(x)＝2sin(2x ＋π4),x ∈[0,3π2]的图像，如图所示当x ＝π8,9π8时，g(x)取得最大值 2.当x ＝5π8时，g(x)取得最小值－ 2.当h(π8)＞0或h(9π8)＞0时，f max ＞2,∴ M ＞ 2.当h(π8)＜0且h(9π8)＜0时，h(5π8)＜0,∴f min ＜－2, ∴ M ＞ 2当h(π8)＝h(9π8)＝0时，f max ＝2, f min ＝－2,∴ M ＝ 2.此时A ＝B ＝0，即A ＝B ＝0时，M 有最小值 2.【例五】 求证：在区间(0,π2)内存在唯一的实数对(c,d)，c,d ∈(0,π2),且c ＜d ，sin(cosc)＝c, cos(sind)＝d 使得成立.【分析】本题实质上是方程sin(cosx)＝x 和cos(sinx)＝x 的解的问题.解：设函数f(x)＝sin(cosx)－x, x ∈[0,π2]，则f(x)在其定义域上是连续函数，任取x 1,x 2∈[0,π2]，使得x 1＜x 2f(x 1)＝sin(cosx 1)－x 1 , f(x 2)＝sin(cosx 2)－x 2 .由于y ＝cosx 在[0,π2]单调递减，则cosx 1＞cosx 2，且cosx 1、cosx 2∈[0,π2]，而y ＝sinx 在[0,π2]上是单调递增的，所以，sin(cosx 1)＞sin(cosx 2).又因x 1＜x 2，则sin(cos x 1)－x 1＞sin(cos x 2)－x 2 ，即 f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在[0,π2]上是减函数.又f(0)＝sin1＞0,f(π2)＝－π2＜0,故f(x)的图像在区间(0,π2)上与x 轴有唯一交点，即存在唯一实数c ∈(0,π2)使得等式sin(cosc)＝c 成立.同理可证明存在唯一实数d ∈(0,π2),使得等式cos(sind)＝d 成立.因为cos(sind)＝d ，所以sin(cos(sind))＝sind. 又sind ∈(0,π2),而在(0,π2)内只有唯一解c 使sin(cosc)＝c 成立，故c ＝sind.当x ＞0时，sinx ＜x 成立，则sind ＜d,于是c ＜d,命题成立.【例六】 设0≤a ≤1,且0≤x ≤π,试证明： (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0 【分析】可以从等式的符号分析入手，考虑到当0≤a ≤1且0≤x ≤π时，sinx ＞0, sin(1－a)x ＞0, 1－a ＞0,所以当12＜a ≤1时，(2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0成立；当0≤a ≤12时，(2a －1)sinx ≤0.故可将所证不等式变形为(1－a)sin(1－a)x ≥(1－2a)sinx ，能否将其转化为某一函数的两函数值关系问题？这一函数是什么？是xsinx ，还是sinxx？ 证明：显然，当0≤x ≤π时，有sinx ≥0, sin(1－a)x ≥0.当a ∈[0,12]且x ＝0时, (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x＝0.下面证明a ∈[0,12]，0＜x ≤π时的情形.定义函数f(x)＝sinx x ,0＜x ≤π,对于任何0＜x ＜x ＋δ≤π2有tanx ≥x 及sin(x ＋δ)＝sinxcos δ＋sin δcosx ≤sinx ＋cosx.则：sinx x －sin(x ＋δ)x ＋δ＝(x ＋δ)sinx －xsin(x ＋δ)x(x ＋δ)≥(x ＋δ)sinx －x(sinx ＋δcosx)x(x ＋δ)＝δcosx(tanx －x)x(x ＋δ)≥0.所以f(x)＝sinx x 在(0,π2)上递减，而sinx 在[π2,π]上递减，故f(x)＝sinx x 在[π2,π]上递减，由此推知对任何x, 0＜x≤π,0≤a ≤12,有 sinx x ≤sin(1－a)x(1－a)x , 得：sinx ≤sin(1－a)x1－a.又(1－a)²＝1－2a ＋a ²＞1－2a ＞0,则 sin(1－a)x 1－a ≤1－a1－2a ·sin(1－a)x.于是 sinx ≤1－a 1－2a ·sin(1－a)x ,即 (2a －1)sinx ＋(1－a)sin(1－a)x ≥0.(本题证明函数f(x)＝sinxx 的单调性用求导数的方法更简单)巩固练习1. 设a ＝xcos θ＋ysin θ,b ＝xsin θ＋ycos θ，当|x|≠|y|≠0时，对任意实数x,y,θ，则有( )A. a ＝b ＝0B. a, b 不同时为零C ．a ≠0且b ≠0 D.a ²＋b ²＝12. 对任意实数x,y ，设a ＝cosx ²＋cosy ²－cosxy ，则a 的取值范围是( )A. [－3,3]B. (－3,3)C. [－1,3)D. (－1,3]3. 平面上有两个定点A,B ，任意放置4个点C 1,C 2,C 3,C 4，且与A,B 两点不重合，若存在点C i ,C j (i ≠j)，使不等式|sin∠AC i B －sin ∠AC j B|≤13成立，则称(C i ,C j )为一个点对，那么这样的点对( )A. 不存在B.至少有一个C.至多有一个D.恰有一个4. 若θ∈(π2,3π4)，sin2θ＝a,则sin θ＋cos θ等于( ) A. a ＋1＋a ²－a B. －a －1C. a ＋1－a ²－aD. a ＋15. 对0≤θ≤π2，使cos ²θ＋2msin θ－2m －2＜0成立的实数m 的取值范围是( )A. 1－2＜m ＜1＋ 2B. －12＜m ＜1 C. m ＞－12D. 0＜m ＜16. 已知锐角α满足cos α＝35, cos(α＋β)＝－513，则β一定位于( )A. 第一象限角B.第一或第三象限角C.第三象限角D.第一或第四象限角7. 函数y ＝3－sinx 1＋cosx的最小值是( ) A. 1 B. 4 C. 43 D. －438. 若α, β∈(0,π2)，则必定有( ) A. cos(α＋β)＞cos α＋cos βB. cos(α＋β)＜cos α＋cos βC. cos(α＋β)＞sin α＋sin βD. cos(α＋β)＜sin α＋sin β9. 方程sin ²x ＋3a ²cosx －2a ²(3a －2)－1＝0有解，则a 的取值范围是( )A. －12≤a ＜1B. a ＞1或－13＜a ＜12C. －13＜a ＜23D. 12≤a ≤1 10. A 为ΔABC 的一个内角,且sinA ＋cosA ＝712,则ΔABC 是( )A. 钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.正三角形11. 对于任何x ∈(0,π2),则下列结论成立的是( ) A. sin(sinx)＜cosx ＜cos(cosx)B. sin(sinx)＞cosx ＞cos(cosx)C. sin(cosx)＞cosx ＞cos(sinx)D. sin(cosx)＜cosx ＜cos(sinx)12. 当x 在任意两个整数间(包括整数本身)变动时,函数y＝3tan (2k －1)πx 5(k ∈Ζ)至少有两次失去意义,则k 的最小正整数值为( )A. 6B.5C.4D.313. 函数y ＝(sinx ＋1)(cosx ＋1),(－π6≤x ≤π2)的最小值为 .14. y ＝(13)lgcosx 的单调递减区间是 15. y ＝－tanx －1＋16－x ²1－㏒sinx32的定义域是 16. 函数f(x)＝acosx ＋bsinx,其中a,b 为实常数,若存在x 1,x 2,且x 1≠x 2＋k π(k ∈Ζ),使得|f(x 1)|＋|f(x 2)|＝0成立,则函数f(x)的值域为17. 方程sinx ＋cosx ＝－k 在区间[0,π]上有两个不相等实根,则实常数k 的取值范围是18. 如果tan α,tan β是关于x 的一元二次方程x ²＋px ＋q＝0的两根,则 sin(α＋β)cos(α－β)＝ 19. 若α,β,γ是锐角,且cos ²α＋cos ²β＋cos ²γ＝1,则tan αtan βtan γ的最小值等于20. 设A ＝sin(sin 3π8),B ＝sin(cos 3π8), C ＝cos(sin 3π8),D ＝cos(cos 3π8),试比较A,B,C,D 的大小 21. 若整数n 用7除余1、3或4，证明：cos(n 7π－1314π)＋cos(37n π－314π)＋cos(57n π－314π)＝0 22. a,b,A,B 都是实数，若对于一切实数x ，都有f(x)＝1－acosx －bsinx －Acos2x －Bsin2x ≥0.求证： a ²＋b ²≤2 , A ²＋B ²≤1.参考答案：1~5:B B B D C 6~10:B C B A A 11 ~12:D A 13.2＋34 14.[2k π,2k π＋π2),k ∈Ζ15.[－4,－5π4)∪(π2,2π3)∪(2π3,3π4) 16.﹛0﹜17.[1,2] 18. －pq＋119.22(构造长方体解) 20.B＜C＜A＜D 21.略 22.提示：取特殊点x, x＋π和x, x＋π2代入。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

数学高中二年级第四节课优质课数学竞赛中的技巧与策略数学竞赛一直以来都是考验学生数学能力和思维能力的重要途径。

在高中二年级的数学竞赛中，学生们需要通过掌握一些技巧和策略来提升自己的竞赛成绩。

本文将介绍一些在数学竞赛中的常用技巧和策略，帮助学生们在竞赛中取得好成绩。

一、巧用数学公式和定理在竞赛中，数学公式和定理是解题的基础。

对于高中二年级的学生来说，熟悉基本的数学公式和定理十分重要。

在竞赛中，学生们应该灵活运用数学公式和定理，很好地掌握它们的应用方法。

例如，在解决几何问题时，学生们可以灵活运用平行线相交定理、角平分线定理、相似三角形定理等，这些定理和公式能够帮助他们快速解题，提高解题效率。

二、观察和辨别问题的类型在数学竞赛中，学生们需要能够准确地辨别问题的类型，从而采取相应的解题策略。

在解决数学问题时，学生们应该始终保持头脑清晰，仔细观察问题中给出的条件和要求，判断问题属于何种类型。

例如，在解决代数问题时，如果问题具有多项式相乘的形式，学生们可以尝试使用因式分解的方法，化简问题求解过程。

因此，观察和辨别问题的类型是解决数学竞赛问题的关键一步。

三、善于灵活运用数学运算法则数学运算法则是每个学生在学习数学过程中都会接触到的内容，善于灵活运用数学运算法则是解决数学竞赛问题的重要技巧之一。

高中二年级的学生可以运用数学运算法则解决各类数学计算问题，比如运用分配律、结合律、交换律等规则化简计算过程。

灵活运用这些法则，能够帮助学生们快速准确地解决各类数学计算问题，提升解题效率。

四、善于推理和归纳在解决数学竞赛问题时，学生们需要运用推理和归纳的能力，从已知条件出发，推导出未知结果。

学生们应该注重培养自己的思维能力，提高推理和归纳的能力。

通过大量的练习和思考，学生们可以逐渐培养出良好的推理和归纳能力，从而在竞赛中获得更好的成绩。

五、合理利用解题技巧在数学竞赛中，学生们可以积累一些常用的解题技巧，合理利用解题技巧可以帮助他们更好地解决复杂的数学问题。