考研高数讲义 第六章上课资料

考点:单调性与极值、最值1.单调性的判定法()()()(),00,0f x I I f x f x f x I ''><设函数在上连续在上满足（或）则函数在上单调增加（单调减少）.只有驻点（导数为的点）和不可导点（导数不存在的点）才能成为单调区间的分界点.定理1除最多有限个点外注:()()1110,.xf x x ⎛⎫=++∞⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例证明在内单调增加()[)()()()()()()()2,,,,,,f x f a f x a f x a F x x a x a F x a −''+∞+∞=>⎡⎤⎣⎦−+∞例设在上连续,在内大于零记证明在内单调增.32103.496y x x x =⎡⎤⎣⎦−+例确定的单调区间2.极值及其求法()()()()()()()00000(),,,.f x x x f x f x f x f x f x f x x f x <>设在点的某邻域内有定义如果对于该去心邻域内任一有（或）那么称是函数的一个极大值（或极小值）;相应的称为函数的一个极大值点（或极小值点）极值是一个局部概念,极大不一定是最大,极大也未必大于极小.定义1注:()()()000,0.f x x f x f x ''=若在点取极值则或不存在定理2（必要条件）()()()()()00000000,1,,2f x x x f x x x f x x f x x f x x x ''''设在处连续在的某去心邻域可导.（）若在两侧变号,则是极值点,且若由正变负是极大值点,由负变正是极小值点；（）若在两侧不变号,则不是极值点.定理3（第一判别法）()()()()()()00000000000.100,0,20f x x f x f x x f x x f x x f x x '=''≠''''><''=设在处二阶可导,（）若,则是极值点,且若是极小值点,是极大值点；（）若,则可能是极值点,也可能不是极值点.定理4（第二判别法）4cos x y e x =⎡⎤⎣⎦例求函数的极值.()()3353320,y x x y x y y x +−+−=⎡⎤⎣⎦例已知函数由方程确定求的极值.3.最大值最小值000()[,]()(,)(),()[,].()(,),()[,]f x a b f x a b f x a b f x a b f x a b x x x f x a b =求连续函数在闭区间上的最值的方法第一步：求出在内的所有驻点和不可导的点；第二步：计算在上述驻点、不可导点和端点处的函数值；第三步：比较,其中最大的即为在上的最大值,最小的即为最小值设连续函数在内有唯一极值点,若是极大（小）值点则是上的最大（小）值.注:[]65,1.y x =+−⎡⎤⎣⎦例求函数上的最大值与最小值7cos ,sin 02x a t y b t t π==≤≤⎡⎤⎣⎦例在椭圆（）内嵌入一内接矩形,使其边平行于椭圆的轴,问矩形的边长分别为多少时,其面积最大.。

《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。

以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。

2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。

(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。

(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。

(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。

二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。

2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。

2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。

2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。

通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。

第六章多元函数积分学2013考试内容二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分的应用2013考试要求1.2.3.4.5.6. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

掌握计算两类曲线积分的方法。

掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

7. 了解散度与旋度的概念，并会计算。

8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。

关于平面积分（二重积分）和空间积分（三重积分、二类曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。

后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界辅助线，极坐标逆弧圆；多种曲线同园拆，六大对称记心间；三重积分切穿影，曲线曲面入路径；闭线闭面高托格，开线开面三补全开面锐正闭面外，正规区域一项算；极柱球系雅换元，六类积分谙转换。

223第一节多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）一、三基层面1、性质与定理①比较定理f≤g⇒⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ ( d σ = dxdy)DD②估值定理 M,m分别为f(x,y)在闭区域D上的最大与最小值，A为D的面积，则mA≤⎰⎰f(,x)y≤dsD MA③中值定理● f(x,y)在D上连续，则∃(ξ,η)∈D⇒⎰⎰f(x,y)ds=f(ξ,η)AD● f(x,y), g(x,y)在D上连续，则∃(ξ,η)∈D⇒⎰⎰f(x,y)f(x,y)dσ=f(ξ,η)⎰⎰g(x,y)dσDD④几何意义⎰⎰f(x, y)dσ等于以D为底，以z=f(x, y)为顶的曲顶柱体的体积。

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim)21ln(arctan lim33-=-=+->->-xxx x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知23)(6lim0)(6sin limxx f xx xf x x x +=+>->-，求解：233')(6cos 6lim)(6sin limxxy x f x xx xf x x x ++=+>->-72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 0=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim2'lim)(6lim2====+>->->-y xy xx f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，x xx x ba 3)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=xx x xx b a xt ba t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a ba t xx xxx x =∴=++=>->-（变量替换）5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 1)1ln(12x +三、补充习题（作业） 1.3cos11lim-=---->-xx x e xx （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xxctgx x ->- （洛必达或Taylor ）3.11lim 22=--->-⎰xxtx edtex （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y tx x y y 由决定，求dx dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

第六章 定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节 定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念： 一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件： 二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=， 且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所 围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(， 取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积 为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ， 则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成 一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的 圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱， 直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的 立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间， 该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ， 则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交 成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且 垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴 与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=， 于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。

第六章 多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P (x,y )∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。

例如 1:,12222≤+--=y x D y x z 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数Ω∈=),,(),,,(z y x z y x f u 空间一个点集，称为三元函数。

n x x x f u n 元函数称为),,,(21 =它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设),(),(00y x y x f 在点的邻域内有定义，如果对任意,00>>δε存在，只要εδ<-<-+-A y x f y y x x ),(,)()(2020就有则记以A y x f A y x f y x y x y y xx ==→→→),(lim ),(lim )(),(000或称当),(),(),(00y x ，f y x y x 时趋于的极限存在，极限值为A 。

否则，称为极限不存在。

值得注意：),(),(00y x y x 趋于这里是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于),(00y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若处连续在点则称),(),(),(),(lim 00000y x y x f y x f y x f xx y y =→→ 若D y x f 在区域),(内每一点皆连续，则称),(y x f 在D 内连续。

第六章多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。

同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。

第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。

复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。

【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。

【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。

在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。

在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。

【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。

另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。

一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。

定义2 如果连续。

如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。

定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。