福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高二上学期期末教学质量检查数学(文)试题

福建省龙岩一中2018-2019学年高二（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 52.已知向量，，，，则在方向上的投影为（）A. B. 8 C. D.3.三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（）A. B. C. D.4.执行如图的程序框图，若输出S的值是55，则判断框内应输入（）A. ？B. ？C. ？D. ？5.在△ABC中，a=15，b=10，sin A=，则sin B=（）A. B. C. D.6.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A. B. C.D.7.设l为直线，α，β是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则B=（）A. B. C. 或 D. 或9.函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，）上仅有一个最值，且为最大值，则实数ω的值不可能为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量，，，，，，则n=______．14.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24，36），[36，48），…[84，96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差是______15.在△ABC中，B=，AB=8，BC=5，则△ABC外接圆的面积为______16.若直线y=x+2与曲线＞恰有一个公共点，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B=b cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，c=2，求a的值．18.已知角θ的终边与单位圆x2+y2=1在第四象限交于点P，且点P的坐标为（，y）．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19.南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．20.在平面直角坐标系xOy中，设向量，sinα），，cosβ），，．（1）若，求sin（α-β）的值；（2）设，0＜β＜π，且 ∥，求β的值．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB AD，AD DC．PA底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．（1）求证：平面PAD平面PDC；（2）求证：MN∥平面PAD；（3）求三棱锥C-PBD的体积．22.已知向量，，，，设函数，，．（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，若不等式f（x）+h（x）+sin2x-m＜0有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}，∴集合M中必有元素1，2，3，4，且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，∴满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是：．故选：B．集合M中必有元素1，2，3，4，且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，由此能求出集合M的个数．本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查子集、真子集的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，，则•=1×2+2×3=8，||==，则在方向上的投影为==，故选：D．在方向上的投影为，代值计算即可．本题考查了向量的投影的定义，属于基础题3.【答案】D【解析】解：∵a=30.7＞30=1，0＜b=0.73＜0.70=1，c=log30.7＜log31=0，∴c＜b＜a．故选：D．由指数函数和对数函数的单调性，可得a，b，c的范围，进而可得答案．本题考查函数值的大小的比较，利用函数的单调性得出取值的范围是解决问题的关键，属基础题．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2不满足判断框内的条件，执行循环体，S=3，n=3不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-6，n=4不满足判断框内的条件，执行循环体，S=10，n=5不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-15，n=6不满足判断框内的条件，执行循环体，S=21，n=7不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-28，n=8不满足判断框内的条件，执行循环体，S=36，n=9不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-45，n=10不满足判断框内的条件，执行循环体，S=55，n=11由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为55．故判断框内的条件为n≥11？．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得：sinB===．故选：D．由正弦定理代入已知即可求值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：任取x＜0则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2-2x，∴f（-x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（-x）=-f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=-x（x+2）故选：A．利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取x＜0则-x＞0，代入当x≥0时，f（x）=x2-2x，求出f（-x），再根据奇函数的性质得出f（-x）=-f（x）两者代换即可得到x＜0时，f（x）的解析式本题考查奇函数的性质，考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用，做对此类题的关键是正确理解定义及本题的做题格式．7.【答案】B【解析】解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；对于B，若 lα，lβ，由线面垂直的性质得α∥β，故B正确；对于C，若lα，l∥β，则αβ，故C错误；对于D，若αβ，l∥α，则 l⊂β或l∥β或l与β相交．故选：B．利用空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中的线面关系，是中档题．8.【答案】A【解析】解：∵a2+c2-b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∵B（0，π），∴B=．故选：A．由已知及余弦定理可得cosB的值，结合B的范围及特殊角的三角函数值可得B值．本题考查余弦定理解三角形，涉及特殊角的三角函数值的应用，属基础题．9.【答案】B【解析】解：如右图示，将点（0，1）代入，得2sinφ=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，∴y=2sin（ωx+），将点（，0）代入，得ω=2，故选：B．首先，根据图象过点（0，1），将改点坐标代入，得到φ=，然后，将点（，0）代入，得到ω=2，从而容易得到结果．本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==8；面积为S=π•=16π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：D．根据题意，分别计算大圆、小圆的面积，求对应面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选：A．由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．12.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）在（）上仅有一个最值，且为最大值，∴ω•+＜2kπ+＜ω•+＜2kπ+，k Z，令k=0，求得ω＜，故选：C．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象，ω•+＜2kπ+＜ω•+＜2kπ+，k Z，求得ω的范围，从而得出结论．本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的图象，属于基础题．13.【答案】-2【解析】解：∵向量，，，=+，∴（0，2）=（2，4）+（-2，n）=（0，4+n），∴4+n=2，∴n=-2，故答案为：-2．由题意利用=+，用待定系数法求得n的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的加减法，属于基础题．14.【答案】0.52【解析】解：由频率分布直方图得：该生卷面分有[36，60）内的频率为：1-（0.015+0.015+0.005+0.005）×12=0.52．∴按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差是0.52．故答案为：0.52．由频率分布直方图求出该生卷面分有[36，60）内的频率，由此能求出按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差．本题考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】【解析】解：在△ABC中，∠B=，AB=8，BC=5，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=64+25-80×=49，∴AC=7．再由正弦定理可得2R===，∴△ABC的外接圆半径R=．∴△ABC外接圆的面积为π•R2=，故答案为：．由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得2R=，求得R的值，从而求得△ABC的外接圆的面积．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】m＞4或m=2【解析】解：曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，直线y=x+2与曲线相切时，=，∴m=2，直线y=x+2与曲线有两个交点时，将（0，2）代入，可得m=4，∴直线y=x+2与曲线恰有一个公共点时，实数m的取值范围为m＞4或m=2．故答案为：m＞4或m=2．曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，画出图象，结合图象，即可得出结论．本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）a sin B=b cos A，由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，∵B是三角形内角，∴sin B≠0，∴tan A=，A是三角形内角，∴A=．（Ⅱ）∵b=3，c=2，由（Ⅰ）得：由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bc cos A…（9分）=…（11分）∴…（12分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．（Ⅱ）直接利用余弦定理求解即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）由已知θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P（，y），得（）2+y2=1，y＜0，解得y=-．∴tanθ==；（2）∵tanθ=，∴==．【解析】（1）首先由已知求出y值，然后利用任意角的三角函数定义求出tanθ的值即可；（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可得答案．本题考查了三角函数的基本定义、诱导公式以及基本关系式的运用，属于基础题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]分的人数为0.012×10×100=12，竞赛成绩在[80，90）的人数为0.02×10×100=20，故受奖励分数线在[80，90）之间，……（3分）设受奖励分数线为x，则（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，解得x=86，故受奖励分数线为86．…（6分）（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在[86，90）的人数为8，分数在[90，100]的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[86，90）的抽取2人，分数在[90，100]的抽取3人，……（8分）设分数在[86，90）的2人分别为A1，A2，分数在[90，100]的3人分别为B1，B2，B3，所有的可能情况有10种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），满足条件的情况有3种：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），故所求的概率为p=．……（12分）【解析】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]分的人数为12，竞赛成绩在[80，90）的人数为20，由此能求出受奖励分数线．（2）受奖励的20人中，分数在[86，90）的人数为8，分数在[90，100]的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[86，90）的抽取2人，分数在[90，100]的抽取3人，设分数在[86，90）的2人分别为A1，A2，分数在[90，100]的3人分别为B1，B2，B3，利用列举法能求出结果．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（1）因为=（cosα，sinα），=（-sinβ，cosβ），，．所以||=||=||=1，且•=-cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α-β）．……（3分）因为|+|=||，所以|+|2=2，即2+2•+2=1，所以1+2sin（α-β）+1=1，即．……（6分）（2）因为，所以，．故=（，cos）．……（8分）因为 ∥，所以．化简得，，所以．…（12分）因为0＜β＜π，所以＜＜．所以，即．……（14分）【解析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可．（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力．21.【答案】（1）证明：∵PA底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA CD；又AD DC，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD平面PAD，又CD⊂平面PDC，∴平面PAD平面PDC．（2）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，∵M，E分别是PC，PD的中点，∴ME∥CD，且=，又AB AD，AD DC，BN=3AN，AB=2，∴AN∥CD，AN==，∴EM∥AN，EM=AN，∴四边形MEAN为平行四边形，∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD．（3）解：∵PA底面ABCD，S△BCD==，∴V C-PBD=V P-BCD=S△BCD•PA=．【解析】（1）由PA底面ABCD得PA CD，又CD AD得CD平面PAD，故而平面PAD平面PDC；（2）取PD的中点E，连接ME，AE，则可证四边形AEMN是平行四边形，于是MN∥AE，得出MN∥平面PAD；（3）以三角形BCD为棱锥的底面，则棱锥的高为PA，代入体积公式计算即可．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵，∴，∵，∴∴，∴f（x）的值域为，，（2）由，令t=cos x，则当，时，，且t=cos x为减函数又在，上时减函数，∴f（x）在，上是增函数，当，时，，且t=cos x为减函数又在，上时增函数，∴f（x）在，上是减函数综上，f（x）的单调增区间为，，单调减区间为，．（3）∵函数，x[0，π]的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，∴，，，依题意，不等式m＞f（x）+h（x）+sin2x在，有解，设=，，令，∵，∴，，则，，，∴函数y=f（x）+h（x）+sin2x的值域为，．∴＞故实数m的取值范围为，．【解析】（1）根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；（2）根据复合函数的单调性即可求出单调区间；（3）先求出h（x），由不等式f（x）+h（x）+sin2x-m＜0有解，转化为m＞f（x）+h（x）+sin2x，根据二次函数的性质即可求出．本题主要考查函向量的数量积，正弦函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，不等式成立的问题，属于中档题．。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.）1．等差数列的前项和为，若，则的值是 A ．25 B ．26 C ．27 D ．28 2．内角的对边分别为. 已知，则= A ． B ． C ． D ． 3．若动点到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程是 A ． B ． C ． D ． 4．内角的对边分别为. 已知，则的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5．若，则下列不等式恒成立的是 A ． B ． C ． D ．6．若实数满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤112y y x xy ，则的最大值是A ．B ．C ．D ． 7．如图，在长方体中，，若分别为线段,的中点，则直线与平面 所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ． 8．已知命题：“是的充要条件”， 命题：“”. 则下列结论正确的是A ．为假B ． 为真C ．为假D ．均为真9．已知是双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的半焦距，则的取值范围是A ．B ．C ．D ． 10．已知，是自然对数的底数，若函数与的图象与直线相切于同一点，则A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.） 11．曲线在点处的切线方程为 ． 12．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 ．13．如图，在正四棱柱中，,点为的中点，则点到平面的距离为 ． 14．如图，在中，且．若为的中点，则的最大值是 ．15．下列四个结论正确的序号是 ．（填上所有正确的序号）①函数在区间内无最大值； ②数列的前项和，对任意的正整数 总存在正整数，使得；③若方程有且仅有两个不同的实数根，则．三、解答题（共80分，解答写在答题卡的相应位置，应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 16．（本小题满分13分）已知正项等比数列中， （Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和． 17．（本小题满分13分）已知的内角的对边分别为, 且cos (2)cos 0a C c b A +-=． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，且．求的值． 18．（本小题满分13分）如图，在中，已知,,423PCB BPC PB ππ∠=∠==，点为的中点．若是绕直线顺时针旋转而成的，记二面角的大小为．（Ⅰ）当时，求证：平面平面;（Ⅱ）当时，求锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分13分）如图，某养殖户要建一个面积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙（旧墙的长度大于4米），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个4米的进出口.设矩形的宽为米，铁丝网的总长度为米.（Ⅰ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小?（Ⅱ）若由于地形限制，该养殖场的长与宽都不能超过32米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小？20．（本小题满分14分）已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，且椭圆经过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于两点，以为直径的圆恒过原点，试问原点到直线的距离是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由． 21．（本小题满分14分）已知函数21()ln ()2f x x x ax a R =-∈. （Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）对于区间内的任意两个不相等的实数，不等式1212(1)(1)1f x f x x x +-+>-恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）设3333ln 44ln 33ln 22ln n nS n +⋅⋅⋅+++=，试比较与的大小． （其中是自然对数的底数.）龙岩市一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 12. 13. 14.15. ②③三、解答题（共80分） 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）设数列的首项为，公比为.则 ································2分 解得： ··································5分 n n n n q a a 222111=⋅=⋅=-- ·································6分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）cos cos 2cos a C c A b A +=sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+= ··························2分 即()sin sin 2sin cos A C B B A +== ···························4分 ∵ ························6分（Ⅱ）11sin 22S bc A bc === ·········································8分()bc bc c b A bc c b a --+=-+=2cos 22222()362412322=+=+=+bc a c b ···························12分···································13分 18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题可知,········2分 当时，有C BC PC BC AC =⋂⊥,平面 ·········4分 平面平面平面 ······················6分（Ⅱ）如图，以点为坐标原点，在平面内垂直于的直线为轴，所在的直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系C-xyz ·························7分则 点为的中点 设平面的法向量为则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD m()()()()111111,,3,0,,0x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⎪⎩⎪⎨⎧=+=-030331111z y y x 取 ····································10分 又平面BCD 的法向量 ································11分 设锐二面角的大小为1313131cos ===α ································13分 19.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题可得⎪⎩⎪⎨⎧>->048000xx·············3分76480022=-⋅≥xx y 当且仅当 即时 当长为40米，宽为20米时，所用的铁丝网的总长度最小为76米. ······6分（Ⅱ）依题意⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<328000320x x ···························8分· ·······················9分 当时 函数在内单调递减当时 函数在内单调递增 ·········11分 函数在单调递增 当时当长为32米，宽为25米时，所用铁丝网的总长度最小. ········13分21.（本小题满分14分） （Ⅰ）当时，令得 ·································1分 在上递减，在上递增 ·····················3分 ·························4分 （Ⅱ）解：不妨设，依条件得：()()121211f x f x x x +-+<-即：()()()()11221111f x x f x x +-+<+-+恒成立设，上式恒成立，只须此函数在上单调递增 ········5分 得()ln 11ln 0h x x ax x ax '∴=+--=-≥即恒成立 ······································6分 令得，由得 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减 时， ··························8分又()ln 2ln3223g ==<经检验：当时也符合题意，综上得. ··································9分 （Ⅲ）由（2）得，且.·····································10分⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅+++≤+⋅⋅⋅+++2222333314131211ln 44ln 33ln 22ln n e n n 又()n n n⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯<+⋅⋅⋅+++1143132121114131212222 ······12分()1111111111111223341223341n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯-⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭··································13分 3333ln 2ln3ln 4ln 1234n n e +++⋅⋅⋅+<. ·······················14分。

福建省龙岩市非一级达标校2018-2019学年高二数学上学期期末教学质量检查试题 文（考试时间：120分钟 满分150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．下列命题中，正确的是 A ．若，则 B ．若,则 ,a b c d ><ac bc <ac bc >a b >C ．若，则D ．若，则 ,a b c d >>a c b d ->-22a b c c <a b <2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A ．真命题的个数一定是奇数 B ．真命题的个数一定是偶数C ．真命题与假命题的个数相同D ．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数3．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为 P 1=-y (0,2)1P A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．等差数列中，若，则 {}n a 472a a +=310122222a a a a ⋅⋅⋅⋅=…A ．B ．C ．D ．256512102420485．已知函数既存在极大值又存在极小值，那么实数的取值范32()1f x x mx mx =+++m 围是 A ．B ．C ．()0,3(),0-∞()3,+∞D ．()(),03,-∞+∞ 6．下面四个条件中，使成立的一个必要不充分的条件是 a b >A ． B ．C ．D ．2a b >-22a b >33a b >2a b >+7．若，则的最小值为 <≤02πα5sin sin y αα=+A ．B ．C ．D ．5678．平面四边形中，若,，则ABCD 1AB BC CD ===90,135ABC BCD ∠=︒∠=︒sin D ∠=ABCD9．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点，若为坐标原点，则2y x =A B OOA OB ⋅= A ． B ．C ．D ．316-3160-110．若函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是　()f x ()f x '1()y xf x '=11．若是椭圆上的点，点分别在圆:和圆:P 22198x y +=,Q R 1C 22(1)1x y ++=2C 上，则的最大值为22(1)1x y -+=PQ PR +A ．B ．C ．D ．987612．已知函数的图像过点，为函数的导函数，为自然()()y f x x R =∈(1,1)'()f x ()f x e 对数的底数．若恒成立，则不等式的解集为 '()1f x >()f x x >A ． B ． C ． D ．1(0,)e(0,1)(1,)+∞(,)e+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卡中.） 13．已知双曲线，那么它的两条渐近线所成的角为 ．C 14．若满足约束条件，则的最小值为 ．,x y 242520x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩3z x y =+15．数列依此规律，这个数列前项之和1,3,1,3,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,1,3, 44为 ．16．若长度为,,的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围24x +4x 28x +x 是 .三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分。

福建省龙岩一中2018-2019年高二（上）模块数学试卷（文科）（解析版）1 / 7福建省龙岩一中2018-2019学年高二（上）模块数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知正项等比数列{a n }，若a 2a 8=4，则a 5=（ ）A. B. 4 C. 2 D.2. 下列命题中的假命题是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，3. 设数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 4的值为（ ）A. 16B. 14C. 9D. 74. 在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形 5. 已知a ，b R ，且a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.B. C. D. 6. 在△ABC 中，sin = ，AB =1，AC =5，则BC =（ ）A. B. C. D.7. 等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ）A. B. C. 3 D. 88. 若变量x 、y 满足约束条件 ＜，则z =2x +3y 的最小值为（ ） A. 17 B. 13 C. 3 D. 19. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B （1+2cos C ）=2sin A cos C +cos A sin C ，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D.10. 在R 上定义运算：x *y =x （1-y ）若不等式x *（x -a ）＜1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B.C. D. R11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =1，则2a +3c 的最小值为（ ）A. B. C. 5 D.12. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1= ，2a n +1+3S n =3（n N *），若S n≤M 对任意的n N *恒成立，则实数M 的最小值为（ ）A. B. C. D. 4答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵正项等比数列{a n}，a2a8=4，∴a===2．5故选：C．利用等比数列的通项公式直接求解．本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：当x=1时，lgx=0，所以A正确；当x=0时，x2=0，所以x R，x2＞0不正确；当x=1时，2x2-=1，所以C正确；由指数函数的性质可知x R，2x＞0，所以D正确；故选：B．利用特殊值判断选项的正确性，即可得到结果．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2，∴．故选：D．利用递推关系：a4=S4-S3即可得出．本题考查了数列前n项和的概念、数列前n项和与数列的项之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】福建省龙岩一中2018-2019年高二（上）模块数学试卷（文科）（解析版）3 / 7 解：由2sinAcosB=sinC 知2sinAcosB=sin （A+B ），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB ．∴cosAsinB-sinAcosB=0．∴sin （B-A ）=0，∵A 和B 是三角形的内角，∴B=A ．故选：B ．根据三角形三个内角和为180°，把角C 变化为A+B ，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin （B-A ）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180°，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．5.【答案】C【解析】解：对于选项A ：当0＞a ＞b 时，不成立．对于选项B ：当1＞a ＞b ＞0时，lg （a-b ）＜0．故不成立．对于选项D ：当a ＞0＞b 时，不成立．故选：C ．主要利用排除法求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：∵sin =，∴cosA=1-2sin 2=1-2×（）2=-， ∵AB=1，AC=5，∴由余弦定理可得：BC===4．故选：D．由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosA，进而由余弦定理可得BC的值．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=-2，∴{a n}前6项的和为==-24．故选：A．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a n}前6项的和．本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．8.【答案】D【解析】解：画出变量x、y满足约束条件表示的可行域，如图，让目标函数表示直线y=-+在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得A（1，），所以z min=2-3×=1，故选：D．福建省龙岩一中2018-2019年高二（上）模块数学试卷（文科）（解析版）根据变量x、y满足约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．9.【答案】A【解析】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a．故选：A．利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．10.【答案】A【解析】解：由定义知x*（x-a）=x（a+1-x），所以原不等式可化为：x（a+1-x）＜1，即x2-（a+1）x+1＞0对一切实数x恒成立，所以△=[-（a+1）]2-4＜0，解得：-3＜a＜1，故选：A．利用新定义将不等式化为一元二次不等式在R上恒成立，只需判别式小于0即可．本题考查了对新定义的理解、一元二次不等式恒成立．属基础题．11.【答案】B【解析】5 / 7解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得．∴2a+3c=（2a+3c）（+）=+5+5≥2+5=2+5，当且仅当，即c=a时，取等号，故选：B．根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：由a1=，2a n+1+3S n=3（n N*），则2a n+3S n-1=3．两式相减，可得2a n+1-2a n+3a n=0，即．∵a1=，∴a n==3•2-n．那么S n==1．∴≤S n．要使S n≤M对任意的n N*恒成立．根据勾勾函数的性质，当S n=时，S n取得最大值为∴实数M的最小值为．故选：C．根据数列{a n}求解S n，利用不等式的性质求解．福建省龙岩一中2018-2019年高二（上）模块数学试卷（文科）（解析版）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7 / 7。

福建龙岩一中2018-2019学度高二上学期第一学段（模块）考试数学理试题〔总分值：150分 考试时间：120分钟〕第一卷〔选择题 共50分〕【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.请把答案填在答题卡上. A.x ∃∈R ，20x < B.x ∀∈R ，20x < C.x ∃∈R ，20x ≤ D.x ∀∈R ，20x ≤ 2.假设R a ∈，那么“2-=a ”是“2=a ”的()条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分又不必要 3.在△ABC 中，假设B a b sin 2=，那么A 等于〔〕 A.006030或 B.006045或 C.0060120或 D.0015030或4.假设b a <<0，且1=+b a ，那么在以下四个选项中，最大的是() A.12B.22a b +C.2abD.b5.在直角坐标系中，满足不等式y x≥的点(,)x y 的集合〔用阴影表示〕是〔〕A.B.C.D.6.在首项为57，公差为5-的等差数列{}na 中，最接近零的是第()项.A.14B.13C.12D.117.在等比数列{}n a 中，R a n ∈〔*Nn ∈〕，2616a a =，488a a +=，那么610a a =〔〕A.1B.3-C.1或3-D.13-或8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为,,a b c ，假设角C=120°，c =，那么()A.a b >B.a b <C.a b =D.a 与b 的大小关系不能确定9.在数列{}na中，假如存在常数T ()T N +∈，使得n T n a a +=关于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期.数列{}nx 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，假设121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，那么数列{}n x 的前2018项的和2012S 为〔〕A.1339B.1342C.671D.67210.在ABC ∆中，16BA BC ⋅=，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的一点，且x CP =.||||CB y CA +，那么yx 11+的最小值为() A 、67B 、127C 、3367+D 、33127+第二卷(非选择题共100分)【二】填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.将答案填在各题中的横线上. 11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c、假设21,3b c C π==∠=，那么a ＝__________.12.在等比数列{}na中，2,1654321-=++=++a a a a a a ，那么该数列的前12项的和为.13.变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，那么z=2x+y 的最大值为、14.假如关于任何实数x ，不等式220kx kx -+>都成立，那么 实数k 的取值范围是、15.将给定的25个数排成如图1所示的数表，假设每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表中所有数之和为50，那么表正中间一个数 33a＝ 【三】解答题：本大题共6小题，共80分、解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、 16.(本小题总分值13分)在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且AA cos 6sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π、〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕当6=a 时,求ABC ∆面积的最大值,并判断如今ABC ∆的形状、 17.(本小题总分值13分)11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 图1等差数列{}n a 满足：52=a ，2474=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S 、〔Ⅰ〕求通项公式na 及前n 项和nS ； 〔Ⅱ〕令nb =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T 、18.〔本小题总分值13分〕两个集合{}2,012<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=x x x B x mx x A ,命题p ：实数m 为小于6的正整数，命题q ：A 是B 成立的必要不充分条件.假设命题q p ∧是真命题，求实数m 的值. 19.〔此题总分值13分〕我炮兵阵地位于地面A 处，两观看所分别位于地面点C 和D 处，CD=6km ，∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图〕，求炮兵阵地到目标的距离.20.〔此题总分值14分〕如图,有一块边长为1〔百米〕的正方形区域ABCD ,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45〔其中点P ，Q 分别在边BC，CD 上〕,设,tan PAB t θθ∠==、〔Ⅰ〕用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值； 〔Ⅱ〕问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域阴影部分的面积S 最大为多少〔平方百米〕? 21、〔本小题总分值14分〕数列{}n a 满足11=a ，121+=+n n a a 〔*N n ∈〕.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{}n b 满足nn b n b b b b a )1(44441111321+=---- 〔*N n ∈〕，证明：数列{}n b 是等差数列；AB CD 45° 30° 75° 15°〔Ⅲ〕证明：32111132<++++n a a a 〔*N n ∈〕.龙岩一中2018-2018学年第一学期〔模块〕考试高二数学参考答案〔理科〕【一】选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A D D B C A A B D【二】填空题：11.1；12.-5；13.8；14.[0,8)；15.2. 【三】解答题：16.〔此题总分值13分〕 解：(Ⅰ)由有AA A cos 6sincos 6cossin =⋅-⋅ππ，……………………2分 故A A cos 3sin =，3tan =A .………………………………4分 又π<<A 0，因此3π=A .………………………………6分〔Ⅱ〕A bc c b a cos 2222-+=，∴2236b c bc +-=，∴36≤bc 、故三角形的面积3943sin 21≤==bc A bc S 、当且仅当b=c 时等号成立；又3π=A ，故如今ABC ∆为等边三角形、………………………………13分 17.〔此题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由可得⎩⎨⎧=+=+2492511d a d a ，解得13,2a d ==，……………2分，因此321)=2n +1na n =+-（；………4分n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知2n+1n a =，因此nb =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅……10分 因此nT =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1)……13分18.〔此题总分值13分〕解： 命题q p ∧是真命题，∴命题p 和q 基本上真命题………………………2分命题p 是真命题，即*,60N m m ∈<<因此⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=m x x x mx x A 1001………………………………5分{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=<-=210022x x x x x B ………………………………………7分命题q 是真命题，B 是A 的真子集，………………………………………9分那么211>m ②…………………………………………………………11分由①②得1=m .…………………………………………………………13分 19.〔此题总分值13分〕解：在△ACD 中， 45,6,60180=∠==∠-∠-=∠ACD CD ADC ACD CAD依照正弦定理有:,CD sin sin CD AD 326045==同理：在△BCD 中，,BDC BCD CBD 135180=∠-∠-=∠ 30,6=∠=BCD CD ，依照正弦定理有：CD sin sin CD BD 2213530==，在△ABD 中，,BDC ADC ADB 90=∠+∠=∠依照勾股定理有：42642213222==+=+=CD CD BD AD AB ，因此炮兵阵地到目标的距离为km 42.………………………………13分 20、〔此题总分值14分〕145,tan(45),1t DAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+ ---2分121.11t t CQ t t-=-=++ --------------------------------------------------------------4分11t PQ t+∴===+2---------------------6分,0 1.1BP t t CP t=≤≤=-解：（1）设则211 2.11t t l CP PQ QC t t t+=++=-++=++2=定值--------------------------------7分11(2)1221ABP ADQABCD t t SS S S t∆∆-=--=--+正方形 当-----------------------10分122(1)221t t =-++≤+ --------------------------------------------------12分当且仅当时取等号.------------------------------------------------------13分因此探照灯照射在正方形ABCD 内阴影部分的面积S 最大为)22(-平方百米.----14分21、〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕因为121+=+n n a a，因此)1(211+=++n n a a .〔2分〕因此数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列.〔3分〕 因此n n a 21=+，12-=n n a .〔4分〕〔Ⅱ〕因为n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，因此n n nb n b b b 24)(21=-+++ .〔5分〕即nn nb n b b b =-+++2)(221 ①〔6分〕因此1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②〔7分〕 ②-①得：n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③〔8分〕 因此212)1(++=-+n n nb b n ④〔9分〕④-③得212+++=n n n nb nb nb，即212+++=n n n b b b .〔10分〕因此数列{b n }是等差数列. 〔Ⅲ〕因为nn n n a a 212211211111=-<-=+++，〔12分〕设132111++++=n a a a S ，那么)1(211)111(21112322+-+=++++<n n a S a a a a a S 〔13分〕因此3213212112<-=-<++n n a a a S .〔14分〕。

2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：，，命题q：，，则A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题是真命题D. 命题是假命题【答案】C【解析】解：当时，成立，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，故A错误；命题是假命题，故B错误；命题是真命题，故C正确；命题是真命题，故D错误；故选：C．举出正例可知命题p为真命题；举出反例可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．2.在中，，，，则边c等于B. C. D.A.【答案】D【解析】解：，，，，则，即得，故选：D．根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键比较基础．3.若实数x，y满足，则的最小值为A. 2B. 1C. 0D.【答案】D【解析】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得，的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，，解得．故选：B．设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：，，a，b的等差中项是，又当且仅当时，等号成立，取得最小值5故选：C．先由等差中项求得，又，再构造基本不等式求解．本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．6.已知四棱锥的底面是正方形，且底面ABCD，，则异面直线PB与AC所成的角为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，所以，即异面直线PB与AC所成的角为，故选：B．由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设，则0，，1，，0，，0，，则1，，0，，设，，夹角为，则，即，即异面直线PB与AC所成的角为，得解．本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．7.若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为A. 或B. 或C.D.【答案】C【解析】解：不等式对一切实数x都成立，则，即，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C．根据题意得出，由此列出不等式组求出a的取值范围．本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．8.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则A. B. 1 C. 3 D. 4【答案】C【解析】解：由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，与抛物线方程联立，得，消去y可得：，，，解得：．故选：C．写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得p的值．本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．9.如图，已知顶角A为的三角形ABC满足，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足，当的面积取得最大值时，DE的最小值为A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：的面积．当且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，当时，取得最小值，故DE的最小值为，故选：B．易得且仅当时取等号，此时三角形ABC为等边三角形，设，则，，故DE的最小值为，本题考查了三角形面积的最值，函数思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.已知不等式的解集为，则______．【答案】3【解析】解：不等式的解集为，和b为的解，将代入方程得：，即，方程化为，将代入方程得：，解得：不合题意，舍去或，则．故答案为：3由不等式的解集，得到方程的解为1和b，将与代入求出a与b的值，即可求出的值．此题考查了一元二次不等式的解法，根据题意得出方程的解为1和b是解本题的关键．11.设等差数列的前n项和为，若，，则______．【答案】45【解析】解：，，所以，则．故答案为：45由减得到的值，然后利用等差数列的性质找出的和与的和即与的关系，由的值即可求出等差d的值，然后再利用等差数列的性质找出与d和的关系，把d和的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．12.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．【答案】5【解析】解：设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知海里，海里，，由正弦定理可得：，即，解得，，海里．故答案为：5．利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算AM即可．本题考查了解三角形的应用，属于基础题．13.如图，双曲线C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足，，则双曲线的离心率e的值为______．【答案】【解析】解：，可得，在中，，，在直角三角形ABF中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．故答案为：运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）14.已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．Ⅰ当且为真命题时，求实数x的取值范围；Ⅱ若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由得得，由得，若为真命题时，则p，q同时为真命题即，得，即实数x的取值范围是Ⅱ由，得，若p是q的必要不充分条件，则，则，即，即实数m的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，求出p，q为真命题的等价条件，结合为真命题时，则p，q 同时为真命题进行求解即可Ⅱ利用充分条件和必要条件转化为对应集合关系进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ若的面积为，求a，b的值；Ⅱ若，求的面积．【答案】本题满分为12分解：Ⅰ，，由余弦定理，可得：，的面积为，解得：，由可得：，分Ⅱ，，又由余弦定理，可得：，解得：，，，分【解析】Ⅰ由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，联立即可得解a，b的值．Ⅱ利用正弦定理可求，又由余弦定理可得，解得a，b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设是公比为正数的等比数列，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求证：数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ设是公比为q的等比数列，，，，可得，解得，则，；Ⅱ证明：，则，可得前n项和，由，可得．【解析】Ⅰ设是公比为q的等比数列，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项；Ⅱ求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证．本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．17.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．【答案】解：Ⅰ：依题意可得，解得，Ⅱ设投入B商品的资金为x万元，则投入A商品的资金为万元，设收入为万元，当时，，，则，当且仅当，解得时，取等号．当时，则，此时．，最大收益为17万元，答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．18.如图，平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，、，，．Ⅰ求证：平面ABF；Ⅱ求二面角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ平面平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，，平面ADEF，，四边形ADEF为梯形，、，，平面ABF．解：Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系．平面ABF的法向量1，，，，0，，0，，，0，，，设平面BDF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则，，二面角的正弦值．【解析】Ⅰ推导出，平面ADEF，从而，由此能证明．Ⅱ以F为原点，AF，FE所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．Ⅰ求的方程；Ⅱ过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，O为原点，求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，又，，，故椭圆的方程为；易知直线l的斜率k存在，设其方程为．设，则由消去y得：，由，得．则，．则又原点到直线l的距离为，且，所以设，则，当且仅当，即，即时等号成立，所以面积取得最大值．【解析】Ⅰ抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程Ⅱ易知直线l的斜率k存在，设其方程为，设，根据韦达定理和弦长公式，原点到直线l的距离可求d从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．。

福建省龙岩一中2018-2019学年高二（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 52.已知向量，，，，则在方向上的投影为（）A. B. 8 C. D.3.三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（）A. B. C. D.4.执行如图的程序框图，若输出S的值是55，则判断框内应输入（）A. ？B. ？C. ？D. ？5.在△ABC中，a=15，b=10，sin A=，则sin B=（）A. B. C. D.6.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A. B. C.D.7.设l为直线，α，β是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac，则B=（）A. B. C. 或 D. 或9.函数y=2sin（ωx+φ），|φ|＜的图象如图所示，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，10.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.11.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，）上仅有一个最值，且为最大值，则实数ω的值不可能为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量，，，，，，则n=______．14.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线．若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24，36），[36，48），…[84，96]分组后绘制的频率分布直方图如图所示．由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差是______15.在△ABC中，B=，AB=8，BC=5，则△ABC外接圆的面积为______16.若直线y=x+2与曲线＞恰有一个公共点，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin B=b cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，c=2，求a的值．18.已知角θ的终边与单位圆x2+y2=1在第四象限交于点P，且点P的坐标为（，y）．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19.南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议，双方合作的客改货项目落户广州空港经济区．根据协议，双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作．现组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试求受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．20.在平面直角坐标系xOy中，设向量，sinα），，cosβ），，．（1）若，求sin（α-β）的值；（2）设，0＜β＜π，且 ∥，求β的值．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB AD，AD DC．PA底面ABCD，且AB=2，PA=AD=DC=1，M为PC的中点，N在AB上，且BN=3AN．（1）求证：平面PAD平面PDC；（2）求证：MN∥平面PAD；（3）求三棱锥C-PBD的体积．22.已知向量，，，，设函数，，．（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，若不等式f（x）+h（x）+sin2x-m＜0有解，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}，∴集合M中必有元素1，2，3，4，且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，∴满足条件{1，2，3，4}⊆M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是：．故选：B．集合M中必有元素1，2，3，4，且集合M中还有元素5，6中的0个或1个，由此能求出集合M的个数．本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查子集、真子集的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，，则•=1×2+2×3=8，||==，则在方向上的投影为==，故选：D．在方向上的投影为，代值计算即可．本题考查了向量的投影的定义，属于基础题3.【答案】D【解析】解：∵a=30.7＞30=1，0＜b=0.73＜0.70=1，c=log30.7＜log31=0，∴c＜b＜a．故选：D．由指数函数和对数函数的单调性，可得a，b，c的范围，进而可得答案．本题考查函数值的大小的比较，利用函数的单调性得出取值的范围是解决问题的关键，属基础题．4.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=-1，n=2不满足判断框内的条件，执行循环体，S=3，n=3不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-6，n=4不满足判断框内的条件，执行循环体，S=10，n=5不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-15，n=6不满足判断框内的条件，执行循环体，S=21，n=7不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-28，n=8不满足判断框内的条件，执行循环体，S=36，n=9不满足判断框内的条件，执行循环体，S=-45，n=10不满足判断框内的条件，执行循环体，S=55，n=11由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为55．故判断框内的条件为n≥11？．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由正弦定理可得：sinB===．故选：D．由正弦定理代入已知即可求值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：任取x＜0则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2-2x，∴f（-x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（-x）=-f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=-x（x+2）故选：A．利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取x＜0则-x＞0，代入当x≥0时，f（x）=x2-2x，求出f（-x），再根据奇函数的性质得出f（-x）=-f（x）两者代换即可得到x＜0时，f（x）的解析式本题考查奇函数的性质，考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，这是函数奇偶性的一个重要应用，做对此类题的关键是正确理解定义及本题的做题格式．7.【答案】B【解析】解：对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；对于B，若 lα，lβ，由线面垂直的性质得α∥β，故B正确；对于C，若lα，l∥β，则αβ，故C错误；对于D，若αβ，l∥α，则 l⊂β或l∥β或l与β相交．故选：B．利用空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中的线面关系，是中档题．8.【答案】A【解析】解：∵a2+c2-b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∵B（0，π），∴B=．故选：A．由已知及余弦定理可得cosB的值，结合B的范围及特殊角的三角函数值可得B值．本题考查余弦定理解三角形，涉及特殊角的三角函数值的应用，属基础题．9.【答案】B【解析】解：如右图示，将点（0，1）代入，得2sinφ=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，∴y=2sin（ωx+），将点（，0）代入，得ω=2，故选：B．首先，根据图象过点（0，1），将改点坐标代入，得到φ=，然后，将点（，0）代入，得到ω=2，从而容易得到结果．本题重点考查了三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数等知识，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==8；面积为S=π•=16π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：D．根据题意，分别计算大圆、小圆的面积，求对应面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选：A．由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．12.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）在（）上仅有一个最值，且为最大值，∴ω•+＜2kπ+＜ω•+＜2kπ+，k Z，令k=0，求得ω＜，故选：C．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象，ω•+＜2kπ+＜ω•+＜2kπ+，k Z，求得ω的范围，从而得出结论．本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的图象，属于基础题．13.【答案】-2【解析】解：∵向量，，，=+，∴（0，2）=（2，4）+（-2，n）=（0，4+n），∴4+n=2，∴n=-2，故答案为：-2．由题意利用=+，用待定系数法求得n的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的加减法，属于基础题．14.【答案】0.52【解析】解：由频率分布直方图得：该生卷面分有[36，60）内的频率为：1-（0.015+0.015+0.005+0.005）×12=0.52．∴按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差是0.52．故答案为：0.52．由频率分布直方图求出该生卷面分有[36，60）内的频率，由此能求出按照这种方式求出的及格率与实际及格率的差．本题考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】【解析】解：在△ABC中，∠B=，AB=8，BC=5，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=64+25-80×=49，∴AC=7．再由正弦定理可得2R===，∴△ABC的外接圆半径R=．∴△ABC外接圆的面积为π•R2=，故答案为：．由余弦定理求得AC的值，再由正弦定理可得2R=，求得R的值，从而求得△ABC的外接圆的面积．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】m＞4或m=2【解析】解：曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，直线y=x+2与曲线相切时，=，∴m=2，直线y=x+2与曲线有两个交点时，将（0，2）代入，可得m=4，∴直线y=x+2与曲线恰有一个公共点时，实数m的取值范围为m＞4或m=2．故答案为：m＞4或m=2．曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，画出图象，结合图象，即可得出结论．本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）a sin B=b cos A，由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，∵B是三角形内角，∴sin B≠0，∴tan A=，A是三角形内角，∴A=．（Ⅱ）∵b=3，c=2，由（Ⅰ）得：由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bc cos A…（9分）=…（11分）∴…（12分）【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．（Ⅱ）直接利用余弦定理求解即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）由已知θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P（，y），得（）2+y2=1，y＜0，解得y=-．∴tanθ==；（2）∵tanθ=，∴==．【解析】（1）首先由已知求出y值，然后利用任意角的三角函数定义求出tanθ的值即可；（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可得答案．本题考查了三角函数的基本定义、诱导公式以及基本关系式的运用，属于基础题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]分的人数为0.012×10×100=12，竞赛成绩在[80，90）的人数为0.02×10×100=20，故受奖励分数线在[80，90）之间，……（3分）设受奖励分数线为x，则（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，解得x=86，故受奖励分数线为86．…（6分）（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在[86，90）的人数为8，分数在[90，100]的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[86，90）的抽取2人，分数在[90，100]的抽取3人，……（8分）设分数在[86，90）的2人分别为A1，A2，分数在[90，100]的3人分别为B1，B2，B3，所有的可能情况有10种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），满足条件的情况有3种：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），故所求的概率为p=．……（12分）【解析】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在[90，100]分的人数为12，竞赛成绩在[80，90）的人数为20，由此能求出受奖励分数线．（2）受奖励的20人中，分数在[86，90）的人数为8，分数在[90，100]的人数为12，利用分层抽样，可知分数在[86，90）的抽取2人，分数在[90，100]的抽取3人，设分数在[86，90）的2人分别为A1，A2，分数在[90，100]的3人分别为B1，B2，B3，利用列举法能求出结果．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.【答案】解：（1）因为=（cosα，sinα），=（-sinβ，cosβ），，．所以||=||=||=1，且•=-cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α-β）．……（3分）因为|+|=||，所以|+|2=2，即2+2•+2=1，所以1+2sin（α-β）+1=1，即．……（6分）（2）因为，所以，．故=（，cos）．……（8分）因为 ∥，所以．化简得，，所以．…（12分）因为0＜β＜π，所以＜＜．所以，即．……（14分）【解析】（1）利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可．（2）通过向量平行，转化求解角的大小即可．本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力．21.【答案】（1）证明：∵PA底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA CD；又AD DC，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD平面PAD，又CD⊂平面PDC，∴平面PAD平面PDC．（2）证明：取PD的中点E，连接ME，AE，∵M，E分别是PC，PD的中点，∴ME∥CD，且=，又AB AD，AD DC，BN=3AN，AB=2，∴AN∥CD，AN==，∴EM∥AN，EM=AN，∴四边形MEAN为平行四边形，∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD．（3）解：∵PA底面ABCD，S△BCD==，∴V C-PBD=V P-BCD=S△BCD•PA=．【解析】（1）由PA底面ABCD得PA CD，又CD AD得CD平面PAD，故而平面PAD平面PDC；（2）取PD的中点E，连接ME，AE，则可证四边形AEMN是平行四边形，于是MN∥AE，得出MN∥平面PAD；（3）以三角形BCD为棱锥的底面，则棱锥的高为PA，代入体积公式计算即可．本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．22.【答案】解：（1）∵，∴，∵，∴∴，∴f（x）的值域为，，（2）由，令t=cos x，则当，时，，且t=cos x为减函数又在，上时减函数，∴f（x）在，上是增函数，当，时，，且t=cos x为减函数又在，上时增函数，∴f（x）在，上是减函数综上，f（x）的单调增区间为，，单调减区间为，．（3）∵函数，x[0，π]的图象向左平移个单位长度后得到函数h（x）的图象，∴，，，依题意，不等式m＞f（x）+h（x）+sin2x在，有解，设=，，令，∵，∴，，则，，，∴函数y=f（x）+h（x）+sin2x的值域为，．∴＞故实数m的取值范围为，．【解析】（1）根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；（2）根据复合函数的单调性即可求出单调区间；（3）先求出h（x），由不等式f（x）+h（x）+sin2x-m＜0有解，转化为m＞f（x）+h（x）+sin2x，根据二次函数的性质即可求出．本题主要考查函向量的数量积，正弦函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，不等式成立的问题，属于中档题．。

2018-2019学年高二第一学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＜d，则ac＜bd B．若ac＞bc，则a＞bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b2．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数3．若点P到直线y＝﹣1的距离比它到点（0，2）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．等差数列{a n}中，若a4+a7＝2，则＝（）A．256 B．512 C．1024 D．20485．已知函数f（x）＝x3+mx2+mx+1既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）6．下面四个条件中，使a＞b成立的一个必要不充分的条件是（）A．a＞b﹣2 B．a2＞b2C．a3＞b3D．a＞b+27．若0＜α＜π，则y＝sinα+的最小值为（）A．2B．5 C．6 D．78．平面四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，则sin∠D＝（）A．B．C．D．9．已知过抛物线y2＝x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则＝（）A．B．C．0 D．﹣110．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．如果P是椭圆+＝1上的点，点Q，R分别在圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x ﹣1）2+y2＝9上，那么|PQ|+|PR|最大值为（）A．16 B．14 C．10 D．612．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若x＞0时，xf′（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞lnx+1的解集为（）A．（0，）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e．+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卡中.）13．已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为．14．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为．15．数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，．……依此规律，这个数列前65项之和为．16．若长度为x2+4，4x，x2+8的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：函数y＝log a（x+1）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1＞0对任意实数x恒成立．（Ⅰ）若q为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若“p∧（￢q）”为真命题，求实数a的取值范围．18．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．19．已知函数f（x）＝x2+2x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在曲线y ＝f（x）上（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}是首项b1＝1，公比q＝3的等比数列，试求数列{a n b n}的前n项和T n．20．设函数f（x）＝x3﹣x2+bx+c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+4lnx，且g（x）在区间（1，3）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．21．椭圆C：的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M作两条互相垂直的直线l1，l2，椭圆C上的点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，求的最大值，并求出此时P点坐标．22．已知函数f（x）＝（ax2+x﹣1）e﹣x．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当a≥2时，．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＜d，则ac＜bd B．若ac＞bc，则a＞bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．解：对于A，若满足a＞b，c＜d，不能得到ac＜bd，故A错；对于B，当c＞0时，由ac＞bc，得a＞b，当c＜0时不成立，故B错；对于C，若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d或a﹣c＜b﹣d或a﹣c＝b﹣d，故C错；对于D，若＜，则c2＞0，则a＜b，故D正确；故选：D．2．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是奇数C．真命题的个数一定是偶数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【分析】根据四种命题的逻辑关系判定即可．解：互为逆否命题的命题逻辑值相同，一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否，所以真命题的个数可能为0，2，4，一定是偶数，故选：C．3．若点P到直线y＝﹣1的距离比它到点（0，2）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】由题意得，点P到直线y＝﹣2的距离和它到点（0，2）的距离相等，故点P 的轨迹是以点（0，2）为焦点，以直线y＝﹣2为准线的抛物线，p＝8，写出抛物线的方程．解：∵点P到直线y＝﹣1的距离比它到点（0，2）的距离小1，∴点P到直线y＝﹣2的距离和它到点（0，2）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，2）为焦点，以直线y＝﹣2为准线的抛物线，即p＝4，则点P的轨迹方程为x2＝8y，故选：D．4．等差数列{a n}中，若a4+a7＝2，则＝（）A．256 B．512 C．1024 D．2048【分析】运用等差数列的性质和指数的运算性质，结合等差数列的求和公式，计算可得所求值．解：等差数列{a n}中，若a4+a7＝2，可得a1+a10＝a4+a7＝2，则＝2＝2＝25×2＝1024．故选：C．5．已知函数f（x）＝x3+mx2+mx+1既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是（）A．（0，3）B．（﹣∞，0）C．（3，+∞）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m 的范围．解：∵函数f（x）＝x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值f′（x）＝3x2+2mx+m+6＝0有两异根，∴△＝4m2﹣12（m+6）＞0，解得m＜﹣3或m＞6，故选：D．6．下面四个条件中，使a＞b成立的一个必要不充分的条件是（）A．a＞b﹣2 B．a2＞b2C．a3＞b3D．a＞b+2【分析】欲求a＞b成立的必要而不充分的条件，即选择一个“a＞b”能推出的选项，但不能推出a＞b，对选项逐一分析即可．解：“a＞b”能推出“a＞b﹣2”，但“a＞b﹣2”不能推出“a＞b”，故满足题意；“a＞b”不能推出“a2＞b2”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；B不正确．“a＞b”能推出“a3＞b3”，且“a3＞b3”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；C不正确；“a＞b”不能推出“a＞b+2”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；D不正确．故选：A．7．若0＜α＜π，则y＝sinα+的最小值为（）A．2B．5 C．6 D．7【分析】设y＝f（x）＝sin x+，x∈（0，π），利用导数判断f（x）的单调性，并求出f（x）的最小值．解：由0＜α＜π，y＝sinα+，设y＝f（x）＝sin x+，x∈（0，π）；则f′（x）＝cos x﹣＝cos x（1﹣）；令f′（x）＝0，解得cos x＝0，此时x＝；所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，π）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以x＝时，f（x）取得最小值为f（）＝sin+＝1+5＝6．故选：C．8．平面四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，则sin∠D＝（）A．B．C．D．【分析】由平面几何知识，不难算出∠ACD＝90°，从而AC⊥CD．求得AC，AD即可．解：∵△ABC中，AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°∴∠ACD＝135°﹣45°＝90°，得AC⊥CD．∵AB＝BC＝CD＝1，∴AC＝，AD＝．sin∠D＝故选：B．9．已知过抛物线y2＝x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则＝（）A．B．C．0 D．﹣1【分析】由抛物线y2＝x与过其焦点（，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得＝x1•x2+y1•y2，由韦达定理可以求得答案．解：由题意知，抛物线y2＝x的焦点坐标点（，0），直线AB的方程为y＝k（x﹣），由，得k2x2﹣（k2+1）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1•x2＝，∴y1•y2＝k（x1﹣）•k（x2﹣）＝k2[x1•x2﹣（x1+x2）+]＝，∴＝x1•x2+y1•y2＝＝，故选：A．10．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据f′（x）的图象得到当x＜﹣2时，f′（x）＞0，x＞﹣2时，f′（x）＜0，然后讨论x的范围得到函数y＝xf′（x）取值是否对应进行排除即可．解：由f′（x）的图象知，当x＜﹣2时，f′（x）＞0，x＞﹣2时，f′（x）＜0，即当x＞0时，y＝xf′（x）＜0，排除B，C，当x＜﹣2时，y＝xf′（x）＜0，排除A，故选：D．11．如果P是椭圆+＝1上的点，点Q，R分别在圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x ﹣1）2+y2＝9上，那么|PQ|+|PR|最大值为（）A．16 B．14 C．10 D．6【分析】根据题意可得椭圆焦点坐标，离心率，准线方程，过点P作x轴的平行线，分别交两准线于A，B，连接PF1，PF2并延长，分别交两圆于Q′，R′，则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|＝|PF1|+1+|PF2|+3＝e|PA|+e|PB|＝e|AB|+4，即可得出答案．解：因为椭圆+＝1，a2＝25，b2＝24，c2＝a2﹣b2＝1，离心率e＝＝，准线方程x＝±＝±25，所以椭圆两焦点为（﹣1，0），（1，0），圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x﹣1）2+y2＝9的圆心就是椭圆左右焦点为F1，F2，过点P作x轴的平行线，分别交两准线于A，B，连接PF1，PF2并延长，分别交两圆于Q′，R′，则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|＝|PF1|+1+|PF2|+3＝e|PA|+e|PB|＝e|AB|+4＝×50+4＝14．故选：B．12．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象过点（1，1），f′（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数．若x＞0时，xf′（x）＞1恒成立，则不等式f（x）＞lnx+1的解集为（）A．（0，）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（e．+∞）【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣lnx﹣1，结合已知可判断导数符号，进而可判断单调性，求解不等式．解：令g（x）＝f（x）﹣lnx﹣1，∵x＞0时，xf′（x）＞1恒成立，则g′（x）＝f′（x）﹣＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（1）＝1，∴g（1）＝f（1）﹣1＝0，则不等式f（x）＞lnx+1即g（x）＞g（1），∴x＞1∴不等式的解集为（1，+∞）．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卡中.）13．已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为90°．【分析】设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率e＝＝，b2+a2＝c2可求得b＝a，从而可求双曲线的两条渐近线所成的角．解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，∵离心率e＝＝，∴c＝a，c2＝2a2，又b2+a2＝c2，∴b2＝c2﹣a2＝a2，∴b＝a，当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的两条渐近线互相垂直所成的角是90°；故答案为：90°．14．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为 1 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣5），化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故答案为：1．15．数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，．……依此规律，这个数列前65项之和为175 ．【分析】由题意可得数列呈现第一个数为1，紧接着为1个3，两个3，三个3，…，当出现n个1，紧接着为n个3，由等差数列的求和公式，可得总的个数，进而得到所求和．解：数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，．……，呈现第一个数为1，紧接着为1个3，两个3，三个3，…，当出现n个1，紧接着为n个3，可得总的个数为n+1+2+…+n＝n+n（n+1），当n＝10时，共有10+55＝65个数，数列前65项之和为10+3××10×11＝175．故答案为：175．16．若长度为x2+4，4x，x2+8的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是1＜x＜．【分析】x2+8＞x2+4≥4x＞0，可得x2+8为最大边．由于此三角形为钝角三角形，可得cos θ＜0，解出x，根据三角形两边之和大于第三边可求x＞1，即可得解．．解：∵x2+8＞x2+4≥4x＞0，可得x2+8为最大边．由于此三角形为钝角三角形，∴cosθ＝＜0，化为：x2＜6，∴由x＞0，解得x＜．又∵x2+4+4x＞x2+8，解得：x＞1，∴x的取值范围为1＜x＜．故答案为：1＜x＜．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：函数y＝log a（x+1）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1＞0对任意实数x恒成立．（Ⅰ）若q为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若“p∧（￢q）”为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）a＝2恒成立，a﹣2＞0时，△＜0，即2＜a＜3，结果相并；（Ⅱ）p为真时，a＞1；￢q为真，即q为假时，a＜2或a≥3，结果再相交．解：（Ⅰ）因为命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x+1＞0对任意实数x恒成立为真命题，所以a＝2或综上所述：2≤a＜3………（Ⅱ）因为“p∧（￢q）为真命题，故p真q假．因为命题p：函数y＝log a（x+1）在定义域上单调递增，所以a＞1．………q假，由（1）可知a＜2或a≥3所以………所以实数a的取值范围为（1，2）∪[3，+∞）．………18．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求cos A，进而可求A；方法二：由余弦定理对已知进行化简可得b2+c2﹣a2＝bc，然后再由余弦定理可求cos A，进而可求A；（Ⅱ）由已知结合余弦定理可得b2+c2﹣bc＝7，结合已知2b＝3c，可求b，c代入三角形面积s＝可求．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵．由正弦定理，得………整理得2sin C cos A﹣sin B cos A＝sin A cos B，∴2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C………因为sin C≠0，所以，又0＜A＜π，所以．………方法二：由余弦定理得：………化简整理得：b2+c2﹣a2＝bc………即，又0＜A＜π，所以．………（Ⅱ）由余弦定理得：，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即b2+c2﹣bc＝7，………又2b＝3c，解得b＝3，c＝2．………所以………19．已知函数f（x）＝x2+2x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在曲线y ＝f（x）上（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}是首项b1＝1，公比q＝3的等比数列，试求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）因为点（n，S n）在曲线y＝f（x）＝x2+2x上，推出，通过a n＝S n﹣S n﹣1，求解数列的通项公式．（Ⅱ）求出a n b n＝（2n+1）3n﹣1，利用错位相减法求解数列的和即可．解：（Ⅰ）因为点（n，S n）在曲线y＝f（x）＝x2+2x上，所以，当n＞1时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝2n+1，当n＝1时，a1＝S1＝3，满足上式，a1＝S1＝3．所以：．（Ⅱ）因为 {b n}是首项b1＝1，公比q＝3的等比数列，所以b n＝3n﹣1，log3b n＝n，故a n b n＝（2n+1）3n﹣1，所以T n＝3×30+5×31+7×32+…+（2n+1）×3n﹣1，…①3T n＝3×31+5×32+7×33+…+（2n+1）×3n，…②﹣2T n＝3+2（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）×3n，﹣2T n＝3+﹣（2n+1）3n＝﹣2n•3n，所以T n＝n•3n．20．设函数f（x）＝x3﹣x2+bx+c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+4lnx，且g（x）在区间（1，3）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意得，代入即可求解，（Ⅱ）依题意可知存在x∈（1，3），使不等式g′（x）＝＜0成立，结合存在性问题与最值的相互转化即可求解．解：（Ⅰ）f′（x）＝x2﹣ax+b，由题意得解得：b＝0，c＝2，（Ⅱ）∵g（x）＝f（x）+4lnx＝x3﹣x2+2，∴g′（x）＝，依题意，存在x∈（1，3），使不等式g′（x）＝＜0成立，即x∈（1，3）时，a＞（）min，令h（x）＝，x∈（1，3）则h′（x）＝，令h′（x）＝0，得x＝2．当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．当x∈（2，3）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x＝2时，h（x）取得最小值h（2）＝3．所以实数a的取值范围是（3，+∞）．21．椭圆C：的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M作两条互相垂直的直线l1，l2，椭圆C上的点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，求的最大值，并求出此时P点坐标．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，然后求解a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），结合l1⊥l2，然后求解的表达式，然后求解表达式的最大值，然后求解求解P点坐标．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，e＝，a2＝4c2＝4（a2﹣b2）⇒a2＝4所以椭圆方程为：．（Ⅱ）设P（x0，y0），因为l1⊥l2，则因为，所以＝………因为，所以当时，取得最大值为，此时点P…22．已知函数f（x）＝（ax2+x﹣1）e﹣x．（Ⅰ）当a≥0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当a≥2时，．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过a的值，当a≥0时，导函数的符号，推出f（x）的单调性；（Ⅱ）当a≥2时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．方法二：判断当a≥2时，判断导函数的符号，求解函数的最小值，然后求解函数的最值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ），（ⅰ）当a＝0时，．令f'（x）＞0，得x＜2；令f'（x）＜0，得x＞2；所以f（x）在（﹣∞，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．（ⅱ）当a＞0时，令f'（x）＞0，得；令f'（x）＜0，得；所以f（x）在单调递增，在单调递减．综上，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减；当a＞0时，f（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅱ）当a≥2时，．令，则．当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；所以g（x）．因此．方法二：由（Ⅰ）得，当a≥2时，f（x）在单调递减，在单调递增，所以当时，f（x）取得极小值；当x＞2时，ax2+x﹣1＞0，e﹣x＞0，f（x）＞0所以当时，f（x）取得最小值；而，所以当a≥2时，．。

福建省龙岩市一级达标校2014-2015学年高二上学期期末质量检查理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.） 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若691=+a a ，则9S 的值是A ．25B ．26C ．27D ．282．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知3,60,a A b ==︒=B = A ．45︒ B ．30︒ C ．60︒ D ．135︒3．若动点P 到定点(2,0)F 的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则动点P 的轨迹方程是A ．x y 82-= B ．x y 162-= C ．x y 82= D ．x y 162= 4．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知B c a cos 2=，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．若110(,)a b R a b <<∈，则下列不等式恒成立的是A ．a b <B ．a b ab +>C ．a b> D ．2ab b <6．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤112y y x xy ，则y x +2的最大值是A ．34B ．3C ．2-D ．27．如图，在长方体1111D C B AABCD -中，221===AB AD AA ， 若,E F 分别为线段11D A ,1CC 的中点，则直线EF 与平面11A ADD 所成角的正弦值为A ．36B ．22C ．33D ．318．已知命题p ：“ 2>x 是24x >的充要条件”， 命题q ：“,20x x R ∀∈>”. 则下列结论（第7题图）正确的是 A ．q p ∨为假B ．q p ∧ 为真C ．()p q ∨⌝为假 D ．q p ,均为真9．已知c 是双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>的半焦距，则c a b +的取值范围是A．)+∞ B．C．D．10．已知1a >， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，若函数x y a log =与x a y =的图象与直线x y =相切于同一点，则a =A ．ee B ．2e C ．e D ．1ee第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.）11．曲线3()2f x x x =-+在点(1,2)处的切线方程为 ． 12．关于x 的不等式022≥+-a ax x 的解集为R ，则实数a 的 取值范围为 ．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA ==,点M 为1CC 的中点，则点1D 到平面BDM 的距离为 ．14．如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=且BC =E 为BC的中点，则AE 的最大值是 ．15．下列四个结论正确的序号是 ．①函数x x y sin =在区间(0,)π内无最大值； ②数列{}n a 的前n 项和2()nn S n N *=∈，对任意的正整数n总存在正整数m ，使得m n a S =；③若方程sin (0)xk k x =>有且仅有两个不同的实数根1221,()x x x x >，则0c o s s i n 211=+x x x ．（第13题图）C（第14题图）三、解答题（共80分，解答写在答题卡的相应位置，应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 16．（本小题满分13分） 已知正项等比数列{}n a 中，,621=+a a .2443=+a a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）数列{}n b 满足n n a b 2log =，求数列{}n n b a +的前n 项和n T ．17．（本小题满分13分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,, 且cos (2)cos 0a C c b A +-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为32，且32=a ．求c b +的值． 18．（本小题满分13分） 如图，在PCB ∆中，已知,,423PCB BPC PB ππ∠=∠==，点D 为PB 的中点．若APC ∆是BPC ∆绕直线PC 顺时针旋转而成的，记二面角B PC A --的大小为θ．（Ⅰ）当2πθ=时，求证：平面ACD ⊥平面PBC ; （Ⅱ）当32πθ=时，求锐二面角B CD A --19．（本小题满分13分）如图，某养殖户要建一个面积为800平方米的矩形养殖场，要求养殖场的一边利用旧墙（旧墙的长度大于4米），其他各边用铁丝网围成，且在矩形一边的铁丝网的正中间要留一个4米的进出口.设矩形的宽为x 米，铁丝网的总长度为y 米. （Ⅰ）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小? （Ⅱ）若由于地形限制，该养殖场的长与宽都不能超过32米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的铁丝网的总长度最小？20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为23，且椭圆C 经过点(0,1).（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，以PQ 为直径的圆恒过原点O ，试问原点O 到直线l 的距离d 是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数21()ln ()2f x x x ax a R =-∈.（Ⅰ）当0=a 时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）对于区间(1,2)内的任意两个不相等的实数21,x x ，不等式1212(1)(1)1f x f x x x +-+>-恒成（第19题图）4米（第19题图）立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设3333ln 44ln 33ln 22ln n nS n +⋅⋅⋅+++=，试比较n S 与e 1的大小．（其中,,1*∈>N n n ⋅⋅⋅=71828.2e 是自然对数的底数.）龙岩市一级达标校2014～2015学年第一学期期末高二教学质量检查 数学（理科）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 20x y -=12. [0,1]13.14.3215. ②③三、解答题（共80分） 16.（本小题满分13分） （Ⅰ）设数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0,>q q .则⎩⎨⎧=⋅+⋅=⋅+246312111q a q a q a a ································2分 解得：⎩⎨⎧==221q a ··································5分∴nn n n q a a 222111=⋅=⋅=-- ·································6分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）cos cos 2cos a C c A b A +=sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A ∴+= ··························2分即()sin sin 2sin cos A C B B A+== ···························4分∴1cos 2A =∵0A π<< ∴ 3A π=························6分（Ⅱ）11sin 22S bc A bc ===∴8=bc ·········································8分()bc bc c b A bc c b a --+=-+=2cos 22222()bc c b 32-+=∴()362412322=+=+=+bc a c b ···························12分∴6=+c b ···································13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题可知PC AC ⊥,PC BC ⊥∴θ=∠ACB ········2分当2πθ=时，有C BC PC BC AC =⋂⊥,∴⊥AC 平面PBC ·········4分AC ⊂平面ACD ∴平面ACD ⊥平面PBC ······················6分（Ⅱ）如图，以点C 为坐标原点，在平面PBC 内垂直于BC 的直线为x 轴，,CB CP 所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz则()3,A ()0,3,0B ()0,0,0C ()0,0,2P点D 为PB 的中点 ∴()D设平面ACD 的法向量为()111,,m x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD m CA m ∴()()()()111111,,33,00,,3,10x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-030331111z y y x 取31=y ∴3.111-==z x ∴()1,3,3m =- ····································10分又平面BCD 的法向量()1,0,0n = ································11分设锐二面角B CD A --的大小为α∴1313131cos ===α ································13分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题可得⎪⎩⎪⎨⎧>->048000x x∴2000<<x 48002-+=x x y ()2000<<x ·············3分∴76480022=-⋅≥x x y 当且仅当x x 8002= 即20=x 时76min =y ∴当长为40米，宽为20米时，所用的铁丝网的总长度最小为76米. ······6分（Ⅱ）依题意⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<328000320x x ∴3225≤≤x ···························8分48002-+=xx y ()3225≤≤x 080022=-='x y ∴20=x · ·······················9分当200<<x 时 0<'y ∴函数在()0,20内单调递减当20>x 时 0>'y ∴函数在()20,+∞内单调递增 ·········11分∴函数48002-+=x x y 在[]25,32单调递增∴当25=x 时 78min =y∴当长为32米，宽为25米时，所用铁丝网的总长度最小. ········13分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）当0=a 时，()()0ln >=x x x x f令() 0ln 1>+='x x f 得e x 1>·································1分∴()x f 在 ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 上递增 ·····················3分∴()e e f x f 11min -=⎪⎭⎫⎝⎛= ·························4分（Ⅱ）解：不妨设1212x x <<<，依条件得：()()121211f x f x x x +-+<-即：()()()()11221111f x x f x x +-+<+-+恒成立设()()h x f x x=-，上式恒成立，只须此函数在()3,2上单调递增 ········5分得()21ln 2h x x x ax x=--()ln 11ln 0h x x ax x ax '∴=+--=-≥即ln xa x ≤恒成立 ······································6分令()ln x g x x =得()21ln xg x x -'=，由()0g x '= 得 x e =当()2,x e ∈时，()0>'x g ，()x g 在()e ,2上单调递增 当(),3x e ∈时，()0<'x g ，()x g 在()3,e 上单调递减∴()2,3x ∈时，()()ln 1e g x g e e e ≤== ··························8分又()ln 2ln3223g == ()()ln 222g x g ∴>=∴22ln ≤a 经检验：当ln 22a =时也符合题意， 综上得22ln ≤a . ··································9分（Ⅲ）由（2）得e x x 1ln ≤，且0x >. ∴2311ln x e x x ⋅≤ ·····································10分∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++≤+⋅⋅⋅+++2222333314131211ln 44ln 33ln 22ln n e n n 又()n n n ⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯<+⋅⋅⋅+++1143132121114131212222 ······12分()1111111111111223*********n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯-⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111<-=n ··································13分∴3333ln 2ln3ln 4ln 1234n n e +++⋅⋅⋅+<∴1nS e <. ·······················14分。

福建省龙岩市2018-2019学年第一学期期末高三教学质量检查数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出集合与集合,然后取交集即可。

【详解】因为，，则，故答案为D.【点睛】本题考查了集合的交集，考查了不等式的求解，属于基础题。

2.已知为虚数单位，若复数，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先对进行化简，然后由共轭复数的概念写出答案即可。

【详解】因为，所以的共轭复数为.【点睛】当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

3.如图所示的茎叶图记录了球员甲、乙两人在2018-2019赛季某月比赛过程中的的得分成绩，则下列结论正确的是（）A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的平均数小于乙的平均数C. 甲的中位数大于乙的中位数D. 甲的方差小于乙的方差【答案】B【解析】【分析】由茎叶图分别求出甲乙的平均数、中位数和方差，即可选出答案。

【详解】甲的平均数，乙的平均数，故，故选项A不成立，选项B成立；甲的中位数是26，乙的中位数是29，故甲的中位数小于乙的中位数，故选项C错误；甲的方差大于乙的方差，故选项D错误。

【点睛】本题考查了茎叶图的知识，考查了平均数，中位数及方差的求法，属于基础题。

4.已知表示两条不同直线，表示平面，若，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别讨论充分性和必要性，即可选出答案。

【详解】充分性：由直线和平面垂直的性质定理，可知“若，则”能够推出，故充分性成立；必要性：当时，若，显然成立。

故若，则“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查了直线和平面垂直的性质定理，及平行线的性质，属于基础题。

龙岩市一级达标校2018～2019学年第二学期期末高二教学质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13 14．(],1-∞ 15. 8 16．[)0,4三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）解：由()(2)0x m x m +-<，且0m >所以2m x m -<<. ………………………………………………………2分 由2log 1x > 得2x >. ………………………………………………………4分（1）当2m =时，24x -<<.因为p q ∧为真，则p 真q 真.所以实数x 的取值范围为(2,4). …………………………………8分（2）p ⌝为：x m ≤-或2x m ≥.因为q 是p ⌝的的充分不必要条件所以22m ≤即1m ≤. ………………………11分 又因为0m >，所以01m <≤. …………………12分18.（本小题满分12分）解：（1）由题意知8595919191848082817776(101=++++++++++）m 解得2=m . …………………3分（2）补充完整的表格如下所示：…………………………………6分计算得2K 的观测值 22600(250100150100)8.571 6.635350250400200K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ …………………10分 故有99%的把握认为武术表演成绩超过80分与性别具有相关性. …………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）由题意可得：=x 5，=y 30， …………………2分5.6)57()56()54()53()3042)(57()3034)(56()3026)(54()3018)(53(ˆ2222=-+-+-+---+--+--+--=b………………4分26.5530ˆˆ=⨯-=-=x b y a ． ………………5分所以回归直线方程为26.5ˆ+=x y． ………………6分 （2）20546.5)01)(26.5()10(ˆ)(2++-=+-+=+-⋅=x x x x x y x M ……………8分因为06.5<-，开口方向向下，当 4.82)6.5(254≈-⨯-=x ，又+∈N x ， 故5=x 时取得最大值. ………………10分 最大值为1502055456.5)5(2=+⋅+⋅-=M （万元）. ……………………12分20.（本小题满分12分） 解：（1）依题意可知⎩⎨⎧-=-=)1()1(0)0(f f f……………………………………2分 解得：1=a ，3=b ， …………………………………4分此时21()3(21)x x f x -=+ 经检验，()()f x f x -=-，()f x 是奇函数。

福建省龙岩市一级达标校2016-2017学年高二数学上学期期末教学质量监测试题文（扫描版）龙岩市一级达标校2016～2017学年第一学期期末高二教学质量检查数学（文科）参考答案13．0||,000<+∈∃x x R x 14．4- 15．122- 16．215- 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）解：)1)(2(61266)(2+-=--='x x x x x f ……………………2分 （Ⅰ）8)1(,12)(-=-='f x f ……………………4分)(x f y =∴在1=x 处的切线方程为),1(128--=+x y 即0412=-+y x ………6分 （Ⅱ）)(x f 在]2,0[上单调递减，]3,2[上单调递增………………8分5)}3(),0(m ax {)(,15)2()(max min ==-==∴f f x f f x f ………………10分18．（本小题12分）解：由p 可得0=a 或400402<≤∴⎩⎨⎧<-=∆>a a a a ………………4分 由q 可得0)3)(1(<--a a 3>∴a 或1<a ……………………8分 q p ∧ 为真命题p ∴真q 真 ⎩⎨⎧<><≤∴1340a a a 或a ∴的取值范围为)4,3()1,0[ …………………12分19．（本小题12分）解：（Ⅰ）法一：由b a A c 23cos 2=+及正弦定理可知)sin(2sin 2sin 3cos sin 2C A B A A C +==+C A C A sin cos 2cos sin 2+=…………2分 C A A cos sin 2sin 3=π<<A 0 6,23cos ,0sin π==>∴C C A ……………………6分法二：由b a A c 23cos 2=+及余弦定理可知222222b c a cb bc+-+=…………3分化简得：222a b c +-=∴222cos 222a b c C ab ab +-===又0C π<< ∴6C π=……………………6分（Ⅱ）ABC ∆的面积49)2(4141sin 212=+≤==b a ab C ab S …………11分 当且仅当3==b a 时成立 49max =∴S ………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知3,2,+a a 成等比数列 )3(4+=∴a a 又10=∴>a a …………3分}{n a 的公比22==a q ，前n 项和6,632121==--=n S nn ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知112)12(,2--+==n n n n n b a …………………………7分}{n b 的前n 项和12102)12(272523-⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ① n n n n n T 2)12(2)32(25232121⋅++⋅-++⋅+⋅=- ②①-②得nn n n T 2)12()222(2312⋅+-++++=--=n nn 2)12(212223⋅+---⋅+=nn n n n 2)12(12)12()22(23⋅---=+--+………………11分 n n n T 2)12(1⋅-+=∴………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）3=a 时，xx f x x x f 31)(',ln 3)(-=-=………………2分 30<<x 时，0)('<x f ；3>x 时，0)('>x f)(x f ∴在)3,0(上单调递减，),3(+∞上单调递增……………………4分 )(x f 极小值=03ln 33)3(<-=f又0)()3(,0)3()1(,06)(,01)1(222<<>-=>=e f f f f e e f f)(x f ∴在),3(),3,1(2e 各有一个零点，)(x f 零点个数为2………………6分（Ⅱ）,ln 21)(2x a x x a x g +--= xa ax x a x a x x a x g )1)(1)(1()1()(2----=+--='……………………8分 0,1><x a ∴当11<-a a 即21<a 时，由0)('>x g 得1>x 或aax -<<10；当11=-a a 即21=a 时，0)('≥x g 当11>-a a 即121<<a 时，由0)('>x g 得aa x ->1或1<x ………………11分 21<∴a 时，)(x g 的递增区间为),1(),1,0(+∞-a a21=a 时，)(x g 的递增区间为),0(+∞121<<a 时，)(x g 的递增区间为),1(),1,0(+∞-aa ．………………………12分 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在OBF Rt ∆中， 中线OP 的长为1，1||,2||,30====∴=∠b OB a BF OFB o椭圆C 的方程为1422=+y x …………………………4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，易得1||,3:=±=MN x l ，此时23=∆OMN S ……5分当直线l 的斜率存在时，设其方程为m kx y +=l 与圆E 相切∴)1(3,31||222k m k m +==+ ①由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得(*)0448)41(222=-+++m mkx x k 由0>∆得1422+<k m ② 将①代入②得22>k设21,x x 为方程（*）的两根，则221418k mk x x +-=+，22214144km x x +-=…………7分 144114411||1||222222212+-++=∆++=-+=m k k k k k x x k MN=24114222-++k k k ………………9分令)9(412>+=t k t 则412-=t k34)911(272761276||2222++-=--=--=t t t t t t MN 9110<<t 1||0<<∴MN ，此时)23,0(||321∈=∆MN S OMN ………11分综上所述：OMN ∆的面积的取值范围为]23,0(……………………12分。

龙岩市一级达标2018~2019学年第二学期期末高二教学质量检查数学（文科）试题（考试时间120分组 满分150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一页是符合题目要求的.1.设集合{}31A x x =-≤<，{}24B x x =≤，则A B 等于（ ） A. {}21x x -≤< B. {}32x x -≤≤ C. {}1x x < D. {}2x x < 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合,A B ，由此能求出A B . 【详解】集合{}31A x x =-≤<，{}{}2422B x x x x =≤=-≤≤ {}32A B x ∴⋃=-≤≤故选：B【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题.2.设12i z i-=+，设在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数除法，计算z ，再根据实部和虚部的正负，判断象限. 【详解】()()121i 132i 55i i i z ----===+在复平面内z 对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数运算和所在象限，属于基础题.3.反证法证明命题“设a ，b ，c 为实数，满足6a b c ++=，则a ，b ，c 至少有一个数不小于2”时，要做的假设是（ ）A. a ，b ，c 都小于1B. a ，b ，c 都小于2C. a ，b ，c 至少有一个小于1D. a ，b ，c 至少有一个小于2【答案】B【解析】【分析】根据“至少有一个”的对立面为“一个也没有”可得.【详解】“,,a b c 至少有一个数不小于2”的对立面就是“,,a b c 都小于2”.故选：B【点睛】本题考查反证法中命题假设，属于基础题.4.函数()cos ln f x x x =⋅的部分图像大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可.【详解】函数()cos ln f x x x =⋅是偶函数，排除选项D ，当1x =时，()10f =，排除选项B ，当2x =时，()cos2ln 20f e =<，排除选项C .故选：A【点睛】本题考查函数图像的识别，考查排除法，考查数形结合，属于中等题型.5.函数()()21log 13,1,2, 1.x x x f x x -⎧+-≥=⎨<⎩则()()3f f 的值为（ ） A. 12B. 14C. 1-D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得()31f =-，进而可得()()()31ff f =-，计算可得答案. 【详解】根据题意，函数()()21log 13,12,1x x x f x x -⎧+-≥=⎨<⎩，则()()23log 313231f =+-=-=-，则()()()1113124f f f --=-==， 故选：B【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.6.若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的内容是（ ）A. 3i >B. 4i >C. 5i >D. 6i >【答案】C【解析】【分析】 2,2S i ==，不满足条件，执行循环；依此类推，当16,6S i ==，满足条件，退出循环体，输出16S =，从而得到判定框中应填的条件.【详解】112,2S i =+==，不满足条件，执行循环；224,3S i =+==，不满足条件，执行循环；437,4S i =+==，不满足条件，执行循环；7411,5S i =+==，不满足条件，执行循环；11516,6S i =+==，满足条件，退出循环体，输出16S =故判定框中应填5i >或6i ≥故选：C【点睛】本题考查补全循环结构的框图，考查计算能力，属于基础题.7.若0x >，0y >，2x y +=，则2xy 的最小值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】 利用基本不等式求出xy 的最大值，继而求得2xy的最小值即可. 【详解】根据已知，由基本不等式可得212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当1x y ==时取得等号， 所以22xy≥，即最小值为2. 故选：B【点睛】本题考查基本不等式求最值问题，属于基础题.8.若函数()1sin 2f x x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. []22-, D. [)2,-+∞【答案】A【解析】【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，再通过换元求参数范围. 【详解】函数()1sin 2f x x a x =+在(),-∞+∞上单调递增， ∴函数()f x 的导函数()1cos 02f x a x ⋅'=+≥在(),-∞+∞上恒成立， 令[]cos ,1,1x t t =∈-，问题转化为()102g t at =+≥在[]1,1t ∈-上恒成立，即：()()10,10g g -≥≥成立，所以1122a -≤≤. 故实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性问题和恒成立问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.9.若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】 由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-， ∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0 112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.10.奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()20182019f f +=（ ） A. 2-B. 1-C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意，由()1f x +为偶函数分析可得()()2f x f x -=+，又由()f x 为奇函数，分析可得()()2f x f x +=-，进而可得()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此求出()2018f 与()2019f 的值，相加即可得答案.【详解】根据题意，()1f x +为偶函数，则有()()11f x f x -=+，变形可得()()2f x f x -=+，又由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，综合可得：()()2f x f x +=-，则有()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数.则()()()()201824504200f f f f =+⨯==-=，()()()()201920201112f f f f =-=-=-=-，()()201820192f f +=-故选：A【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性周期性应用，属于中等题型.11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>.设()40a f =，()2ln 2b f =，()2ln 2c f =，则（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c << 【答案】C【解析】【分析】根据题意，可构造函数()()x g x ef x -=，可知()0g x '>，于是根据0ln 2ln 4<<即可判断,,a b c 的大小关系.【详解】令()()x g x ef x -=； 则()()()0xg x e f x f x -⎡-''⎤=>⎣⎦；()g x ∴在R 上单调递增；0ln 2ln 4<<；()()()404ln 24ln 4g g g ∴<<；即()()()402ln 22ln 2f f f <<；a b c ∴<<故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性比较大小，考查计算能力，属于中等题型.12.已知函数()3237f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 和点()()002,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则()31i i i x y =+=∑（ ） A. 0B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】【分析】 求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得3a =-，计算()()114f x f x -++=，可得()f x 关于点()1,2对称，考虑直线恒过()1,2，即可得到所求和.【详解】函数()3237f x x ax x =+-+的导数为()2323f x x ax =+-'，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 和点()()002,2x f x --处的切线总是平行，可得()()22000032332223x ax x a x +-=-+--， 化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-，可得()32337f x x x x =--+， 由()()()()()()()()3232111313171313174f x f x x x x x x x -++=-----+++-+-++=可得函数()y f x =的图象关于点()1,2对称，又直线2y mx m =-+()m ∈R 恒过定点()1,2，可得另外两点关于()1,2对称，则()3112249i ii x y =+=+++=∑【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，考查函数与方程思想，属于中等题型.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1z i i=+，则z =______.【解析】【分析】根据复数的乘法除法运算，计算z ，再根据复数模长公式，即可求解. 【详解】由题意，1z i i =+，()11z i i i ∴=+=-+则z =【点睛】本题考查复数运算和模长公式，属于基础题.14.若命题“[]01,1x ∃∈-，033x a ≤”为真命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(],1-∞【解析】【分析】由题意结合指数函数的单调性，可得0a x ≤的最大值，可得a 的范围.【详解】命题“[]01,1x ∃∈-，033x a ≤”为真命题，可得0a x ≤的最大值，由[]01,1x ∈-，可得1a ≤，故答案为：(],1-∞【点睛】本题考查不等式能成立问题，考查转化与化归思想，属于中等题型15.把编号为1~20的20张卡片，按小号在上，大号在下的顺序叠放在一起，然后将1号卡片扔掉，2号卡片放到最后，3号卡片扔掉，4号卡片放到最后，依次下去，当手中最后只剩下一张卡片时，这张卡片编号【答案】8【解析】【分析】根据规则依次操作下去，可以找出最终结果.【详解】根据规则：第一轮操作，保留2,4,6,8,10,12,14,16,18,20共10张卡片；第二轮操作，保留4,8,12,16,20这5张卡片；接着扔掉4,12,20,16，最后剩下的一张卡片是8.故答案为：8【点睛】本题考查逻辑推理能力，属于基础题.16.已知函数()ee x xf x -=-，若对x ∀∈R ，不等式()()2120f tx f tx -+-<都成立，则实数t 的取值范围为______.【答案】[)0,4【解析】【分析】判断()f x 为奇函数和减函数，由题意可得()()()2122f tx f tx f tx -<--=-， 可得212tx tx ->-，讨论0,0t t =<，可得所求范围.【详解】函数()e e x x f x -=-，由()()e e x x f x f x --=-=-，可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上递减，可得不等式()()2120f tx f tx -+-<都成立， 即为()()()2122f tx f tx f tx -<--=-，可得212tx tx ->-，即有210tx tx -+>， 当0t =时，10>显然成立；当0t >时，可得240t t ∆=-<，解得04t <<，当0t <时，210tx tx -+>不恒成立.综上可得04t ≤<故答案为：[)0,4【点睛】本题考查奇偶性和单调性解不等式问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知命题p ：()()20x m x m +-<，其中0m >；命题q ：2log 1x >. （1）若2m =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2,4（2）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简命题p 与命题q ，由2m =，且p q ∧为真，求解参数范围；（2）由（1）中，命题p 与命题q 的范围，写出p ⌝为：x m ≤-或2x m ≥，根据充分不必要条件，确定参数范围.【详解】（1）由题意，p 命题中：由()()20x m x m +-<，且0m > 所以2m x m -<<.q 命题中：由2log 1x >得2x >.当2m =时，p 命题：24x -<<. 因为p q ∧为真，则p 真q 真. 所以实数x 的取值范围为()2,4. （2）p ⌝为：x m ≤-或2x m ≥. 因为q 是p⌝充分不必要条件所以22m ≤即1m . 又因为0m >， 所以01m <≤.所以实数m 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查（1）且命题的真假求参数范围（2）根据充分不必要条件求参数，属于基础题.18.研学旅行是研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式，提升中小学生的自理能力、创新精神和实战能力，是综合实战育人的有效途径，为了了解某校高二年级600名学生在一次研学旅行活动中的武术表演情况，研究人员在该校高二学生中随机抽取了10名学生的武术表演成绩进行统计，统计结果如图所示（满分100分），已知这10名学生或武术表演的平均成绩为85分.（1）求m 的值；（2）为了研究高二男、女生的武术表演情况，现对该校高二所有学生的武术表演成绩进行分类统计，得到的数据如下表所示：男生女生合计武术表演成绩超过80分150武术表演成绩不超过80分 100合计已知随机抽取这600名学生中的一名学生，抽到武术表演成绩超过80分的学生概率是23，根据已知条件完成上面22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为武术表演成绩超过80分与性别具有相关性.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：P （20K k ≥）0.100 0.050 0.010 0.00120K k ≥2.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）2m =（2）见解析，有99%的把握认为武术表演成绩超过80分与性别具有相关性. 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式，即可求解；（2）根据题意，抽到武术表演成绩超过80分的学生概率是23，计算可得成绩超过80分的学生人数为400，即可补充完整表格；再根据独立性检验2K 公式，计算求解. 【详解】解：（1）由题意知()1767781828084919191958510m ++++++++++= 解得2m =.（2）补充完整的表格如下所示：计算得2K 的观测值()226002501001501008.571 6.635350250400200K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有99%的把握认为武术表演成绩超过80分与性别具有相关性.【点睛】本题考查（1）由茎叶图求平均数（2）独立性检验，考查计算能力，属于基础题.19.某汽车公司为调查4S店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A，B，C，D四座城市的4S店一个月某型号汽车销量进行了统计，结果如下表：城市 A B C D4S店个数x 3 4 6 7销售台数y 18 26 34 42（1）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）根据统计每个城市汽车的盈利()M x （万元）与该城市4S店的个数x符合函数()()10M x y x=⋅-+，x+∈N，为扩大销售，该公司在同等规模的城市E预计要开设多少个4S店，才能使E市的4S店一个月某型号骑车销售盈利达到最大，并求出最大值.附：回归方程y bx a=+中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-【答案】（1） 5.62y x=+（2）5家，150万【解析】【分析】（1）根据线性回归方程的公式，计算可求解回归方程；（2）由（1）中的回归方程写出函数()()210 5.65420ˆM x y x x x=⋅-+=-++，根据二次函数性质，求解最大值，解决实际问题.【详解】解：（1）由题意可得：5x =，30y =()()()()()()()()()()()()2222351830452630653430754230ˆ 5.635456575b --+--+--+--==-+-+-+- 305 5.62a y bx =-=-⨯=.所以回归直线方程为 5.62y x =+.（2）()()()()210 5.6210 5.65420M x y x x x x x =⋅-+=+-+=-++ 因为 5.60-<，开口方向向下，当()544.8225.6x =-≈⨯-，又x +∈N ，故5x =时取得最大值.最大值为()25 5.6554520150M =-⋅+⋅+=（万元）.【点睛】本题考查（1）线性回归方程（2）函数最值解决实际问题；考查计算能力，属于中等题型.20.已知定义域为R 的函数()222x xaf x b -=⋅+（a ，b ∈R ）为奇函数. （1）求实数a ，b 的值； （2）若()()2x gx f x m =++有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，3b =（2）13m <【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义，列方程，即可求解参数值（2）由（1）中()f x 解析式，由()0g x =得：2120323x xxm -++=⋅+，解法一：运用换元法转化方程，导出2233m u u =-+，根据函数单调性，求解最值，即可求解参数取值范围；解法二：化简方程，令2x t =，转化成关于t 的一元二次方程，根据零点问题，可求解参数取值范围.【详解】解：（1）依题意可知()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩解得：1a =，3b =，此时()()21321x x f x -=+经检验，()()f x f x -=-，()f x 是奇函数.（2）解法一：由()0g x =得：2120323x x xm -++=⋅+ 令2x t =得0t >则()()213413131t t t m t t t -+--=+=++，令1u t =+，则1u >，1t u =-()()2231411322223333u u u u m u u u u -+-----===--所以2233m u u =-+ 因为2233m u u =-+在()1,+∞单调递减 所以22133m <-+所以13m <解法二：由()0g x =得：2120323x x xm -++=⋅+ 所以()()232342310323x x xm m ⋅++⋅+-=⋅+所以()()232342310xxm m ⋅++⋅+-=令2x t =，则0t >所以()2334310t m t m ⋅++⋅+-=，对应二次函数的对称轴为34,6m t +=-①当3406m +-≤，即43m ≥-时，13103m m -<⇒< 所以4133m -≤<②3406m +->，即43m <-时，20912280m m ∆≥⇒-+≥ 因为114449280∆=-⨯⨯<所以m R ∈，所以43m <- 综上所述13m <.【点睛】本题考查（1）由奇偶性定义求解参数（2）函数零点问题求解参数；考查计算能力，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度. 21.已知函数()2ln 1f x x ax =--.（1）讨论()f x 的单调性； （2）求证：当1a >时，()f x x <-. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，对函数()f x 求导，利用导数研究函数单调性问题，分情况讨论函数单调性；（2）解法一：转化思想()f x x <-，等价于2ln 10x ax x -+-<设()2ln 1g x x ax x =-+-，只须证当1a >时，()0g x <成立，即可证明.解法二：导出a 的不等式，要证()f x x <-，只须证2ln 1x x a x +-<；解法三：同解法二，只须证2ln 1x x a x+-<，构造函数，运用放缩法，证明不等式； 解法四：要证()f x x <-，只须证2ln 1x x ax +-<.因为1a >，所以22ax x >（0x >）所以只须证2ln 1x x x +-<，即证2ln 10x x x +--<；解法五：要证()f x x <-，只须证2ln 1x x ax +-<，结合解法四的放缩法，因为1a >，所以22ax x >（0x >）再结合解法三的放缩法，又1ln x x -≥ ，即可证明. 【详解】解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21122ax f x ax x x-'=-=. 当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，故()f x 在()0,∞+单调递增.当0a >时，由()0f x '=得2x a=.当2x a ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>；当2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<. 所以()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递增.当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减.（2）由()f x x <-，等价于2ln 10x ax x -+-<.设()2ln 1g x x ax x =-+-，只须证当1a >时，()0g x <成立.因为()212121ax x g x ax x x-++'=-+=，1a >由()0g x '=，得2210ax x -++=有异号两根，令其正根为0x ，则200210ax x -++=，从而20012x ax +-=-. 当()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.所以()g x 的最大值为()20000003ln 1ln 2x g x x ax x x -=-+-=+， 令()221h x ax x =-++，则()010h =>，()1220h a =-<， 所以001x <<. 所以()000313ln ln11022x g x x --=+<+=-<. 所以()0g x <，所以当1a >时，()f x x <-. 解法二：（1）同解法一.（2）要证()f x x <-，只须证2ln 1x x a x +-<.①设2ln 1()x x g x x +-=，则()332ln x xg x x --'=令()32ln h x x x =--，则()210h x x'=--<，()h x 在()0,∞+单调递减， 又()120h =>，()212ln 20h =-<， 所以存在惟一的()01,2x ∈，使()00h x =.当()00,x x ∈时，()0h x >，从而()0g x '>，()g x 单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以()g x 的最大值为()00002220000ln 1111122x x x g x x x x x ⎛⎫+-+===+ ⎪⎝⎭， 因()01,2x ∈，所以011,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()01g x <，又1a >，所以①式成立，所以当1a >时，()f x x <-. 解法三：（1）同解法一.（2）要证()f x x <-，只须证2ln 1x x a x +-<.①令()1ln g x x x =--，则()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()()10g x g ≥=，所以1ln x x -≥.所以()2221ln 1x x x x x-+-≤， 要证①式成立，只须证()221x a x-<.② 设()()221x h x x -=，则()342xh x x-'=当()0,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为()122h =， 又1a >，所以②式成立，所以当1a >时，()f x x <-. 解法四：（1）同解法一.（2）要证()f x x <-，只须证2ln 1x x ax +-<. 因为1a >，所以22ax x >（0x >）所以只须证2ln 1x x x +-<，即证2ln 10x x x +--<.① 设()2ln 1g x x x x =-+-，则()()()121112x x g x x x x--+'=+-=（0x >）， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 所以()()110g x g ≤=-<，所以①式成立， 所以当1a >时，()f x x <-.解法五：（1）同解法一.（2）要证()f x x <-，只须证2ln 1x x ax +-<. 因为1a >，所以22ax x >（0x >）又1ln x x -≥（证明过程见解法三，考生未写出证明过程扣1分） 所以只须证222x x -<，即证2220x x -+>，这显然成立. 所以当1a >时，()f x x <-.【点睛】本题考查（1）利用导数研究函数单调性；（2）利用导数证明不等式及放缩法；考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力，综合性较强，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4p πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的一个动点，当3a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）22214x y a +=（0a >）；40x y --=（2）2【解析】【分析】（1）根据椭圆的参数方程，化简成普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的转化公式，即可求解；（2）代入3a =，根据椭圆的参数方程，设点坐标()3cos ,2sin P t t ，代入点到直线的距离公式，根据三角函数有界性，求出最值.【详解】解：（1）根据22sin cos 1t t +=，化简得C ：22214x y a +=（0a >）由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθθ-= 所以直线l 的直角坐标系方程为：40x y --=（2）依题意，设()3cos ,2sin P t t点P 到直线l的距离d ==当()cos 1t φ+=-时，max 2d == 【点睛】本题考查（1）参数方程与普通方程的转化和极坐标方程转化成直角坐标方程；（2）利用参数方程求解距离最大问题，考查计算能力，属于基础题.23.已知函数()1f x x x m =-+-.（1）当2m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若不等式()31f x m ≥-对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x x ≤-≥或（2）12m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）代入2m =，分类讨论x 的范围，解绝对值不等式.（2）根据题意，由不等式的性质可知()11f x x x m m =-+-≥-，不等式()31f x m ≥-恒成立问题转化成131m m -≥-问题，解绝对值问题，可求参数范围.【详解】解：（1）当2m =时，原不等式可化为125x x -+-≥. 若1x ≤，则125x x -+-≥，即325x -≥，解得1x ≤-； 若12x <<，则原不等式等价于15≥，不成立；若2x ≥，则125x x -+-≥，解得4x ≥. 综上所述，原不等式的解集为：{}14x x x ≤-≥或.（2）由不等式的性质可知()11f x x x m m =-+-≥-， 所以要使不等式()31f x m ≥-恒成立，则131m m -≥-， 所以113m m -≤-或131m m -≥-，解得12m ≤， 所以实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查（1）绝对值不等式解法（2）不等式恒成立问题，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中等题型.。

龙岩市一级达标校2018～2019学年第一学期期末高二教学质量检查数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBCADADBBAAC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．60︒ 15．2516．10 三、解答题：本大题共6小题，第17小题10分，其它每小题12分，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题考查简易逻辑、解不等式及充要条件等基本知识，满分10分． 解：（Ⅰ）当1m =时，由p 得 +10x >，∴ :p 1x >- ………………1分由q ：3102x x -<+ 得123x -<< ∴:q 123x -<< ………………2分 p q ∧为真命题，p ∴真q 真1123x x >-⎧⎪∴⎨-<<⎪⎩………………4分∴实数x 的取值范围为113x -<< ………………5分（Ⅱ）因为0m >，由:p 10mx +> 得 1x m>- ………………7分设11{},{|2}3A x xB x x m =>-=-<<p 是q 的必要不充分条件， B ∴是A 的真子集 ………………8分 12,m∴-≤- ………………9分又0m > ∴102m <≤ ………………10分∴实数m 的取值范围为102m <≤18. 本题考查正弦、余弦定理与面积的基本知识，满分12分 解：（Ⅰ）由余弦定理可得：2222cos ,c a b ab C =+-即224a b ab +-=………………2分又1sin 32ab C = , 4ab ∴= 2,2a b ∴== ………………6分（Ⅱ） 由正弦定理可得：2a b = ，又224a b ab +-= 4323,33a b ∴==………………9分 114323323sin 223323ABCS ab C ∆∴==⋅⋅⋅=………………12分 19. 本题考查面面垂直、线面垂直、二面角等知识，考查空间向量的应用．满分12分 解：（Ⅰ）∵ABCD 为矩形， ∴BA AD ⊥ ………………1分又∵ABCD ADEF⊥平面平面,=ABCD ADEF AD ⋂平面平面,∴ BA ADEF ⊥平面 ………………3分又EF ADEF ⊂面,∴BA EF ⊥ ………………4分,EF BF AB BF B ⊥⋂= ∴EF ABF ⊥面 ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 EF ABF ⊥面 ∴EF AF ⊥，以F 为原点，,AF EF 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系F xyz -. 则()()()0,0,0,2,0,0,2,0,2F A B --()()1,2,0,0,2,0D E - …………7分∴()()1,2,2,2,0,2BD BF =-=-设BFD 平面的一个法向量为()1,,n x y z =，则由1100n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得220220x y z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =得2,12y z == 12(1,,1)2n ∴= ………………9分 由（Ⅰ）得EF ABF ⊥面 ABF ∴面的法向量可取()20,2,0n FE ==,…10分121212115cos ,5151122n n n n n n ⋅∴<>====⋅++⋅ 设二面角A BF D --的平面角为θ，2212525sin 1cos ,1()55n n θ∴=-<>=-=即二面角A BF D --的正弦值为255………………12分 20. 本题考查基本不等式的应用，考查分类讨论思想和学生的应用意识等．满分12分 解：（Ⅰ）依题意得2(10)101045=5g a =-+- 得=15a ………………3分（Ⅱ）设投入乙商品的资金为x 万元(010)x ≤≤，则投入甲商品的资金为(10)x -万元，设总收益为()L x 万元。

福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高二数学上学期期末教学质量检查试卷文（扫描版）龙岩市一级达标校2018～2019学年第一学期期末高二教学质量检查数学（文科）参考答案13．90︒ 14．1 15． 175 16．1x <<三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分10分） 解析：（Ⅰ）因为命题q ：不等式2(2)2(2)10a x a x -+-+> 对任意实数x 恒成立为真命题,所以2a =或220234(2)4(2)10a a a a ->⎧⇒<<⎨∆=---⨯<⎩综上所述：23a ≤< (5)分（Ⅱ）因为“()p q ∧⌝”为真命题，故p 真q 假。

因为命题p ：函数log (1)a y x =+在定义域上单调递增，所以1a > (7)分q 假，由（1）可知2a <或3a ≥所以23(1,2)[3,)1a a a a <≥⎧⇒∈+∞⎨>⎩或 (9)分所以实数a 的取值范围为(1,2)[3,)+∞． (10)分 18．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由正弦定理，得2sin sin sin cos cos C B AB A-= (2)分整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=即2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+= (4)分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =,又0A π<<，所以3A π=． ………6分方法二：由余弦定理得：222222(2)22b c a a c b c b a bc ac+-+--⨯=⨯ (2)分化简整理得：222b c a bc +-= (4)分即1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=． ………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos3b c bc π=+-，即227b c bc +-=， (8)分又23b c =，解得3, 2.b c == (10)分所以11sin 3222ABC S bc A ∆==⨯⨯=………12分 19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）因为点(,)n n S 在曲线2()2f x x x =+上，所以22n S n n =+， ………1分当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+ (3)分当1n =时，11=3a S =，满足上式， (4)分所以*21()n a n n N =+∈． (5)分（Ⅱ）因为{}n b 是首项1=1b ，公比3q =的等比数列，所以13n n b -=，故1(21)3n n n a b n -=+⨯ (7)分所以0121335373(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ①1233335373(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ②①-②得1231232(3333)(21)3n n n T n --=+++++-+⨯ (9)分即13(13)232(21)32313n n n n T n n ---=+⨯-+⋅=-⋅- (11)分所以3n n T n =⋅． (12)分20．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）()2f x x ax b '=-+， ………2分由题意得02,00,f f ⎧⎨'⎩（）＝（）＝解得：0,2b c ==． ………6分（Ⅱ）24()g x x ax x'=-+，依题意，存在(1,3)x ∈，使不等式24()0g x x ax x'=-+<成立，即(1,3)x ∈时，2min 4a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭ (8)分令24(),(1,3)h x x x x =+∈，则33388()1x h x x x-'=-=， 令()0h x '=，得2x =．当(1,2)x ∈时，()0h x '<,()h x 单调递减；当(2,3)x ∈时,()0h x '>,()h x 单调递增．所以当2x =时，()h x 取得最小值(2)3h =． (11)分所以实数a 的取值范围是()3,+∞． (12)分 21．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）因为b e 12c a ==，2222244()4a c a b a ==-⇒= 所以椭圆方程为：22143+=x y ． (5)分（Ⅱ）设00(,)P x y ，因为12l l ⊥,则== (7)分因为2200143x y +=，所以==== (9)分因为0y ≤≤所以当0y =P (． (12)分 22．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）2(21)2(2)(1)()e e x xax a x x ax f x -+-+-+'==-， (1)分（ⅰ）当0a =时，2()e xx f x -+'=． 令()0f x '>，得2x <；令()0f x '<，得2x >； (2)分 所以()f x 在(,2)-∞单调递增，在(2,)+∞单调递减． (3)分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '>，得12x a-<<； 令()0f x '<，得12x x a<->或； ………4分所以()f x 在1(,2)a -单调递增，在1(,)a-∞-和(2,)+∞单调递减． ………5分综上，当0a =时，()f x 在(,2)-∞单调递增，在(2,)+∞单调递减； 当0a >时，()f x 在1(,2)a -单调递增，在1(,)a-∞-和(2,)+∞单调递减．…6分（Ⅱ）当2a ≥时，122()(21e )e x x f x x x +-≥+-+． (8)分令122()21e x g x x x +=+-+，则12()41ex g x x +'=++．当12x <-时， ()0g x '<，()g x 单调递减； 当12x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； (11)分所以()g x 1()=02g ≥-．因此()0f x ． (12)分方法二：由（Ⅰ）得，当2a ≥时，()f x 在1(,)a -∞-单调递减，在1(,2)a-单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得极小值11()e a f a-=-； (8)分当2x >时，210,e 0x ax x -+->>，()0f x > (10)分所以当1x a =-时，()f x 取得最小值11()e a f a-=-； (11)分而1112e e e 0aa-=-≥，所以当2a ≥时，()0f x ≥． (12)分。

龙岩市非一级达标校2018～2019学年第一学期期末高二教学质量检查数学（理科）试题（考试时间：120分钟 满分150分）注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填写在答题卡的相应位置．） 1．已知命题000:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ⌝∨是真命题2．在ABC ∆中，060A =,075B =,10=a ,则边c 等于 A．B．C． D．33．已知命题:p “12x <<”，:q “21x >”，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x ，则y x z 32-=的最小值为A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2（第6题图）双曲线C 的焦距等于 A ．2 B．C ．4D．6．在四面体O ABC -中，设OA a =，OB b =，OC c =，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =A ．111244a b c ++ B ．111222a b c ++C ．1144a b c ++D ．1122a b c ++7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏8．已知正数,a b 的等差中项是12，且11,M a N b a b=+=+，则M N +的最小值是 A ．3 B ．4 C ．5D ．69．已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，且PA ⊥底面ABCD ，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒10．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为 A ．12a <-或12a >B ．12a >或0a < C ．12a >D ．1122a -<< 11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为060的直线交抛物线于B A 、两点，若（第9题图）（第16题图）线段AB 的长为8，则p = A ．3-B ．1C ．3D ．412．如图，已知顶角A 为060的三角形ABC 满足4AB AC +=，点,D E 分别在线段AB 和AC 上，且满足2EC AD =，当ABC ∆的面积取得最大值时，DE 的最小值为A ．1BC．7D．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置．） 13．已知关于x 的不等式2320ax x -+<的解集为{|1}x x b <<，则a b +的值______． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则789a a a ++=__________． 15. 一艘轮船从港口A 处出发，以15海里/小时的速度沿着北偏西10的方向直线航行，在港口A 处测得灯塔M 在北偏东50方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M 与港口A 的距离为__________海里. 16．如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为双曲线的右焦点，且满足0FA FB ⋅=,6ABF π∠=,则双曲线的离心率e 的值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知命题:p 实数x 满足10(0)mx m +>>，命题:q 实数x 满足()()3120x x -+<．（第12题图）（Ⅰ）当1m =且p q ∧为真命题时，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a b c ,,，已知2,3c C π==.（Ⅰ）若ABC ∆，求,a b 的值; （Ⅱ）若sin 2sin ,A B =求ABC ∆的面积．19. （本小题满分12分）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22nn n a b n n=+，求证：数列{}n b 的前n 项和1n T <．20．（本小题满分12分）某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为x 10)x ≤≤（0万元时，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为()f x 万元与()g x 万元，其中()2f x x =+，2101(06)()145(610)x x g x x x ax x +⎧≤≤⎪=+⎨⎪-+-<≤⎩，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．（第21题图）（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．21．（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，//,,AF DE EF BF⊥22,AB AF DE AD ====（Ⅰ）求证：EF ⊥平面ABF ； （Ⅱ）求二面角A BF D --的正弦值．22. （本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:C y =的焦点重合，且椭圆的离心率为3e =． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的动直线l 与椭圆1C 相交于,A B 两点，O 为原点，求OAB ∆面积的最大值．龙岩市非一级达标校2018～2019学年第一学期期末高二教学质量检查数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．45 15．5 161三、解答题：本大题共6小题，第17小题10分，其它每小题12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本题考查简易逻辑、解不等式及充要条件等基本知识，满分10分． 解：（Ⅰ）当1m =时，由p 得+10x >，∴ :p 1x >- ………………1分由q ：(31)(2)0x x -+< 得123x -<< ∴:q 123x -<< ………………2分 p q ∧为真命题，p ∴真q 真1123x x >-⎧⎪∴⎨-<<⎪⎩……………4分∴实数x 的取值范围为113x -<<………………5分 （Ⅱ）当0m >时，由:p 10mx +> 得 1x m>- ………………7分设11={},{|2}3A x xB x x m >-=-<<p 是q 的必要不充分条件， B ∴是A 的真子集 ………………8分112,2m m ∴-≤-∴≤ ………………9分 又0m > ∴102m <≤ ………………10分∴实数m 的取值范围为102m <≤18. 本题考查正弦、余弦定理与面积的基本知识，满分12分解：（Ⅰ）由余弦定理可得：2222cos ,c a b ab C =+-即224a b ab +-= ………………2分又1sin 2ab C =, 4ab ∴= 2,2a b ∴== ………………6分 （Ⅱ）由正弦定理可得：2a b =，又224a b ab +-= 33a b ∴==………………9分11sin 22ABC S ab C ∆∴===………………12分 19. 本题考查数列通项公式的求解、裂项求和与证不等式.满分12分 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由12a =，324a a =+得2224q q =+， ………………2分即220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），∴2q =. ………………4分 所以{}n a 的通项为1222n nn a -=⋅=（n N *∈） ………………6分（Ⅱ）由上知2nn a = ∵22nn n a b n n=+，∴21111(1)1n b n n n n n n ===-+++， ………………8分∴123n n T b b b b =+++⋯+1111111(1)()()()223341n n =-+-+-+⋯+-+ ………………9分111n =-+ ………………10分∴1101n T n -=-<+ ………………12分 即数列{}n b 的前n 项和为1n T <．20. 本题考查基本不等式的应用，考查分类讨论思想和学生的应用意识等．满分12分解：（Ⅰ）依题意得2(10)101045=5g a =-+- 得=15a ………………3分（Ⅱ）设投入乙商品的资金为x 万元(010)x ≤≤，则投入甲商品的资金为(10)x -万元，设总收益为()L x 万元。

2018-2019学年福建省龙岩市非一达标校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列命题中，正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】D【解析】解：对于A，要满足，，才能得到，故错；对于B，时，由，得，故错；对于C，若，，则或或，故错；对于D，若，则，则，故正确；故选：D．A，要满足，，才能得到；B，时，由，得；C，若，，则或或；D，若，则，则；本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．2.一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中A. 真命题与假命题的个数不同B. 真命题的个数一定是偶数C. 真命题的个数一定是奇数D. 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【答案】B【解析】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的，真命题的个数一定是一个偶数．故选：B．根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的．本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目．3.若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：点P 到直线的距离比它到点的距离小1， 点P 到直线的距离和它到点的距离相等， 故点P 的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 即，则点P 的轨迹方程为， 故选：D ．由题意得，点P 到直线的距离和它到点的距离相等，故点P 的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，写出抛物线的方程． 本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P 的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，是解题的关键．4. 等差数列中，若，则A. 256B. 512C. 1024D. 2048 【答案】C【解析】解：等差数列中，若，可得，则．故选：C ．运用等差数列的性质和指数的运算性质，结合等差数列的求和公式，计算可得所求值． 本题考查等差数列的性质和求和公式，以及指数的预算性质，考查运算能力，属于基础题．5. 已知函数既存在极大值又存在极小值，那么实数m 的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数既存在极大值，又存在极小值有两异根，，解得或， 故选：D ．求出函数的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m 的范围．利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反．6.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分的条件是A.B. C. D.【答案】A【解析】解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意； “”不能推出“”，故选项B 不是“”的必要条件，不满足题意；B 不正确．“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；C不正确；“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；D不正确．故选：A．欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个“”能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可．本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．7.若，则的最小值为B. 5C. 6D. 7A.【答案】C【解析】解：设，因为，则，则，由“对勾函数”的性质可得：在为减函数，即，故选：C．由三角函数的有界性得：，因为，则，由对勾函数的单调性得：在为减函数，即，得解．本题考查了三角函数的有界性及对勾函数的单调性，属中档题．8.平面四边形ABCD中，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：中，，，，得．，，．故选：B．由平面几何知识，不难算出，从而求得AC，AD即可．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】解：由题意知，抛物线的焦点坐标点，直线AB的方程为，由，得，设，，则，，，，故选：A．由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出、两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得，由韦达定理可以求得答案．本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．10.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由的图象知，当时，，时，，即当时，，排除B，C，当时，，排除A，故选：D．根据的图象得到当时，，时，，然后讨论x的范围得到函数取值是否对应进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数符号的一致性进行排除是解决本题的关键．11.若P是椭圆上的点，点Q，R分别在圆：和圆：上，则的最大值为A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】B【解析】解：椭圆中，，椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，，准线，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则．故选：B．椭圆中，，故椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则，由此能求出的最大值．本题考查椭圆和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．12.已知函数的图象过点，为函数的导函数，e为自然对数的底数若1'/>恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，则，1'/>恒成立，恒成立，单调递增，，，不等式，，，故选：C．构造函数设确定在R单调递增，即可求出不等式的解集．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为______．【答案】【解析】解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，离心率，，，又，，，当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为，双曲线的两条渐近线互相垂直所成的角是；故答案为：．设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率，可求得，从而可求双曲线的两条渐近线所成的角．本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】1【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，依此规律，这个数列前44项之和为______．【答案】116【解析】解：数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后接8个3时，共有，则前44项之和为．故答案为：116．由题意可得该数列规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后结8个3时，项数为44，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意总结数列的规律，考查运算能力，属于基础题．16.若长度为，4x，的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：，可得为最大边．由于此三角形为钝角三角形，，化为：，由，解得．又，解得：，的取值范围为．故答案为：．，可得为最大边由于此三角形为钝角三角形，可得，解出，根据三角形两边之和大于第三边可求，即可得解本题考查了余弦定理、不等式的解法、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：函数在定义域上单调递增；命题q：不等式对任意实数x恒成立．Ⅰ若q为真命题，求实数a的取值范围；Ⅱ若“”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ因为命题q：不等式对任意实数x恒成立为真命题，所以或综上所述：分Ⅱ因为“为真命题，故p真q假．因为命题p：函数在定义域上单调递增，所以分q假，由可知或所以分所以实数a的取值范围为，分【解析】Ⅰ恒成立，时，，即，结果相并；Ⅱ为真时，；为真，即q为假时，或，结果再相交．本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．Ⅰ求A；Ⅱ若，求的面积．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ．由正弦定理，得分整理得，分因为，所以，又，所以分方法二：由余弦定理得：分化简整理得：分即，又，所以分Ⅱ由余弦定理得：，，即，分又，解得，分所以分【解析】Ⅰ方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求，进而可求A；方法二：由余弦定理对已知进行化简可得，然后再由余弦定理可求，进而可求A；Ⅱ由已知结合余弦定理可得，结合已知，可求b，c代入三角形面积可求．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式及两角和的正弦公式，诱导公式等知识的综合应用，数中档试题19.设函数，曲线在点处的切线方程为．Ⅰ求b，c的值；Ⅱ若，求函数的极值．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分由题意得解得：，分Ⅱ依题意，由得，分所以当时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增分故的极大值为，的极小值为分【解析】Ⅰ求出函数的导数，利用已知条件推出方程，然后求解b，c的值；Ⅱ若，判断导函数的符号，然后求解函数的极值．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．20.已知函数，数列的前n项和为，点在曲线上．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ因为点，在曲线上，所以，，分当，时，分当，时，，满足上式，分，所以分，Ⅱ因为，，所以分，，分【解析】Ⅰ利用点在曲线上，通过通项公式与数列的和关系，然后求解数列的通项公式；Ⅱ化简数列，利用数列的裂项相消法，求解数列的前n项和．本题考查数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与曲线相结合，考查计算能力．21.椭圆C：的离心率为，且过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点M作两条互相垂直的直线，，椭圆C上的点P到，的距离分别为，，求的最大值，并求出此时P点坐标．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ由题意知，，所以椭圆方程为：分Ⅱ设，因为，则分因为，所以分因为，所以当时，取得最大值为，此时点分【解析】Ⅰ利用椭圆的离心率，然后求解a，b，即可得到椭圆C的方程；Ⅱ设，结合，然后求解的表达式，然后求解表达式的最大值，然后求解求解P点坐标．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．22.已知函数．Ⅰ当时，讨论的单调性；Ⅱ证明：当时，．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分当时，．令0'/>，得；令，得；分所以在单调递增，在单调递减分当时，令0'/>，得；令，得；分所以在单调递增，在单调递减分综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减分Ⅱ当时，分令，则．当时，，单调递减；当时，0'/>，单调递增；分所以因此分方法二：由Ⅰ得，当时，在单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值；分当时，，，分所以当时，取得最小值；分而，所以当时，分【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过a的值，当时，导函数的符号，推出的单调性；Ⅱ当时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．方法二：判断当时，判断导函数的符号，求解函数的最小值，然后求解函数的最值．本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．。