2.22第五章_相交线与平行线_单元检测试题(含答案)
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第五章相交线与平行线单元试卷检测题(WORD 版含答案)(1)一、选择题1.下列说法中,正确的有( )①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等; ③等腰三角形的两底角相等; ④等腰三角形两底角的平分线相等.A .1个B .2个C .3个D .4个2.如图,已知直线a ∥b ,∠1=100°,则∠2等于( )A .80°B .60°C .100°D .70°3.如图,五边形ABCDE 中,AE ∥BC ,则∠C +∠D +∠E 的度数为( )A .180°B .270°C .360°D .450°4.如下图,下列条件中:①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5,能判定AB ∥CD 的条件为( )A .①②③④B .①②④C .①③④D .①②③5.如图1n //AB CB ,则∠1+∠2+∠3+…+∠n=( )A .540°B .180°nC .180°(n-1)D .180°(n+1)6.如图所示,若∠1=∠2=45°,∠3=70°,则∠4等于( )A .70°B .45°C .110°D .135° 7.下列命题中,假命题的个数为( ) (1)“是任意实数,”是必然事件; (2)抛物线的对称轴是直线;(3)若某运动员投篮2次,投中1次,则该运动员投1次篮,投中的概率为; (4)某件事情发生的概率是1,则它一定发生;(5)某彩票的中奖率为10%,则买100张彩票一定有1张会中奖;(6)函数与轴必有两个交点.A .2B .3C .4D .58.下列说法不正确的是( ) A .过任意一点可作已知直线的一条平行线 B .在同一平面内两条不相交的直线是平行线 C .在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D .直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短9.下列语句是命题的是 ( )(1)两点之间,线段最短;(2)如果两个角的和是180度,那么这两个角互补;(3)请画出两条互相平行的直线;(4)一个锐角与一个钝角互补吗?A .(1)(2)B .(3)(4)C .(2)(3)D .(1)(4)10.已知,//AB CD ,且2CD AB ,ABE △和CDE △的面积分别为2和8,则ACE △的面积是( )A .3B .4C .5D .611.如图,下列不能判定DF ∥AC 的条件是( )A.∠A=∠BDF B.∠2=∠4C.∠1=∠3 D.∠A+∠ADF=180°12.如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的点,画射线ED.下列说法错误的是()A.∠B与∠2是同旁内角B.∠A与∠1是同位角C.∠3与∠A是同旁内角D.∠3与∠4是内错角二、填空题13.如图,∠AEM=∠DFN=a,∠EMN=∠MNF=b,∠PEM=12∠AEM,∠MNP=12∠FNP,∠BEP,∠NFD的角平分线交于点I,若∠I=∠P,则a和b的数量关系为_____(用含a的式子表示b).14.如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°,那么∠BED的度数为_______.15.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角________对.16.两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.17.如图,已知EF∥GH,A、D为GH上的两点,M、B为EF上的两点,延长AM于点C,AB平分∠DAC,直线DB平分∠FBC,若∠ACB=100°,则∠DBA的度数为________.18.如图,AB ∥CD ,点P 为CD 上一点,∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ,已知∠F =40°,则∠E =_____度.19.如图,AB ∥CD ,∠B =75°,∠E =27°,则∠D 的度数为_____.20.如图,AD 平分,34BDF ∠∠=∠,若150,2130∠=︒∠=︒,则CBD ∠=________︒.三、解答题21.已知:如图所示,直线MN ∥GH ,另一直线交GH 于A ,交MN 于B ,且∠MBA =80°,点C 为直线GH 上一动点,点D 为直线MN 上一动点,且∠GCD =50°.(1)如图1,当点C 在点A 右边且点D 在点B 左边时,∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线于点P ,求∠BPC 的度数;(2)如图2,当点C 在点A 右边且点D 在点B 右边时,∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线于点P ,求∠BPC 的度数;(3)当点C 在点A 左边且点D 在点B 左边时,∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线所在直线交于点P ,请直接写出∠BPC 的度数,不说明理由.22.已知//AB CD ,点E 、F 分别在AB 、CD 上,点G 为平面内一点,连接EG 、FG .(1)如图,当点G 在AB 、CD 之间时,请直接写出AEG ∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系__________.(2)如图,当点G 在AB 上方时,且90EGF ︒∠=, 求证:90︒∠-∠=BEG DFG ;(3)如图,在(2)的条件下,过点E 作直线HK 交直线CD 于K , FT 平分DFG ∠交HK 于点T ,延长GE 、FT 交于点R ,若ERT TEB ∠=∠,请你判断FR 与HK 的位置关系,并证明. (不可以直接用三角形内角和180°)23.如图1,AB ∥CD ,点E 在AB 上,点G 在CD 上,点 F 在直线 AB ,CD 之间,连接EF ,FG ,EF 垂直于 FG ,∠FGD =125°.(1)求出∠BEF 的度数;(2)如图 2,延长FE 到H ,点M 在FH 的上方,连接MH ,Q 为直线 AB 上一点,且在直线 MH 的右侧, 连接 MQ ,若∠EHM=∠M +90°,求∠MQA 的度数;(3)如图 3,S 为 NB 上一点,T 为 GD 上一点,作直线 ST ,延长 GF 交 AB 于点 N ,P 为直线 ST 上一动点,请直接写出∠PGN ,∠SNP 和∠GPN 的数量关系 .(题中所有角都是大于 0°小于 180°的角)24.问题情境:如图1,AB CD ∥,130PAB ∠=︒,120PCD ∠=︒,求APC ∠的度数.小明的思路是:如图2,过P 作PE AB ,通过平行线性质,可得APC ∠=______. 问题迁移:如图3,AD BC ∥,点P 在射线OM 上运动,ADP α∠=∠,BCP β∠=∠.(1)当点P 在A 、B 两点之间运动时,CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系?请说明理由.(2)如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合),请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系.25.(1)①如图1,//AB CD ,则B 、P ∠、D ∠之间的关系是 ;②如图2,//AB CD ,则A ∠、E ∠、C ∠之间的关系是 ;(2)①将图1中BA 绕B 点逆时针旋转一定角度交CD 于Q (如图3).证明:123BPD ∠=∠+∠+∠②将图2中AB绕点A顺时针旋转一定角度交CD于H (如图4)证明:∠+∠+∠+∠=︒E C CHA A360∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度(3)利用(2)中的结论求图5中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=数.A B C D E F G26.钱塘江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°.(1)求a、b的值;(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前,若射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.27.课题学习:平行线的“等角转化”功能.阅读理解:∠+∠+∠的度数.如图1,已知点A是BC外一点,连接AB,AC,求BAC B C(1)阅读并补充下面推理过程.解:过点A 作ED BC ∥B EAB ∴∠=∠,C ∠=__________.__________180=︒180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将BAC ∠,B ,C ∠“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.方法运用:(2)如图2,已知AB ED ,试说明:180D BCD B ∠+∠-∠=︒(提示:过点C 做CF AB ∥).深化拓展:(3)已知AB CD ∥,点C 在点D 的右侧,70ADC ∠=︒.BE 平分ABC ∠,DE 平分ADC ∠,BE ,DE 所在的直线交于点E ,点E 在AB 与CD 两条平行线之间. ①如图3,点B 在点A 的左侧,若60ABC ∠=︒,则BED ∠的度数为________. ②如图4,点B 在点A 的右侧,且<AB CD ,AD BC <.若ABC n ∠=︒,则BED ∠的度数为________.(用含n 的代数式表示)28.已知://AB DE ,//AC DF ,B C E F 、、、四点在同一直线上.(1)如图1,求证:12∠=∠;(2)如图2,猜想1,3,4∠∠∠这三个角之间有何数量关系?并证明你的结论; (3)如图3,Q 是AD 下方一点,连接,AQ DQ ,且13DAQ BAD ∠=∠,13ADQ ADF ∠=∠,若110AQD ∠=︒,求2∠的度数.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】分析:等腰三角形中顶角平分线,底边中线及高互相重合,即三线合一,两腰上的角平分线、中线及高都相等.详解:①等腰三角形的两腰相等;正确;②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;正确;③等腰三角形的两底角相等;正确;④等腰三角形两底角的平分线相等.正确.故选D .点睛:本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念,能够熟练掌握.2.A解析:A【解析】试题分析:根据对顶角相等可得∠3=∠1=100°,再根据两直线平行,同旁内角互补可得∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°.故答案选A .考点:平行线的性质.3.C解析:C【分析】首先过点D 作DF ∥AE ,交AB 于点F ,由AE ∥BC ,可证得AE ∥DF ∥BC ,然后由两直线平行,同旁内角互补,证得∠A+∠B =180°,∠E+∠EDF =180°,∠CDF+∠C =180°,继而证得结论.【详解】过点D 作DF ∥AE ,交AB 于点F ,∵AE ∥BC ,∴AE ∥DF ∥BC ,∴∠A+∠B =180°,∠E+∠EDF =180°,∠CDF+∠C =180°,∴∠C+∠CDE+∠E =360°,故选C .【点睛】本题考查了平行线的性质,解题时掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.4.C解析:C【详解】解:①∵∠B+∠BCD=180°,∴AB ∥CD ;②∵∠1=∠2,∴AD ∥BC ;③∵∠3=∠4,∴AB ∥CD ;④∵∠B=∠5,∴AB ∥CD ;∴能得到AB ∥CD 的条件是①③④.故选C .【点睛】此题主要考查了平行线的判定,解题关键是合理利用平行线的判定,确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定:同旁内角互补,两直线平行;内错角相等,两直线平行; 同位角相等,两直线平行.5.C解析:C【分析】根据题意,作21//DB AB ,31//EB AB ,41//FB AB ,由两直线平行,同旁内角互补,即可求出答案.【详解】解:根据题意,作21//DB AB ,31//EB AB ,41//FB AB ,∵1n //AB CB ,∴121180B B D ∠+∠=︒,2323180DB B B B E ∠+∠=︒,3434180EB B B B F ∠+∠=︒,……∴122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯,…… ∴123180(1)n n ∠+∠+∠++∠=︒⨯-;故选:C .【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是正确作出辅助线,熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明. 6.C解析:C【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠5,再由等量代换得∠2=∠5,即可得到到a ∥b ,利用两直线平行同旁内角互补可得∠3+∠4=180°,最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数.【详解】解:∵∠1与∠5是对顶角,∴∠1=∠2=∠5=45°,∴a ∥b ,∴∠3+∠6=180°,∵∠3=70°,∴∠4=∠6=110°.故答案为C .【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定,其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键.7.C解析:C试题解析:(1)“a是任意实数,|a|-5>0”是不确定事件,是假命题;(2)抛物线y=(2x+1)2的对称轴是直线x=-,是假命题;(3)若某运动员投篮2次,投中1次,则该运动员投1次篮,投中的概率为,是假命题;(4)某件事情发生的概率是1,则它一定发生,是真命题;(5)某彩票的中奖率为10%,则买100张彩票中奖的可能性很大,但不是一定中奖,是假命题;(6)函数y=-9(x+2014)2+与x轴必有两个交点,是真命题,则假命题的个数是4;故选C.考点:命题与定理.8.A解析:A【解析】试题分析:平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故A不正确;在同一平面内两条不相交的直线是平行线,这是平行线的概念,故B正确;在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直,故C正确;直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,故D正确;故选:A.9.A解析:A【分析】根据命题的定义对四句话进行判断.【详解】解:(1)两点之间,线段最短,它是命题;(2)如果两个角的和是90度,那么这两个角互余,它是命题;(3)请画出两条互相平行的直线,它不是命题;(4)一个锐角与一个钝角互补吗?,它不是命题.所以,是命题的为(1)(2),故选:A.【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成如果…那么…形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.10.B解析:B利用平行线间的距离相等可知ABC 与ACD △的高相等,底边之比等于面积之比,设ACE △的面积为x ,建立方程即可求解.【详解】∵//AB CD∴ABC 与ACD △的高相等∵2CD AB =∴=2ACD ABC S S设ACE △的面积为x ,则=8+=+ACD CDE ACE SS S x ,=2+=+ABC ABE ACE S S S x ∴()822+=+x x解得4x =∴=4ACE S故选B .【点睛】本题考查平行线间的距离问题,由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等,从而建立方程是解题的关键.11.B解析:B【分析】根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断.【详解】解:A .∠A =∠BDF ,由同位角相等,两直线平行,可判断DF ∥AC ;B .∠2=∠4,不能判断DF ∥AC ;C .∠1=∠3由内错角相等,两直线平行,可判断DF ∥AC ;D .∠A +∠ADF =180°,由同旁内角互补,两直线平行,可判断DF ∥AC ;故选:B .【点睛】此题考查平行线的判定,熟练掌握内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.12.B解析:B【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可.【详解】解:A .∠B 与∠2是BC 、DE 被BD 所截而成的同旁内角,故本选项正确;B .∠A 与∠1不是同位角,故本选项错误;C .∠3与∠A 是AE 、DE 被AD 所截而成的同旁内角,故本选项正确;D .∠3与∠4是内错角AD 、CE 被ED 所截而成的内错角,故本选项正确;【点睛】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角,同位角的边构成“F“形,内错角的边构成“Z“形,同旁内角的边构成“U”形.二、填空题13..【分析】分别过点P 、I 作ME∥PH,AB∥GI,设∠AME=2x,∠PNF=2y,知∠PEM=x,∠MNP=y,由PH∥ME 知∠EPH=x,由EM∥FN 知PH∥FN,据此得∠HPN=2y,∠E 解析:81209a b =-︒. 【分析】分别过点P 、I 作ME ∥PH ,AB ∥GI ,设∠AME=2x ,∠PNF=2y ,知∠PEM=x ,∠MNP=y ,由PH ∥ME 知∠EPH=x ,由EM ∥FN 知PH ∥FN ,据此得∠HPN=2y ,∠EPN=x+2y ,同理知3902EIF x x ∠︒-+=,根据∠EPN=∠EIF 可得答案. 【详解】 分别过点P 、I 作ME ∥PH ,AB ∥GI ,设∠AME =2x ,∠PNF =2y ,则∠PEM =x ,∠MNP =y ,∴∠DFN =2x ,∵PH ∥ME ,∴∠EPH =x ,∵EM ∥FN ,∴PH ∥FN ,∴∠HPN =2y ,∠EPN =x +2y ,同理,3902EIF x x ∠︒-+=, ∵∠EPN =∠EIF ,∴3902x x ︒-+=x +2y ,∴339042b︒-a=,∴91358b a =︒-,∴81209b-︒a=,故答案为:81209b-︒a=.【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质,解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.14.70°【分析】此题要构造辅助线:过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.然后运用平行线的性质进行推导.【详解】解:如图所示,过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.∵EG∥AB,FH∥A解析:70°【分析】此题要构造辅助线:过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.然后运用平行线的性质进行推导.【详解】解:如图所示,过点E,F分别作EG∥AB,FH∥AB.∵EG∥AB,FH∥AB,∴∠5=∠ABE,∠3=∠1,又∵AB∥CD,∴EG∥CD,FH∥CD,∴∠6=∠CDE,∠4=∠2,∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°.∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠ABE=2∠1,∠CDE=2∠2,∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=2×35°=70°.故答案为70°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,根据题中的条件作出辅助线EG∥AB,FH∥AB,再灵活运用平行线的性质是解本题的关键.15.24【解析】【分析】根据三线八角的特点,对四条直线产生的6个交点,两两一组进行分类求解即可.【详解】解:如图所示观测点A和点B,同旁内角有2对;A和C有2对;A和D,没有同旁内角;A和解析:24【解析】【分析】根据三线八角的特点,对四条直线产生的6个交点,两两一组进行分类求解即可.【详解】解:如图所示观测点A和点B,同旁内角有2对;A和C有2对;A和D,没有同旁内角;A和E有2对;A和F有2对.B和C有2对;B和D有2对;B和E有2对;B和F没有同旁内角.C和D有2对,C和E没有同旁内角,C和F有2对.D和E有2对;D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是:24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角,正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 16.130°或50°【解析】由两个角的两边分别平行,可得这两个角互补或相等,再根据一个角是50°,即可求得答案.解:∵两个角的两边分别平行,∴这两个角互补或相等,∵一个角是50°,∴另一个角是解析:130°或50°【解析】由两个角的两边分别平行,可得这两个角互补或相等,再根据一个角是50°,即可求得答案.解:∵两个角的两边分别平行,∴这两个角互补或相等,∵一个角是50°,∴另一个角是130°或50°.故答案为:130°或50°.17.50°【解析】解:如图,设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x.∵EF∥GH,∴∠2=∠3.在△ABC 内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x.∵直线解析:50°【解析】解:如图,设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x.∵EF∥GH,∴∠2=∠3.在△ABC内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x.∵直线BD平分∠FBC,∴∠5=12(180°﹣∠4)=12(180°﹣80°+2x)=50°+x,∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣(80°﹣2x)﹣(50°+x)=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°.故答案为50°.点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键.18.80【解析】【详解】如图,根据角平分线的性质和平行线的性质,可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1,∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA,即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80解析:80【解析】如图,根据角平分线的性质和平行线的性质,可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1,∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA,即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.19.48°【分析】将BE与CD交点记为点F,由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数,再利用三角形外角的性质可得答案.【详解】解:如图所示,将BE与CD交点记为点F,∵AB∥CD,∠B=75°解析:48°【分析】将BE与CD交点记为点F,由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数,再利用三角形外角的性质可得答案.【详解】解:如图所示,将BE与CD交点记为点F,∵AB∥CD,∠B=75°,∴∠EFC=∠B=75°,又∵∠EFC=∠D+∠E,且∠E=27°,∴∠D=∠EFC﹣∠E=75°﹣27°=48°,故答案为:48°.【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质,解题的关键是掌握两直线平行,同位角相等这一性质.20.65利用平行线的判定定理和性质定理,等量代换可得∠CBD=∠EBC,可得结果.【详解】∵∠1=50°,∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°,∵∠2=130°,解析:65【分析】利用平行线的判定定理和性质定理,等量代换可得∠CBD=∠EBC,可得结果.【详解】∵∠1=50°,∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°,∵∠2=130°,∴∠DBE=∠2,∴AE∥CF,∴∠4=∠ADF,∵∠3=∠4,∴∠EBC=∠4,∴AD∥BC,∵AD平分∠BDF,∴∠ADB=∠ADF,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠4=∠CBD,∴∠CBD=∠EBC=12∠DBE=12×130°=65°.故答案为:65.【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理,角平分线的定义等,熟练掌握定理是解答此题的关键.三、解答题21.(1)∠BPC=65°;(2)∠BPC=155°;(3)∠BPC=155°【分析】(1)如图1,过点P作PE∥MN,根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得出:∠BPE=∠DBP=40°,1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=,据此进一步求解即可;(2)如图2,过点P作PE∥MN,根据平角可得∠DBA=100°,再由角平分线和平行线的性质得∠BPE=130°,1PCA CPE DCA252︒∠=∠=∠=,据此进一步求解即可;(3)如图3,过点P作PE∥MN,根据角平分线性质得出∠DBP=∠PBA=40°,由此得出∠BPE=∠DBP=40°,然后根据题意得出1PCA DCA652︒∠=∠=,由此再利用平行线性质得出∠CPE度数,据此进一步求解即可.【详解】(1)如图1,过点P作PE∥MN.∵PB平分∠DBA,∴∠DBP=∠PBA=40°,∵PE∥MN,∴∠BPE=∠DBP=40°,同理可证:1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=,∴∠BPC=40°+25°=65°;(2)如图2,过点P作PE∥MN.∵∠MBA=80°.∴∠DBA=180°−80°=100°.∵BP平分∠DBA.∴1DBP DBA502︒∠=∠=,∵MN∥PE,∴∠BPE=180°−∠DBP=130°,∵PC平分∠DCA.∴1PCA DCA252︒∠=∠=,∵MN∥PE,MN∥GH,∴PE ∥GH ,∴∠EPC=∠PCA=25°,∴∠BPC =130°+25°=155°;(3)如图3,过点P 作PE ∥MN .∵BP 平分∠DBA .∴∠DBP =∠PBA=40°,∵PE ∥MN ,∴∠BPE =∠DBP =40°,∵CP 平分∠DCA ,∠DCA =180°−∠DCG =130°, ∴1PCA DCA 652︒∠=∠=, ∵PE ∥MN ,MN ∥GH ,∴PE ∥GH , ∴∠CPE =180°−∠PCA =115°,∴∠BPC =40°+115°=155°.【点睛】本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.22.(1)∠G=∠AEG+∠CFG ;(2)见解析;(3)FR ⊥HK ,理由见解析【分析】(1)根据平行线的判定和性质即可写出结论;(2)过点G 作//GP AB ,根据平行线的性质得角相等和互补,即可得证;(3)根据平行线的性质得角相等,即可求解.【详解】解:(1)如图:过点G 作//GH AB ,∵//AB CD ,∴//GH CD ,∴AEG EGH ∠=∠,CFG FGH ∠=∠,EGF AEG CFG ∴∠==∠+∠AEG ∴∠、CFG ∠与G ∠之间的数量关系为G AEG CFG ∠=∠+∠.故答案为:G AEG CFG ∠=∠+∠.(2)如图,过点G 作//GP AB ,180BEG EGP ∴∠+∠=︒,180EHG HGP ∠+∠=︒,90180EHG EGP ∴∠+︒+∠=︒,90EHG EGP ∴∠+∠=︒,//AB CD ,DFG EHG ∴∠=∠,180180()1809090BEG DFG EGP EHG EGP EHG ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒.(3)FR 与HK 的位置关系为垂直.理由如下: FT 平分DFG ∠交HK 于点T ,GFT KFT ∴∠=∠,90EGF ∴∠=︒,90GFT ERT ∴∠+∠=︒,90KFT ERT ∴∠+∠=︒,ERT TEB ∠=∠,90KFT TEB ∴∠+∠=︒,//AB CD ,FKT TEB ∴∠=∠,90KFT FKT ∴∠+∠=︒,90FTK ∴∠=︒,KT FR ∴⊥,即FR HK ⊥.∴FR 与HK 的位置关系是垂直.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.23.(1)145︒;(2)55︒;(3)2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠【分析】(1)过点F 作//FN AB ,根据AB ∥CD ,EF 垂直于FG ,∠FGD =125°可计算NFG ∠,EFN ∠,从而求算BEF ∠;(2)作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ,由(1)知55,=35NFG EFN ∠=︒∠︒,从而求算35AEF EHL ∠=∠=︒,再根据90EHM M ∠=∠+︒,设M x ∠=︒,利用外角求出MHL ∠,从而求算MQA ∠;(3)作//PI AB 交NG 于I ,连接NP ,GP ,FP ,设SNP x ∠=︒ ,则NPI x ∠=︒ 设IPG y ∠=︒ ,则PGT y ∠=︒,从而表示PGN ∠,进而寻找数量关系.【详解】(1)过点F 作//FN AB ,如图:∵AB ∥CD ,EF 垂直于FG ,∠FGD =125°∴55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒∴180145BEF EFN ∠=︒-∠=︒(2)作//FN AB ,//HK AB 交MQ 于点K ,如图:由(1)知:55,905535NFG EFN ∠=︒∠=︒-︒=︒∴35AEF EHL ∠=∠=︒又∵90EHM M ∠=∠+︒,设M x ∠=︒∴90EHM x ∠=︒+︒∴903555MHL x x ∠=︒+︒-︒=︒+︒∴5555MKH MQA MHL M x x ∠=∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒(3)作//PI AB 交NG 于I ,连接NP ,GP ,FP ,如图:设SNP x ∠=︒ ,则NPI x ∠=︒设IPG y ∠=︒ ,则PGT y ∠=︒又∵125FGD ∠=︒∴125PGN y ∠=︒-︒∴2125PGN SNP NPG ∠+∠-︒=∠【点睛】本题考查平行线的性质综合,转化相关的角度是解题关键.24.110︒;(1)CPD αβ∠=∠+∠;理由见解析;(2)当点P 在B 、O 两点之间时,CPD αβ∠=∠-∠;当点P 在射线AM 上时,CPD βα∠=∠-∠.【分析】问题情境:理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ,通过平行线性质来求∠APC .(1)过点P 作PQ AD ,得到PQ AD BC 理由平行线的性质得到ADP DPQ ∠=∠,BCP CPQ ∠=∠,即可得到CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠(2)分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间,以及点P 在射线AM 上时,两种情况,然后构造平行线,利用两直线平行内错角相等,通过推理即可得到答案.【详解】解:问题情境:∵AB ∥CD ,PE AB∴PE ∥AB ∥CD , ∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,∴∠APE=50°,∠CPE=60°,∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°;(1)CPD αβ∠=∠+∠过点P 作PQ AD .又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC则ADP DPQ ∠=∠,BCP CPQ ∠=∠所以CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠(2)情况1:如图所示,当点P 在B 、O 两点之间时过P 作PE ∥AD ,交ON 于E ,∵AD ∥BC ,∴AD ∥BC ∥PE ,∴∠DPE=∠ADP=∠α,∠CPE=∠BCP=∠β,∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β情况2:如图所示,当点P 在射线AM 上时,过P 作PE ∥AD ,交ON 于E ,∵AD ∥BC ,∴AD ∥BC ∥PE ,∴∠DPE=∠ADP=∠α,∠CPE=∠BCP=∠β,∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α【点睛】本题主要借助辅助线构造平行线,利用平行线的性质进行推理.25.(1)①B D P ∠+∠=∠,②360A E C ∠+∠+∠=︒;(2)①证明见解析,②证明见解析;(3)540︒.【分析】(1)①如图1中,作//PE AB ,利用平行线的性质即可解决问题;②作//EH AB ,利用平行线的性质即可解决问题;(2)①如图3中,作//BE CD ,利用平行线的性质即可解决问题;②如图4中,连接EH .利用三角形内角和定理即可解决问题;(3)利用(2)中结论,以及五边形内角和540︒即可解决问题;【详解】解:(1)①如图1中,作//PE AB ,//AB CD ,//PE CD ∴,1B ∴∠=∠,D 2∠=∠,12B D BPD .②如图2,作//EH AB ,//AB CD ,//EH CD ,1180A ∴∠+∠=︒,2180C , 12360A C , 360A AEC C .故答案为B D P ∠+∠=∠,360A E C ∠+∠+∠=︒.(2)①如图3中,作//BE CD ,EBQ,1EBP EBQ,3BPD EBP.2132②如图4中,连接EH.180C CEB CBE,A AEH AHE,180A AEH AHE CEH CHE C,360A AEC C AHC.360(3)如图5中,设AC交BG于H.AHB A B F,∠=∠,AHB CHG在五边形HCDEG中,540CHG C D E G,A B F C D E G540【点睛】本题考查图形的变换、规律型问题、平行线的性质、多边形内角和等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,学会利用结论解决问题.26.(1)a=3,b=1;(2)当t=15秒或82.5秒时,两灯的光束互相平行;(3)∠BAC 与∠BCD的数量关系不发生变化,其大小比值为∠BCD:∠BAC=2:3.【分析】(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.(2)分三种情况,利用平行线的性质列出方程即可解决.(3)将∠BAC 和∠BCD 分别用t 的代数式表示,然后在进行运算即可.【详解】(1)∵|a ﹣3b|+(a+b ﹣4)2=0.又∵|a ﹣3b|≥0,(a+b ﹣4)2≥0.∴a =3,b =1;故答案为a=3,b=1.(2)设A 灯转动t 秒,两灯的光束互相平行,①当0<t <60时,3t =(30+t )×1,解得t =15;②当60<t <120时,3t ﹣3×60+(30+t )×1=180,解得t =82.5;③当120<t <150时,3t ﹣360=t+30,解得t =195>150(不合题意)综上所述,当t =15秒或82.5秒时,两灯的光束互相平行.故答案为:t=15秒或t=82.5秒.(3)设A 灯转动时间为t 秒,∵∠CAN =180°﹣3t ,∴∠BAC =45°﹣(180°﹣3t )=3t ﹣135°,又∵PQ ∥MN ,∴∠BCA =∠CBD+∠CAN =t+180°﹣3t =180°﹣2t ,∵∠ACD =90°,∴∠BCD =90°﹣∠BCA =90°﹣(180°﹣2t )=2t ﹣90°,∴∠BCD :∠BAC =2:3.故答案为:∠BAC 与∠BCD 的数量关系不发生变化,其大小比值为∠BCD:∠BAC =2:3.【点睛】本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识,读懂题目的意思,掌握好平行线的性质是解题的关键.27.(1)∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠(2)见解析(3)①65②215°−12n 【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°,∠B =∠BCF ,然后根据已知条件即可得到结论;(3)①过点E 作EF ∥AB ,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED 的度数;②∠BED 的度数改变.过点E 作EF ∥AB ,先由角平分线的定义可得:∠ABE =12∠ABC =12n°,∠CDE =12∠ADC =35°,然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得:∠BEF =180°−∠ABE =180°−12n°,∠CDE =∠DEF =35°,进而可求∠BED =∠BEF +∠DEF =180°−12n°+35°=215°−12n°. 【详解】(1)过点A 作ED BC ∥B EAB ∴∠=∠,C ∠=∠DAC .EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒故答案为:∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠;(2)如图2,过C 作CF ∥AB ,∵AB ∥DE ,∴CF ∥DE ,∴∠D+∠FCD=180°, ∵CF ∥AB ,∴∠B =∠BCF ,∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ,∴D BCD B ∠+∠-∠=180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒; 即180D BCD B ∠+∠-∠=︒;(3)①如图3,过点E 作EF ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴AB ∥CD ∥EF ,∴∠ABE =∠BEF ,∠CDE =∠DEF ,∵BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC ,∠ABC =60°,∠ADC =70°,∴∠ABE =12∠ABC =30°,∠CDE =12∠ADC =35°, ∴∠BED =∠BEF +∠DEF =30°+35°=65°; 故答案为:65;②如图4,过点E 作EF ∥AB ,∵BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC ,∠ABC =n°,∠ADC =70°∴∠ABE =12∠ABC =12n°,∠CDE =12∠ADC =35° ∵AB ∥CD ,∴AB ∥CD ∥EF , ∴∠BEF =180°−∠ABE =180°−12n°,∠CDE =∠DEF =35°, ∴∠BED =∠BEF +∠DEF =180°−12n°+35°=215°−12n °. 故答案为:215°−12n .【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,解题的关键是正确添加辅助线,利用平行线的性质进行推算.28.(1)详见解析;(2)118034∠+︒=∠+∠,详见解析;(3)230∠=︒【分析】(1)如下图,延长AC ,DE 相交于点G ,利用∠G 作为过渡角可证;(2)如下图,作//CP AB ,可得//CP DE ,推导得出118034∠+︒=∠+∠; (3)如下图,过Q 作1//AD l ∠,利用平行可得出70x y +=︒,再利用////QR AB DE 得到22110x y z +-=︒,从而得出z 的值.【详解】(1)延长,AC DE 相交于点G .∵//AB DE ,//AC DF∴1G ∠=∠,2G ∠=∠∴12∠=∠.(2)作//CP AB ,则//CP DE∵//CP AB ,//CP DE .∴1ACP ∠=∠,4180ECP ∠+∠=︒∴11804ACP ECP ∠+︒=∠+∠+∠即118034∠+︒=∠+∠.(3)过Q 作1//AD l ∠则5D ∠=.6y ∠=∵56110180∠+∠+︒=︒∴110180x y ++︒=︒即70x y +=︒旁证:过Q 作//QR AB ,则//QR DE .设DAQ x ∠=,APQ y ∠=,2z ∠=.则2BAQ x ∠=,2FDQ y ∠=,1z ∠=.∵////QR AB DE∴2AQR BAQ x ∠=∠=,2EDQ DQR y z ∠=∠=-.∴22110x y z +-=︒又∵70x y +=︒∴22140x y +=︒∵(2)(22)30x y x y z z +-+-==︒∴230∠=︒【点睛】本题考查角度的推导,第(3)问的解题关键是通过方程思想和整体思想,计算得出∠2的大小.。
相交线与平行线一、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,共24分)1.在下面各图中,∠1与∠2是对顶角的是()A.B.C.D.2.如图,直线a、b相交于点O,若∠1=30°,则∠2等于()A.60°B.30°C.140°D.150°3.如图,直线a,b相交于点O,若∠1=40°,则∠2=()A.40°B.50°C.60°D.140°4.如图,点P在直线l外,点A,B在直线l上,PA=3,PB=7,点P到直线l的距离可能是()A.2 B.4 C.7 D.85.如图,直线a∥b,∠1=50°,则∠2的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°6.如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是()A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行7.如图,已知ON丄a,OM丄a,所以OM与ON重合的理由是()A.两点确定一条直线B.经过一点有且只有一条线段垂直于己知直线C.过一点只能作一条垂线D.垂线段最短8.如图,直线AB∥CD,∠A=70°,∠E=30°,则∠C等于()A.30°B.40°C.60°D.70°二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.如图所示,在铁路旁边有一李庄,现要建一火车站,为了使李庄人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路旁选一点来建火车站(位置已选好),说明理由:.10.如图,已知O是直线AB上一点,∠1=30°,OD平分∠BOC,则∠2=.11.如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB,∠AOC=25°。
第五章相交线与平行线单元试卷同步检测(Word 版 含答案)一、选择题1.如图,直线AB ,CD 被直线EF 所截,与AB ,CD 分别交于点E ,F ,下列描述: ①∠1和∠2互为同位角 ②∠3和∠4互为内错角③∠1=∠4 ④∠4+∠5=180°其中,正确的是( )A .①③B .②④C .②③D .③④2.已知直线12l l //,一块含60°角的直角三角板如图所示放置,125∠=︒,则2∠等于( )A .30°B .35°C .40°D .45° 3.如图,直线AD ,BE 被直线BF 和AC 所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )A .∠4,∠2B .∠2,∠6C .∠5,∠4D .∠2,∠44.如图,AB ∥CD , ∠BED=110°,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,则∠BFD= ( )A .110°B .115°C .125°D .130° 5.如图,已知AD EF BC ,BD GF ∥,且BD 平分ADC ∠,则图中与1∠相等的角(1∠除外)共有( )A .4个B .5个C .6个D .7个6.如图,直线a ∥b ,把三角板的直角顶点放在直线b 上,若∠1=60°,则∠2的度数为( )A .45°B .35°C .30°D .25°7.如图所示,若∠1=∠2=45°,∠3=70°,则∠4等于( )A .70°B .45°C .110°D .135°8.如图,直线l 1∥l 2∥l 3,等腰Rt △ABC 的三个顶点A ,B ,C 分别在l 1,l 2,l 3上,∠ ACB=90°,AC 交l 2于点D ,已知l 1与l 2的距离为1,l 2与l 3的距离为3,则AB:BD 的值为()A .425B .34C .528 D .32209.如下图,在下列条件中,能判定AB//CD 的是( )A .∠1=∠3B .∠2=∠3C .∠1=∠4D .∠3=∠410.如图,直线12l l //,被直线3l 、4l 所截,并且34l l ⊥,144∠=,则2∠等于( )A.56°B.36°C.44°D.46°11.如图,下列不能判定DF∥AC的条件是()A.∠A=∠BDF B.∠2=∠4C.∠1=∠3 D.∠A+∠ADF=180°12.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,∠B=90°,AB=8,DH=3,平移距离为4,求阴影部分的面积为()A.20 B.24 C.25 D.26二、填空题13.如图,已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上点P在AB,CD之间且在EF的左侧.若将射线EA沿EP折叠,射线FC沿FP折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则 EPF的度数为 _____.14.探究题:(1)如图1,两条水平的直线被一条竖直的直线所截,同位角有____对,内错角有_____对,同旁内角有_____对;(2)如图2,三条水平的直线被一条竖直的直线所截,同位角有____对,内错角有___对,同旁内角有___对;(3)根据以上探究的结果,n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截,同位角有______对,内错角有_______对,同旁内角有______对.(用含n的式子表示)15.若∠A与∠B的两边分别平行,且∠A比∠B的3倍少40°,则∠B=_____度.16.如图,AC⊥AB,AC⊥CD,垂足分别是点A、C,如果∠CDB=130°,那么直线AB与BD 的夹角是________度.17.如图,点A、B为定点,直线l∥AB,P是直线l上一动点,对于下列各值:①线段AB的长;②△PAB的周长;③△PAB的面积;④∠APB的度数,其中不会随点P的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.18.如图,将直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置,DE交BC于点G,BG=4,EF=12,△BEG的面积为4,下列结论:①DE⊥BC;②△ABC平移的距离是4;③AD=CF;④四边形GCFE的面积为20,其中正确的结论有________(只填写序号).19.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF⊥OE于点O,若∠AOD=70°,则∠AOF=______度.20.如图,已知∠1=(3x+24)°,∠2=(5x+20)°,要使m∥n,那么∠1=_____(度).三、解答题21.综合与探究综合与实践课上,同学们以“一个含30角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动,如图,已知两直线a ,b ,且//a b ,三角形ABC 是直角三角形,90BCA ∠=︒,30BAC ∠=︒,60ABC ∠=︒操作发现:(1)如图1.148∠=︒,求2∠的度数;(2)如图2.创新小组的同学把直线a 向上平移,并把2∠的位置改变,发现21120∠-∠=︒,请说明理由.实践探究:(3)填密小组在创新小组发现的结论的基础上,将图2中的图形继续变化得到图3,AC 平分BAM ∠,此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系,请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由.22.(1)问题发现如图①,直线AB ∥CD ,E 是AB 与AD 之间的一点,连接BE ,CE ,可以发现∠B +∠C =∠BEC .请把下面的证明过程补充完整:证明:过点E 作EF ∥AB ,∵AB ∥DC (已知),EF ∥AB (辅助线的作法),∴EF ∥DC ( )∴∠C =∠CEF .( )∵EF ∥AB ,∴∠B =∠BEF (同理),∴∠B +∠C = (等量代换)即∠B +∠C =∠BEC .(2)拓展探究如果点E 运动到图②所示的位置,其他条件不变,求证:∠B +∠C =360°﹣∠BEC . (3)解决问题如图③,AB ∥DC ,∠C =120°,∠AEC =80°,则∠A = .(之间写出结论,不用写计算过程)23.如图,已知//,60AM BN A ︒∠=,点P 是射线AM 上一动点(与点A 不重合),BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠,分别交射线AM 于点.C D 、()1CBD ∠=()2若点P 运动到某处时,恰有ACB ABD =∠∠,此时AB 与BD 有何位置关系?请说明理由.()3在点P 运动的过程中,APB ∠与ADB ∠之间的关系是否发生变化?若不变,请写出它们的关系并说明理由;若变化,请写出变化规律.24.课题学习:平行线的“等角转化”功能.阅读理解:如图1,已知点A 是BC 外一点,连接AB ,AC ,求BAC B C ∠+∠+∠的度数.(1)阅读并补充下面推理过程.解:过点A 作ED BC ∥B EAB ∴∠=∠,C ∠=__________.__________180=︒180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将BAC ∠,B ,C ∠“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.方法运用:(2)如图2,已知AB ED ,试说明:180D BCD B ∠+∠-∠=︒(提示:过点C 做CF AB ∥).深化拓展:(3)已知AB CD ∥,点C 在点D 的右侧,70ADC ∠=︒.BE 平分ABC ∠,DE 平分ADC ∠,BE ,DE 所在的直线交于点E ,点E 在AB 与CD 两条平行线之间. ①如图3,点B 在点A 的左侧,若60ABC ∠=︒,则BED ∠的度数为________. ②如图4,点B 在点A 的右侧,且<AB CD ,AD BC <.若ABC n ∠=︒,则BED ∠的度数为________.(用含n 的代数式表示)25.问题情境:我们知道,“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补”,所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用.已知三角板ABC 中,60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒,长方形DEFG 中,DE GF .问题初探:(1)如图(1),若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上,BC 与DE 相交于点M ,AB DE ⊥于点N ,求EMC ∠的度数.分析:过点C 作CH GF ∥,则有CH DE ∥,从而得,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠,从而可以求得EMC ∠的度数.由分析得,请你直接写出:CAF ∠的度数为____________,EMC ∠的度数为___________.类比再探:(2)若将三角板ABC 按图(2)所示方式摆放(AB 与DE 不垂直),请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系,并说明理由.26. [问题解决]:如图1,已知AB ∥CD ,E 是直线AB ,CD 内部一点,连接BE ,DE ,若∠ABE=40°,∠CDE=60°,求∠BED 的度数.嘉琪想到了如图2所示的方法,但是没有解答完,下面是嘉淇未完成的解答过程: 解:过点E 作EF ∥AB ,∴∠ABE=∠BEF=40°∵AB ∥CD ,∴EF ∥CD ,…请你补充完成嘉淇的解答过程:[问题迁移]:请你参考嘉琪的解题思路,完成下面的问题:如图3,AB ∥CD ,射线OM 与直线AB ,CD 分别交于点A ,C ,射线ON 与直线AB ,CD 分别交于点B ,D ,点P 在射线ON 上运动,设∠BAP=α,∠DCP=β.(1)当点P 在B ,D 两点之间运动时(P 不与B ,D 重合),求α,β和∠APC 之间满足的数量关系.(2)当点P 在B ,D 两点外侧运动时(P 不与点O 重合),直接写出α,β和∠APC 之间满足的数量关系.27.点C ,B 分别在直线MN ,PQ 上,点A 在直线MN ,PQ 之间,//MN PQ . (1)如图1,求证:A MCA PBA ∠=∠+∠;(2)如图2,过点C 作//CD AB ,点E 在PQ 上,ECM ACD ∠=∠,求证:A ECN ∠=∠;(3)在(2)的条件下,如图3,过点B 作PQ 的垂线交CE 于点F ,ABF ∠的平分线交AC 于点G ,若DCE ACE ∠=∠,32CFB CGB ∠=∠,求A ∠的度数.28.如图1,在四边形ABCD 中,A D BC ,A=C ∠∠.(1)求证:B=D ∠∠;(2)如图2,点E 在线段AD 上,点G 在线段AD 的延长线上,连接BG ,AEB=2G ∠∠,求证:BG 是EBC ∠的平分线;(3)如图3,在(2)的条件下,点E 在线段AD 的延长线上,EDC ∠的平分线DH 交BG 于点H ,若ABE=66∠︒.,求B HD ∠的度数.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】根据同位角,内错角,同旁内角的定义判断即可.【详解】①∠1和∠2互为邻补角,故错误;②∠3和∠4互为内错角,故正确;③∠1=∠4,故正确;④∵AB 不平行于CD ,∴∠4+∠5≠180°故错误,故选:C .【点睛】本题考查了同位角,内错角,同旁内角的定义,熟记定义是解题的关键.2.B解析:B【分析】过C作CM∥直线l1,求出CM∥直线l1∥直线l2,根据平行线的性质得出∠1=∠MCB=25°,∠2=∠ACM,即可求出答案.【详解】过C作CM∥直线l1,∵直线l1∥l2,∴CM∥直线l1∥直线l2,∵∠ACB=60°,∠1=25°,∴∠1=∠MCB=25°,∴∠2=∠ACM=∠ACB-∠MCB=60°-25°=35°,故选:B.【点睛】本题考查了平行线的性质,能正确作出辅助线是解此题的关键.3.B解析:B【分析】同位角:两条直线a,b被第三条直线c所截(或说a,b相交c),在截线c的同旁,被截两直线a,b的同一侧的角,我们把这样的两个角称为同位角;内错角:两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角.根据此定义即可得出答案.【详解】∵直线AD,BE被直线BF和AC所截,∴∠1与∠2是同位角,∠5与∠6是内错角,故选B.【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念,解题关键是熟记内错角和同位角的定义.4.C解析:C【分析】先过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB,由AB∥CD,即可得EM∥AB∥CD∥FN,然后根据两直线平行,同旁内角互补,由∠BED=110°,即可求得∠ABE+∠CDE=250°,又由BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,根据角平分线的性质,即可求得∠ABF+∠CDF的度数,又由两直线平行,内错角相等,即可求得∠BFD的度数.【详解】解:如图,过点E 作EM ∥AB ,过点F 作FN ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴EM ∥AB ∥CD ∥FN ,∴∠ABE+∠BEM =180°,∠CDE+∠DEM =180°,∴∠ABE+∠BED+∠CDE =360°,∵∠BED =110°,∴∠ABE+∠CDE =250°∵BF 平分∠ABE ,DF 平分∠CDE ,∴∠ABF =12∠ABE ,∠CDF =12∠CDE , ∴∠ABF+∠CDF =12(∠ABE+∠CDE )=125°, ∵∠DFN =∠CDF ,∠BFN =∠ABF ,∴∠BFD =∠BFN+∠DFN =∠ABF+∠CDF =125°.故选:C .【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.5.D解析:D【分析】依据AD EF BC BD GF ∥∥,∥,即可得到1,1ADB DBC FGC EFG EHB ∠=∠=∠=∠=∠∠=∠,再根据BD 平分ADC ∠,即可得到ADB CDB CFG ∠=∠=∠.【详解】解:∵AD EF BC BD GF ∥∥,∥,∴11ADB DBC FGC EFG EHB ∠=∠=∠=∠=∠∠=∠,,又∵BD 平分ADC ∠,∴ADB CDB CFG ∠=∠=∠,∴图中与1∠相等的角(1∠除外)共有7个,故选:D.此题主要考查了平行线的性质,此题充分运用平行线的性质以及角的等量代换就可以解决问题.6.C解析:C【分析】由a与b平行,利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数,再利用平角定义及∠4为直角,即可确定出所求角的度数.【详解】【解答】解:∵a∥b,∴∠3=∠1=60°,∵∠4=90°,∠3+∠4+∠2=180°,∴∠2=30°.故选:C.【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数,利用直角转化角是一种比较常见的方法,在一条直线上,3个角共顶点,且有一个角为直角,则另两个角的和为90°.7.C解析:C【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠5,再由等量代换得∠2=∠5,即可得到到a∥b,利用两直线平行同旁内角互补可得∠3+∠4=180°,最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数.【详解】解:∵∠1与∠5是对顶角,∴∠1=∠2=∠5=45°,∴a∥b,∴∠3+∠6=180°,∵∠3=70°,∴∠4=∠6=110°.故答案为C.本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定,其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键.8.A解析:A 【解析】解:如图,作3BF l ⊥, 3AE l ⊥,∵090ACB ∠=,∴090BCF ACE ∠+∠=,∵090BCF CFB ∠+∠=,∴ACE CBF ∠=∠,在ACE ∆和CBF ∆中,{BFC CEACBF ACE BC AC∠=∠∠=∠=∴ACE CBF ∆≅∆,∴3,4CE BF CF AE ====,∵1l 与2l 的距离为1, 2l 与3l 的距离为3,∴1,7AG BG EF CF CE ===+=, ∴2252AB BG AG +=∵23//l l , ∴14DG AG CE AE ==, ∴1344DG CE ==, ∴325744BD BG DG =-=-=, ∴222554AB BD ==, 故选A .【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线分线段成比例定理等,构造全等三角形是解决本题的关键.解析:C【解析】根据平行线的判定,可由∠2=∠3,根据内错角相等,两直线平行,得到AD∥BC,由∠1=∠4,得到AB∥CD.故选C.10.D解析:D【分析】依据l1∥l2,即可得到∠1=∠3=44°,再根据l3⊥l4,可得∠2=90°-44°=46°.【详解】解:如图,∵l1∥l2,∴∠1=∠3=44°,又∵l3⊥l4,∴∠2=90°-44°=46°,故选:D.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,同位角相等.11.B解析:B【分析】根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断.【详解】解:A.∠A=∠BDF,由同位角相等,两直线平行,可判断DF∥AC;B.∠2=∠4,不能判断DF∥AC;C.∠1=∠3由内错角相等,两直线平行,可判断DF∥AC;D.∠A+∠ADF=180°,由同旁内角互补,两直线平行,可判断DF∥AC;故选:B.【点睛】此题考查平行线的判定,熟练掌握内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.12.D解析:D【解析】由平移的性质知,BE=4,DE=AB=8,可得HE=DE-DH=8-3=5,所以S四边形HDFC=S梯形ABEH=12(AB+EH)×BE=12(8+5)×4=26.故选D.二、填空题13.45°或135°【分析】根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系,然后可得答案.【详解】解:如图1,过作,,,,,,,同理可得,由折叠可解析:45°或135°【分析】根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系,然后可得答案.【详解】解:如图1,过M作//MN AB,//AB CD,////AB CD NM ∴,AEM EMN ∴∠=∠,NMF MFC ∠=∠,90EMF ∠=︒,90AEM CFM ∴∠+∠=︒,同理可得P AEP CFP ∠=∠+∠, 由折叠可得:12AEP PEM AEM ∠=∠=∠,12PFC PFM CFM ∠=∠=∠, 1()452P AEM CFM ∴∠=∠+∠=︒, 如图2,过M 作//MN AB ,//AB CD , ////AB CD NM ∴,180AEM EMN ∴∠+∠=︒,180NMF MFC ∠+∠=︒,360AEM EMF CFM ∴∠+∠+∠=︒,90EMF ∠=︒,36090270AEM CFM ∴∠+∠=︒-︒=︒,由折叠可得:12AEP PEM AEM ∠=∠=∠,12PFC PFM CFM ∠=∠=∠, 12701352P ∴∠=︒⨯=︒, 综上所述:EPF ∠的度数为45︒或135︒,故答案为:45°或135°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,关键是正确画出图形,分两种情况分别计算出∠EPF 的度数.14.(1)4,2,2;(2)12,6,6;(3)2n(n-1),n(n-1),n(n-1)【解析】试题分析:根据同位角是两个角都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角,内错角是两个角都解析:(1)4,2,2;(2)12,6,6;(3)2n(n-1),n(n-1),n(n-1)【解析】试题分析:根据同位角是两个角都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角,内错角是两个角都在截线的两侧,又分别处在被截的两条直线中间的位置的角,根据同旁内角是两个角都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线中间的位置的角,可得答案.试题解析:(1)如图1,两条水平的直线被一条竖直的直线所截,同位角有4对,内错角有 2对,同旁内角有 2对.(2)如图2,三条水平的直线被一条竖直的直线所截,同位角有 12对,内错角有 6对,同旁内角有 6对.(3)根据以上探究的结果,n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截,同位角有2n(n-1)对,内错角有 n(n-1)对,同旁内角有n(n-1)对,点睛:本题考查了同位角、内错角、同旁内角,解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.15.55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B=180°①,∠A=∠B②,求出∠A=3∠B﹣40°③,把③分别代入①②求出即可.【详解】解:∵∠A与∠B的两边分别平行,∴∠A+∠B=180解析:55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B=180°①,∠A=∠B②,求出∠A=3∠B﹣40°③,把③分别代入①②求出即可.【详解】解:∵∠A与∠B的两边分别平行,∴∠A+∠B=180°①,∠A=∠B②,∵∠A比∠B的3倍少40°,∴∠A=3∠B﹣40°③,把③代入①得:3∠B﹣40°+∠B=180°,∠B=55°,把③代入②得:3∠B﹣40°=∠B,∠B=20°,故答案为:55或20.【点睛】本题考查平行线的性质,解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行,即可得∠A =∠B或∠A+∠B=180°,注意分类讨论思想的应用.16.50先根据平行线的判定可得,再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得.【详解】∵,,∴,∵,∴,∴直线AB 与BD 的夹角是50度,故答案为:50.【点睛】本题考查了平解析:50【分析】先根据平行线的判定可得//AB CD ,再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得.【详解】∵AC AB ⊥,AC CD ⊥,∴//AB CD ,∵130CDB ∠=︒,∴18050ABD CDB ∠=︒-∠=︒,∴直线AB 与BD 的夹角是50度,故答案为:50.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义,熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.17.①③【分析】求出AB 长为定值,P 到AB 的距离为定值,再根据三角形的面积公式进行计算即可;根据运动得出PA+PB 不断发生变化、∠APB 的大小不断发生变化.【详解】解:∵A、B 为定点,∴AB 长解析:①③【分析】求出AB 长为定值,P 到AB 的距离为定值,再根据三角形的面积公式进行计算即可;根据运动得出PA+PB 不断发生变化、∠APB 的大小不断发生变化.解:∵A、B为定点,∴AB长为定值,∴①正确;∵点A,B为定点,直线l∥AB,∴P到AB的距离为定值,故△APB的面积不变,∴③正确;当P点移动时,PA+PB的长发生变化,∴△PAB的周长发生变化,∴②错误;当P点移动时,∠APB发生变化,∴④错误;故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质,等底等高的三角形的面积相等,平行线间的距离的运用,熟记定理是解题的关键.18.①③④【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断:①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果;②平移距离指的是对应点之间的线段的长度;③根据平移前后对应线段相等即可得出结果;④利用梯形的面积公解析:①③④【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断:①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果;②平移距离指的是对应点之间的线段的长度;③根据平移前后对应线段相等即可得出结果;④利用梯形的面积公式即可得出结果.【详解】解:∵直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置,∴AB∥DE,∴∠ABC=∠DGC=90°,∴DE⊥BC,故①正确;△ABC平移距离应该是BE的长度,BE>4,故②错误;由平移前后的图形是全等可知:AC=DF,∴AC-DC=DF-DC,∴AD=CF,故③正确;∵△BEG 的面积是4,BG=4,∴EG=4×2÷4=2,∵由平移知:BC=EF=12,∴CG=12-4=8,四边形GCFE 的面积:(12+8)×2÷2=20,故④正确;故答案为:①③④【点睛】本题主要考查的是平移的性质,正确的掌握平移的性质是解题的关键.19.145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小,从而得到∠AOF 的值.【详解】解:∵,∵OE 平分∠AOC,∴,∵OF⊥OE 于点O ,∴∠EOF=90°,∴∠A解析:145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小,从而得到∠AOF 的值.【详解】解:∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒,,∵OE 平分∠AOC ,∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ,∴∠EOF =90°,∴∠AOF =∠AOE+∠EOF =55°+90°=145°,故答案为145.【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识,根据有关性质和定义灵活计算是解题关键.20.75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案.【详解】如图所示:∠1+∠3=180°,∵m ∥n ,∴∠2=∠3,∴∠1+∠2=180°,∴3x+24+5x+20=180解析:75【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案.【详解】如图所示:∠1+∠3=180°,∵m ∥n ,∴∠2=∠3,∴∠1+∠2=180°,∴3x+24+5x+20=180,解得:x=17,则∠1=(3x+24)°=75°.故答案为75.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质,正确得出∠1+∠2=180°是解题关键.三、解答题21.(1)242∠=︒;(2)理由见解析;(3)12∠=∠,理由见解析.【分析】(1)由平角定义求出∠3=42°,再由平行线的性质即可得出答案;(2)过点B 作BD ∥a .由平行线的性质得∠2+∠ABD =180°,∠1=∠DBC ,则∠ABD =∠ABC−∠DBC =60°−∠1,进而得出结论;(3)过点C 作CP ∥a ,由角平分线定义得∠CAM =∠BAC =30°,∠BAM =2∠BAC =60°,由平行线的性质得∠1=∠BAM =60°,∠PCA =∠CAM =30°,∠2=∠BCP =60°,即可得出结论.【详解】解:(1)如图1148∠=︒,90BCA ∠=︒,3180142BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒,//a b ,2342∴∠=∠=︒;图1BD a,(2)理由如下:如图2.过点B作//图22180∴∠+∠=︒,ABDa b,//∴,//b BD∴∠=∠DBC,1ABD ABC DBC∴∠=∠-∠=︒-∠,601∴∠+︒-∠=︒,2601180∴∠-∠=︒;21120∠=∠,(3)12图3CP a,理由如下:如图3,过点C作//AC平分BAM∠,∴∠=∠=︒,CAM BAC30BAM BAC∠=∠=︒,260a b,又//CP b∴,//BAM∠=∠=︒,160∴∠=∠=︒,30PCA CAM903060BCP BCA PCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,又//CP a ,260BCP ∴∠=∠=︒,12∠∠∴=.【点睛】本题是三角形综合题目,考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识;本题综合性强,熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键.22.(1)平行于同一直线的两直线平行,两直线平行,内错角相等,∠BEF +∠CEF ;(2)证明见解析;(3)20°.【分析】(1)过点E 作//EF AB ,根据平行线的判定得出////AB CD EF ,根据平行线的性质得出即可;(2)过点E 作//EF AB ,根据平行线的判定得出////AB CD EF ,根据平行线的性质得出即可;(3)过点E 作//EF AB ,根据平行线的判定得出////AB CD EF ,根据平行线的性质得出即可.【详解】(1)证明:如图①,过点E 作EF ∥AB ,∵AB ∥DC (已知),EF ∥AB (辅助线的作法),∴EF ∥DC (平行于同一直线的两直线平行),∴∠C =∠CEF .(两直线平行,内错角相等),∵EF ∥AB ,∴∠B =∠BEF (同理),∴∠B +∠C =∠BEF +∠CEF (等量代换)即∠B +∠C =∠BEC ,故答案为:平行于同一直线的两直线平行,两直线平行,内错角相等,∠BEF +∠CEF ; (2)证明:如图②,过点E 作EF ∥AB ,∵AB ∥DC (已知),EF ∥AB (辅助线的作法),∴EF ∥DC (平行于同一直线的两直线平行),∴∠C +∠CEF =180°,∠B +∠BEF =180°,∴∠B +∠C +∠AEC =360°,∴∠B +∠C =360°﹣∠BEC ;(3)解:如图③,过点E 作EF ∥AB ,∵AB ∥DC (已知),EF ∥AB (辅助线的作法),∴EF ∥DC (平行于同一直线的两直线平行),∴∠C +∠CEF =180°,∠A =∠BEF ,∵∠C =120°,∠AEC =80°,∴∠CEF =180°﹣120°=60°,∴∠BEF =80°﹣60°=20°,∴∠A =∠AEF =20°.故答案为:20°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键,注意:①两直线平行,内错角相等,②两直线平行,同位角相等,③两直线平行,同旁内角互补.23.(1)60°;(2)AB BD ⊥,证明详见解析;(3)不变,2APB ADB ∠=∠,理由详见解析【分析】(1)由平行线的性质可得∠ABN =120°,即∠ABP +∠PBN =120°,再根据角平分线的定义知∠ABP =2∠CBP 、∠PBN =2∠DBP ,可得2∠CBP +2∠DBP =120°,即∠CBD =∠CBP +∠DBP =60°;(2)由AM ∥BN 得∠ACB =∠CBN ,当∠ACB =∠ABD 时有∠CBN =∠ABD ,得∠ABC +∠CBD =∠CBD +∠DBN ,即∠ABC =∠DBN ,再根据角平分线的定义可得1 4ABC CBP DBP DBN ABN ∠=∠=∠=∠=∠,最后根据∠ABN =120°可得390ABD ABC ︒∠=∠=,进而可得答案;(3)由AM ∥BN 得∠APB =∠PBN 、∠ADB =∠DBN ,根据BD 平分∠PBN 知∠PBN =2∠DBN ,从而可得∠APB =2∠ADB .【详解】解:(1)∵AM ∥BN ,∠A =60°,∴∠A +∠ABN =180°,∴∠ABN =120°;∵AM ∥BN ,∴∠ABN +∠A =180°,∴∠ABN =180°﹣60°=120°,∴∠ABP +∠PBN =120°,∵BC 平分∠ABP ,BD 平分∠PBN ,∴∠ABP =2∠CBP ,∠PBN =2∠DBP ,∴2∠CBP +2∠DBP =120°,∴∠CBD =∠CBP +∠DBP =60°;()2AB BD ⊥理由: // AM BN,180ACB CBN A ABN ︒∴∠=∠∠+∠=ACB ABD ∠=∠CBN ABD ∴∠=∠CBN CBD ABD CBD ∴∠-∠=∠-∠,即DBN ABC ∠=∠BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠,,ABC CBP DBP DBN ∴∠=∠∠=∠1 4ABC CBP DBP DBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠ 180A ABN ︒∠+∠=180 ********ABN A ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=1304ABC ABN ︒∴∠=∠= 390ABD ABC ︒∴∠=∠=,即AB BD ⊥()3不变.且2APB ADB ∠=∠理由: // ,AM BN,APB PBN ADB DBN ∴∠=∠∠=∠ BD 平分,PBN ∠2PBN DBN ∴∠=∠2.APB ADB ∴∠=∠【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.24.(1)∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠(2)见解析(3)①65②215°−12n 【分析】(1)根据平行线的性质即可得到结论;(2)过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°,∠B =∠BCF ,然后根据已知条件即可得到结论;(3)①过点E 作EF ∥AB ,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠BED 的度数; ②∠BED 的度数改变.过点E 作EF ∥AB ,先由角平分线的定义可得:∠ABE =12∠ABC =12n°,∠CDE =12∠ADC =35°,然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得:∠BEF =180°−∠ABE =180°−12n°,∠CDE =∠DEF =35°,进而可求∠BED =∠BEF +∠DEF =180°−12n°+35°=215°−12n°. 【详解】(1)过点A 作ED BC ∥B EAB ∴∠=∠,C ∠=∠DAC .EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒故答案为:∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠;(2)如图2,过C 作CF ∥AB ,∵AB ∥DE ,∴CF ∥DE ,∴∠D+∠FCD=180°,∵CF ∥AB ,∴∠B =∠BCF ,∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ,∴D BCD B ∠+∠-∠=180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒; 即180D BCD B ∠+∠-∠=︒;(3)①如图3,过点E 作EF ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴AB ∥CD ∥EF ,∴∠ABE =∠BEF ,∠CDE =∠DEF ,∵BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC ,∠ABC =60°,∠ADC =70°,∴∠ABE =12∠ABC =30°,∠CDE =12∠ADC =35°, ∴∠BED =∠BEF +∠DEF =30°+35°=65°;故答案为:65;②如图4,过点E作EF∥AB,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=n°,∠ADC=70°∴∠ABE=12∠ABC=12n°,∠CDE=12∠ADC=35°∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠BEF=180°−∠ABE=180°−12n°,∠CDE=∠DEF=35°,∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°−12n°+35°=215°−12n°.故答案为:215°−12 n.【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,解题的关键是正确添加辅助线,利用平行线的性质进行推算.25.(1)30°,60°;(2)∠CAF+∠EMC=90°,理由见解析【分析】(1)利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数,求∠EMC度数转化到∠MCH度数;(2)过点C作CH∥GF,得到CH∥DE,∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中,从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系.【详解】(1)过点C作CH∥GF,则有CH∥DE,所以∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠MCH,∵∠BAF=90°,∴∠CAF=90°-60°=30°.∠MCH=90°-∠HCA=60°,∴∠EMC=60°.故答案为30°,60°.(2)∠CAF+∠EMC=90°,理由如下:过点C作CH∥GF,则∠CAF=∠ACH.∵DE∥GF,CH∥GF,∴CH∥DE.∴∠EMC=∠HCM.∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°.【点睛】考查了平行线的判定和性质,解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定.26.[问题解决]见解析;[问题迁移](1)∠APC=α+β;(2)当点P在BN上时,∠APC=β-α;当点P在OD上时,∠APC=α-β.【分析】问题解决:过点E作EF∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠BED的度数;问题迁移:(1)过P作PQ∥AB,依据平行线的性质,即可得出α,β和∠APC之间满足的数量关系.(2)分两种情况讨论:过P作PQ∥AB,易得当点P在BN上时,∠APC=β-α;当点P在OD上时,∠APC=α-β.【详解】问题解决:如图2,过点E作EF∥AB,∴∠ABE=∠BEF=40°∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠B=∠BEF,∠D=∠DEF,∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°;问题迁移:(1)如图3,过P作PQ∥AB,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠BAP=∠APQ,∠DCP=∠CPQ,∴∠APC=∠BAP+∠DCP,即∠APC=α+β;(2)如图4,当点P在BN上时,∠APC=β-α;如图5,当点P在OD上时,∠APC=α-β.【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用,解决问题的关键是掌握:两直线平行,内错角相等,并利用角的和差关系进行推算.27.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)∠A=72°.【分析】(1)根据题意过点A作平行线AD//MN,证出三条直线互相平行并由平行得出与ACM∠和ABP∠相等的角即可得出结论;(2)由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析即可证得A ECN∠=∠;(3)根据题意设MCA ACE ECD x∠=∠=∠=,由(1)列出关系式2702 CFB x ∠=︒-和11352CGB x∠=︒-,解出方程进而得出结论.【详解】证明:(1)过点A作平行线AD//MN,∵AD//MN ,//MN PQ ,∴AD//MN//PQ,∴,MCA DAC PBA DAB ∠=∠∠=∠,∴A DAC DAB MCA PBA ∠=∠+∠=∠+∠.(2)∵//CD AB∴180A ACD ∠+∠=︒∵180ECM ECN ∠+∠=︒又ECM ACD ∠=∠∴A ECN ∠=∠(3)证得MCA ACE ECD ∠=∠=∠ ABP NCD ∠=∠设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=由(1)可知CFB FCN FBQ ∠=∠+∠列出关系式2702CFB x ∠=︒-由(1)可知CGB MCG GBP ∠=∠+∠ 列出关系式11352CGB x ∠=︒- 312702(135)22x x -=︒- 解得:54x =︒结论:72A ∠=︒【点睛】本题考查平行线的性质与判定,结合平行线的性质与判定运用数形结合思维分析是解题的关键.28.(1)见解析;(2)见解析;(3)57BHD ∠=︒.【解析】【分析】(1)由AD BC ∥可得180A B ∠+∠=︒,进而可证180C B ∠+∠=︒,从而AB CD ∥,180A D +=︒∠∠,根据等角的补角相等可证B D ∠=∠;(2)由AD BC ∥,可得CBG G ∠=∠,又2AEB G ∠=∠,可证EBG G ∠=∠,从而EBG CBG ∠=∠,可证BG 是EBC ∠的角平分线;(3)设GDH HDC α∠=∠=,EBG CBG β∠=∠=,由AB CD ∥,可得6622180βα︒++=︒,即57αβ+=︒.过点H 作HP AB ,可证CD HP ,所以DHP HDC α∠=∠=,180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒+,即66180BHD αβ+∠+︒+=︒,进而可求出57BHD ∠=︒. 【详解】解:(1)证明:∵AD BC ∥,∴180A B ∠+∠=︒,∵A C ∠=∠,∴180C B ∠+∠=︒,∴AB CD ∥,∴180A D +=︒∠∠,∴B D ∠=∠;(2)∵AD BC ∥,∴CBG G ∠=∠,∵2AEB G ∠=∠,∴2CBE G ∠=∠,∴2EBG CBG G ∠+∠=∠,∴EBG G ∠=∠,∴EBG CBG ∠=∠,∴BG 是EBC ∠的角平分线;(3)∵DH 是GDC ∠的平分线,∴GDH HDC ∠=∠,设GDH HDC α∠=∠=,∵AD BC ∥,∴2BCD GDC α∠=∠=.设EBG CBG β∠=∠=,∵AB CD ∥,∴180ABC BCD ∠+∠=︒,∴180ABE EBC BCD ∠+∠+∠=︒,∵66ABE ∠=︒,∴6622180βα︒++=︒,∴57αβ+=︒.过点H 作HP AB ,∴180PHB ABH ∠+∠=︒,∵AB CD ∥,∴CD HP ,∴DHP HDC α∠=∠=,∴180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒+,即 66180BHD αβ+∠+︒+=︒, ∴57BHD ∠=︒.【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用,熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键.解题时注意:平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系,平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.。
第五章相交线与平行线单元试卷综合测试(Word 版 含答案)一、选择题1.给出下列4个命题:①同旁内角互补;②相等的角是对顶角;③等角的补角相等;④两直线平行,同位角相等.其中,假命题的个数为( )A .1B .2C .3D .42.如图,OC 是∠AOB 的平分线,直线l ∥OB .若∠1=50°,则∠2的大小为( )A .50°B .60°C .65°D .80°3.如图所示,若AB ∥EF ,用含α、β、γ的式子表示x ,应为( )A .αβγ++B .βγα+-C .180αγβ︒--+D .180αβγ︒++-4.如图,ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ,90A ∠=︒,//EG BC ,且CG EG ⊥于G ,下列结论:①2CEG DCB ∠=∠;②CA 平分BCG ∠;③ADC GCD ∠=∠;④12DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )A .①③④B .①②③C .②④D .①③ 5.如图,已知AB ∥CD ,BE 和DF 分别平分∠ABF 和∠CDE ,2∠E-∠F=48°,则∠CDE 的度数为( ).A .16°B .32°C .48°D .64°6.如图,直线AB 、CD 相交于点E ,DF ∥AB .若∠AEC=100°,则∠D 等于( )A .70°B .80°C .90°D .100°7.如图,////OP QR ST 下列各式中正确的是( )A .123180∠+∠+∠=B .12390∠+∠-∠=C .12390∠-∠+∠=D .231180∠+∠-∠=8.下列命题中,属于真命题的是( )A .同位角相等B .任意三角形的外角一定大于内角C .多边形的内角和等于180°D .同角或等角的余角相等 9.如图,若180A ABC ∠+∠=︒,则下列结论正确的是( )A .12∠=∠B .24∠∠=C .13∠=∠D .23∠∠=10.下列命题是真命题的有( )个①对顶角相等,邻补角互补②两条直线被第三条直线所截,同位角的平分线平行③垂直于同一条直线的两条直线互相平行④过一点有且只有一条直线与已知直线平行A .0B .1C .2D .311.在如图所示的四个汽车标识图案中,能用平移变换来分析其形成过程的是( ) A . B . C . D .12.下列说法中不正确的个数为( ).①在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和垂直.②有且只有一条直线垂直于已知直线.③如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离.⑤过一点,有且只有一条直线与已知直线平行.A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题13.如图,已知A 1B //A n C ,则∠A 1+∠A 2+…+∠A n 等于__________(用含n 的式子表示).14.如图,△ABC 中,∠C =90︒,AC =5cm ,CB =12cm ,AB =13cm ,将△ABC 沿直线CB 向右平移3cm 得到△DEF ,DF 交AB 于点G ,则点C 到直线DE 的距离为______cm .15.如图,两直线AB 、CD 平行,则12345∠+∠+∠+∠+∠=__________.16.设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,(1)若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;(2)若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;(3)若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.17.如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OE 平分∠AOC ,OF ⊥OE 于点O ,若∠AOD =70°,则∠AOF =______度.18.如图,已知12∠=∠,求证:A BCH ∠=∠.证明:∵12∠=∠(已知)23∠∠=(______)∴13∠=∠(等量代换)∴//CH (______)(同位角相等,两直线平行)∴A BCH ∠=∠(______)19.如图,已知AB ∥DE ,∠ABC =76°,∠CDE =150°,则∠BCD 的度数为__°.20.如图,AB ∥CD ,∠1=64°,FG 平分∠EFD ,则∠EGF=__________________°.三、解答题21.如图1,在平面直角坐标系中,()()02A a C b ,,,,且满足()240a b a b ++-+=,过C 作CB x ⊥轴于B(1)求三角形ABC 的面积.(2)发过B 作//BD AC 交y 轴于D ,且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠,如图2,若,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒,求AED ∠的度数.(3)在y 轴上是否存在点P ,使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等?若存在,求出P 点坐标;若不存在;请说明理由.22.已知:如图所示,直线MN ∥GH ,另一直线交GH 于A ,交MN 于B ,且∠MBA =80°,点C 为直线GH 上一动点,点D 为直线MN 上一动点,且∠GCD =50°.(1)如图1,当点C 在点A 右边且点D 在点B 左边时,∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线于点P ,求∠BPC 的度数;(2)如图2,当点C 在点A 右边且点D 在点B 右边时,∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线于点P ,求∠BPC 的度数;(3)当点C 在点A 左边且点D 在点B 左边时,∠DBA 的平分线交∠DCA 的平分线所在直线交于点P ,请直接写出∠BPC 的度数,不说明理由.23.如图1,AB CD ∥ ,130PAB ∠=︒ ,120PCD ∠=︒ ,求APC ∠的度数.小明的思路是:过P 作//PE AB ,通过平行线性质来求APC ∠.(1)按小明的思路,求APC ∠的度数;(问题迁移)(2)如图2,//AB CD ,点P 在射线OM 上运动,记PAB α∠=,PCD β∠=,当点P 在B 、D 两点之间运动时,问APC ∠与α、β之间有何数量关系?请说明理由; (问题应用):(3)在(2)的条件下,如果点P 在B 、D 两点外侧运动时(点P 与点O 、B 、D 三点不重合),请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系.24.问题情境:如图1,AB ∥CD ,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC 度数.小明的思路是:如图2,过P 作PE ∥AB ,通过平行线性质,可得∠APC=50°+60°=110°. 问题迁移:(1)如图3,AD ∥BC ,点P 在射线OM 上运动,当点P 在A 、B 两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;(2)在(1)的条件下,如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合),请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β间的数量关系.25.已知:直线l分别交AB、CD与E、F两点,且AB∥CD.(1)说明:∠1=∠2;(2)如图2,点M、N在AB、CD之间,且在直线l左侧,若∠EMN+∠FNM=260°,①求:∠AEM+∠CFN的度数;②如图3,若EP平分∠AEM,FP平分∠CFN,求∠P的度数;(3)如图4,∠2=80°,点G在射线EB上,点H在AB上方的直线l上,点Q是平面内一点,连接QG、QH,若∠AGQ=18°,∠FHQ=24°,直接写出∠GQH的度数.AB CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点M为两平行线内部一点.26.已知:直线//(1)如图1,∠AEM,∠M,∠CFM的数量关系为________;(直接写出答案)(2)如图2,∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N,若∠EMF等于130°,求∠ENF的度数;(3)如图3,点G为直线CD上一点,延长GM交直线AB于点Q,点P为MG上一点,射线PF 、EH 相交于点H ,满足13PFG MFG ∠=∠,13BEH BEM ∠=∠,设∠EMF =α,求∠H 的度数(用含α的代数式表示).27.如图,已知直线12//l l ,直线3l 交1l 于C 点,交2l 于D 点,P 是线段CD 上的一个动点,(1)若P 点在线段CD (C 、D 两点除外)上运动,问PAC ∠,APB ∠,PBD ∠之间的关系是什么?这种关系是否变化?(2)若P 点在线段CD 之外时,PAC ∠,APB ∠,PBD ∠之间的关系怎样?说明理由28.直线AB ∥CD ,点M ,N 分别在直线AB ,CD 上,点E 为平面内一点.(1)如图①,探究∠AME ,∠MEN ,∠ENC 的数量关系,并说明理由;(2)如图②,∠AME =30°,EF 平分∠MEN ,NP 平分∠ENC ,EQ ∥NP ,求∠FEQ 的度数; (3)如图③,点G 为CD 上一点,∠AMN =m ∠EMN ,∠GEK =m ∠GEM ,EH ∥MN 交AB 于点H ,直接写出∠GEK ,∠BMN ,∠GEH 之间的数量关系(用含m 的式子表示).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】根据平行线的判定方法对①进行判断;据对顶角的定义对②进行判断;根据平行线的性质对④进行判断;根据补角的定义对③进行判断.【详解】两直线平行,同旁内角互补,所以①错误;相等的角不一定是对顶角,所以②错误;等角的补角相等,所以③正确;两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,所以④正确;;故选B.【点睛】本题主要考查了平行线的性质及判定,对顶角的性质等,熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.2.C解析:C【分析】根据平行线的性质可求∠AOB,再根据角平分线的定义求得∠BOC,再根据平行线的性质可求∠2.【详解】∵l∥OB,∴∠AOB+∠1=180°∴∠AOB=180°﹣∠1=130°,∵OC是∠AOB的平分线,∴∠BOC=65°,∴∠2=∠BOC=65°.故选:C.【点睛】考查了角平分线,平行线的性质,关键是熟悉两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补的知识点.3.C解析:C【分析】过C作CD∥AB,过M作MN∥EF,推出AB∥CD∥MN∥EF,根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°,∠DCM=∠CMN,∠NMF=γ,求出∠BCD=180°-α,∠DCM=∠CMN=β-γ,即可得出答案.【详解】过C作CD∥AB,过M作MN∥EF,∵AB∥EF,∴AB∥CD∥MN∥EF,∴α+∠BCD=180°,∠DCM=∠CMN,∠NMF=γ,∴∠BCD=180°-α,∠DCM=∠CMN=β-γ,∴x=∠BCD+∠DCM=180αγβ︒--+,故选:C.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用,主要考查了学生的推理能力.4.A解析:A【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案.【详解】解:①∵EG∥BC,∴∠CEG=∠ACB,又∵CD是△ABC的角平分线,∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB,故本选项正确;②无法证明CA平分∠BCG,故本选项错误;③∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC,且CG⊥EG,∴∠GCB=90°,即∠GCD+∠BCD=90°,∴∠ADC=∠GCD,故本选项正确;④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB,∠DCB+∠ABC=∠ADC,∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°,∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°,∴∠DFB=45°=12∠CGE,故本选项正确.故选:A.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键.5.B解析:B【解析】【分析】已知BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,根据角平分线分定义可得∠ABE=12∠ABF,∠CDF=12∠CDE;过点E作EM//AB,点F作FN//AB,即可得////AB CD EM//FN,由平行线的性质可得∠ABE=∠BEM,∠MED=∠EDC,∠ABF=∠BFN,∠CDF=∠DFN,由此可得∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE,∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE,又因2∠BED-∠BFD=48°,即可得2(12∠ABF+∠CDE)-(∠ABF +12∠CDE)=48°,由此即可求得∠CDE=32°.【详解】∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,∴∠ABE=12∠ABF,∠CDF=12∠CDE,过点E作EM//AB,点F作FN//AB,∵//AB CD,∴////AB CD EM//FN,∴∠ABE=∠BEM,∠MED=∠EDC,∠ABF=∠BFN,∠CDF=∠DFN,∴∠BED=∠BEM+∠DEM=∠ABE+∠CDE=12∠ABF+∠CDE,∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=∠ABF +12∠CDE,∵2∠BED-∠BFD=48°,∴2(12∠ABF+∠CDE)-(∠ABF +12∠CDE)=48°,∴∠CDE=32°.故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质,根据平行线的性质确定有关角之间的关系是解决问题的关键.6.B解析:B【解析】因为AB ∥DF ,所以∠D+∠DEB=180°,因为∠DEB 与∠AEC 是对顶角,所以∠DEB=100°,所以∠D=180°﹣∠DEB=80°.故选B .7.D解析:D【解析】试题分析:延长TS ,∵OP ∥QR ∥ST ,∴∠2=∠4,∵∠3与∠ESR 互补,∴∠ESR=180°﹣∠3,∵∠4是△FSR 的外角,∴∠ESR+∠1=∠4,即180°﹣∠3+∠1=∠2,∴∠2+∠3﹣∠1=180°.故选D .考点:平行线的性质.8.D解析:D【解析】根据平行线的性质,两直线平行,同位角相等,可知A 不正确;根据三角形的外角的概念,可知当内角为钝角时,外角即为锐角,故B 不正确; 根据多边形的内角和为(n-2)·180°,故C 不正确;根据同角或等角的余角相等的性质,可知D 正确.故选D.9.C解析:C【分析】由∠A+∠ABC=180°可得到AD ∥BC ,再根据平行线的性质判断即可得答案.【详解】∵180A ABC ∠+∠=︒,AD BC(同旁内角互补,两直线平行),∴//∠=∠(两直线平行,内错角相等).∴13故选:C.【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,同旁内角互补,两直线平行;两直线平行内错角相等;熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.10.B解析:B【分析】根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可.【详解】解:对顶角相等,邻补角互补,故①是真命题;两条平行线被第三条直线所截,同位角的平分线平行,故②是假命题;在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故③是假命题;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故④是假命题;故正确的个数只有1个,故选:B.【点睛】本题考查的是平行的公理和应用,命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.11.D解析:D【分析】根据平移作图是一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离,连续作图设计出的图案进行分析即可.【详解】解:A、不能用平移变换来分析其形成过程,故此选项错误;B、不能用平移变换来分析其形成过程,故此选项错误;C、不能用平移变换来分析其形成过程,故此选项正确;D、能用平移变换来分析其形成过程,故此选项错误;故选:D.【点睛】本题考查利用平移设计图案,解题关键是掌握图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状、大小和方向.12.C解析:C【分析】根据在同一平面内,根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可.【详解】∵在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行,故①不正确; ∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线.故②不正确;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.故③正确;从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离.故④不正确; 过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.故⑤不正确;∴不正确的有①②④⑤四个.故选:C .【点睛】本题考查了直线的知识;解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质,从而完成求解.二、填空题13.【分析】过点向右作,过点向右作,得到,根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案.【详解】解:如图,过点向右作,过点向右作,故答案为:.【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题解析:()1180n -⋅︒【分析】过点2A 向右作21//A D A B ,过点3A 向右作31//A E A B ,得到321////...////n A E A D A B A C ,根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案.【详解】解:如图,过点2A 向右作21//A D A B ,过点3A 向右作31//A E A B1//n A B A C321////...////n A E A D A B A C ∴112180A A A D ∴∠+∠=︒,2323180DA A A A E ∠+∠=︒...()11231...1180n n A A A A A A C n -∴∠+∠++∠=-⋅︒故答案为:()1180n -⋅︒.【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键.14.【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变,添加辅助线构造梯形,利用面积相等来计算出答案.【详解】解:如图,连接AD 、CD ,作CH⊥DE 于H ,依题意可得AD=BE=3cm ,∵梯形ACED 解析:7513【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变,添加辅助线构造梯形,利用面积相等来计算出答案.【详解】解:如图,连接AD 、CD ,作CH ⊥DE 于H ,依题意可得AD=BE=3cm ,∵梯形ACED 的面积()()2131235452S cm =⨯++⨯=, ∴()1153134522ADC DCE S S CH +=⨯⨯+⨯⋅=,解得7513CH =; 故答案为:7513. 【点睛】 本题考查的是图形的平移和点到直线的距离,注意图形平移前后的形状和大小不变,以及平移前后对应点的连线相等.15.【分析】根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个的角.【详解】分别过F 点,G 点,H 点作,,平行于AB利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个的角, 解析:720【分析】根据题意,通过添加平行线,利用内错角和同旁内角,把这五个角转化成4个180的角.【详解】分别过F 点,G 点,H 点作2L ,3L ,4L 平行于AB利用内错角和同旁内角,把这五个角转化一下,可得,有4个180的角,1804720∴⨯=.故答案为720.【点睛】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,添加辅助线是解题关键.16.平行 平行 垂直【解析】根据平行公理的推论,可由,得出a∥c;根据垂直的性质以及平行线的判定,可由,得到a∥c;根据,,得到a⊥c.故答案为平行,平行,垂直.点睛:由平解析:平行 平行 垂直【解析】根据平行公理的推论,可由//,//a b b c ,得出a ∥c ;根据垂直的性质以及平行线的判定,可由,a b b c ⊥⊥,得到a∥c;根据//a b ,b c ⊥,得到a⊥c.故答案为平行,平行,垂直.点睛:由平行于同一条直线的两条直线互相平行,可求解(1),因为在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,可求解(2),再根据平行线的性质可求解(3). 17.145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小,从而得到∠AOF 的值.【详解】解:∵,∵OE 平分∠AOC,∴,∵OF⊥OE 于点O ,∴∠EOF=90°,∴∠A解析:145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小,从而得到∠AOF 的值.【详解】解:∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒,,∵OE 平分∠AOC ,∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ,∴∠EOF =90°,∴∠AOF =∠AOE+∠EOF =55°+90°=145°,故答案为145.【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识,根据有关性质和定义灵活计算是解题关键.18.对顶角相等,AG ,两直线平行,同位角相等.【分析】根据对顶角的定义可得,再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明.【详解】解:证明:∵(已知)(对顶角相等)解析:对顶角相等,AG ,两直线平行,同位角相等.【分析】根据对顶角的定义可得23∠∠=,再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明.【详解】解:证明:∵12∠=∠(已知)23∠∠=(对顶角相等)∠=∠(等量代换)∴13CH(AG)(同位角相等,两直线平行)∴//∠=∠(两直线平行,同位角相等).∴A BCH故答案为:对顶角相等,AG,两直线平行,同位角相等.【点睛】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识,灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键.19.46【分析】过点C作CF∥AB,根据平行线的传递性得到CF∥DE,根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCF,∠CDE+∠DCF=180°,根据已知条件等量代换得到∠BCF=76°,由等式性质得到∠解析:46【分析】过点C作CF∥AB,根据平行线的传递性得到CF∥DE,根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCF,∠CDE+∠DCF=180°,根据已知条件等量代换得到∠BCF=76°,由等式性质得到∠DCF=30°,于是得到结论.【详解】解:过点C作CF∥AB,∵AB∥DE,∴AB∥DE∥CF,∴∠ABC=∠BCF,∠CDE+∠DCF=180°,∵∠ABC=76°,∠CDE=150°,∴∠BCF=76°,∠DCF=30°,∴∠BCD=46°,故答案为:46.【点睛】本题主要考查平行线的性质,关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系.20.【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠EFD,再根据角平分线的定义求出∠GFD,然后根据两直线平行,内错角相等解答.【详解】解:∵AB∥CD,∠1=64°,∴∠EFD=∠1=64°,∵解析:【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠EFD,再根据角平分线的定义求出∠GFD,然后根据两直线平行,内错角相等解答.【详解】解:∵AB∥CD,∠1=64°,∴∠EFD=∠1=64°,∵FG平分∠EFD,∴∠GFD=12∠EFD=12×64°=32°,∵AB∥CD,∴∠EGF=∠GFD=32°.故答案为:32.考点:平行线的性质.三、解答题21.(1)4;(2)45°;(3)P(0,-1)或(0,3)【分析】(1)根据非负数的性质得到a=−b,a−b+4=0,解得a=−2,b=2,则A(−2,0),B (2,0),C(2,2),即可计算出三角形ABC的面积=4;(2)由于CB∥y轴,BD∥AC,则∠CAB=∠ABD,即∠3+∠4+∠5+∠6=90°,过E作EF∥AC,则BD∥AC∥EF,然后利用角平分线的定义可得到∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,所以∠AED=∠1+∠2=12×90°=45°;(3)先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y=12x+1,则G点坐标为(0,1),然后利用S△PAC=S△APG+S△CPG进行计算.【详解】解:(1)由题意知:a=−b,a−b+4=0,解得:a=−2,b=2,∴ A(−2,0),B(2,0),C(2,2),∴S△ABC=1AB BC=4 2;(2)∵CB∥y轴,BD∥AC,∴∠CAB=∠ABD,∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°,过E作EF∥AC,∵BD∥AC,∴BD∥AC∥EF,∵AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,∴∠3=∠4=∠1,∠5=∠6=∠2,∴∠AED=∠1+∠2=12×90°=45°;(3)存在.理由如下:设P点坐标为(0,t),直线AC的解析式为y=kx+b,把A(−2,0)、C(2,2)代入得:-2k+b=02k+b=2⎧⎨⎩,解得1k=2b=1⎧⎪⎨⎪⎩,∴直线AC的解析式为y=12x+1,∴G点坐标为(0,1),∴S△PAC=S△APG+S△CPG=12|t−1|•2+12|t−1|•2=4,解得t=3或−1,∴P点坐标为(0,3)或(0,−1).【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性,平行线的判定与性质:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等.22.(1)∠BPC=65°;(2)∠BPC=155°;(3)∠BPC=155°【分析】(1)如图1,过点P作PE∥MN,根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得出:∠BPE=∠DBP=40°,1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=,据此进一步求解即可;(2)如图2,过点P作PE∥MN,根据平角可得∠DBA=100°,再由角平分线和平行线的性质得∠BPE=130°,1PCA CPE DCA252︒∠=∠=∠=,据此进一步求解即可;(3)如图3,过点P作PE∥MN,根据角平分线性质得出∠DBP=∠PBA=40°,由此得出∠BPE=∠DBP=40°,然后根据题意得出1PCA DCA652︒∠=∠=,由此再利用平行线性质得出∠CPE度数,据此进一步求解即可.【详解】(1)如图1,过点P作PE∥MN.∵PB平分∠DBA,∴∠DBP=∠PBA=40°,∵PE∥MN,∴∠BPE=∠DBP=40°,同理可证:1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=,∴∠BPC=40°+25°=65°;(2)如图2,过点P作PE∥MN.∵∠MBA=80°.∴∠DBA=180°−80°=100°.∵BP平分∠DBA.∴1DBP DBA502︒∠=∠=,∵MN∥PE,∴∠BPE=180°−∠DBP=130°,∵PC平分∠DCA.∴1PCA DCA252︒∠=∠=,∵MN∥PE,MN∥GH,∴PE∥GH,∴∠EPC=∠PCA=25°,∴∠BPC=130°+25°=155°;(3)如图3,过点P作PE∥MN.∵BP平分∠DBA.∴∠DBP=∠PBA=40°,∵PE∥MN,∴∠BPE=∠DBP=40°,∵CP平分∠DCA,∠DCA=180°−∠DCG=130°,∴1PCA DCA652︒∠=∠=,∵PE∥MN,MN∥GH,∴PE∥GH,∴∠CPE=180°−∠PCA=115°,∴∠BPC=40°+115°=155°.【点睛】本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键. 23.(1)110°;(2)∠APC=∠α+∠β,理由见解析;(3)∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α【分析】(1)过P作PE∥AB,通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°,∠PCD=120°可求∠APC即可;(2)过P作PE∥AD交AC于E,推出AB∥PE∥DC,根据平行线的性质得出∠α=∠APE,∠β=∠CPE,即可得出答案;(3)分两种情况:P在BD延长线上;P在DB延长线上,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠APE,∠β=∠CPE,即可得出答案.【详解】解:(1)过点P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,∴∠APE=50°,∠CPE=60°,∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(2)∠APC=∠α+∠β,理由:如图2,过P作PE∥AB交AC于E,∵AB∥CD,∴AB∥PE∥CD,∴∠α=∠APE,∠β=∠CPE,∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;(3)如图所示,当P在BD延长线上时,∠CPA=∠α-∠β;如图所示,当P在DB延长线上时,∠CPA=∠β-∠α.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力,题目是一道比较典型的题目,解题时注意分类思想的运用.∠=∠+∠,理由见解析;24.(1)CPDαβ∠=∠-∠;(2)当点P在B、O两点之间时,CPDαβ∠=∠-∠.当点P在射线AM上时,CPDβα【分析】(1)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案;(2)分两种情况:①点P在A、M两点之间,②点P在B、O两点之间,分别画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出结论.【详解】解:(1)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:如图,过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.(2)当点P在A、M两点之间时,∠CPD=∠β-∠α.理由:如图,过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α;当点P在B、O两点之间时,∠CPD=∠α-∠β.理由:如图,过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.【点睛】本题考查了平行线的性质的运用,主要考核了学生的推理能力,解决问题的关键是作平行线构造内错角,利用平行线的性质进行推导.解题时注意:问题(2)也可以运用三角形外角性质来解决.25.(1)理由见解析;(2)①80°,②40°;(3)38°、74°、86°、122°.【分析】(1)根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证;(2)①过拐点作AB的平行线,根据平行线的性质推理即可得到答案;②过点P作AB的平行线,根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数;(3)分情况讨论,画出图形,根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可.【详解】AB CD(1)//1EFD ∴∠=∠,2EFD ∠=∠12∠∠∴=;(2)①分别过点M ,N 作直线GH ,IJ 与AB 平行,则//////AB CD GH IJ ,如图:AEM EMH ∴∠=∠,CFN FNJ ∠=∠,180HMN MNJ ∠+∠=︒,()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒;②过点P 作AB 的平行线,根据平行线的性质可得:3AEP ∠=∠,4CFP ∠=∠,∵EP 平分∠AEM ,FP 平分∠CFN , ∴11344022AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒, 即40P ∠=︒;(3)分四种情况进行讨论:由已知条件可得80BEH ∠=︒,①如图:118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒182HPQ EPG ∴∠=∠=︒11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒②如图:104BPH FHP BEH ∠=∠+∠=︒,22122BQ H BPH AGQ ∴∠=∠+∠=︒;③如图:56BPH BEH FHP ∠=∠-∠=︒,3338BQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒;④如图:104BPH BEH FHP ∠=∠+∠=︒ ,4486GQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒;综上所述,∠GQH 的度数为38°、74°、86°、122°.【点睛】本题考查平行线的性质,三角形外角的性质等内容,解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想.26.(1)M AEM CFM ∠=∠+∠;(2)115ENF ∠=︒;(3)1603H α∠=︒-. 【分析】(1)过点M 作//ML AB ,利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠,2CFM ∠=∠,由12EMF ∠=∠+∠,经过等量代换可得结论;(2)过M 作//ME AB ,利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可.(3)如图②中设BEH x ∠=,PFG y ∠=,则3BEM x ∠=,3MFG y ∠=,设EH 交CD 于K .证明H x y ∠=-,求出x y -即可解决问题.【详解】(1)如图1,过点M 作//ML AB ,//AB CD ,////ML AB CD ∴,1AEM ∴∠=∠,2CFM ∠=∠,12EMF ∠=∠+∠,M AEM CFM ∴∠=∠+∠;(2)过M 作//ME AB ,//AB CD ,//ME CD ∴,24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒,1802BEM ∴∠=︒-∠,1804DFM ∠=︒-∠, EN ,FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠, 112BEM ∴∠=∠,132DFM ∠=∠, 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒, 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒;(3)如图②中设BEH x ∠=,PFG y ∠=,则3BEM x ∠=,3MFG y ∠=,设EH 交CD 于K .//AB CD ,BEH DKH x ∴∠=∠=,PFG HFK y ∠=∠=,DKH H HFK ∠=∠+∠,H x y ∴∠=-,EMF MGF α∠=∠=,180BQG MGF ∠+∠=︒,180BQG α∴∠=︒-,QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠,3QME MFG y ∴∠=∠=,BEM QME MQE ∠=∠+∠,33180x y α∴-=︒-, 1603x y α∴-=︒-, 1603H α∴∠=︒-. 【点睛】本题考查平行线的性质和判定,三角形的外角的性质,三角形的内角和定理等知识,作出平行线,利用参数解决问题是解题的关键.27.(1)∠APB=∠PAC +∠PBD ,不会变化;(2)∠PBD=∠PAC+∠APB 或∠PAC=∠PBD+∠APB,理由见解析.【分析】(1)当P 点在C 、D 之间运动时,首先过点P 作PE ∥l 1,由l 1∥l 2,可得PE ∥l 2∥l 1,根据两直线平行,内错角相等,即可求得:∠APB=∠PAC+∠PBD ,即∠APB 、∠PAC 、∠PBD 之间的关系不发生变化;(2)当点P 在C 、D 两点的外侧运动时,由直线l 1∥l 2,根据两直线平行,同位角相等以及三角形外角的性质,即可求得∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系.【详解】(1)如图①,当P 点在C 、D 之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD .理由如下:过点P 作PE ∥l 1,∵l 1∥l 2,∴PE ∥l 2∥l 1,∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD ,即∠APB 、∠PAC 、∠PBD 之间的关系不发生变化;(2)如图②,当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB.理由如下:∵l1∥l2,∴∠PEC=∠PBD,∵∠PEC=∠PAC+∠APB,∴∠PBD=∠PAC+∠APB.当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB.如图③,理由如下:∵l1∥l2,∴∠PED=∠PAC,∵∠PED=∠PBD+∠APB,∴∠PAC=∠PBD+∠APB.【点睛】本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质.解题的关键是掌握:两直线平行,内错角相等与两直线平行,同位角相等,注意辅助线的作法.28.(1)∠MEN=∠AME+∠ENC,见解析;(2)∠FEQ=15°;(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°.【分析】(1)过点E作l∥AB,利用平行线的性质可得∠1=∠BME,∠2=∠DNE,由∠MEN=∠1+∠2,等量代换可得结论;(2)利用角平分线的性质可得∠NEF=12∠MEN,∠ENP=12∠END,由EQ∥NP,可得∠QEN=∠ENP=12∠ENC,由(1)的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC,等量代换得出结论;(3)由已知可得∠EMN=1m∠BMN,∠GEN=1m∠GEK,由EH∥MN,可得∠HEM=∠ENM=1m∠AMN,因为∠GEH=∠GEM-∠HEM,等量代换得出结论.【详解】解:(1)过点E作l∥AB,∵AB∥CD,∴l∥AB∥CD∴∠1=∠AME,∠2=∠CNE.∵∠MEN=∠1+∠2,∴∠MEN=∠AME+∠ENC;(2)∵EF平分∠MEN,NP平分∠ENC,∴∠NEF=12∠MEN,∠ENP=12∠ENC.∵EQ∥NP,∴∠QEN=∠ENP=12∠ENC.由(1)可得∠MEN=∠AME+∠ENC,∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°.∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=12(∠MEN-∠ENC)=12×30°=15°;(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°.理由如下:∵∠AMN=m∠EMN,∠GEK=m∠GEM,∴∠EMN=1m∠AMN,∠GEM=1m∠GEK.∵EH∥MN,∴∠HEM=∠EMN=1m∠AMN.∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1m∠GEK-1m∠AMN,∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN.∵∠BMN+∠AMN=180°,∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,平行公理以及角平分线的定义等知识点,作出适当的辅助线,结合图形等量代换是解答此题的关键.。
七年级数学下册《第五章相交线与平行线》单元检测卷及答案-人教版学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________平行线1.定义:在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的性质:两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
4.平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行。
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行;两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。
一、选择题1.如图,直线a,b被直线c所截,下列说法正确的是()A.∠1与∠2是内错角B.∠3与∠4是对顶角C.∠2与∠3是同旁内角D.∠1与∠4是同位角2.如图,要在一条主路m旁建一座自来水中转站,向点M处的小区引自来水,在什么地方建造,才能使输水管道最短?并说明理由.下列说法正确的是()A.A点,两点之间线段最短B.B点,垂线段最短C.C点,两点确定一条直线D.D点,垂线段最短3.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC=60°,∠BOE=40°则∠DOE的度数为()A.60°B.40°C.20°D.10°4.如图,下列条件中,不能判定AB∥CD的是()A.∠D+∠BAD=180°B.∠BAC=∠ACDC.∠CAD=∠ACB D.∠B=∠DCE5.下列命题是真命题的是()A.同位角相等;B.内错角相等;C.相等的角是对顶角;D.同旁内角互补,两直线平行;6.如图,两直线a,b被直线l所截,则下列条件中不能证明a∥b的是()A.∠1=∠5B.∠2=∠4C.∠3=∠5D.∠5+∠2=180°7.如图,已知a⊥c,b⊥c若∠1=116°,则∠2等于()A.26°B.32°C.64°D.116°8.如图,在三角形ABC,∠ABC=90°将三角形ABC沿BC方向平移得到三角形DEF,其中AB= 7,BE=3,DM=2则阴影部分的面积是()A.15 B.18 C.21 D.不确定二、填空题9.命题“内错角相等”是命题.10.如图,直线a∥b,如果∠1=65°,那么∠2=.11.如右图所示,已知直线AB、CD被EF所截,EG是∠AEF的角平分线,若∠1=∠2,∠2+∠4= 120°则∠3的度数是.12.如图,点O在直线AB上,过点O作射线OC,OD,OE从下面的四个条件中任选两个,可以推出∠2=∠4的是(写出一组满足题意的序号).①OC⊥AB;②∠1和∠4互余;③OD⊥OE;④∠1=∠4.13.如图,将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移2cm后得到△DEF,则四边形ABFD的周长为cm.三、解答题14.如图,直线EF∥MN,点B在直线MN上,且AB⊥BC,∠1=55°求∠2的度数.15.如图∠BFE=∠BDC=90°,且∠1+∠2=180°.试判断DG与BC的位置关系,并说明理由.16.如图,已知∠HCO=∠EBC,∠BHC+∠BEF=180°求证:EF∥BH.17.如图,在四边形ABCD中AD∥BC,∠B=80°.(1)求∠BAD的度数;(2)若AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50°请说明AE与DC的位置关系.18.如图,已知点E,F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H且∠C=∠EFG,CE∥GF.(1)求证:AB∥CD;(2)若∠EHF=95°,∠D=30°求∠AED和∠AEC的大小.参考答案1.C2.B3.C4.C5.D6.C7.C8.B9.假10.115°11.40°12.①③(答案不唯一)13.1414.解:∵直线EF∥MN∴∠1=∠3∵∠1=55°∴∠3=55°∵AB⊥BC∴∠ABC=90°∵点B在直线MN上∴∠2+∠ABC+∠3=180°∴∠2=35°.15.解:DG∥BC,理由如下:∵∠BFE=∠BDC=90°∴FE∥DC∴∠1+∠DCE=180°∵∠1+∠2=180°∴∠2=∠DCE∴DG∥BC.16.证明:(1)∵∠HCO=∠EBC∴EB∥HC∴∠EBH=∠CHB∵∠BHC+∠BEF=180°∴∠EBH+∠BEF=180°∴EF∥BH.17.(1)解:∵AD∥BC∴∠B+∠BAD=180°∴∠BAD=180°−∠B=180°−80°=100°∴∠BAD的度数为100°.(2)解:AE∥CD,理由如下:由(1)可知,∠BAD的度数为100°∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠EAD=12∠BAD=12×100°=50°∵AD∥BC∴∠EAD=∠AEB=50°∵∠BCD=50°∴∠AEB=∠BCD∴AE∥CD.18.(1)证明:∵CE∥GF∴∠C=∠FGD.∵∠C=∠EFG ∴∠FGD=∠EFG.∴AB∥CD.(2)解:∵AB∥CD∴∠AED+∠D=180°.∵∠D=30°∴∠AED=180°−∠D=150°.∵CE∥GF∴∠CED=∠EHF.∵∠EHF=95°∴∠CED=95°.∴∠AEC=∠AED−∠CED=150°−95°=55°.。
相交线与平行线单元测试题含答案相交线与平行线单元测试题一、选择题1、下列说法正确的是() A. 相交的两条直线一定有一个交点 B. 同位角相等 C. 两直线平行,对角线一定相等 D. 相等的两个角一定是对顶角2、以下不能说明直线AB与CD平行的是() A. AB//CD,A与B在同一方向,C与D在同一方向 B. $\angle 3 = \angle 4$ C. $\angle A = \angle C$ D. $\angle A + \angle B = 180^{\circ}$,$\angleC + \angleD = 180^{\circ}$3、下列说法正确的是() A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两直线平行,同位角相等 C. 内错角相等,两直线平行 D. 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行4、下列说法正确的是() A. 两条直线被第三条直线所截,同位角相等 B. 相等的两个角是对顶角 C. 两直线平行,同旁内角互补 D. 互补的两个角不一定是邻补角5、下列说法正确的是() A. 同位角相等 B. 互补的角是邻补角 C. 两直线平行,同旁内角相等 D. 两直线平行,内错角相等二、填空题1、同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相________,简述为________.2、两直线平行,同位角________;两直线平行,内错角________;两直线平行,同旁内角________.3、两条直线的位置关系有________、________.4、若三条直线两两相交,则共有________个交点.5、在同一平面内,若两直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线________.6、如图所示,若$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$,$\angle A = \angle D$,则$\angle B =$________.7、如图所示,若$\angle A = \angle B$,则$\angle C =$________.8、如图所示,若$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$,$\angle B + \angle C = 90^{\circ}$,则$\angle A =$________.9、若一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行,则这两个角的关系是________.10、如图所示,若AB//CD,则$\angle A + \angle B + \angle C=$________.三、解答题1、已知两条平行线被第三条直线所截,则形成的同位角的数量是多少?这些同位角还具有什么性质?2、利用所给图形探究规律。
人教版七年级数学下册《第五章 相交线与平行线》单元测试卷-附参考答案(测试时间:90分钟 卷面满分:100分)班级 姓名 学号 分数一 选择题(本大题共10个小题 每小题3分 共30分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的)1.(2022春·全国·七年级单元测试)下图中 1∠和2∠是对顶角的是( )A .B .C .D . 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义解答即可.【详解】解:A 1∠和2∠的某一边不是互为反向延长线 则不是对顶角 此项不符合题意B 1∠和2∠是对顶角 则此项符合题意C 1∠和2∠没有公共顶点 则不是对顶角 此项不符合题意D 1∠和2∠的某一边不是互为反向延长线 则不是对顶角 此项不符合题意故选:B .【点睛】本题考查了对顶角 解题的关键是熟记对顶角的定义:有一个公共顶点 并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 具有这种位置关系的两个角 互为对顶角. 2.(2022·全国·七年级单元测试)如图 直线AD BE 、 被直线BF 和AC 所截 则2∠的同位角有( )个.A .2B .3C .4D .1【答案】B【分析】根据同位角的定义求解即可:同位角:两条直线被第三条直线所截形成的角中 若两个角都在两直线的同侧 并且在第三条直线(截线)的同旁 则这样一对角叫做同位角.【详解】解:∠2的同位角有:∠1 ∠F AC ∠4 共三个.故选:B .【点睛】本题考查了同位角熟记同位角定义是解题的关键.3.(2022春·七年级单元测试)如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是()A.B.C.D.【答案】B【分析】根据平移的概念:在平面内把一个图形整体沿某一的方向移动这种图形的平行移动叫做平移变换简称平移即可选出答案.【详解】解:A 不是由“基本图案”经过平移得到故此选项不符合题意B 是由“基本图案”经过平移得到故此选项符合题意C 不是由“基本图案”经过平移得到故此选项不符合题意D 不是由“基本图案”经过平移得到故此选项不符合题意故选B.【点睛】本题考查生活中的平移现象仔细观察各选项图形是解题的关键.4.(2022秋·江苏连云港·七年级校考单元测试)下列语句中属于命题的是()A.等角的余角相等B.两点之间线段最短吗C.连接P Q两点D.花儿会不会在春天开放【答案】A【分析】根据命题的定义对选项一一进行分析即可.【详解】解:选项A:是用语言可以判断真假的陈述句是命题故符合题意选项B C D:都不是可以判断真假的陈述句都不是命题故不符合题意.故选:A【点睛】本题考查了命题的定义解本题的关键在判断给出的语句是否用语言符号或式子表达是否为可以判断真假的陈述句.一般地对某件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题命题可看做由题设和结论两部分组成.5.(2022·全国·七年级单元测试)如图若图形A经过平移与下方图形(阴影部分)拼成一个长方形则平移方式可以是()A .向右平移4个格 再向下平移4个格B .向右平移6个格 再向下平移5个格C .向右平移4个格 再向下平移3个格D .向右平移5个格 再向下平移4个格 【答案】A【分析】根据平移的性质 结合图形解答即可.【详解】解:图形A 向右平移4个格 再向下平移4个格可以与下方图形(阴影部分)拼成一个长方形 故选:A .【点睛】本题考查的是平移的性质 把一个图形整体沿某一直线方向移动 会得到一个新的图形 新图形与原图形的形状和大小完全相同.6.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考单元测试)如图 已知直线AB CD ∥ 130GEF ∠=︒ 135EFH ∠=︒ 则12∠+∠的度数为( )A .35︒B .45︒C .65︒D .85︒ 【答案】D【分析】由130GEF ∠=︒ 135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠= 由ABCD 得34180∠+∠=︒ 进而可求出12∠+∠的度数.【详解】解:如下图所示∠130GEF ∠=︒∠13130︒∠+∠=∠135EFH ∠=︒∠24135︒∠+∠=∠1324265︒∠+∠+∠+∠=∠AB CD∠34180∠+∠=︒∠121324(34)26518085︒∠∠︒+∠=∠+∠+∠+∠-+∠=︒=-故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质 解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系.7.(2022春·江苏·七年级单元测试)下列说法中 错误的有( )①若a b ∥ b c ∥ 则a c ∥②若a 与c 相交 b 与c 相交 则a 与b 相交③相等的角是对顶角④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.A .3个B .2个C .1个D .0个【答案】A【分析】根据平行公理及推论可判断① 若a 与c 相交 b 与c 相交 则a 与b 可能相交或平行 可判断② 对顶角相等 但相等的角不一定是对顶角 可判断③ 根据平行公理及推论可判断④.【详解】解:根据平行线公理及推论可知 ①正确若a 与c 相交 b 与c 相交 则a 与b 可能相交或平行 ②错误对顶角相等 但相等的角不一定是对顶角 ③错误过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行④错误.故错误的有3个故选:A.【点睛】本题考查平行公理及推论平行线的判定与性质熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键.8.(2022·全国·七年级单元测试)如图P为直线l外一点A B C在l上且PB∠l下列说法中正确的个数是()①P A PB PC三条线段中PB最短②线段PB叫做点P到直线l的距离③线段AB的长是点A到PB 的距离④线段AC的长是点A到PC的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中垂线段最短.逐一判断.【详解】解:①线段BP是点P到直线l的垂线段根据垂线段最短可知P A PB PC三条线段中PB 最短故原说法正确②线段BP是点P到直线l的垂线段故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离故原说法错误③线段AB是点A到直线PB的垂线段故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离故故原说法正确④由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离故原说法错误综上所述正确的说法有①③故选:B.【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念.垂线的两条性质:①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中垂线段最短.∥的是()9.(2022春·天津·七年级校考单元测试)如图下列条件中能判断AB CDA .12∠=∠B .34∠∠=C .180DAB ABC ∠+∠=︒D .B D ∠=∠ 【答案】A 【分析】结合图形分析两角的位置关系 根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论.【详解】解:∠12∠=∠∠AB CD ∥故①选项符合题意∠34∠∠=∠AD BC ∥故②选项不符合题意∠180DAB ABC ∠+∠=︒∠AD BC ∥故③选项不符合题意∠B D ∠=∠ 不能判定AB CD ∥故④选项不符合题意故选:A .【点睛】本题主要考查了平行线的判定 能根据图形准确找出同位角 内错角和同旁内角是解决问题的关键.10.(2022秋·江苏盐城·七年级校联考单元测试)如图 在宽为20m 长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路 余下部分作为耕地.根据图中数据 计算耕地的面积为( )A .600m 2B .551m 2C .550m 2D .500m 2【答案】B【详解】由图可以看出两条路的宽度为:1m 长度分别为:20m 30m所以 可以得出路的总面积为:20×1+30×1-1×1=49m 2又知该矩形的面积为:20×30=600m 2所以 耕地的面积为:600-49=551m 2.故选B.二 填空题(本大题共8个小题 每题2分 共16分)11.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考单元测试)如图 要把池水引到C 处 可作CD AB ⊥于点D 然后沿CD 开渠 可使所开渠道最短 依据是______.【答案】垂线段最短【分析】根据直线外一点到直线的距离解答.【详解】解:因为直线外一点到直线上各点的连线中 垂线段最短所以沿CD 开渠故答案为:垂线段最短.【点睛】本题考查垂线段的性质 熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键.12.(2022秋·重庆铜梁·七年级校考单元测试)如图 O 是直线AB 上一点 32COB ∠=︒ 则1∠=___.【答案】148︒##148度 【分析】依据邻补角进行计算 即可得到∠1的度数.【详解】解:∠O 是直线AB 上一点 32COB ∠=︒∠118032148∠=︒-︒=︒故答案为:148︒.【点睛】本题主要考查了邻补角的概念 只有一条公共边 它们的另一边互为反向延长线 具有这种关系的两个角 互为邻补角.邻补角互补 即和为180︒.13.(2022秋·河南安阳·七年级统考单元测试)如图 给出下列条件:①∠1=∠2 ②∠3=∠4 ③∠A =∠CDE ④∠A +∠ADC =180°.其中 能推出AB //DC 的条件为_______.【答案】①③④【分析】根据平行线的判定定理逐个分析判断即可求解.【详解】解:①∠∠1=∠2∥符合题意∠AB DC②∠∠3=∠4∥不符合题意∠BC AD③∠∠A=∠CDE∥符合题意∠AB DC④∠∠A+∠ADC=180°∥符合题意∠AB DC故答案为:①③④.【点睛】本题考查了平行线的判定定理掌握平行线的判定定理是解题的关键.14.(2022秋·云南昭通·七年级校考单元测试)如图把三角尺的直角顶点放在直线b上.若∠1= 50° 则当∠2=____时a∥b.【答案】40°##40度【分析】根据三角尺的直角顶点在直线b上∠1=50° 即可得到∠3=180°−90°−∠1=40° 再根据a//b即可得到∠2=∠3=40°.【详解】解:如图∠三角尺的直角顶点在直线b上∠1=20°∠∠3=180°−90°−∠1=40°又∠要使得a b∠只需要∠2=∠3=40°故答案为:40.【点睛】本题主要考查了平行线的性质熟记两直线平行线同位角相等是解题的关键.15.(2022秋·河北石家庄·七年级统考单元测试)在同一平面内直线a b相交于P 若a∠c 则b与c的位置关系是______.【答案】相交【详解】解:因为a∠c 直线b相交所以直线b与c也有交点故答案为:相交.【点睛】本题考查了平行线和相交线.同一平面内一条直线与两条平行线中的一条相交则必与另一条直线也相交.16.(2022秋·北京·七年级校考单元测试)如图快艇从P处向正北航行到A处时向右转60︒航行到B处再向左转90︒继续航行此时的航行方向为北偏西______°.【答案】30【分析】根据平行线的性质与方位角的定义即可求解.【详解】解:如图∠//PC BE 60CAB ∠=︒∠60EBF ∠=︒∠906030DBE此时的航行方向为:北偏西30︒故答案为:30.【点睛】此题主要考查方位角 解题的关键是熟知方位角的定义及平行线的性质.17.(2022·全国·七年级单元测试)如图 在三角形ABC 中 90BAC ∠=︒ 4cm AB = 5cm =BC 3cm AC = 将三角形ABC 沿BC 方向平移cm(5)a a <得到三角形DEF 且AC 与DE 相交于点G 连接AD .(1)阴影部分的周长为______cm(2)若三角形ADG 的面积比三角形EGC 的面积大24.8cm 则a 的值为______.【答案】 12 4.5##92##142 【分析】(1)由平移的性质可得出cm AD BE a == 5cm DE AB ==.再根据()5cm CE BC BE a =-=- 即ADG S ABC CEG ABEG S S S =+四边形 即可得出1342ADG CEG S S =⨯⨯- 再根据24.8cm ADG CEG S S -= 列出关于a 的等式 解出a 即可.【详解】(1)∠三角形ABC 沿BC cm(5)a <得到三角形DEFCE BC =∴阴影部分的周长为故答案为:(2)过AABC S =3AH =ADG ABED S四边形 ADG S . ABC CEG ABEG S S S =+四边形1342CEG ABEG S S =⨯⨯-四边形121342ADG CEG BE S S ⨯-=⨯⨯- 即125ADG CEG S S -=ADG 的面积比三角形EGC 的面积大24.8cm 4.8cm ADG CEG SS -=4 4.8⨯= 18.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级单元测试)如图 直线AB CD ∥ 点E F 分别为直线AB 和CD 上的点 点P 为两条平行线间的一点 连接PE 和PF 过点P 作EPF ∠的平分线交直线CD 于点G 过点F 作FH PG ⊥ 垂足为H 若120DGP PFH ∠-∠=︒ 则AEP ∠=________︒.【答案】30︒【分析】设FPG x GPM y ∠∠=︒=︒, 过P 作PM CD ∥ 则AB CD PM ∥∥ 用x y ︒︒,表示PGD ∠ PFH ∠ 代入求出x y ︒-︒ 即AEP ∠的值可以解出.【详解】解:设FPG x GPM y ∠∠=︒=︒,PG 平分EPF ∠EPG FPG x ∠∠∴==︒过P 作PM CD ∥∥AB CDAB CD PM ∴∥∥AEP EPM EPG MPG x y ∠∠∠∠∴==-=︒-︒ 180180PGD MPG y ∠∠=︒-=︒-︒FH PG ⊥90PHF ∠∴=︒909090PFH FPG FPG x ∠∠∠∴=︒-=︒-=︒-︒120DGP PFH ∠-∠=︒()()18090120y x ∴︒-︒-︒-︒=︒ 即30x y ︒-︒=︒30AEP x y ∠∴=︒-︒=︒.故答案为:30︒.【点睛】本题考查平行线的性质 角平分线的性质 垂线的性质 熟练运用性质计算是解题的关键.三 解答题(本大题共8个小题 共54分 第19-22每小题6分 23-24每小题7分 25-26每小题8分)19.(2022·全国·七年级单元测试)如图 在边长为1个单位的正方形网格中 ABC 经过平移后得到A B C ''' 点B 的对应点为B ' 根据下列条件 利用网格点和无刻度的直尺画图并解答 保留痕迹:(1)画出A B C ''' 线段AC 扫过的图形的面积为______(2)在A B ''的右侧确定格点Q 使A B Q ''△的面积和ABC 的面积相等 请问这样的Q 点有______个? 根据平移的性质得出'''ABC线段)根据平行线之间的距离处处相等可得答案.A B C '''即为所求111022612411022A B ∥ 则点1234,,,Q Q Q Q 即为所求本题主要考查了作图——平移变换20.(2022秋·北京海淀·七年级校考单元测试)如图 点C 在MON ∠的一边OM 上 过点C 的直线AB ON ∥CD 平分ACM ∠.当60DCM ∠=︒时 求O ∠的度数.解:∠CD 平分ACM ∠∠ACM ∠= .∠60DCM ∠=︒∠ACM ∠= °.∠直线AB 与OM 交于点C∠OCB ∠=ACM ∠= °( )∠AB ON ∥∠+=180O OCB ∠∠︒( )∠O ∠= °.【答案】2DCM ∠ 120 120 对顶角相等 两直线平行 同旁内角互补 60【分析】根据角平分线的定义 即可得到∠ACM 的度数 进而得出∠OCB 的度数 再依据平行线的性质 即可得到∠O 的度数.【详解】解:∠CD 平分ACM ∠∠=2ACM DCM ∠∠.∠∠60DCM ∠=︒∠=120ACM ∠︒.∠直线AB 与OM 交于点C∠==120OCB ACM ∠∠︒(对顶角相等)∠AB ON ∥∠+=180O OCB ∠∠︒(两直线平行 同旁内角互补)∠=60O ∠︒.故答案为:2DCM ∠ 120 120 对顶角相等 两直线平行 同旁内角互补 60.【点晴】本题主要考查了角的计算 平行线的性质以及角平分线的定义 解题的关键是熟练掌握平行线的性质:两直线平行 同旁内角互补.21.(2022秋·重庆铜梁·七年级校考单元测试)如图 在四边形ABCD 中 130A ∠=︒ 50ADC ∠=︒ 试说明12∠=∠.【答案】AB CD 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 内错角相等【分析】由180A ADC ∠+∠=︒ 利用同旁内角互补 两直线平行可得AB CD ∥ 再利用平行线的性质可得答案.【详解】证明:∠130A ∠=︒ 50ADC ∠=︒(已知)∠180A ADC ∠+∠=︒(等式的性质)∠AB CD ∥ (同旁内角互补 两直线平行)∠12∠=∠(两直线平行 内错角相等).【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质 熟记平行线的性质与判定方法是解本题的关键.22.(2022·全国·七年级单元测试)如图 己知点P Q 分别在AOB ∠的边OA OB 、上 按下列要求画图:(1)画射线PQ(2)过点P 画垂直于射线OB 的线段PC 垂足为点C(3)过点Q画直线QM平行于射线OA.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】根据题意过用直尺作图分别P画垂直于射线OB的射线PC垂足为点C过点Q画直线QM平行于射线OA.【详解】(1)如图射线PQ为所求(2)如图线段PC为所求(3)如图直线QM为所求【点睛】此题主要考查了基本作图正确把握相关定义是解题关键.23.(2022春·七年级单元测试)如图汽车站码头分别位于A B,两点直线b和波浪线分别表示公路与河流.(1)从汽车站A到码头B怎样走最近?画出最近路线并说明理由(2)从码头B到公路b怎样走最近?画出最近路线BC并说明理由.【答案】(1)作图见解析 理由见解析(2)作图见解析 理由见解析【分析】(1)根据两点之间线段最短解决问题.(2)根据垂线段最短解决问题.【详解】(1)解:如图 连接,A B 线段AB 即为所求作.(2)如图 过点B 作BC b ⊥于点C 线段BC 即为所求作.【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图 垂线段最短 两点之间线段最短等知识 解题的关键是理解题意 灵活运用所学知识解决问题.24.(2022春·七年级单元测试)如图 AB CD ⊥ 垂足为O .(1)比较AOD EOB AOE ∠∠∠,,的大小 并用“<”号连接.(2)若28EOC ∠=︒ 求EOB ∠和EOD ∠的度数.【答案】(1)AOE AOD EOB ∠<∠<∠(2)118152EOB EOD ∠=︒∠=︒,【分析】(1)根据图形可判断各角的大小.(2)根据图形可得90118EOB EOC ∠=∠+︒=︒,根据平角的定义求得EOD ∠. 【详解】(1)解:∠AB CD ⊥∠909090AOD EOB EOC AOE EOC ∠=︒∠=︒+∠∠=︒-∠,,∠AOE AOD EOB ∠<∠<∠(2)∠AB CD ⊥∠90118EOB EOC ∠=∠+︒=︒∠180********EOD EOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查了角的关系 垂直的定义 通过已知角求得未知角 数形结合是解题的关键. 25.(2022春·广东·七年级单元测试)如图 直线CD EF 交于点O OA OB 分别平分COE ∠和DOE ∠ 已知1290∠+∠=︒ 且2:32:5∠∠=.(1)求BOF ∠的度数(2)试说明AB CD 的理由.∠+∠)解:12AOCAB CD.【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质是解题的关键.26.(2022秋·上海宝山·七年级校考单元测试)已知AB∠CD点M为平面内的一点∠AMD=90°.(1)当点M在如图1的位置时求∠MAB与∠D的数量关系(写出说理过程)(2)当点M在如图2的位置时则∠MAB与∠D的数量关系是(直接写出答案)(3)在(2)条件下如图3 过点M作ME∠AB垂足为E∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F G回答下列问题(直接写出答案):图中与∠MAB相等的角是∠FMG=度.【答案】(1)∠MAB+∠D=90°见解析(2)∠MAB﹣∠D=90°(3)∠MAB=∠EMD45【分析】(1)在题干的基础上通过平行线的性质可得结论(2)仿照(1)的解题思路过点M作MN∠AB由平行线的性质可得结论(3)利用(2)中的结论结合角平分线的性质可得结论.【详解】(1)解:如图①过点M作MN∥AB∵AB∥CD∴MN∥AB∥CD(如果一条直线和两条平行线中的一条平行那么它和另一条也平行).∴∠D=∠NMD.∵MN∥AB∴∠MAB+∠NMA=180°.∴∠MAB+∠AMD+∠DMN=180°.∵∠AMD=90°∴∠MAB+∠DMN=90°.∴∠MAB+∠D=90°(2)解:如图②过点M作MN∥AB∵MN∥AB∴∠MAB+∠AMN=180°.∵AB∥CD∴MN∥AB∥CD.∴∠D=∠NMD.∵∠AMD=90°∴∠AMN=90°﹣∠NMD.∴∠AMN=90°﹣∠D.第21页共22页第22页共22页。
人教版七年级下册数学单元检测卷:第五章相交线与平行线一.填空题(共6小题)1.如图,直线DE经过三角形ABC的顶点A,则∠DAC与∠C的关系是.(填“内错角”或“同旁内角”)2.如图,AB∥CD,CF交AB于点E,∠AEC与∠C互余,则∠CEB是度.3.将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上,移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点,若EF∥BC,则∠ABD= °.4.把命题“等角的余角相等”写成“如果……,那么……”的形式为.5.在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示,l表示起跳线,在测量该同学的实际立定跳远成绩时,应测量图中线段PC的长,理由是.6.如图,AB,CD相交于点O,∠BOE=90°,有以下结论:①∠AOC与∠COE互为余角;②∠BOD与∠COE互为余角;③∠AOC=∠BOD;④∠COE与∠DOE互为补角;⑤∠AOC与∠DOE互为补角;⑥∠AOC=∠COE其中错误的有(填序号).二.选择题(共10小题)7.如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,∠EOC=35°15′.则∠AOD的度数为()A.55°15′B.65°15′C.125°15′D.165°15′8.图中∠1和∠2是对顶角的是()A.B.C.D.9.在下列图形中,由条件∠1+∠2=180°不能得到AB∥CD的是()A.B.C.D.10.下列命题中是假命题的是()A.对顶角相等B.两点之间所有连线中,线段最短C.等角的补角相等D.过任意一点P,都能画一条直线与已知直线平行11.如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠D的关系是()A.∠ABE=3∠D B.∠ABE+∠D=90°C.∠ABE+3∠D=180°D.∠ABE=2∠D12.如图,BC∥DE,∠1=110°,∠AED=70°,则∠A的大小是()A.25°B.35°C.40°D.60°13.如图,将一副三角板如图放置,∠BAC=∠ADE=90°,∠E=45°,∠B=60°,若AE∥BC,则∠AFD=()A.75°B.85°C.90°D.65°14.如图,ABCD为一长条形纸带,AB∥CD,将ABCD沿EF折叠,A、D两点分别与A′、D′对应,若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为()A.60°B.65°C.72°D.75°15.下列现象是平移的是()A.电梯从底楼升到顶楼B.卫星绕地球运动C.碟片在光驱中运行D.树叶从树上落下16.如图,将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为()A.42 B.96 C.84 D.48三.解答题(共6小题)17.如图,OD是∠AOB的平分线,∠AOC=2∠BOC.(1)若AO⊥CO,求∠BOD的度数;(2)若∠COD=21°,求∠AOB的度数.18.如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O.(1)若∠COF=120°,∠AOD=100°,求∠AOF的度数;(2)若∠BOC-∠BOD=20°,求∠AOC的度数.19.填空或批注理由:如图,已知∠1=∠2,∠A=∠D,试说明:AE∥BD证明:∵∠1=∠2(已知)∴AB∥CD ( )∴∠A=()( )∵∠A=∠D(已知)∴=∠D ( )∴AE∥BD ( )20.如图,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=15°,∠2=15°,AE与BF平行吗?为什么?21.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F、M、N、P均为格点(格点是指每个小正方形的顶点).(1)利用图①中的网格,过P点画直线MN的平行线和垂线.(2)把图②网格中的三条线段AB、CD、EF通过平移使之首尾顺次相接组成一个三角形(在图②中画出三角形).(3)第(2)小题中线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形的面积是.22.如图,已知点D、E、B、C分别是直线m、n上的点,且m∥n,延长BD、CE交于点A,DF 平分∠ADE,若∠A=40°,∠ACB=80°.求:∠DFE的度数.23.问题情境:(1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.小颖同学的解题思路是:如图2,过点P作PE∥AB,请你接着完成解答;问题迁移:如图3,点A、B在射线OM上,点C、D在射线ON上,AD∥BC,点P在射线OM上运动(点P与A、B、O三点不重合).(2)当点P在线段AB上运动时,试判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系,并说明理由;(3)当点P在线段AB外运动时,试判断∠CPD与∠ADP、∠BCP之间的数量关系,并说明理由.参考答案1. 同旁内角2.1353.154. 如果两个角相等,那么这两个角的余角相等5. 垂线段最短6. ⑤⑥7-11 CADDD12-16 CACAD17. 解:(1)∵AO⊥CO,∴∠AOC=90°,∵∠AOC=2∠BOC,∴∠BOC=45°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=135°,∵OD是∠AOB的平分线,∴∠BOD=∠AOB=67.5°;(2)∵∠AOC=2∠BOC,∴∠AOB=3∠BOC,∵OD是∠AOB的平分线,∴∠BOD=∠AOB=∠BOC,∵∠COD=21°,∴21°+∠BOC=∠BOC,∴∠BOC=42°,∴∠AOB=3∠BOC=126°.18.解:(1)∵∠COF=120°,∴∠2=180°-120°=60°,∴∠DOF=∠2=60°,∵∠AOD=100°,∴∠AOF=100°-60°=40°;(2)∵∠BOC+∠BOD=180°,∠BOC-∠BOD=20°,∴∠BOC=100°,∠BOD=80°,∴∠AOC=∠BOD=80°.19. 内错角相等,两直线平行;∠AEC;两直线平行,内错角相等;∠AEC;等量代换;同位角相等,两直线平行.20. 解:AE∥BF.理由如下:因为AC⊥AE,BD⊥BF(已知),所以∠EAC=∠FBD=90°(垂直的定义).因为∠1=∠2(已知),所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2(等式的性质),即∠EAB=∠FBG,所以AE∥BF(同位角相等,两直线平行).21. 解:(1)如图①,PQ∥MN,PN⊥MN;(2)如图②,△EFG或△EFH即为所求;(3)三角形的面积为:3×3-×1×2-×1×3-×2×3=9-1-1.5-3=3.5,22.解:∵m∥n,∠ACB=80°∴∠AED=∠ACB=80°,∵∠A=40°,∴△ADE中,∠ADE=180°-(∠A+∠AED)=180°-(40°+80°)=60°,又∵DF平分∠ADE,∴∠EDF=∠ADE=30°,∴△DEF中,∠DFE=180°-∠EDF-∠DEF=180°-30°-80°=70°.23.解:(1)∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=180°-∠A=50°,∠CPE=180°-∠C=60°,∴∠APC=50°+60°=110°;(2)∠CPD=∠ADP +∠BCP,理由如下:如图3,过P作PE∥AD交CD于点E,图3∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠DPE=∠ADP,∠CPE=∠BCP,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠ADP +∠BCP;(3)①当点P在射线AM上时,∠CPD=∠BCP-∠ADP;理由:如图4,过点P作PE∥AD交ON于点E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠DPE=∠人教版七年级数学下册单元测试卷第五章相交线与平行线综合能力提升测试卷一、选择题(每小题4分,共24分)1.如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是 153°.2.“直角都相等”的题设是两个角是直角,结论是这两个角相等.3.如图,点A在直线DE上,当∠BAC=___57_____°时,DE∥BC.4. 如图,两只手的食指和大拇指在同一个平面内,它们构成的一对角可看成是内错角 .5.互为邻补角的两个角相加等于180°.6.如图,AB∥CD,则∠1+∠3—∠2的度数等于 ___180° _____.二、选择题(每小题4分,共40分)7.如图,已知∠1=120°,则∠2的度数是( A )A.120°B.90°C.60°D.30°8.下列命题是真命题的是( C )A.过直线外一点可以画无数条直线与已知直线平行B.如果甲看乙的方向是北偏东60°,那么乙看甲的方向是南偏西30°C.3条直线交于一点,对顶角最多有6对D.与同一条直线相交的两条直线相交9.如图,给出下列条件:①∠3=∠4;②∠1=∠2;③EF∥CD,且∠D=∠4;④∠3+∠5=180°.其中,能推出AD∥BC的条件为( C )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2=( A )A.35°B.40°C.45°D.60°11 .经过直线外一点画直线,下列说法错误的是( B )A.可以画无数条直线与这条直线相交B.可以画无数条直线与这条直线平行C.能且只能画一条直线与这条直线平行D.能且只能画一条直线与这条直线垂直12.下列叙述中,正确的是( C )A. 在同一平面内,两条直线的位置关系有三种,分别是相交、平行、垂直B. 不相交的两条直线叫平行线C. 两条直线的铁轨是平行的D. 我们知道,对顶角是相等的,那么反过来,相等的角就是对顶角13. 如图,点O为直线AB上一点,CO⊥AB于点O, OD在∠COB内,若∠COD=50°,则∠AOD的度数是( D )A.100°B.110°C.120°D.140°14. 下列图形中,周长最长的是( C )15. 如图,已知OA⊥OC,OB⊥OD, ∠BOC=50°,则∠AOD的度数为( C )A.100°B.120°C.130°D.140°16 .a、b、c是平面上的任意三条直线,它们的交点可以有( B )A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个C.1个或2个D.以上都不正确三、解答题(共36分)17.(共7分)根据图形填空:(1)若直线ED,BC被直线AB所截,则∠1和____是同位角;(2)若直线ED,BC被直线AF所截,则∠3和_____是内错角;(3)∠1和∠3是直线AB,AF被直线_____所截构成的_____角;(4)∠2和∠4是直线____,______被直线BC所截构成的_____角.17.(1) ∠2(2) ∠4(3) ED内错(4) AB, AF同位18. (共4分)如图,直线AB、CD是一条河的两岸,并且AB∥CD,E为直线AB、CD 外一点,现想过点E画岸CD的平行线,只需过点E画岸AB的平行线即可.画图,并说明理由.图略理由:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.19. (共4分)如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,试说明BD∥CE.解:∵∠A=∠F(已知),∴AC∥DF(内错角相等,两直线平行),∴∠C=∠CEF(两直线平行,内错角相等),∵∠C=∠D(已知),∴∠D=∠CEF(等量代换),∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行).20. (共6分)根据下列要求画图.(1)如图1,过点P画AB的垂线;(2)如图2,过点P画OA,OB的垂线;(3)如图3,过点A画BC的垂线.答案:(1)如图1所示.(2)如图2所示.(3)如图3所示.21. (共7分)如图所示,∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,问CE 与DF的位置关系?试说明理由。
第五章相交线与平行线单元试卷检测(基础+提高,Word 版 含解析)一、选择题1.如图,五边形ABCDE 中,AE ∥BC ,则∠C +∠D +∠E 的度数为( )A .180°B .270°C .360°D .450° 2.如图,AB CD ∥,154FGB ∠︒=,FG 平分EFD ∠,则AEF ∠的度数等于( ).A .26°B .52°C .54°D .77°3.如图所示,若AB ∥EF ,用含α、β、γ的式子表示x ,应为( )A .αβγ++B .βγα+-C .180αγβ︒--+D .180αβγ︒++-4.已知AB CD ∥,点E F ,分别在直线AB CD ,上,点P 在AB CD ,之间且在EF 的左侧.若将射线EA 沿EP 折叠,射线FC 沿FP 折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则EPF ∠的度数为( )A .120︒B .135︒C .45︒或135︒D .60︒或120︒5.下列说法中,错误的有( )①若a 与c 相交,b 与c 相交,则a 与b 相交;②若a∥b,b∥c,那么a∥c;③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.A .3个B .2个C .1个D .0个6.已知//DE FG ,三角尺ABC 按如图所示摆放,90C ∠=︒,若137∠=︒,则2∠的度数为( )A .57°B .53°C .51°D .37°7.在同一平面内,有3条直线a ,b ,c ,其中直线a 与直线b 相交,直线a 与直线c 平行,那么b 与c 的位置关系是( )A .平行B .相交C .平行或相交D .不能确定 8.下列命题中,属于真命题的是( ) A .相等的角是对顶角B .一个角的补角大于这个角C .绝对值最小的数是0D .如果a b =,那么a=b9.如图,下列条件中,不能判断直线a ∥b 的是( )A .∠1=∠3B .∠2=∠3C .∠4=∠5D .∠2+∠4=180°10.如图,将ABC 沿BC 的方向平移1cm 得到DEF ,若ABC 的周长为6cm ,则四边形ABFD 的周长为( )A .6cmB .8cmC .10cmD .12cm11.如图,将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ,如果△ABE 的周长是400px(1px=0.04cm ),那么四边形ABFD 的周长是( )A .16cmB .18cmC .20cmD .21cm12.如图,ABC 面积为2,将ABC 沿AC 方向平移至DFE △,且AC=CD ,则四边形AEFB 的面积为( )A .6B .8C .10D .12二、填空题13.如图, 已知//AB CF ,//CF DE , 90BCD ∠=︒,则D B ∠-∠=_________14.如图,已知AB CD ∥,CE 、BE 的交点为E ,现作如下操作:第一次操作,分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线,交点为1E ,第二次操作,分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线,交点为2E ,第三次操作,分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线,交点为3E ,…第n 次操作,分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线,交点为n E .若1n E ∠=度,那BEC ∠等于__________度.15.如图,已知AB ∥CD ,CE 、BE 的交点为E ,现作如下操作:第一次操作,分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线,交点为E 1,第二次操作,分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线,交点为E 2,第三次操作,分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线,交点为E 3,…,第n 次操作,分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线,交点为E n .若∠E n =1度,那∠BEC 等于________度16.如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,在A ,B ,C 三处经过三次拐弯,此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE ∥CD ),若∠A =120°,∠B =150°,则∠C 的度数是________17.如图,已知AB ,CD ,EF 互相平行,且∠ABE =70°,∠ECD =150°,则∠BEC =________°.18.如图,点О为直线AB 上一点,,,135OC OD OE AB ⊥⊥∠=︒.(1)EOD ∠= °,2∠= °;(2)1∠的余角是_ ,EOD ∠的补角是__ .19.已知∠A 与∠B 的两边分别平行,其中∠A 为x °,∠B 的为(210﹣2x )°,则∠A =____度.20.如图,AB ∥CD ,∠β=130°,则∠α=_______°.三、解答题21.对于平面内的∠M 和∠N ,若存在一个常数k >0,使得∠M +k ∠N =360°,则称∠N 为∠M 的k 系补周角.如若∠M =90°,∠N =45°,则∠N 为∠M 的6系补周角.(1)若∠H=120°,则∠H的4系补周角的度数为;(2)在平面内AB∥CD,点E是平面内一点,连接BE,DE.①如图1,∠D=60°,若∠B是∠E的3系补周角,求∠B的度数;②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点,在P 点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).22.如图,AD平分∠BAC交BC于点D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF 与AC相交于点G,∠BDA+∠CEG=180°.(1)AD与EF平行吗?请说明理由;(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,则∠F与∠H相等吗,请说明理由.23.如图,直线MN∥GH,直线l1分别交直线MN、GH于A、B两点,直线l2分别交直线MN、GH于C、D两点,且直线l1、l2交于点E,点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点.(1)如图①,当点P在线段CE上时,请直写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系: ;(2)如图②,当点P 在线段DE 上时,(1)中的∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系还成立吗?如果成立,请说明成立的理由;如果不成立,请写出这三个角之间的数量关系,并说明理由.(3)如果点P 在直线l 2上且在C 、D 两点外侧运动时,其他条件不变,请直接写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系 .24.如图1,AB ∥CD ,点E 在AB 上,点G 在CD 上,点 F 在直线 AB ,CD 之间,连接EF ,FG ,EF 垂直于 FG ,∠FGD =125°.(1)求出∠BEF 的度数;(2)如图 2,延长FE 到H ,点M 在FH 的上方,连接MH ,Q 为直线 AB 上一点,且在直线 MH 的右侧, 连接 MQ ,若∠EHM=∠M +90°,求∠MQA 的度数;(3)如图 3,S 为 NB 上一点,T 为 GD 上一点,作直线 ST ,延长 GF 交 AB 于点 N ,P 为直线 ST 上一动点,请直接写出∠PGN ,∠SNP 和∠GPN 的数量关系 .(题中所有角都是大于 0°小于 180°的角)25.已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上,C 为平面内一点,DE 、DF 分别是CDO ∠、CDB ∠的平分线.(1)如图1,若点C 在OA 上,且//FD AO ,求证:DE AO ⊥;(2)如图2,若点C 在AOB ∠的内部,且DEO DEC ∠=∠,请猜想DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系,并证明;(3)若点C 在AOB ∠的外部,且DEO DEC ∠=∠,请根据图3、图4直接写出结果出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系.26.如图,已知C 为两条相互平行的直线AB ,ED 之间一点,ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ,180FDC ABC ∠+∠=︒.(1)求证://AD BC ;(2)连结CF ,当//CF AB ,且32CFB DCF ∠=∠时,求BCD ∠的度数;(3)若DCF CFB ∠=∠时,将线段BC 沿直线AB 方向平移,记平移后的线段为PQ (B ,C 分别对应P ,Q ,当20PQD QDC ∠-∠=︒时,请直接写出DQP ∠的度数______.27.如图,已知直线12//l l ,直线3l 交1l 于C 点,交2l 于D 点,P 是线段CD 上的一个动点,(1)若P 点在线段CD (C 、D 两点除外)上运动,问PAC ∠,APB ∠,PBD ∠之间的关系是什么?这种关系是否变化?(2)若P 点在线段CD 之外时,PAC ∠,APB ∠,PBD ∠之间的关系怎样?说明理由28.(1)如图1,已知直线//m n ,在直线n 上取A B 、两点,C P 、为直线m 上的两点,无论点C P 、移动到任何位置都有:ABC S ____________ABP S △(填“>”、“<”或“=”) (2)如图2,在一块梯形田地上分别要种植大豆(空白部分)和芝麻(阴影部分),若想把种植大豆的两块地改为一块地,且使分别种植两种植物的面积不变,请问应该怎么改进呢?写出设计方案,并在图中画出相应图形并简述理由.(3)如图3,王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG,中间有条分界小路(图中折线ABC),左边区域为王爷爷的,右边区域为李爷爷的。
第五章相交线与平行线单元试卷综合测试(Word 版 含答案)一、选择题1.已知点P 为直线m 外一点,点A ,B ,C 为直线m 上三点,PA =4 cm ,PB =5 cm ,PC =2 cm ,则点P 到直线m 的距离为( )A .4 cmB .5 cmC .小于2 cmD .不大于2 cm 2.如图,已知直线a ∥b ,∠1=100°,则∠2等于( )A .80°B .60°C .100°D .70°3.如图,要得到AB ∥CD ,只需要添加一个条件,这个条件不可以...是( )A .∠1=∠3B .∠B +∠BCD =180°C .∠2=∠4D .∠D +∠BAD =180° 4.如图,已知AB ∥CD ∥EF ,则∠x 、∠y 、∠z 三者之间的关系是( )A .180x y z ++=°B .180x y z +-=°C .360x y z ++=°D .+=x z y 5.如图,25AOB ︒∠=,90AOC ︒∠=,点B ,O ,D 在同一直线上,则COD ∠的度数为( )A .65B .25C .115D .1556.在同一平面内,有3条直线a ,b ,c ,其中直线a 与直线b 相交,直线a 与直线c 平行,那么b与c的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定7.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容,则回答正确的是()已知:如图,∠BEC=∠B+∠C,求证:AB∥CD证明:延长BE交__※__于点F,则∠BEC=__⊙__+∠C又∵∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=▲∴AB∥CD(__□__相等,两直线平行)A.⊙代表∠FEC B.□代表同位角C.▲代表∠EFC D.※代表AB8.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是()A.垂直B.两条直线互相平行C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线9.下面命题中是真命题的有()①相等的角是对顶角②直角三角形两锐角互余③三角形内角和等于180°④两直线平行内错角相等A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,直线a∥b,则∠A的度数是()A.28°B.31°C.39°D.42°11.甲,乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时,第一步两位同学都以C为圆心,适当长度为半径画弧,交直线l于D,E两点(如图);第二步甲同学作∠DCE 的平分线所在的直线,乙同学作DE的中垂线.则下列说法正确的是()A.只有甲的画法正确B.只有乙的画法正确C.甲,乙的画法都正确D.甲,乙的画法都不正确12.如图,将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ,如果△ABE 的周长是400px(1px=0.04cm ),那么四边形ABFD 的周长是( )A .16cmB .18cmC .20cmD .21cm二、填空题13.已知直线AB ∥CD ,点P 、Q 分别在AB 、CD 上,如图所示,射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转,并不断往返旋转;射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止,此时射线PB 也停止旋转.(1)若射线PB 、QC 同时开始旋转,当旋转时间30秒时,PB'与QC'的位置关系为_____; (2)若射线QC 先转45秒,射线PB 才开始转动,当射线PB 旋转的时间为_____秒时,PB′∥QC′.14.若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角________对.15.如图,直线MN∥PQ,点A 在直线MN 与PQ 之间,点B 在直线MN 上,连结AB .∠ABM 的平分线BC 交PQ 于点C ,连结AC ,过点A 作AD⊥PQ 交PQ 于点D ,作AF⊥AB 交PQ 于点F ,AE 平分∠DAF 交PQ 于点E ,若∠CAE=45°,∠ACB=∠DAE,则∠ACD 的度数是_____.16.规律探究:同一平面内有直线1a 、2a 、3a ,⋯,100a ,若12//a a ,23a a ⊥,34//a a ,45a a ⊥,⋯,按此规律,1a 与100a 的位置关系是______.17.已知:如图放置的长方形ABCD 和等腰直角三角形EFG 中,∠F=90°,FE=FG=4cm ,AB=2cm ,AD=4cm ,且点F ,G ,D ,C 在同一直线上,点G 和点D 重合.现将△EFG 沿射线FC 向右平移,当点F 和点C 重合时停止移动.若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm 2,则△EFG 向右平移了____cm .18.如图,已知AB∥CD,∠EAF =14∠EAB,∠ECF=14∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是_____________________________19.已知∠A与∠B的两边分别平行,其中∠A为x°,∠B的为(210﹣2x)°,则∠A=____度.20.如图,CB∥OA,∠B=∠A=100°,E、F在CB上,且满足∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,若平行移动AC,当∠OCA的度数为_____时,可以使∠OEB=∠OCA.三、解答题21.已知:如图所示,直线MN∥GH,另一直线交GH于A,交MN于B,且∠MBA=80°,点C为直线GH上一动点,点D为直线MN上一动点,且∠GCD=50°.(1)如图1,当点C在点A右边且点D在点B左边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P,求∠BPC的度数;(2)如图2,当点C在点A右边且点D在点B右边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P,求∠BPC的度数;(3)当点C在点A左边且点D在点B左边时,∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P,请直接写出∠BPC的度数,不说明理由.22.(感知)如图①,AB∥CD,点E在直线AB与CD之间,连结AE、BE,试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC;(探究)当点E 在如图②的位置时,其他条件不变,试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°; (应用)点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间,连结AE 、EF 、FG 和CG ,其他条件不变,如图③,若∠EFG=36°,则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.23.如图,直线MN ∥GH ,直线l 1分别交直线MN 、GH 于A 、B 两点,直线l 2分别交直线MN 、GH 于C 、D 两点,且直线l 1、l 2交于点E ,点P 是直线l 2上不同于C 、D 、E 点的动点.(1)如图①,当点P 在线段CE 上时,请直写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系: ;(2)如图②,当点P 在线段DE 上时,(1)中的∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系还成立吗?如果成立,请说明成立的理由;如果不成立,请写出这三个角之间的数量关系,并说明理由.(3)如果点P 在直线l 2上且在C 、D 两点外侧运动时,其他条件不变,请直接写出∠NAP 、∠HBP 、∠APB 之间的数量关系 .24.已知E 、D 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上,C 为平面内一点,DE 、DF 分别是CDO ∠、CDB ∠的平分线.(1)如图1,若点C 在OA 上,且//FD AO ,求证:DE AO ⊥;(2)如图2,若点C 在AOB ∠的内部,且DEO DEC ∠=∠,请猜想DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系,并证明;(3)若点C 在AOB ∠的外部,且DEO DEC ∠=∠,请根据图3、图4直接写出结果出DCE ∠、AEC ∠、CDB ∠之间的数量关系.25.(1)方法感悟如图①所示,求证:BCF B F ∠=∠+∠.证明:过点C 作//CD EF//AB EF (已知)//CD AB ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)1,2B F ∴∠=∠∠=∠(两直线平行,内错角相等 )12B F ∴∠+∠=∠+∠即BCF B F ∠=∠+∠(2)类比应用如图②所示,//,AB EF 求证:360B BCF F ∠+∠+∠=︒.证明:(3)拓展探究如图③所示,//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可). 如图④所示,//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可).26.(问题提出)(1)如图①,已知 AB ∥CD ,求证 :∠1+∠MEN+∠2=360°(推广应用)(2)如图②,已知 AB ∥ CD ,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6的度数为___________. 如图③,已知 AB ∥CD ,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6+…+∠n 的度数为_________.27.如图1,已知a∥b,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AD⊥BC于E.(1)求证:∠ABC+∠ADC=90°;(2)如图2,BF平分∠ABC交AD于点F,DG平分∠ADC交BC于点G,求∠AFB+∠CGD 的度数;(3)如图3,P为线段AB上一点,I为线段BC上一点,连接PI,N为∠IPB的角平分线上一点,且∠NCD=12∠BCN,则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是______.28.如图1,已知直线PQ∥MN,点A在直线PQ上,点C、D在直线MN上,连接AC、AD,∠PAC=50°,∠ADC=30°,AE平分∠PAD,CE平分∠ACD,AE与CE相交于E.(1)求∠AEC的度数;(2)若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置,此时A1E平分∠AA1D1,CE平分∠ACD1,A1E与CE相交于E,∠PAC=50°,∠A1D1C=30°,求∠A1EC 的度数.(3)若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置,其他条件与(2)相同,求此时∠A1EC的度数.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长,再根据垂线段最短,可得答案.【详解】当PC⊥m时,PC是点P到直线m的距离,即点P到直线m的距离2cm,当PC不垂直直线m时,点P到直线m的距离小于PC的长,即点P到直线m的距离小于2cm,综上所述:点P到直线m的距离不大于2cm,故选D.【点睛】此题考查了点到直线的距离,利用了垂线段最短的性质.2.A解析:A【解析】试题分析:根据对顶角相等可得∠3=∠1=100°,再根据两直线平行,同旁内角互补可得∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°.故答案选A.考点:平行线的性质.3.A解析:A【分析】根据B、D中条件结合“同旁内角互补,两直线平行”可以得出AB∥CD,根据C中条件结合“内错角相等,两直线平行”可得出AB∥CD,而根据A中条件结合“内错角相等,两直线平行”可得出AD∥BC.由此即可得出结论.【详解】解:A.∵∠1=∠3,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行);B.∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行);C.∠2=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行);D.∠D+∠BAD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).故选A.【点睛】本题考查了平行线的判定,解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键.解析:B【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y,x=z+∠CEF,利用等量代换可得x=z+180°-y,再变形即可.【详解】解:∵CD∥EF,∴∠C+∠CEF=180°,∴∠CEF=180°-y,∵AB∥CD,∴x=z+∠CEF,∴x=z+180°-y,∴x+y-z=180°,故选:B.5.C解析:C【分析】先求出∠BOC,再由邻补角关系求出∠COD的度数.【详解】∵∠AOB=25°,∠AOC=90°,∴∠BOC=90°-25°=65°,∴∠COD=180°-65°=115°.故选:C.【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算;弄清各个角之间的关系是解题的关键.6.B解析:B【分析】根据a∥c,a与b相交,可知c与b相交,如果c与b不相交,则c与b平行,故b与a 平行,与题目中的b与a相交矛盾,从而可以解答本题.【详解】解:假设b∥c,∵a∥c,∴a∥b,而已知a与b相交于点O,故假设b∥c不成立,故b与c相交,故选:B.【点睛】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.7.C解析:C【分析】延长BE交CD于点F,利用三角形外角的性质可得出∠BEC=∠EFC+∠C,结合∠BEC=∠B+∠C可得出∠B=∠EFC,利用“内错角相等,两直线平行”可证出AB∥CD,找出各符号代表的含义,再对照四个选项即可得出结论.【详解】证明:延长BE交CD于点F,则∠BEC=∠EFC+∠C.又∵∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=∠EFC,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).∴※代表CD,⊙代表∠EFC,▲代表∠EFC,□代表内错角.故选:C.【点睛】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质,利用各角之间的关系,找出∠B=∠EFC 是解题的关键.8.D解析:D【分析】命题有条件和结论两部分组成,条件是已知的部分,结论是由条件得出的推论.【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”,结论是“两条直线互相平行”.故选:D.【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解,解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断.9.C解析:C【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和、直角三角形的性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:①相等的角不一定是对顶角,故不符合题意;②直角三角形两锐角互余,故符合题意;③三角形内角和等于180°,故符合题意;④两直线平行内错角相等,故符合题意;故选:C.【点睛】此题考查了命题与定理,解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识,难度不大.10.C解析:C【解析】试题分析:根据平行线的性质可得∠1=70°,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠A=70°-31°=39°.故选C.考点:平行线的性质11.C解析:C【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确.【详解】∵CD=CE,∴∠DCE的平分线垂直DE,DE的垂直平分线过点C,∴甲,乙的画法都正确.故选C.【点睛】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.12.C解析:C【分析】根据平移的性质可得DF=AE,然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF,然后代入数据计算即可得解.注意:1px = 0.04cm .【详解】∵1px = 0.04cm,∴50px=2cm,400px=16cm,∵△ABE向右平移2cm得到△DCF,∴DF=AE,∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF=AB+BE+AE+AD+EF=△ABE的周长+AD+EF.∵平移距离为2cm,∴AD=EF=2cm,∵△ABE的周长是16cm,∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm.故选:C.【点睛】本题考查了平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.二、填空题13.PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒.【分析】(1)求出旋转30秒时,∠BPB′和∠CQC′的度数,过E作EF∥AB,根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数,进而得结论;解析:PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒.【分析】(1)求出旋转30秒时,∠BPB′和∠CQC′的度数,过E作EF∥AB,根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数,进而得结论;(2)分三种情况:①当0s<t≤45时,②当45s<t≤67.5s时,③当67.5s<t<135s时,根据平行线的性质,得出角的关系,列出t的方程便可求得旋转时间.【详解】(1)如图1,当旋转时间30秒时,由已知得∠BPB′=4°×30=120°,∠CQC′=30°,过E作EF∥AB,则EF∥CD,∴∠PEF=180°﹣∠BPB′=60°,∠QEF=∠CQC′=30°,∴∠PEQ=90°,∴PB′⊥QC′,故答案为:PB′⊥QC′;(2)①当0s<t≤45时,如图2,则∠BPB′=4t°,∠CQC′=45°+t°,∵AB∥CD,PB′∥QC′,∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′,即4t=45+t,解得,t=15(s);②当45s<t≤67.5s时,如图3,则∠APB′=4t﹣180°,∠CQC'=t+45°,∵AB∥CD,PB′∥QC′,∴∠APB′=∠PED=180°﹣∠CQC′,即4t﹣180=180﹣(45+t),解得,t=63(s);③当67.5s<t<135s时,如图4,则∠BPB′=4t﹣360°,∠CQC′=t+45°,∵AB∥CD,PB′∥QC′,∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′,即4t﹣360=t+45,解得,t=135(s);综上,当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时,PB′∥QC′.故答案为:15秒或63秒或135秒.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,第(1)题关键是作平行线,第(2)题关键是分情况讨论,运用方程思想解决几何问题.14.24【解析】【分析】根据三线八角的特点,对四条直线产生的6个交点,两两一组进行分类求解即可.【详解】解:如图所示观测点A和点B,同旁内角有2对;A和C有2对;A和D,没有同旁内角;A和解析:24【解析】【分析】根据三线八角的特点,对四条直线产生的6个交点,两两一组进行分类求解即可.【详解】解:如图所示观测点A和点B,同旁内角有2对;A和C有2对;A和D,没有同旁内角;A和E有2对;A和F有2对.B和C有2对;B和D有2对;B和E有2对;B和F没有同旁内角.C和D有2对,C和E没有同旁内角,C和F有2对.D和E有2对;D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是:24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角,正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 15.27°.【解析】【分析】延长FA与直线MN交于点K,通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.【详解】解:延长FA与直线MN交于点K,由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°解析:27°.【解析】【分析】延长FA与直线MN交于点K,通过角度的不断转换解得∠BCA=45°.【详解】解:延长FA与直线MN交于点K,由图可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD,因为MN∥PQ,所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°,所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°,即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°,所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.故∠ACD的度数是:27°.【点睛】本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.16.互相垂直.【解析】【分析】依据,,,,,可得,即可得到与的位置关系是互相垂直.【详解】解:,,,,按此规律,,又,,,以此类推,,,故答案为:互相垂直.【点睛】本题主要解析:互相垂直.【解析】【分析】依据12a //a ,23a a ⊥,34a //a ,45a a ⊥,⋯,可得14n a a ⊥,即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直.【详解】解:12a //a ,23a a ⊥,34a //a ,14a a ∴⊥,按此规律,58a a ⊥,又45a a ⊥,⋯,18a a ∴⊥,以此类推,14n a a ⊥100425=⨯,1100a a ∴⊥,故答案为:互相垂直.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,解决问题的关键是根据已知条件得出规律:14n a a ⊥. 17.3或2+【解析】分析:分三种情况讨论:①如图1,由平移的性质得到△HDG 是等腰直角三角形,重合部分为△HDG,则重合面积=DG2=4,解得DG=,而DC <,故这种情况不成立;②如图解析:3或2+【解析】分析:分三种情况讨论:①如图1,由平移的性质得到△HDG 是等腰直角三角形,重合部分为△HDG ,则重合面积=12DG 2=4,解得DG =DC <,故这种情况不成立; ②如图2,由平移的性质得到△HDG 、△CGI 是等腰直角三角形,重合部分为梯形HDCI ,则重合面积=S △HDG -S △CGI ,把各部分面积表示出来,解方程即可;③如图3,由平移的性质得到△CGI 是等腰直角三角形,重合部分为梯形EFCI ,则重合面积=S △EFG -S △CGI ,把各部分面积表示出来,解方程即可.详解:分三种情况讨论:①如图1.∵△EFG 是等腰直角三角形,∴△HDG 是等腰直角三角形,重合部分为△HDG ,则重合面积=12DG 2=4,解得:DG =,而DC =2<,故这种情况不成立;②如图2.∵△EFG 是等腰直角三角形,∴△HDG 、△CGI 是等腰直角三角形,重合部分为梯形HDCI ,则重合面积=S △HDG -S △CGI =12DG 2-12CG 2=4,即:12DG 2-12(DG -2)2=4,解得:DG=3;③如图3.∵△EFG是等腰直角三角形,∴△CGI是等腰直角三角形,重合部分为梯形EFCI,则重合面积=S△EFG-S△CGI =12EF2-12CG2=4,即:12×42-12(DG-2)2=4,解得:DG=222+或222-(舍去).故答案为:3或222+.点睛:本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识,解题的关键是分三种情况作出图形,并表示出重合部分的面积.18.4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°,求出∠CAE+∠ACE=18解析:4∠AFC=3∠AEC【解析】【分析】连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°,求出∠CAE+∠ACE=180°-(4x°+4y°),求出∠AEC=4(x°+y°),∠AFC═3(x°+y°),即可得出答案.【详解】连接AC,设∠EAF=x°,∠ECF=y°,∠EAB=4x°,∠ECD=4y°,∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°,∴∠CAE+∠ACE=180°-(4x°+4y°),∠FAC+∠FCA=180°-(3x°+3y°),∴∠AEC=180°-(∠CAE+∠ACE)=180°-[180°-(4x°+4y°)]=4x°+4y°=4(x°+y°),∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-[180°-(3x°+3y°)]=3x°+3y°=3(x°+y°),∴∠AFC=34∠AEC,即:4∠AFC=3∠AEC,故正确答案为:4∠AFC=3∠AEC.【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用,注意:两直线平行,同旁内角互补.19.70或30.【分析】分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:根据题意,有两种情况:(1)当∠A=∠B,可得:x=210﹣2x,解得:x=70;(2)当解析:70或30.【分析】分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:根据题意,有两种情况:(1)当∠A=∠B,可得:x=210﹣2x,解得:x=70;(2)当∠A+∠B=180°时,可得:x+210﹣2x=180,解得:x=30.故答案为:70或30.【点睛】本题考查的是平行线的性质,在解答此题时要注意分类讨论.20.60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角,内角和定理,平行线定理即可解答. 【详解】解:设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA,∠B=∠A=100°,即a+x=80解析:60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角,内角和定理,平行线定理即可解答.【详解】解:设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA,∠B=∠A=100°,即a+x=80°,又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OCA,a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用,熟悉掌握是解题关键.三、解答题21.(1)∠BPC=65°;(2)∠BPC=155°;(3)∠BPC=155°【分析】(1)如图1,过点P作PE∥MN,根据题意结合平行线的性质和角平分线的性质可以得出:∠BPE=∠DBP=40°,1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=,据此进一步求解即可;(2)如图2,过点P作PE∥MN,根据平角可得∠DBA=100°,再由角平分线和平行线的性质得∠BPE=130°,1PCA CPE DCA252︒∠=∠=∠=,据此进一步求解即可;(3)如图3,过点P作PE∥MN,根据角平分线性质得出∠DBP=∠PBA=40°,由此得出∠BPE=∠DBP=40°,然后根据题意得出1PCA DCA652︒∠=∠=,由此再利用平行线性质得出∠CPE度数,据此进一步求解即可.【详解】(1)如图1,过点P作PE∥MN.∵PB平分∠DBA,∴∠DBP=∠PBA=40°,∵PE∥MN,∴∠BPE=∠DBP=40°,同理可证:1CPE PCA DCA252︒∠=∠=∠=,∴∠BPC=40°+25°=65°;(2)如图2,过点P作PE∥MN.∵∠MBA=80°.∴∠DBA=180°−80°=100°.∵BP平分∠DBA.∴1DBP DBA502︒∠=∠=,∵MN∥PE,∴∠BPE=180°−∠DBP=130°,∵PC平分∠DCA.∴1PCA DCA252︒∠=∠=,∵MN∥PE,MN∥GH,∴PE∥GH,∴∠EPC=∠PCA=25°,∴∠BPC=130°+25°=155°;(3)如图3,过点P作PE∥MN.∵BP平分∠DBA.∴∠DBP=∠PBA=40°,∵PE∥MN,∴∠BPE=∠DBP=40°,∵CP平分∠DCA,∠DCA=180°−∠DCG=130°,∴1PCA DCA652︒∠=∠=,∵PE∥MN,MN∥GH,∴PE∥GH,∴∠CPE=180°−∠PCA=115°,∴∠BPC=40°+115°=155°.【点睛】本题主要考查了平行线性质与角平分线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键. 22.【感知】见解析;【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°;【应用】396°.【分析】感知:如图①,过点E作EF∥AB.利用平行线的性质即可解决问题;探究:如图2中,作EG∥AB,利用平行线的性质即可解决问题;应用:作FH∥AB,利用平行线的性质即可解决问题;【详解】解:理由如下,【感知】过E点作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】过E点作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°【应用】过点F作FH∥AB.∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°,∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°,∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°,∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°,∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.【点睛】本题考查平行线的性质,解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题,属于中考常考题型.23.(1)∠APB=∠NAP+∠HBP;(2)见解析;(3)∠HBP=∠NAP+∠APB【分析】(1)过P点作PQ∥GH,根据平行线的性质即可求解;(2)过P点作PQ∥GH,根据平行线的性质即可求解;(3)根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.【详解】解:(1)如图①,过P点作PQ∥GH,∵MN∥GH,∴MN∥PQ∥GH,∴∠APQ=∠NAP,∠BPQ=∠HBP,∵∠APB=∠APQ+∠BPQ,∴∠APB=∠NAP+∠HBP,故答案为:∠APB=∠NAP+∠HBP;(2)如图②,过P点作PQ∥GH,∵MN∥GH,∴MN∥PQ∥GH,∴∠APQ+∠NAP=180°,∠BPQ+∠HBP=180°,∵∠APB=∠APQ+∠BPQ,∴∠APB=(180°﹣∠NAP)+(180°﹣∠HBP)=360°﹣(∠NAP+∠HBP);(3)如备用图,∵MN∥GH,∴∠PEN=∠HBP,∵∠PEN=∠NAP+∠APB,∴∠HBP=∠NAP+∠APB.故答案为:∠HBP=∠NAP+∠APB.【点睛】此题考查了平行公理的推论:平行于同一条直线的两直线平行,以及平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补,熟记定理是解题的关键.24.(1)证明见解析;(2)∠CDB+∠AEC=2∠DCE;(3)图3中∠CDB=∠AEC+2∠DCE,图4中∠AEC=∠CDB+2∠DCE.【分析】(1)依据DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线,可得∠CDF=12∠CDB,∠CDE=1 2∠CDO,进而得出∠EDF=12(∠CDB+∠CDO)=90°,再根据平行线的性质,即可得到∠AED=90°,即DE⊥AO;(2)连接OC,依据∠DEO=∠DEC,∠EDO=∠EDC,可得∠DOE=∠DCE,再根据三角形外角性质,即可得到∠CDB+∠AEC=∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO=2∠DCE;(3)如图3中,依据∠CDB是△ODG的外角,可得∠CDB=∠DOG+∠DGO,依据∠DGO 是△CEG的外角,可得∠DGO=∠AEC+∠C,进而得到∠CDB=∠DOG+∠AEC+∠C=∠AEC+2∠DCE;如图4中,同理可得∠AEC=∠DOE+∠CDB+∠C=∠CDB+2∠DCE.【详解】解:(1)如图1,∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线,∴∠CDF=12∠CDB,∠CDE=12∠CDO,∴∠EDF=12(∠CDB+∠CDO)=90°,又∵DF∥AO,∴∠AED=90°,∴DE⊥AO;(2)如图2,连接OC,∵∠DEO=∠DEC,∠EDO=∠EDC,∴∠DOE =∠DCE ,∵∠CDB 是△COD 的外角,∠AEC 是△COE 的外角,∴∠CDB =∠COD +∠OCD ,∠AEC =∠EOC +∠ECO ,∴∠CDB +∠AEC =∠COD +∠OCD +∠EOC +∠ECO =2∠DCE ;(3)图3中,∠CDB =∠AEC +2∠DCE ;图4中,∠AEC =∠CDB +2∠DCE .理由: 如图3,∵∠DEO =∠DEC ,∠EDO =∠EDC ,∴∠DOE =∠DCE ,∵∠CDB 是△ODG 的外角,∴∠CDB =∠DOG +∠DGO ,∵∠DGO 是△CEG 的外角,∴∠DGO =∠AEC +∠C ,∴∠CDB =∠DOG +∠AEC +∠C =∠AEC +2∠DCE ;如图4,∵∠DEO =∠DEC ,∠EDO =∠EDC ,∴∠DOE =∠DCE ,∵∠AEC 是△OEH 的外角,∴∠AEC =∠DOE +∠OHE ,∵∠OHE 是△CDH 的外角,∴∠OHE =∠CDB +∠C ,∴∠AEC =∠DOE +∠CDB +∠C =∠CDB +2∠DCE .【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用,解题时注意:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.25.(2)见解析;(2)BCF F B ∠=∠-∠,BCF B F ∠=∠-∠.【分析】(2)过点C 作CD ∥AB ,由平行线的性质,得到180B BCD ∠+∠=︒,180DCF F ∠+∠=︒,即可得到结论成立;(3)①过点C 作CD ∥AB ,由平行线的性质和(2)的证明方法,即可得到答案; ②过点C 作CD ∥AB ,由平行线的性质和(2)的证明方法,即可得到答案;【详解】()2证明:过点C 作//CD AB//AB EF (已知)//CD EF ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)180,180B BCD DCF F ∴∠+∠=︒∠+∠=︒(两相线平行,同旁内角补),∵BCF BCD DCF ∠=∠+∠,∴360B BCF F ∠+∠+∠=︒;(3)①过点C 作//CD AB ,如图:∵AB ∥CD ∥EF ,∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒,∵BCD BCF DCF ∠=∠+∠,∴BCF F B ∠=∠-∠;故答案为:BCF F B ∠=∠-∠;②过点C 作//CD AB ,如图:∵AB ∥CD ∥EF ,∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒,∵BCD BCF DCF ∠+∠=∠,∴BCF B F ∠=∠-∠.故答案为:BCF B F ∠=∠-∠.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握题意,以及掌握平行线的判定和性质进行证明.26.(1)见解析,(2)900,180(1).n ︒︒-【分析】(1)过点E 作EF ∥CD ,根据平行线的判定得出EF ∥AB ,根据平行线的性质得出即可;(2)如图②过E 作EQ ∥CD ,过F 作FW ∥CD ,过G 作GR ∥CD ,过H 作HY ∥CD ,根据平行线的判定得出EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ,根据平行线的性质得出即可;如图③,利用(1)(2)②发现规律,直接得到答案.【详解】证明:(1)证明:过点E 作EF ∥CD ,∵AB ∥CD , ∴EF ∥AB ,∴∠1+∠MEF=180°,同理∠2+∠NEF=180°,∴∠1+∠2+∠MEN =360°;(2)如图②过E 作EQ ∥CD ,过F 作FW ∥CD ,过G 作GR ∥CD ,过H 作HY ∥CD ,∵CD ∥AB , ∴EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ,∴∠1+∠MEQ=180°,∠QEF+∠EFW=180°,∠WFG+∠FGR=180°,∠RGH+∠GHY=180°,∠YHN+∠6=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°,如图③,由∠1+∠2+∠MEN 3601802=︒=︒⨯,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠69001805=︒=︒⨯,可得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n 180(1)n =︒-,故答案为:900°,180(1)n ︒-;【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键.27.(1)见解析;(2)225°;(3)3∠CNP=∠CIP+∠IPN 或3∠IPN=∠CIP+∠CNP .【分析】(1)如图1中,过E 作EF ∥a ,利用平行线的性质即可解决问题;(2)如图2中,作FM ∥a ,GN ∥b ,设∠ABF=∠EBF=x ,∠ADG=∠CDG=y ,可得x+y=45°,证明∠AFB=180°-(2y+x),∠CGD=180°-(2x+y),推出∠AFB+∠CGD=360°-(3x+3y)即可解决问题;(3)分两种情形:①当点N在∠DCB内部时,②当点N′在直线CD的下方时,分别画出图形求解即可.【详解】(1)证明:如图1中,过E作EF∥a.∵a∥b,∴a∥b∥EF,∵AD⊥BC,∴∠BED=90°,∵EF∥a,∴∠ABE=∠BEF,∵EF∥b,∴∠ADC=∠DEF,∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°.(2)解:如图2中,作FM∥a,GN∥b,设∠ABF=∠EBF=x,∠ADG=∠CDG=y,由(1)知:2x+2y=90°,x+y=45°,∵FM∥a∥b,∴∠BFD=2y+x,∴∠AFB=180°-(2y+x),同理:∠CGD=180°-(2x+y),∴∠AFB+∠CGD=360°-(3x+3y),=360°-3×45°=225°.(3)解:如图,设PN交CD于E.当点N在∠DCB内部时,∵∠CIP=∠PBC+∠IPB,∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE,∵PN平分∠EPB,∴∠EPB=∠EPI,∵AB∥CD,∴∠NPE=∠CEN,∠ABC=∠BCE,∵∠NCE=12∠BCN,∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3(∠NCE+∠NEC)=3∠CNP.当点N′在直线CD的下方时,同理可知:∠CIP+∠CNP=3∠IPN,综上所述:3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP.【点睛】本题考查平行线的性质,对顶角相等等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.28.(1)∠AEC=130°;(2)∠A1EC=130°;(3)∠A1EC=40°.【解析】【分析】(1)由直线PQ∥MN,∠ADC=∠QAD=30°,可得∠PAD=150°,再求∠PAE=75°,可得∠CAE=25°;由∠PAC=∠ACN,求得∠ECA=25°,故∠AEC=180°﹣25°﹣25°;(2)先求出∠QA1D1=30°,∠PA1D1=150°,再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°,再求出∠CAQ=130°,∠ACN=50°,根据平分线定义得∠ACE=25°,再利用四边形内角和性质可求∠CEA1;(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°,∠ACE=∠ECN=∠1=25°,再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.【详解】(1)如图1所示:∵直线PQ∥MN,∠ADC=30°,∴∠ADC=∠QAD=30°,∴∠PAD=150°,∵∠PAC=50°,AE平分∠PAD,∴∠PAE=75°,∴∠CAE=25°,可得∠PAC=∠ACN=50°,∵CE平分∠ACD,∴∠ECA=25°,∴∠AEC=180°﹣25°﹣25°=130°;(2)如图2所示:∵∠A1D1C=30°,线段AD沿MN向右平移到A1D1,PQ∥MN,∴∠QA1D1=30°,∴∠PA1D1=150°,∵A1E平分∠AA1D1,∴∠PA1E=∠EA1D1=75°,∵∠PAC=50°,PQ∥MN,∴∠CAQ=130°,∠ACN=50°,∵CE平分∠ACD1,∴∠ACE=25°,∴∠CEA1=360°﹣25°﹣130°﹣75°=130°;(3)如图3所示:过点E作FE∥PQ,∵∠A1D1C=30°,线段AD沿MN向左平移到A1D1,PQ∥MN,∴∠QA1D1=30°,∵A1E平分∠AA1D1,∴∠QA1E=∠2=15°,∵∠PAC=50°,PQ∥MN,∴∠ACN=50°,∵CE平分∠ACD1,∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°,∴∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°=40°.【点睛】本题考查了平行线性质,角平分线定义,熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.。
第五章相交线与平行线单元试卷试卷(word 版含答案)一、选择题1.如图,A 、P 是直线m 上的任意两个点,B 、C 是直线n 上的两个定点,且直线m ∥n .则下列说法正确的是( )A .AC=BPB .△ABC 的周长等于△BCP 的周长 C .△ABC 的面积等于△ABP 的面积D .△ABC 的面积等于△PBC 的面积 2.如图,AB CD ∥,154FGB ∠︒=,FG 平分EFD ∠,则AEF ∠的度数等于( ).A .26°B .52°C .54°D .77° 3.如图,AB ∥CD ,BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ,BF ∥DE ,∠F 与∠ABE 互补,则∠F 的度数为A .30°B .35°C .36°D .45°4.两条平行线被第三条直线所截,则下列说法错误的是( )A .一对邻补角的平分线互相垂直B .一对同位角的平分线互相平行C .一对内错角的平分线互相平行D .一对同旁内角的平分线互相平行5.已知:点A ,B ,C 在同一条直线上,点M 、N 分别是AB 、BC 的中点,如果AB =10cm ,AC =8cm ,那么线段MN 的长度为( )A .6cmB .9cmC .3cm 或6cmD .1cm 或9cm6.如图,若180A ABC ∠+∠=︒,则下列结论正确的是( )A .12∠=∠B .24∠∠=C .13∠=∠D .23∠∠=7.在同一平面内,有3条直线a ,b ,c ,其中直线a 与直线b 相交,直线a 与直线c 平行,那么b 与c 的位置关系是( )A .平行B .相交C .平行或相交D .不能确定8.光线在不同介质中的传播速度不同,因此当光线从空气射向水中时,会发生折射.如图,在空气中平行的两条入射光线,在水中的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行,且∠1=122°,则∠2=( )A .61°B .58°C .48°D .41° 9.在下列命题中,为真命题的是( ) A .相等的角是对顶角B .平行于同一条直线的两条直线互相平行C .同旁内角互补D .垂直于同一条直线的两条直线互相垂直10.下列选项中,不是运用“垂线段最短”这一性质的是( )A .立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离B .从一个村庄向一条河引一条最短的水渠C .把弯曲的公路改成直道可以缩短路程D .直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短11.如图,直线l 与直线AB 、CD 分别相交于点E 、点F ,EG 平分BEF ∠交直线CD 与点G ,若168BEF ∠=∠=︒,则EGF ∠的度数为( ).A .34°B .36°C .38°D .68°12.下列说法中不正确的个数为( ).①在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和垂直.②有且只有一条直线垂直于已知直线.③如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这点到这条直线的距离.⑤过一点,有且只有一条直线与已知直线平行.A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题13.如图, 已知//AB CF ,//CF DE , 90BCD ∠=︒,则D B ∠-∠=_________14.某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯,主道路是平行,即PQ ∥MN . 如图所示,灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转,灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A 转动的速度是每秒2度,灯B 转动的速度是每秒1度. 若灯B 射线先转动30秒,灯A 射线才开始转动,在灯B 射线到达BQ 之前,A 灯转动_________秒,两灯的光束互相平行.15.平面内不过同一点的n 条直线两两相交,它们交点个数记作n a ,并且规定10a =,则2a =__________,1n n a a --=____________.16.如图,有两个正方形夹在AB 与CD 中,且AB//CD,若∠FEC=10°,两个正方形临边夹角为150°,则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)17.如图,Rt △AOB 和Rt △COD 中,∠AOB =∠COD =90°,∠B =40°,∠C =60°,点D 在边OA 上,将图中的△COD 绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第________秒时,边CD 恰好与边AB 平行.18.如图,直线a ∥b ∥c ,直角∠BAC 的顶点A 在直线b 上,两边分别与直线a ,c 相交于点B ,C ,则∠1+∠2的度数是___________.19.如图,已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ,∠EOC=28°,则∠AOD=_____度;20.如图,直角△ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5,则内部五个小直角三角形的周长为_____.三、解答题21.如图,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,点F 在BA 的延长线上,点E 在线段CD 上,EF 与AC 相交于点G ,∠BDA+∠CEG=180°.(1)AD 与EF 平行吗?请说明理由;(2)若点H 在FE 的延长线上,且∠EDH=∠C ,则∠F 与∠H 相等吗,请说明理由.22.已知:直线//AB CD ,点E ,F 分别在直线AB ,CD 上,点M 为两平行线内部一点. (1)如图1,∠AEM ,∠M ,∠CFM 的数量关系为________;(直接写出答案)(2)如图2,∠MEB 和∠MFD 的角平分线交于点N ,若∠EMF 等于130°,求∠ENF 的度数;(3)如图3,点G 为直线CD 上一点,延长GM 交直线AB 于点Q ,点P 为MG 上一点,射线PF 、EH 相交于点H ,满足13PFG MFG ∠=∠,13BEH BEM ∠=∠,设∠EMF =α,求∠H 的度数(用含α的代数式表示).23.如图1,//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ,与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H .(1)求证:// ;PF GH (2)如图2,连接PH K ,为GH 上一动点,PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化?若不变,求出其值;若改变,请说明理由.24.如图,已知C 为两条相互平行的直线AB ,ED 之间一点,ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ,180FDC ABC ∠+∠=︒.(1)求证://AD BC ;(2)连结CF ,当//CF AB ,且32CFB DCF ∠=∠时,求BCD ∠的度数;(3)若DCF CFB ∠=∠时,将线段BC 沿直线AB 方向平移,记平移后的线段为PQ (B ,C 分别对应P ,Q ,当20PQD QDC ∠-∠=︒时,请直接写出DQP ∠的度数______.25.如图1.已知直线AB ED .点C 为AB ,ED 内部的一个动点,连接CB ,CD ,作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ,作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ,BE 和DA 交于点F .(1)若180FDC ABC ∠+∠=︒,猜想AD 和BC 的位置关系,并证明;(2)如图2,在(1)的基础上连接CF ,则在点C 的运动过程中,当满足CF AB ∥且32CFB DCF ∠=∠时,求BCD ∠的度数. 26.AB ∥CD ,点P 为直线AB ,CD 所确定的平面内的一点.(1)如图1,写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系,并证明;(2)如图2,写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系,并证明;(3)如图3,点E 在射线BA 上,过点E 作EF ∥PC ,作∠PEG =∠PEF ,点G 在直线CD 上,作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ,若∠APC =30°,∠PAB =140°,求∠PEH 的度数.27.(问题提出)(1)如图①,已知 AB ∥CD ,求证 :∠1+∠MEN+∠2=360°(推广应用)(2)如图②,已知 AB ∥ CD ,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6的度数为___________. 如图③,已知 AB ∥CD ,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 +∠6+…+∠n 的度数为_________.∥,且直线AB、CD与AD、BC分别交于A、D和28.如图`,已知:直线AD BCB、C两点,点P在直线AB上.∠、(1)如图1,当点P在A、B两点之间时(点P不与点A、B重合),探究ADP、DPC ∠之间的关系,并说明理由.BCP∠、(2)若点P不在A、B两点之间,在备用图中画出图形,直接写出ADP、DPC∠之间的关系,不需说理.BCP【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案.【详解】解:∵A、P是直线m上的任意两个点,B、C是直线n上的两个定点,且直线m∥n,根据平行线之间的距离相等可得:△ABC与△PBC是同底等高的三角形,故△ABC的面积等于△PBC的面积.故选D.【点睛】本题考查平行线之间的距离;三角形的面积.2.B解析:B【分析】根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.【详解】解:∵AB CD ∥,∴180FGB GFD ∠+∠=︒,∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒,∵FG 平分EFD ∠,∴252EFD GFD ∠=∠=︒,∵AB CD ∥,∴52AEF EFD ∠=∠=︒.故选B .【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行,同位角相等;2.两直线平行,内错角相等;3.两直线平行,同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.3.C解析:C【解析】【分析】延长BG 交CD 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义,进行解答即可.【详解】解:如图延长BG 交CD 于G∵BF ∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF 平分∠CDE,∴∠CDE=2∠F,∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F,∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F,∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F,又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°,解得∠F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义,做出辅助线是解答本题的关键.4.D解析:D【解析】试题分析:A、两条平行线被第三条直线所截,一对邻补角的平分线互相垂直,故本选项正确;B、两条平行线被第三条直线所截,同位角的平分线互相平行,故本选项正确;C、两条平行线被第三条直线所截,内错角的平分线互相平行,故本选项正确;D、两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直,故本选项错误;故选:D.5.D解析:D【解析】试题分析:有两种情况:①点C在AB上,②点C在AB的延长线上,这两种情况根据线段的中点的性质,可得BM、BN的长,再利用线段的和、差即可得出答案.解:(1)点C在线段AB上,如:点M是线段AB的中点,点N是线段BC的中点,MB=12AB=5,BN=12CB=4,MN=BM-BN=5-4=1cm;(2)点C在线段AB的延长线上,如:点M是线段AB的中点,点N是线段BC的中点,MB=12AB=5,BN=12CB=4,MN =MB +BN =5+4=9cm ,故选D .点睛:本题考查了两点间的距离. 解题的关键在于要利用分类讨论思想结合线段中点的性质、线段的和差进行解答.6.C解析:C【分析】由∠A+∠ABC=180°可得到AD ∥BC ,再根据平行线的性质判断即可得答案.【详解】∵180A ABC ∠+∠=︒,∴//AD BC (同旁内角互补,两直线平行),∴13∠=∠(两直线平行,内错角相等).故选:C .【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,同旁内角互补,两直线平行;两直线平行内错角相等;熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.7.B解析:B【分析】根据a ∥c ,a 与b 相交,可知c 与b 相交,如果c 与b 不相交,则c 与b 平行,故b 与a 平行,与题目中的b 与a 相交矛盾,从而可以解答本题.【详解】解:假设b ∥c ,∵a ∥c ,∴a ∥b ,而已知a 与b 相交于点O ,故假设b ∥c 不成立,故b 与c 相交,故选:B .【点睛】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.8.B解析:B【分析】由水面和杯底互相平行,利用“两直线平行,同旁内角互补”可求出∠3的度数,由水中的两条折射光线平行,利用“两直线平行,同位角相等”可得出∠2的度数.【详解】如图,∵水面和杯底互相平行,∴∠1+∠3=180°,∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣122°=58°.∵水中的两条折射光线平行,∴∠2=∠3=58°.故选:B.【点睛】本题考查了平行线的性质,牢记“两直线平行,同旁内角互补”和“两直线平行,同位角相等”是解题的关键.9.B解析:B【分析】分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可.【详解】解:A、相等的角不一定是对顶角,故此选项错误;B、平行于同一条直线的两条直线互相平行,正确;C、两直线平行,同旁内角互补,故此选项错误;D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行,故此选项错误.故选B.【点睛】此题主要考查了命题与定理,熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键.10.C解析:C【分析】垂线段最短,指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言.据此逐个分析即可.【详解】解:A.立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离,运用“垂线段最短”这一性质;B.从一个村庄向一条河引一条最短的水渠,运用“垂线段最短”这一性质;C.把弯曲的公路改成直道可以缩短路程,运用“两点之间,线段最短”这一性质;D.直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短,运用“垂线段最短”这一性质;故选:C.【点睛】本题主要考查了垂线段最短,实际问题中涉及线路最短问题时,其理论依据应从“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择.11.A解析:A【分析】由角平分线的性质可得∠GEB=12∠BEF=34°,由同位角相等,两直线平行可得CD∥AB,即可求解.【详解】∵EG平分∠BEF,∴∠GEB=12∠BEF=34°,∵∠1=∠BEF=68°,∴CD∥AB,∴∠EGF=∠GEB=34°,故选:A.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的定义,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.12.C解析:C【分析】根据在同一平面内,根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可.【详解】∵在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交和平行,故①不正确;∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线.故②不正确;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.故③正确;从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离.故④不正确;过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.故⑤不正确;∴不正确的有①②④⑤四个.故选:C.【点睛】本题考查了直线的知识;解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质,从而完成求解.二、填空题13.90°【分析】根据AB∥CF,可得出∠B和∠B CF的关系,根据CF∥DE,可得出∠FED和∠D的关系,合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF,∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠解析:90°【分析】根据AB∥CF,可得出∠B和∠BCF的关系,根据CF∥DE,可得出∠FED和∠D的关系,合并即可得出∠D―∠B的大小【详解】∵AB∥CF,∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠FCD+∠D=180°∴∠FCD+∠D-∠B=180°-∠BCF,化简得:∠D-∠B=180°-(∠BCF+∠FCD)∵∠BCD=90°,∴∠BCF+∠FCD=90°∴∠D―∠B=90°故答案为:90°【点睛】本题考查平行线的性质,解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD,然后利用平行线的性质进行角度转换.14.30或110【分析】分两种情况讨论:两束光平行;两束光重合之后(在灯B射线到达BQ之前)平行,然后利用平行线的性质求解即可.【详解】解:设灯转动t秒,两灯的光束互相平行,即AC∥BD,①当解析:30或110【分析】分两种情况讨论:两束光平行;两束光重合之后(在灯B射线到达BQ之前)平行,然后利用平行线的性质求解即可.【详解】解:设灯转动t秒,两灯的光束互相平行,即AC∥BD,①当0<t≤90时,如图1所示:∵PQ∥MN,则∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,则∠CAM=∠BDA,∴∠PBD=∠CAM有题意可知:2t=30+t解得:t=30,②当90<t<150时,如图2所示:∵PQ∥MN,则∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,则∠CAN=∠BDA,∴∠PBD+∠CAN=180°,∴30+t+(2t-180)=180解得:t=110综上所述,当t=30秒或t=110秒时,两灯的光束互相平行.故答案为:30或110【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用,解题的关键是熟练掌握平行线的性质,注意分两种情况谈论.15.【分析】条直线相交只有一个交点,条直线相交,交点数是,条直线相交,交点数是,即,可写出,的解.【详解】解:求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数,可由简入繁,当2条直线相交时,交点解析:1n -【分析】2条直线相交只有一个交点,3条直线相交,交点数是12+,n 条直线相交,交点数是123(1)n ++++-,即1123(1)(1)2n a n n n =++++-=-,可写出2a , 1n n a a --的解.【详解】解:求平面内不过同一点的n 条直线两两相交的交点个数,可由简入繁,当2条直线相交时,交点数只有一个;当3条直线相交时,交点数为两条时的数量+第3条直线与前两条的交点2个,即交点数是12+;同理,可以推导当n 条直线相交时,交点数是123(1)n ++++-,即1123(1)(1)2n a n n n =++++-=-, 212(21)12a ∴=⨯⨯-=, 111(1)(1)(2)122n n a a n n n n n -∴-=----=-, 本题的答案为:1,1n -.【点睛】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算,涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触,此方法在推导证明中比较常用.16.【解析】【详解】作IF ∥AB,GK ∥AB,JH ∥AB因为AB ∥CD所以,AB ∥CD ∥ IF ∥GK ∥JH所以,∠IFG=∠FEC=10°所以,∠GFI=90°-∠IFG=80°所以,∠解析:【解析】【详解】作IF ∥AB,GK ∥AB,JH ∥AB因为AB ∥CD所以,AB ∥CD ∥ IF ∥GK ∥JH所以,∠IFG=∠FEC=10°所以,∠GFI=90°-∠IFG=80°所以,∠KGF=∠GFI=80°所以,∠HGK=150°-∠KGF=70°所以,∠JHG=∠HGK=70°同理,∠2=90°-∠JHG=20°所以,∠1=90°-∠2=70°故答案为70【点睛】本题考查了平行线的性质,正确作出辅助线是关键,注意掌握平行线的性质:两直线平行,内错角相等.17.10或28【解析】【分析】作出图形,分①两三角形在点O的同侧时,设CD与OB相交于点E,根据两直线平行,同位角相等可得∠CEO=∠B,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠解析:10或28【解析】【分析】作出图形,分①两三角形在点O的同侧时,设CD与OB相交于点E,根据两直线平行,同位角相等可得∠CEO=∠B,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE,然后求出旋转角∠AOD,再根据每秒旋转10°列式计算即可得解;②两三角形在点O的异侧时,延长BO与CD相交于点E,根据两直线平行,内错角相等可得∠CEO=∠B,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE,然后求出旋转角度数,再根据每秒旋转10°列式计算即可得解.【详解】解:①两三角形在点O的同侧时,如图1,设CD与OB相交于点E,∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=40°,∵∠C=60°,∠COD=90°,∴∠D=90°-60°=30°,∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°,∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°,∵每秒旋转10°,∴时间为100°÷10°=10秒;②两三角形在点O的异侧时,如图2,延长BO与CD相交于点E,∵AB∥CD,∴∠CEO=∠B=40°,∵∠C=60°,∠COD=90°,∴∠D=90°-60°=30°,∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°,∴旋转角为270°+10°=280°,∵每秒旋转10°,∴时间为280°÷10°=28秒;综上所述,在第10或28秒时,边CD恰好与边AB平行.故答案为10或28.【点睛】本题考查了平行线的判定,平行线的性质,旋转变换的性质,难点在于分情况讨论,作出图形更形象直观.18.270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°,再结合∠BAC是直角即可得出结果.【详解】解:如图所示,∵a∥b,∴∠1+∠3=180°,则∠3=180°-∠1,∵解析:270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°,再结合∠BAC 是直角即可得出结果.【详解】解:如图所示,∵a ∥b ,∴∠1+∠3=180°,则∠3=180°-∠1,∵b ∥c∴∠2+∠4=180°,则∠4=180°-∠2,∵∠BAC 是直角,∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2,∴90°=360°-(∠1+∠2),∴∠1+∠2=270°.故答案为:270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.19.62【详解】∵,,∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析:62【详解】∵OE AB ⊥,28EOC ∠=,∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.20.12【解析】分析:由图形可知,内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的,故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长.详解:由图形可以看出:内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的 解析:12【解析】分析:由图形可知,内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的,故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长.详解:由图形可以看出:内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的, 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12.故答案为12.点睛:本题主要考查了平移的性质,需要注意的是:平移前后图形的大小、形状都不改变.三、解答题21.见解析【解析】分析:(1)求出∠ADE +∠FEB =180°,根据平行线的判定推出即可;(2)根据角平分线定义得出∠BAD =∠CAD ,推出HD ∥AC ,根据平行线的性质得出∠H =∠CGH ,∠CAD =∠CGH ,推出∠BAD =∠F 即可.详解:(1)AD ∥EF .理由如下:∵∠BDA +∠CEG =180°,∠ADB +∠ADE =180°,∠FEB +∠CEF =180°∴∠ADE +∠FEB =180°,∴AD ∥EF ;(2)∠F =∠H ,理由是:∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD .∵∠EDH =∠C ,∴HD ∥AC ,∴∠H =∠CGH .∵AD ∥EF ,∴∠CAD =∠CGH ,∴∠BAD =∠F ,∴∠H =∠F .点睛:本题考查了平行线的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力,题目是一道比较好的题目,难度适中.22.(1)M AEM CFM ∠=∠+∠;(2)115ENF ∠=︒;(3)1603H α∠=︒-. 【分析】(1)过点M 作//ML AB ,利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠,2CFM ∠=∠,由12EMF ∠=∠+∠,经过等量代换可得结论;(2)过M 作//ME AB ,利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可.(3)如图②中设BEH x ∠=,PFG y ∠=,则3BEM x ∠=,3MFG y ∠=,设EH 交CD 于K .证明H x y ∠=-,求出x y -即可解决问题.【详解】(1)如图1,过点M 作//ML AB ,//AB CD ,////ML AB CD ∴,1AEM ∴∠=∠,2CFM ∠=∠,12EMF ∠=∠+∠,M AEM CFM ∴∠=∠+∠;(2)过M 作//ME AB ,//AB CD ,//ME CD ∴,24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒,1802BEM ∴∠=︒-∠,1804DFM ∠=︒-∠, EN ,FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠, 112BEM ∴∠=∠,132DFM ∠=∠, 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒, 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒;(3)如图②中设BEH x ∠=,PFG y ∠=,则3BEM x ∠=,3MFG y ∠=,设EH 交CD 于K .//AB CD ,BEH DKH x ∴∠=∠=,PFG HFK y ∠=∠=,DKH H HFK ∠=∠+∠,H x y ∴∠=-,EMF MGF α∠=∠=,180BQG MGF ∠+∠=︒,180BQG α∴∠=︒-,QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠,3QME MFG y ∴∠=∠=,BEM QME MQE ∠=∠+∠,33180x y α∴-=︒-,1603x y α∴-=︒-, 1603H α∴∠=︒-. 【点睛】本题考查平行线的性质和判定,三角形的外角的性质,三角形的内角和定理等知识,作出平行线,利用参数解决问题是解题的关键.23.(1)详见解析;(2)HPQ ∠的大小不发生变化,一直是45︒.【分析】(1)利用平行线的性质推知180BEF EFD ∠+∠=︒;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得90EPF ∠=︒,即EG PF ⊥,故结合已知条件GH EG ⊥,易证//PF GH ;(2)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得49039022∠=︒-∠=︒-∠;然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知14522QPK EPK ∠=∠=︒+∠;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得HPQ ∠的大小不变,是定值45︒.【详解】解:(1)证明:如图1,//AB CD ,180BEF EFD ∴∠+∠=︒.又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ,1()902FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒, 90EPF ∴∠=︒,即EG PF ⊥.GH EG ⊥,//PF GH ∴;(2)HPQ ∠的大小不发生变化,理由如下:如图2,12∠=∠, 322∠=∠∴. 又GH EG ⊥,49039022∠=︒-∠=︒-∠∴.18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴.PQ ∵平分EPK ∠,14522QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠. ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒,∴HPQ ∠的大小不发生变化,一直是45︒.【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行⇔同位角相等,②两直线平行⇔内错角相等,③两直线平行⇔同旁内角互补,④//a b ,////b c a c ⇒.24.(1)证明见解析;(2)∠BCD =108°;(3)70°【分析】(1)根据两直线平行,内错角相等得出∠EDF =∠DAB ,由角平线的定义得出∠EDF =∠FDC ,最后根据同旁内角互补,两直线平行进行求证;(2)设∠DCF =x ,则∠CFB =1.5x ,由两直线平行,内错角相等得出∠ABF =1.5x ,由角平分线的定义得出∠ABC =3x ,最后利用两直线平行,同旁内角互补得出关于x 的方程,求解即可;(3)画出图形,根据两直线平行,同旁内角互补得出∠CDF =∠CBF ,由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ,由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ,最后根据两直线平行,同旁内角互补列式求解.【详解】解:(1)证明:∵AB ∥DE ,∴∠EDF =∠DAB ,∵DF 平分∠EDC ,∴∠EDF =∠FDC ,∴∠FDC =∠DAB ,∵∠FDC+∠ABC=180°,∴∠DAB+∠ABC=180°,∴AD∥BC;(2)∵32CFB DCF∠=∠,设∠DCF=x,则∠CFB=1.5x,∵CF∥AB,∴∠ABF=∠CFB=1.5x,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABF=3x,∵AD∥BC,∴∠FDC+∠BCD=180°,∵∠FDC+∠ABC=180°,∴∠BCD=∠ABC=3x,∴∠BCF=2x,∵CF∥AB,∴∠ABC+∠BCF=180°,∴3x+2x=180°,∴x=36°,∴∠BCD=3×36°=108°;(3)如图,∵∠DCF=∠CFB,∴BF∥CD,∴∠CDF +∠BFD=180°,∵AD∥BC,∴∠CBF +∠BFD=180°,∴∠CDF=∠CBF,∵AD,BE分别平分∠ABC,∠CDE,∴∠ABC=2∠CBF,∠CDE=2∠FDC,∴∠ABC=∠CDE=2∠FDC,∵∠FDC+∠ABC=180°,∴∠ABC=120°,∠FDC=60°,∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ,∴BC∥PQ,∵AD∥BC,∴AD∥PQ,∵∠PQD﹣∠QDC=20°,∴∠QDC=∠PQD﹣20°,∴∠FDC+∠QDC +∠PQD=60°+∠PQD﹣20°+∠PQD=180°,∴∠PQD=70°,即∠DQP=70°.故答案为:70°.【点睛】本题考查平行线的判定与性质,平行公理的推论,角平分线的定义,平移的性质,熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键.25.(1)AD BC ∥,见解析;(2)108°【分析】(1)//AD BC ,根据角平分线的性质可知EDF FDC ∠=∠,又因为//AB ED ,因此EDF DAB ∠=∠,推出FDC DAB ∠=∠,再结合已知条件即可得出结论;(2)设DCF x ,则32CFB x ∠=,根据平行线的的性质有32ABF CFB x ∠=∠=,再根据角平分线性质可得23ABC ABF x ∠=∠=,又因为//AD BC ,推出3BCD ABC x ∠=∠=,2BCF x ∠=,由//CF AB 得180ABC BCF ∠+∠=︒,从而可解得x 的值,即可得出答案.【详解】解:(1)//AD BC .证明如下:∵//AB ED ,∴EDF DAB ∠=∠,∵DF 平分EDC ∠,∴EDF FDC ∠=∠,∴FDC DAB ∠=∠,∵180FDC ABC ∠+∠=︒,∴180DAB ABC ∠+∠=︒,∴//AD BC .(2)∵32CFB DCF ∠=∠, ∴设DCF x ,则32CFB x ∠=, ∵//CF AB , ∴32ABF CFB x ∠=∠=, ∵BE 平分ABC ∠,∴23ABC ABF x ∠=∠=,由(1)得//AD BC ,∴180FDC BCD ∠+∠=︒,∵180FDC ABC ∠+∠=︒,∴3BCD ABC x ∠=∠=,∴2BCF x ∠=,∵//CF AB ,∴180ABC BCF ∠+∠=︒,即32180x x +=︒,解得36x =︒,∴3108BCD x ∠==︒.【点睛】本题考查的主要知识点是平行线的判定及性质以及角平分线的性质,根据图形找准角与角之间的关系 是解此题的关键.26.(1)∠A +∠C +∠APC =360°,证明详见解析;(2)∠APC =∠A −∠C ,证明详见解析;(3)55°.【分析】(1)首先过点P 作PQ ∥AB ,结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ,然后由“两直线平行,同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC =360°;(2)作PQ ∥AB ,结合题意得出AB ∥PQ ∥CD ,根据“两直线平行,内错角相等”进一步分析即可证得∠APC =∠A −∠C ;(3)由(2)知,∠APC =∠PAB −∠PCD ,先利用平行线性质得出∠BEF =∠PQB =110°,然后进一步得出∠PEG =12∠FEG ,∠GEH =12∠BEG ,最后根据∠PEH =∠PEG −∠GEH 即可得出答案.【详解】(1)∠A+∠C+∠APC =360°,证明如下:如图1所示,过点P 作PQ ∥AB ,∴∠A+∠APQ =180°,又∵AB ∥CD ,∴PQ ∥CD ,∴∠C+∠CPQ =180°,∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ =360°,即∠A+∠C+∠APC =360°;(2)∠APC =∠A −∠C ,证明如下:如图2所示,过点P 作PQ ∥AB ,∴∠A =∠APQ ,∵AB ∥CD ,∴PQ ∥CD ,∴∠C =∠CPQ ,∵∠APC =∠APQ −∠CPQ ,∴∠APC =∠A −∠C ;(3)由(2)知,∠APC =∠PAB −∠PCD ,∵∠APC =30°,∠PAB =140°,∴∠PCD =110°,∵AB ∥CD ,∴∠PQB =∠PCD =110°,∵EF ∥PC ,∴∠BEF =∠PQB =110°,∵∠PEG =∠PEF ,∴∠PEG =12∠FEG , ∵EH 平分∠BEG , ∴∠GEH =12∠BEG , ∴∠PEH =∠PEG −∠GEH =12∠FEG −12∠BEG =12∠BEF =55°.【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.27.(1)见解析,(2)900,180(1).n ︒︒-【分析】(1)过点E 作EF ∥CD ,根据平行线的判定得出EF ∥AB ,根据平行线的性质得出即可;(2)如图②过E 作EQ ∥CD ,过F 作FW ∥CD ,过G 作GR ∥CD ,过H 作HY ∥CD ,根据平行线的判定得出EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ,根据平行线的性质得出即可;如图③,利用(1)(2)②发现规律,直接得到答案.【详解】证明:(1)证明:过点E 作EF ∥CD ,∵AB ∥CD , ∴EF ∥AB ,∴∠1+∠MEF=180°,同理∠2+∠NEF=180°,∴∠1+∠2+∠MEN =360°;(2)如图②过E 作EQ ∥CD ,过F 作FW ∥CD ,过G 作GR ∥CD ,过H 作HY ∥CD ,∵CD ∥AB , ∴EQ ∥FW ∥GR ∥HY ∥AB ∥CD ,∴∠1+∠MEQ=180°,∠QEF+∠EFW=180°,∠WFG+∠FGR=180°,∠RGH+∠GHY=180°,∠YHN+∠6=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=5×180°=900°,如图③,由∠1+∠2+∠MEN 3601802=︒=︒⨯,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠69001805=︒=︒⨯,可得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n 180(1)n =︒-,故答案为:900°,180(1)n ︒-;【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键.28.(1)∠ADP+∠BCP=∠DPC ,理由见解析;(2)∠ADP=∠DPC+∠BCP ,理由见解析【分析】(1)过P 作直线PQ ∥AD ,交CD 于点Q ,根据平行线的性质进行推理;(2)过P 作直线PQ ∥AD ,交CD 于点Q ,根据平行线的性质进行推理;【详解】解:(1)过P作直线PQ∥AD,交CD于点Q,∵AD∥BC,∴PQ∥AD∥BC,∴∠ADP=∠DPQ,∠BCP=∠CPQ,∴∠ADP+∠BCP=∠DPC;(2)∠ADP=∠DPC+∠BCP.过P作直线PQ∥AD,交CD于点Q,∵AD∥BC,∴PQ∥AD∥BC,∴∠ADP=∠DPQ=∠DPC+∠CPQ,∠BCP=∠CPQ,∴∠ADP=∠DPC+∠BCP.【点睛】本题考查了平行线的性质,利用平行线的性质得出角的和差关系是解题的关键.。
第五章 相交线与平行线单元测试班级: 姓名: 考生得分:一、选择题(每小题3分,共30分) 1.已知∠α=35°,则∠α的补角的度数是( ) A.55° B.65° C.145° D.165° 2.将图中所示的图案平移后得到的图案是( )A. B. C. D.3.如图,AB ∥CD ,FE ⊥DB ,垂足为E ,∠1=50°,则∠2的度数 是( )A.60°B.50°C.40°D.30°4.如图,a ∥b ,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° 5.如图所示,已知AB ∥CD ,∠C =70°,∠F =30°,则∠A 的度数为( ) A .30° B .35° C .40° D .45°6.如图,AB ∥CD ,AC ⊥BC ,图中与∠CAB 互余的角有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个7.如图,点E 在CD 的延长线上,下列条件中不能判定AB ∥CD 的是( ) A .∠1=∠2 B .∠3=∠4 C .∠5=∠B D .∠B +∠BDC =180°8.如图,DH ∥EG ∥BC ,DC ∥EF ,那么与∠DCB 相等的角的个数为( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 9. 下列条件中能得到平行线的是( )①邻补角的角平分线;②平行线内错角的角平分线;③平行线同旁内角的角平分线. A .①② B .②③ C .② D .③10. 两平行直线被第三条直线所截,同位角的平分线( ) A .互相重合 B .互相平行 C .互相垂直 D .相交二、填空题(每小题3分,满分24分) 11.图中是对顶角量角器,用它测量角的原理是 .12.如图,l ∥m ,∠1=120°,∠A =55°,则∠ACB 的大小是 . 13.如图,计划把河水引到水池A 中,先作AB ⊥CD ,垂足为B ,然后沿AB 开渠, 能使所开的渠道最短,这样设计的依据是 .14.如图,直线AB ,CD ,EF 相交于点O ,且AB ⊥CD ,∠1与∠2的关系是 .15.如图,在△ABC 中,∠A =90°,点D 在AC 边上,DE ∥BC ,若∠1=155°,则∠B 的度数为 .16.如图,AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ,EG 平分∠BEF ,若∠1=72°,则∠2= .1718第2题图第6题图 第7题图 第8题图第11题图第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图第18题图第3题图三、解答题(共46分)19.(7分)读句画图:如图,直线CD与直线AB相交于C,根据下列语句画图:(1)过点P作PQ∥CD,交AB于点Q;(2)过点P作PR⊥CD,垂足为R;(3)若∠DCB=120°,猜想∠PQC是多少度?并说明理由.20.(7分)如图,方格中有一条美丽可爱的小金鱼.(1)若方格的边长为1,则小鱼的面积为;(2)画出小鱼向左平移3格后的图形.(不要求写作图步骤和过程)21.(8分)已知:如图,∠BAP+∠APD =180°,∠1 =∠2.求证:∠E =∠F.22.(8分)已知:如图,∠1 =∠2,∠3 =∠4,∠5 =∠6.求证:ED∥FB.23.(8分)如图,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED=80°,求∠EDC的度数.24.(9分)如图,已知AB∥CD,∠B=65°,CM平分∠BCE,∠MCN=90°,求∠DCN的度数.25.(10分)如图,直线EF,CD相交于点0,OA⊥OB,且OC平分∠AOF,(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;(2)若∠AOE=α,求∠BOD的度数;(用含α的代数式表示)(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系?第19题图第五章相交线与平行线检测题参考答案1.C 解析:∵∠α=35°,∴∠α的补角的度数为180°35°=145°,故选C.2. C 解析:根据平移的性质可知C正确.3. C 解析:因为FE⊥DB,所以∠FED=90°,由∠1=50°可得∠FDE=90°-50°=40°.因为AB∥CD,由两直线平行,同位角相等,可得∠2=∠FDE=40°.4. D 解析:因为a∥b,所以∠2=∠4.又∠2=∠1,所以∠1=∠4.因为∠3=40°,所以∠1=∠4==70°.5. C 解析:由AB∥CD可得,∠FEB=∠C=70°,∵∠F=30°,又∵∠FEB=∠F+∠A,∴∠A=∠FEB∠F=70°30°=40°.故选项C是正确的.6. C 解析:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD.设∠ABC的对顶角为∠1,则∠ABC=∠1.又∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°,因此与∠CAB互余的角为∠ABC,∠BCD,∠1.故选C.7. A 解析:选项B中,∵∠3=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故正确;选项C中,∵∠5=∠B,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故正确;选项D中,∵∠B+∠BDC=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),故正确;而选项A中,∠1与∠2是直线AC、BD被直线AD所截形成的内错角,∵∠1=∠2,∴AC∥BD,故A错误.选A.8. D 解析:如题图所示,∵DC∥EF,∴∠DCB=∠EFB.∵DH∥EG∥BC,∴∠GEF=∠EFB,∠DCB=∠HDC,∠DCB=∠CMG=∠DME,故与∠DCB相等的角共有5个.故选D.9. C 解析:结合已知条件,利用平行线的判定定理依次推理判断.10. B 解析:∵两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,∴它们角的平分线形成的同位角相等,∴同位角相等的平分线平行.故选B.11.对顶角相等解析:根据图形可知量角器测量角的原理是:对顶角相等.12. 65°解析:∵l∥m,∴∠ABC=180°-∠1=180°-120°=60°.在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠A=180°-60°-55°=65°.13. 垂线段定理:直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短解析:根据垂线段定理,直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短,∴沿AB开渠,能使所开的渠道最短.14. ∠1+∠2=90°解析:∵直线AB、EF相交于O点,∴∠1=∠DOF.又∵AB⊥CD,∴∠2+∠DOF=90°,∴∠1+∠2=90°.15. 65°解析:∵∠1=155°,∴∠EDC=180°-155°=25°.∵DE∥BC,∴∠C=∠EDC=25°.∵在△ABC中,∠A=90°,∠C=25°,∴∠B=180°-90°-25°=65°.故答案为65°.16. 54°解析:∵AB∥CD,∴∠BEF=180°∠1=180°72°=108°,∠2=∠BEG.又∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠BEF=×108°=54°,故∠2=∠BEG=54°.17. 78°解析:延长BC与直线a相交于点D,∵a∥b,∴∠ADC=∠DBE=50°. ∴∠ACB=∠ADC +28°=50°+28°=78°.故应填78°.18. 120 解析:∵AB∥CD,∴∠1=∠3,而∠1=60°,∴∠3=60°.又∵∠2+∠3=180°,∴∠2=180°-60°=120°.故答案为120.19.解:(1)(2)如图所示.第19题答图(3)∠PQC=60°.理由:∵PQ∥CD,∴∠DCB+∠PQC=180°.∵∠DCB=120°,∴∠PQC=180°120°=60°.20. 解:(1)小鱼的面积为7×621×5×621×2×521×4×221××121×21×11=16.(2)将每个关键点向左平移3个单位,连接即可.第20题答图21.证明:∵ ∠BAP +∠APD = 180°,∴ AB ∥CD .∴ ∠BAP =∠APC . 又∵ ∠1 =∠2,∴ ∠BAP −∠1 =∠APC −∠2.即∠EAP =∠APF .∴ AE ∥FP .∴ ∠E =∠F .22.证明:∵ ∠3 =∠4,∴ AC ∥BD .∴ ∠6+∠2+∠3 = 180°. ∵ ∠6 =∠5,∠2 =∠1,∴ ∠5+∠1+∠3 = 180°. ∴ ED ∥FB .23. 解:∵ DE ∥BC ,∠AED =80°,∴ ∠EDC =∠BCD ,∠ACB=∠AED=80°.∵ CD 平分∠ACB ,∴ ∠BCD = 21∠ACB =40°,∴ ∠EDC =∠BCD =40°.24. 解:∵ AB ∥CD ,∴ ∠B +∠BCE =180°(两直线平行,同旁内角互补).∵ ∠B =65°,∴ ∠BCE =115°.∵ CM 平分∠BCE ,∴ ∠ECM =21∠BCE =57.5°. ∵ ∠ECM +∠MCN +∠NCD =180°,∠MCN =90°,∴ ∠NCD =180°-∠ECM -∠MCN =180°-57.5°-90°=32.5°.25、解:(1)∵∠AOE +∠AOF =180°(互为补角),∠AOE =40°,∴∠AOF =140°; 又∵OC 平分∠AOF ,∴∠FOC =∠AOF =70°,∴∠EOD =∠FOC =70°(对顶角相等);而∠BOE =∠AOB ﹣∠AOE =50°,∴∠BOD =∠EOD ﹣∠BOE =20°; (2)(3)略。
相交线与平行线 单元测试一、填空题1.a 、b 、c 是直线,且a ∥b ,b ⊥c ,则a 与c 的位置关系是________.2.如图5—1,MN ⊥AB ,垂足为M 点,MN 交CD 于N ,过M 点作MG ⊥CD ,垂足为G ,EF 过点N 点,且EF ∥AB ,交MG 于H 点,其中线段GM 的长度是________到________的距离, 线段MN 的长度是________到________的距离,又是_______的距离,点N 到直线MG 的距离是___.3.如图5—2,AD ∥BC ,EF ∥BC ,BD 平分∠ABC ,图中与∠ADO 相等的角有_______ 个,分别是___________. 4.因为AB ∥CD ,EF ∥AB ,根据_________,所以_____________. 5.命题“等角的补角相等"的题设__________,结论是__________. 6.如图5—3,给出下列论断:①AD ∥BC :②AB ∥CD ;③∠A =∠C .以上其中两个作为题设,另一个作为结论,用“如果……,那么……”形式,写出一个你认为正确的命题是___________.7.如图5-4,直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O ,而且∠B O C=23∠AOC ,∠DOF =13∠AOD ,那么∠FOC =_____ _ 度.8.如图5—5,直线a 、b 被c 所截,a ⊥l 于M ,b ⊥l 于N ,∠1=66°,则∠2=________.9.如图5-6,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,则图中与∠A 互余的角有 个,它们分别是 .∠A =∠ ,根据是 .10.如图5—7,一棵小树生长时与地面所成的角为80°,它的根深入泥土,如果根和小树在同一条直线上,那么∠2等于 °.11.如图5—8,量得∠1=80°,∠2=80°,由此可以判定 ∥ ,它的根据是 .量得∠3=100°,∠4=100°,由此可以判定 ∥ ,它的根据是 .G H NMFEDC BAFEODCBA 图5-1 图5-2DCBAFEO DCBAclNMb a21图5-3 图5-4 图5-512.猜谜语:(打本章两个几何名称)剩下十分钱: ;斗牛 . 13.a 、b 、c 是直线,且a ∥b , b ∥c , 则a ___c ; a 、b 、c 是直线,且a ⊥b , b ⊥c , 则a ___c ;14. 如图5—9,直线AD 、BC 交于O 点,∠+∠=︒AOB COD 110,则∠COD 的度数为 .15. 如图5-10,直线AB 与CD 交于O 点,∠-∠=︒3180,则∠2= .16. 如图5—11,直线AB 、EF 相交于O 点,CD AB ⊥于O 点,∠=︒'EOD 12819,则∠∠BOF AOF,的度数分别为 .二、选择题17.若a ⊥b ,c ⊥d 则a 与c 的关系是( )A .平行B .垂直C .相交D .以上都不对 18.如图5-12,∠ADE 和∠CED 是( )A .同位角B .内错角C .同旁内角D .互为补角 19.如图5—13,l l 1211052140//,,∠=∠=,则∠=α( ) A . 55B . 60C . 65D . 7020.如图5-14,能与∠α构成同旁内角的角有( ) A . 5个 B .4个 C . 3个 D . 2个21.如图5—15,已知AB CD //,∠α等于( ) A .75B . 80C . 85D . 95AB 120°α25°CDBMCA N P D22.如图5—16,AB CD MP AB MN ////,,平分∠∠=∠=AMD A D ,,4030,则∠NMP 等于( ) A . 10B . 15C . 5D . 75.23.如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30,那么这两个角是( ) A . 42138、B . 都是10C . 42138、或4210、D . 以上都不对24.如图5—17,a ∥b ,∠1与∠2互余,∠3=1150,则∠4等于( )A .1150B . 1550C . 1350D .125025.如图5—18,∠1=150, ∠AOC =900,点B 、O 、D 在同一直线上,则∠2的度数为( )A .750B .150C .1050D . 1650图5-13 d第(18)题4321cba 第(20)题DCBAO第(19)题DCBA21图5-17 图5-18 图5-19图5-15 图5-1626.如图5—19,能表示点到直线(或线段)距离的线段有( )A . 2条B .3条C .4条D .5条 27.下列语句错误的是( )A .连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B .两条直线平行,同旁内角互补C .若两个角有公共顶点且有一条公共边,和等于平角, 则这两个角为邻补角D .平移变换中,各组对应点连成两线段平行且相等 28.如图5—20,如果AB ∥CD ,那么图中相等的内错角是( )A .∠1与∠5,∠2与∠6;B .∠3与∠7,∠4与∠8;C .∠5与∠1,∠4与∠8;D .∠2与∠6,∠7与∠329.下列语句:①三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行;②如果两条平行线被第三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中( )A .①、②是正确的命题B .②、③是正确命题C .①、③是正确命题D .以上结论皆错30.下列与垂直相交的洗法:①平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③平行内, 一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有( )A .3个B .2个C .1个D .0个 三、解答题31.如图5—21,过P 点,画出OA 、OB 的垂线.2.32.如图5-22,过P 点,画出AB 、CD 的垂线.3. B C DBA33.如图5-23,是一条河,C 河边AB 外一点:(1)过点C 要修一条与河平行的绿化带,请作出正确的示意图.(2)现欲用水管从河边AB ,将水引到C 处,请在图上测量并计算出水管至少要多少?(本图比例尺为1:2000)87654321D CB A 图5-20 图5-21图5-22图5-2334.如图5—24,AB ⊥BD ,CD ⊥MN ,垂足分别是B 、D 点,∠FDC =∠EBA . (1)判断CD 与AB 的位置关系;(2)BE 与DE 平行吗?为什么?NMFE DCBA35.如图5-25,∠1+∠2=180°,∠DAE =∠BCF ,DA 平分∠BDF . (1)AE 与FC 会平行吗?说明理由. (2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么?(3)BC 平分∠DBE 吗?为什么.36.如图5—26,已知:CE =DF ,AC =BD ,∠1=∠2.求证:∠A =∠B .B37.如图5-27,已知:AB //CD ,AB =CD ,求证:AC 与BD 互相平分.C38.如图5—27,已知:E 、F 分别是AB 和CD 上的点,DE 、AF 分别交BC 于G 、H ,∠A =∠D ,∠1=∠2,求证:∠B =∠C .图5-24图5-26图5-262 ABECFDHG 139.如图5—28,已知:在∆ABC 中,∠=︒C 90,AC =BC ,BD 平分∠CBA ,DE AB ⊥于E ,求证:AD +DE =BE .40.如图5—29,已知:AB //CD ,求证:∠B +∠D +∠BED =360︒(至少用三种方法)EABCD图5-27 图5-28图5-29参考答案一、填空题 1.互相垂直2.点M ,直线CD 点M,直线EF 平行线AB 、EF 间 线段GN 的长度 3.4个 ∠EOB 、 ∠DOF 、∠ABD 、∠CBD4.两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行 CD ∥EF 5.两个角是相等两角的补角 这两个角相等6.如果一个四边形的两组对边平行,那么它的对角相等;或若一个四边形的一组对边平行,一组对角相等,那么它的另一组对边也互相平行 7.156 8.114°9.两;∠ACD 和∠B;∠BCD ;同角的余角相等 10.10°11.AB ∥CD;同位角相等,两直线平行;EF ∥GH ;内错角相等,两直线平行 12.余角;对顶角 13.∥;∥14.55︒(点拨: ∠=∠∴∠=∠=︒AOB COD AOB COD 55)15.50︒(点拨: ∠+∠=︒∠-∠=︒⎧⎨⎩311803180,∴∠=︒∠=︒⎧⎨⎩1503130,又︒=∠∴∠=∠50221 )16. 3819'︒;14141'︒(点拨:9138909112890'︒=︒-'︒=∠-∠=∠∴︒=∠AOD EOD AOE AOD ,9138'︒=∠=∠∴AOE BOF ,又 ∠+∠=︒BOF AOF 180,141419138180'︒='︒-︒=∠∴AOF )二、选择题 17.C 18.B 19.C 20.A 21.C 22.C 23.D 24.B 25.C 26.D 27.C 28.D 29.A 30.D三、解答题 31.如图5—12.32.如图5—233.略.34.(1)CD∥AB因为CD⊥MN,AB⊥MN,所以CDN=∠ABM=90°所以CD∥AB(2)平行因为∠CDN=∠ABN=90°,∠FDC=EBA所以∠FDN=∠EBN所以FD∥EB35.(1)平行因为∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°(邻补角定义)所以∠1=∠CDB所以AE∥FC(同位角相等两直线平行)(2)平行,因为AE∥CF,所以∠C=∠CBE(两直线平行,内错角相等)又∠A=∠C 所以∠A=∠CBE所以AF∥BC(两直线平行,内错角相等)(3)平分因为DA平分∠BDF,所以∠FDA=∠ADB因为AE∥CF,AD∥BC所以∠FDA=∠A=∠CBE,∠ADB=∠CBD所以∠EBC=∠CBD36.证明:答图5-1∠=∠∴∠=∠=∴+=+==∠=∠=∴≅∴∠=∠⎧⎨⎪⎩⎪12(已知)(等角的补角相等)(已知)即在和中,(已知)(已证)(已证)()(全等三角形的对应角相等)ECB FDA AC BD AC CD BD CDAD BCADF BCE DF CE FDA ECB AD BC ADF BCE SAS A B ∆∆∆∆37. 证明: AB CD //(已知)∴∠=∠∠=∠∠=∠=∠=∠∴≅∴==⎧⎨⎪⎩⎪BAO DCO ABO CDO ABO CDO BAO DCO AB CD ABO CDO ABO CDO ASA AO CO BO DO ,(两直线平行,内错角相等)在和中(已证)(已知)(已证)(),(全等三角形对应边相等)∆∆∆∆即AC 与BD 互相平分. 38. 证明: ∠=∠12(已知)∠=∠∴∠=∠∴∴∠=∠12AHB AHB AF ED D AFC (对顶角相等)(等量代换)(同位角相等,两直线平行)(两直线平行,同位角相等)//又 ∠=∠A D (已知)∴∠=∠∴∴∠=∠A AFC AB CD B C (等量代换)(内错角相等,两直线平行)(两直线平行,内错角相等)//39. 证明: BD CBA 平分(已知)∠∴∠=∠⊥∴∠=︒∠=︒EBD CBD DE AB DEB C (角平分线的定义)(已知)(垂直的定义)(已知)9090∴∠=∠DEB C (等量代换) 在∆∆DEB DCB 和中∠=∠∠=∠=∴≅⎧⎨⎪⎩⎪DEB C EBD CBD DB DB DEB DCB AAS (已证)(已证)(公共边)()∆∆∴==+==∴+=DE DC BE BC AD DC AC BC AD DE BE ,(全等三角形的对应边相等)(已知)(等量代换)40. 证明:(1)连结BD ,如图5—3AB CD ABD CDB BED ABD CDB BED ABE CDE BED //(已知)(两直线平行,同旁内角互补)(三角形内角和为)即∴∠+∠=︒∠+∠+∠=︒︒∴∠+∠+∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒1801218018012360360(2)延长DE 交AB 延长线于F ,如图5—4AB CD F D ABE FEB F BED FBE F ABE CDE BED//(已知)(两直线平行,同旁内角互补),(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠+∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠+∠+∠180=∠+∠+∠+∠+∠FEB F CDE FBE F=︒+︒=︒180180360(3)过点E 作EF//AB ,如图5—5- 11 -AB CD //∴AB EF CD ////(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒∴∠+∠+∠=︒B BEF D DEF B BEF D DEF B D BED 180180180180360360(两直线平行,同旁内角互补)。
八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷测试卷(含答案解析)一、选择题1.如图,下列能判定//AB CD 的条件有( )个(1)∠1=∠2;(2)∠3=∠4;(3)∠B =∠5;(4)∠B +∠BCD =180°;(5)∠5=∠DA .1B .2C .3D .4 2.如图,在ABC 中,//EF BC ,ED 平分BEF ∠,且70∠︒=DEF ,则B 的度数为( )A .70°B .60°C .50°D .40°3.下列图形中,1∠与2∠是同位角的是( )A .B .C .D .4.已知AB CD ∥,点E F ,分别在直线AB CD ,上,点P 在AB CD ,之间且在EF 的左侧.若将射线EA 沿EP 折叠,射线FC 沿FP 折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则EPF ∠的度数为( )A .120︒B .135︒C .45︒或135︒D .60︒或120︒5.如图所示,直线c 截直线a ,b ,给出下列以下条件:①48∠=∠;②17∠=∠;③26∠=∠;④47180∠+∠=︒.其中能够说明a ∥b 的条件有A .1个B .2个C .3个D .4个6.佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍,又向右平移2个单位长度,若想变回原来的图案,需要变化后的图案上各点坐标( )A .纵坐标不变,横坐标减2B .纵坐标不变,横坐标先除以2,再均减2C .纵坐标不变,横坐标除以2D .纵坐标不变,横坐标先减2,再均除以27.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( ) A .∠1=50°,∠2=40°B .∠1=50°,∠2=50°C .∠1=∠2=45°D .∠1=40°,∠2=40°8.下列命题中,属于真命题的是( )A .相等的角是对顶角B .一个角的补角大于这个角C .绝对值最小的数是0D .如果a b =,那么a=b 9.如图,将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =,则EC 的长为( )A .2cmB .4cmC .6cmD .8cm10.如图,下列说法错误的是( )A .若a∥b,b∥c,则a∥cB .若∠1=∠2,则a∥cC .若∠3=∠2,则b∥cD .若∠3+∠5=180°,则a∥c11.能说明命题“若a >b ,则3a >2b “为假命题的反例为( )A .a =3,b =2B .a =﹣2,b =﹣3C .a =2,b =3D .a =﹣3,b =﹣212.如图,在Rt ABC △中,90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =,把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ,连接AE ,AD ,有以下结论:①//AC DF ;②//AD BE ;③ 2.5CF cm =;④DE AC ⊥.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题13.如果∠α与∠β的两边分别平行,∠α比∠β的3倍少40°,则∠α的度数为_______.14.小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起,当∠ACE <180°且点E 在直线AC 的上方时,他发现若∠ACE =_____,则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行.15.一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6编号,称为七个格子.一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,第n 次移动n 格.则不停留棋子的格子的编号有_____.16.如图,直线MN∥PQ,点A 在直线MN 与PQ 之间,点B 在直线MN 上,连结AB .∠ABM 的平分线BC 交PQ 于点C ,连结AC ,过点A 作AD⊥PQ 交PQ 于点D ,作AF⊥AB 交PQ 于点F ,AE 平分∠DAF 交PQ 于点E ,若∠CAE=45°,∠ACB=∠DAE,则∠ACD 的度数是_____.17.已知∠ABC=70︒,点D 为BC 边上一点,过点D 作DP//AB ,若∠PBD=12∠ABC ,则∠DPB=_____︒.18.已知:如图放置的长方形ABCD 和等腰直角三角形EFG 中,∠F=90°,FE=FG=4cm ,AB=2cm ,AD=4cm ,且点F ,G ,D ,C 在同一直线上,点G 和点D 重合.现将△EFG 沿射线FC 向右平移,当点F 和点C 重合时停止移动.若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm 2,则△EFG 向右平移了____cm .19.设a 、b 、c 为平面上三条不同直线,(1)若//,//a b b c ,则a 与c 的位置关系是_________;(2)若,a b b c ⊥⊥,则a 与c 的位置关系是_________;(3)若//a b ,b c ⊥,则a 与c 的位置关系是________.20.小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”,第一步固定直角三角板ABC ,并将边AC 延长至点P ,第二步将另一块三角板CDE 的直角顶点与三角板ABC 的直角顶点C 重合,摆放成如图所示,延长DC 至点F ,PCD ∠与ACF ∠就是一组对顶角,若30ACF ∠=,则PCD ∠=__________,若重叠所成的(090)BCE n n ∠=<<,则PCF ∠的度数__________.三、解答题21.综合与探究综合与实践课上,同学们以“一个含30角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动,如图,已知两直线a ,b ,且//a b ,三角形ABC 是直角三角形,90BCA ∠=︒,30BAC ∠=︒,60ABC ∠=︒操作发现:(1)如图1.148∠=︒,求2∠的度数;(2)如图2.创新小组的同学把直线a 向上平移,并把2∠的位置改变,发现21120∠-∠=︒,请说明理由.实践探究:(3)填密小组在创新小组发现的结论的基础上,将图2中的图形继续变化得到图3,AC 平分BAM ∠,此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系,请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由.22.已知://AB DE ,//AC DF ,B C E F 、、、四点在同一直线上.(1)如图1,求证:12∠=∠;(2)如图2,猜想1,3,4∠∠∠这三个角之间有何数量关系?并证明你的结论; (3)如图3,Q 是AD 下方一点,连接,AQ DQ ,且13DAQ BAD ∠=∠,13ADQ ADF ∠=∠,若110AQD ∠=︒,求2∠的度数. 23.如图1.已知直线AB ED .点C 为AB ,ED 内部的一个动点,连接CB ,CD ,作ABC ∠的平分线交直线ED 于点E ,作CDE ∠的平分线交直线BA 于点A ,BE 和DA 交于点F .(1)若180FDC ABC ∠+∠=︒,猜想AD 和BC 的位置关系,并证明;(2)如图2,在(1)的基础上连接CF ,则在点C 的运动过程中,当满足CF AB ∥且32CFB DCF ∠=∠时,求BCD ∠的度数. 24.问题情境(1)如图①,已知360B E D ∠+∠+∠=︒,试探究直线AB 与CD 有怎样的位置关系?并说明理由.小明给出下面正确的解法:直线AB 与CD 的位置关系是//AB CD .理由如下:过点E 作//EF AB (如图②所示)所以180B BEF ∠+∠=︒(依据1)因为360B BED D ∠+∠+∠=︒(已知)所以360B BEF FED D ∠+∠+∠+∠=︒所以180FED D ∠+∠=︒所以//EF CD (依据2)因为//EF AB所以//AB CD (依据3)交流反思上述解答过程中的“依据1”,“依据2”,“依据3”分别指什么?“依据1”:________________________________;“依据2”:________________________________;“依据3”:________________________________.类比探究(2)如图,当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件________时,有//AB CD .拓展延伸(3)如图,当B 、E ∠、F ∠、D ∠满足条件_________时,有//AB CD .25.(1)如图1,已知直线//m n ,在直线n 上取A B 、两点,C P 、为直线m 上的两点,无论点C P 、移动到任何位置都有:ABC S ____________ABP S △(填“>”、“<”或“=”)(2)如图2,在一块梯形田地上分别要种植大豆(空白部分)和芝麻(阴影部分),若想把种植大豆的两块地改为一块地,且使分别种植两种植物的面积不变,请问应该怎么改进呢?写出设计方案,并在图中画出相应图形并简述理由.(3)如图3,王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG ,中间有条分界小路(图中折线ABC ),左边区域为王爷爷的,右边区域为李爷爷的。
第五章相交线与平行线单元试卷综合测试(Word 版 含答案)一、选择题1.如图,DE 经过点A ,DE ∥BC ,下列说法错误的是( )A .∠DAB =∠EACB .∠EAC =∠C C .∠EAB+∠B =180°D .∠DAB =∠B 2.已知点P 为直线m 外一点,点A ,B ,C 为直线m 上三点,PA =4 cm ,PB =5 cm ,PC =2 cm ,则点P 到直线m 的距离为( )A .4 cmB .5 cmC .小于2 cmD .不大于2 cm 3.如图,已知直线a ∥b ,∠1=100°,则∠2等于( )A .80°B .60°C .100°D .70° 4.下列命题中,其逆命题为真命题的是( ) A .若a =b ,则a 2=b 2B .同位角相等C .两边和一角对应相等的两个三角形全等D .等腰三角形两底角不相等5.如图,若180A ABC ∠+∠=︒,则下列结论正确的是( )A .12∠=∠B .24∠∠=C .13∠=∠D .23∠∠= 6.下列命题中,假命题是( )A .对顶角相等B .同角的余角相等C .面积相等的两个三角形全等D .平行于同一条直线的两直线平行 7.如图,25AOB ︒∠=,90AOC ︒∠=,点B ,O ,D 在同一直线上,则COD ∠的度数为( )A .65B .25C .115D .155 8.在同一平面内,有3条直线a ,b ,c ,其中直线a 与直线b 相交,直线a 与直线c 平行,那么b 与c 的位置关系是( )A .平行B .相交C .平行或相交D .不能确定9.现有以下命题:①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等;②一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;③在圆中,平分弦的直径垂直于弦;④平行于同一条直线的两直线互相平行.其中真命题的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个10.已知,//AB CD ,且2CD AB =,ABE △和CDE △的面积分别为2和8,则ACE △的面积是( )A .3B .4C .5D .611.如图,1∠与2∠是同位角的共有( )个A .1个B .2个C .3个D .4个 12.如图,已知AB CD ∕∕,AF 交CD 于点E ,且,40BE AF BED ⊥∠=︒,则A ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .80︒D .90︒二、填空题13.如图,已知,∠ABG 为锐角,AH ∥BG ,点C 从点B (C 不与B 重合)出发,沿射线BG 的方向移动,CD ∥AB 交直线AH 于点D ,CE ⊥CD 交AB 于点E ,CF ⊥AD ,垂足为F (F 不与A 重合),若∠ECF =n°,则∠BAF 的度数为_____度.(用n 来表示)14.一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6编号,称为七个格子.一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,第n 次移动n 格.则不停留棋子的格子的编号有_____.15.如图,已知直线AB,CD 相交于点O,OE 平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD=_________.16.如图,已知EF ∥GH ,A 、D 为GH 上的两点,M 、B 为EF 上的两点,延长AM 于点C ,AB 平分∠DAC ,直线DB 平分∠FBC ,若∠ACB=100°,则∠DBA 的度数为________.17.如图,//AB CD ,BD 平分ABC ∠,:4:1C DBA ∠∠=,则CDB ∠=______.18.已知∠A 与∠B 的两边分别平行,其中∠A 为x °,∠B 的为(210﹣2x )°,则∠A =____度.19.如图,AD ∥BC ,∠D=100°,CA 平分∠BCD ,则∠DAC=________度.20.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC=_________.三、解答题21.问题情境(1)如图1,已知AB ∥CD ,∠PBA =125°,∠PCD =155°,求∠BPC 的度数.佩佩同学的思路:过点P 作PG ∥AB ,进而PG ∥CD ,由平行线的性质来求∠BPC ,求得∠BPC =问题迁移(2)图2.图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形,三角板的两直角边与直尺的两边重合,∠ACB =90°,DF ∥CG ,AB 与FD 相交于点E ,有一动点P 在边BC 上运动,连接PE ,PA ,记∠PED =∠α,∠PAC =∠β.①如图2,当点P 在C ,D 两点之间运动时,请直接写出∠APE 与∠α,∠β之间的数量关系;②如图3,当点P 在B ,D 两点之间运动时,∠APE 与∠α,∠β之间有何数量关系?请判断并说明理由;拓展延伸(3)当点P 在C ,D 两点之间运动时,若∠PED ,∠PAC 的角平分线EN ,AN 相交于点N ,请直接写出∠ANE 与∠α,∠β之间的数量关系.22.如图①,已知直线12l l //,且3l 和12,l l 分别相交于,A B 两点,4l 和12,l l 分别相交于,C D 两点,点P 在线段AB 上,记1 23ACP BDP CPD ∠∠∠∠∠∠=,=,=.(1)若120,355︒︒∠=∠=,则2∠=_____;(2)试找出123∠∠∠,,之间的数量关系,并说明理由;(3)应用(2)中的结论解答下列问题;如图②,点A 在B 处北偏东42︒的方向上, 若88BAC ︒∠=,则点 A 在C 处的北偏西_____的方向上;(4)如果点P 在直线3l 上且在,A B 两点外侧运动时,其他条件不变,试探究1 23∠∠∠,,之间的关系(点 P 和,A B 两点不重合),直接写出结论即可.23.为了探究n 条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:①一条直线把平面分成2部分;②两条直线可把平面最多分成4部分;③三条直线可把平面最多分成7部分;④四条直线可把平面最多分成11部分;……把上述探究的结果进行整理,列表分析:直线条数把平面最多 分成的部分数 写成和的形式 12 1+1 24 1+1+2 37 1+1+2+3 411 1+1+2+3+4 … … …(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;(3)当直线条数为n 时,把平面最多分成多少部分?24.已知,90AOB ︒∠=,点C 在射线OA 上,//CD OE .(1)如图 1,若120OCD ︒∠=,求∠BOE 的度数;(2)把“90AOB ︒∠=°”改为“120AOB ︒∠=”,射线OE 沿射线OB 平移,得到O E ',其它条件不变(如 图 2 所示),探究,OCD BO E '∠∠ 的数量关系;(3)在(2)的条件下,作PO OB '⊥,垂足为O ' ,与OCD ∠ 的角平分线CP 交于点P ,若BO E α'∠= , 用含 α 的式子表示CPO '∠(直接写出答案).25.(1)方法感悟如图①所示,求证:BCF B F ∠=∠+∠.证明:过点C 作//CD EF//AB EF (已知)//CD AB ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)1,2B F ∴∠=∠∠=∠(两直线平行,内错角相等 )12B F ∴∠+∠=∠+∠即BCF B F ∠=∠+∠(2)类比应用如图②所示,//,AB EF 求证:360B BCF F ∠+∠+∠=︒.证明:(3)拓展探究如图③所示,//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可). 如图④所示,//,AB EF BCF ∠与B F ∠∠、的关系是 (直接写出结论即可).26.如图,已知C 为两条相互平行的直线AB ,ED 之间一点,ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ,180FDC ABC ∠+∠=︒.(1)求证://AD BC ;(2)连结CF ,当//CF AB ,且32CFB DCF ∠=∠时,求BCD ∠的度数;(3)若DCF CFB ∠=∠时,将线段BC 沿直线AB 方向平移,记平移后的线段为PQ (B ,C 分别对应P ,Q ,当20PQD QDC ∠-∠=︒时,请直接写出DQP ∠的度数______.27.问题情境:我们知道,“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补”,所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用.已知三角板ABC 中,60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒,长方形DEFG 中,DE GF .问题初探:(1)如图(1),若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上,BC 与DE 相交于点M ,AB DE ⊥于点N ,求EMC ∠的度数.分析:过点C 作CH GF ∥,则有CH DE ∥,从而得,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠,从而可以求得EMC ∠的度数.由分析得,请你直接写出:CAF ∠的度数为____________,EMC ∠的度数为___________.类比再探:(2)若将三角板ABC 按图(2)所示方式摆放(AB 与DE 不垂直),请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系,并说明理由.28.[感知发现]:如图,是一个“猪手”图,AB ∥CD ,点E 在两平行线之间,连接BE ,DE ,我们发现:∠E=∠B+∠D证明如下:过E点作EF∥AB.∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等.)又AB∥CD(已知)∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.)∴∠2=∠D(两直线平行,内错角相等.)∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1.)即:∠E=∠B+∠D[类比探究]:如图是一个“子弹头”图,AB∥CD,点E在两平行线之间,连接BE,DE.试探究∠E+∠B+∠D=360°.写出证明过程.[创新应用]:(1).如图一,是两块三角板按如图所示的方式摆放,使直角顶点重合,斜边平行,请直接写出∠1的度数.(2).如图二,将一个长方形ABCD按如图的虚线剪下,使∠1=120o,∠FEQ=90°.请直接写出∠2的度数.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】根据两直线平行,内错角相等、同旁内角互补逐一判断可得.【详解】解:∵DE∥BC,∴∠DAB=∠ABC(两直线平行,内错角相等),A选项错误、D选项正确;∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相等),B选项正确;∠EAB+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补),C选项正确;故选A.【点睛】本题考查平行线的性质,解题关键是掌握两直线平行,内错角相等、同旁内角互补.2.D解析:D【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长,再根据垂线段最短,可得答案.【详解】当PC⊥m时,PC是点P到直线m的距离,即点P到直线m的距离2cm,当PC不垂直直线m时,点P到直线m的距离小于PC的长,即点P到直线m的距离小于2cm,综上所述:点P到直线m的距离不大于2cm,故选D.【点睛】此题考查了点到直线的距离,利用了垂线段最短的性质.3.A解析:A【解析】试题分析:根据对顶角相等可得∠3=∠1=100°,再根据两直线平行,同旁内角互补可得∠2=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°.故答案选A.考点:平行线的性质.4.C解析:C【分析】根据互为逆命题的关系,将四个选项的题设和结论互换,逐一验证,A 是假命题,B 是假命题,C 是真命题,D 是假命题.故答案为C.【详解】根据互为逆命题的关系,题设和结论互换,可知:A 选项中,若a=b ,则a 2=b 2的逆命题为:若a 2=b 2,则a=b ,是假命题;B 选项中,同位角相等的逆命题为:相等的角是同位角,是假命题;C 选项中,两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是:全等三角形的对应边相等,对应角相等,是真命题;D 选项中,等腰三角形的两底角不相等的逆命题为:两个角不相等的三角形是等腰三角形,是假命题.故选C.【点睛】此题主要考查互为逆命题的关系,三角形的性质定理,熟练掌握即可得解.5.C解析:C【分析】由∠A+∠ABC=180°可得到AD ∥BC ,再根据平行线的性质判断即可得答案.【详解】∵180A ABC ∠+∠=︒,∴//AD BC (同旁内角互补,两直线平行),∴13∠=∠(两直线平行,内错角相等).故选:C .【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,同旁内角互补,两直线平行;两直线平行内错角相等;熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.6.C解析:C【分析】根据对顶角的性质对A 进行判断;根据余角的性质对B 进行判断;根据三角形全等的判断对C 进行判断;根据平行线的传递性对D 进行判断.【详解】解:A 、对顶角相等,所以A 选项为真命题;B 、同角的余角相等,所以B 选项为真命题;C 、面积相等的两个三角形不一定全等,所以C 选项为假命题;D 、平行于同一条直线的两条直线平行,所以D 选项为真命题.故选:C .【点睛】本题考查了命题与定理:命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.7.C解析:C【分析】先求出∠BOC,再由邻补角关系求出∠COD的度数.【详解】∵∠AOB=25°,∠AOC=90°,∴∠BOC=90°-25°=65°,∴∠COD=180°-65°=115°.故选:C.【点睛】本题考查了余角、邻补角的定义和角的计算;弄清各个角之间的关系是解题的关键.8.B解析:B【分析】根据a∥c,a与b相交,可知c与b相交,如果c与b不相交,则c与b平行,故b与a 平行,与题目中的b与a相交矛盾,从而可以解答本题.【详解】解:假设b∥c,∵a∥c,∴a∥b,而已知a与b相交于点O,故假设b∥c不成立,故b与c相交,故选:B.【点睛】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.9.B解析:B【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可.【详解】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等,是真命题;②一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,是假命题,比如等腰梯形;③在圆中,平分弦的直径垂直于弦,是假命题(此弦非直径);④平行于同一条直线的两直线互相平行,是真命题;故选B.【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本概念.10.B解析:B【分析】利用平行线间的距离相等可知ABC 与ACD △的高相等,底边之比等于面积之比,设ACE △的面积为x ,建立方程即可求解.【详解】∵//AB CD∴ABC 与ACD △的高相等∵2CD AB =∴=2ACD ABC S S设ACE △的面积为x ,则=8+=+ACD CDE ACE SS S x ,=2+=+ABC ABE ACE S S S x ∴()822+=+x x解得4x =∴=4ACE S故选B .【点睛】本题考查平行线间的距离问题,由平行线间的距离相等得到两三角形的高相等,从而建立方程是解题的关键.11.B解析:B【分析】根据同位角的概念对每个图形一一判断,选出正确答案即可.【详解】图1:1∠与2∠是同位角;图2:1∠与2∠不是同位角;图3:1∠与2∠不是同位角;图4:1∠与2∠是同位角;只有图1、图4中1∠与2∠是同位角.故选:B .【点睛】本题主要考查同位角的概念,熟记同位角的概念是解题关键.12.B解析:B【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案.【详解】解:∵,40BE AF BED ⊥∠=︒,∴50FED ∠=︒,∵AB CD ∕∕,∴50A FED ∠=∠=︒.故选B .【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义,正确得出FED ∠的度数是解题关键.二、填空题13.n 或180﹣n【分析】分两种情况讨论:当点在线段上;点在延长线上,根据平行线的性质,即可得到结论.【详解】解:过A 作AM⊥BC 于M ,如图1,当点C 在BM 延长线上时,点F 在线段AD 上,∵解析:n 或180﹣n【分析】分两种情况讨论:当点M 在线段BC 上;点C 在BM 延长线上,根据平行线的性质,即可得到结论.【详解】解:过A 作AM ⊥BC 于M ,如图1,当点C 在BM 延长线上时,点F 在线段AD 上,∵AD ∥BC ,CF ⊥AD ,∴CF ⊥BG ,∴∠BCF =90°,∴∠BCE+∠ECF =90°,∵CE ⊥AB ,∴∠BEC=90°,∴∠B+∠BCE=90°,∴∠B=∠ECF=n°,∵AD∥BC,∴∠BAF=180°﹣∠B=180°﹣n°,过A作AM⊥BC于M,如图2,当点C在线段BM上时,点F在DA延长线上,∵AD∥BC,CF⊥AD,∴CF⊥BG,∴∠BCF=90°,∴∠BCE+∠ECF=90°,∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∴∠B+∠BCE=90°,∴∠B=∠ECF=n°,∵AD∥BC,∴∠BAF=∠B=n°,综上所述,∠BAF的度数为n°或180°﹣n°,故答案为:n或180﹣n.【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.14.2,4,5【解析】【分析】因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n=12n(n+1),然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则,可得到不等式最后求得解.【详解】解:因棋解析:2,4,5【解析】【分析】因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n=n(n+1),然后再根据题目中所给的第n次依次移动n个顶点的规则,可得到不等式最后求得解.解:因棋子移动了n 次后走过的总格数是1+2+3+…+n =n (n +1),应停在第n (n +1)﹣7p 格,这时p 是整数,且使0≤n (n +1)﹣7p ≤6,分别取n =1,2,3,4,5,6,7时, n (n +1)﹣7p =1,3,6,3,1,0,0,发现第2,4,5格没有停留棋子,若7<n ≤10,设n =7+t (t =1,2,3)代入可得, n (n +1)﹣7p =7m +12t (t +1), 由此可知,停棋的情形与n =t 时相同,故第2,4,5格没有停留棋子.故答案为:2,4,5.【点睛】此题主要考查推理与论证,解题的关键是根据题意分析运动规则,再列出式子来解答. 15.70°【解析】【分析】从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线,根据,因与互为邻补角,则+=180°,从而求出∠BOD 的大小.【详解】∵OE 平解析:70°【解析】【分析】从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线,根据2COB EOB ∠=∠,因AOC ∠与COB ∠互为邻补角,则AOC ∠+COB ∠=180°,从而求出∠BOD 的大小.【详解】∵OE 平分∠COB ,∴∠COB=2∠EOB (角平分线的定义),∵∠EOB=55°,∴∠COB=110°,∵AOC ∠+COB ∠=180°,∴∠BOD=180°−110°=70°.故答案是:70°【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的性质,关键是掌握邻补角互补.【解析】解:如图,设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x.∵EF∥GH,∴∠2=∠3.在△ABC 内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x.∵直线解析:50°【解析】解:如图,设∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x.∵EF∥GH,∴∠2=∠3.在△ABC内,∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x.∵直线BD平分∠FBC,∴∠5=12(180°﹣∠4)=12(180°﹣80°+2x)=50°+x,∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣(80°﹣2x)﹣(50°+x)=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°.故答案为50°.点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键.17.30°【分析】先由AB//CD得到∠CDB=∠ABD,∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°,依据“平分,”列出方程,求出∠ABD即可解决问题.【详解】∵AB//CD∴∠ABD=x°解析:30°【分析】先由AB//CD得到∠CDB=∠ABD,∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°,依据“BD平分ABC∠,:4:1C DBA∠∠=”列出方程,求出∠ABD即可解决问题.【详解】∵AB//CD∴∠ABD=x°,∠ABD,∠C+∠ABC=180︒,BD平分ABC∠,∴∠ABD=∠CBD∵:4:1C DBA ∠∠=,∴4C DBA ∠=∠设∠ABD=x°,则∠CBD=x°,∠C=4x°,∴2x°+4x°=180°,解得,x=30∴∠ABD=30°,∴∠CDB=30°,故答案为:30°.【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义,求出∠ABD=30°是解此题的关键. 18.70或30.【分析】分∠A=∠B 与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:根据题意,有两种情况:(1)当∠A=∠B,可得:x=210﹣2x ,解得:x=70;(2)当解析:70或30.【分析】分∠A=∠B 与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:根据题意,有两种情况:(1)当∠A=∠B ,可得:x=210﹣2x ,解得:x=70;(2)当∠A+∠B=180°时,可得:x+210﹣2x=180,解得:x=30.故答案为:70或30.【点睛】本题考查的是平行线的性质,在解答此题时要注意分类讨论.19.40°【分析】本题主要利用两直线平行,同旁内角互补、两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义进行做题.【详解】∵AD∥BC,∴∠BCD=180°-∠D=80°,又∵CA平分∠BCD,∴解析:40°【分析】本题主要利用两直线平行,同旁内角互补、两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义进行做题.【详解】∵AD∥BC,∴∠BCD=180°-∠D=80°,又∵CA平分∠BCD,∴∠ACB=12∠BCD=40°,∴∠DAC=∠ACB=40°.【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义,是一道较为简单的题目.20.73°【解析】试题解析:∵∠CBD=34°,∴∠CBE=180°-∠CBD=146°,∴∠ABC=∠ABE=∠CBE=73°.解析:73°【解析】试题解析:∵∠CBD=34°,∴∠CBE=180°-∠CBD=146°,∴∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°.三、解答题21.(1)80°;(2)①∠APE=∠α+∠β;②∠APE=∠β﹣∠α,理由见解析;(3)∠ANE=12(∠α+∠β)【分析】(1)过点P作PG∥AB,则PG∥CD,由平行线的性质可得∠BPC的度数;(2)①过点P作FD的平行线,依据平行线的性质可得∠APE与∠α,∠β之间的数量关系;②过P作PQ∥DF,依据平行线的性质可得∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,即可得到∠APE=∠APQ﹣∠EPQ=∠β﹣∠α;(3)过P和N分别作FD的平行线,依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠ANE与∠α,∠β之间的数量关系为∠ANE=12(∠α+∠β).【详解】解:(1)如图1,过点P作PG∥AB,则PG∥CD,由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°,∠C+∠CPG=180°,又∵∠PBA=125°,∠PCD=155°,∴∠BPC=360°﹣125°﹣155°=80°,故答案为:80°;(2)①如图2,∠APE与∠α,∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β;理由如下:作PQ∥DF,∵DF∥CG,∴PQ∥CG,∴∠β=∠QPA,∠α=∠QPE,∴∠APE=∠APQ+∠EPQ=∠β+∠α;②如图3,∠APE与∠α,∠β之间的数量关系为∠APE=∠β﹣∠α;理由如下:过P作PQ∥DF,∵DF ∥CG ,∴PQ ∥CG ,∴∠β=∠QPA ,∠α=∠QPE ,∴∠APE =∠APQ ﹣∠EPQ =∠β﹣∠α;(3)如图4,∠ANE 与∠α,∠β之间的数量关系为∠ANE =12(∠α+∠β).理由如下:作NQ ∥DF ,∵DF ∥CG ,∴NQ ∥CG ,∴∠DEN =∠QNE ,∠CAN =∠QNA ,∵EN 平分∠DEP ,AN 平分∠CAP ,∴∠DEN =12∠α,∠CAN =12∠β, ∴∠QNE =12∠α,∠QNA =12∠β, ∴∠ANE =∠QNE +∠QNA =12∠α+12∠β=12(∠α+∠β); 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质,解决问题的关键是过拐点作平行线,利用平行线的性质得出结论.22.(1)35︒;(2)123∠+∠=∠,理由见解析;(3)46︒;(4)当P 点在A 的上方时,321∠=∠-∠,当P 点在B 的下方时,312∠=∠-∠.【分析】(1)由题意直接根据平行线的性质和三角形内角和定理进行分析即可求解;(2)由题意过点P 作//PM AC ,进而利用平行线的性质进行分析证明即可;(3)根据题意过A 点作//AF BD ,则////A BD CE ,进而利用平行线的性质即可求解;(4)根据题意分当P 点在A 的上方与当P 点在B 的下方两种情况进行分类讨论即可.【详解】解:()1∵12l l //,∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,在△PCD 中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,∴∠3=∠1+∠2,则有∠2=∠3-∠1=35︒,故答案为:35︒;()2123∠+∠=∠理由如下:过点P 作//PM AC//AC BD////AC PM BD ∴12CPM DPM ∴∠=∠∠=∠,12CPM DPM CPD ∴∠+∠=∠+∠=∠()3过A 点作//AF BD ,则////A BD CE ,则BAC DBA ACE ∠∠+∠=,故答案为:46︒;()4当P 点在A 的上方时,如图 2,∴∠1=∠FPC .∵14//l l ,∴2//PF l ,∴∠2=∠FPD∵∠CPD=∠FPD-∠FPC∴∠CPD=∠2-∠1,即321∠=∠-∠.当P 点在B 的下方时,如图 3,∴∠2=∠GPD∵12l l //,∴1//PG l ,∴∠1=∠CPG∵∠CPD=∠CPG-∠GPD∴∠CPD=∠1-∠2,即312∠=∠-∠.【点睛】本题考查平行线的判定与性质,利用了等量代换的思想,熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键.23.(1) 16; (2) 56; (3)(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分 【分析】(1)根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时,把平面最多分成16部分; (2)通过已知探究结果,写出一般规律,当直线为n 条时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n ,求和即可.【详解】(1)16;1+1+2+3+4+5.(2)56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.(3)当直线条数为n 时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分. 【点睛】本题考查了图形的变化,通过直线分平面探究其中的隐含规律,运用了从特殊到一般的数学思想,解决此题关键是写出和的形式.24.(1) 150°;(2) ∠OCD+∠BO'E=240°;(3) 30°+12α.【分析】(1)先求出到∠AOE 的度数,再根据直角、周角的定义即可求解;(2)过O 点作OF//CD ,根据平行线的判定和性质可得∠OCD 、∠BO'E 的数量关系; (3)根据四边形内角和为360°,再结合(2)的结论以及角平分线的定义即可解答.【详解】解:(1)∵CD//OE ,∴∠AOE=∠OCD=120°,∴∠BOE=360°-90°-120°=150°;(2)如图2,过O 点作OF//CD ,∴CD//OE ,∴OF ∥OE ,∴∠AOF=180°-∠OCD ,∠BOF=∠EO'O=180°-∠BO'E ,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E=360°-(∠OCD+∠BO'E )=120°, ∴∠OCD+∠BO'E=240°;(3)∵CP 是∠OCD 的平分线,∴∠OCP=12∠OCD , ∴∠CPO'=360°-90°-120°-∠OCP=150°-12∠OCD =150°-12(240°-∠BO'E ) =30°+12α【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、周角的定义、角平分线的定义,确定∠OCD 、∠B0'E 的数量关系是解答本题的关键.25.(2)见解析;(2)BCF F B ∠=∠-∠,BCF B F ∠=∠-∠.【分析】(2)过点C 作CD ∥AB ,由平行线的性质,得到180B BCD ∠+∠=︒,180DCF F ∠+∠=︒,即可得到结论成立;(3)①过点C 作CD ∥AB ,由平行线的性质和(2)的证明方法,即可得到答案; ②过点C 作CD ∥AB ,由平行线的性质和(2)的证明方法,即可得到答案;【详解】()2证明:过点C 作//CD AB//AB EF (已知)//CD EF ∴(平行于同一条直线的两条直线互相平行)180,180B BCD DCF F ∴∠+∠=︒∠+∠=︒(两相线平行,同旁内角补),∵BCF BCD DCF ∠=∠+∠,∴360B BCF F ∠+∠+∠=︒;(3)①过点C 作//CD AB ,如图:∵AB ∥CD ∥EF ,∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒,∵BCD BCF DCF ∠=∠+∠,∴BCF F B ∠=∠-∠;故答案为:BCF F B ∠=∠-∠;②过点C 作//CD AB ,如图:∵AB ∥CD ∥EF ,∴180,180B BCD DCF F ∠+∠=︒∠+∠=︒,∵BCD BCF DCF ∠+∠=∠,∴BCF B F∠=∠-∠.故答案为:BCF B F∠=∠-∠.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,解题的关键是熟练掌握题意,以及掌握平行线的判定和性质进行证明.26.(1)证明见解析;(2)∠BCD=108°;(3)70°【分析】(1)根据两直线平行,内错角相等得出∠EDF=∠DAB,由角平线的定义得出∠EDF=∠FDC,最后根据同旁内角互补,两直线平行进行求证;(2)设∠DCF=x,则∠CFB=1.5x,由两直线平行,内错角相等得出∠ABF=1.5x,由角平分线的定义得出∠ABC=3x,最后利用两直线平行,同旁内角互补得出关于x的方程,求解即可;(3)画出图形,根据两直线平行,同旁内角互补得出∠CDF=∠CBF,由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC,由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ,最后根据两直线平行,同旁内角互补列式求解.【详解】解:(1)证明:∵AB∥DE,∴∠EDF=∠DAB,∵DF平分∠EDC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠FDC=∠DAB,∵∠FDC+∠ABC=180°,∴∠DAB+∠ABC=180°,∴AD∥BC;(2)∵32CFB DCF∠=∠,设∠DCF=x,则∠CFB=1.5x,∵CF∥AB,∴∠ABF=∠CFB=1.5x,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABF=3x,∵AD∥BC,∴∠FDC+∠BCD=180°,∵∠FDC+∠ABC=180°,∴∠BCD=∠ABC=3x,∴∠BCF=2x,∵CF∥AB,∴∠ABC+∠BCF=180°,∴3x+2x=180°,∴x=36°,∴∠BCD=3×36°=108°;(3)如图,∵∠DCF=∠CFB,∴BF∥CD,∴∠CDF +∠BFD=180°,∵AD∥BC,∴∠CBF +∠BFD=180°,∴∠CDF=∠CBF,∵AD,BE分别平分∠ABC,∠CDE,∴∠ABC=2∠CBF,∠CDE=2∠FDC,∴∠ABC=∠CDE=2∠FDC,∵∠FDC+∠ABC=180°,∴∠ABC=120°,∠FDC=60°,∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ,∴BC∥PQ,∵AD∥BC,∴AD∥PQ,∵∠PQD﹣∠QDC=20°,∴∠QDC=∠PQD﹣20°,∴∠FDC+∠QDC +∠PQD=60°+∠PQD﹣20°+∠PQD=180°,∴∠PQD=70°,即∠DQP=70°.故答案为:70°.【点睛】本题考查平行线的判定与性质,平行公理的推论,角平分线的定义,平移的性质,熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键.27.(1)30°,60°;(2)∠CAF+∠EMC=90°,理由见解析【分析】(1)利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数,求∠EMC度数转化到∠MCH度数;(2)过点C作CH∥GF,得到CH∥DE,∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中,从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系.【详解】(1)过点C作CH∥GF,则有CH∥DE,所以∠CAF=∠HCA ,∠EMC=∠MCH ,∵∠BAF=90°,∴∠CAF=90°-60°=30°.∠MCH=90°-∠HCA=60°,∴∠EMC=60°.故答案为30°,60°.(2)∠CAF+∠EMC=90°,理由如下:过点C 作CH ∥GF ,则∠CAF=∠ACH .∵DE ∥GF ,CH ∥GF ,∴CH ∥DE .∴∠EMC=∠HCM .∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°.【点睛】考查了平行线的判定和性质,解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定.28.类比探究:见解析;创新应用:(1):1105.∠=︒创新应用:(2):2150.∠=︒【分析】[类比探究]:如图,过E 作//,EF AB 结合已知条件得//,FE CD 利用平行线的性质可得答案,[创新应用]:(1):由题意得://,AB CD 过E 作//,EF AB 得到//,CD EF 利用平行线的性质可得答案,(2):由题意得://,AB CD 过E 作//,EG AB 得到 //,EG CD 利用平行线的性质可得答案.【详解】解:类比探究:如图,过E 作//,EF AB//,AB CD//,FE CD ∴//,EF AB180,B BEF ∴∠+∠=︒//,FE CD180,D DEF ∴∠+∠=︒360,B BEF DEF D ∴∠+∠+∠+∠=︒360.B BED D ∴∠+∠+∠=︒[创新应用]:(1):由题意得://,AB CD 过E 作//,EF AB //,CD EF ∴//,EF AB,B BEF ∴∠=∠//,CD EF,D DEF ∴∠=∠,B D BEF DEF BED ∴∠+∠=∠+∠=∠30,45,B D ∠=︒∠=︒75,BED ∴∠=︒90,AEB DEC ∠=∠=︒1360909075105.∴∠=︒-︒-︒-︒=︒(2):由题意得://,AB CD 过E 作//,EG AB //,EG CD ∴2180,GEQ ∴∠+∠=︒//,EG AB1180,GEF ∴∠+∠=︒1212360GEF GEQ FEQ ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ , ∠1=120o ,∠FEQ=90°,2150.∴∠=︒【点睛】本题考查平行公理及平行线的性质,掌握平行公理及平行线的性质是解题关键.。
八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷检测题(WORD 版含答案)一、选择题1.如图,AB ∥EF ,设∠C =90°,那么x 、y 和z 的关系是( )A .y =x+zB .x+y ﹣z =90°C .x+y+z =180°D .y+z ﹣x =90°2.如图,∠1的同位角是( )A .∠2B .∠3C .∠4D .∠53.如图,下列条件不能判定AB ∥CD 的是( )A .12∠∠=B .2E ∠∠=C .B E 180∠∠+=D .BAF C ∠∠=4.如图,AB ∥CD ,∠B =20°,∠D =40°,则∠BED 为( )A .20°B .30°C .60°D .40°5.给出下列命题:①平分弦的直径垂直于弦,且平分弦所对的弧;②平面上任意三点能确定一个圆;③图形经过旋转所得的图形和原图形全等;④三角形的外心到三个顶点的距离相等;⑤经过圆心的直线是圆的对称轴.正确的命题为( )A .①③⑤B .②④⑤C .③④⑤D .①②⑤6.三条互不重合的直线的交点个数可能是( )A .0,1,3B .0,2,3C .0,1,2,3D .0,1,27.给出下列说法:(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等;(2)不相等的两个角不是同位角;(3)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;(4)从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做该点到直线的距离;(5)过一点作已知直线的平行线,有且只有一条.其中真命题的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个8.下列图中的“笑脸”,由如图平移得到的是( )A .B .C .D .9.对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,能说明它是假命题的反例是( ) A .∠1=50°,∠2=40°B .∠1=50°,∠2=50°C .∠1=∠2=45°D .∠1=40°,∠2=40°10.如图,1∠与2∠是同位角的共有( )个A .1个B .2个C .3个D .4个 11.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别为边AB ,AC 上的点,画射线ED .下列说法错误的是( )A .∠B 与∠2是同旁内角B .∠A 与∠1是同位角C .∠3与∠A 是同旁内角D .∠3与∠4是内错角12.已知:如图,直线a ∥b ,∠1=50°,∠2=∠3,则∠2的度数为( )A .50°B .60°C .65°D .75°二、填空题13.如图,△ABC 的边长AB =3 cm ,BC =4 cm ,AC =2 cm ,将△ABC 沿BC 方向平移a cm (a <4 cm ),得到△DEF ,连接AD ,则阴影部分的周长为_______cm .14.如果∠α与∠β的两边分别平行,∠α比∠β的3倍少40°,则∠α的度数为_______.15.如图,AB //CD BED 110BF ,,∠=平分ABE DF ∠,平分CDE ∠,则BFD ∠= ______ .16.如图,将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,使顶点C ,D 分别落在点C′、D′处,C′E 交AF 于点G ,若∠CEF=64°,则∠GFD′=_____________.17.已知M 、N 是线段AB 的三等分点,C 是BN 的中点,CM =6 cm ,则AB =_________ cm .18.如图,已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O ,∠EOC=28°,则∠AOD=_____度;19.如图,AB ∥CD ,∠1=64°,FG 平分∠EFD ,则∠EGF=__________________°.20.如图,直线////a b c ,直角三角板的直角顶点落在直线b 上,若135∠=︒,则2∠等于_______.三、解答题21.(1)如图a 所示,//AB CD ,且点E 在射线AB 与CD 之间,请说明AEC A C ∠=∠+∠的理由.(2)现在如图b 所示,仍有//AB CD ,但点E 在AB 与CD 的上方,①请尝试探索1∠,2∠,E ∠三者的数量关系.②请说明理由.22.感知与填空:如图①,直线//AB CD ,求证:B D BED ∠+∠=∠.阅读下面的解答过程,并填上适当的理由,解:过点E 作直线//EF CD ,2D ∴∠=∠( )//AB CD (已知),//EF CD ,//AB EF ∴( )1B ∴∠=∠( )12BED ∠+∠=∠,B D BED ∴∠+∠=∠( ) 应用与拓展:如图②,直线//AB CD ,若22,35,25B G D ∠=︒∠=∠=︒.则E F ∠+∠= 度方法与实践:如图③,直线//AB CD ,若60,80E B F ∠=∠=︒∠=︒,则D ∠= 度.23.已知:直线//AB CD ,点E ,F 分别在直线AB ,CD 上,点M 为两平行线内部一点. (1)如图1,∠AEM ,∠M ,∠CFM 的数量关系为________;(直接写出答案)(2)如图2,∠MEB 和∠MFD 的角平分线交于点N ,若∠EMF 等于130°,求∠ENF 的度数;(3)如图3,点G 为直线CD 上一点,延长GM 交直线AB 于点Q ,点P 为MG 上一点,射线PF 、EH 相交于点H ,满足13PFG MFG ∠=∠,13BEH BEM ∠=∠,设∠EMF =α,求∠H 的度数(用含α的代数式表示).24.已知,点、、A B C 不在同一条直线上,//AD BE(1)如图①,当,58118A B ︒︒∠=∠=时,求C ∠的度数;(2)如图②,,AQ BQ 分别为,DAC EBC ∠∠的平分线所在直线,试探究C ∠与AQB ∠的数量关系;(3)如图③,在(2)的前提下且//AC QB ,QP PB ⊥,直接写11,,DAC ACB CBE ∠∠∠的值25.将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起(如图①),其中30A ∠=︒,60B ∠=︒,45D E ∠=∠=︒.(1)猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系,并说明理由;(2)若3BCD ACE ∠=∠,求BCD ∠的度数;(3)若按住三角板ABC 不动,绕顶点C 转动三角DCE ,试探究BCD ∠等于多少度时//CE AB ,并简要说明理由.26.如图,已知直线//AB CD ,,M N 分别是直线,AB CD 上的点.(1)在图1中,判断,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系,并证明你的结论; (2)在图2中,请你直接写出,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系(不需要证明);(3)在图3中,MB 平分EMF ∠,NE 平分DNF ∠,且2180F E ∠+∠=,求FME ∠的度数.27.如图1,已知直线PQ ∥MN ,点A 在直线PQ 上,点C 、D 在直线MN 上,连接AC 、AD ,∠PAC =50°,∠ADC =30°,AE 平分∠PAD ,CE 平分∠ACD ,AE 与CE 相交于E . (1)求∠AEC 的度数;(2)若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置,此时A1E平分∠AA1D1,CE平分∠ACD1,A1E与CE相交于E,∠PAC=50°,∠A1D1C=30°,求∠A1EC 的度数.(3)若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置,其他条件与(2)相同,求此时∠A1EC的度数.28.阅读材料(1),并利用(1)的结论解决问题(2)和问题(3).(1)如图1,AB∥CD,E为形内一点,连结BE、DE得到∠BED,求证:∠E=∠B+∠D悦悦是这样做的:过点E作EF∥AB.则有∠BEF=∠B.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠FED=∠D.∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D.即∠BED=∠B+∠D.(2)如图2,画出∠BEF和∠EFD的平分线,两线交于点G,猜想∠G的度数,并证明你的猜想.(3)如图3,EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线,分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2,求证:∠FG1E+∠G2=180°.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】过C作CM∥AB,延长CD交EF于N,根据三角形外角性质求出∠CNE=y﹣z,根据平行线性质得出∠1=x,∠2=∠CNE,代入求出即可.【详解】解:过C作CM∥AB,延长CD交EF于N,则∠CDE=∠E+∠CNE,即∠CNE=y﹣z∵CM∥AB,AB∥EF,∴CM∥AB∥EF,∴∠ABC=x=∠1,∠2=∠CNE,∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴x+y﹣z=90°.故选:B.【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用,注意:平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补.2.D解析:D【分析】根据同位角定义可得答案.【详解】解:解:两条直线a,b被第三条直线c所截(或说a,b相交c),在截线c的同旁,被截两直线a,b的同一侧的角,我们把这样的两个角称为同位角,根据定义,结合图形,∠1的同位角是∠5.故选:D.【点睛】本题考查同位角的定义,解题关键是熟练理解同位角的定义,本题属于基础题型.3.B解析:B【分析】结合图形,根据平行线的判定方法对选项逐一进行分析即可得.【详解】A. ∠l=∠2,根据内错角相等,两直线平行,可得AB//CD,故不符合题意;B. ∠2=∠E,根据同位角相等,两直线平行,可得AD//BE,故符合题意;C. ∠B+∠E= 180°,根据同旁内角互补,两直线平行,可得AB//CD,故不符合题意;D. ∠BAF=∠C,根据同位角相等,两直线平行,可得AB//CD,故不符合题意,故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.4.C解析:C【分析】过点E作EF∥AB,得∠B=∠BEF=20°,结合AB∥CD知EF∥CD,据此得∠D=∠DEF=40°,根据∠BED=∠BEF+∠DEF可得答案.【详解】解:如图,过点E作EF∥AB,∴∠B=∠BEF=20°,∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠D=∠DEF=40°,则∠BED=∠BEF+∠DEF=20°+40°=60°,故答案为:60°.【点睛】本题考查平行线的性质,解题关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和平行与平面内同一直线的两直线平行的性质.5.C解析:C【分析】①垂径定理的逆定理,注意有否有缺少什么;②如果三点共线;③旋转的性质;④三角形的外心的性质;⑤圆的性质.【详解】①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的弧,原命题错误;②三点共线时不能确定一个圆,原命题错误;③由旋转的性质可知,原命题正确;④由三角形的外心的性质,原命题正确;⑤由圆的性质,原命题正确;本题的答案是:C.【点睛】考查垂径定理的逆定理、旋转的性质、三角形的外心的性质、圆的性质.6.C解析:C【解析】分四种情况:①三条直线平行,有0个交点;②三条直线相交于同一点,有1个交点;③一条直线截两条平行线有2个交点;④三条直线两两相交有3个交点.故选C.点睛:本题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况,需要运用分类讨论思想,解答时要分各种情况解答,要考虑到可能出现的所有情形,不要遗漏,否则讨论的结果就不全面.7.B解析:B【解析】试题分析:根据两平行线被第三条直线所截,同位角相等,故(1)不正确;同位角不一定相等,只有在两直线平行时,同位角相等,故(2)不正确;平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交,故(3)正确;从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做该点到直线的距离,故(4)不正确;过直线外一点作已知直线的平行线,有且只有一条,故(5)不正确.故选B.8.D解析:D【分析】根据平移的性质,不改变图形的形状和大小,经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等.【详解】解:A、B、C都是由旋转得到的,D是由平移得到的.故选:D.【点睛】本题考查平移的基本性质是:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.9.C解析:C【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件,但不满足结论的例子.【详解】A、满足条件∠1+∠2=90°,也满足结论∠1≠∠2,故A选项错误;B、不满足条件,故B选项错误;C、满足条件,不满足结论,故C选项正确;D、不满足条件,也不满足结论,故D选项错误.故选:C.【点睛】此题考查了命题与定理的知识,理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键. 10.B解析:B【分析】根据同位角的概念对每个图形一一判断,选出正确答案即可.【详解】图1:1∠与2∠是同位角;图2:1∠与2∠不是同位角;图3:1∠与2∠不是同位角;图4:1∠与2∠是同位角;只有图1、图4中1∠与2∠是同位角.故选:B .【点睛】本题主要考查同位角的概念,熟记同位角的概念是解题关键.11.B解析:B【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的概念解答即可.【详解】解:A .∠B 与∠2是BC 、DE 被BD 所截而成的同旁内角,故本选项正确;B .∠A 与∠1不是同位角,故本选项错误;C .∠3与∠A 是AE 、DE 被AD 所截而成的同旁内角,故本选项正确;D .∠3与∠4是内错角AD 、CE 被ED 所截而成的内错角,故本选项正确;故选:B .【点睛】本题主要考查了同位角、内错角以及同旁内角,同位角的边构成“F“形,内错角的边构成“Z“形,同旁内角的边构成“U”形.12.C解析:C【分析】根据平行线的性质,即可得到∠1+∠2+∠3=180°,再根据∠2=∠3,∠1=50°,即可得出∠2的度数.【详解】∵a ∥b ,∴∠1+∠2+∠3=180°,又∵∠2=∠3,∠1=50°,∴50°+2∠2=180°,∴∠2=65°,故选:C .【点睛】本题主要考查了平行线的性质,角平分线的定义,解题时注意:两直线平行,同旁内角互补.二、填空题13.9【分析】根据平移的特点,可直接得出AC、DE、AD的长,利用EC=BC-BE可得出EC的长,进而得出阴影部分周长.【详解】∵AB=3cm,BC=4cm,AC=2cm,将△ABC沿BC方向平解析:9【分析】根据平移的特点,可直接得出AC、DE、AD的长,利用EC=BC-BE可得出EC的长,进而得出阴影部分周长.【详解】∵AB=3cm,BC=4cm,AC=2cm,将△ABC沿BC方向平移a cm∴DE=AB=3cm,BE=a cm∴EC=BC-BE=(4-a)cm∴阴影部分周长=2+3+(4-a)+a=9cm故答案为:9【点睛】本题考查平移的特点,解题关键是利用平移的性质,得出EC=BC-BE.14.或【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补,再由题意,其中一个角比另一个角的3倍少,可得出答案.【详解】解:设为x,则为,若两角互补,则,解得,;若两角相等,则,解得,.故答案解析:125︒或20︒【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补,再由题意,其中一个角比另一个角的3倍少40︒,可得出答案.【详解】解:设β∠为x ,则α∠为340x -︒,若两角互补,则340180x x +-︒=︒,解得55x =︒,125α∠=︒;若两角相等,则340x x =-︒,解得20x =︒,20α∠=︒.故答案为:125︒或20︒.【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行,即可得∠α与∠β相等或互补,注意方程思想与分类讨论思想的应用.15.【解析】【分析】首先过点E 作EM∥AB,过点F 作FN∥AB,由AB∥CD,即可得EM∥AB∥CD∥FN,然后根据两直线平行,同旁内角互补,由∠BED=110°,即可求得∠ABE+∠CDE=25解析:125【解析】【分析】首先过点E 作EM ∥AB ,过点F 作FN ∥AB ,由AB ∥CD ,即可得EM ∥AB ∥CD ∥FN ,然后根据两直线平行,同旁内角互补,由∠BED=110°,即可求得∠ABE+∠CDE=250°,又由BF 平分∠ABE ,DF 平分∠CDE ,根据角平分线的性质,即可求得∠ABF+∠CDF 的度数,又由两只线平行,内错角相等,即可求得∠BFD 的度数.【详解】过点E 作EM ∥AB ,过点F 作FN ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴EM ∥AB ∥CD ∥FN ,∴∠ABE+∠BEM=180°,∠CDE+∠DEM=180°,∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,∵∠BED=110°,∴∠ABE+∠CDE=250°,∵BF 平分∠ABE ,DF 平分∠CDE ,∴∠ABF=12∠ABE ,∠CDF=12∠CDE , ∴∠ABF+∠CDF=12(∠ABE+∠CDE )=125°, ∵∠DFN=∠CDF ,∠BFN=∠ABF ,∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°.故答案为125°【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.16.520【解析】因为AD∥BC,所以∠CEF=∠AFE=64°,∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°,由折叠得∠EFD=∠EFD′,所以∠EFD′=116°,所以∠GFD′=∠ 解析:520【解析】因为AD ∥BC ,所以∠CEF=∠AFE=64°,∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°,由折叠得∠EFD=∠EFD′,所以∠EFD′=116°,所以∠GFD′=∠EFD′-∠AFE=116°-64°=52°,故答案为52°.17.12【解析】如图,∵M、N 是线段AB 的三等分点,C 是BN 的中点,∴AM=MN,CN=CB ,∴AM+CB=MN+CN=MC=6,∴AB=AM+MN+CN+CB=(AM+CB )+(MN+CN )解析:12【解析】如图,∵M 、N 是线段AB 的三等分点,C 是BN 的中点,∴AM=MN ,CN=CB ,∴AM+CB=MN+CN=MC=6,∴AB=AM+MN+CN+CB=(AM+CB )+(MN+CN )=6+6=12(cm ).18.62【详解】∵,,∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.解析:62【详解】∵OE AB ⊥,28EOC ∠=,∴∠BOC=90°-28°=62°∵∠BOC=∠AOD∴∠AOD=62°.19.【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠EFD,再根据角平分线的定义求出∠GFD,然后根据两直线平行,内错角相等解答.【详解】解:∵AB∥CD,∠1=64°,∴∠EFD=∠1=64°,∵解析:【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠EFD,再根据角平分线的定义求出∠GFD,然后根据两直线平行,内错角相等解答.【详解】解:∵AB∥CD,∠1=64°,∴∠EFD=∠1=64°,∵FG平分∠EFD,∴∠GFD=12∠EFD=12×64°=32°,∵AB∥CD,∴∠EGF=∠GFD=32°.故答案为:32.考点:平行线的性质.20.【分析】如图,利用平行线的性质得出∠3=35°,然后进一步得出∠4的度数,从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示,∵,,∴,∴∠4=90°−∠3=55°,∵,∴∠2解析:55【分析】如图,利用平行线的性质得出∠3=35°,然后进一步得出∠4的度数,从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示,∵//a b ,135∠=︒,∴335∠=︒,∴∠4=90°−∠3=55°,∵////a b c ,∴∠2=∠4=55°.故答案为:55°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题21.(1);(2)①∠1+∠2-∠E=180°;②见解析【分析】(1)过点E 作EF ∥AB ,根据平行线的性质得到∠A=∠AEF 和∠FEC=∠C ,再相加即可; (2)①、②过点E 作EF ∥AB ,根据平行线的性质可得∠AEF+∠1=180°和∠FEC=∠2,从而可得三者之间的关系.【详解】解:(1)过点E 作EF ∥AB ,∴∠A=∠AEF ,∵AB ∥CD ,∴EF ∥CD ,∴∠FEC=∠C ,∵∠AEC=∠AEF+∠FEC ,∴∠AEC=∠A+∠C ;(2)①∠1+∠2-∠E=180°,②过点E 作EF ∥AB ,∴∠AEF+∠1=180°,∵AB ∥CD ,∴EF ∥CD ,∴∠FEC=∠2,即∠CEA+∠AEF=∠2,∴∠AEF=∠2-∠CEA ,∴∠2-∠CEA+∠1=180°,即∠1+∠2-∠AEC=180°.【点睛】本题考查了平行线的性质,作辅助线并熟记性质是解题的关键.22.两直线平行,内错角相等;如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,内错角相等;等量代换;82;20【分析】感知与填空:根据平行公理及平行线的性质即可填写;应用与拓展:根据感知与填空的方法添加辅助线即可得到∠E+∠F=∠B+∠G+∠D ,即可得到答案;方法与实践:过点F 作平行线,用同样的思路证明即可得到∠D 的度数.【详解】感知与填空:两直线平行,内错角相等;如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,内错角相等;等量代换,应用与拓展:如图,作GM ∥AB ,由感知得:∠E=∠B+∠EGM,∵AB ∥CD,GM ∥AB,∴GM ∥CD,∴∠F=∠D+∠FGM,∴∠E+∠F=∠B+∠D+∠EGF,∵22,35,25B EGF D ∠=︒∠=∠=︒,∴∠E+∠F=82︒,故答案为:82.方法与实践:如图:作FM ∥AB ,∴∠MFB+∠B=180︒,∵60B ∠=︒,∴∠MFB=180︒-∠B=120︒,∵80F ∠=︒,∴∠MFE=40︒,∵∠E=∠MFE+∠D, 60E ∠=︒,∴∠D=20︒,故答案为:20.【点睛】此题考查平行公理的运用及平行线的性质定理,解此题的关键是理解感知部分的作线方法,得到的方法的总结,由此才能正确解答后面的问题.23.(1)M AEM CFM ∠=∠+∠;(2)115ENF ∠=︒;(3)1603H α∠=︒-.【分析】(1)过点M 作//ML AB ,利用平行线的性质可得1AEM ∠=∠,2CFM ∠=∠,由12EMF ∠=∠+∠,经过等量代换可得结论; (2)过M 作//ME AB ,利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可.(3)如图②中设BEH x ∠=,PFG y ∠=,则3BEM x ∠=,3MFG y ∠=,设EH 交CD 于K .证明H x y ∠=-,求出x y -即可解决问题.【详解】(1)如图1,过点M 作//ML AB ,//AB CD ,////ML AB CD ∴,1AEM ∴∠=∠,2CFM ∠=∠,12EMF ∠=∠+∠,M AEM CFM ∴∠=∠+∠;(2)过M 作//ME AB ,//AB CD ,//ME CD ∴,24180BEM DFM ∴∠+∠=∠+∠=︒,1802BEM ∴∠=︒-∠,1804DFM ∠=︒-∠, EN ,FN 分别平分MEB ∠和DFM ∠, 112BEM ∴∠=∠,132DFM ∠=∠, 111113(1802)(1804)180(24)1801301152222∴∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒, 36013360115130115ENF EMF ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒;(3)如图②中设BEH x ∠=,PFG y ∠=,则3BEM x ∠=,3MFG y ∠=,设EH 交CD 于K .//AB CD ,BEH DKH x ∴∠=∠=,PFG HFK y ∠=∠=,DKH H HFK ∠=∠+∠,H x y ∴∠=-,EMF MGF α∠=∠=,180BQG MGF ∠+∠=︒,180BQG α∴∠=︒-,QMF QMF EMF MGF MFG ∠=∠+∠=∠+∠,3QME MFG y ∴∠=∠=,BEM QME MQE ∠=∠+∠,33180x y α∴-=︒-, 1603x y α∴-=︒-, 1603H α∴∠=︒-. 【点睛】本题考查平行线的性质和判定,三角形的外角的性质,三角形的内角和定理等知识,作出平行线,利用参数解决问题是解题的关键.24.(1)120°;(2)2∠AQB+∠C=180°;(3)∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.【分析】(1)过点C 作CF ∥AD ,则CF ∥BE ,根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A 、∠BCF=180°-∠B ,将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF 即可求出∠ACB 的度数;(2)过点Q 作QM ∥AD ,则QM ∥BE ,根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=12(∠CBE-∠CAD),结合(1)的结论可得出2∠AQB+∠C=180°; (3)由(2)的结论可得出∠CAD=12∠CBE ①,由QP ⊥PB 可得出∠CAD+∠CBE=180°②,联立①②可求出∠CAD 、∠CBE 的度数,再结合(1)的结论可得出∠ACB 的度数.【详解】解:(1)在图①中,过点C 作CF ∥AD ,则CF ∥BE .∵CF ∥AD ∥BE ,∴∠ACF=∠A ,∠BCF=180°-∠B ,∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-(∠B-∠A )=180°-(118°-58°)=120°. (2)在图2中,过点Q 作QM ∥AD ,则QM ∥BE .∵QM ∥AD ,QM ∥BE ,∴∠AQM=∠NAD ,∠BQM=∠EBQ .∵AQ 平分∠CAD ,BQ 平分∠CBE ,∴∠NAD=12∠CAD ,∠EBQ=12∠CBE , ∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=12(∠CBE-∠CAD). ∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB ,∴2∠AQB+∠C=180°.(3)∵AC ∥QB ,∴∠AQB=∠CAP=12∠CAD ,∠ACP=∠PBQ=12∠CBE , ∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-12∠CBE . ∵2∠AQB+∠ACB=180°,∴∠CAD=12∠CBE . 又∵QP ⊥PB ,∴∠CAP+∠ACP=90°,即∠CAD+∠CBE=180°,∴∠CAD=60°,∠CBE=120°,∴∠ACB=180°-(∠CBE-∠CAD )=120°,故∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角、角平分线以及垂线,解题的关键是:(1)根据平行线的性质结合角的计算找出∠ACB=180°-(∠B-∠A);(2)根据平行线的性质、角平分线的定义找出∠AQB=12(∠CBE-∠CAD);(3)由AC ∥QB 、QP ⊥PB 结合(1)(2)的结论分别求出∠DAC 、∠ACB 、∠CBE 的度数.25.(1)180BCD ACE ∠+∠=︒,理由详见解析;(2)135°;(3)BCD ∠等于150︒或30时,//CE AB .【分析】(1)依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ,即可得到∠BCD+∠ACE 的度数;(2)设∠ACE=α,则∠BCD=3α,依据∠BCD+∠ACE=180°,即可得到∠BCD 的度数; (3)分两种情况讨论,依据平行线的性质,即可得到当∠BCD 等于150°或30°时,CE//4B.【详解】解:(1)180BCD ACE ∠+∠=︒,理由如下:90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠,∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒;(2)如图①,设ACE α∠=,则3BCD α∠=,由(1)可得180BCD ACE ∠+∠=︒,∴3180αα+=︒,∴45α=,∴3135BCD α∠==︒;(3)分两种情况:①如图1所示,当//AB CE 时,180120BCE B ∠=︒-∠=︒, 又90DCE ∠=︒,∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒;②如图2所示,当//AB CE 时,60BCE B ∠=∠=︒, 又90DCE ∠=︒,∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.综上所述,BCD ∠等于150︒或30时,//CE AB .【点睛】本题考查了平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.26.(1)BME DNE MEN ∠+∠=∠,证明见析;(2)MEN BME DNE ∠=∠-∠;(3)120FME ∠=【解析】【分析】(1)如图,过点E 作直线//EF AB ,由平行线的性质得到BME MEF ∠=∠,FEN DNE ∠=∠,即可求得MEN BME DNE ∠=∠+∠;(2)如图,记AB 与NE 的交点为G ,由平行线的性质得∠EGM=∠DNE ,由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM ,由此即可得到结论;(3)由角平分线的定义设BMF BME β∠=∠=∠,设22DNF DNE α∠=∠=∠,由(1),得E αβ∠=∠+∠,由(2),得2F βα∠=∠-∠,再根据2180F E ∠+∠=,可求得60β∠=,继而可求得2120FME β∠=∠=.【详解】(1)BME DNE MEN ∠+∠=∠,证明如下:如图,过点E 作直线//EF AB ,∵//EF AB ,∴BME MEF ∠=∠,又∵//AB CD ,∴//EF CD ,∴FEN DNE ∠=∠,∴MEN MEF FEN BME DNE ∠=∠+∠=∠+∠;(2)MEN BME DNE ∠=∠-∠,理由如下:如图,记AB 与NE 的交点为G ,又∵AB//CD ,∴∠EGM=∠DNE ,∵∠BME 是△EMG 的外角,∴∠BME=∠MEN+∠EGM ,∴∠MEN=∠BME-∠DNE ;(3)∵MB 平分EMF ∠,∴设BMF BME β∠=∠=∠,∵NE 平分DNF ∠,∴设22DNF DNE α∠=∠=∠,由(1),得E BME DNE αβ∠=∠+∠=∠+∠,由(2),得2F BMF DNF βα∠=∠-∠=∠-∠,又∵2180F E ∠+∠=,∴22()180βααβ∠-∠+∠+∠=,∴3180β∠=,即60β∠=,∴2120FME β∠=∠=.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,三角形外角的性质,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.27.(1)∠AEC =130°;(2)∠A 1EC =130°;(3)∠A 1EC =40°.【解析】【分析】(1)由直线PQ ∥MN ,∠ADC=∠QAD=30°,可得∠PAD=150°,再求∠PAE=75°,可得∠CAE=25°;由∠PAC=∠ACN ,求得∠ECA=25°,故∠AEC=180°﹣25°﹣25°;(2)先求出∠QA 1D 1=30°,∠PA 1D 1=150°,再求出∠PA 1E=∠EA 1D 1=75°,再求出∠CAQ=130°,∠ACN=50°,根据平分线定义得∠ACE=25°,再利用四边形内角和性质可求∠CEA 1;(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA 1E=∠2=15°,∠ACE=∠ECN=∠1=25°,再由∠CEA 1=∠1+∠2即可求得答案.【详解】(1)如图1所示:∵直线PQ ∥MN ,∠ADC =30°,∴∠ADC =∠QAD =30°,∴∠PAD =150°,∵∠PAC =50°,AE 平分∠PAD ,∴∠PAE =75°,∴∠CAE =25°,可得∠PAC=∠ACN=50°,∵CE平分∠ACD,∴∠ECA=25°,∴∠AEC=180°﹣25°﹣25°=130°;(2)如图2所示:∵∠A1D1C=30°,线段AD沿MN向右平移到A1D1,PQ∥MN,∴∠QA1D1=30°,∴∠PA1D1=150°,∵A1E平分∠AA1D1,∴∠PA1E=∠EA1D1=75°,∵∠PAC=50°,PQ∥MN,∴∠CAQ=130°,∠ACN=50°,∵CE平分∠ACD1,∴∠ACE=25°,∴∠CEA1=360°﹣25°﹣130°﹣75°=130°;(3)如图3所示:过点E作FE∥PQ,∵∠A1D1C=30°,线段AD沿MN向左平移到A1D1,PQ∥MN,∴∠QA1D1=30°,∵A1E平分∠AA1D1,∴∠QA1E=∠2=15°,∵∠PAC=50°,PQ∥MN,∴∠ACN=50°,∵CE平分∠ACD1,∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°,∴∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°=40°.【点睛】本题考查了平行线性质,角平分线定义,熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.28.(2)∠EGF=90°;(3)详见解析.【解析】【分析】(2)如图2所示,猜想:∠EGF=90°;由结论(1)得∠EGF=∠BEG+∠GFD,根据EG、FG 分别平分∠BEF和∠EFD,得到∠BEF=2∠BEG,∠EFD=2∠GFD,由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°,于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°,即可得到结论;(3)如图3,过点G1作G1H∥AB由结论(1)可得∠G2=∠1+∠3,∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,得到∠3=∠G2FD,由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD,由于∠1=∠2,于是得到∠G2=∠2+∠4,由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD,然后根据平行线的性质即可得到结论.【详解】证明:(2)如图2所示,猜想:∠EGF=90°;由结论(1)得∠EGF=∠BEG+∠GFD,∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD,∴∠BEF=2∠BEG,∠EFD=2∠GFD,∵BE∥CF,∴∠BEF+∠EFD=180°,∴2∠BEG+2∠GFD=180°,∴∠BEG+∠GFD=90°,∵∠EGF=∠BEG+∠GFD,∴∠EGF=90°;(3)证明:如图3,过点G1作G1H∥AB,∵AB∥CD,∴G1H∥CD,由结论(1)可得∠G2=∠1+∠3,∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,∴∠3=∠G2FD,∵FG2平分∠EFD,∴∠4=∠G2FD,∵∠1=∠2,∴∠G2=∠2+∠4,∵∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,∴∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,∴∠EG1F+∠G2=180°.【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的性质,熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.。
七年级数学(下)第五章单元检测时间120分钟,总分100分姓名: 得分:本单元须掌握的知识概要1、理解邻补角、对顶角的概念,掌握对顶角相等的性质;2、理解垂直的概念,理解垂直的性质,知道什么是点到直线的距离,能够过一点画已知直线(射线、线段的垂线);3、理解平行的概念,掌握两条直线在平面内的两种位置关系,了解平行公理;4、认识两条直线被第三条直线所截所形成的同位角、内错角、同旁内角,会从图形中找出这些角;5、掌握平行线判定的三种方法,并能运用这三种方法说明两条直线平行;6、掌握平行线的性质,并能运用平行线的性质说明两角之间的关系;7、了解什么是平行线间的距离,知道平行线间的距离处处相等;8、了解命题的概念以及命题的结构,能够把一个命题改写成“如果……,那么……”的形式。
9、了解平移的概念及平移的特征,能够画出一个图形平移后的图形,并能够组合出一些简单的图案。
一、填空题:(每题3分,共30分)1、如图1,计划把河水引到水池A 中,可以先引AB ⊥CD ,垂足为B ,然后沿AB 开渠,则能使所开的渠最短,这样设计的依据是________________。
2、如图2,AB ∥CD ,∠1=39°,∠C 和∠D 互余,则∠D=________,∠B=________。
图1 图2 图33、如图3,直线b a ,与直线c 相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠3=180°,其中能判断a ∥b 的是_______________(填序号)。
4、设c b a ,,为平面内三条不同的直线,①若a ∥b ,l ⊥a ,则l 与b 的位置关系是______;②若l ⊥a ,l ⊥b ,则a 与b 的位置关系是___________;③若a ∥b ,l ∥a ,则l 与b 的位置关系是____________。
5、把命题“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是_________________。
6、如图4,已知AB ∥CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ,EG 平分∠BEF ,若∠1=50°,则∠2的度数为_______________。
A B D C A B C D 1 1 6 5 4 2 7 3 8 b c A E B C F G D12图47、定点P 在直线AB 外,动点O 在直线AB 上移动,当PO 最短时,∠POA=_______,这时线段PO 所在的直线是AB 的___________,线段PO 叫做直线AB 的______________。
8、如图5,EF ⊥AB 于点F ,CD ⊥AB 于点D ,E 是AC 上一点,∠1=∠2,则图中互相平行的直线是____________________。
图5 图69、已知OA ⊥OC ,∠AOB :∠AOC=2:3,则∠BOC 的度数为_____________。
10、如图6,已知AB ∥CD ∥EF ,则∠x 、∠y 、∠z 三者之间的关系是___________。
二、选择题(每题3分,共30分)11、如图所示,下列判断正确的是( )⑴ ⑵ ⑶ ⑷A 、图⑴中∠1和∠2是一组对顶角B 、图⑵中∠1和∠2是一组对顶角C 、图⑶中∠1和∠2是一对邻补角D 、图⑷中∠1和∠2互为邻补角12、P 为直线l 上的一点,Q 为l 外一点,下列说法不正确的是( )A 、过P 可画直线垂直于lB 、过Q 可画直线l 的垂线C 、连结PQ 使PQ ⊥lD 、过Q 可画直线与l 垂直13、如图,图中∠1与∠2是同位角的是( )⑴ ⑵ ⑶ ⑷A 、⑵⑶B 、⑵⑶⑷C 、⑴⑵⑷D 、⑶⑷14、设c b a ,,是三条不同的直线,则在下面四个命题中,正确的有( )①如果a 与b 相交,b 与c 相交,那么a 与c 相交;②如果a 与b 平行,b 与c 平行,A E C F 1 2 E F C D AB x z y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2那么a 与c 平行;③如果a 与b 垂直,b 与c 垂直,那么a 与c 垂直;④如果a 与b 平行,b 与c 相交,那么a 与c 相交。
A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个15、下列关系中,互相垂直的两条直线是( )A 、互为对顶角的两角的平分线B 、互为补角的两角的平分线C 、两直线相交所成的四个角中相邻两角的角平分线D 、相邻两角的角平分线16、在下列说法中:⑴△ABC 在平移过程中,对应线段一定相等;⑵△ABC 在平移过程中,对应线段一定平行;⑶△ABC 在平移过程中,周长保持不变;⑷△ABC 在平移过程中,对应边中点的连线段的长等于平移的距离;⑸△ABC 在平移过程中,面积不变,其中正确的有( )A 、⑴⑵⑶⑷B 、⑴⑵⑶⑷⑸C 、⑴⑵⑶⑸D 、⑴⑶⑷⑸17、如图,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,∠EBC=∠BCF ,那么∠ABE 与∠DCF 的位置和大小关系是( )A 、是同位角且相等B 、不是同位角但相等C 、是同位角但不等D 、不是同位角也不等18、如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB=60°,则∠AED ′=( )A 、50°B 、55°C 、60°D 、65°19、如果∠α与∠β的两边分别平行,∠α与∠β的3倍少36°,则∠α的度数是( )A 、18°B 、126°C 、18°或126°D 、以上都不对20、如图,AB ∥CD ,且∠BAP=60°-α,∠APC=45°+α,∠PCD=30°-α,则α=( )A 、10°B 、15°C 、20°D 、30°三、解答题(21-25题每题8分,26、27题每题10分) AB EC FD AE D B CF D ′ C ′60° AB P D21、作∠AOB=90°,在OA 上取一点C ,使OC=3cm ,在OB 上取一点D ,使OD=4cm ,用三角尺过C 点作OA 的垂线,经过D 点作OB 的垂线,两条垂线相交于E⑴量出∠CED 的大小⑵量出点E 到OA 的距离,点E 到OB 的距离22、如图所示,已知∠B=∠C ,AD ∥BC ,试说明:AD 平分∠CAE23、仔细观察下图,从中找出平行线,并表示出来,找出相等的角并说出依据。
24、如图,已知AB ∥CD ,试再添上一个条件,使∠1=∠2成立(要求给出两个以上答案)25、现在如图所示的瓷砖16块,请先用4块瓷砖设计出美丽的图案(在左上角四个方格内),然后利用你设计的图案,通过平移,设计出更加美丽的大型图案。
D E A B C 2 1 A B D E G C C D FE B A 1226、如图,已知AB ∥CD ,∠1:∠2:∠3=1:2:3,求证:BA 平分∠EBF ,下面给出证法1证法1:∠1、∠2、∠3的度数分别为x x x 3,2,∵AB ∥CD ,∴18032=+x x °,解得036=x∴∠1=36°,∠2=72°,∠3=108°∵∠EBD=180°,∴∠EBA=72°∴BA 平分∠EBF请阅读证法1后,找出与证法1不同的证法2,并写出证明过程27、完成下面的证明:已知,如图,AB ∥CD ∥GH ,EG 平分∠BEF ,FG 平分∠EFD 求证:∠EGF=90°证明:∵HG ∥AB(已知)∴∠1=∠3( )又∵HG ∥CD(已知)∴∠2=∠4( )∵AB ∥CD(已知)∴∠BEF+___________=180°( )又∵EG 平分∠BEF(已知)∴∠1=21∠_____________( ) 又∵FG 平分∠EFD(已知)B1 A E2 3 F C D D G A E B H CF 1 2 3 4∴∠2=21∠_____________( ) ∴∠1+∠2=21(___________+______________) ∴∠1+∠2=90°∴∠3+∠4=90°( )即∠EGF=90°七年级数学(下)第五章单元检测参考答案:一、填空题:1、垂线段最短2、39°,129°;3、①③④;4、①l ⊥b ;②a ∥b ;③l ∥b ;5、如果有两个角相等,那么它们的余角也相等;6、65°;7、90°,垂线,垂线段;8、EF ∥CD ,DE ∥BC ;9、30°或150°;10、∠x +∠y -∠z =180°二、选择题:11、D ;12、C ;13、C ;14、C ;15、C ;16、D ;17、B ;18、A ;19、C ;20、B三、解答题:21、⑴图略;⑵4cm ,3cm22、∵AD ∥BC ,∴∠2=∠B ,∠1=∠C 。
又∵∠B=∠C ,∴∠1=∠2即AD 平分∠CAE23、平行线有:AB ∥DE ,BC ∥EF相等的角:∠B=∠DGC=∠E ∠DGC=∠BGE24、条件①∠EBC=∠FCB ,或CF ∥BE25、略26、设∠1、∠2、∠3的度数分别为x x x 3,2,,则∠EBA=180°-x 3,∵AB ∥CD ,∴∠2=180°-∠3=180°-x 3,∴∠EBA=∠2,即BA 平分∠EBF27、两直线平行,内错角相等;两直线平行,内错角相等;∠ECD ,两直线平行,同旁内角互补;BEH ,角平分线定义;EFD ,角平分线定义;∠BEC ,∠EFD ,等量关系。