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泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
物理化学泊松方程泊松方程是物理化学中一种重要的偏微分方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
它是电场的基本方程之一，也是研究电子结构、电解质溶液等领域的基础。
我们来了解一下泊松方程的基本形式。
在三维空间中，泊松方程可以表示为：▽²Φ = -ρ/ε₀其中，▽²Φ表示拉普拉斯算子作用于电势Φ得到的结果，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
这个方程建立了电势分布和电荷分布之间的关系，通过求解该方程，我们可以得到电势场的分布情况。
泊松方程的物理意义可以从两个方面理解。
首先，它描述了电势场中的电荷分布情况。
当电荷密度ρ为零时，泊松方程退化为拉普拉斯方程，描述了无电荷的电势场分布情况。
其次，泊松方程还可以用于求解电势场中的电荷分布。
通过已知的电势分布，可以反推出电荷分布情况，这在研究电子结构、电解质溶液等问题时非常有用。
泊松方程在物理化学中的应用非常广泛。
例如，在固体物理中，泊松方程被用来研究电子在晶格中的运动和能带结构；在电解质溶液中，泊松方程被用来研究电位分布和电解质浓度之间的关系。
此外，泊松方程还可以应用于电容器、半导体、生物电势等领域。
为了求解泊松方程，我们需要给定边界条件。
边界条件可以是电势值的固定值，也可以是电势梯度的固定值。
根据边界条件的不同，可以得到不同形式的泊松方程解。
对于一些复杂的情况，如非线性泊松方程、含时泊松方程等，求解起来可能更加困难，需要借助数值计算方法或近似方法。
泊松方程是物理化学中一种重要的方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
通过求解泊松方程，可以得到电势场的分布情况，从而揭示了电势和电荷分布之间的联系。
泊松方程在固体物理、电解质溶液等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
第二章 静 电 场§ 2-1 算 子 计 算 式 的 建 立静电场的电场强度E 可由下式求得 φ-∇=E (2-1)式中是φ静电位，∇ 是梯度算子。
∇ 在恒定介电常数ε和体电荷密度ρ的区域内，静电位满足泊松(Poisson)方程ρφ=∇-2/ε (2-2)式中2∇是拉普拉斯算子。
为得到唯一解，必须加上φ的边界条件。
换言之，必须规定算子的定义域。
现在我们来研究电菏在无界空间中的场。
常数=φr 当∞→r （2-3） 式中r 是在有限区域内每个ρ与坐标原点的距离。
微分算子的算式为 ρφ=L （2-4）式中2∇=εL （2-5）定义域是使拉普拉斯算子存在的函数Φ，而且按照式（2-3），在无限远处，φr 有界。
此问题的以知解是z d y d x d Rz y x z y x ''''''=⎰⎰⎰περ4),,(),,(φ（2-6）式中R=222)()()(z z y y x x '-+'-+'-是由原点),,(z y x '''到场点()z y x ,,的距离。
因此，L 的逆算子是⎰⎰⎰'''=-R z d y d x d L πε411（2-7）应记住，只有在式（2-3）的边界条件下，式（2-7）才是式（2-5）的逆算子。
如果边界条件改变，1-L 也改变。
此外，将式（2-5）选定为L ,式(2-7)选定为1-L 是任意的，如果需要的话，也可以将符号倒换。
静电问题（ε是常数）的适当内积⎰⎰⎰=dxdydzz y x z y x ),,(),,(,ϕφφϕ（2-8）式中积分在全空间范围内进行。
容易证明，式（2-8）满足式(1-2) .(1-3)和(1-4)的假设。
现在要证明对于此内积，L 是自伴的。
为此，列出式（1-5）的左方τϕφεϕφd L )(,2∇-=⎰⎰⎰（2-9）式中τd =dxdydz 。
静电场的两个基本方程
静电场是我们日常生活中经常遇到的一种物理现象。
静电场表现
为电荷的作用，当电荷与各种物质相互作用时，就会产生一种静电场。
静电场可以用两个基本方程来描述。
第一个基本方程是高斯定理，它说明了静电场的电通量密度与电场强度之间的关系。
高斯定理可以
表示为：
∮S E·dS = Q/ε0
其中∮S E·dS表示电场E在某个由曲面S包围的体积内的通量积分，Q表示该体积内的总电荷量，而ε0则是自由空间的电常数。
该定理表明，一个具有总电荷量Q的物体所产生的电场E在它周围形成的
球面上的电通量是Q/ε0。
第二个基本方程是泊松方程式，它可以用来计算电势在某些区域
中的值。
泊松方程式可以表示为：
∇2Φ = -ρ/ε0
其中∇2Φ表示电势Φ在某个区域内的拉普拉斯算子，而-ρ/ε0则是该区域内的电荷体密度。
这个方程可以帮助我们确定电场强度E
与电势Φ之间的关系。
通过这两个基本方程，我们可以计算静电场的各种参数。
除了能
够帮助我们解决一些实际问题，例如静电吸附和静电放电问题外，对
于研究物质的性质和性能也有很大的指导意义。
总之，静电场是电荷的作用所形成的一种物理现象，而高斯定理和泊松方程式是研究和计算静电场相关参数的重要基本方程，为我们理解和应用静电场提供了重要的工具和指导。
