2020秋王老师数学高二第四讲

2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.知识点1直线的点斜式方程1、点斜式方程的推导如图，直线l 经过点()000,P x y ，且斜率为k ．设(),P x y 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-．2、直线的点斜式方程方程()00-=-y y k x x 由直线上一个定点()00,x y 及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．【注意】对直线点斜式方程的理解（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点()00,x y 和直线的斜率k ．（2）当k 任意实数时，方程()00-=-y y k x x 表示恒过定点()00,x y 的无数条直线．3、两种特殊的直线：倾斜角图象特征斜率直线方程0°tan 00= ，即0k =00y y -=，即0y y =90°tan 90 无意义，即k 不存在00x x -=，即0x x =4、求直线点斜式方程的一般步骤：（1）求直线点斜式的步骤为：定点()00,→P x y 定斜率→k 写出方程()00-=-y y k x x （2）点斜式方程()00-=-y y k x x 可表示过点()00,P x y 的所有直线，但0=x x 除外．知识点2直线的斜截式方程1、斜截式方程的推导如图，如果斜率为k 的直线l ()00,P b ，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得()0y b k x -=-，即=+y kx b ．2、直线的斜截式方程我们把直线l 与y 轴的交点为()0,b 的纵坐标叫做直线l 在y 轴上的截距．这样，方程=+y kx b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距确定，我们把方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．3、斜截式的几种特例0=b =y kx 表示过原点的直线0=k ，0≠b =y b 表示与x 轴平行的直线0=k ，0=b 0=y 表示x 轴考点一：直线的点斜式方程例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【答案】B【解析】将()5,2P ，斜率为1-带入直线方程点斜式()00y y k x x -=-，得()25y x -=--.故选：B.【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．3y x =-+D ．=1y x --【答案】B【解析】过点()1,2M ，且倾斜角为45︒的直线斜率为1，则21y x -=-，即1y x =+．故选：B ．【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y ＝k (x －1)(k ∈R)表示()A ．过点(－1,0)的一切直线B ．过点(1,0)的一切直线C ．过点(1,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(1,0)且除x 轴外的一切直线【答案】C【解析】直线的点斜式方程y ＝k (x －1)表示经过点(1,0)且斜率为k 的直线,显然不垂直于x 轴,故选:C .【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点为()2,4A ，()1,2B -，()2,3C -，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程.【答案】(1)5310x y ++=；(2)35140x y -+=.【解析】（1）由()1,2B -，()2,3C -，得直线BC 的斜率为()235123BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为52(1)3y x +=--，即5310x y ++=.（2）由（1）知，直线BC 的斜率为53BC k =-，而AD BC ⊥，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35AD k =，所以直线AD 的方程为()3425y x -=-，即35140x y -+=.考点二：直线的斜截式方程例2.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线61y x =-在y 轴上的截距b 是（）A ．1b =-B ．1b =C ．6b =D ．6b =-【答案】A【解析】由已知61y x =-，令0x =，得1y =-，所以直线在y 轴上的截距为1b =-，故选：A.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为45︒且在y 轴上的截距是2-的直线方程是（）A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =D ．2y x =【答案】B【解析】 倾斜角为45︒，∴直线的斜率为1，在y 轴上的截距是2-，∴直线方程2y x =-.故选：B.【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是.【答案】142y x =+【解析】因为直线l 与直线210x y ++=垂直，所以()21l k ⨯-=-，解得12l k =，所以直线l 的方程为()1322y x -=+，化简可得142y x =+.故答案为：142y x =+【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是2-.【答案】(1)25y x =+；(2)2y x =-.【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为25y x =+.（2）因为直线的倾斜角150α=︒，则该直线的斜率tan1503k =︒=.所以该直线的斜截式方程为2y x =-.考点三：直线的图象特征问题例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线35y x =-+不经过的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线1y ax a=-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由直线1y ax a =-，得：0a ≠，直线的斜率k a =，直线在y 轴上的截距为1a-，当0a >时，10a-<，则直线经过第一象限和第三象限，且与y 轴相交于x 轴下方；当a<0时，10a->，则直线经过第二象限和第四象限，且与y 轴相交于x 轴上方；只有B 选项的图象符合题意，故选：B.【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线1:l y ax b =+与2:l y bx a =-大致位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】因为1:l y ax b =+，2:l y bx a =-，对于A ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故A 错误；对于B ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b <，在y 轴上的截距0a -<，即0a >，符合题意，故B 正确；对于C ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，符合题意，故C 正确．对于D ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故D 错误.故选：BC.【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数2:l y kx b =+与1:(,l y kbx k b =为常数，且0)kb ≠，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于选项A 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb ><<∴A 错；对于选项B 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb <><，∴B 错；对于选项C 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb <><∴C 对；对于选项D 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb >>>∴D 错．故选：C ．考点四：点斜式与斜截式的应用例4.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线l 的方程为35ay ax -=+.(1)证明：直线l 恒经过第一象限；(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)3a <【解析】（1）313555-=+=-⎛⎫ ⎪⎝⎭+a y ax a x ，即直线一定过定点13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，于是直线l 一定经过第一象限.（2）由于直线经过第一象限的定点13,55⎛⎫⎪⎝⎭，只要该直线在y 轴上的截距大于0即可，而35a y ax -=+经过y 轴上的点30,5a -⎛⎫⎪⎝⎭，则305a ->，解得3a <【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a 为何值时，直线1l ：2y x a =-+与直线2l ：()222y a x =-+.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)1a =-；(2)3a =±【解析】（1）要使12//l l ，则需满足221122a a a ⎧-=-⇒=-⎨≠⎩.故当1a =-时，直线1l 与直线2l 平行.（2）要使12l l ⊥，则需满足()()2211a -⨯-=-，∴3a =.故当3a =±时，直线1l 与直线2l 垂直.【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线1l 的方程为y ＝－2x ＋3.(1)若直线2l 与1l 平行，且过点(1,3)-，求直线2l 的方程；(2)若直线2l 与1l 垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．【答案】(1)21y x =-+；(2)122y x =+或122y x =-【解析】（1）由直线2l 与1l 平行，可设2l 的方程为2y x b =-+，将1,3x y =-=代入，得3(2)(1)b =-⨯-+，即得1b =，所以直线2l 的方程为21y x =-+（2）由直线2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为12y x m =+，令0y =，得2x m =-，令0x =，得y m =，故三角形面积1|2|||42S m m =-⋅=，所以24m =，解得2m =±，所以直线2l 的方程是122y x =+或122y x =-【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点()()8,6,2,2A B -．(1)求线段AB 的中垂线的方程；(2)求以向量AB为方向向量且过点()2,3P -的直线l 的方程．【答案】(1)32344y x =-；(2)4133y x =--【解析】（1）易知线段AB 的中点的坐标为()5,2-，其斜率624823AB k --==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为34，由直线的点斜式方程可得线段AB 的中垂线的方程为()()3254y x --=-，即32344y x =-.（2）由已知得()6,8AB =- ，则直线l 的斜率为43-，又过点()2,3P -，由直线的点斜式方程得直线l 的方程为()()4323y x --=--，即4133y x =--.一、单选题1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线方程为（）A ．1y =-B ．2x =C ．2y =D ．=1x -【答案】B【解析】过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线垂直于x 轴，其方程为2x =.故选：B2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线43y x =+的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【答案】A【解析】直线4y x =+的斜率k =30α=︒.故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l 的方向向量()2,3a =，且过点()1,1，则直线l 的方程为（）A ．2350x y +-=B ．3250x y +-=C ．2310x y -+=D ．3210x y --=【答案】D【解析】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为32，所以直线l 的方程为31(1)2y x -=-，即3210x y --=．故选：D.4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点(1,2)-且与直线2y x =+垂直的直线方程为（）A ．2(1)3y x -=+B ．21)y x -+C ．21)y x -=+D ．21)y x -=+【答案】D【解析】 直线23y x =+由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点(1,2)-，∴垂线方程为21)y x -=+故选：D5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线()()10y k x k =+>可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为0k >，所以A C 错；当=1x -时，0y =，故B 对；故选：B6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.当,0a b >时，1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.故选：D二、多选题7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线123:52,:0.21,:51l y x l y x l y x =+=-+=-，则（）A ．1l 2l B ．12l l ⊥C ．13l l ⊥D ．1l 3l 【答案】BD【解析】设123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，结合题意易得：1235,0.2,5k k k ==-=，因为()1250.21,k k ⋅=⨯-=-，所以12,l l ⊥因为135,k k ==且21≠-，所以1l 3l .故选：BD.8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l ：8y x =-，则下列结论正确的是（）A ．点()2,6在直线l 上B ．直线l 的一个方向向量为()1,1u = C ．直线l 在y 轴上的截距为8D ．直线l 的倾斜角为π4【答案】BD【解析】对于A 选项，把2x =代入到8y x =-得y =-6，所以点()2,6不在直线l 上，A 错误；对于B 选项，因为直线l ：8y x =-，即为：80x y --=，直线的斜率为1，所以()1,1u = 为直线的一个方向向量，B 正确；对于C 选项，当0x =时，8y =-，所以直线l 在y 轴上的截距为8-，C 错误；对于D 选项，因为直线的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4，D 正确.故选：BD 三、填空题9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是.【答案】3-【解析】由点斜式方程得()52y x +=--，转化为斜截式方程可得3y x =--，所以该直线在y 轴上的截距为3-.故答案为：3-.10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：4y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为.【答案】100︒【解析】由题意得直线2l ：4y =+的斜率为直线的倾斜角范围为大于等于0︒小于180︒，故2l 的倾斜角为120︒，所以直线1l 的倾斜角为100︒，故答案为：100︒11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线l 过点()0,1P ，且斜率是倾斜角为π6的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为【答案】330y -+=【解析】倾斜角为π6的直线的斜率1πtan 6k ==l 的斜率k =，由点斜式方程可得)10y x -=-，整理可得：330y -+=.故答案为：330y -+=.四、解答题12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.【答案】(1)33y x =-；(2)5y =+；(3)122y x =-【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为33y x =-.（2）因为直线斜率为tan 60k =︒=，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：5y =+.（3）因为直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-，所以直线过点()4,0，()0,2-，根据两点可求直线斜率201042k --==-，所以直线的斜截式方程为122y x =-.13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）ABC 的三个顶点分别是()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；(2)求ABC 内BC 边上中线AD 方程.【答案】(1)220x y -+=；(2)()236030x y x -+=-<<【解析】（1）由()2,1B ，()2,3C -可得线段BC 的中点为()0,2，()131222BC k -==---，因为DE 是BC 边的垂直平分线，所以2DE k =，则DE 所在直线方程：22y x -=即220x y -+=（2）由（1）可得线段BC 的中点为()0,2，故BC 边上中线AD 方程为132x y +=-即2360x y -+=，所以ABC 内BC 边上中线AD 方程：()236030x y x -+=-<<。

2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷（上海专用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册全册。

5．难度系数：0.65。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为．【答案】平行或相交【解析】若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b平行或相交.故答案为：平行或相交.2．袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球，从中任取一个球，观察其颜色，该随机试验的样本空间中的样本点为．（只需写出一个）【答案】（白球）（答案不唯一）【解析】所有的样本点为（白球），（黑球），（红球），故答案为：（白球）（答案不唯一）3．某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为．4．若一个球的体积是4π3，则这个球的表面积是．所以这个球的表面积为24π4πR =.故答案为：4π.5．“直线m ^平面a ”是“m 垂直平面a 内无数条直线”的条件．【答案】充分不必要条件【解析】“直线m ^平面a ”Þ“m 垂直于平面内无数条直线”成立；“m 垂直于平面内无数条直线”Þ“直线m ^平面a ”不成立；因为无数条直线可以是平面内平行的直线；故“直线m ^平面a ”是“m 垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件.6．如图，矩形O A B C ¢¢¢¢是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中3O A ¢¢=，1O C ¢¢=，则原图形周长是．在直观图中，设O y ¢¢与B C ¢¢交于点P ¢，则cos 45O C O P ¢¢¢¢=°在原图形中，1CP =，222OP O P ¢¢==，2OC OP =+所以原图形的周长是()()223312OA OC ´+=´+=．7．已知PA ^正方形ABCD 所在的平面，且24PC =，PB PD ==，则PC 和平面ABCD 所成角的大小为．8．在某演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．9．如图，在三棱锥D -AEF 中，111,,A B C 分别是DA ，DE ，DF 的中点，B ，C 分别是AE ，AF 的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥D -AEF 的体积为2V ，则12:V V =．10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 ．（1）BM 与ED 平行； （2）CN 与BE 是异面直线；（3）CN 与BM 成π3； （4）DM 与BN 垂直；【答案】（3）（4）【解析】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示：11．设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且()0.5P M =，()0.25P N =，则()0.45P M N È=；（2）若()12P M =，()13P N =，()16P M N Ç=，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()12P M =，()13P N =，()56P M N Ç=，则M 、N 为相互独立事件；（4）若()12P M =，()13P N =，()16Ç=P M N ，则M 、N 为互斥事件；其中正确命题的个数为．则事件M ，N 不能同时发生，故事件M ，N 为互斥事件，故（4）正确；综上，正确命题的个数为3.故答案为：3.12．如下图，已知四边形,,ABCD ADEF AFGH 均为正方形，先将矩形EDHG 沿AD 折起，使二面角E AD B ¢--的大小为30o ，再将正方形AF G H ¢¢沿AF ¢折起，使二面角H AF D ¢-¢-的大小为30o ，则平面AF G H ¢¢¢¢与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为．作,H M DE ¢^¢交DE ¢于M ，作,DE AD ¢在平面AF E D ¢¢内，由,DE AD ¢在平面AF E D ¢¢内，由二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4100m ´接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，简单随机抽样C ．简单随机抽样，分层抽样D ．分层抽样，分层抽样【答案】A【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．故选：A14．某单位共有A 、B 两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n ，2n ，方差分别为21s ，22s ，则（ ）A ．12n n >，2212s s >B ．12n n >，2212s s <C ．12n n <，2212s s <D ．12n n <，2212s s >【答案】C【解析】根据频率分布条形图可知14n =，25n =，即12n n <；显然A 部门得分数据较B 部门更为集中，其方差更小，即2212s s <；故选：C15．若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的余弦值为（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75°角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11AC Ì 平面11AC ，NP Ë平面11A C ，11NP A C P ，所以NP P 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45o .又因为1C C ^平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90o ，而457590<<o o o ，所以过点P ，在平面1AC 内存在两条直线，使得与a 与b 的夹角都为75o ，同理可得，过点P ，在平面1F E 内存在两条直线，使得与a 与b 的夹角都为75o ，故②为假命题.故选：B三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图所示，圆柱1OO 的母线长为2，矩形11AA B B 是经过1OO 的截面，点C 为母线1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点.(1)求异面直线AB 与11A C 所成角的大小；(2)若圆柱1OO 的侧面积为4π，求直线1CC 与平面111A B C 所成角的正弦值的大小.【解析】（1）连接11A B ，则11//A B AB ，所以111B AC Ð是异面直线AB 与11A C 所成角（或其补角）， (2分)因为点1C 为弧11A B 的中点，所以11145B A C Ð=o，所以异面直线AB 与11A C 所成角为45o ； (6分)（2）设圆柱底面半径为r ，由已知2π24πr ⋅=，则1r =，连接11B C ，因为1CB ^平面111A B C ，所以11B C 是直线1CC 在平面111A B C 上的射影， 所以11CC B Ð是直线1CC 与平面111A B C 所成的角， (8分)111B C CC ===，所以11sin CC B Ð==即直线1CC 与平面111A B C (14分)18．已知三棱锥P ABC -中，,AB AC PA ^^平面,3,4,ABC PA AB AC M ===为BC 中点，过点M 分别作平行于平面PAB 的直线交AC PC 、于点E F 、.(1)求直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值；(2)证明：平面//MEF 平面PAB ，并求直线ME 到平面PAB 的距离.【解析】（1）因为PA ^平面ABC ，连接AM ，则PMA Ð即为直线PM 与平面ABC 所成的角， (2分)又3PA AB ==，4AC =，AB AC ^，M 为BC 中点，可得5BC =，52AM =，所以6tan 5PA PMA AM Ð==，即直线PM 与平面ABC 所成的角的正切值为65.(6分)（2）由题知，//ME 平面PAB ，//MF 平面PAB ，ME MF M =I ，,ME MF Ì平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . (8分)因为PA ^平面ABC ，AC Ì平面ABC ，所以PA AC ^，(10分)又AC AB ^，,AB PA Ì平面PAB ，AB PA A =I ，所以AC ^平面PAB ，又//ME 平面PAB ，所以AE 就是直线ME 到平面PAB 的距离，又M 为BC 中点，则122AE AC ==，即直线ME 到平面PAB 的距离为2.(14分)19．某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中N a Î，N b Î）；进球数012345高一人数42ab 4212高二人数311244337(1)请写出高二年级样本的中位数；(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a 的值；(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a 的值；【解析】（1）因为高二年级进球数不超过2个的人数为311216++=人，不超过3个的人数为164460+=人，所以高二年级样本的中位数为3个； (2分)（2）因为高一年级样本的平均数为3.2，所以()10412******** 3.2100a b ´´+´+++´+´=，即2390a b +=，又因为424212100a b +++++=，所以40a b +=，联立方程239040a b a b +=ìí+=î，解得3010a b =ìí=î，即a 的值为30；(6分)（3）由题意可知，高一100人中进球数为2的有a 人，则随机抽一人进球数为2 高二100人中进球数为2的有12人，则随机抽一人进球数为2的概率为12310025=， (10分)所以“至少有一个人的进球数为2”的概率31110.401610025a P ⎛⎫⎛⎫=--´-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32a =．(14分)20．在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BC =2π3ABC Ð=，111AB AC ^，,,,,D E F H G 分别为11111,,,,AC AA A C C C BB 的中点.(1)证明：平面DBE ∥平面1FB H ；(2)证明：平面1A AC ⊥平面ABC ；(3)若P 为线段1B G 上的动点，求二面角P AC B --的平面角的余弦值的取值范围．【解析】（1）三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，,D F 分别为11,AC A C 的中点，所以1AA //DF ，且1DF AA =，又因为1AA 1//BB ，且11BB AA =，所以1BB //DF ，且1DF BB =，所以四边形1DFB B 为平行四边形，所以1FB //DB ，又由于DB Ë面1B FH ，1FB Ì面1B FH ，所以DB //面1B FH ， (2分)在11AA C C Y 中，1CA //DE ，且112DE CA =，同理1CA //FH ，且112FH CA =，所以FH //DE ，又由于DE Ë面1B FH ，FH Ì面1B FH ，所以DE //面1B FH ，又DB //面1B FH ，DB DE D Ç=，,DB DE Ì平面DBE ，所以平面DBE ∥平面1FB H ； (4分)（2）连接1DA ， DB ，因为 AB BC = ，所以 AC DB ^ ，又因为 11//AC A C ，且111A C A B ^，所以 1AC A B ^ ，因为 1A B ， DB Ì 平面 1OBA ，且1A B DB B Ç= ，所以 AC ^ 平面 1DBA ，因为 1DA Ì 平面 1DBA ， (6分)所以1AC DA ^ ，在 ABC V 中， 2AB BC == ， 2π3ABC Ð=，AC ===由余弦定理求得AC ==则11A C AC ==，1BC = ，(8分)因为111A C A B ^，所以2221111A C A B BC += ，解得1A B =，在1Rt ADA ，12AA =，AD = ，可知11A D =，又1DB =，在1DBA △中，22211DA DB A B +=，因此1A D DB ^ ．由（1）知，1AC DA ^ ，且 AC ， DB Ì 平面 ABC ，且 AC DB D =I ，所以1A D ^ 平面ABC ，因为1A D Ì 平面 1A AC ，因此平面 1A AC ^ 平面 ABC ．(10分)（3）设[]()1,2BP x x =Î，12P ABC B ABC x V V --=，11222P ABC B ABC A ABC V x V x V x ---====所以P 到平面ACB 的距离为2xd =， (12分)在平行四边形11AA B B 中，计算得1cos 43BAA Ð=，在ABP 中可得2234AP x x =++，在平行四边形11CC B B 中，计算得11cos 43BB C Ð=-，(14分)在CBP 中可得2234CP x x =-+，在CAP中，CAPS ==所以P 到AC设二面角P AC B --的平面角为q，cos q ==.(18分)21．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，经过A ，1D ，E 三点的平面记为平面a ，点P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P a .(1)设平面11BCC B l a =I ，求证：1//AD l ；(2)平面a 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分，求这两部分的体积之比12V V （其中12V V ≤）；(3)当1A P 最小时，求三棱锥11P AA D -的外接球的表面积.【解析】（1）连接1BC ，因为11AB D C =且11//AB D C ，所以11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，1AD Ë平面11BCC B ，1BC Ì平面11BCC B ，所以1//AD 平面11BCC B ， (2分)又平面11BCC B l a =I ，1AD Ì平面a ，所以1//AD l .(4分)（2）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F =I ，连接AF ，设BC AF G =I ，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，1//EG AD \，所以平面1AGED 即为平面a ， (6分)因为E 为1CC 的中点，所以C 为DF 的中点，所以平面a 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，所以111F DAD F CGECGE DAD V V V V ---=-=棱台11771711564488838323F DAD DAD V S FD -==´´=´´´´´= ，\另一部分几何体的体积3256136433V -==，\两部分的体积12717V V =． (10分)（3）取11B C 的中点N ，1BB 的中点M ，连接MN 、ME 、1A M 、1A N ，显然1//MN BC ，1//EG BC ，所以//MN EG ，MN Ë平面1AGED ，EG Ì平面1AGED ，所以//MN 平面1AGED ，又E 为1CC 的中点，所以11//ME B C 且11ME B C =，又1111//B A C D 且1111A D B C =，所以11//A D ME 且11A D E M =，所以11A D EM 为平行四边形，所以11//A M D E ，1A M Ë平面1AGED ，1D E Ì平面1AGED ，所以1//A M 平面1AGED ，(12分)又1A M ME M =I ，1,A M ME Ì平面1A MN ，所以平面1//A MN 平面1AGED ，又点P 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A P a ，所以P 在线段MN上，又11A N A M ===，即1A MN 为等腰三角形，所以当P 为MN 的中点时1A P 最小，(14分)因为11AA D 为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边1AD 的中点，设为Q ，令1ME BC H =I ，则H 为1BC 的中点，连接QH ，则//QH AB ，所以QH ^平面11AA D ，所以球心在QH 上，设球心为O ，连接1OD 、OP 、PH ，设外接球的半径为R ，OQ h =，则1OD OP R ==，又1112D Q AD ==，PH =所以(222R h =+，()2224R h =-+，解得54h =，则215316R =，所以外接球的表面积21534ππ4S R ==. (18分)。

第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在等比数列{a n}中,a2=27,q=-1,则a5=()3A.-3B.3C.-1D.1,{a n}中,a2=27,q=-13则a5=a2·q3=-1,故选C.2.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=()A.6B.-6C.6.5D.±6:奇数项的符号相同,∴a5=√a3a7=√4×9=6.3.已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6=20,若a m2=10,则m=()A.9B.10C.11D.12,数列{a n}是等比数列,且a15a5+a14a6=2a102=20,所以a102=10,所以m=10.故选B.4.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A.12B.10C.1+log35D.2+log35{a n}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.5.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-26{a n}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a72,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13=a713=(-2)13=-213.6.(多选)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36B.36C.-36√2D.36√2{a n}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=±2√2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36√2.故选CD.7.在正项等比数列{a n}中,a1a3=9,a5=24,则公比q=.{a n}中,a1a3=9,a5=24,可得a22=9,a2=3,得q3=a5a2=8,解得q=2.8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.q ,则甲、乙、丙各分得28q 石,28石,28q 石,∴28q +28+28q=98,∴q=2或12.又0<q<1,∴q=12.9.等比数列{a n }同时满足下列三个条件:①a 1+a 6=11,②a 3·a 4=329,③三个数23a 2,a 32,a 4+49依次成等差数列.试求数列{a n }的通项公式.a 1a 6=a 3a 4=329,所以{a 1+a 6=11,a 1·a 6=329,解得{a 1=13,a 6=323或{a 1=323,a 6=13.当{a 1=13,a 6=323时,q=2,所以a n =13·2n-1,这时23a 2+a 4+49=329,2a 32=329,所以23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,故a n =13·2n-1.当{a 1=323,a 6=13时,q=12,a n =13·26-n ,23a 2+a 4+49≠2a 32,不符合题意.故通项公式a n =13·2n-1. 10.设{a n }是各项均为正数的等比数列,b n =log 2a n ,b 1+b 2+b 3=3,b 1b 2b 3=-3,求a n .{a n }的首项为a 1,公比为q ,∵b 1+b 2+b 3=3,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=3, ∴log 2(a 1a 2a 3)=3,∴a 1a 2a 3=8,∴a 2=2. ∵b 1b 2b 3=-3,∴log 2a 1·log 2a 2·log 2a 3=-3, ∴log 2a 1·log 2a 3=-3,∴log 2a2q ·log 2a 2q=-3,即(log 2a 2-log 2q )·(log 2a 2+log 2q )=-3, 即(1-log 2q )·(1+log 2q )=-3, 解得log 2q=±2.当log 2q=2时,q=4,a 1=a 2q=12,所以a n =12×4n-1=22n-3;当log 2q=-2时,q=14,a 1=a 2q=8,所以a n =8×(14)n -1=25-2n .能力提升练1.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 13(a 5+a 7+a 9)的值为( )A .-5B .-15C .5D .15log 3a n +1=log 3a n+1,∴a n+1a n=3, ∴数列{a n }是等比数列,公比q=3,∴lo g 13(a 5+a 7+a 9)=lo g 13(a 2q 3+a 4q 3+a 6q 3)=lo g 13[(a 2+a 4+a 6)q 3]=lo g 13(9×33)=-5.2.某工厂去年产值为a ,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( )A.6B.7C.8D.9n 年这个工厂的产值为a n ,则a 1=1.1a ,a 2=1.12a ,…,a n =1.1n a.依题意,得1.1n a>2a ,即1.1n >2,解得n ≥8.3.在正项等比数列{a n }中,a 3=2,16a 52=a 2a 6,则数列{a n }的前n 项积T n 中最大的值是( )A.T 3B.T 4C.T 5D.T 6,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3·q n-3=2·43-n =27-2n ,令a n >1,即27-2n >1,得n<72,因为n ∈N *,所以n ≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A .4.等比数列{a n }中,若a 12=4,a 18=8,则a 36的值为 .,a 12,a 18,a 24,a 30,a 36成等比数列,且a 18a 12=2,故a 36=4×24=64.5.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= .{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=a 23=4与a 4a 5a 6=a 53=12可得a 53a 23=(q 3)3,q 9=3.又a n-1a n a n+1=a n 3=(a 2q n-2)3=324,因此q 3n-6=81=34=q 36,所以n=14.6.在公差不为零的等差数列{a n }中,2a 3-a 72+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则a 7= ,b 6b 8= .2a 3-a 72+2a 11=2(a 3+a 11)-a 72=4a 7-a 72=0,又b 7=a 7≠0,∴b 7=a 7=4.∴b 6b 8=b 72=16.167.等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求实数a 1和d 的值.(2)b 16是不是{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.设数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =a 1+(n-1)d ,b n =b 1q n-1=a 1d n-1.由{a 4=b 4,a 10=b 10,得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9. 即3d=a 1(d 3-1),9d=a 1(d 9-1). 以上两式相除,整理得d 6+d 3-2=0. 解得d 3=1或d 3=-2.∵d ≠1,∴d 3=-2. ∴d=-√23.代入原方程中,解得a 1=√23.故a 1=√23,d=-√23.(2)由(1)得,数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =(2-n )·√23,b n =-(-√23)n . 故b 16=-(-√23)16=-32√23. 由(2-n )√23=-32√23,解得n=34. 故b 16为a n 的第34项.素养培优练某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少? (2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.设人第n 次服药后,药在体内的残留量为a n 毫克,则a 1=220,a 2=220+a 1×(1-60%)=220×1.4=308, a 3=220+a 2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得a n+1=220+25a n,∴a n+1-11003=25(a n-11003),∴{a n-11003}是以a1-11003=-4403为首项,25为公比的等比数列,∴a n-11003=-4403(25)n-1,∵-4403(25)n-1<0,∴a n<11003=36623,∴a n<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.。

无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题数学2024.06命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}14A x x =<<，{}11B x x =-<，则A B = （）A.(0,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(1,2)2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.平面内有A ，B ，C ，D 共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4B.6C.12D.204.一个小球做简谐运动，其运动方程为ππ()cos 23s t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()s t （单位：m ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在1t =时的瞬时速度为（单位：m/s ）（）A.π4-B.π4C.12-D.125.已知随机变量()2~9,X N σ，且()7110.6P X <<=，()120.1P X >=，则()67P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.46.设随机变量X 的概率分布列如下，且()103P X ≤=，则X 的方差()D X =（）X1-01P16m nA.12B.512C.712D.11127.函数3()3f x x x =-+在区间()m -上存在最大值与最小值，则实数m 的取值范围为（）A.12m <≤B.1m <≤C.22m >D.1m >8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，则（）A.1()2P B =B.1()12P AB =C.7()12P A B +=D.7()8P B A =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，c d >，则ac bd <B.若22a m a n >，则m n >C.若0a b <<，则11a b a >-D.若110a b<<，则2ab b <10.已知129910C C C m mm -++=，2220122(21)(1)(1)(1)m m m x a a x a x a x -=+++++++ ，*m ∈N ，则下列结论成立的是（）A.5m =B.2022512m m a a a ++++=C.22120222222mm m a a a a ++++= D.12322324m a a a ma m++++=- 11.已知函数()()1e xf x x =+，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小值为21e -B.若方程()f x a =有2个不同的解，则21e a ≥C.不等式()21f x x ≥+对x ∀∈R 成立D.当0k >时，若不等式()ln(1)f x k x kx ≥++恒成立，则0ek <≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数sin ()xf x x=，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程为______.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X ，则随机变量X 的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n 分的概率为n a ，则当n a 取最大值时n 的值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}24A x m x m =<<+，集合{()B x f x ==.（1）若1m =-，求()A B ⋃R ð；（2）若“x A ∀∈，都有x B ∈R ð成立”为真命题，求实数m 的取值范围.16.已知2(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数n 和a 的值；（2）求()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x 123456销售额y （单位：万元）2.0 4.0 5.2 6.1 6.87.4（1）根据题目信息，ˆˆˆy abx =+与ˆˆˆln y a b x =+哪一个更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y 关于时间x 的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X 表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式与数据：61ln 6.6ii x=≈∑，61ln 41.1i i i x y =⋅≈∑，()621ln 9.4i i x =≈∑，61128.4i i i x y =⋅=∑，6121i i x ==∑，6131.5ii y==∑样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = 的线性回归方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A 和B 两个武术项目的训练考核，A 、B 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A 项若为优秀得2分，概率为p ，B 项若为优秀得3分，概率为13，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ，求p 为何值时，()f p 取得最大值.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82819.已知函数1()2(21)ln f x ax a x x=-+-，12a ≤.（1）证明：当0a =时，()1f x ≤-；（2）已知()()4ln g x f x a x =+，且()g x 在区间[]2,5上单调递增，求a 的最小值；（3）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.无锡市普通高中2024年春学期高二期终调研考试试题数学2024.06命题单位：惠山区教师发展中心制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}14A x x =<<，{}11B x x =-<，则A B = （）A.(0,2)B.(1,3)C.(2,4)D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】绝对值不等式进行化简，利用集合的交集计算得出结果；【详解】集合{}14A x x =<<，由于11x -<等价于111x -<-<，即02x <<，故集合{}02B x x =<<.所以(1,2)A B ⋂=.故选：D .2.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论．【详解】由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立．∴“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.平面内有A ，B ，C ，D 共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（）A.4B.6C.12D.20【答案】B 【解析】【分析】简单的组合数问题，列举或运用组合数均可.【详解】线段为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条.故选：B.4.一个小球做简谐运动，其运动方程为ππ()cos 23s t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()s t （单位：m ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在1t =时的瞬时速度为（单位：m/s ）（）A .π4-B.π4C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】利用导数的物理意义，即可求解瞬时速度.【详解】()πππsin 223s t t ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，当1t =时，()π14s '=-，所以小球在1t =时的瞬时速度为πm /s 4-.故选：A5.已知随机变量()2~9,X N σ，且()7110.6P X <<=，()120.1P X >=，则()67P X <<=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】A 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解.【详解】由正态密度曲线的对称性可知，()790.3P X <<=，()()1260.1P X P X >=<=，所以()670.50.30.10.1P X <<=--=.故选：A6.设随机变量X 的概率分布列如下，且()103P X ≤=，则X 的方差()D X =（）X1-01P16m nA.12B.512C.712D.1112【答案】C 【解析】【分析】先根据已知条件求出,m n ，然后求出()E X ，再根据方差公式可求得结果.【详解】由题意得1161163m n m ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1623m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1121()1016632E X =-⨯+⨯+⨯=，所以2221111217()(1)(0)(1)62623212D X =⨯--+⨯-+-=.故选：C7.函数3()3fx x x =-+在区间()m -上存在最大值与最小值，则实数m 的取值范围为（）A.612m <≤B.1m <≤C.2m >D.1m >【答案】B 【解析】【分析】首先求函数导数，并由最值确定函数在区间()m -的单调性，再利用数形结合确定实数m 的取值范围.【详解】()()()2333110f x x x x =-+=-+-='，得=1x-或1x =，因为区间()m-的端点是开区间，所以函数()f x 在区间()m -上存在最大值和最小值，只能是极值点处取得最大值和最小值，()(),,x f x f x '的变化情况如下表，当332x x -+=，得1x =或2-，当332x x -+=-，得=1x -，或2x =，则02112m m ⎧>⎪-≤-<-⎨⎪<≤⎩，得1m <≤.故选：B8.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，则（）A.1()2P B = B.1()12P AB =C.7()12P A B +=D.7()8P B A =【答案】D 【解析】【分析】利用全概率公式结合条件可得()P B ，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件逐项分析即得.【详解】因为()13P A =，()56P A B =，()1118P A B =，所以()()511166P A B P A B =-=-=，()()117111818P A B P A B =-=-=，又()()()()()P A P B P A B P B P A B =+，即()()11713618P B P B =+-⎡⎤⎣⎦，解得()14P B =，故A 错误；因为()()()P AB P A B P B =，所以()()111()6424P AB P A B P B ==⨯=，故B 错误；()()()11113()342424P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C 错误；因为()()()718P AB P A B P B ==，所以()()()73718424P AB P A B P B ==⨯=，所以()()7724()183P BA P B A P A ===，故D 正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若0a b >>，c d >，则ac bd <B.若22a m a n >，则m n >C.若0a b <<，则11a b a >-D.若110a b<<，则2ab b <【答案】BD 【解析】【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项.【详解】A.若0,0c d ><，此时ac bd >，故A 错误；B.若22a m a n >，则20a >，则m n >，故B 正确；C.()()()11a a b ba b a a a b a a b ---==---，0,0,0a b a b <<-<，所以()0b a a b <-，即11a b a <-，故C 错误；D.若110a b<<，则0b a <<，则2ab b <，故D 正确；故选：BD 10.已知129910C C C m m m -++=，2220122(21)(1)(1)(1)m m m x a a x a x a x -=+++++++ ，*m ∈N ，则下列结论成立的是（）A .5m = B.2022512m m a a a ++++=C.22120222222mm ma a a a ++++=D.12322324m a a a ma m++++=- 【答案】BCD【解析】【分析】考查二项式定理展开式，只需结合选项特征，合理采用赋值法即可.【详解】对于A ，由已知有21109910C C +C C m m m m +-==，所以210m m ++=，即4m =，A 错误；对于B ，令0x =，得01221m a a a a =++++ ，令2x =-，得201225mm a a a a =-+-+ .两式相加并除以2，可得2022152mm a a a ++++= ，B 正确；对于C ，令12x =-即得22120222222mm ma a a a =++++ ，C 正确；对于D ，在原式两边同时求导得21211224(21)2(1)2(1)m m m m x a a x ma x ---=+++++ ，再令0x =，可知12324232m m a a a ma -=++++ ，D 正确.故选：BCD.11.已知函数()()1e xf x x =+，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 的最小值为21e -B.若方程()f x a =有2个不同的解，则21e a ≥C.不等式()21f x x ≥+对x ∀∈R 成立D.当0k >时，若不等式()ln(1)f x k x kx ≥++恒成立，则0e k <≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，只需求导研究函数性质即可；对B ，数形结合作出函数图象即可；对C ，构造函数证其最小值非负即可；对D ，整体换元，参变分离解决恒成立问题.【详解】对A ，()(2)x f x x e '=+，所以<2x -，()0f x '<，2x >-，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-单调递减，()f x 在(2+)-∞，上单调递增，所以()f x 最小值为21(2)f e-=-，A 正确；对B ，根据A 中的单调性分析，结合翻折变换，又-lim ()0x f x →∞=，可绘制|()|f x 图象如下，由图可知若|()|f x a =有两个不同的解，则21e =a ，B 错误；对C ，令()()21h x f x x =--，所以()(2)e 2x h x x '=+-，令()()x h x ϕ'=，()(3)e x x x ϕ'=+，易知3x <-，()0x ϕ'<，3x >-，()0x ϕ'>，所以()ϕx 在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，又3x <-时，()()0x h x ϕ'=<，(0)(0)0h ϕ'==，所以0x <，()0h x '<，0x >，()0h x '>，所以()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，C 正确；对D ，即ln[(1)e ]1(1)e x x x k x +⋅≤+恒成立，令(1)e 0xt x =+>，ln ()t g t t=，即()1k g t ⋅≤恒成立，21ln ()tg t t-'=，所以0e t <<，()0g t '>，t e >，()0g t '<，所以()g t 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减，所以1()(,)eg t ∈-∞，所以e k ≤，又0k >，所以0e k <≤，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：(1)方程的根的个数问题，可转化为对应图象交点个数问题；(2)恒成立问题，可转化为最值问题，注意参变分离技巧的使用三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数sin ()xf x x=，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程为______.【答案】112πy x =-【解析】【分析】对函数求导2cos sin ()x x x f x x-'=，代入得1(2π),(2π)02πf f '==，根据点斜式写出切线方程；【详解】函数2cos sin ()x x xf x x -'=，22πcos2πsin2π1(2π),(2π)0(2π)2πf f -'===，则曲线()y f x =在点(2π,0)处的切线方程1(2π)2πy x =-，即112πy x =-.故答案为：112πy x =-.13.某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是______.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】排列组合中的分配问题，可以按照人数分配分类讨论解决.【详解】情形一，分组人数为1，1，3.此时，甲乙在3人组，再添一人共13C 种方法，所以此时方法数为1333C A 18=.情形二，分组人数为1，2，2.此时，甲乙两人为单独一组，丙丁各在一组，戊与丙一组，或戊与丁一组，所以此时方法数为332A 12=.所以，共30种方法.故答案为：30.14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次散子，最终得分为X ，则随机变量X 的期望是______；若抛掷50次骰子，记得分恰为n 分的概率为n a ，则当n a 取最大值时n 的值为______.【答案】①.103##133②.82或84【解析】【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可；（2）记得1分的次数为x ，得3分的次数为50x -，则总分为1502=-n x ，进而由利用独立重复实验的概率可得505021C 33xxx n a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n a 取最大值时，要满足11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，从而利用组合数的性质即可求解.【详解】得1分的概率为4263=，得3分的概率为2163=，X 的可能取值为2,4,6，()2242339P X ==⨯=，()21442339P X ==⨯⨯=，()1116339P X ==⨯=，则随机变量X 的期望是()441102469993E X =⨯+⨯+⨯=；记得1分的次数为x ，则得3分的次数为50x -，因此抛掷50次骰子，所得总分为()3501502n x x x =+⨯-=-，次数得n 分的概率为505021C 33x xx n a -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若n a 取最大，则050,x x ≤≤∈N ，50150115050501501150502121C C 33332121C C 3333x x x x x x x x x x x x -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，可得3334≤≤x ，因为050,x x ≤≤∈N ，所以33x =，或34x =，当33x =时，15023384=-⨯=n ，当34x =时，15023482=-⨯=n ，故答案为：①103；②84或82.【点睛】关键点睛：解题的关键点是需要熟练应用独立重复事件的性质、在二项式中求系数最大（小）的项的方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}24A x m x m =<<+，集合{()B x f x ==.（1）若1m =-，求()A B ⋃R ð；（2）若“x A ∀∈，都有x B ∈R ð成立”为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(){}22A B x x x ⋃=≤-≥R 或ð（2）(][),22,-∞-+∞U 【解析】【分析】（1）先根据1m =-求出集合A ，然后求出集合B ,最后求出()A B ⋃R ð；（2）先把题目条件转化成A B ⋂=∅，然后根据A =∅和A ≠∅分类讨论.【小问1详解】当1m =-时，{}23A x x =-<<.又{}24B x x =≤≤，{}23A x x x ∴=≤-≥R 或ð，(){}22A B x x x ∴⋃=≤-≥R 或ð.【小问2详解】由“x A ∀∈，x B ∈R ð”为真命题，即A B ⋂=∅.当A =∅时，24m m ≥+，即4m ≥，符合题意；当A ≠∅时，2442m m m <+⎧⎨+≤⎩或2424m m m <+⎧⎨≥⎩，即2m ≤-或24m ≤<.综上所述，实数m 的取值范围是(][),22,∞∞--⋃+.16.已知2(0)na x a x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为64，前3项的系数之和为49.（1）求实数n 和a 的值；（2）求()2413na x x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数.【答案】（1）2a =，6n =（2）24【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出n ，再由展开式的前3项系数之和求出a ；（2）利用622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式可得答案【小问1详解】所有项的二项式系数之和为64，264n \=，6n ∴=.又前3项系数之和为49，()()()012012666C C C 49a a a ∴-+-+-=，解得2a =或85=-a ，又0a >，2a ∴=.综上，2a =，6n =；【小问2详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1k +项为()()()621231662C C 20,1,,6kkk kkk k T x x k x --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，令12310-=k ，可得23k =，不合题意，所以1k T +中不含10x 的项，令1239k -=，可得1k =，所以()119926C 212T x x =-=-，令1236-=k ，可得2k =，所以()226636C 260T x x =-=，()2413na x x x x ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭的展开式中10x 的系数为1236024-⨯+=.17.水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x 123456销售额y （单位：万元）2.0 4.0 5.2 6.1 6.87.4（1）根据题目信息，ˆˆˆy a bx=+与ˆˆˆln y a b x =+哪一个更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果，求出销售额y 关于时间x 的回归方程.（注：数据保留整数）；（3）为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X 表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.参考公式与数据：61ln 6.6ii x=≈∑，61ln 41.1i i i x y =⋅≈∑，()621ln 9.4i i x =≈∑，61128.4i i i x y =⋅=∑，6121i i x ==∑，6131.5ii y==∑样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = 的线性回归方程ˆˆˆy a bx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【答案】（1）ˆˆˆln y a b x =+（2）ˆ3ln 2yx =+（3）列联表见解析，数学期望为2【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得y 关于时间x 的回归方程类型；（2）求出y ，ln x ，ˆb，ˆa 可得y 关于时间x 的回归方程；（3）求出X 的所有可能取值及相应的概率可得答案.【小问1详解】根据表中的数据，可得y 关于时间x 的变化不是直线型，所以ˆˆˆln ya b x =+更适合作为销售额y 关于时间x 的回归方程类型；【小问2详解】31.5 5.256y ==， 6.6ln 1.16x ==，()()121662ln 6ln ˆln 6ln ==⋅-⋅=-∑∑ii i i i x y x y bx x241.161.15.2539.461.1-⨯⨯=≈-⨯，ˆ 5.2531.12a=-⨯≈，所以，销售额y 关于时间x 的回归方程为ˆ3ln 2yx =+；【小问3详解】X 的所有可能取值为1，2，3，则()124236C C 11C 5P X ===，()214236C C 32C 5P X ===，()3436C 13C 5P X ===.所以，X 的分布列为X123P153515()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为2.18.为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.12345678910训练前4759528.5675训练后8.59.57.59.58.569.58.599优秀人数非优秀人数合计训练前训练后合计（1）将上面的列联表补充完整，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；（2）从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；（3）为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行A 和B 两个武术项目的训练考核，A 、B 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响，A 项若为优秀得2分，概率为p ，B 项若为优秀得3分，概率为13，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为()f p ，求p 为何值时，()f p 取得最大值.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）同学的优秀情况与训练有关，理由见解析（2）1528（3）58p =【解析】【分析】（1）将列联表完善，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）设出事件，结合组合知识，利用条件概率求出答案；（3）计算出甲同学一天得分不低于3分的概率，从而得到38()(21)(1)81f p p p =+-，01p <<，求导后得到单调性，从而确定当58p =时，()f p 取得最大值.【小问1详解】零假设0H ：假设武术社团同学的武术优秀情况与训练无关.列联表为优秀人数非优秀人数合计训练前2810训练后8210合计1010202220(464)36 6.635101010105χ⨯-==>⨯⨯⨯.故根据小概率值0.01α=的独立性检验，零假设不成立，即同学的优秀情况与训练有关.【小问2详解】设“所选4人中恰有3人训练后为优秀”为事件A ，“所选4人中恰有1人训练前也为优秀”为事件B ，事件AB 为所选4人中，有1人训练前优秀，有2人为训练前非优秀，训练后变为优秀，有1人训练前非优秀，训练后也非优秀，从（1）中可知，有6人训练前非优秀，训练后变为优秀，有2人训练前非优秀，训练后也非优秀，则121262410C C C ()C P AB =，3182410C C ()C P A =，所以1212623182C C C ()15()()C C 28P AB P B A P A ===.【小问3详解】设“甲同学一天得分不低于3分”为事件M ，有121()1(1)133p P M p +⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，则恰有3天每天得分不低于3分的概率333421218()C 1(21)(1)3381p p f p p p ++⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，01p <<，232888()6(21)(1)(21)(21)(58)818181f p p p p p p '=⨯+--⨯+=⨯+-，当508p <<时，()0f p '>，518p <<时，()0f p '<，故()f p 在50,8p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在5,8p ⎛⎫∈ ⎪⎝+⎭∞单调递减.所以当58p =时，()f p 取得最大值.19.已知函数1()2(21)ln f x ax a x x =-+-，12a ≤.（1）证明：当0a =时，()1f x ≤-；（2）已知()()4ln g x f x a x =+，且()g x 在区间[]2,5上单调递增，求a 的最小值；（3）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）3222-（3）102a <≤【解析】【分析】（1）利用导数求函数的最大值，转化为证明函数的最大值小于等于1-；（2）首先求函数()g x 的解析式，由题意转化为()0g x '≥在区间[]2,5上恒成立，利用参变分离，转化为求解最值问题；（3）首先求函数的导数，分0a ≤，102a <<和12a =三种情况讨论函数的单调性，以及最值，分析函数的零点个数.【小问1详解】证明：当0a =时，1()ln f x x x=--，0x >，22111()xf x x x x -'∴=-=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；max ()(1)1f x f ∴==-，即()1f x ≤-.【小问2详解】1()2(21)ln g x ax a x x=+--，[]2,5x ∈，2222112(21)1()2a ax a x g x a xx x -+-+'∴=++=，由题意知()g x 在[]2,5上单调递增，()0g x '≥在[]2,5上恒成立，即22(21)10ax a x +-+≥在[]2,5上恒成立，2max 122x a x x -⎛⎫∴≥ ⎪+⎝⎭，[]2,5x ∈.下面研究函数2122x y x x -=+，[]2,5x ∈的最大值.令1t x =-，[]2,5x ∈，[]1,4t ∴∈，22142(1)2(1)26426t t y t t t t t t ∴===+++++++，[]1,4t ∈，42t t ⎡⎤∴+∈⎣⎦，4266,15t t ⎡⎤∴++∈+⎣⎦，426t t ∴++的最大值为32-，即2122x y x x -=+，[]2,5x ∈的最大值为32-，1x =+时，y 取到最大值.32a -∴≥，即a的最小值为32-.【小问3详解】22222112(21)1(21)(1)()2a ax a x ax x f x a x x x x+-++--'=-+==，0x >.①当0a ≤时，210ax -<.令()0f x '>得01x <<；令()0f x '<得1x >，()f x ∴在()0,1单调递增，()1,∞+上单调递减，max ()(1)210f x f a ∴==-<，此时()f x 无零点，不符合题意.②当102a <<时，112a>.令()0f x '>得01x <<或12x a >；令()0f x '<得112x a <<，()f x ∴在()0,1和1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又(1)210f a =-< ，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(1)0f x f ≤<，()f x ∴在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点.由（1）知，当0a =时，()1f x ≤-，即1ln 1x x+≥恒成立.用1x 替换x 得1ln 1x x ≥-，即ln 1≤-x x ，ln x x ∴<，<，ln 2ln x ∴=，当112x a >>11x >>，1x ∴->，1()2(21)ln 22(22(4f x ax a x ax a ax ax ∴=-+->-+=-+，∴存在231222m aa ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0>f m ，又因为102f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在01,2x m a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，又因为()f x 在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，且()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，所以0x 是()f x 的唯一零点.③当12a =时，22(1)()0x f x x-'=≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，又(1)210f a =-= ，()f x ∴有唯一零点，符合题意.综上，102a <≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是当102a <<时，讨论在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭有1个零点，用到了放缩法，以及零点存在性定理.。

高二会考数学知识点归纳5篇高二会考数学知识点归纳1第一章：三角函数。

考试必考题。

诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。

第二章：平面向量。

个人觉得这一章难度较大，这也是我掌握最差的一章。

向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大，只要在计算的时候记住要同起点的向量。

向量共线和垂直的数学表达，这是计算当中经常要用的公式。

向量的共线定理、基本定理、数量积公式。

难点在于分点坐标公式，首先要准确记忆。

向量在考试过程一般不会单独出现，常常是作为解题要用的工具出现，用向量时要首先找出合适的向量，个人认为这个比较难，常常找不对。

有同样情况的同学建议多看有关题的图形。

第三章：三角恒等变换。

这一章公式特别多。

和差倍半角公式都是会用到的公式，所以必须要记牢。

由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写之后贴在桌子上，天天都要看。

而且的三角函数变换都有一定的规律，记忆的时候可以结合起来去记。

除此之外，就是多练习。

要从多练习中找到变换的规律，比如一般都要化等等。

这一章也是考试必考，所以一定要重点掌握。

高二会考数学知识点归纳2等差数列对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为d;从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。

那么，通项公式为，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：将以上n-1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an,而右边则余下a1和n-1个d,如此便得到上述通项公式。

此外，数列前n项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

值得说明的是，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

王老师高中数学知识点总结一、函数与方程函数是高中数学的核心概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在高中阶段，我们主要学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数及其性质。

函数的图像和性质是解决相关问题的关键。

一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其图像为抛物线，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。

指数函数和对数函数互为反函数，指数函数的一般形式为y=a^x，对数函数的一般形式为x=log_a y。

三角函数包括正弦、余弦和正切函数，它们在解决与三角形相关的问题时尤为重要。

方程的求解是高中数学的另一重要内容。

一元一次方程、一元二次方程、不等式和不等式组的解法是基础，而高次方程和复杂方程组的求解则需要更多的技巧和方法。

二、数列与数学归纳法数列是按照一定顺序排列的一列数。

等差数列和等比数列是两种重要的数列类型。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

数列的求和公式，如等差数列和等比数列的求和公式，对于解决相关问题至关重要。

数学归纳法是一种证明方法，它依赖于两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤证明数列的前几项满足某个性质，归纳步骤则假设前n项满足该性质，并证明第n+1项也满足，从而得出整个数列满足该性质的结论。

三、几何几何部分包括平面几何和立体几何。

平面几何主要研究图形的性质和关系，如点、线、面的基本性质，角的度量，三角形、四边形和其他多边形的性质，以及圆的性质。

立体几何则关注三维空间中的图形，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球的性质。

在几何学习中，证明定理是一个重要的环节。

这包括使用公理、定义和已知定理来证明新的结论。

此外，计算图形的面积和体积也是几何学习的重要内容。

四、概率与统计概率论是研究随机事件的数学分支。

在高中阶段，我们主要学习了事件的概率、条件概率、独立事件的概率以及期望值和方差等概念。

2022年7.2探索平行线的性质一．选择题（共15小题）1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65°B．70°C．75°D．80°4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（）A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠BC．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（）A．129°B．128°C．127°D．126°6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（）A．30°B．60°C．50°D．40°7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（）A．75°B．35°C．110°D．40°8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（）A．134°B．124°C．114°D．104°10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D 分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45°B．36°C．72°D．18°11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（）A．56°B．46°C．36°D．34°13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（）A．45°B．60°C．40°D．30°14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE ＝γ，则（）A．β＜α＜γB．β＜γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ二．填空题（共18小题）16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝64°，则∠DEF＝°．17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝°．18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝．19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝．20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是．21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为．22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是°．23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝°．24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝°．25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝．26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD 上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是．27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝．28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为．29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是．（请填序号）30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF ＝°．31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝．32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝．33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动秒时，射线AM与射线BQ互相平行．三．解答题（共6小题）34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（）∴＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（）∴＝∠F（）∵BE⊥AF（已知）∴＝90°（）∴∠F＝90°．35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（），∴∠BAE+∠DCE＝+（等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）2022年7.2探索平行线的性质参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°【解答】解：∵BE∥CD，∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，∵∠2＝50°，∠3＝120°，∴∠C＝130°，∠D＝60°，∵AF∥BE，∠1＝40°，∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，∠F的值无法确定．故选：D．2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°．故选：D．3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65°B．70°C．75°D．80°【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，∴∠1+∠3＝115°，∵AD∥BC，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．故选：A．4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（）A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠BC．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC【解答】解：A：∵∠2＝∠C，由同位角相等两直线平行，可得AE∥CD，故A正确，B：∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，而∠2和∠B不一定相等，故B错误，C：∵AE∥CD，由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠3＝180°，故C正确，D：∵∠1＝∠2，由内错角相等两直线平行，可得：AD∥BC，故D正确．故选：B．5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（）A．129°B．128°C．127°D．126°【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠可知：∠IPF＝∠B＝90°，∠KPG＝∠C＝90°，EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝116°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝232°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣232°＝128°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣128°＝52°，∴∠IPK＝360°﹣∠IPF﹣∠KPG﹣∠FPG＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°．故选：B．6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（）A．30°B．60°C．50°D．40°【解答】解：由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，∴∠ADF＝2∠ADB，∵∠ADB＝20°，∴∠ADF＝2×20°＝40°，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠ADF＝40°，故选：D．7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（）A．75°B．35°C．110°D．40°【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，∵∠B＝75°，∠D＝35°，∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣75°＝105°，∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°，∴∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝145°﹣105°＝40°，故选：D．8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴答案①正确；∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D，而∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠D＝∠ABC，∴答案②正确；又∵∠CEF+∠CBF＝90°，∠AFB+∠ABF＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∠AFB＝∠CFE，∴∠CEF＝∠AFB＝∠CFE，∴答案④正确；∵∠ECD＝∠CAD，∠EBC＝∠EBA，∴∠ECD+∠EBC＝∠CFE＝∠BEC，∴答案③正确．故选：D．9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（）A．134°B．124°C．114°D．104°【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝34°，∵ED∥AC，∴∠CAE+∠AED＝180°，∴∠DEA＝180°﹣34°＝146°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB+∠BED+∠AED＝360°，∴∠BED＝360°﹣146°﹣90°＝124°，故选：B．10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D 分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45°B．36°C．72°D．18°【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：B．11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵m∥n，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣∠1＝110°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝110°，故选：B．12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（）A．56°B．46°C．36°D．34°【解答】解：∵直尺的对边互相平行，∠2＝44°，∴∠2＝∠3＝44°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝46°，故选：B．13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（）A．45°B．60°C．40°D．30°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，又∵∠A＝120°，∴∠ACD＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝30°，∴∠1＝30°，故选：D．14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE ＝γ，则（）A．β＜α＜γB．β＜γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ【解答】解：由图知，∠FBG＜45°，∴α＝∠ABF＝180°﹣45°﹣∠FBG＞90°；由图知，∠DGF＝45°，∠EGH＝45°，∴γ＝∠DGE＝180°﹣∠DGF﹣∠EGH＝180°﹣45°﹣45°＝90°，由图知，∠MCH＜45°，∠BCF＝45°，∴β＝∠FCH＝180°﹣∠BCF﹣∠MCH＝180°﹣45°﹣∠MCH＜90°，∴β＜γ＜α，故选：B．二．填空题（共18小题）16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝64°，则∠DEF＝58°．【解答】解：∵∠AEG＝64°，∴∠DEG＝180°﹣∠AEG＝116°，由折叠得：EF平分∠DEG，∴∠DEF＝∠DEG＝58°，故答案为：58°．17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝105°．【解答】解：如图，根据题意得，∠EDF＝45°，∵BC∥DF，∠B＝60°，∴∠2＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2+∠EDF＝60°+45°＝105°，故答案为：105．18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝50°．【解答】解：如图：∵∠2＝130°，∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝50°．故答案为：50°．19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝40°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠3＝∠2＝40°．故答案为：40°．20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是122°．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故答案为：122°．21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为130°．【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝25°，∴∠ABC＝∠BCD＝25°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝130°，故答案为：130°．22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是70°．【解答】解：∵∠1＝110°，∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝70°，故答案为：70．23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝56°．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°，∴∠EFC＝118°，由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°，∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°，故答案为：56．24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝117°．【解答】解：如图，∵∠1＝27°，∠CAB＝90°，∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°，∵a∥b，∴∠2＝∠BAD＝117°．故答案为：117．25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝86°．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝47°，∠BGP＝∠AEP，由折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝47°，∴∠AEP＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝86°，∴∠BGP＝86°．故答案为：86°．26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD 上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是140°或40°．【解答】解：（1）点P在直线AB、CD之间，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠FPM+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝130°，∴∠FPM＝50°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵PM∥AB，∴∠PEB+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝90°，∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝90°+50°＝140°；（2）点P在直线AB、CD外，延长PE交CD于点M，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠PMF＝∠PEB＝90°，∵∠PFD＝∠EPF+∠PMF，∠PFD＝130°，∴∠EPF＝∠PFD﹣∠PMF＝40°，故答案为：140°或40°．27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝40°或140°．【解答】解：如图1所示，∵∠A和∠B的两边互相平行，∴∠A＝∠1，∠1＝∠B．∴∠B＝∠A＝40°；如图2所示，∵∠A和∠B的两边互相平行，∴∠A＝∠1，∠1+∠B＝180°．∴∠B＝140°；故答案为：40°或140°．28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为75°或25°．【解答】解：如图1：∵AE∥BF，∴∠A+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠A，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝75°；如图2：∵AE∥BF，∴∠A＝∠1，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝2∠B+15°，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴2∠B+15°+∠B＝90°，∴∠B＝25°；综上，∠B的度数为75°或25°．故答案为：75°或25°．29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是①②③⑤．（请填序号）【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β，一共4个．故答案为：①②③⑤．30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF ＝61或119°．【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，∴∠FGE＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝20°．【解答】解：由题意得，AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝6∠CDE，∴∠BCF＝180°﹣6∠CDE，∵∠CDE＝∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝180°﹣6∠CDE+∠CDE＝180°﹣5∠CDE，∵∠BCD＝∠4CDE，∴180°﹣5∠CDE＝4∠CDE，∴∠CDE＝20°．故答案为：20°．32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝40°．【解答】解：由题意得：∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．∵∠AED'＝40°，∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．∴∠DEF＝＝70°．∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC．∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．∴∠EFC′＝110°．∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．故答案为：40°．33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动或18秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣1）2＝0；∴a＝6，b＝1，设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝15×6°＝90°，分两种情况：①当＜t＜15时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝（6t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝45°＝∠ABQ，∵∠MAM'＝90°，∴∠M'AB＝45°，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝（6t）°﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝（6t）°﹣45°，解得t＝；②当15＜t＜时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝（6t）°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣[（6t）°﹣90°]＝135°﹣（6t）°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝135°﹣（6t）°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣（6t）°，解得t＝18；综上所述，射线AM再转动秒或18秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为：或18．三．解答题（共6小题）34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义）∴∠EBC＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等）∵BE⊥AF（已知）∴∠BEF＝90°（垂直的定义）∴∠F＝90°．【解答】证明：∵AG∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵∠ABE＝∠FCB（已知），∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，即∠EBC＝∠FCD，∵CF平分∠BCD（已知），∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），∵BE⊥AF（已知），∴∠BEF＝90°（垂直的定义），∴∠F＝90°．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．【解答】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠E，∴∠BAE＝∠E，∴∠E＝∠DAE，∴AD∥BC．36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为∠CDP+∠P AB﹣APD ＝180°．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，∵∠A＝50°，∴∠APE＝∠A＝50°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD＝180°，∵∠D＝150°，∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠CDP＝∠DPF，∠FP A+∠P AB＝180°，∵∠FP A＝∠DPF﹣APD，∴∠DPF﹣APD+∠P AB＝180°，∴∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°，故答案为：∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°；（3）如图3，PD交AN于点O，∵AP⊥PD，∴∠APO＝90°，∵∠P AN+∠P AB＝∠APD，∴∠P AN+∠P AB＝90°，∵∠POA+∠P AN＝90°，∴∠POA＝∠P AB，∵∠POA＝∠NOD，∴∠NOD＝∠P AB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN＝∠PDC，∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN＝180°﹣（∠P AB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°，∴∠CDP+∠P AB＝180°+∠APD，∴∠AND＝180°﹣（∠P AB+∠PDC）＝180°﹣（180°+∠APD）＝180°﹣（180°+90°）＝45°．38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，（2）①由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF＝∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝×74°＝37°；②由①得：∠AEC＝2∠AFC，∵∠AEC+∠AFC＝126°，∴∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，∵CG⊥AF，∴∠CGF＝90°，∴∠GCF＝48°，∵CE平分∠DCG，∴∠GCE＝∠ECD，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，∴∠GCF＝3∠DCF，∴∠DCF＝16°，∴∠DCE＝32°，∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）【解答】解：（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．第41页（共41页）。

2024年高二数学难点知识点总结梳理一、直线与圆的相关理论：1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与坐标轴相交的直线，若将坐标轴绕交点逆时针旋转至与直线重合，所转过的最小正角称为直线的倾斜角。

若直线与坐标轴重合或平行，其倾斜角规定为0度。

2. 斜率的定义：已知直线的倾斜角为α，且α不等于90度，则该直线的斜率k等于tanα。

3. 直线方程的表示方法：点斜式：若直线经过某点，且斜率为k，则直线方程可表示为y y1 = k(____ ____1)。

斜截式：若直线在y轴上的截距为b，且斜率为k，则直线方程可表示为y = k____ + b。

4. 直线与直线的位置关系：平行：两条直线的斜率相等，即A1/A2 = B1/B2，需注意进行检验。

垂直：两条直线的斜率满足A1A2 + B1B2 = 0。

5. 点到直线的距离公式：两条平行线之间的距离是固定值。

6. 圆的方程表示：标准方程：(____ a)² + (y b)² = r²。

一般方程：____² + y² + D____ + Ey + F = 0，注意可以将标准方程转换为一般方程。

7. 圆外一点作圆的切线：从圆外一点向圆作切线，通常存在两条切线。

如果只求出了一条，另一条必然是与坐标轴垂直的直线。

8. 直线与圆的位置关系：通常通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，或利用垂径定理，构造直角三角形来求解弦长问题。

直线与圆的关系分为相离、相切、相交三种。

9. 解决直线与圆的关系问题时，应充分利用圆的平面几何性质，如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，以求解直线与圆相交所得弦长。

二、圆锥曲线方程的相关知识：直线与圆锥曲线交点的弦长公式。

三、直线、平面及简单几何体的研究：1. 学习三视图分析。

2. 斜二测画法的注意事项：在已知图形中选取互相垂直的轴O____、Oy。

在绘制直观图时，将其画成对应轴o'____'、o'y'，并使∠____'o'y' = 45°（或135°）。