【精校】2020年安徽省淮南市高考一模数学文

2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．109．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．100810．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)12．（3分）若函数2()x f x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB = ．三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()xa e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由于函数1()3()2x f x x =-+是R 上的单调减函数，。

2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。

江淮名校2020届高考模拟试卷（一）文科数学时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数z 满足(l+i)z=l+3i ，则z=（）A ．l+2iB ．2+iC ．l-2iD ．2-i2．已知集合，则A ∪B=A ．RB ．C ．{|3}x x <D ．3．设x ∈R ，则“x≥0”是“|x-l|≤1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值5．在递增等比数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 3=4，则a 19=（）A ．219B ．220C ．29D ．2106．平面直角坐标系xOy 中分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，向量a=2i ，b=i+j ，以下说法正确的是（）A ．|a|=|b|B ．(a—b)丄bC ．a·b=1D ．a//b7．已知sina=35，且a 为第二象限角，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．195-B ．519-31C.17-17D.31-8．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．22019-1B ．22019-2C ．22020-2D ．22O2O -19．函数||3cos x y x e =-的图象可能是（）10．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．264B ．270C ．274D ．28211．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点的直线l ：x+y=c 在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为QF 2旳的中点，△QF 1F 2的面积为4，则双曲线E 的方程为（）A ．22122x y -=B ．2212x y -=C ．22144x y -=D ．22143x y -=12．若函数f(x)满足(2)2()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，1()ln 2f x x ax a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当X ∈(-4，-2）时，()f x 的最大值为-14，则实数a 的值为（）A ．3B ．e C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．13．曲线1y x =在点（1，1）处的切线方程为．14．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为．15．记S n 为数列{}n a 的前n 项和，若S n =2a n +1，则S 6=．16．在平面四边形ABCD 中，∠A=60°，AD ⊥DC ，，BD=2，则BC 的最小长度为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3口在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15~75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如右图所示，把年龄落在区间[15，35)和［35，75］内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”。

2022年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，，若，则a 的取值范围为( )A.B.C. D.2. 设复数z 满足，则( )A. 0B. 1C. D. 23. 已知命题p ：“且”是“”的充要条件；命题q ：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是( )A. B.C.D.4. 在区间上随机取一个数x ，则的值介于0到之间的概率为( )A.B.C.D.5. 若实数x ，y 满足约束条件，若的最大值等于3，则实数a的值为( )A.B. 1C. 2D. 36. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 为奇函数B. 为奇函数C. 为偶函数D.为偶函数7. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数无极值点，则角B 的最大值是( )A. B. C. D.8. .某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( )A. B. 4 C. 2 D.9. 已知，，若，则的最小值为( )A. 6B. 9C. 16D. 1810. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则( )A. B. C. 3 D. 611. 若直线l：与曲线有公共点，则实数m的范围是( )A. B. C. D.12. 已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为( )A. B. C. D.13. 在等比数列中，，，则______.14. 已知函数，则的值是______.15. 已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于______.16. 已知函数满足：当时，，当时，，当时，且若函数的图像上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：①的值域为R；②为周期函数；③实数a的取值范围为；④在区间上单调递减．其中所有真命题的序号是______.17. 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统．为了了解市民使用公共自行车情况，现统计了甲、乙两人五个星期使用公共自行车的次数，统计如下：第一周第二周第三周第四周第五周甲的次数111291112乙的次数9691415分别求出甲乙两人这五个星期使用公共自行车次数的众数和极差；根据有关概率知识，解答下面问题：从甲、乙两人这五个星期使用公共自行车的次数中各随机抽取一个，设抽到甲的使用次数记为x，抽到乙的使用次数记为y，用A表示满足条件的事件，求事件A的概率．18. 如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，O，E分别是BD，BC的中点，，求证：平面BCD；求点E到平面ACD的距离．19. 已知数列满足，求的值，并证明数列是等差数列；求数列的通项公式并证明：20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离是求椭圆C的方程；设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．21. 已知函数判断函数的单调性；已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为求曲线C的普通方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．23. 已知函数的最小值为求m的值；若实数a，b满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用并集定义、不等式性质直接求解．【解答】解：集合，，，的取值范围是故选：2.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求出结果．本题主要考查复数代数形式的运算，求复数的模的方法，属于基础题．【解答】解：复数z满足，，，故选3.【答案】D【解析】解：对于p，当且时，可得出，充分性成立，当时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，p为假命题；对于q，，，由曲线在点处的切线的斜率为1，得，，即，曲线在点处的切线斜率为，q为真命题；所以为真命题，故选：根据充分必要条件的定义对p，q进行判断，再利用真值表判断真假即可．本题考查了充分必要条件的判断，复合命题的真假判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当时，，则，由几何概型中的线段型可得：在区间上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为，故选：先求出的解集，再结合几何概型中的线段型求解即可．本题考查了几何概型中的线段型，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，即故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可求解a值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．6.【答案】C【解析】解：，，为偶函数，故A错误；，为偶函数，故C正确；，为非奇非偶函数，故B错误；，为非奇非偶函数，故D错误．故选：利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查二倍角的余弦的应用，考查型函数的图象与性质，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知，，则无解或有两个相等的实数解，所以，因此，由余弦定理可得，因为，所以，所以B的最大值为，故选：求导，根据导数与函数极值的关系，求得，结合余弦定理即可求得B的最大值．本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，余弦定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图的还原，由三视图可知：该三棱锥的侧面底面ABC，交线BC，，且，，，，据此即可计算出其体积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面底面ABC，交线BC，，且，，，，故选9.【答案】C【解析】解：由，，又，则，即，则，当且仅当，即，时取等号，故选：由平面向量共线的坐标运算求出x，y的关系，再结合均值不等式求最小值即可．本题考查了平面向量共线的坐标运算，重点考查了均值不等式，属基础题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，为偶函数，函数的图象关于直线对称，则有，是定义在R上的奇函数，则，综合可得：，函数是周期为3的周期函数，是定义在R上的奇函数，则，则，，故；故选：根据题意，由为偶函数分析的对称性，进而可得是周期为3的周期函数，由此求出和的值，计算可得答案．本题考查函数奇偶性和周期性的性质以及应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：直线方程即，联立直线方程可得直线过定点，曲线C的方程即，表示圆心为，半径为2的上半圆，当时，直线l为y轴，与曲线C显然有公共点，当时，直线l的斜率为，易知当直线过点时斜率最小，如图所示，所以，解得，综上，实数m的范围是，故选：首先确定直线所过的定点，然后考查C的特征，据此即可确定直线斜率最小时点的坐标，然后利用斜率公式即可求得直线的斜率．本题主要考查直线与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：令，当时，的图象如图所示，由对称性可知，，所以，又，，由图象可知，所以所以故选：令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究根据正弦函数的图象的对称性质得到，进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到m的取值范围，进而得到的取值范围．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：设等比数列的公比为q，由，得，所以故答案为：设等比数列的公比为q，由可得，从而利用即可求解．本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：根据题意，函数，则，则，故答案为：根据题意，由函数的解析式计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为双曲线，所以，渐近线方程为，所以，所以，所以焦距，故答案为：由双曲线E的方程，得，由渐近线方程，得b的值，再计算c，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．16.【答案】①③【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，当时，且，这部分函数的值域为R，则的值域为R，①正确；对于②，当时，，不具有周期性，不是周期函数，②错误；对于③，当时，，且当时，，作出函数在上的部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，即函数的图象与所作的图象至少有三个交点，必有，解得，a的取值范围为，③正确；对于④，当时，，即，，则，，在区间上单调递增，④错误；其中正确的是①③；故答案为：①③．根据题意，依次分析题目4个命题的真假，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和对称性，属于中档题．17.【答案】解：甲的众数是11和12，极差是，乙的众数是9，极差是从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为x ，乙抽到的次数为y ，则所有的为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有25个其中满足条件的有：，，，，，，，，共有8个事件A 的概率为【解析】利用众数，极差的定义直接求解．从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为x ，乙抽到的次数为y ，利用列举法能求出事件A 的概率．本题考查众数、极差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：连接OC ，OA ，，，，，，在中，由已知可得，，，而，，则，即，，平面BCD ，平面BCD ，平面BCD ；解：设点E 到平面ACD 的距离为h ，，，在中，，，，又，，点E到平面ACD的距离为【解析】连接OC，OA，由题意可得，，求解三角形证明，再由直线与平面垂直的判定可得平面BCD；设点E到平面ACD的距离为h，由，即可求得点E到平面ACD的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．19.【答案】解：当时，，，当时，；相除得，整理为：，即，为等差数列，公差；证明：由得，整理得：，，又单调递增，所以【解析】根据数列通项与前n项积的关系结合等差数列的定义即可得出答案；求出数列的通项，即可求出数列的通项公式，再根据数列的单调性即可得证．本题考查数列的递推式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：因为椭圆的右焦点到直线的距离是4，，，又因为离心率，所以，，椭圆方程为：；解法一：由知，设，则，，当时，有最大值，此时或，当时直线l的斜率，直线l的方程为；当时直线l的斜率，直线l的方程为直线l的方程为或解法二：由知，当直线l的斜率不存在时；当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为：，联立，得，，，，令，，时即时最大为18，最大为，直线l的方程为或【解析】根据椭圆的右焦点到直线的距离是4，可求出c，再根据离心率求出a，即可求得椭圆方程；解法一：知，设，则有，即可求解；解法二：考虑斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，和椭圆方程联立，从而表示出弦长，进而求弦长最大时斜率的值，求得答案．本题考查了椭圆的有关性质及直线与椭圆相交时弦长问题，解法一利用了两点间的距离公式，解法二用了分类讨论思想，属于中档题．21.【答案】解：因为，所以，令，则，，所以函数在区间单减，又因为，所以当时，，所以函数在区间上单调递减．当时，所求不等式可化为，即，易知，由知，在单调递减，故只需在上能成立．两边同取自然对数，得，即在上能成立．令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，所以，又故的取值范围是【解析】求出导函数，令，利用导函数判断函数的单调性，推出结果即可．不等式可化为，即，只需在推出在上能成立．令，则，判断函数的单调性，求解函数的最大值，即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：由为参数，得为参数，消去t得曲线C的普通方程为由，得，联立得，，所以AB中点坐标为，，故以AB为直径的圆的直角坐标方程为，即，将，，代入得【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用方程组的解法求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，故，，由可知，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为【解析】利用绝对值的几何意义，求解函数的值域，利用最小值求解m即可．利用的结果，通过配凑法，结合基本不等式求解表达式的最小值即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题(文科)一、选择题1.若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B = ( ) A. []1,2- B. (]2,3 C. [)1,2D. [)1,3【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，然后再求交集.【详解】由{}21A x x =-≤得，[1,3]A = ,(),2B x y ⎧⎫===-∞⎨⎩则[1,2)A B ⋂= 故选：C【点睛】本题考查集合求交集,属于基础题. 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为( ) A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数是( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数，数形结合可得结论． 【详解】函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数， 即方程132xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根的个数， 所以只需求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数 在同一坐标系中分别作出函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.如图所示，函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点有1个. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．5.由下表可计算出变量,x y 的线性回归方程为( )x5 4 3 2 1 y21.5110.5A. ˆ0.350.15yx =+ B. ˆ0.350.25yx =-+ C. ˆ0.350.15yx =-+ D. ˆ0.350.25yx =+ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，543212 1.5110.53, 1.255x y ++++++++====∴样本中心点为(3，1.2)代入选择支，检验可知A 满足.故答案选A ． 考点：线性回归方程.6.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A. 230x y -+= B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D 【解析】 【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 7.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为( ) A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--.此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.8.在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅的值为( ) A. 26 B. 13C.523D. 10【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出.【详解】()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅如图,设,AB AC 的中点分别为,E F ,则,OE AB OF AC ⊥⊥,||||cos ||||428AO AB AB AO OAB AB AE ⋅=⋅∠=⋅=⨯= ||||cos ||||6318AO AC AC AO OAC AC AF ⋅=⋅∠=⋅=⨯=所以18810AO BC ⋅=-= 故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题． 9.已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦( )A. 2019B. 2018C. 1009D. 1008【答案】D 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，可得1(1)20n n f a a +'=-=，数列{}n a 为等比数列，可得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可得n b ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．【详解】由21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)20n n f a a +'=-=，即12n n a a +=所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列, 则12n na .由1222log log 21n n n b a n ++===+120182018112018(1)(2)12n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以122320182019201820182018b b b b b b ++⋅⋅⋅+ 1223201820191111112018[]b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1201911111009=20182018=1009220201010b b ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1223201820192018201820181009[1009]10081010b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：D【点睛】本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A .2500cm 3πB.2625cm 9πC.2625cm 36πD.215625cm 162π【答案】B 【解析】 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R 即可求出球的表面积．【详解】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得222(3)4R R =-+，解得：25=6R ． ∴球的表面积为2225625=4=4=369S R πππ⨯ ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．11.已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为( )8 B. )41-8+ D. )22【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m -=， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭B. 11,1ee e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C. 11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D. 1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-, 则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=-- 由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x x x x x=→--所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x →所以()g x的大致图像如下:方程lnlnx xax x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1eae e⎛⎫∈-⎪-⎝⎭故选：C【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二．填空题13.若实数x，y满足0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值.【详解】由0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如下目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+. z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.即求直线2y x z =-+在y 轴上的截距的最大值. 由可行域的图像，可知目标函数过点(1,1)B 时截距最大. 所以z 的最大值为：2113z =⨯+= 故答案为：3【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题. 14.已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______． 433- 【解析】 【分析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2cos 1s 653in 6ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭341552=-+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题. 15.已知函数()lnexf x e x =-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ，b 均为正实数)，则ab 的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出,a b 的关系，可得出答案. 【详解】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----. 22018201920192019e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20182201710091010[][[]201920192019201920192019e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10092=⨯()10092a b =+ 所以4a b +=，且a ，b 均为正实数.则242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab 当且仅当2a b == 时取等号. 故答案为：4.16.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，则弦长AB =______．【答案】258【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案． 【详解】抛物线焦点坐标为1(,0)2F ， 设点1122(,),(,)A x y A x y 设直线l 方程为12x my =+， 由抛物线的定义有111||22p AF x x =+=+，221||22p BF x x =+=+ 由4AF BF =，得1211422x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1214(1)my my +=+. 所以有12(4)3(1)m y y -=，又由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得：2210y my --=，所以122y y m +=，121(2)y y ⋅=-由(1),(2)联立解得：2916m =. 又1212||||||12AB AF BF x x my my =+=++=++212925()22222168m y y m =++=+=⨯+=故答案为：258【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．三．解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】(Ⅰ)60C =︒；(Ⅱ)S = 【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =，可得答案.|(Ⅱ)由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】(Ⅰ)∵3cos sin a C c A =，由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =， 又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan 3C = ∵0180C <<︒，∴60C =︒．(Ⅱ)根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =． ∴ABC ∆的面积153sin 6022S CA CB =⋅︒=． 【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18.高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；(Ⅲ)为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(Ⅰ)0.030a =；(Ⅱ)37P =；(Ⅲ)表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数a .(Ⅱ)由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.(Ⅲ)先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算2K ，与给出的表格比较得出答案. 【详解】(Ⅰ)由题意()100.010.01520.0250.0051a ⨯+⨯+++=解得0.030a =.(Ⅱ)由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()13,A C ； ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()23,A C ； ()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ；()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ；()31,B C ，()32,B C ，()33,B C ；()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ；共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， ∴所求的概率为123287P ==. (Ⅲ)2×2列联表如下：由上表及公式可知()2220050406050 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.02＜2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题.19.如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥．(Ⅰ)求证：PE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)设F ，G 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13G BCF V -= 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据原图中的垂直关系，得到翻折后BE PE ⊥，PE BC ⊥，从而可证明. (Ⅱ)由F ，G 分别为PD ，PB 的中点111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，从而可求解体积.【详解】(Ⅰ)由题意可知BCDE 为正方形，∴BC BE ⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥ 又PE BC ⊥，且PB BE B =，∴BC ⊥平面PBE ，∵PE PB ⊂，E ，BC PE ⊥又BCBE B =，∴PE ⊥平面BCDE .(Ⅱ)∵G 为PB 的中点，∴PGF BGF S S ∆∆=，∴12C PGF C BGF C PBF V V V ---== 又F 为PD 的中点，∴PBF BDF S S ∆∆=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---== ∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----==== 又1142P BCDP BCDE V V --=，∴11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． (Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22198x y ；(2)存在，0m ≤<或0m <≤【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.(Ⅱ)AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】(1)由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y .(2)直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=012m -≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是012m -≤<或012m <≤. 【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21.设函数()ln xa e f xb x e=-，且()11f =(其中e 是自然对数底数)．(Ⅰ)若1b =，求()f x 的单调区间； (Ⅱ)若0b e ≤≤，求证：()0f x >． 【答案】(Ⅰ)增区间为1,，减区间为0,1；(Ⅱ)见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)当1b =时()11x xe f x x--'=，令()11x t x xe -=-，对()t x 求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到()f x 的单调区间.(Ⅱ)对()f x 求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可. 【详解】(Ⅰ)由()11f =可得，1a =，又1b =，∴()1ln x f x e x -=-，()11x xe f x x--'=，0x >，令()11x t x xe-=-，()()11x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在0,单调增函数，又()10t =.∴当()0,1x ∈时，()0t x <，()‘0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0t x >；()‘0f x >，∴()f x 的单调增区间为1,，减区间为0,1(Ⅱ)当0b =时，()0f x >，符合题意. 方法(一)当0b e <≤时，()11x x b xe bf x e x x---'=-=令()1x h x xeb -=-，又()00h b =-<，()220h e b =->∴()h x 在()0,2∃唯一的零点，设为0x ，有010x x eb -=且()00,x x ∈，()00f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()00f x '>，()f x 单调递增 ∴()()0100min ln x f x f x eb x -==-∵010x x eb -=，∴01x be x -=，两边取对数， 001ln ln x b x -=-∴()()000ln 1bf x b b x x =-+-00ln 2ln ln b bx b b b b b b b b b b x ⎛⎫=+--≥--=- ⎪⎝⎭(当且仅当01x =时到等号) 设()ln m b b b b =-，∴()ln m b b =-，当()0,1b ∈时，()0m b '>，当(]1,b e ∈时，()0m b '<； 又()0m e =，且，0b >，趋向0时，()0m e >； ∴当0b e <≤，()0m b ≥，当且仅当b e =时取等号由(1)可知，当1b =时，01x =，故当b e =时，01x ≠，()()00f x m b >≥，∴()00f x > 综上，当0b e ≤≤时，()0f x > 方法(二)当0b e <≤时，(i )当01x <≤时ln 0x ≤，ln 0b x ≤，()1ln 0x f x e b x -=->显然成立；(ii )当1x ≥时，构造函数()ln 1F x x x =-+()110F x x'=-≤，()F x 在[)1,+∞为减函数，∴()()10F x F ≤=，∴0ln 1x x <≤- ∴()()0ln 11b x b x e x <≤-≤-，∴()0ln 1b x e x <<- ∴()()11ln 1x x f x eb x e e x --=->--又由ln 1x x ≤-，可得21x e x -≥-，进而()()110x f x e e x -=--≥综上：当0b e ≤≤时，()0f x >【点睛】本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.四．选考题22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求1C ，2C 的极坐标方程； (2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==，所以MN =12. 试题解析：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ==所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点：坐标系与参数方程.【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】 试题分析：(1)解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：(1)当a ＝－3时，f(x)＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|(4－x)－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【此处有视频，请去附件查看】百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。

2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．109．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．100810．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)12．（3分）若函数2()x f x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB = ．三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()xa e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由于函数1()3()2x f x x =-+是R 上的单调减函数，f （3）108=>，f （4）115101616=-+=-<，根据函数的零点存在性定理，函数只有1个零点． 故选：B ．5．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 【解答】解：1234535x ++++==，0.511 1.521.25y ++++==，5152215ˆ0.355i ii ii x yxy bxx ==-==-∑∑，ˆˆ 1.20.3530.15ay bx =-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.350.15yx =+． 故选：A ．6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=【解答】解：线段AB 的中点为(2,1)，12AB k =-，∴线段AB 的垂直平分线为：2(2)1y x =-+，即230x y --=，AC BC =Q ，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC ∆的欧拉线方程为230x y --=， 故选：D ．7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()()f x f x -=，函数为偶函数， 当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，D ，f （1）111122=-=->-，∴排除B ， 故选：C ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．10【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ||||||||AC AT AB AS =-u u u r u u u r u u u r u u u r646422=⨯-⨯10=．故选：D ．9．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．1008【解答】解：函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈， 可得21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点， 可得：120n n a a +-=，即{}n a 是等比数列，首项为11a =，公比为2，可得12n n a -=，22log 21n n b a n ==-，122320182019201820182018111100930282018()1009100813354035403740374037b b b b b b ++⋯+=++⋯+=-=+⨯⨯⨯， 则122320182019201820182018[]1008b b b b b b ++⋯+=． 故选：D ．10．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π【解答】解：如图所示，设球的半径为R ，由题意可得OA OB =，O A OB '⊥交OB 于O '，4O A '=，3O B '=，在三角形OO A '中，222OO OA O A ''=-，即222(3)4R R -=-，解得256R =，所以球的表面积262549S R ππ==， 故选：B ．11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)【解答】解：由双曲线2221(0)4x y b b -=>，可得：2a =．如图所示，设2||AF m =，2||BF n =． 可得：1||4AF m =+，1||4BF n =+．4m m n ∴+=+．解得4n =．作1AD BF ⊥，垂足为D ．D 为线段1BF 的中点． 160F AD ∠=︒．13||(4)DF m ∴=+， ∴3(4)24m n +⨯=+，即3(4)4m n +=+． 又4n =，代入解得：834m =-． 1ABF ∴∆的周长44m m n n =+++++16382()8m n =++=+． 故选：A ．12．（3分）若函数2()xf x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-【解答】解：令()0f x =可得x lnxa x lnx x=--， 令()x lnxg x x lnx x=--，则2211()(1)()()g x lnx x lnx x '=---．令()0g x '=可得x e =或1x =或2x lnx =， 令()2h x x lnx =-，则1()2h x x'=-， ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(2，)+∞单调递增，()h x ∴的最小值为11()1022h ln =->，∴方程2x lnx =无解．当01x <<时，10lnx ->，x lnx x ->，当1x e <<时，10lnx ->，0x lnx x <-<， 当x e >时，10lnx -<，0x lnx x <-<，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当x e >时，()0g x '<，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，∴当1x =时，()g x 取得极小值g （1）1=，当x e =时，()g x 取得极大值g （e ）11e e e=--． ()f x Q 有3个零点，()a g x ∴=有3解，111e a e e∴<<--． 故选：A ． 二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 3 ． 【解答】解：作出实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大 作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B 时，z 最大 由20x y x y +=⎧⎨-=⎩可得(1,1)A ，此时3z =．故答案为：3．14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为 433-【解答】解：由5(,)36ππα∈，得(62ππα+∈，)π，由4sin()65πα+=，得23cos()1sin ()665ππαα+=-+-，所以cos cos[()]66ππαα=+-cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+++3341()552=-+⨯433-=433-． 15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 4 ． 【解答】解：由()exf x ln e x=-，可得2()()2f x f e x ln ln lne +-=+==， 因为220181009()()()()2019201920192e e e f f f a b ++⋯+=+， 所以20181009()222a b +⨯=， 即有4a b +=， 由基本不等式可得2()42a b ab +=…，当且仅当2a b ==时取等号，此时取得最大值4． 故答案为：4．16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB =258． 【解答】解：抛物线焦点坐标为1(2F ，0)，设直线方程为12x my =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2212y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得：2210y my --=，则由韦达定理有：122y y m +=，①，121y y =-，②||4||AF BF =Q ，∴12114()22x x -=-，124y y -=，③， 由①②③可得2916m =， 1212925||1()222168AB x x m y y ∴=++=++=⨯+=． 故答案为：258． 三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 【解答】解：()I ．Q cos sin C c A =cos sin sin A C C A =．又A 是ABC ∆内角，sin 0A ∴≠，∴tan C =0180C <<︒Q ，60C ∴=︒．()II 根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PAPB =+-︒， 解得2AP =，5BC ∴=，2AC =．ABC ∴∆的面积153sin 602S CA CB =︒=． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：经常使用 偶尔使用或不用合计 男性 50 100 女性 40 合计200完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635【解答】解：（Ⅰ）由题意知，10(0.010.01520.0250.005)1a ⨯+⨯+++=， 解得0.030a =；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3， 分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：1(A ，2)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，1(A ，3)B ， 1(A ，1)C ，1(A ，2)C ，1(A ，3)C ；2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，3)B ， 2(A ，1)C ，2(A ，2)C ，2(A ，3)C ；1(B ，2)B ，1(B ，3)B ，1(B ，1)C ， 1(B ，2)C ，1(B ，3)C ；2(B ，3)B ，2(B ，1)C ，2(B ，2)C ，2(B ，3)C ； 3(B ，1)C ，3(B ，2)C ，3(B ，3)C ；1(C ，2)C ，1(C ，3)C ，2(C ，3)C 共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， 故所求的概率为123287P ==； （Ⅲ）由题意填写22⨯列联表如下，经常使用 偶尔使用或不用合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计11090200由上表及公式可知2200(50406050) 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；因为2.02 2.072<，所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关．19．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可知BCDE 为正方形，BC BE ∴⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥，又PE BC ⊥，且PB BE B =I ，BC ∴⊥平面PBE ，PE ⊂Q 平面PBE ，BC PE ⊥，又BC BE B =I ，PE ∴⊥平面BCDE ． （Ⅱ）解：G Q 为PB 的中点，PGF BGF S S ∆∆∴=，∴12C PGF C BGF C PBF V VV ---==，又F 为PD 的中点，PBF BDF S S ∆∆∴=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---==，∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，又1142P BCD P BCDE V V --=， ∴三棱锥G BCF -的体积为：11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，222b a c =-，所以3a =，1c =，28b =，所以椭圆C 的方程为22198x y +=（Ⅱ）直线l 的解析式为2y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点为0(E x ，0)y ， 假设存在点(,0)D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形， 则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++ 当0k >时，89k k +=…0m <； 当0k <时，89k k+-„012m <„，综上：m取值范围是[，0)(0⋃． 21．（12分）设函数()xa e f x blnx e=-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得，1a =，1b =，111()()x x xe f x elnxf x x---'∴=-=，0x > 令1()1x t x xe -=-，1()(1)x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在(0,)+∞单调增函数，又t （1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0t x <，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0t x >，()0f x '>，()f x ∴的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；（Ⅱ）当0b =时，()0f x >，符合题意， 当0b e <„时，11()x x b xe bf x ex x---'=-=， 令1()x h x xe b -=-，又(0)0h b =-<，h （2）20e b =->，()h x ∴在(0,2)∃唯一的零点，设为0x ，有010x x e b -=，且0(0,)x x ∈，0(0)f x '<，()f x 单调递减； 0(x x ∈，)+∞，0(0)f x '>，()f x 单调递增；∴0100()()x min f x f x e blnx -==-Q 010x x e b -=， ∴010x be x -=，两边取对数，001x lnb lnx -=-， ∴00000()(1)()2b bf x b lnb x bx blnb b b blnb b b blnb x x =-+-=+----=-…（当且仅当01x =时到等号），设m （b ）b blnb =-， m ∴（b ）lnb =-，当(0,1)b ∈时，m '（b ）0>， 当(1b ∈，]e 时，m '（b ）0<；又m （e ）0=，且，0b >，趋向0时，m （e ）0>；∴当0b e <„，m （b ）0…，当且仅当b e =时取等号，由（1）可知，当1b =时，01x =，，故当b e =时，01x ≠，0()f x m >（b ）0…， 0()0f x ∴>，综上，当0b e 剟时，()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的 极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为： 22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=， 求得122ρ=，22ρ=，12||||2MN ρρ∴=-=，由于圆2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N =⨯⨯=g g ．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-．（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集； （Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当3a =-时，()3f x …即|3||2|3x x -+-…， 即①2323x x x ⎧⎨-+-⎩„…，或②23323x x x <<⎧⎨-+-⎩…，或③3323x x x ⎧⎨-+-⎩……；解①可得1x „，解②可得x ∈∅，解③可得4x …． 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{|1x x „或4}x …． （2）原命题即()|4|f x x -„在[1，2]上恒成立，等价于||24x a x x ++--„在[1，2]上恒成立，等价于||2x a +…，等价于22x a -+剟，22x a x ---剟在[1，2]上恒成立． 故当12x 剟时，2x --的最大值为213--=-，2x -的最小值为0， 故a 的取值范围为[3-，0]．。

2020学年高考一模数学文科试卷一、选择题1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在区间[0，4]上随机地取一个数x，则事件“0≤log2（x﹣1）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．4．已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．函数的部分图象是（）A．B．C．D．6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数量N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如11≡2（bmod3），现将该问题以程序框图的算法给出，我行该程序框图，则输出的结果等于（）A．35 B．36 C．37 D．387．已知双曲线C的中心在坐标原点且焦点在坐标轴上，C的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且点F到双曲线C的渐近线的距离等于2，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足，当x∈[0，+∞）时，，，b＝f（20.3），c＝f（0.42），则下列不等式成立的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a9．已知函数，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．其图象关于直线对称C．在区间上的值域为[﹣2，﹣1]D．函数g（x）是奇函数10．设等差数列{a n}的公差不为0，其前n项和为S n，若（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝﹣2020，则S2020＝（）A．0 B．﹣2020 C．2020 D．404011．已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足，且，则2x+y的最大值为（）A．B．C．D．12．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面ADC，AD⊥AC，AD＝AC，，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．7 B．12 C．6 D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知非零向量、满足，，且，则与的夹角为．14．已知，2sin（2α）＝cos（2α）+1，则＝．15．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，以F2为圆心的圆过坐标原点，过点F1作直线l与圆F2相切，直线l与椭圆相交于点P、Q且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率为．16．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，对于任意x∈R均有f（x）+2g（x）＝mx﹣4，若f（x）﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且10b2cos B＝6ab cos C+3（b2+c2﹣a2）．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）设，，求△ABC的周长．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，等比数列{b n}的公比q＞1，且b3+b4+b5＝28，b4+2是b3，b5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M，N 分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求点M到平面B1NC的距离．20．纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏.2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：（Ⅰ）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（Ⅱ）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：，n＝a+b+c+d．21．设A，B为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上不同两点，抛物线C的焦点到其准线的距离为4，A与B的横坐标之和为8．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若设M为抛物线C上一点，C在点M处的切线与直线AB平行，过M点作直线l与曲线C相交于点M，Q，与y轴交于点P，且满足，求△OPQ的面积．22．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数，g（x）＝f'（x）+1．（Ⅰ）当m＝2时，判断函数g（x）在（0，π）上是否存在零点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）在（0，π）上存在最小值，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B＝（）A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，∴A∩B＝{1}．故选：A．2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：＝＝，其对应的点（）在第四象限故选：D．3．在区间[0，4]上随机地取一个数x，则事件“0≤log2（x﹣1）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．解：在区间[0，4]的长度为4；0≤log2（x﹣1）≤1，解之得[2，3]，长度为1；故在区间[0，4]上随机地取一个数x，则事件“0≤log2（x﹣1）≤1”发生的概率为．故选：B．4．已知平面α，直线m，n，若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：由n⊂α，m⊥n，不一定得到m⊥α；反之，由n⊂α，m⊥α，可得m⊥n．∴若n⊂α，则“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选：C．5．函数的部分图象是（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A．当x＝π时，f（π）＝＝＜0，排除C，且﹣＜f（π）＜0，排除D，故选：B．6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数量N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如11≡2（bmod3），现将该问题以程序框图的算法给出，我行该程序框图，则输出的结果等于（）A．35 B．36 C．37 D．38解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数；在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数是38．故选：D．7．已知双曲线C的中心在坐标原点且焦点在坐标轴上，C的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且点F到双曲线C的渐近线的距离等于2，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．解：抛物线即x2＝16y的焦点F（0，4），可设双曲线的方程为﹣＝1（a，b＞0），可得c＝4，即a2+b2＝16，由点F（0，c）到双曲线C的渐近线by±ax＝0的距离等于2，可得d＝＝b＝2，解得a＝2，则双曲线的方程为﹣＝1，故选：A．8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足，当x∈[0，+∞）时，，，b＝f（20.3），c＝f（0.42），则下列不等式成立的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a解：∵∀x1，x2≥0，且x1≠x2，，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，根据偶函数的对称性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，∵＝f（﹣2）＝f（2），b＝f（20.3），c＝f（0.42）＝f（0.16），∵1＜20.3＜2，∴a＞b＞c．故选：B．9．已知函数，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．其图象关于直线对称C．在区间上的值域为[﹣2，﹣1]D．函数g（x）是奇函数解：已知函数＝2sin（ωx+），当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|最小值为＝•，∴ω＝4，f（x）＝2sin （4x+）．把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（4x﹣+）＝﹣2cos4x的图象．在上，4x∈[π，2π]，g（x）是减函数，故排除A；当x＝时，g（x）＝1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线对称；故排除B；在区间上，4x∈[﹣，]，cos4x∈[，1]g（x）∈[﹣2，﹣1]，故C正确；由于g（x）＝﹣2cos4x为偶函数，故排除D，故选：C．10．设等差数列{a n}的公差不为0，其前n项和为S n，若（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝﹣2020，则S2020＝（）A．0 B．﹣2020 C．2020 D．4040解：等差数列{a n}的公差不为0，且（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin （a2018﹣2）＝﹣2020，令f（x）＝x3+sin x，则f（﹣x）＝﹣f（x）即f（﹣x）+f（x）＝0，∵（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）＝2020，（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝﹣2020，两式相加可得，（a3﹣2）3+sin（a3﹣2）+（a2018﹣2）3+sin（a2018﹣2）＝0，∴（a3﹣2）+（a2018﹣2）＝0，∴a3+a2018＝4，则S2020＝＝1010（a3+a2018）＝4040．故选：D．11．已知正方形ABCD的边长为2，动点P满足，且，则2x+y的最大值为（）A．B．C．D．解：如图建立平面直角坐标系，A（0，0），B（2，0），D（0，2），设P（m，n），因为，所以（m，n）＝（2x，0）+（0，2y），即（m，n）＝（2x，2y），m＝2x，n＝2y，因为又因为动点P满足，所以，，即（x﹣1）2+y2，设z＝2x+y，当该直线与圆（x﹣1）2+y2＝相切时会取得z最大值，，z＝2±，所以z max＝2+，即2x+y的最大值为2+，故选：B．12．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面ADC，AD⊥AC，AD＝AC，，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．7 B．12 C．6 D．解：根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E＝b，由S＝4πR2＝28π，解得R＝，在△ABC中，由正弦正理得2r＝，∴2r＝，解得b＝，在Rt△OAO1中，7＝r2+（）2，解得r＝2，b＝2，∴AC＝2，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠ABC，∴12＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC，解得AB•BC≤12，∴≤＝3，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：＝＝6．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知非零向量、满足，，且，则与的夹角为．解：，，且，所以（+）•＝0，所以•＝﹣＝﹣1，所以cosθ＝＝＝﹣；又θ∈[0，π]，所以θ＝；即与的夹角为．故答案为：．14．已知，2sin（2α）＝cos（2α）+1，则＝ 3 ．解：由半角公式，则＝＝，由2sin（2α）＝cos（2α）+1＝2，化简得5cos22α+2cos2α﹣3＝0，故或者cos2α＝﹣1（舍弃），由2sin2α＝cos2α+1＝，sin2α＝，所以＝，故答案为：315．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，以F2为圆心的圆过坐标原点，过点F1作直线l与圆F2相切，直线l与椭圆相交于点P、Q且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率为．解：以F2为圆心的圆过坐标原点，可得圆F2的圆心为（c，0），半径为c，PF2⊥x轴，可设P（c，m），m＞0，由+＝1，解得m＝|PF2|＝，在直角三角形PF1F2中，|PF1|+|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2a﹣＝，由三角形的面积公式可得••2c＝c•，化为2a2＝3b2，则e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，对于任意x∈R均有f（x）+2g（x）＝mx﹣4，若f（x）﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立，则实数m的取值范围是[e2，+∞）．解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，对于任意x∈R均有f（x）+2g（x）＝mx﹣4，①∴f（﹣x）+2g（﹣x）＝﹣mx﹣4，即﹣f（x）+2g（x）＝﹣mx﹣4，②由①②得2f（x）＝2mx，得f（x）＝mx，若f（x）﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立即若mx﹣3﹣lnx≥0对任意x∈（0，+∞）都成立则mx≥3+lnx，m≥，设h（x）＝，则h′（x）＝，由h′（x）＞0得﹣2﹣lnx＞0，得lnx＜﹣2，得0＜x＜，此时函数为增函数，由h′（x）＜0得﹣2﹣lnx＜0，得lnx＞﹣2，得x＞，此时函数为减函数，即当x＝，时，函数h（x）取得极大值，同时也是最大值，最大值为h（）＝＝＝e2，即m≥e2，则实数m的取值范围是[e2，+∞），故答案为：[e2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且10b2cos B＝6ab cos C+3（b2+c2﹣a2）．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）设，，求△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵10b2cos B＝6ab cos C+3（b2+c2﹣a2）＝，∴．（Ⅱ）∵，∴ac cos B＝3，∴ac＝5，∵b2＝a2+c2﹣2ac cos B，，∴，∴a+c＝6，∴△ABC的周长．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2+n，等比数列{b n}的公比q＞1，且b3+b4+b5＝28，b4+2是b3，b5的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）∵，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n，又n＝1时，a1＝S1＝2满足上式，∴a n＝2n；∵b4+2是b3，b5的等差中项，可得b3+b5＝2（b4+2），又等比数列{b n}的公比q＞1，且b3+b4+b5＝28，∴b4＝8，b3+b5＝20，又∵＝64，q＞1，解得b3＝4，b5＝16，∴q＝2，；（Ⅱ）∵＝，∴＝．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M，N 分别是AB，A1C的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求点M到平面B1NC的距离．解：（Ⅰ）连接AC1，BC1交B1C于点O，∵AA1⊥平面ABC且AC＝CC1＝2，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1过点N，且点N为AC1中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，且，又∵MN不在平面BCC1B1内，BC1在平面BCC1B1内，∴MN∥面BCC1B1．（Ⅱ）由（1）可得四边形MBON为平行四边形，∴可证BM∥平面B1NC，∴点M到平面B1NC的距离等于点B到平面B1NC的距离，设为d，∵，N为A1C中点，∴，由，得，又∵，∴．20．纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏.2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：（Ⅰ）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（Ⅱ）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：，n＝a+b+c+d．解：（1）根据题意，设表中数据为则有e+22＝50，则e＝28；24+d＝50，则d＝26，a+20＝e＝28，则a＝8，a+b＝24，则b＝16，b+c＝22，则c＝6；故列联表为：则有≈9.623＞6.635．故能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关．（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a，b，c，非学生记为A，B，则从5人中任取2人，共有（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）10种结果．其中至多有1位学生的有7种，∴至多有1位学生的概率．21．设A，B为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上不同两点，抛物线C的焦点到其准线的距离为4，A与B的横坐标之和为8．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若设M为抛物线C上一点，C在点M处的切线与直线AB平行，过M点作直线l与曲线C相交于点M，Q，与y轴交于点P，且满足，求△OPQ的面积．解：（Ⅰ）由条件可知：p＝4，∴x2＝8y．设点A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．（Ⅱ）设M（x0，y0），，∴，∴x0＝4，∴y0＝2．设点P（0，y3），Q（x4，y4），直线l为：y＝k（x﹣4）+2，∴，∴x2﹣8kx+32k﹣16＝0，∴x0+x4＝8k，x0x4＝32k﹣16．∵，∴﹣x0＝2x4，∴x4＝﹣2，，∴，∴．22．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数，g（x）＝f'（x）+1．（Ⅰ）当m＝2时，判断函数g（x）在（0，π）上是否存在零点，并说明理由；（Ⅱ）若f（x）在（0，π）上存在最小值，求m的取值范围．解：（Ⅰ）m＝2时，g（x）＝x﹣2sin x+1．令g'（x）＝0，即，x∈（0，π），得，当x变化时，g'（x），g（x）变化如下：∴函数g（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴g（x）的极小值为．∴函数g（x）在（0，π）上不存在零点．（Ⅱ）因为，所以f'（x）＝x﹣m sin x，令h（x）＝f'（x）＝x﹣m sin x，则h'（x）＝1﹣m cos x．①当m＜1时，1﹣m cos x＞0，即h'（x）＞0，∴h（x）＝f'（x）＝x﹣m sin x在（0，π）单调递增，∴x∈（0，π）时，h（x）＞h（0）＝0，∴f（x）在（0，π）单调递增，∴f（x）在（0，π）不存在最小值，②当m＞1时，，所以h'（x）＝1﹣m cos x＝0，即在（0，π）内有唯一解x0，当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，当x∈（x0，π）时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增．所以h（x0）＜h（0）＝0，又因为h（π）＝π＞0，所以h（x）＝x﹣m sin x在（x0，π）⊆（0，π）内有唯一零点x1，当x∈（0，x1）时，h（x）＜0即g'（x）＜0，当x∈（x1，π）时，h（x）＞0即g'（x）＞0，所以g（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，π）上单调递增．所以函数g（x）在x＝x1处取得最小值，即m＞1时，函数g（x）在（0，π）上存在最小值．。

绝密★启用前数学试题（文）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目的要求的。

1．已知集合U ＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，集合A ＝｛1，2，3，4｝，B ＝｛3，4，5，6｝则A ∩C U B ＝A 、｛1，2，3，4｝B 、｛1，2，7｝C 、｛1，2｝D 、｛1，2，3｝2．下列各式的运算结果虚部为1的是 A 、(1)i i - B 、21i+ C 、2＋2i D 、2(1)i i +-3、从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中， 任意安排 2 名同学早上到校门口值日， 另外 2 名同学下午到校门口值日， 则甲和丁不在一起值日的概率为 A 、13 B 、12 C 、23 D 、564．若实数x ，y 满足的最大值是A 、9B 、12 C.3 D 、65．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国 到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路” 沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A 、①②③B 、②③C 、①②D 、③6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的 2 倍， 焦距等于 23， 则椭圆 C 的方程为7．已知函数的图象与直线y ＝a (0<a <A )的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f (x )的单调递减区间为8、已知数列｛｝的前n 项和为Sn ，若9．已知四边形ABCD 为平行四边形，||2AB =u u u r ||3AD =u u u rM 为CD 中点，2BN NC =u u u r u u u r ， 则AN MN u u u r u u u u r g ＝A 、13 B 、23 C 、1 D 、4310、已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈(－∞,0] 时， f (x ) = x 2 + 2ax ，若曲线 y = f (x )在点(1， f (1)) 处的切线过点 (2,0) ， 则 a = A ．-34 B ． 1 C ． 2 D ． 3411．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。

2020届淮南一模文科参考答案一．选择题题号123456789101112答案CABBADCDDBAC二．填空题13.314.43310-15.416.258三．解答题17.解：（I ）cos sin ,C c A =由正弦定理可得cos sin sin ,A C C A =.......................................3分又A 是ABC ∆内角，sin 0,tan A C ∴≠∴=.......................................5分0180,60.C C ︒︒<<∴= .......................................6分(II)根据题意，120.APC APB ︒∆∠=为等边三角形，又...............................8分在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120,AB AP BP PA PB =+-︒ 解得，2AP =，5, 2.BC AC ∴==...............................10分153sin 6022ABC CA CB ︒∴∆== 的面积S ...............................12分18.10(0.010.01520.0250.005)10.030 ............................2I a a ⨯+⨯+++==解（）由题意解得分（II ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2：3：3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，...................................4分分别记为A1,A2,B1,B2,B3,C1,C2,C3,从中抽取2辆的结果有：（A1,A2），（A1,B1），（A1,B2），（A1,B3），（A1,C1），（A1,C2），（A1,C3）;（A2,B1），（A2,B2），（A2,B3），（A2,C1），（A2,C2），（A2,C3）;（B1,B2），（B1,B3），（B1,C1），（B1,C2），（B1,C3）;（B2,B3），（B2,C1），（B2,C2），（B2,C3）;（B3,C1），（B3,C2），（B3,C3）;（C1,C2），（C1,C3），（C2,C3）;...............................................................7分共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个，123P 287∴==所求的概率为....................................8分(II) 1 (82)PGF BGFC PGF C BGF C PBF PBF BDF G PB S S V V V F PD S S ∆∆---∆∆∴=∴==∴= 为的中点，分又为的中点，12111 (10244)C PBF C BDF C PBDG BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V V V --------∴==∴====分121111222 (128833)P BCD P BCDEG BCF P BCDE V V V V ----=∴==⨯⨯⨯⨯=又分（III)2×2列联表如下：由上表及公式可知，2220050406050 2.02.10010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯（）.................10分因为2.02<2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关..................12分19.I BCDE BC BE BE AE,BE PE.......................................2PE BC,PB BE B,BC PBEPE PB,E,BC PE...............................................................4BC BE B,PE ∴⊥⊥⊥⊥⋂=∴⊥⊂⊥⋂=∴ 解：（）由题意可知为正方形，，且即分又且平面分又BCDE...........................................6⊥平面分20.【解析】（1）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，…………………………2分所以3,1a c ==，…………………………4分所以椭圆C 的方程为22198x y +=…………………………5分经常使用偶尔使用或不用合计男性5050100女性6040100合计11090200（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y .假设存在点(,0)D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥.由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898kx k -=+，00216298y kx k =+=+………………………………7分因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++…………9分当0k >时，89k k +≥=2012m -≤<；当0k <时，89k k +≤-分所以2012m <≤…………………11分综上：m取值范围是001212m m -≤<<≤或……………………………12分11'21.(I)a 1,1()ln 1(),0...................................................................................2x x b f x e xxe f x x x--==∴=--=>解：由条件可得，分1'1'()1,()(1)0()0,()0(1)0.................4(0,1)()0,()0 (1,)()0;()0()(1,)(0,1).................................x x t x xe t x x e x t x t x t x t x f x x t x f x f x --=-=+>>+∞=∴∈<<∈+∞>>∴+∞‘‘令当时，在（，）单调增函数，又分当时，当时，的单调增区间为，减区间为..........6分1'111(II) 0()0, (),,b<0,20(0,2) x x x x b f x b xe b b e f x e x xx xe b e b x x x e b︒----︒︒=>-<≤=-=-->∴∃=当时，符合题意方法（一）当0时，令h()=又h(0)=-h(2)=h()在唯一的零点，设为，有.......................8分''111min (0,)()0,();(,)()0();()()ln 1ln ln ()(ln 1)x x x x x f x f x x x f x f x bf x f x e b x x e b e x bx b x f x b b x x ︒︒︒︒︒︒︒---︒︒︒︒︒︒︒︒︒∈<∈+∞>∴==-=∴=-=-∴=-+- 且，单调递减，，单调递增，...........9分''' ()ln 2ln ln (1()ln ,()ln 01()0;1,()0;()0,0,0()0;0()0b bx b b b b b b b b b b x x m b b b b m b bb m b b e m b m e b m e b e m b b e ︒︒︒=+--≥--=-==-∴=-∈>∈<=>>∴<≤≥=当且仅当时到等号）设当（，）时，当（]时，又且，趋向时，当时，，当且仅当时取等号.............11分11 1()()0,()00 ()0b x b e x f x m b f x b e f x ︒︒︒︒===≠>≥∴>≤≤>由（1）可知，当时，，故当时，综上，当时，.............12分方法（二）10) 01ln 0,ln 0,()ln 0.....................................8x b e i x x b x f x e b x -<≤<≤≤≤=->当时，（当时显然成立；分') 1()ln 11()10,()[1ii x F x x x F x F x x≥=-+=-≤+∞（当时，构造函数在，）为减函数1121()(1)00ln 10ln (1)(1)0ln (1)()ln (1...............................................................10ln 11()(100x x x x F x F x x b x b x e x b x e x f x e b x e e x x x e x f x e e x b ----∴≤=∴<≤-∴<≤-≤-∴<<-∴=->--≤-≥-=--≥≤≤，）分又由，可得，进而）综上：当()0.....................................................................12e f x >时，分22【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，……………1分∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，……………2分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……………5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，……………7分|MN|=1ρ－2ρ，……………9分因为2C 的半径为1，则2C MN的面积o 11sin 452⨯=12.……………10分23.【解析】(Ⅰ)当3a =-时，()f x =25,21, 2325,3x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1；……………2分当2＜x ＜3时，()1f x =≥3，无解；当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥4，…………4分∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}；……………5分(Ⅱ)()f x ≤|4|x -⇔|4||2|||x x x a ---≥+，……………7分当x ∈[1,2]时，|||4||2|x a x x +≤---=42x x -+-=2，……………9分∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]……………10分。