2009年中考数学试题汇编之9-根的判别式及根与系数关系试题及答案

九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数关系探究（一元二次方程）基础练习试卷简介:全卷共4个选择题，9个填空题，1个证明题，6个解答题，分值120，测试时间60分钟。

本套试卷在课本的基础上，对题目稍做一定难度的拔高，主要考察了学生对元二次方程根的判别式及根与系数的关系的灵活运用。

各个题目难度类似，但考察方式不同。

学生在做题过程中要立足课本，对题目考虑全面，做到认真细心。

学习建议:本章主要内容是二元一次方程根的判别式及根与系数的关系，不仅是中考重点考察的内容之一，更是整个数学学科的重要内容之一。

本章题目要求同学们在做题时要考虑全面，千万不能粗心马虎，否则很容易遗漏某些条件或忘记舍去不合适的结果。

一、单选题(共4道，每道3分)1.方程x2-kx-1=0的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.根的情况与k的取值有关2.已知方程2x2+4x=3，则下列说中，正确的是（）A.方程两根和是-4B.方程两根积是2C.方程两根和是-2D.方程两根积是两根和的2倍3.若一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根之比为2：3，那么a、b、c间的关系应当是（）A.3b2＝8acB.C.6b2＝25acD.不能确定4.若c为实数，方程x2－3x+c＝0的一个根的相反数是方程x2+3x－c＝0的一个根，那么方程x2－3x+c＝0的根是（）A.1，2B.-1，-2C.0，3D.0，-3二、填空题(共9道，每道4分)1.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式b2-4ac______0，常数项c______03.已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1- y1=2，x2- y2=2，则m= ______．4.关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m=______时，两根互为倒数；当m=______时，两根互为相反数.5.如果把一元二次方程 x2-3x-1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是______6.已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，则(a－1)(b－1)=______7.若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则______8.设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则______ ;______9.若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______三、解答题(共6道，每道11分)1.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由2.如果关于x的方程kx2-(2k+1)x+(k+2)=0有实数根，求k的取值范围3.已知关于x的方程 3 x2-10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k 的值：（1）有两个实数根，（2）有两个正数根，（3）有一个正数根和一个负数根4.已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．5.设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）（x 1+ 1）（x 2+ 1）； （2）x 12x 2+ x 1x 22；（3）； （4）(x 1-x 2)2．6.已知关于x 的方程x 2+2（m -2）x+m 2+4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 值并解此方程四、证明题(共1道，每道6分)1.求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根九年级数学暑期预习领先班（九年级上、下册知识一网打尽+全面系统、夯实基础） 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B 室 电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B 座405室 电话：68856662希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。

一元二次方程及根的判别式、根与系数的关系◆考点聚焦 知识点:一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求:1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。

2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。

考查重点与常见题型:考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。

◆备考兵法（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,2440)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.例1（2009年湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】本题考查了一元二次方程的根。

根与系数关系的应用错例示例一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1 · x 2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x 1和x 2”.一、例1 判断正误：方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和为－ba．( )错解：对．正解：错误．因不知方程是否有根.二、例2 若方程x 2＋(m 2 - l)x ＋l ＋m ＝0的两根互为相反数，则m 的值 为( )(A)l 或一1； (B)l ； (C)－l ； (D)0. 错解：选A ．正解：选C ．因当m ＝l 时，原方程无实根.三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )(A)3x 2－x ＋2＝0； (B)3x 2＋x ＋2＝0； (C)x 2－13x ＋3＝0； (D)6x 2 -2x 一1＝0．错解：选A 或C ．正解：选D ．因方程A ，C 均无实根．四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋ (m ＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m 的值．错解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l) 2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．正解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l)，2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．当m ＝2时，原方程b 2-4ac ＜0，∴m ＝－2．五、例5 已知方程x 2 ＋ 2(m -l)x ＋3m 2－11＝0，问m 为何实数时，方程有两个根x 1、x 2，且x 1x 2＋x 2x 1＝－1．错解：由根与系数的关系有x I ＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．正解：由根与系数关系有x 1＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．因m ＝3或5时，方程b 2-4ac ＜0，∴不存在m 使x 1x 2＋x 2x 1＝－1成立．六、忽视方程中的隐含条件例6 已知关于x 的方程(k －1)x 2＋3＝0有实数根，求k 的取值范围．错解： ∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝2－4(k －1)×3≥0，解得k ≤65． ∵k －1≠0，解得k ≠1．∴k 的取值范围是k ≤65且k ≠1．错解分析：一元二次方程的解题中考虑b 2－4ac ≥0及k －1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k －1＝0；二是忽视了隐含条件2k ≥0．七、不能正确使用根的判别式例7不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝2．错解：∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0．∴原方程没有实数根．错解分析：使用根的判别式时，必须先将方程整理成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．正解：整理，得4x2－3x－1＝0，∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．一元二次方程错解示例一、例1a为何值时，方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根？错解：∵ 方程有两个实数根∴ △≥0，即(2a－1)2－4a2≥0，．解得a≤14错解分析：当a＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1=0，它只有一个实数根，不合题意．且a≠0．正确的答案应为a≤14二、例2已知a、b满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则a b＝．b a错解：由题设可知a、b是方程x2－2x－1＝0的两根，∴a ＋b ＝2，ab ＝－1，∴a b b a +＝22a b ab +＝2()2a b ab ab +-＝421+-＝－6．错解分析：在a ≠b 时，a 、b 是方程x 2－2x －1＝0的两根；在a ＝b 时，ab b a+＝1+1＝2．故本题的正确答案应是－6或2．三、例3 已知α、β是方程x 2＋5x ＋3＝0的两个实数根，则的值为 ．错解：设A ＝，两边平方得A 2＝α2·βα＋2αβ＋β2·αβ＝4αβ，∴A ＝αβ＝3，∴所求式的值为错解分析：由题意可知．α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0，因此0．所以正确的结论应为－ 四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋(m －3)2＝0的两个实数根的平方和为25，求m 的值．错解：设两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝(m －3)2，∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2 x 1x 2＝(2m －1)2－2(m －3)2＝25，化简得m 2＋4m －21＝0，解得m 的值为3或－7．错解分析：当m ＝－7时，原方程为x 2＋15x ＋100＝0，此时，△＝152－400＜0，原方程无实数根，故m ＝－7应舍去，本题正确答案应为m ＝3．五、例5 已知x ＝－1是关于x k =的一个根，求以2k 和k ＋1为根的一元二次方程．错解：把x ＝－1=k ，解得k 1＝2，k 2＝－1．当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0；当k＝－1时，2k＝－2，k＋1＝0，以－2、0为根的方程是y2＋2y＝0．错解分析：=k成立，显然k＝－1应舍去．故本题的答案只有一个，y2－7y＋12＝0．六、例6 x1、x2是关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m2＋2m－4)＝0的两个实数根，求x12＋x22的最小值．错解：由已知得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋2m－4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝2m2－8m＋9＝2(m－2)2＋1．∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1．错解分析：解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0，方程没有实数根．正确的解法还必须求出m的取值范围．∵原方程有两个实数根，∴△＝(2m－1)2－4(m2＋2m－4)≥0，即－12m＋17≥0，∴m≤1712．∴当m=1712时，x12＋x22的最小值是12172．七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋12k(k＋4)＝0的两个实数根，且满足等式 (x1－1)(x2－1)＝109100，求k的值．错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝14k(k＋4)－k＋1＝14k2＋1，由已知条件得14k2＋1＝109100，k2＝36100，k＝±35．错解分析：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4k(k＋4)≥0，化简得k≤0．故正确的答案应是k＝－3．5与根的判别式有关的常见错解示例一、忽略二次项系数不为零例1已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根，求m的取值范围．错解：∵ 方程有实数根，∴△＝(－4)2－4×m×4≥0，解得m≤1．错解分析：一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根的条件是：（1）二次项系数m≠0；（2）△≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．故正确结果是：m≤1且m≠0．值得说明的是，若题中没有条件“一元二次”四个字，则前面的解法是正确的．这是为什么？请大家思考.二、忽略根的判别式例2已知关于x的一元二次方程x2－2(m－2)x＋m2＝0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由．错解：设方程的两个实数根为x1,x2，则x1＋x2＝2(m－2)，x1x2＝m 2．∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4(m －2)2－2m 2＝2m 2－16m ＋16．若x 12＋x 22＝56，则有m 2－8m －20＝0． 解得m 1＝10,m 2＝－2．故符合题意的实数m 存在，它的值为10或－2．错解分析：当m ＝10时，原方程x 2－16x ＋100＝0，判别式△＝(－16)2－4×100＜0，故方程无实数根．因此，m ＝10应舍去．错误原因是忽视两根的判别式大于等于0这一条件．本题正确答案应为m ＝－2．三、忽略题设条件例3 当m 是什么整数时，关于x 的方程mx 2－4x ＋4＝0①与x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②的解都是整数？错解：由已知，得12222=16-16m 0,=(-4m)-4(4m -4m-5)0,∆≥⎧⎨∆≥⎩解得－54≤m ≤1．因此，满足条件的整数m 为－1，0，1．错解分析： 当m ＝－1时，方程①的解不是整数；当m ＝0时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当m ＝1时，两个方程的解都为整数，方程①的解是x 1＝x 2＝2，方程②的解是x 1＝－1，x 2＝5．显然，m ＝－1与m ＝0不合题意，应舍去．忽视了m 的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件，正确答案为m ＝1．四、忽视隐含条件例4 已知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．错解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ △＝(－)2＋4(1－2k )＞0， 解得k ＜2．∵ 1－2k ≠0，即k ≠12，∴ k 的取值范围是k ＜2且k ≠12．错解分析：这里忽视了一次项系数－须有意义，即k ＋1≥0这个隐含条件．正解：由题设可得2(4(12)0,10,120.⎧∆=-+->⎪+≥⎨⎪-≠⎩k k k 解得－1≤k ＜2且k ≠12．因此，k 的取值范围是－1≤k ＜2且k ≠12．五、忽略“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例5.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0，即[]22(1)4(1)0k k k -+--≥，解得k ≥－31.又因为0k ≠， 所以k ≥－31且0k ≠.错解分析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论:（1）当k ＝0时，原方程为一元一次方程-2x=1，其实根为x=12-，故k 可取0.（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，须满足Δ≥0，即k ≥－31且0k ≠，1. 综合（1）（2）知：k≥－3。

2009年中考试题专题之9-根的判别式及根与系数关系试题及答案
一、选择题
1. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2
-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则b
a
=？ A.-5 B.-4 C.1 D. 3
2. （2009年株洲市）定义：如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2
0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A 2x ，
A -4 12．（2009年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）． A ．0122=--x x
B ．0322
=+-x x
C ．3322
-=x x D ．0442
=+-x x
二、填空题
1.(2009年上海市)9．如果关于x 的方程2
0x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．
2.（2009泰安）关于x 的一元二次方程02)12(2
2
=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。

3.（2009年长沙）已知关于x 的方程2
60x kx --=的一个根为，则实数k 的值为（ ）答案：A
12．（2009年黄石市）已知关于x 的函数2
1y ax x =++（a 为常数） （1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．。

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。

中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的 方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a a a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1.下列四个结论中，正确的是（）A．方程12xx+=-有两个不相等的实数根 B．方程11xx+=有两个不相等的实数根C．方程12xx+=有两个不相等的实数根 D．方程1x ax+=（其中a为常数，且2a>）有两个不相等的实数根【思路点拨】考查方程的实数根的问题，把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，用根的判别式去判断方程解的个数即可．【答案】D；【解析】A、整理得：x2+2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；B、整理得：x2-x+1=0，△＜0，∴原方程没有实数根，故错误，不合题意；C、整理得：x2-2x+1=0，△=0，∴原方程有2个相等的实数根，故错误，不合题意；D、整理得：x2-ax+1=0，△＞0，∴原方程有2个不相等的实数根，故正确，符合题意．故选D．【点评】此类问题用到的知识点为：一元二次方程根的判别式大于0，方程有2个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有2个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（2）】【变式】不解方程，判别方程根的情况：2-30 x x k+=【答案】当94k＜时，方程有两个不等实根；当9=4k时，方程有两个相等实根；当94k ＞时，方程无实根.2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【点评】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1． 举一反三：【高清ID 号：388522关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例4（1）】【变式】已知：关于x 的方程2(1)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设x 1、x 2是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得12x x +=1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122211x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知122x x +=1212x x =-，所以（1）222121212()2x x x x x x +=+-213521222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）22121212()()4x x x x x x -=+-213742222⎛⎫=-⨯-=+= ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-． 【点评】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21.举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【点评】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x 积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。

第3讲一元二次方程根的判别式及根与系数的关系概述适用学科初中数学适用年级初三适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、一元二次方程的根的判别式2、根与系数的关系教学目标1、使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2、使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3、通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．4、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．教学重点1、一元二次方程根的判别式的内容及应用．2、韦达定理的推导和灵活运用．3、已知方程求关于根的代数式的值 .教学难点1、用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．2、一元二次方程根的判别式的推导．3、利用根的判别式进行有关证明【知识导图】用公式法求出下列方程的解：(1)3x 2＋x －10＝0；(2)x 2－8x ＋16＝0；(3)2x 2－6x ＋5＝0． 引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．先讨论上述三个小题中b 2－4ac 的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，可将其变形为一元二次方程根的判别与及根于系数的关系根的判别有实数根无实数根韦达定理两根和两根积教学过程考点1 一元二次方程根的判别式 二、知识讲解一、导入(x+)2=∵a ≠0，∴4a 2＞0．由此可知b 2－4ac 的值直接影响着方程的根的情况． (1)当b 2－4ac ＞0时，方程右边是一个正数．12x x ==因此b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根 (2)当b 2－4ac ＝0时，方程右边是122bx x a==-,所以，一元二次方程有两个相等的实数根 (3) 当b 2-4ac<0时，方程右边是一个负数,而方程左边的(x+)2不可能是一个负数,因此方程没有实根.通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况可由b 2－4ac 来判定．故称b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用“△”来表示． ● 综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．● 提问1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ ● 新知讲解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为：考点2 根于系数之间的关系12x x ==12b x x a +=- 12cx x a=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么12b x x a +=-12cx x a= 我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的根与系数的关系． 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)变形为20b cx x a a++=，我们就可以将之写成20x px q ++=的形式，其中,b cp q a a== ● 得出结论：如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q ． 由 x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q 可知p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， ∴方程x 2＋px ＋q ＝0， 即 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．这就是说，以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． ● 一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q.如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．考点3 利用根与系数的关系确定一元二次方程(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 已知两根求一元二次方程，其一般步骤是： ①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形： ①＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； ③(x 1＋a)(x 2＋a)＝x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2； ④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.类型一 一元二次方程根的判别式一元二次方程的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根 【答案】D若关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k≤121x 22x 2x2x 20三 、例题精析例题2例题1考点4 一元二次方程根与系数的关系的应用【答案】D已知：关于x 的一元二次方程x 2+2x +k =0有两个不相等的实数根。

初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A.x2+3x+4=0B.x2+4x−3=0C.x2−4x+3=0D.x2+3x−4=02. 一元二次方程x2−2x+b=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于( )A.−2B.bC.2D.−b3. 若x1,x2是一元二次方程2x2−7x+5=0的两根，则x1+x2−x1x2的值是（）A.1B.6C.−1D.−64. 若关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0的两根之积为4，则这个方程的两根之和为( ）A.3 4B.−34C.12D.−125. 下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（）A.2x2−4x+3=0B.2x2−2x−3=0C.2y2+4y−3=0D.2t2−4t−3=06. 王刚同学在解关于x的方程x2−3x+c＝0时，误将−3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝−4，则原方程的解为（）A.x1＝−1，x2＝−4B.x1＝1，x2＝4C.x1＝−1，x2＝4D.x1＝2，x2＝37. 已知x1，x2是方程x2=2x+1的两个根，则1x1+1x2的值为（）A.−12B.2 C.12D.−28. x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是()9. 设方程x2−4x−1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是（）A.−4B.−1C.1D.010. 若2，3是方程x2+px+q=0的两实根，则x2−px+q可以分解为（）A.(x−2)(x−3)B.(x+1)(x−6)C.(x+1)(x+5)D.(x+2)(x+3)11. 设x1，x2是方程5x2−3x−2=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________.12. 若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则另一个根是________.13. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根分别为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________.14. 已知α，β是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则α+β−αβ的值是________.15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，那么代数式2n2−mn+2m+2009=________．16. 一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1，x2，则x12−4x1+2x1x2的值为________．17. 若m，n是方程x2+3x−2019=0的两个实数根，则m2+4m+n的值为________．18. 设方程x2+3x−4=0的两个实数根为x1，x2，求1x1+1x2=________．19. 试写出一个以−1，−3为两根的一元二次方程________．20. 已知，α、β是关于x的一元二次方程x2+4x−1＝0的两个实数根，则α+β的值是________．21. 已知关于x的方程x2+5x−c=0一根为2，求另一根及c的值．x1+x2+12√x1x2．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a<0时，比较y与−a2+3a−9的大小，并说明理由．23. 已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求x2x1+x1x2的值．24. 已知a，b是关于x的方程x2+2x−3=0的两个实数根．求a+b与ab的值．25. 已知实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，求ba +ab的值．26. 已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，不解方程求下列各式的值．(1)x12+x22；(2)1x1+1x2.27. 已知方程x2+4x−2=0的两个实数根分别为x1，x2，试求：(1)x12+x22；(2)1x12+1x22．28. 在一元二次方程x2−2ax+b=0中，若a2−b>0，则称a是该方程的中点值．(1)方程x2−8x+3=0的中点值是________；(2)已知x2−mx+n=0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值．29. 关于r的一元二次方程x2−4x−k−3=0的两个实数根是x1,x2（1）已知k=2（2）若x=3x试求上的值30. 已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根分别为x1，x2.(1)求x1−x2的值；(2)若x12+x22=10，求m的值．31. 阅读材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，求nm +mn的值．解：由题知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数关系得m+n=1，mn=−1，所以nm +mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3.根据上述材料解决以下问题：(1)一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_______，x1x2=_______；(2)类比探究：已知m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，求m2n+mn2的值；(3)思维拓展：已知p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，求p2+9q2的值．32. 已知x1,x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根，则x1+x2=________.33. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)=42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2−4x+2=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．34. 已知关于x的方程x2+x+a−1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．35. 设一元二次方程x2−6x+3=0的两根为x1和x2，求x2x1+x1x2的值．36. 若x1，x2是方程x2+2x−2007=0的两个根，试求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2；(3)(x1−5)(x2−5)；（4）|x1−x2|．37. 先阅读，再回答问题：如果x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2，x1x2与系数a、b、c的关系是：x1+x2=−ba ，x1x2=ca，例如：若x1、x2是方程2x2−x−1=0的两个根，则x1+x2=−ba =−−12=12，x1x2=c a =−12=−12．若x1、x2是方程2x2+x−3=0的两个根．（1）求x1+x2，x1x2；（2）求x2x1+x1x2的值．38. 阅读材料：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba ，x1x2=ca．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x2+6x−3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=−6，x1x2=−3，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2×(−3)= 42．请你根据以上解法解答下题：已知x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，求：(1)1x1+1x2的值；(2)(x1−x2)2的值．(3)试求x22−x12的值．39. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x、x，有如下结论：3x2−x−2019＝0的两根分别为x1、x2，求(x1+2)(x2+2)的值．40. 韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程−2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2，求x12+x22的值．解：该一元二次方程的△=b2−4ac=42−4×(−2)×1=24>0由韦达定理可得，x1+x2=−ba =−4−2=2，x1⋅x2=ca=1−2=−12x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=22−2×(−1 2 )=5然后解答下列问题：（1）设一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为x1，x2，不解方程，求x12+x22的值；（2）若关于x的一元二次方程(k−1)x2+(k2−1)x+(k−1)2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．参考答案与试题解析初中数学一元二次方程根与系数的关系练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】由根与系数的关系求得p ，q 的值． 【解答】解：方程两根分别为x 1=3，x 2=1，则x 1+x 2=−p =3+1=4，x 1x 2=q =3 ∴ p =−4，q =3，∴ 原方程为x 2−4x +3=0． 故选C ． 2. 【答案】 C【考点】根与系数的关系 【解析】根据“一元二次方程x 2−2x +b ＝0的两根分别为x 1和x 2”，结合根与系数的关系，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： x 1+x 2=−−21=2.故选C . 3.【答案】 A【考点】根与系数的关系 【解析】首先利用韦达定理计算，再代入求值即可. 【解答】解：由题可知， x 1+x 2=72，x 1x 2=52， 所以x 1+x 2−x 1x 2=72−52=1. 故选A .【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】设出两根，利用根已悉数的关系，构造方程，解出即可. 【解答】解：设两根分别为x1，x2，由根与系数的关系可知，x1+x2=3k ，x1x2=1k=4，∴k=14，∴x1+x2=3k=3×4=12.故选C.5.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】利用判别式对A进行判断；根据根与系数的关系对B、C、D进行判断．【解答】解：A、△=(−4)2−4×2×3<0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、两个实数根的和等于1，所以B选项错误；C、两个实数根的和等于−2，所以C选项错误；D、两个实数根的和等于2，所以D选项正确．故选D．6.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．【解答】依题意得关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝−4．则c＝1×(−4)＝−4，则原方程为x2−3x−4＝0，整理，得(x+1)(x−4)＝0，解得x1＝−1，x2＝4．7.【答案】D根与系数的关系【解析】先把方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=−2，x1⋅x2=−1，再把原式通分得x1+x2x1x2，然后利用整体思想进行计算．【解答】解：方程化为一般式得x2−2x−1=0，根据题意得x1+x2=2，x1⋅x2=−1，∴原式=x1+x2x1x2=2−1=−2．故选D．8.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2⋅=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．【解答】解：a=1，c=−1，所以x1⋅x2=ca =−11=−1．【答案】 D【考点】根与系数的关系 【解析】本题考查了根与系数的关系这一知识点． 【解答】解：根据根与系数的关系可得p =−(2+3)=−5，q =2×3=6． 因此x 2+5x +6=(x +2)(x +3)． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11. 【答案】−32【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2、x 1x 2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可． 【解答】解：∵ 方程x 1,x 2是方程5x 2−3x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=35，x 1x 2=−25， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=35−25=−32．故答案为：−32. 12.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】设方程的两根分别为x 1，x 2，则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3，由x 1=1可得x 2=−4． 【解答】解：根据题意，设方程的两根分别为x 1，x 2，令x 1=1， 则由根与系数关系得，x 1+x 2=−3， ∵ x 1=1， ∴ x 2=−4． 故答案为：−4． 13.【答案】 2【解析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于−b，两根之积a .根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2，x1x2=2，将等于ca其代入所求式子中即可求出结论．【解答】解：根据题意得，x12−4x1=−2，x1x2=2，x12−4x1+2x1x2=−2+4=2.故答案为：2.14.【答案】1【考点】根与系数的关系【解析】据根与系数的关系α+β=−1，αβ=−2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+x−2=0的两个实数根，∴α+β=−1，αβ=−2，∴α+β−αβ=−1+2=1.故答案为：1.15.【答案】2020【考点】根与系数的关系【解析】由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，可知m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=−3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2−mn+2m+2015=2(n+3)−mn+2m+2015=2n+6−mn+2m+2015=2(m+n)−mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2−m=3，n2−n=3，所以m，n是x2−x−3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=−3，又n2=n+3，则2n2−mn+2m+2009=2(n+3)−mn+2m+2009=2n+6−mn+2m+2009=2(m+n)−mn+2015=2×1−(−3)+2015=2+3+2015=2020．故答案为：2020．16.【答案】2【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12−4x1=−2、x1x2=2，将其代入x12−4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】∵一元二次方程x2−4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12−4x1=−2，x1x2=2，∴x12−4x1+2x1x2=−2+2×2=2．17.【答案】2016【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵m，n是方程x2+3x−2019=0的两个根，∴m2+3m=2019，m+n=−3，∴m2+4m+n=m2+3m+(m+n)=2019−3=2016．故答案为：2016．18.【答案】34【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，再变形1x1+1x2得到x1+x2x1x2，然后利用代入法计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x−4=0的两根是x1，x2，∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−4，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−3−4=34．故答案为：34．19.【答案】x 2+4x +3=0 【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系：两根之和=−ba，两根之积=ca，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【解答】解：∵ −1+(−3)=−4，(−1)×(−3)=3， ∴ 方程为：x 2+4x +3=0， 故答案为：x 2+4x +3=0． 20.【答案】 −4【考点】根与系数的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 【考点】根与系数的关系 【解析】 暂无 【解答】解：设另一根为x 1，则{x 1+2=−5,2x 1=−c,解得{x 1=−7,c =14,∴ 另一根为−7，c 的值为14． 22. 【答案】解：(1)14x 2+(a −2)x +a 2=0，∵ △=(a −2)2−4×14×a 2≥0，∴ a ≤1，根据题意得x 1+x 2=−4(a −2)，x 1x 2=4a 2， ∵ 0≤a ≤1，∴ y =−4(a −2)+a =−3a +8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．【考点】根与系数的关系【解析】（1）先把方程化为一般式得到14x2+(a−2)x+a2=0，再利用判别式得到a≤1，根据根与系数的关系得到y=−4(a−2)+a=−3a+8，然后计算当0≤a≤1时对应的y的范围；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，然后利用求差法比较大小．【解答】解：(1)14x2+(a−2)x+a2=0，∵△=(a−2)2−4×14×a2≥0，∴a≤1，根据题意得x1+x2=−4(a−2)，x1x2=4a2，∵0≤a≤1，∴y=−4(a−2)+a=−3a+8∴5≤y≤8；（2）当a<0时，y=−4(a−2)−a=−5a+8，y−(−a2+3a−9)=−5a+8+a2−3a+9=(a−4)2+1，∵(a−4)2+1>0，∴y>−a2+3a−9．23.【答案】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．【考点】根与系数的关系【解析】利用根与系数的关系求得x1+x2=−6，x1⋅x2=3，然后将其代入整理后的所求的代数式求值．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，∴由韦达定理，知x1+x2=−6，x1⋅x2=3，∴x2x1+x1x2=x1⋅x2˙=(−6)2−2×33=10，即x2x1+x1x2的值是10．24.【答案】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：a+b=−21=−2，ab=−31=−3.25.【答案】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=−1，再利用完全平方公式变形得到ba +ab=b2+a2 ab =(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵实数a，b是方程x2−x−1=0的两根，∴a+b=1，ab=−1，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab=−3．26.【答案】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2=3−1=−3．【考点】根与系数的关系【解析】无无【解答】解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−1=0的两根，∴x1+x2=3，x1x2=−1，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−1)=11.(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−1=−3．27.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 1x 12+1x 22 =x 12+x 22x 12x 22=20(−2)2=5.【考点】根与系数的关系 【解析】（1）将原式变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后代入计算即可； （2）将原式变形为含有x 1+x 2和x 1x 2，然后代入计算即可. 【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是x 2+4x −2=0的两个实数根， ∴ x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2 =(−4)2−2×(−2) =16+4 =20.(2)由(1)得，x 1+x 2=−4，x 1x 2=−2， 112+122 =x 12+x 22x 12x 22=202=5. 28. 【答案】 4(2)∵ m2=3，∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.【考点】根与系数的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在方程x2−8x+3=0中，a=4，b=3，∴a2−b=42−3=13>0，符合题意，∴ a=4是该方程的中点值.故答案为：4.(2)∵m=3，2∴ m=6，把x=2代入x2−mx+n=0得4−6×2+n=0，解得n=8，∴ mn=6×8=48.29.【答案】(1)−1；(2)k=−6.【考点】根与系数的关系【解析】(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2= 4，x1×x2=−5，代入即可求得代数式的值；(2)先求得x2=1，x1=3，再代入求得答案.【解答】解：(1)当k=2时，方程为：x2−4x−2−3=0,即x2−4x−5=0,所以可得：x1+x2=4，x1×x2=−5，所以x1+x2+x1×x2=4−5=−1；(2)x1+x2=4，x1=3x2，即3x2+x2=4，解得：x2=1，所以x1=3，即：x1x2=−k−3=3，解得：k=−6.30.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【考点】根与系数的关系【解析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=−2，x1⋅x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=−1符合题意，此题得解．【解答】解：(1)∵x1，x2是方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0的两实数根，x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m.(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2−2x1x2=(x1+x2)2−41x1x2=(2m−2)2−4(m2−2m)=4m2−8m+4−4m2+8m=4.x1−x2=±2,即x1−x2的值为2或−2.(2)∵x12+x22=10，∴(x1+x2)2−2x1x2=10，∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，4m2−8m+4−2m2+4m=10，m2−2m−3=0，∴m1=3, m2=−1即m的值为3或−1.【答案】−2；−15(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .【考点】根与系数的关系【解析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）把m、n可看作方程7x2−7x−1=0，利用根与系数的关系得到m+n=1，mn=−17，再利用因式分解的方法得到m2n+mn2=mn(m+n)，然后利用整体的方法计算；（3）把p、3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，利用根与系数的关系得到p+3q=9，p⋅(3q)=6，再利用配方法得到p2+9q2=(p+3q)2−6pq，然后利用整体的方法计算；【解答】解：(1)x1+x2=−105=−2，x1x2=−15.故答案为：−2；−15.(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，∴m，n可看作方程7x2−7x−1=0的两个根，∴m+n=1，mn=−17，∴m2n+mn2=mn(m+n)=−17×1=−17.(3)∵p，q满足p2=9p−6，3q2=9q−2，∴9q2=27q−6，即(3q)2=9⋅(3q)−6，∴p，3q可看作方程x2−9x+6=0的两个根，∴p+3q=9，p⋅(3q)=6，∴原式=(p+3q)2−6pq=92−6×2=69 .32.【答案】【考点】根与系数的关系【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.关于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）,当方程有两根据x1、x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.据此求解即可.【解答】解：x1+x2=−ba =−−21=2.故答案为：2.33.【答案】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．【考点】根与系数的关系【解析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x1+x2−ba=4，x1x2=ca=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【解答】解：(1)∵x1+x2=4，x1x2=2，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=42=2．(2)(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42−4×2=8．34.【答案】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．【考点】根与系数的关系【解析】将x=1代入方程x2+x+a−1=0可得a的值，再将a的值代回方程，解方程得出另一个根．【解答】解：将x=1代入方程x2+x+a−1=0得1+1+a−1=0，解得a=−1，方程为x2+x−2=0，解得x1=−2，x2=1．所以另一个根为−2．解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．【考点】根与系数的关系 【解析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=3，再利用通分和完全平方公式把x 2x 1+x 1x 2变形为(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=6，x 1x 2=3， 所以x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=62−2×33=10．36.【答案】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．【考点】根与系数的关系 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）将x 12+x 22变形为(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果； （2）将1x 1+1x 2变形为x 1+x 2⋅，再代入计算即可求得结果；（3）将(x 1−5)(x 2−5)变形为x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25，再代入计算即可求得结果； （4）将|x 1−x 2|变形为√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2，再代入计算即可求得结果． 【解答】解：∵ x 1，x 2是方程x 2+2x −2007=0的两个根，∴ x 1+x 2=−2，x 1⋅x 2=−2007．（1）x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2=(−2)2−2×(−2007)=4018；（2）1x 1+1x 2=x 1+x 2⋅=−2−2007=22007；(3)(x 1−5)(x 2−5)=x 1⋅x 2−5(x 1+x 2)+25=−2007−5×(−2)+25=−1972； （4）|x 1−x 2|=√(x 1−x 2)2=√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√(−2)2−4×(−2007)=4√502．解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．【考点】根与系数的关系 【解析】（1）直接利用根与系数的关系解答即可；（2）通分变形后，整体代入（1）中的数值得出答案即可． 【解答】 解：（1）∵ x 1、x 2是方程2x 2+x −3=0的两个根， ∴ x 1+x 2=−12，x 1⋅x 2=−32； （2）原式=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=(−12)2−2×(−32)−32 =−136．38.【答案】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.【考点】根与系数的关系 【解析】(1)由根与系数的关系可得x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1，将其代入到1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2即可得；(2)将x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1代入到(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2即可得；(3)根据x 22−x 12=−(x 12−x 22)，结合(2)中结果即可得．【解答】解：(1)∵ x 1，x 2是方程x 2+x −1=0的两根， ∴ x 1+x 2=−1，x 1x 2=−1， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−1−1=1；(2)(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1+4=5；(3)x 22−x 12=(x 2−x 1)(x 2+x 1)当x 1<x 2时，x 22−x 12=√5×(−1)=−√5， 当x 1>x 2时，x 22−x 12=−√5×(−1)=√5.39. 【答案】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．【考点】根与系数的关系 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673，再将(x 1+2)(x 2+2)变形为x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4代入计算即可求解． 【解答】由一元二次方程的根与系数的关系得到x 1+x 2=13，x 1⋅x 2＝−673， (x 1+2)(x 2+2)＝x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4 ＝−673+2×13+4 ＝−66813．40.【答案】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0 ∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1． 【考点】根与系数的关系 【解析】（1）先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，再利用完全平方公式变形得到x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算即可；（2）根据一元二次方程(k −1)x 2+(k 2−1)x +(k −1)2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k 的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．【解答】 解：（1）∵ 一元二次方程的△=b 2−4ac =32−4×2×(−1)=17>0， 由根与系数的关系得：x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−12，∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(−32)2−2×(−12)=134；（2）由根与系数的关系知：α+β＝k 2−1k−1=−k −1，αβ=(k−1)2k−1=k −1，α2+β2=((α+β)2−2αβ=(k +1)2−2(k −1)=k 2+3 ∴ k 2+3=4， ∴ k =±1， ∵ k −1≠0∴ k ≠1， ∴ k =−1，将k =−1代入原方程：−2x 2+4=0， △=32>0，∴ k =−1成立， ∴ k 的值为−1．。

第2讲 根的判别式与根系关系题型一 用于参数方程根的判定【例1】关于x 的一元二次方程2(3)220x a x a -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求a 的取值范围． 【解析】（1）∵22(3)41(22)(1)0a a a ⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-⎣⎦≥，∴方程总有两个实数根；（2）∵[]2(3)22(2)(1)0x a x a x x a -+++=--+=，∴12x =，21x a =+， ∵13a +>，∴2a >．题型二 判别式求参数的取值范围【例2】若关于x 的方程22(1)2(2)10m x m x --++=有实数根，求m 的取值范围．【解析】分两种情况讨论：①210m -≠，此时[]222(2)4(1)0m m ∆=-+--≥，解得54m -≥且1m ≠±；②210m -=，即1m =±，此时方程为一元一次方程，显然有实数根. 综合①②两种情况，得出m 的取值范围为54m -≥．【例3】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解答】2(4(12)(1)0k ∆=--⨯-⨯->，且120k -≠，且10k +≥． 解得12k -<≤，且12k ≠．∴k 的取值范围是12k -<≤且12k ≠． 【点评】注意例2与例3的区别与联系．【例4】若关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值或取值范围. 【解析】原方程可化为下面两个方程：240x ax +-=①，240x ax ++=②， 方程①21160a ∆=+>，方程②22160a ∆=-≥．因为12∆>∆， 所以只可能20∆=，即4a =±．故4a =±． 题型三 判别式用于整数根问题例5 当m 是什么整数时，关于x 的方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数？ 解析：由两个方程都有实数根，得514m -≤≤，∵ m 为整数，∴ m ＝－1,0,1当m ＝0时，代入第二个方程，得250,x x -== 当m ＝1时，方程2440mx x -+=为212440,2x x x x -+===其根为方程2244450x mx m m -+--=为2450x x --=，其根为125,1x x ==- 当m ＝－1时，方程2440mx x -+=为2440x x -+=其根不是整数；综上，当m ＝1时，方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数题型四 判别式法求极值例6 若x ，y 是实数，且224644m x xy y x y =-+--,试确定m 的最小值解析：解法一：将原等式改写为2246440x xy y x y m -+---=，即22(44)640x y x y y m -++--=，∵ x 是实数，∴ 判别式△≥0，即22(44)4(64)0y y y m +---≥，配方，得28(3)8840y m --++≥，∴ 当y ＝3时，m 有最小值－22解法二：2222224(1)(22)64(22)(22)2(3)22m x y x y y y y x y y =-++++--+=--+-- ∴ 当x －2y －2＝0且y －3＝0时，即x ＝8且y ＝3时，m 取得最小值－22针对练习11、当k ＝ 时，关于x 的二次三项式22(1)7x k x k -+++是完全平方式 解：－3或22、已知关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，求k 的值 解：∵ 关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，∴△＝0且k －1≠0∴ 221[(1)]4(1)03204k k k k ----⋅=⇒-+=，解得k ＝1(舍去)或k ＝2，∴ k ＝23、m 为何值时，关于x 的方程2(1)230m x mx m -+++= （1）有两个实根？ （2）只有一个实根？ （3）有实根？解：（1）由题意得m ≠1且△≥0，得312m m ≤≠且，∴当312m m ≤≠且时，方程有两个实数根 （2）由题意，方程为一元一次方程，此时m －1＝0, ∴当m ＝1时，方程为2x ＋4＝0，方程只有一个实数根（3）①当m ＝1时，方程2x ＋4＝0，方程有一个实数根；②当m ≠1时，由题意得23=2)4(1)(3)8120.2m m m m m ∆--+=-+≥≤（解得 ∴ 当312m m ≤≠且时，方程有两个实数根。

2009年上海市中考数学试卷【精品】一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（2009•上海）抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．（m，n）B．（﹣m，n）C．（m，﹣n）D．（﹣m，﹣n）2．（2009•上海）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正六边形B．正五边形C．正四边形D．正三边形3．（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．计算（a3）2的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．a﹣15．（2009•上海）不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．﹣3＜x＜16．（2009•上海）用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y﹣3=0 B．y2﹣3y+1=0 C．3y2﹣y+1=0 D．3y2﹣y﹣1=0二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（2009•上海）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_________元（结果用含m的代数式表示）．8．（2009•上海）如果从小明等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是_________．9．（2009•上海）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量，如果用向量，表示向量，那么=_________．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为BC上的点，连接AM，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离．11．（2009•上海）在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA=_________．12．（2009•上海）将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_________．13．（2009•上海）方程的根是x=_________．14．（2009•上海）分母有理化：=_________．15．（2009•上海）如果关于x的方程x2﹣x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=_________．16．反比例函数图象的两分支分别在第_________象限．17．（2009•上海）已知函数f（x）=，那么f（3）=_________．18．（2009•上海）在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是_________．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（2009•上海）已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）．（1）添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是_________命题，命题2是_________命题（选择“真”或“假”填入空格）．20．（2009•上海）在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．21．（2009•上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，连接AP．当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ 表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．22．（2009•上海）为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测次数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10人数 1 1 2 2 3 4 2 2 2 0 1（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是_________；（2）在所有被测试者中，九年级的人数是_________；（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于6的人数所占的百分率是_________；（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是_________．23．（2009•上海）计算：24．（2009•上海）解方程组：25．（2009•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=8，∠B=60°，BC=12，连接AC．（1）求tan∠ACB的值；（2）若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．2009年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（2009•上海）抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．（m，n）B．（﹣m，n）C．（m，﹣n）D．（﹣m，﹣n）考点：二次函数的性质。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。

②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。

考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。

【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2（20XX 年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。

例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。

求α2＋3β2＋4β的值。

解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。

中考数学第一轮复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系mX+nx+m+3m=0有一个根为零，贝U m 的值等于2 24. 关于X 的一元二次方程 2X — 3x — a +1=0的一个根为2 21） X+5x+m — 3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（）A . 1B . 2C 【参考答案】 1. 5X 2— X — 3=0 5 — 1 — 32. — 33. ( X — 1) (X +2) 5. D 6.B♦【考点聚焦】知识点:元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求： 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母的取值范围; 2. 掌握韦达定理及其简单的应用;3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式;4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题♦【备考兵法】♦【课前热身】 1.方程(2X — 1) ( 3X +1) =X 2+2化为一般形式为，其中 a= ___ , b= ___ , c=3.关于X 的一元二次方程2X +mx+ n=0的两个根为 X 1=1, 2X 2=— 2,则x+mx+n 分解因式的结果A . 1B . 43 C732.关于X 的一元二次方程2，则a 的值是（）5.若关于X 的一元二次方程（m- .对含有字母系数1考查重点与常见题型〗1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况, 有关试题出现在选择题或填空题中， 女口：关2于X 的方程ax — 2x + 1 = .0中，如果a<0，那么根的情况是() (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根2. 利用一元二次方程的根与系数 的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中 出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如: 设x i ，X 2是方程2x 2— 6x + 3 = 0的两根，则x i 2+ X 22的值是() (A ) 15 (B ) 12 (C ) 6 (D ) 33. 在中考试题中常出现有关根的判别式、 根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出 现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应 用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 解(虽然是原方程的解)一定要舍去. 易错知识辨析:(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意:①根的判别式b 2 -4ac 二0 ;工0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的 ♦【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式X 1,2 =b 2 -4ac <0u —元二次方程 ax 2 +bx + c = 0(a h 0 12. 一元二次方程根与系数的关系(C )没有实数根(D )不能确定凡不满足实际问题的②二次项系数a关于 X 的一元二次方程ax 2 + bx + C = 0(a 工0 )的根的判别式为・(1) b 2 — 4ac >0u —元二次方程ax 2 +bx + c = da H 0)有两个实数根，即(2) 2b — 4ac =0u —元二次方程有.相等的实数根，即 X 1 = X2 =实数根.2若关于x 的一元二次方程ax + bx+ c=0( a^O)有两根分别为x 1 ,他，那么X j +X 2 =♦【典例精析】例1 (四川绵阳)已知关于X 的一元二次方程 X 2 + 2 ( k — 1) X + k 2-1 = 0有两个不相等 的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由. 【分析】这是一道确定待定系数 要考生具备分类讨论的思维能力.2 2=4k — 8k + 4 — 4k + 4 =•••原方程有两个不相等的实数根,—8k + 8 >0,解得k < 1,即实数k 的取值范围是 k v 1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2 ( k — 1 )• 0 + k 2— 1 = 0 ,解得k = — 1或k = 1 (舍去).即当k = — 1时，0就为原方程的一个根.此时，原方程变为 X 2— 4X = 0，解得X 1 = 0 , X 2 = 4，所以它的另一个根是 4.例2 (北京)已知下列n (n 为正整数)个关于 X 的一元二次方程:2— 1=0m 的一元二次方程，？又讨论方程解的情况的优秀考题，需【答案】(= [ 2 ( k — 1)]2— 4 ( k 2— 1)(1)2 C八(2)2+2X — 3=02+ (n — 1) X — n=0 (n )(1)请解上述一元二次方程(1), (2), (3) ( n );(2)请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出 .一条即可. 【分析】由具体到一般进行探究.【答案】(1) <1> (X+1) (X — 1) =0, 所以 X 1 = — 1 , X 2=1 . <2>(X+2) (X — 1) =0，所以 X 1=— 2, X 2=1 .<3> (X+3) (X — 1) =0，所以 X 1=— 3, X 2=1 .但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去.♦【迎考精练】一、选择题<n> (x+n ) (X — 1) =0，所以 X 1=— n , X 2=1.（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1 ;都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.【点评】本例从教材要求的基本知识出发， 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程 根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查. 例3 （江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2: 1在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各 为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m ?【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm 贝y 长为2xm,根据题意，得(X — 2) • (2x — 4) =288.解这个方程，得X 1=— 10 （不合题意，舍去），X 2=14. 所以 x=14, 2x=2X 14=28.答：当矩形温室的长为 28m,宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288n i .1 解法二：设矩形温室的长为 xm,则宽为一xm.2根据题意，得（ 解这个方程，得 1 -X — 2) • (X — 4) =288.2x i =— 20 (不合题意，舍去)，X 2=28.1 所以 x=28X — x= —21X 28=14.2 答：当矩形温室的长为 28m宽 为14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m .【解析】在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同,1.（台湾）若a 、b 为方程式x 2/（x+1）=1的两根，且a >b ,则-=bA. — 5两个相等的实数根，则下列结论正确的是3.（四川成都）若关于X 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是为（ ）A. 2006 设方程x 2— 4x — 1=0的两个根为X 1与X 2，则X 1X 2的值是（）A. — 4A. X 2-2x -1 =02.X -2x +3 = 0C. X 2 = 2^/3x -32.X -4x +4 = 0A. a = 0 a =2.a =1 D . a = 0 或 a = 26.（山东烟台） 设a, b 是方程 2 2X + x-2009 =0的两个实数根，则a + 2a+b 的值为（ （湖北十堰） 下列方程中, 有两个不相等实数根的是（（四川眉山） 若方程X 2-3x-1=0的两根为X 1、X 2，则 丄+丄 的值为X 1 X 2A. 310 .（山东东营）若n （ n H 0）是关于x 的方程X 2 +mx + 2n = 0的根，贝U m +n 的值为（D. 32. （2.009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2ax +bx +c = 0(aH0)满足 a + b + c = 0 , 那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax 2 + bx+ c = 0（aH0）是“凤凰”方程，且有A. a = cB. a = bC. b = CD. a = b = CB.k 》_1 且 kH0 C. k<1D.kc1 且k H 04.（内蒙古包头） 关于x 的一元二次方程2X -mx+2m —1 = 0的两个实数根分别是 为、X 2 ,2则（X 1 -X 2）的值是A. 1B . 12C . 13D . 255.（湖北荆州） 关于x 的方程ax 2 -（a +2）x +2=0只有一解（相同解算一解），则a 的值（湖北宜昌） .2007A.1B.2C.-1D.-2二、填空题1.（上海市）如果关于x的方程X2 - x + k =0 （k为常数）有两个相等的实数根，那么2.（山东泰安）关于X的一元二次方程-X2+（2k +1）x + 2-k2=0有实数根，贝U k的取值范围是3.（广西崇左）_2元二次方程X +mx+ 3=0的一个根为—1，则另一个根为4.（广西贺州）已知关于X的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是三、解答题1.（山东淄博）已知X i, X2是方程X2-2x +a =0的两个实数根，且Xi + 2x2=3-42 .(1)求x i, X2及a的值;(2)求X|3 -3x i2+2x i +x2 的值.2.（广东中山）已知：关于X的方程2x2+kx-1=0（1 ）求证：方程有两个不相等的实数根;（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.3.（重庆江津区）已知a、b、c分别是△ ABC的三边，其中a= 1 ,c = 4，且关于x的方程X2 -4x +b = 0有两个相等的实数根，试判断^ ABC的形状.2 24. (湖南怀化)如图，已知二次函数y=(x +m) + k-m的图象与X轴相交于两个不同的点A(Xi,O)、B(X2,O)，与y轴的交点为C .设△ ABC的外接圆的圆心为点P .(1 )求0卩与y轴的另一个交点D的坐标;(2)如果AB恰好为O P的直径，且△ABC的面积等于J5，求m和k的值.【参考答案】选择题5.(湖北黄石)已知关于X的函数y=ax2+ x+1 （a为常数）(1 )若函数的图象与X轴恰有一个交点，求a的值;(2 )若函数的图象是抛物线，且顶点始终在X轴上方，求a的取值范围.42 2 2 2又••• X 1 +X 2 =(X 1 +X2 ) —2X 1X 2 =7 ••• m —2(2m —1 )=7 得 口 =—1 , m 2 =5，而 当m=5时，原方程的判别式 △ =25-4x9 = —11 v 0，此时方程无解，/• m=5不合.题I X 1 +X 2 1(X 1 _X2 $ =(片 +X2 ) —4X 1X 2 =(-1 ) —4^(—3)=13，故选 C"x = -3I Xi + X = im本题易出错，学生易在求得叶=-1或m 2 =5的两个值后，代入] 2— ，求出.X 2 = 2m — 12 2(X 1 —X 2 ) =(X 1中X 2 ) —4X 1X 2 =13或—11,易漏掉检验方程是否存在实根D 【解析】本题考查方程的有关知识，关于 X 的方程ax 2 - (a + 2)x + 2 = 0只有一解,有两个相等等的实数根，(a +2 2 —4aL2=0 ,解得a =2，故选D. 6. 7. 8. 9. 10. 填空题 1.1. 2. 3. 4.【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知:"x, + X 2 = m x ,.X 2 = 2m — 15.有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a =0 ,②该方程是一元二次方程，方程2. k>_9 43.4.4-11-解答题収1 + X 2 =2,1.解：(1)由题意，得｛[x 1 +2x 2 =3 —V 2.解得X t =1 ,X 2 =1 -血.(2)法一： 由题意，得X ： —2捲一1 =0 .所以 x 1^ -3x 1^2x 1 +x , = x 13 -2x 12 -x 1 -x 1^3x 1 +x 2=—x|2 +2x 1 +1 +x i +X 2 —1 =2 —1 =1 .法二：由题意，得为2 =2为+1，3 2所以 x 1 -3x 1 +2x 1 +x 2 = ^(2xi +1)—3(2为 +1)+2x 1+x 22= 2xi + 捲 一6为一3+2捲 +x 2 = 2(2xi +1) —3为一3+x 2= 4X| +2 —3x i —3 + x ? = X i + x ? —1 =2 —1 =1 .2.解：(1) 2x 2 +kx-1 =0 ,氐=k 2 -4x2x(-1) = k 2 +8,2 2无论k 取何值，k > 0，所以k +8〉0，即也>0 ,2/.方程2x + kx -1 = 0有两个不相等的实数根.k1 (2)设 2x2+kx —1=0的另一个根为 x ，贝y x-1=-- , (―1Lx = —-2 21解得：x=—, k=1,21/. 2x 2 +kx —1 =0的另一个根为一，k 的值为1.23.解：•••方程X 2 -4x+b =0有两个相等的实数根•••△ =(Y)2-4b=0/• b=4.•/ c=4.••• b=c=4.所以 a =X 1 X 2 =(1+间(1 -间=—1 .•••△ ABC为等腰三角形.4-12--13 -4.解（1 ）易求得点C 的坐标为（0, k ）由题设可知x 1, x 2是方程（x + m ）2+k-m 2 =0即 X 2 +2mx+k =0 的两根，故 x 1,2 = —2m ±J (]2必竺，所以 X 1 + x^ -2m, x^x^ k 如图3,vo P 与y 轴的另一个交点为 D,由于AB CD 是O P 的 两条相交弦，设它们的交点为点 0连结DB•••△ AO 3A DOS" O D /A^B OC X 1X 2 k |k=—k=1 y A C 由题意知点C 在y 轴的负半轴上，从而点 D 在y 轴的正半轴上, 图3 所以点D 的坐标为（0, 1）（2）因为AB 丄CD AB 又恰好为O P 的直径，则C 、D 关于点0对称, 所以点C 的坐标为（0,-1），即k = -1）又 AB = X2 -% =J (X 2 + x 』2 -4x^2 = J (-2m)2 -4k = 2j m 2 - k = 2j m 2 +1 , A A 厂 一所以 ABC = 1 AB^OC = X 2j m 2 +1X 1 =75解得 m = ±2.2 2 5.解：（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与 x 轴 只.有一个交点（—1,0）.当a H0时，依题意得方程ax 2 +x +1 =0有两等实数根. 1:b =1 -4a =0，”•. a =-4c 1 ”•.当a=0或a= 时函数图象与x 轴恰有一个交点.44a -1 1（2）依题意有 ---- >0分类讨论解得a > -或a V 0.44a 1 当a 》—或a<0时，抛物线顶点始终在 x 轴上方.4。

轧东卡州北占业市传业学校宁阳实验九年级数学<根与系数的关系>北师大假设一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0〔a ≠0〕有两个实数根a2ac4b b x 221-±-=，那么有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====。

所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：如果2ax ＋b x ＋c ＝0〔a ≠0〕的两根分别是1x ,2x ，那么1x +2x ＝b a -， 21x x ⋅＝ca。

这一关系也被称为韦达定理。

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋p x ＋q ＝0，假设1x ,2x 是其两根，由韦达定理可知，1x +2x ＝－p ，21x x ⋅＝q ，即p ＝－(1x +2x )，q ＝21x x ⋅，所以，方程2x ＋p x ＋q ＝0可化为2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0，由于1x ,2x 是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0。

因此有以两个数1x ,2x 为根的一元二次方程〔二次项系数为1〕是2x －(1x +2x )x ＋21x x ⋅＝0。

例1、方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。

分析：由于了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根。

但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值。

解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7。

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得1x ＝2，2x ＝－35。

所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7。

一元二次方程专题复习（二）根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，那么反过来，如果x 1，x 2满足x 1+x 2=p ，x 1x 2=q ，则x 1，x 2是一元二次方程x 2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．【典型例题】应用一：已知一个根，求另一个根；例1 ： 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a ，方程x 2＋1998x-1999=0的小根为b ，求a-b 的值．解 : 先求出a ，b ．由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达定理知，另一根为219981-，于是可得a=1.又从观察知，1也是方程x 2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．所以a-b=1-(-1999)=2000．应用二：求根的代数式的值不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：① ②③ ④⑤例2： 已知二次方程x 2-3x ＋1=0的两根为α，β，求：（1）βα11+ （2）22βα+ (3)α3＋β3解： 由韦达定理知 ： α+β=3， α·β=1．（1）31311==+=+αββαβα（2）()72912322222=-=⨯-=-+=+αββαβα (3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；例3： 设方程4x 2-2x -3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．解： 因为α是方程4x 2-2x -3=0的根，所以4α2-2α-3＝0，即 4α2=2α＋3．由韦达定理可知，21=+βα.所以4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．例4： 已知α，β分别是方程x 2＋x -1=0的两个根，求2α5+5β3的值．解： 由于α，β分别是方程x 2＋x -1=0的根，所以α2+α-1=0，β2+β-1=0，即 α2=1-α，β2=1-β．α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α = -3(1-α)+2α=5α-3，β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．说明： 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．应用三：与两根之比有关的问题；例5： 已知x 1，x 2是一元二次方程 4x 2-(3m -5)x -6m 2＝0的两实数根，且23x x 21=，求m 的值.解： 首先，△=(3m -5)2＋96m 2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知从上面两式中消去k ，便得即 m 2-6m+5=0， 所以m 1=1，m 2=5．应用四：求作新的二次方程例6： 求一个一元二次方程，使它的两根分别是212313， 。