高中数学人教A版选修4-5优化练习：第四讲 达标检测 Word版含解析

综合检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ab >0，－c a <－db ，则下列各式恒成立的是( ) A ．bc <ad B ．bc >ad C.a c >b dD ．a c <b d解析：－c a <－db ，ab >0两边同乘以ab ，－bc <－ad ， ∴bc >ad ，选B. 答案：B2．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－23或x >2D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <2 解析：由|3x －2|>4，得3x －2>4或3x －2<－4. 即x >2或x <－23. 答案：C3．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高，设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( ) A ．1楼 B ．2楼 C ．3楼D ．4楼解析：设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n ＝9n ，即n ＝3时取等号． 答案：C4．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1，S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，那么( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1<S 2 C ．S 1≥S 2D ．S 1≤S 2解析：由排序不等式，得顺序和≥反序和，即S 1≤S 2，选D. 答案：D5．若x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝30，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，10] C ．[3，＋∞)D ．[10，＋∞)解析：∵x ＋y ＋z ≥33xyz ， 即xyz ≤103， ∴lg(xyz )≤lg 103＝3，即lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤3，当且仅当x ＝y ＝z ＝10时取等号．故选A. 答案：A6．不等式|x ＋1|＋|2x －4|>6的解集为( ) A ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解析：原不等式可化为以下几种： ①⎩⎨⎧x <－1－x －1－2x ＋4>6⇒x <－1； ②⎩⎨⎧ －1≤x ≤2x ＋1－2x ＋4>6⇒∅； ③⎩⎨⎧x >2x ＋1＋2x －4>6⇒x >3. 故选B. 答案：B7．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D ．k ≤－3解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ＜2，3，x ≥2，则f (x )min ＝－3，∴k <－3. 答案：B8．函数y ＝2x －3＋8－4x 的最大值为( ) A. 3 B ．53 C. 5D ． 2解析：由已知得函数定义域为[32，2]，y ＝2x －3＋2×4－2x ≤[12＋(2)2][(2x －3)2＋(4－2x )2]＝3，当且仅当2x －31＝4－2x 2，即x ＝53时取等号． ∴y max ＝ 3. 答案：A 9．设A ＝t ＋s 7＋s ＋t ，B ＝s 7＋s ＋t7＋t，则A 与B 的关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：B ＝s 7＋s ＋t 7＋t >s 7＋s ＋t ＋t7＋t ＋s ＝s ＋t 7＋s ＋t＝A . 答案：B10．若0<α<β<γ<π2，则F ＝sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α－12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)的符号为( ) A ．F >0 B ．F <0 C ．F ≥0D ．F ≤0解析：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上为增函数，y ＝cos x 在(0，π2)上为减函数．∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0. 根据排序不等式：乱序和≥反序和， 则sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 答案：A11．已知a 2＋b 2＋c 2＝9，x 2＋y 2＋z 2＝16，则 (x ＋a )2＋(y ＋b )2＋(z ＋c )2的最大值为( ) A ．5 2 B ．7 C ．9 D ．5 3解析： (x ＋a )2＋(y ＋b )2＋(z ＋c )2＝x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2＋2(ax ＋by ＋cz )＝25＋2(ax ＋by ＋cz )， ∵ax ＋by ＋cz ＝(ax ＋by ＋cz )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(a 2＋b 2＋c 2)＝9×16＝12， ∴原式≤25＋2×12＝49＝7， 故最大值为7，选B. 答案：B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤1，|x 2|≤1时，| f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，由g (x )与M 的关系是( ) A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉MD ．不能确定解析：g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)·(x 1＋x 2＋2)， |g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤4|x 1－x 2|，所以g (x )∈M . 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时等号成立． 答案：914．关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1且|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1的解集为空集，∴a 2＋a ＋1<1，∴a 2＋a <0. ∴－1<a <0. 答案：(－1,0)15．有一长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z ，满足1x 2＋1y 2＋1z 2＝9，则长方体的对角线长的最小值为________．解析：∵(x 2＋y 2＋z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋1z 2≥(1＋1＋1)2＝9，即x 2＋y 2＋z 2≥1.当且仅当x ＝y ＝z ＝33时取等号，∴长方体的对角线长l ＝x 2＋y 2＋z 2的最小值为1. 答案：116．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案：12三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (12分)解不等式|2x －1|＋|2－x |<x ＋3. 解析：(1)当x <－3时，显然无解，(2)当－3≤x ≤12时，原不等式为1－2x ＋2－x <x ＋3. 即0<x ≤12.(3)当12<x ≤2时，原不等式为2x －1＋2－x <x ＋3， 即1<3，显然成立，∴12＜x ≤2.(4)当x >2时，原不等式为2x －1＋x －2<x ＋3， 即2<x <3.综合(1)，(2)，(3)，(4)可得原不等式的解集为{x |0<x <3}． 18．(12分)若a >2，b >3，求a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值．解析：因为a >2，b >3，所以a －2>0，b －3>0，所以a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)(b －3)·1(a －2)(b －3)＋5＝3＋5＝8(当且仅当a ＝3，b ＝4时，等号成立)． 所以所求最小值为8.19．(12分)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝2，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解析：由柯西不等式，(x ＋y ＋z )2≤[(2x )2＋(3y )2＋z 2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12，因为x ＋y ＋z ＝2，所以2x 2＋3y 2＋z 2≥2411，当且仅当2x 12＝3y 13＝z 1，即x ＝611，y ＝411，z ＝1211时，等号成立，所以2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为2411.20．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b . 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b . 由排序原理知：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b ， 将上面两个同向不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b .21．(13分)已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝100. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的通项a n ＝1＋1b n，记T n 是数列{a n }的前n 项之积，即T n ＝a 1a 2a 3…a n ，试证明：T n >b n ＋1. 解析：(1)设等差数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝110b 1＋10×92d ＝100，得d ＝2，b n ＝2n －1. (2)a n ＝1＋1b n＝1＋12n －1， T n ＝a 1a 2a 3…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1，当n ＝1时，T 1＝1＋11＝2>3，命题得证．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时命题成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1>2k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1. ∵2k ＋1×2k ＋3<(2k ＋1)＋(2k ＋3)2＝2k ＋2，∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3，∴T n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1>2k ＋3.即n ＝k ＋1时命题成立． 综上知，当n ∈N ＋时，T n >b n ＋1.22．(13分)某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC ＝80米，塔所在的山高OB ＝220米，OA ＝200米，图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，tan α＝12，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)?解析：如图建立平面直角坐标系，则A (200,0)，B (0,220)，C (0,300)．直线l 的方程为y ＝(x －200)tan α，即y ＝x －2002.设点P 的坐标为(x ，y )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x －2002(x >200)，由经过两点的直线的斜率公式，得k PC ＝x －2002－300x ＝x －8002x .k PB ＝x －2002－220x＝x －6402x .由直线PC 到直线PB 的夹角的公式得(由图可知k PC ，k PB 均小于0，即x <640) tan ∠BPC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k PB －k PC 1＋k PB ·k PC ＝1602x 1＋x －8002x ·x －6402x ＝64xx 2－288x ＋160×640＝64x ＋160×640x－288(x >200)．要使tan ∠BPC 达到最大，只需x ＋160×640x－288达到最小，由基本不等式x ＋160×640x－288≥2160×640－288. 当且仅当x ＝160×640x 时上式取得等号，故当x ＝320时，tan ∠BPC 最大，这时点P 的纵坐标y 为320－2002＝60. 由实际问题知，0<∠BPC <π2，所以tan ∠BPC 最大时∠BPC 最大．故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大．。

第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。

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单元质量评估(四)(第四讲)(分钟分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).(·广州高二检测)如果命题()对成立,那么它对成立,又若()对成立,则()对所有( ) .正整数成立.正偶数成立.正奇数成立.大于的自然数成立【解析】选.根据数学归纳法的意义可知,命题()对所有正偶数都成立..用数学归纳法证明“()()…()···()(∈)”时,从“到”时,左边应增加的式子是( )() ()【解析】选.当时,左边()()…().当时,左边()()…()()().可见从“到”,左边增加了()..(·金华高二检测)用数学归纳法证明()()能被整除时,由归纳假设推证时命题成立,需将时的原式表示成( )()()()()()()()().以上都不对【解析】选.因为假设当时命题成立,即()()能被整除,当时,()()()()()()()()..(·大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为()条时,第一步检验第一个值等于 ( ).【解析】选.因为凸边形中,边数最少的是三角形,边数为..在数列{}中…,则 ( )【解析】选,………,所以. .已知数列{}中(∈),用数学归纳法证明能被整除,假设能被整除,然后应该证明( ) 能被整除能被整除 能被整除 能被整除【解析】选.由假设能被整除,则当时,应该证明()能被整除..(·烟台高二检测)设()…,则()()等于( ).【解析】选.当时()….当时()…….所以()()..已知为正偶数,用数学归纳法证明…时,若。

模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ，b ，c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋b ≥b －cB ．ac ≥bc C.c 2a －b ＞0 D ．(a －b )c 2≥0解析：因为a ＞b ，所以a －b ＞0.又因为c ∈R ，所以c 2≥0.所以(a －b )c 2≥0.答案：D2．不等式|x －2|＞1的解集是( )A ．(1，3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3，3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：由|x －2|＞1得x －2＞1或x －2＜－1，所以x ＞3或x ＜1.答案：D3．函数y ＝x 2＋2x(x ＞0)的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：y ＝x 2＋2x ＝x 2＋1x ＋1x≥3 3x 2·1x ·1x＝3当且仅当x ＝1时成立．答案：C4．若a ，b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2.其中一定成立的是( ) A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④解析：①a 2＋3－2a ＝(a －1)2＋2＞0，①成立；②a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，②成立；③当a ＝b ＝0时，不成立；④a ＋1a≥2只有当a ＞0才成立，故只有①②成立． 答案：C5．已知b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，那么( )A ．2ab ＜a 4－b 4a －b＜a ＋b 2＜b B ．2ab ＜a ＋b 2＜a 4－b 4a －b＜b C.a 4－b 4a －b＜2ab ＜a ＋b 2＜b D ．2ab ＜a ＋b 2＜b ＜a 4－b 4a －b解析：此题可用特殊赋值法判断出来，设a ＝13，b ＝23， 2ab ＝2×13×23＝49，a 4－b 4a －b ＝a 2＋b 2＝59，a ＋b 2＝12， b ＝23，所以b ＞a 4－b 4a －b＞a ＋b 2＞2ab 成立，选B. 答案：B6．(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：因为0＜a ＜b ，所以a ＋b 2＞ab . 又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即p ＜q . 而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ， 所以r ＝p ，故p ＝r ＜q .选B.答案：B7．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18 解析：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．故选B.答案：B8．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为( )A ．1B ．1＋2C．1＋2＋3＋4 D．1＋2＋22＋23＋24解析：n＝1时，原式为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.答案：D9．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3 元、2 元和1 元的礼品，则至少要花()A．17 元B．19 元C．21 元D．25 元解析：由排序原理可知：花钱最少为1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．故应选B.答案：B10．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＞1324(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了1项12（k＋1）B．增加了“12k＋1＋12（k＋1）”项，又减少了“1k＋1”项C．增加了2项12k＋1＋12（k＋1）D．增加了12（k＋1）项，减少了1k＋1项解析：注意分母是连续的正整数，且末项可看做1n＋n，故n＝k＋1时，末项为1（k＋1）＋（k＋1）.答案：B11．若a＞0，使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＝1C ．a ＞1D ．以上均不对解析：函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1，所以若|x －4|＋|x －3|＜a 的解集不是空集，需a ＞1.答案：C12．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，则实数c 的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 解析：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为________． 解析：a ＋1＋b ＋1≤（a ＋1＋b ＋1）（1＋1）＝ 6. 答案：614．用数学归纳法证明：已知n 是正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，则当n ＞1时，f (2n )＞n ＋22.其第一步是________．解析：由数学归纳法的步骤易知．答案：当n ＝2时，f (22)＞2＋22成立 15．函数f (x )＝3x ＋12x 2(x ＞0)的最小值为________． 解析：f (x )＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当32x ＝12x2， 即x ＝2时等号成立．答案：916．(2014·重庆卷)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，则：①当x ＜－2时，f (x )＝－2x ＋1－x －2＝－3x －1＞5；②当－2≤x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1＋x ＋2＝－x ＋3， 故52≤f (x )≤5； ③当x ＞12时，f (x )＝2x －1＋x ＋2＝3x ＋1＞52. 综合①②③可知f (x )≥52，所以要使不等式恒成立，则需a 2＋12a ＋2≤52，解得－1≤a ≤12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3. 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，因为1a ＋1b ＋1c≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23. 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又因为3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，所以原不等式成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca， 所以a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca ≥6 3. 所以原不等式成立．18．(本小题满分12分)设x ，y ，z ∈R ，2x －y －2z ＝6，试求x 2＋y 2＋z 2的最小值．解：考虑以下两组向量u ＝(2，－1，－2)，v ＝(x ，y ，z )，根据柯西不等式(u ·v )2≤|u |2· | v |2就有[2x ＋(－1)y ＋(－2)z ]2≤[22＋(－1)2＋(－2)2]·(x 2＋y 2＋z 2)，即(2x－y－2z)2≤9(x2＋y2＋z2)，将2x－y－2z＝6代入其中，得36≤9(x2＋y2＋z2)，而有x2＋y2＋z2≥4，故x2＋y2＋z2的最小值为4.19．(本小题满分12分)设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4.故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2.(2)a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)，当且仅当a＝b＝c＝22时，等号成立．此时，ab＋bc取得最大值1.20．(本小题满分12分)求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n＜3.证明：由11×2×3×…·k＜11×2×2×…×2＝12k－1(k是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…·n＜1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n 1－12＝3－12n －1＜3. 21．(本小题满分12分)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)不存在，由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. (1)解：因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又因为f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又因为a ，b ，c ∈R ＋，所以由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。

（人教A版）高中数学选修4-5（全册）课时同步练习+单元检测卷汇总[课时作业][A组基础巩固]1．“x<－1”是“x2－1>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：x2－1>0⇒x>1或x<－1，故x<－1⇒x2－1>0，但x2－1>0x<－1，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分不必要条件．答案：A2．下列命题中不正确的是()A．若3a>3b，则a>bB．若a>b，c>d，则a－d>b－cC．若a>b>0，c>d>0，则a d> bcD．若a>b>0，ac>bd，则c>d答案：D3．已知：M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，则M与N的大小关系为() A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：∵M－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1<0，∴M<N.故选A.答案：A4．已知m，n∈R，则1m>1n成立的一个充要条件是()A．m>0>n B．n>m>0 C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：∵1m>1n⇔1m－1n>0⇔n－mmn>0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)<0.答案：D5．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能解析：x1＋x2<0⇒x1<－x2，又∵f(x)＝x3＋x为奇函数，且在R上递增，∴f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)<0.同理：f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x3)<0.以上三式相加得2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0.即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.答案：B6．有以下四个条件：①b >0＞a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 其中能使1a ＜1b 成立的有________． 解析：①∵b >0>a ，∴1b >0>1a ； ②∵0>a >b ，∴1a <1b <0； ③∵a >0>b ，∴1a >0>1b ； ④∵a >b >0，∴1b >1a >0. 答案：①②④7．若－1<a <2，－2<b <1，则a －|b |的取值范围是________． 解析：∵－2<b <1，∴0≤|b |<2. ∴－2<－|b |≤0.而－1<a <2，∴－3<a －|b |<2. 答案：(－3,2)8．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是________．解析：法一：M －N ＝11＋a ＋11＋b －a 1＋a －b 1＋b＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )， 由已知可得，a >0，b >0且0<ab <1， ∴1－ab >0，∴M －N >0，即M >N . 法二：M N ＝2＋a ＋b a ＋b ＋2ab ，∵0<a <1b ，∴0<ab <1，∴2ab <2， ∴a ＋b ＋2ab <a ＋b ＋2，∴2＋a ＋ba ＋b ＋2ab>1.又M >0，N >0，∴M >N .答案：M >N9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0， ∴a ＋b >0，ab >0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .10．已知a >0，a 2－2ab ＋c 2＝0，bc >a 2，试比较a ，b ，c 的大小．解析：∵a 2－2ab ＋c 2＝0，∴b ＝a 2＋c22a .又∵a 2＋c 2>0，a >0，∴b >0. 又∵bc >a 2>0，∴bc 同号．∴c >0. ∵(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0， 又∵a >0，∴b －c ≥0. 当b －c >0时，b >c .又bc >a 2，b ＝a 2＋c22a ，∴a 2＋c 22a ·c >a 2，即(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0. ∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0，a －c <0，即a <c . ∴a <c <b .当b －c ＝0时，b ＝c . ∵bc >a 2，∴b 2>a 2，b ≠a .∵a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2＝0，∴a ＝b . ∴矛盾，也就是b －c ≠0. 综上可知，a <c <b .[B 组 能力提升]1．若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件． 答案：A2．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2 D ．a 2>－a >a >－a 2解析：∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0可得，－1<a <0， ∴－a >a 2>0，∴0>－a 2>a . 综上有－a >a 2>－a 2>a . 答案：B3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式：①b a >b －1a －1；②(a ＋b )2>(b ＋1)2；③(a －1)2>(b －1)2.其中不恒成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋aa (a －1)＝a －b a (a －1).因为a －b >0，a (a －1)符号不确定，①不恒成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2>0，②不恒成立； ③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不恒成立．答案：①②③4．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．解析：∵4≤x 2y ≤9，∴19≤y x 2≤14， ∴181≤y 2x 4≤116.又∵3≤xy 2≤8，而x 3y 4＝1y 4x 3＝1xy 2·y 2x 4， 且127≤xy 2·y 2x 4≤12，∴2≤x 3y 4≤27.答案：275．已知a ，b ，c 均为正数，且b <c ，比较ab 与ac ＋bc 的大小． 解析：法一：∵a >0，且b <c ， ∴ab <ac ，∵c >0，b >0，∴bc >0， ∴ac ＋bc >ac >ab ， 即ab <ac ＋bc .法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴0<a <a ＋b ， ∵0<b <c ， ∴ab <c (a ＋b )， 即ab <ac ＋bc .法三：ab －(ac ＋bc )＝a (b －c )－bc . ∵b <c ，∴b －c <0，而a >0， ∴a (b －c )<0. 又∵b >0，c >0， ∴bc >0，－bc <0， ∴a (b －c )－bc <0， 即ab －(ac ＋bc )<0. ∴ab <ac ＋bc .6．已知f (x )＝ax 2＋c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围． 解析：由－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5， 得⎩⎨⎧－4≤a ＋c ≤－1，－1≤4a ＋c ≤5.设u ＝a ＋c ，v ＝4a ＋c ，则有a ＝v －u 3，c ＝4u －v3， ∴f (3)＝9a ＋c ＝－53u ＋83v . 又⎩⎨⎧－4≤u ≤－1－1≤v ≤5，∴⎩⎪⎨⎪⎧53≤－53u ≤203，－83≤83v ≤403.∴－1≤－53u ＋83v ≤20，即－1≤f (3)≤20. ∴f (3)的取值范围为[－1,20][课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ； ②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2； ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2； ④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：C2．已知x <0，则y ＝x ＋4x －1的最大值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3D ．－3解析：∵y ＝x ＋4x －1＝(x －1＋4x －1)＋1＝－[(1－x )＋41－x]＋1， ∵x <0，∴1－x >0， ∴(1－x )＋41－x≥24＝4， 当且仅当1－x ＝41－x，即1－x ＝2，x ＝－1时取等号， －[(1－x )＋41－x ]≤－4即y ≤－3，故选D.答案：D3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A. 72 B ．4 C.92D ．5解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)， 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.答案：C4．设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当a ＝b ＝c ＝2时，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 答案：A5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车间的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：设仓库到车站的距离为x ，由已知得，y 1＝20x ，y 2＝0.8x . 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8.当且仅当0.8x ＝20x ， 即x ＝5时等号成立，故选A. 答案：A6．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．解析：∵y ＝3xx 2＋x ＋1＝3x ＋1＋1x≥3－2＋1＝－3， 当且仅当x ＝－1时取等号． ∴函数的值域为[－3，＋∞)． 答案：[－3，＋∞)7．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：令ab ＝t (t >0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，则t 2≥2t ＋3，所以t ≥3或t ≤－1(舍去)，所以ab ≥3，ab ≥9，当a ＝b ＝3时取等号． 答案：[9，＋∞)8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为____________吨．解析：每年购买次数为400x 次． 所以总费用＝400x ·4＋4x ≥2 6 400＝160. 当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立． 答案：209．(1)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (2)设x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 解析：(1)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋(3－2x )2]2＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立． ∴y ＝4x (3－2x )的最大值为92. (2)由2x ＋8y －xy ＝0得，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝(x －8)＋2(x －8)＋16x －8＋8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16(x －8)＋10 ＝18， 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立，∴x ＋y 的最小值为18.10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.证明：∵a ＋12＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12≤1＋a ＋122＝34＋a 2，b ＋12＝ 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12≤1＋b ＋122＝34＋b2，∴a ＋12＋b ＋12≤32＋12(a ＋b )＝2(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)．[B 组 能力提升]1．设x 、y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．x ＋y ≤2(2＋1) C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．x ＋y ≥(2＋1)2解析：x >0，y >0，xy －(x ＋y )＝1⇒xy ＝1＋(x ＋y )⇒1＋(x ＋y )≤(x ＋y 2)2⇒x ＋y ≥2(2＋1)． 答案：A2．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2D.94解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)， ∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4yx －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2， ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取得最大值2.答案：C3．已知点M (x ，y )在第一象限，且满足2x ＋3y ＝6.则log 32x ＋log 32y 的最大值是________．解析：∵M (x ，y )在第一象限， ∴x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6. ∴log 32x ＋log 32y ＝log 32(xy )，xy ＝16(2x ·3y )≤16×(2x ＋3y 2)2＝32， ∴log 32(xy )≤log 3232＝1，当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时， log 32x ＋log 32y 的最大值为1.答案：14．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案：95．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变数，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解析：∵x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ayx 时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18①又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎨⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎨⎧a ＝8b ＝2.6．设x >0，y >0且x ＋y ＝4，要使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：由x >0，y >0，且x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1， ∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·(1x ＋4y )＝14(1＋y x ＋4x y ＋4) ＝14(5＋y x ＋4x y )≥14(5＋2y x ·4x y )＝94，当且仅当y x ＝4xy 时等号成立，即y ＝2x (∵x >0，y >0，∴y ＝－2x 舍去)， 此时，结合x ＋y ＝4，解得x ＝43，y ＝83. 1x ＋4y 的最小值为94. ∴94≥m ，即m ≤94.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设x ，y ，z >0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )， 而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23， ∴lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B2．函数y ＝x 2·(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值为( )A.4675B.2657C.4645D.2675解析：∵0≤x ≤15，∴1－5x ≥0， ∴y ＝x 2·(1－5x )＝425[52x ·52x ·(1－5x )]≤425[52x ＋52x ＋(1－5x )3]3＝4675. 当且仅当52x ＝1－5x ， 即x ＝215时取“＝”，故选A. 答案：A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式正确的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：如图，设圆柱半径为R ，高为h ，则4R ＋2h ＝6，即2R ＋h ＝3. V ＝S ·h ＝πR 2·h ＝π·R ·R ·h ≤π⎝⎛⎭⎪⎫R ＋R ＋h 33＝π，当且仅当R ＝R ＝h ＝1时取等号． 答案：B4．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，则必有( ) A ．0≤M <18 B.18≤M <1 C ．1≤M <8D ．M ≥8解析：M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥8bc ·ac ·ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 答案：D5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()A．y＝x2＋2x＋4x3≥33x2·2x·4x3＝6，∴y min＝6B．y＝2＋x＋1x≥332·x·1x＝332，∴y min＝332C．y＝2＋x＋1x≥4，∴y min＝4D．y＝x(1－x)(1－2x)≤13[3x＋(1－x)＋(1－2x)3]3＝881，∴y max＝8 81解析：A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥33abc(a，b，c∈R＋)和abc≤(a＋b＋c3)3(a，b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋1x＝2＋(x＋1x)≥2＋2＝4，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．答案：C6．若x>0，则函数y＝4x2＋1x的最小值是________．解析：∵x>0，∴y＝4x2＋1x＝4x2＋12x＋12x≥3 34x2·12x·12x＝3.当且仅当4x2＝12x(x>0)，即x＝12时，取“＝”，∴当x＝12时，y＝4x2＋1x(x>0)的最小值为3.答案：37．若a>2，b>3，则a＋b＋1(a－2)(b－3)的最小值为________．解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0，∴a＋b＋1(a－2)(b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋1(a－2)(b－3)＋5≥3 3(a－2)·(b－3)·1(a－2)(b－3)＋5＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)．答案：88．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．解析：设底面边长为x，高为h，则34x2·h＝V，所以h＝43V 3x2，又S表＝2·34x2＋3xh＝32x2＋3x·43V3x2＝32x2＋43Vx＝32⎝⎛⎭⎪⎫x2＋8Vx＝32⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4Vx＋4Vx≥32×3316V2＝33×32V2，当且仅当x2＝4Vx，即x＝34V时，S表最小．答案：34V9．已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.证明：因为x>0，y>0，x－y>0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1 (x－y)2＝(x－y)＋(x－y)＋1 (x－y)2≥33(x－y)21(x－y)2＝3，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．解析：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ，由图可有2h ＋3x ＝3， ∴h ＝32(1－x )， V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x2×(1－x ) ≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33＝13. 当且仅当x 2＝x2＝1－x ， 即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器的容积最大，为13.[B 组 能力提升]1．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝ a 2＋b 2＋c 23，则( ) A ．x ≤y ≤z B ．y ≤x ≤z C ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c 3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z . 答案：B2．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3 312xy ·12xy ·x 2＝3314(x 2y )2＝3344＝3. 答案：C3．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________．解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8(sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 3)3＝8×827＝6427，∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ， 即tan x ＝2时，等号成立．∴y max ＝839. 答案：8394．设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：∵a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)＝9.∴(13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2)·[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥3·31(3a ＋2)(3b ＋2)(3c ＋2)·33(3a ＋2)(3b ＋2)(3c ＋2)＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 故13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为1. 答案：15．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由算术—几何平均不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥3 31a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解析：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时，则依题意有A ＝k ·V 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100. ∴A ＝3100V 3.设每千米的航行费用为R ，需时间为1V 小时， ∴R ＝1V (3100V 3＋480)＝3100V 2＋480V＝3100V 2＋240V ＋240V ≥333100V 2·240V ·240V ＝36.当且仅当3100V 2＝240V ，即V ＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设ab ＞0，下面四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．①和④D ．②和④解析：∵ab ＞0，①|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a |，正确； ②|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|b |，所以②错； ③|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |，所以③错； ④|a ＋b |＝|a |＋|b |＞|a －b |≥|a |－|b |，正确． 所以①④正确，应选C. 答案：C2．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m ≥1 C ．m >2D ．m ≥2解析：∵|x －5|＋|x －3|≥|x －5＋3－x |＝2， ∴|x －5|＋|x －3|的最小值为2. ∴要使|x －5|＋|x －3|<m 有解，则m >2. 答案：C3．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m ≤n解析：令a ＝3，b ＝2，则m ＝1，n ＝1；令a ＝－3，b ＝2，则m ＝15，n ＝5， ∴n ≥m ，选D. 答案：D4．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值及取得最小值时x 的值分别是( ) A ．1，x ∈[－1,2] B ．3,0 C ．3，x ∈[－1,2]D ．2，x ∈[1,2]解析：运用含绝对值不等式的基本性质有|x ＋1|＋|x －2|＝ |x ＋1|＋|2－x |≥|x ＋1＋2－x |＝3.当且仅当(x ＋1)(2－x )≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件， ∴－1≤x ≤2. 答案：C5．下列不等式中恒成立的个数是( ) ①x ＋1x ≥2(x ≠0)； ②c a <cb (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0，a <b )； ④|a ＋b |＋|b －a |≥2a . A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：①不成立，当x <0时不等式不成立； ②成立，a >b >0⇒a ab >b ab 即1b >1a ， 又由于c >0， 故有cb >c a ； ③成立，因为a ＋mb ＋m －a b ＝(b －a )m b (b ＋m )>0(a ，b ，m >0，a <b )，故a ＋m b ＋m >ab； ④成立，由绝对值不等式的性质可知：|a ＋b |＋|b －a |≥|(a ＋b )－(b －a )|＝|2a |≥2a ，故选B.答案：B6．已知|a＋b|<－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：①a<－b－c；②a>－b＋c；③a<b－c；④|a|<|b|－c；⑤|a|<－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(把成立的不等式的序号都填上)．解析：∵|a＋b|<－c，∴c<a＋b<－c，∴a<－b－c，a>－b＋c，①②成立，|a|－|b|<|a＋b|<－c，∴|a|<|b|－c，④成立．答案：①②④7．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________．解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立．答案：28．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为________．解析：∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|≥|4－x＋x＋5|＝9.∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．答案：(－∞，9)9．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．10．已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x－5|－a)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．解析：(1)函数的定义域满足|x－1|＋|x－5|－a>0，即|x－1|＋|x－5|＞a，设g(x)＝|x－1|＋|x－5|，由|x－1|＋|x－5|≥|x－1＋5－x|＝4，可知g(x)min＝4，∴f(x)min＝log2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g(x)＝|x－1|＋|x－5|的最小值为4.∵|x－1|＋|x－5|－a>0，∴a<g(x)min时，f(x)的定义域为R.∴a<4，即a的取值范围是(－∞，4)．[B组能力提升]1．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.答案：B2．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.答案：C3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2 (y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：54．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝xx 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f (x )|≤m |x |，当x ≠0时，知m ≥|f (x )||x |，对于①，有|f (x )||x |＝0，x ≠0，故取m >0即可；对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f (x )||x |＝|x |，无最大值；对于③，由f (x )＝2sin(x ＋π4)，而|f (x )||x |＝|2sin (x ＋π4)||x |无最大值；对于④，由|f (x )||x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ≠0，只要取m ＝43即可；对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |. 答案：①④⑤5．对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m ，求m 的值．解析：不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，即左边恒小于或等于右边的最小值． 因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，等号成立， 也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2.所以m ＝2.6．已知|x 1－2|<1，|x 2－2|<1. (1)求证：2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|<2. (2)若f (x )＝x 2－x ＋1，x 1≠x 2， 求证：|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|. 证明：(1)∵|x 1－2|<1，|x 2－2|<1， ∴2－1<x 1<2＋1,2－1<x 2<2＋1，即1<x 1<3,1<x 2<3， ∴2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|＝|(x 1－2)－(x 2－2)| ≤|x 1－2|＋|x 2－2|<1＋1＝2， 即|x 1－x 2|<2.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1，∴|f (x 1)－f (x 2)|＝|x 21－x 1－x 22＋x 2|＝|(x 1－x 2)·(x 1＋x 2－1)| ＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|，由(1)知2<x 1＋x 2<6，|x 1－x 2|>0， ∴|x 1－x 2|<|x 1－x 2|·|x 1＋x 2－1|<5|x 1－x 2|， 即|x 1－x 2|<|f (x 1)－f (x 2)|<5|x 1－x 2|.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3C ．{x |x ≥3}D ．{x |－3<x ≤0}解析：原不等式⇔⎩⎨⎧ x ≤－3－x －3＋x －3>3或⎩⎨⎧－3<x <3x ＋3＋x －3>3或⎩⎨⎧ x ≥3x ＋3－(x －3)>3⇔⎩⎨⎧x ≤－30>9或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <3x >32或⎩⎨⎧x ≥33>0⇔32<x <3或x ≥3⇔x >32. 答案：A2．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3) C ．(－4,1)D ．(－32，72)解析：|x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)． 答案：C3．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x ≤0且1≤x ≤32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x ≤0或1≤x <32解析：1≤|2x －1|<2则1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32. 答案：D4．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：∵2∉M ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ， 即|2a －1|≤2a ， ∴a ≥14，故选B. 答案：B5．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，则不等式log a |x ＋1|>log a |x －3|的解集为( ) A ．{x |x <－1} B ．{x |x <1} C ．{x |x <1且x ≠－1}D ．{x |x >1} 解析：因为a >0，且a ≠1，所以2－ax 为减函数．又因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是增函数，所以0<a <1，则y ＝log a x 为减函数． 所以|x ＋1|<|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0.由|x ＋1|<|x －3|，得(x ＋1)2<(x －3)2， 即x 2＋2x ＋1<x 2－6x ＋9， 解得x <1.又x ≠－1且x ≠3， 所以解集为{x |x <1且x ≠－1}． 答案：C6．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x 1＋x ≥1的解集为________． 解析：不等式等价于1－x 1＋x ≥1或1－x1＋x≤－1， 解之得－1<x ≤0或x <－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1,0]7．不等式|2x －1|＋x >1的解集是________．解析：法一：把|2x －1|＋x >1移项，得|2x －1|>1－x ，把此不等式看作|f (x )|>a 的形式得2x －1>1－x 或2x －1<－(1－x )． ∴x >23或x <0，故解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >23或x <0. 法二：用分类讨论的方法去掉绝对值符号． 当x >12时，2x －1＋x >1，∴x >23； 当x ≤12时，1－2x ＋x >1，∴x <0.综上得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >23或x <0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >23或x <08．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上一点A (x )到B (－1)与C (2)的距离之和，而|BC |＝3. ∴|AB |＋|AC |≥3.∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3.法二：设f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧1－2x (x <－1)，3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x ≥2)，∴f (x )的图象如图所示，∴f (x )≥3.∴|a |≥3，∴a ≤－3或a ≥3.法三：∵|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴|a |≥3.∴a ≤－3或a ≥3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 9．解下列不等式： (1)|x ＋5|－|x －3|>10； (2)|x |＋|x －3|≤5； (3)x ＋|2x －1|<3.解析：(1)①当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－8>10， 所以⎩⎨⎧ x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10，的解集为∅.②当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4， 所以⎩⎨⎧－5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10，的解集为∅.③当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10，所以⎩⎨⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>10，的解集为∅.综上所述，原不等式的解集为∅∪∅∪∅＝∅. (2)法一：原不等式|x |＋|x －3|≤5⇔ ⎩⎨⎧ x <0，－x ＋(3－x )≤5，或⎩⎨⎧0≤x <3，x ＋3－x ≤5， 或⎩⎨⎧x ≥3，x ＋x －3≤5，⇔ －1≤x <0或0≤x <3或3≤x ≤4⇔－1≤x ≤4. 所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．法二：|x |与|x －3|可以看作是在数轴上坐标为x 的点到0和3的距离．因此，不等式的几何意义是数轴上到0和3的距离之和不超过5的x 的范围，结合数轴很容易得出－1≤x ≤4，所以原不等式的解集为[－1,4]． (3)原不等式可化为⎩⎨⎧2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎨⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.10．已知函数f (x )＝|x －1|＋|2x ＋2|. (1)解不等式f (x )>5；(2)若不等式f (x )<a (a ∈R)的解集为空集，求a 的取值范围．解析：(1)根据条件f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x >1x ＋3，－1≤x ≤1，－3x －1，x <－1.当x >1时，f (x )>5⇔3x ＋1>5⇔x >43， 又x >1，所以x >43；当－1≤x ≤1时，f (x )>5⇔x ＋3>5⇔x >2， 又－1≤x ≤1， 此时无解；当x <－1时，f (x )>5⇔－3x －1>5⇔x <－2， 又x <－1， 所以x <－2. 综上，f (x )>5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >43或x <－2. (2)由于f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x >1x ＋3，－1≤x ≤1，－3x －1，x <－1.可得f (x )的值域为[2，＋∞)．又不等式f (x )<a (a ∈R)的解集为空集， 所以a 的取值范围是(－∞，2]．[B 组 能力提升]1．不等式组⎩⎨⎧|x －2|<2，log 2(x 2－1)>1的解集为( ) A ．(0，3) B ．(3，2) C ．(3，4)D ．(2,4)解析：由⎩⎨⎧ |x －2|<2log 2(x 2－1)>1⇔⎩⎨⎧－2<x －2<2x 2－1>2⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <4x 2>3⇔⎩⎨⎧0<x <4x <－3或x >3⇔3<x <4. 答案：C2．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[0，＋∞)解析：作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图，当k <0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]． 答案：C3．不等式|x 2＋2x －1|≥2的解集是________． 解析：原不等式等价于：x 2＋2x －1≥2①或x 2＋2x －1≤－2，②解①得：x ≤－3或x ≥1， 解②得：x ＝－1.∴原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ＝－1或x ≥1}． 答案：{x |x ≤－3或x ＝－1或x ≥1}4．若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．解析：|3x －b |<4⇔b －43<x <b ＋43. ∵解集中有且仅有1,2,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43<13<b ＋43≤4 解得5<b <7.答案：(5,7)5．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.6．(2016·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )< 2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a >b >c ，则1b －c －1a －c( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．小于等于0D ．大于等于0解析：∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0， ∴1a －c <1b －c ，∴1b －c －1a －c >0.故选A. 答案：A2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0， ∴a >－b >0,0>b >－a ， ∴a >－b >b >－a . 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322 B ．2333 C.32 3D ．23 2 解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2，而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232.答案：A4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ， 由已知得⎩⎨⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.答案：C5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．6解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2. 答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1解析：y ＝(x －1)22x －2＋12x －2＝x －12＋12(x －1)≤－21－x 2·12(1－x )＝－1.答案：C7．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1D ．a ≥1解析：取a ＝0时，|x |≥0恒成立， 所以a ＝0符合，可以排除A ，D. 取a ＝1时，|x |≥x 恒成立，所以a ＝1符合，从而排除C ，所以正确答案为B. 答案：B 8．使3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 所满足的条件是( )A ．－3≤x <32B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3 D ．－3≤x ≤3解析：使式子有意义的x 所满足的条件为 ⎩⎨⎧3－|x |≥0，|2x ＋1|－4>0，或⎩⎨⎧3－|x |≤0，|2x ＋1|－4<0.即⎩⎨⎧|x |≤3，|2x ＋1|>4， ∴⎩⎨⎧－3≤x ≤3，2x ＋1>4或2x ＋1<－4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，x >32或x <－52.∴－3≤x <－52或32<x ≤3.故选C. 答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( ) A ．27 B ．54 C ．52D ．56解析：∵9＝a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时取得最大值27∴abc ≤27， 此时其表面积为6×32＝54.故选 B. 答案：B10．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1 ＝(1－a )(1＋a )(1－b )(1＋b )a 2b 2＝(1＋a )(1＋b )ab＝2ab ＋1，∵a ＋b ＝1，∴2ab ≤1. ∴ab ≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1≥9.答案：D11．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立， 所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0， 解得a ≥4，或a ≤－1. 答案：A12．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x ≥m 恒成立，则m 的最大值是( ) A ．(a －b )2 B ．(a ＋b )2 C ．a 2b 2D ．a 2解析：∵a 2x ＋b 21－x ＝[a 2x ＋b 21－x][x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a 2(1－x )x ＝b 2x1－x 时等号成立．所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________． 解析：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立； 当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.由上综合知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为|x －12|＋|x ＋12|≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤3214．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．解析：因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a ＋b ，又x ，c ，d ，y 成等比数列，所以xy ＝cd ，(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x y ＋yx ＋2≥2x y ·y x ＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，取等号．答案：415．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xa y ≥1＋a ＋2a ，∴1＋a ＋2a ≥9，即a ＋2a －8≥0，故a ≥4. 答案：416. 下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c ；。

学业分层测评（五）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( )A ．(0,2)B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4,0)D.(－4，－2)∪(0,2)【解析】 由1<|x ＋1|<3，得1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1，∴0<x <2或－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．【答案】 D2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x的解集是( ) A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞) D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 【解析】 由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x等价于x －2x <0，即x (x －2)<0，解得0<x <2.【答案】 A3．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( )A ．8B ．2C ．－4 D.－8【解析】 原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4.又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合．【答案】 C4．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a ＞3D.a ＜3【解析】 令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知只要t min ≥a 即可，因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以t min ＝3，∴a ≤3.即实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选B.【答案】 B5．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3 D.|a －b |≥3【解析】 由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.由|x －b |>2，得x <b －2或x >b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.【答案】 D二、填空题6．不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为________.【导学号：32750023】【解析】 当x <－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x ≤5时，原不等式为(5－x )－(x ＋3)≥4，解得x ≤－1，所以－3≤x ≤－1；当x >5时，原不等式为(x －5)－(x ＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为{x |x ≤－1}．【答案】 {x |x ≤－1}7．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a ＝________. 【解析】 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a .又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. 【答案】 －38．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．【解析】 法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅.【答案】 (－∞，3]三、解答题9．已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．【解】 设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1.则y 1＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|＋k .(1)若f (x )≥3恒成立，求k 的取值范围；(2)当k ＝1时，求不等式f (x )<3x 的解集．【解】 (1)|x －3|＋|x －2|＋k ≥3，对任意x ∈R 恒成立，即(|x －3|＋|x －2|)min ≥3－k . 又|x －3|＋|x －2|≥|x －3－x ＋2|＝1，(|x －3|＋|x －2|)min ＝1≥3－k ，解得k ≥2.(2)当x ≤2时，5x >6，解得x >65，∴65<x ≤2.当2<x <3时，3x >2，解得x >23，∴2<x <3.当x ≥3时，x >－4，∴x ≥3.综上，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，＋∞. [能力提升]1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)【解析】 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.【答案】 D2．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－1,0]C ．[0,1] D.[0，＋∞)【解析】 作出y ＝|x ＋1|与y ＝kx 的图象，如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k ＞0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．【答案】 C3．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．【解析】 不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立，a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值，∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 4．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A .(1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围.【导学号：32750024】【解】 (1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3.当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0.当x ＞12时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x ＞－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2.综上，a 的取值范围为(－∞，－2]．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

[课时作业][组基础巩固]．用数学归纳法证明当∈＋时，＋＋＋…＋－是的倍数时，当＝时原式为( )．＋．．＋＋＋．＋＋＋＋解析：左边＝＋＋＋…＋－，所以＝时，应为＋＋…＋×－＝＋＋＋＋.答案：．记凸边形的内角和为()，则凸＋边形的内角和(＋)＝()＋( )．π．π．π答案：．已知()＝(＋)·＋，存在自然数，使得对任意∈，都能使整除()，则最大的的值为( )＋．．．．解析：()＝，()＝＝×，()＝＝×，易知()能被整除，且为的最大值．答案：．某同学回答“用数学归纳法证明<＋(∈＋)”的过程如下：证明：()当＝时，显然命题是正确的；()假设＝时有<＋，那么当＝＋时，＝<＝(＋)＋，所以当＝＋时命题是正确的．由()、()可知对于∈，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )＋．从到＋的推理过程没有使用归纳假设．归纳假设的写法不正确．从到＋的推理不严密．当＝时，验证过程不具体解析：证明<(＋)＋时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设<＋.答案：．用数学归纳法证明：－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(∈＋)，则从＝到＝＋时，左边所要添加的项是( )．－．－．－解析：∵当＝时，左边＝－＋－＋…＋－，当＝＋时，左边＝－＋－＋…＋－＋－，∴由＝到＝＋左边增加了－.答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋＝－(∈，>)时，第一步应验证＝时，命题成立，当＝＋时左边的式子为．＋解析：由于>，∴第一步应验证＝时，命题成立，当＝＋时，左边的式子应为＋＋…＋＋(＋).答案：＋＋…＋＋(＋)．用数学归纳法证明“－能被整除”的第二步中，当＝＋时，为了使用归纳假设应将＋－＋变形为．解析：假设当＝时，－能被整除，则＝＋时，＋－＋＝(－)＋·由假设知－能被整除，·能被整除．故·(－)＋·能被整除．答案：·(－)＋·．设平面内有条直线(≥)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()表示这条直线交点的个数，则()＝；当>时，()＝(用表示)．解析：()＝，()＝，()＝，()＝，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．所以()－()＝，()－()＝，()－()＝，…，()－(－)＝－.累加，得()－()＝＋＋＋…＋(－)＝(－)．所以()＝(＋)(－)．答案：(＋)(－)．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋(－)。

全册质量检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知：＋>，<，那么( )．>>－>－．>－>>－．>－>>－．－>－>>解析：∵＋>∴>－，>－∵<∴－>>∴>－>>－答案：．“＋>＋”是“>且>”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：易得>且>时必有＋>＋.若＋>＋时，则可能有>且>，选.答案：．≥，≥，且＋＝，则( )．≤．≥．＋≥．＋≤解析：由≥，≥，且＋＝，∵＝(＋)＝＋＋≤(＋)，∴＋≥.选.答案：．若不等式－>与不等式＋＋>的解集相同，则∶等于( )．∶．∶．(－)∶．(－)∶解析：－>⇔－>或－<－⇔>或<－，∴－＝－，＝－，×＝，＝－，∴∶＝∶.答案：．若不等式＋＋≥对一切∈恒成立，则的最小值为( )．．－．－．－解析：∵＋＋≥∴≥－，∈，又∵－的最大值为－，∴＝－.答案：．如果＝，＝＋，＝＋，那么有( )．>> ．>>．>> ．>>解析：＝，＝＋，＝＋，∴－＝－>，－＝－>，∴最小．－＝＋－，又(＋)＝＋＋＝＋<＋＝，()＝×＝，∴>＋，∴<，∴<，∴选.答案：．用数学归纳法证明“对于任意>和正整数，都有＋－＋－＋…＋＋＋≥＋”时，需验证的使命题成立的最小正整数值应为( )．＝．＝．＝．以上答案均不正确解析：＝时，＋≥＋成立，再用数学归纳法证明．答案：．函数＝(>)的最小值为( )．－．．．－解析：∵>，∴－>，∴＝≥＝＝，当且仅当－＝时等号成立，又>，∴＝时，有最小值，选.。

模块综合评价(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若，，∈且＞，则下列不等式中一定成立的是( )．≥．＋≥－．(－)≥＞解析：因为＞，所以－＞.又因为∈，所以≥.所以(－)≥.答案：．不等式－＞的解集是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(，)．(－∞，)∪(，＋∞)．(－，)解析：由－＞得－＞或－＜－，所以＞或＜.答案：．函数＝＋(＞)的最小值为( )．．．．解析：＝＋＝＋＋≥＝当且仅当＝时成立．答案：．若，∈，则下列不等式：①＋＞；②＋≥(－－)；③＋＞＋；④＋≥.其中一定成立的是( )．①②④．①②③．①②．②④解析：①＋－＝(－)＋＞，①成立；②＋－(－－)＝(－)＋(＋)≥，②成立；③当＝＝时，不成立；④＋≥只有当＞才成立，故只有①②成立．答案：．已知＞＞，且＋＝，那么( )．＜＜＜．＜＜＜＜＜＜．＜＜＜解析：此题可用特殊赋值法判断出来，设＝，＝，＝××＝，＝＋＝，＝，＝，所以＞＞＞成立，选.答案：．(·陕西卷)设()＝，＜＜，若＝()，＝，＝(()＋())，则下列关系式中正确的是( )．＝＜．＝＜．＝＞．＝＞解析：因为＜＜，所以＞.又因为()＝在(，＋∞)上单调递增，所以＞()，即＜.而＝(()＋())＝( ＋)＝()＝，所以＝，故＝＜.选.答案：．已知，，为非零实数，则(＋＋)·的最小值为( )．．。