2013年安徽高考数学真题及解析

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年安徽，文1，5分】设i 是虚数单位，若复数10()3ia a R -∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）（A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【答案】D【解析】()()()()()()()2103i 103i 103i 103i 3i 3i 3i 3i 9i 10a a a a a a +++-=-=-=-=-+=----+-，所以3a =，故选D ． 【点评】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题．（2）【2013年安徽，文2，5分】知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B =（ ）（A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,1【答案】A【解析】1x >-，{|1}R C A x x =≤-，(){1,2}R C A B =--，故选A ．【点评】考查集合的交集和补集，属于简单题． （3）【2013年安徽，文3，5分】如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）（A ）34 （B ）16 （C ）1112 （D ）2524【答案】C【解析】112,0,022n s s ===+=；11134,,2244n s s ===+=；331116,,44612n s s ===+=；118,12n s ==，输出，故选C ．【点评】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题． （4）【2013年安徽，文4，5分】“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】1(21)0,02x x x -==或，故选B ．【点评】考查充分条件和必要条件，属于简单题． （5）【2013年安徽，文5，5分】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）（A ）23 （B ）25 （C ）35 （D ）910【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++==，故选D ．【点评】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题．（6）【2013年安徽，文6，5分】直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ，半径r ，所以弦长为4=，故选C ．【点评】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题． （7）【2013年安徽，文7，5分】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ）（A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A【解析】188333638()442a a S a a a a a +=⇒=⇒+=，60a ∴=，2d =-，9726a a d =+=-，故选A ．【点评】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解． （8）【2013年安徽，文8，5分】函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围为（ ） （A ）{}2,3 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4 （D ）{}3,4,5【答案】B【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示 1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像 上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B ．【点评】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识． （9）【2013年安徽，文9，5分】设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =（ ）（A ）3π （B ）23π （C ）34π （D ）56π【答案】B【解析】3sin 5sin A B =由正弦定理，所以535,3a b a b ==即；因为2b c a +=，所以73c a =，2221cos 22a b c C ab +-==-，所以23C π=，故选B ． 【点评】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度． （10）【2013年安徽，文10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）（A ）23π （B ）3π （C ）6π （D ）0【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=， 则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下： 如图则有3个交点，故选A ．【点评】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2013年安徽，文11，5分】函数1ln(1)y x=++的定义域为 ．【答案】(]0,1【解析】2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(]0,1． 【点评】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0．（12）【2013年安徽，文12，5分】若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为 ．【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=，取得最大值．【点评】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z 取最大． （13）【2013年安徽，文13，5分】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为 ． 【答案】13-【解析】等式平方得：2222944a b a b a b ==++⋅则22244||||cos a a b a b θ=++⋅，即220443||cos b b θ=+⋅， 得1cos 3θ=-．【点评】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简． （14）【2013年安徽，文14，5分】定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=．若当01x ≤≤时．()(1)f x x x =-，则当10x -≤≤时，()f x = ．【答案】(1)2x x +-【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(1)f x x x x x +=+--=-+，又(1)2()f x f x +=，所以(1)()2x x f x +=-．【点评】考查抽象函数解析式的求解．（15）【2013年安徽，文15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】（1）12CQ =，S 等腰梯形，②正确，图（1）如下；（2）1CQ =，S =，⑤ 正确，图（2）如下；（3）34CQ =，画图（3）如下：113C R =，③正确；（4）314CQ <<，如图（4）是五边形，④不正确；（5）102CQ <<，如下图（5），是四边形，故①正确．图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5）【点评】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，文16，12分】设函数()sin sin()3f x x x π=++．（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到．解：（1）()sin sin coscos sin33f x x x x ππ=++13sin sin sin 22x x x x x =++=+))66x x ππ=+=+，当sin()16x π+=-时，min ()f x =此时3262x k πππ+=+，42,()3x k k Z ππ∴=+∈，所以，()f x 的最小值为x 的集合4{|2,}3x x k k Z ππ=+∈．（2）sin y x =横坐标不变，得y x =； 然后y x =向左平移6π个单位，得())6f x x π+．【点评】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换．考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度．（17）【2013年安徽，文17，12分】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，（1）次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值．解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ．由题意知，300.05n=，即600n =．样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5．据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=．（2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '．根据样本茎叶图可知，249537729215=+--++=．因此120.5x x '-'=．故12x x -的估计值为0.5分．【点评】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力． （18）【2013年安徽，文18，12分】如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=．已知2,PB PD PA === （1）证明：PC BD⊥；（2）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积． 解：（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BO DO =．由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O =知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．（2）因为E 是PA 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===．由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ∆∆≌．因为60BAD ∠=︒，所以PO AO == AC =1BO =．又PA =222PO AO PA +=，即PO AC ⊥，故1·32APC S PO AC ∆==．由（1）知，BO ⊥面APC ，因此1111 (2232)P BCE B APC APC V V BO S --∆===．【点评】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力．（19）【2013年安徽，文19，13分】设数列{}n a 满足12a =，248a a +=，且对任意*n N ∈，函数1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅满足'()02f π=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若122nn n a b a =+（），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解：（1）由12a =，248a a +=，1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅-⋅，1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（），121'()02n n n n f a a a a π+++=-+-=， 所以122n n n a a a ++=+ {}n a ∴是等差数列．而12a =，34a =，1d =，2-111n a n n ∴=+⋅=+（）． （2）111122121222nn n a n n b a n n +=+=++=++（）（）（），21112211122=3131122212n n n n n n S n n n n ++=+++-=++--（-）（）（）．【点评】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解．并考查逻辑推理能力和运算能力．（20）【2013年安徽，文20，13分】设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}|()0I x f x =>．（1）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程22100()()ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a=+，故()0f x >的解集为12{|}x x x x <<， 因此区间20,1a a I ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=，区间长度为21a a +． （2）设()21d a aa =+，则()22211a a a d -(+')=，令()0d a '=，得1a =．由于01k <<，当11k a -≤<时，()0d a '>，()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．因此当11k a k -≤≤+时，()d a 的最 小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211<111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==+(+)-++(+)，故()1)1(d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间1,]1[k k -+上取得最小值2122kk k --+．【点评】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．（21）【2013年安徽，文21，13分】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E．取点A ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线 QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：（1）因为焦距为4，所以224a b -=．又因为椭圆C过点P ，所以22231a b+=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y+=．（2）由题意，E 点坐标为()00,x ．设(),0D D x，则(0,AE x =-，(,D AD x =-．再由AD AE ⊥知，0AE AD ⋅=，即080D x x +=．由于000x y ≠，故08D x x =-． 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线QG 的斜率000200088QG y x y x x k x ==--． 又因00()Q x y ，在C 上，所以220028x y +=①从而002QG x k y -=．故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②将②代入C 方程，得22220000216640(1)6x y x x x y +-+-=．③再将①代入③，化简得220020x x x x -+=． 解得0x x =，0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．【点评】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力．。

2013·安徽卷(文科数学)1． 设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．31．D [解析] a －103－i ＝a －10（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，其为纯虚数得a＝3.2． 已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0，1}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1，0，1}D ．{0，1}2．A [解析] 因为A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，所以(∁R A )∩B ＝{－2，－1}．图1－13． 如图1－1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( ) A.34 B.16 C.1112 D.25243．C [解析] 依次运算的结果是s ＝12，n ＝4；s ＝12＋14，n ＝6；s ＝12＋14＋16，n ＝8，此时输出s ，故输出结果是12＋14＋16＝1112.4． “(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．B [解析] (2x －1)x ＝0⇒x ＝12或x ＝0；x ＝0⇒(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．5．， 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.9105．D [解析] 五人中选用三人，列举可得基本事件个数是10个，“甲或乙被录用”的对应事件是“甲乙都没有被录用”，即录用的是其余三人，只含有一个基本事件，故所求概率是1－110＝910.6． 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 66．C [解析] 圆的标准方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝1，所以直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0所截得的弦长l ＝2r 2－d 2＝4.7． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．27．A [解析] 设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.图1－28． 函数y ＝f (x )的图像如图1－2所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围为( )A ．{2，3}B ．{2，3，4}C ．{3，4}D ．{3，4，5}8．B [解析] 问题等价于求直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值范围是{2，3，4}．9． 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π69．B [解析] 根据正弦定理，3sin A ＝5sin B 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t＝－12，所以C ＝2π3.10．， 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 10．A [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，根据已知，得3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，根据三次函数的性质可得x 1是函数f (x )的极大值点，方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0必然有f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由于f (x 1)＝x 1且x 1<x 2，如图，可知方程f (x )＝x 1有两个实根，f (x )＝x 2有一个实根，故方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0共有3个不同实根．11．， 函数y ＝ln1＋1x＋1－x 2的定义域为________．11．(0，1] [解析] 实数x 满足1＋1x >0且1－x 2≥0.不等式1＋1x >0，即x ＋1x >0，解得x >0或x <－1；不等式1－x 2≥0的解为－1≤x ≤1.故所求函数的定义域是(0，1]．12． 若非负变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．12．4 [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，设z ＝x ＋y ，则z 的几何意义是直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距，结合图形，可知当直线y ＝－x ＋z 通过点A (4，0)时z 最大，此时z ＝4.13． 若非零向量，满足＝＝＋，则与夹角的余弦值为________．13．－13 [解析] 设||＝1，则||＝3，|＋|＝3，两端平方得＋4＋4＝9，即9＋12cos 〈，〉＋4＝9，解得cos 〈，〉＝－13.14．， 定义在上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________．14．－x （x ＋1）2 [解析] 当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由f (x ＋1)＝2f (x )可得f (x )＝12f (x＋1)＝－12x (x ＋1)．图1－315． 如图1－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 15．①②③⑤ [解析] 对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，当CQ ＝12时，PQ ＝22，这时过A ，P ，Q 三点的截面与DD 1交于D 1，AP ＝D 1Q ＝52，且PQ ∥AD 1，截面S 为等腰梯形． 当CQ <12时，过A ，P ，Q 三点的截面与直线DD 1的交点在棱DD 1上，截面S 为四边形，故①②正确．对于③④⑤，如图(2)所示，联结QR 并延长交DD 1的延长线于N 点，联结AN 交A 1D 1于M ，取AD 中点G ，作GH ∥PQ 交DD 1于H 点，可得GH ∥AN ，且GH ＝12AN .设CQ ＝t (0≤t ≤1)，则DN ＝2t ，ND 1＝2t －1，ND 1C 1Q ＝D 1R RC 1＝2t －11－t， 当t ＝34时，D 1R C 1R ＝21，可得C 1R ＝13，故③正确；当34<t <1时，S 为五边形，故④错误； 当t ＝1时，Q 与C 1重合，M 为A 1D 1的中点， S 为菱形PC 1MA ，AM ＝AP ＝PC 1＝C 1M ＝52，MP ＝2，AC 1＝3，S 的面积等于12×2×3＝62，故⑤正确．16． 设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 16．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin x ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2(k ∈)，即x ＝2k π－2π3(k ∈)时，f (x )取得最小值－ 3.此时x 的取值集合为(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图像．17．， 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 0 0 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 09图1－4(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．17．解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由题意知，30n ＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′，根据样本茎叶图可知， 30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92 ＝15.因此x 1′－x 2′＝0.5，故x 1－x 2的估计值为0.5分．图1－518． 如图1－5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，已知PB ＝PD ＝2，P A ＝ 6. (1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 的中点，求三棱锥P －BCE 的体积． 18．解：(1)证明：联结AC ，交BD 于O 点，联结PO . 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO .由PB ＝PD 知，PO ⊥BD .再由PO ∩AC ＝O 知，BD ⊥面APC ，又PC ⊂平面APC ，因此BD ⊥PC .(2)因为E 是P A 的中点，所以V P －BCE ＝V C －PEB ＝12V C －P AB ＝12V B －APC . 由PB ＝PD ＝AB ＝AD ＝2知，△ABD ≌△PBD . 因为∠BAD ＝60°，所以PO ＝AO ＝3，AC ＝23，BO ＝1.又P A ＝6，故PO 2＋AO 2＝P A 2，即PO ⊥AC . 故S △APC ＝12PO ·AC ＝3.由(1)知，BO ⊥面APC ，因此V P －BCE ＝12V B －APC ＝13·12·S △APC ·BO ＝12.19．， 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈*，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 19．解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .对任意n ∈*，f ′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .20．， 设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 20．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}，因此区间I ＝0，a 1＋a 2，区间长度为a1＋a 2. (2)设d (a )＝a 1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2（1＋a 2）2，令d ′(a )＝0，得a ＝1，由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减；因此当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d （1－k ）d （1＋k ）＝ 1－k 1＋（1－k ）2 1＋k 1＋（1＋k ）2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1，故d (1－k )<d (1＋k )． 因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k ，1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.21．， 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点A (0，22)，联结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．21．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b 2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意，E 点坐标为(x 0，0)，设D (x D ，0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D ，－22)． 再由AD ⊥AE 知，AE →·AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以G 8x 0，0，故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8.又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG的方程为将②代入椭圆C方程，得(x20＋2y20)x2－16x0x＋64－16y20＝0.③再将①代入③，化简得x2－2x0x＋x20＝0，解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)参考公式：如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若i+2=2z z z，则z＝() A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i【测量目标】复数的代数形式的四则运算，复数的基本概念.【考查方式】给出复数的关系式，利用复数的四则运算化简，再根据复数的基本概念求解.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则由i+2=2z z z得(a＋b i)(a－b i)i＋2＝2(a＋b i)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，（步骤1）所以2a＝2，a2＋b2＝2b，所以a＝1，b＝1，即z＝a＋b i＝1＋i.（步骤2）2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()第2题图A．16B．2524C．34D．1112【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出具体的程序框图，根据算法求解. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】开始2＜8，110+22s==，n＝2＋2＝4；（步骤1）返回，4＜8，113244s=+=，n＝4＋2＝6；(步骤2)返回，6＜8，31114612s=+=，n＝6＋2＝8；（步骤3）返回，8＜8不成立，输出1112s=.（步骤4）3．在下列命题中，不是．．公理的是()．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【测量目标】平面的基本性质及其应用.【考查方式】给出4个命题，根据平面的基本性质进行判断.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．4．“a 0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【测量目标】函数图象的应用，函数单调性的判断,充分、必要性.【考查方式】给出两个条件，画出函数的图象先判断函数的单调性，再根据充分、必要性得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a 0，故选C.5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出实际问题情境，利用平均数与方差的计算进行判断. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，(步骤1) 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C. （步骤2）6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x )＞0的解集为 ( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}【测量目标】指数方程与对数方程，函数的定义域.【考查方式】给出不等式的解集，利用等价变换进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题意知－1＜10x＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出圆的参数方程，利用极坐标方程与普通方程的互化求出普通方程，从而求出圆的切线方程，最后转化为极坐标形式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.(步骤1)所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.（步骤2） 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()…，则n 的取值范围是 ( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}【测量目标】函数图象的应用，直线的斜率.【考查方式】给出自变量和因变量之间的关系式，转化为直线的斜率关系式，再利用函数的图象求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，(步骤1)故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.（步骤2）9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB ==，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+∈R 所表示的区域的面积是 ( )A ．22B ．23C ．42D ．43【测量目标】平面向量基本定理及其应用，向量的数量积运算，平面向量在平面几何中的应用,判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出问题情境，根据向量的数量积运算求出定点的坐标，再利用平面向量的基本定理确定动点的坐标取值范围，从而根据图象求解面积. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA OB ＝2，可得出∠AOB ＝60°，(步骤1) 点A (3，1)，点B (3，－1)，点D (23，0)．（步骤2）现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ(3，1)＋μ(3，－1)，即3,.x y λμλμ⎧(+)=⎪⎨-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|1，λ，μ∈R ，（步骤3）可得33,11,xy ⎧-⎪⎨-⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为232=43⨯.(步骤4)10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【测量目标】函数图象的应用，函数零点的求解与判断，利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的关系式和极值点，利用导数的运算求出导函数再利用特殊值法求解方程的根，最后根据图象进行判断. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由()f x '＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．（步骤1）如图所示， x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.（步骤2）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若83x x ⎛ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式和二项式中特定项的系数值，根据二项式的展开式定理求出通项，从而根据系数求解.【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】∵83x x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形边长、内角之间的关系式，根据正弦定理将内角的关系式转化为边长的关系式， 再利用余弦定理求解角度. 【难易程度】中等【参考答案】2π3【试题解析】∵3sin A＝5sin B，∴3a＝5b.①(步骤1) 又∵b＋c＝2a，②∴由①②可得，53a b=，73c b=，（步骤2）∴22222257133cos52223b b bb a cCab b b⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C=.（步骤3）13．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为__________．【测量目标】函数图象的应用，向量的数量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】给出问题情境，先将函数问题转化为向量坐标问题，再利用向量的坐标运算求解.【难易程度】中等【参考答案】[1，＋∞)【试题解析】如图，设C(x0，2x)(2x≠a)，A(a-，a)，B(a，a)，则CA＝(a x--，2a x-)，CB＝(a x-，2a x-)．（步骤1）∵CA⊥CB，∴CA CB＝0，即－(a－2x)＋(a－2x)2＝0⇒(a－2x)(－1＋a－2x)＝0，∴2x＝a－10，∴a 1.（步骤2）14．如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等．设OA n＝a n.若a1＝1，a2＝2，则数列{a n}的通项公式是__________．【测量目标】几何证明选讲，数列的通项.【考查方式】给出问题情境，利用三角形的相似求出面积之比，再根据相似比求解线段之间的比值，进而转化为数列问题从而求解.【难易程度】较难【参考答案】32na n-【试题解析】设11OA BS△＝S，∵a1＝1，a2＝2，OA n＝a n，∴OA1＝1，OA2＝2.（步骤1）又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴1122221221124OA BOABS OAS OA()⎛⎫===⎪()⎝⎭△△.∴1122A B B AS梯形＝311OA BS△＝3S.(步骤2)∵所有梯形A n B n B n＋1A n＋1的面积均相等，且△OA1B1∽△OA n B n，∴11113132n nOA Bn OA BSOA SOA S S n S n∆∆===+(-)-.∴1132naa n=-，∴32na n=-.（步骤3）15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜12时，S为四边形②当CQ＝12时，S为等腰梯形③当CQ＝34时，S与C1D1的交点R满足C1R＝13④当34＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ＝1时，S的面积为6【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出问题情境，画出图象进行判断.【难易程度】较难【参考答案】①②③⑤【试题解析】当CQ＝12时，D1Q2＝211D C＋C1Q2＝54，AP2＝AB2＋BP2＝54，所以D1Q＝AP，又因为AD1∥2PQ，所以②正确；当0＜CQ＜12时，截面为APQM，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；（步骤1）如图(2)，当CQ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；（步骤2）如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；（步骤3） 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，可知AC 13EP 2，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E ＝62，故⑤正确．（步骤4） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx πsin 4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【考查方式】给出三角函数的解析式和周期，（1）利用三角恒等变换求解函数的周期，从而求解；（2） 利用函数sin()y A x ωϕ=+的性质进行分类讨论函数的单调性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)f (x )＝4cos ωx sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2） (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.若0x π2，则ππ5π2444x +.（步骤3） 当πππ2442x +，即π08x 时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x +，即ππ82x 时，f (x )单调递减．（步骤4） 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k a 1＋k 时，求I 长度的最小值． 【测量目标】函数零点的求解，利用导数求函数的最值,导数的运算.【考查方式】(1)给出函数的关系式，转化为方程零点的问题，从而求解.(2)根据导数的运算求出导函数根据k 的取值讨论单调性，从而找出最值点并计算求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a =+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．(步骤1)因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +.(步骤2) (2)设d (a )＝21aa +，则d ′(a )＝22211a a -(+).令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a 1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k a 1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．（步骤3）而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k --+.（步骤4）18．(本小题满分12分)设椭圆E ：2222=11x y a a+-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【测量目标】椭圆的标准方程与简单几何性质，直线的斜率与方程，两条直线的位置关系. 【考查方式】给出椭圆的关系式，（1）根据椭圆的几何性质求解标准方程；（2）根据直线的斜率求证. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +.（步骤1） (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中221c a =-.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--．（步骤2） 当x ＝0时，y ＝0cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.（步骤3）由于F 1P ⊥F 1Q ， 所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1.（步骤4） 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．（步骤5）19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .【测量目标】线面平行的判定，平面的基本性质，二倍角，面面垂直，线面角. 【考查方式】给出问题情境，（1）利用线线平行到线面平行，再利用平行的传递性求证；（2）先利用射影定理找出线面角，再利用二倍角在三角形中求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证明：设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .(步骤1)又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（步骤2） (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .(步骤3)又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，（步骤4） 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．（步骤1） 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ， 则OF ＝OP tan ∠OPF ＝h tan 60°＝3h .（步骤5） 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.（步骤6） 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此(21)21OC h ==+-.（步骤7） 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝36321OF hOC h==-(+)， 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝22(63)1=17122---.（步骤8）20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123nx x xx n-+++++(x ∈R ，n ∈N *)．证明： (1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.【测量目标】函数零点的应用，利用导数判断函数单调性，直接证明.【考查方式】给出函数的解析式，(1)利用导数的运算求出导函数，再利用函数零点的定义求证；（2）利用特殊值法代入求值，在利用放缩法求解不等式. 【难易程度】较难【试题解析】证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，()n f x '＝11+2n xx n-++＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增（步骤1）由于f 1(1)＝0，当n2时，f n (1)＝22211123n+++＞0，故f n (1)0.又2222221121131()3334334kkn n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-< ⎪⎝⎭-，（步骤2）所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.（步骤3）(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，（步骤4） 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++=，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n 1，得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+<-∑∑111n n p n =-<+.（步骤5） 因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.(步骤6)21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .【测量目标】对立事件的概率，排列与组合及其应用，不等式的基本性质.【考查方式】给出问题情境，(1)根据相互独立事件概率公式求解;(2)先分类讨论，再根据排列与组合求解概率，再利用不等式的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.(步骤1) (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k m t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m kn k n k n kn k ------=.（步骤2）此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n kn k k n k k kn n------=. 当k m ＜t 时，P (X ＝m )P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2(n －m )(2k －m )⇔m 2(1)22k k n +-+.（步骤3） 假如k 2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k 2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值．（步骤4） (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k 2(1)22k k n +-+＜t .因为1k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---=+++.而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －2(1)2k n ++＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k .因此k 2(1)22k k n +-+＜t .（步骤5）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（安徽卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，若复数a －103i－（a ∈R ）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案：D 思路分析：考点解剖：考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.解题思路：本题可以将复数按照商的运算法则展开运算，根据题目条件复数为纯虚数展开计算。

解答过程：解：利用复数运算规律可知，i a i a i a i i a i i i a i a --=+-=+-=-+-=+-+-=--)3()3(10)3(109)3(10)3)(3()3(103102， 所以a =3，故选择D规律总结：复数为纯虚数时，复数的实部为0，虚部不为零是解题的关键. （2）已知A =｛x |x +1>0｝，B =｛－2，－1，0，1｝，则（RA ）∩B =（ ）A ．｛－2，－1｝B ．｛－2｝C ．{－2，0，1}D．{0，1}答案：A思路分析：考点解剖：考查集合的交集和补集，属于简单题.解题思路：本题可以利用不等式来解答出对应A集合，再结合集合的运算来解答。

解答过程：解：由A：1->x，}1|{-≤=xxACR ，∵B=｛－2，－1，0，1｝∴}2,1{)(--=BACR，所以答案选A规律总结：集合的交集、并集和补集的运算可以结合数轴，利用数形结合来解答。

（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．34B．16C．1112D．2524答案：C 思路分析：考点解剖：本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.解题思路：本题首先要分析所给的程序框图，结合程序框图中的限制条件n <8来解答. 解答过程： 解：21210,0,2=+===s s n ；434121,21,4=+===s s n ；12116143,43,6=+===s s n1211,8==s n ，输出所以答案选择C.规律总结：循环结构的程序框图，解答此类问题主要是分析题目中给的判断条件，何时应该跳出循环，以及循环变量的变化规律.（4）“(21)0x x -=”是“0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B 思路分析：考点解剖：考查充分条件和必要条件的判定，属于简单题.解题思路：对于充分必要条件的判定，需要分析所给的两条件之间的关系，判断两者之间的互推关系。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）11123．在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和8．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,39．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）4310．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013，理1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若·i+2=2z z z，则z＝( )．A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i2．(2013，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A．16B．2524C．34D．11123．(2013，理3)在下列命题中，不是．．公理的是( )．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在此平面D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．(2013，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)单调递增”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2013，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6．(2013，理6)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为112x x x⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f(10x)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}B．{x|－1＜x＜－lg 2}C．{x|x＞－lg 2}D．{x|x＜－lg 2}7．(2013，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝18．(2013，理8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()L ，则n 的取值围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}9．(2013，理9)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是( )．A． B．C． D．10．(2013，理10)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013，理11)若8x ⎛+ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 12．(2013，理12)设△ABC 的角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝__________.13．(2013，理13)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值围为__________．14．(2013，理14)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．15．(2013，理15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域．16．(2013，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·πsin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．17．(2013，理17)(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．18．(2013，理18)(本小题满分12分)设椭圆E：2222=11x ya a+-的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(2013，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.20．(2013，理20)(本小题满分13分)设函数f n(x)＝23222123nx x xxn-+++++L(x∈R，n∈N*)．证明：(1)对每个n∈N*，存在唯一的x n∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n(x n)＝0；(2)对任意p∈N*，由(1)中x n构成的数列{x n}满足0＜x n－x n＋p＜1n.21．(2013，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由老师和老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设老师和老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到老师或老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到老师或老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由·i+2=2z z z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)， 即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2， a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i. 2．答案：D解析：开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4； 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s =.3．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理． 4．答案：C解析：函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)单调递增时，a ≤0，故选C. 5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C.6．答案：D解析：由题意知－1＜10x ＜12，所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．答案：B 解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()()L 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()----L ，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.9．答案：D解析：以OA u u u r ，OB uuu r为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x轴对称，由已知|OA u u u r |＝|OB uuu r |＝OA u u u r ·OB uuu r＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A1)，点B1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OP uuu r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r 得(x ，y )＝λ，1)＋μ1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得11,x y ⎧≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为10．答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：12解析：∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =.13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，20x )(20x ≠a )，A(a )，Ba )，则CA u u u r ＝(0x ，20a x -)，CB u u u r ＝0x ，20a x -)．∵CA ⊥CB ，∴CA u u u r ·CB u u u r＝0，即－(a －20x )＋(a －20x )2＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1.14．答案：n a = 解析：设11OA B S ∆＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1nOA OA ===∴1n a a =，∴n a =.15．答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误； 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC 1EP，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin ωx ·cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a=+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+). 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122k k k --+. 18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +. (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c+， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c-， 故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--． 当x ＝0时，y ＝00cy c x -， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝00y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F P F Q k k ⋅＝0000y y x c c x ⋅+-＝－1. 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19． (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD ，所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l .由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF .由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD .因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°.根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒. 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此1)OC h ==. 在Rt△OCF 中，cos ∠COF＝OF OC ==， 故cos ∠COD＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝21=17--.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n x x n-++L ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)单调递增． 由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n +++L ＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334k k n n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑· 2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-， 所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0. (2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0. 由f n ＋1(x )在(0，＋∞)单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n .对任意p ∈N *， 由于f n (x n )＝222102n n n n x x x n-++++=L ，① f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)L L ＋.② ①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝222211k k k k n p n p n n p n n p n p k k n k n x x x x k k k +++++==+=+-+≤∑∑∑21111(1)n p n p k n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+. 因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n . 21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k nk n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“老师和老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到老师和老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到老师或仅收到老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n kn k ------=. 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n kn k k n k k k n n------=. 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m k kn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时， k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t . 故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值； 当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2(1)22k k n +-+＜t . 因为1≤k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---≥=≥+++. 而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －k ＋12n ＋2＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k . 因此k ≤2(1)22k k n +-+＜t .。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷第1至第3页,第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．效．,在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．.4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,若复数103i--a （∈a R ）是纯虚数,则a 的值为（ ）A .－3B .－1C .1D .32.已知}1{0|>=+A x x , 2 1 0{} 1，，，=--B ,则()A B =R ð （ ） A .{21}，-- B .{}2- C .{}1,0,1- D .{0,1}3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）A .34 B .16 C .1112D .25244.“(21)0-=x x ”是“0=x ”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（ ）A .23 B .25 C .35D .9106.直线250x y +-+=被圆22240--=+x y x y 截得的弦长为 （ ）A .1B .2C .4D.7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,834=S a ,72=-a ,则9a = （ ）A .－6B .－4C .－2D .28.函数()=y f x 的图象如图所示,在区间[],a b 上可找到n （2n ≥）个不同的数1x ,2x ,…,n x ,使得11()f x x ＝22()f x x ＝…＝()n nf x x ,则n 的取值范围为 （ ）A .{2,3}B .{2,3,4}C .{3,4}D .{3,4,5}9.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若2=+b c a ,3sin 5sin =A B ,则角C ＝（ ）A .π3 B .2π3 C .3π4D .5π610.已知函数32()++=+f x x ax bx c 有两个极值点1x ,2x .若112()=<f x x x ,则关于x 的方程23(())2()0=++f x af x b 的不同实根个数为（ ）A .3B .4C .5D .6--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.函数1ln(1)=+y x的定义域为__________.12.若非负变量x ,y 满足约束条件124,x y x y --⎧⎨+⎩≥≤则+x y 的最大值为__________.13.若非零向量a ,b 满足||3|||2|＋==a b a b ,则a 与b 夹角的余弦值为__________. 14.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()＋=f x f x .若当01x ≤≤时,()(1)－=f x x x ,则当10x -≤≤时,()=f x __________.15.如图,正方体1111－ABCD A B C D 的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当012<<CQ 时,S 为四边形 ②当12=CQ 时,S 为等腰梯形③当34=CQ 时,S 与11C D 的交点R 满足113=C R④当341<<CQ 时,S 为六边形⑤当1=CQ 时,S三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设函数()si n )3n πsi (+=+f x x x .（1）求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（2）不画图,说明函数()=y f x 的图象可由sin =y x 的图象经过怎样的变化得到.17.（本小题满分12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩（百分制）作为样本,样本数据的茎叶图如下：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1x ,2x ,估计12-x x 值.18.（本小题满分12分）如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形,60∠=BAD .已知2==PB PD,PA .（1）证明：⊥PC BD ；（2）若E 为P A 的中点,求三棱锥P －BCE 的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 满足12=a ,248=+a a ,且对任意*∈n N ,函数12()()++=-+n n n f x a a a x12cos sin ++-+n a a x a x 满足π()02'=f .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1)22(=+nn n a b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S .20.（本小题满分13分）设函数22()(1)+=-f x ax a x ,其中0>a ,区间(){|}0=>I x f x . （1）求I 的长度(注：区间()，αβ的长度定义为βα-)； （2）给定常数(0,1)∈k ,当11k a k +-≤≤时,求I 长度的最小值.21.（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0>>a b ）的焦距为4,且过点P）.（1）求椭圆C 的方程；（2）设00()，Q x y （000≠x y ）为椭圆C 上一点.过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点A ,连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】21010(3i)10(3i)10(3i)(3i)(3)i 3i (3i)(3i)9i 10a a a a a a +++-=-=-=-=-+=----+-，所以3a =，故选D ．【提示】先利用复数的运算法则将复数化为i(,)x y x y +∈R 的形式，再由纯虚数的定义求a 【考点】复数的基本概念． 2.【答案】A【解析】1x >-，{|1}A x x =≤-R ð，(){1,2}A B =--R ð，故选A ．【提示】解不等式求出集合A ，进而得A R ð，再由集合交集的定义求解． 【考点】集合的交集和补集运算． 3.【答案】C【解析】1120022n s s ===+=，，；111342244n s s ===+=，，；33111644612n s s ===+=，，；11812n s ==，，输出，故选C ．【提示】利用框图的条件结构和循环结构求解． 【考点】条件语句、循环语句的程序框图. 4.【答案】B【解析】1(21)002x x x -==，或，故选B ．【提示】先解一元二次方程(21)0x x -=，再利用充分条件、必要条件的定义判断． 【考点】充分条件和必要条件． 5.【答案】D【解析】总的可能性有10种，甲被录用乙没被录用的可能性3种，乙被录用甲没被录用的可能性3种，甲乙都被录用的可能性3种，所以最后的概率333110p ++==，故选D ． 【提示】把所求事件转化为求其对立事件，然后求出概率. 【考点】随机事件与概率．6.【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =4=，故选C ．【提示】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后利用勾股定理求弦长．【考点】等差数列的基本性质．8.【答案】B【解析】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率；1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示 1122(,()),(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，与原点连线的斜率，而1122(,()),(,()),(,())n n x f xx f x x f x ，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B ．【提示】利用()f x x的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题并列用数形结合求解．【考点】斜线公式，直线与曲线相交． 9.【答案】B【解析】3sin 5sin A B =由正弦定理，所以5353a b a b ==即；因为2b c a +=，所以73c a =， 2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C =，故选B ．【提示】利用正弦定理、余弦定理和解三角形的基本知识，将三角形中正弦关系转化为边的关系，进而利用余弦定理求解角的大小． 【考点】正弦定理和余弦定理的基本运算． 10.【答案】A【解析】2()32f x x a x b '=++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0fx a f x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象：如图则有3个交点，故选A ．【提示】先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出1()f x x =或2()f x x =，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数． 【考点】函数的单调性、极值．第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】(0,1]【解析】2110011011x x x x x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或，求交集之后得x 的取值范围(0,1]．【提示】列出函数有意义的限制条件，解不等式组． 【考点】复合函数的定义域. 12.【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4,0)时，404z x y =+=+=， 取得最大值．【提示】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的最优解，代入即可得所求．【考点】二元线性规划求目标函数最值． 13.【答案】13-【解析】等式平方得：2222||9||||4||4a b a b a b ==++则222||||4||4||||cos a a b a b θ=++，即2204||43||cos b b θ=+，得1cos 3θ=-．【提示】根据两个向量的夹角公式，利用向量模的转化求出两向量夹角余弦值．【解析】当10x -≤≤，则011x ≤+≤，故(1)(1)(11)(f x x x x x +=+--=-+，又(1)2()f x f x +=，所以(1)()2x x f x +=-．【提示】根据题意把整体代入，再根据(1)2()f x f x +=求出()f x 【考点】函数解析式． 15.【答案】①②③⑤ 【解析】（1）12CQ =，S 等腰梯形，②正确，图（1）如下；图1 （2）1CQ =，S 36=，⑤正确，图（2）如下；图2（3）34CQ =，画图（3）如下：113C R =，③正确；图3（4）314CQ <<，如图（4）是五边形，④不正确；图4（5）102CQ <<，如下图（5），是四边形，故①正确．图5【提示】利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解. 【考点】空间立体图形截面的基本性质． 三、解答题16.【答案】（1）ππ13()sin sin cos cos sin sin sin sin 3322f x x x x x x x x x =++=+=ππ66x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当πsin 16x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，min ()f x = 此时π3π2π62x k +=+，4π2π,()3x k k ∴=+∈Z ， 所以，()f x 的最小值为x 的集合4π2π,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ． （2）sin yx =横坐标不变，y x ；然后y x =向左平移π6个单位， 得π()6f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【提示】把目标函数通过恒等变换转换为三角函数标准式得到结果，结合三角函数解析式，考查三角函数图象的平移伸缩变换等基础知识和基本技能． 【考点】三角函数的图象及性质，三角恒等变换．17.【答案】解：（1）设甲校高三年级学生总人数为n ．由题意知，300.05n=，即600n =．样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5.据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为551306-=． （2）设甲、乙两校样本平均数分别为1x '，2x '．根据样本茎叶图可知，()121230()3030(75)(55814)241265(262479)(2220)92x x x x '-'='-'=-++-+--+--+-+249537729215=+--++=．因此120.5x x '-'=．故12x x -的估计值为0.5分．【提示】利用样本估计总体的思想，从茎叶图中得出数据进行平均数计算． 【考点】随机抽样,茎叶图.18.【答案】（1）连接AC ，交BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BO DO =． 由PB PD =知，PO BD ⊥．再由POAC O =知，BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥（2）因为E 是PA 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----===．由2P B P D A B A D ====知，ABD PBD △≌△．因为60BAD ∠=︒，所以PO AO ==AC =1BO =．又PA =222PO AO PA +=，即PO AC ⊥，故132APC S PO AC ==△． 由（1）知，BO ⊥面APC ，因此11112232P BCE B APCAPC V V BO S --===△． 【提示】根据线面垂直得到线线垂直；根据四棱锥体积求出体积. 【考点】点、直线、平面之间的位置关系，四棱锥体积公式.19.【答案】（1）由12a =，248a a +=，1212()()cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-，1212sin cos n n n n n f x a a a a x a x ++++'=-+-⋅-⋅（），121π02n n n n f a a a a +++⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，所以122n n n a a a ++=+{}n a ∴是等差数列．而12a =，34a =，1d =，2111n a n n ∴=+-=+（）． （2）11112212(1)222n n n a n n b a n n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()112221212(21)11=(3)1312122nn n n n n S n n n n ++=+++-=++---． 【提示】根据()f x 的导函数证明n a 为等差数列，然后根据首项、公差得到通项公式；把{}n a 通项公式代入{}n b ，求出结果.【考点】等差数列,等比数列的基本性质.20.【答案】（1）21aa+ （2）2122kk k--+ 【解析】（1）因为方程22100()()ax a x a -+=>有两个实根10x =，221a x a=+，故()0f x >的解集为12{|}x x x x <<，因此区间20,1a a I ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=，区间长度为21a a +． （2）设2()1ad a a=+，则222()11a a d a -(+')=，令()0d a '=，得1a =．由于01k <<，当11k a -≤<时，()0d a '>，()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．因此当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而123112311112<112kk k k d k k k d k k k -+(-)++(+)(-)--==(+)-+，故()1)1(d k d k -<+．因此当1a k =-时，()d a 在区间1,]1[k k -+上取得最小值2122kk k--+． 【提示】利用导数求函数单调区间、最值． 【考点】一元二次方程,导函数.21.【答案】（1）22184x y += （2）见解析【解析】（1）因为焦距为4，所以224a b -=．又因为椭圆C 过点P ，所以22231a b+=，故28a =，24b =，从而椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）由题意，E 点坐标为0(),0x ．设0(),DD x ，则0(,AE x =-，(,D AD x =-． 再由AD AE ⊥知，0AE AD =，即080D x x +=．由于000x y ≠，故08D x x =-． 因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点08,0G x ⎛⎫⎪⎝⎭． 故直线QG 的斜率000028008G x Q k y x y x x =--=． 又因00()Q x y ，在C 上，所以220028x y +=①从而002QG x k y -=．故直线QG 的方程为00082x y x y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭②将②代入C 方程，得22220000216640(1)6x y x x x y +-+-=．③再将①代入③，化简得220020x x x x -+=．解得0x x =，0y y =，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．【提示】根据焦距和点P 求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程求证公共点个数． 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质,直线与椭圆的位置关系.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A与B互斥，那么如果事件A与B相互独立，那么第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则=（A）（B）（C）（D）（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）（B）（C）（D）版权所有：( )（3）在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）“是函数在区间内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（A）（B）（C）（D）（7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A）（B）（C）（D）（8）函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（A）（B）（C）（D）（10）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（A）3 （B）4（C）5 （D）62013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则i z b a a +=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22所以选A（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524 （C ）34（D ）1112【答案】D【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,所以选D（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。

所以选A（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x a x x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 当a=0 时，，时，且上单调递增；当，在x ax x f x a x f y x x f )1()(00)0()(||)(+-=><∞+=⇒=.)0()(0所以a .)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在∞+=≤∞+=x f y x f y 0a )0()(≤⇒∞+=上单调递增，在相反，当x f y ,.)0()(0a 上单调递增的必要条件，在是∞+=≤⇒x f y故前者是后者的充分必要条件。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524（C ）34 （D ）11123．在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和8．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,39．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）3 （C ） 42 （D ）4310．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。