广东省广州市白云区广外外校2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021学年广东省广州市白云区广外附设外语学校九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过10分钟，分针旋转了（）A．10°B．20°C．30°D．60°2．（3分）平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，﹣3）3．（3分）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．v＝B．v＝106t C．v＝t2D．v＝106t24．（3分）关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的5．（3分）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣26．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．3B．4C．3或4D．77．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（）A．3B．4C．6D．88．（3分）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A．B．C．D．9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为．12．（3分）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为．13．（3分）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．14．（3分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．16．（3分）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17．（6分）解方程：x2﹣4x﹣8＝0．18．（6分）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C′，（1）画出△A'B'C'．（2）写出下列各点的坐标A'，B′，C′．19．（6分）某公司一月份营业额为10万元，若二、三月份增长率相同，到三月份时，营业额达到12.1万元．求二、三月份的平均增长率．20．（7分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，求的长．21．（7分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）求这个二次函数图象的顶点坐标．（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标．（3）直接写出这个二次函数图象与y轴的交点坐标．22．（8分）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．23．（8分）如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB＝2，AD＝2，求线段BC和EG 的长．24．（12分）综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．2020-2021学年广东省广州市白云区广外附设外语学校九年级（上）期中数学试卷试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为：360÷60＝6°，那么10分钟，分针旋转了10×6°＝60°，故选：D．2．解：由题意，得点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（7，故选：C．3．解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106＝vt，∴v＝，故选：A．4．解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选：A．5．解：∵x2＝2x，∴x7﹣2x＝0，则x（x﹣6）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，解得x1＝3，x2＝2，6．解：当3为腰长时，将x＝3代入x4﹣4x+k＝0，得：82﹣4×5+k＝0，解得：k＝3，当k＝2时，原方程为x2﹣4x+6＝0，解得：x1＝8，x2＝3，∵4+3＝4，8＞3，∴k＝3符合题意；当5为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝5有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝5，当k＝4时，原方程为x2﹣2x+4＝0，解得：x3＝x2＝2，∵8+2＝4，3＞3，∴k＝4符合题意．∴k的值为4或4．故选：C．7．解：∵AB＝10，OC：OB＝3：5，∴OC＝3，在Rt△OCD中，CD＝＝，∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故选：D．8．解：∵∠FEG＝50°，若P点圆心，∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．故选：C．9．解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c＜0；∴ac＜4，即①正确；②由图象知，对称轴x＝﹣，则b＝﹣2a＜8；③由图象知，抛物线与x轴有2个交点2﹣6ac＞0，故③正确；④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B．10．解：A、由抛物线可知，b＜0，则ac＞0，ac＞3，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，b＞0，则ac＞0，ac＞4，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，b＞0，则ac＜0，ac＜6，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，b＜0，则ac＜0，ac＞2，故本选项不合题意．故选：B．二、填空题（本大共6小题，每小题3分，共18分）11．解：∵点A（﹣2，1），7），m）分别在三个不同的象限，1）在第二象限，∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，∵B（4，2）在第一象限（k≠0）的图象经过其中两点，∴反比例函数y＝（k≠8）的图象经过B（3，C（﹣6，∴8×2＝﹣6m，∴m＝﹣7，故答案为：﹣1．12．解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移8个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣8）2+2．故答案为y＝（x﹣3）2+2．13．解：∵抛物线y＝2x2+8（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，8＝2x2+4（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣2）]2﹣4×5×（﹣k）＝4k2+2＞0，∴0＝6x2+2（k﹣7）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+4（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．14．解：∵x2﹣8x＝4，∴x2﹣8x+16＝3+16，即（x﹣4）2＝21，故答案为：21．15．解：由已知得，母线长l＝5，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×6×π＝15π．故答案为：15π．16．解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝BC＝OC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB．∴AC＝OA．∵OA＝1，∴AC＝1．画出第2次、第6次，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移5．∵2019＝336×6+3，∴点B8向右平移1344（即336×4）到点B2019．∵B3的坐标为（8，0），∴B2019的坐标为（2+1344，4），∴B2019的坐标为（1346，0）．故答案为：（1346，0）．三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17．解：a＝1，b＝﹣4，△＝16﹣2×1×（﹣8）＝48，x＝，x1＝7+2，x7＝2﹣2．18．解：如图，△A′B′C′即为所求：（2）A'（﹣1，4），3），2）．故答案为（﹣1，5），2），2）．19．解：设这两个月营业额的平均增长率是x，由题意可得：10（1+x）2＝12.3，解得x1＝0.8；x2＝﹣2.7（不合题意舍去）．答：这两个月营业额的平均增长率是10%．20．解：（1）∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴的长＝×π．21．解：（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，∴二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，4）．（2）∵令y＝5，即﹣x2﹣2x+8＝0，解得x＝﹣3或4，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为：（﹣3，0），6）．（3）∵当x＝0时，y＝3，∴这个二次函数图象与y轴的交点坐标是（5，3），故答案为（0，5）．22．解：（1）由题意可得：，∴，答：k＝﹣1，b＝80；（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）4+400，∴当x＝60时，w有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．23．（1）证明：连接OE，OC；∵CB＝CE，OB＝OE∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC＝90°∴∠OBC＝90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AD，DC，E，B∴DA＝DE，CE＝CB，设BC为x，则CF＝x﹣2，在Rt△DFC中，，解得：；∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED；∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝，∴BG＝5，∴AG＝；解法一：连接BE，，∴，∴，在Rt△BEG中，，解法二：∵∠DAE＝∠EGC，∠AED＝∠CEG，∴△ADE∽△GCE，∴，＝，解得：．24．解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，又∵BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）CF＝E'F；理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CE'，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝CE'，∴CF＝E'F；（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，∵四边形BE'FE是正方形，∴BE'＝E'F＝BE，∵AB＝BC＝15，CF＝32＝E'B4+E'C2，∴225＝E'B2+（E'B+5）2，∴E'B＝9＝BE，∴CE'＝CF+E'F＝12，由（2）可知：BE＝AH＝2，DH＝AE＝CE'＝12，∴HE＝3，∴DE＝＝＝3．25．方法一：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且经过（0，）两点，∴抛物线的一般式为：y＝ax2，∴＝a（）8，解得：a＝±，∵图象开口向上，∴a＝，∴抛物线解析式为：y＝x2，故a＝，b＝c＝0；（2）设P（x，y），又∵y＝x2，则r＝，化简得：r＝＞x2，∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设P（a，a2），∵P A＝，作PH⊥MN于H，则PM＝PN＝，又∵PH＝a2，则MH＝NH＝＝7，故MN＝4，∴M（a﹣2，4），0），又∵A（0，6），∴AM＝，AN＝，当AM＝AN时，＝，解得：a＝0，当AM＝MN时，＝4，解得：a＝4±2，则a2＝7±2；当AN＝MN时，＝8，解得：a＝﹣2±2，则a7＝4±2；综上所述，P的纵坐标为：0或4+3．方法二：（3）设P（t，t2），∵r3﹣y2＝4，∴MH＝NH＝5，∴M（t﹣2，0），3），2），∵△AMN为等腰三角形，∴AM＝AN，AM＝MN，（t﹣2）5+（2﹣0）5＝（t+2）2+（2﹣0）2，∴t＝7，（t﹣2）2+（8﹣0）2＝62，∴t＝2±4，（t+2）6+（2﹣0）4＝42，∴t＝﹣3±2，①当t＝6时，P的纵坐标为0，②当t＝2±3时，P Y＝（2±2，∴P的纵坐标为4±5，③当t＝﹣2±7时，P Y＝（2±2，∴P的纵坐标为4±5，综上所述，P的纵坐标为：0或7+2．。

2019-2020学年广州市白云区九年级（上）期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）A．5x2﹣3x＝0B．3（x﹣2）2＝27C．（x﹣1）2＝16D．x2+2x＝82．对于二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最小值是﹣2B．对称轴是直线x＝1，最大值是﹣2C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是﹣2D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是﹣23．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长是（）A．20或8B．8C．20D．124．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）A．B．C．D．5．把抛物线y＝2x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x+2）2﹣1C．y＝2（x﹣2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2+16．下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，0），将OA绕原点逆时针方向旋转60°得OB，则点B的坐标为（）A．（1，）B．（1，﹣）C．（0，2）D．（2，0）8．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠A＝20°，∠B＝70°，则∠ACB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y210．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝．12．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．13．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2020的值为．14．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于．15．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是．三．解答题（共7小题）17．解下列方程3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）19．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A＝25°，求弧DE的度数；（2）若BC＝2，AC＝6，求BD的长．20．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房16万平方米，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若在近三年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若近三年内的建设成本不变，问2021年建设了多少万平方米廉租房？21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，且满足：（1）一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1；（2）抛物线的顶点在直线y＝2x上．问：（1）直接写出A、B两点的坐标．（2）求此抛物线的解析式．22．已知，如图，AB为⊙O的直径，点C是半圆上一点，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．（1）求证：∠OCF＝∠ECB；（2）当AB＝10，BC＝2，求CF的值．23．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C．（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若OA•OB＝6，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△P AC的面积为15，求P点的坐标．2019-2020学年广州市白云区九年级（上）期中考试数学试卷参考答案和试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．【解答】解：A、5x2﹣3x＝0，符合一元二次方程的一般形式，故A正确；B、C、D均不是一元二次方程的一般形式，故B、C、D错误．故选：A．2．【分析】由二次函数的解析式可求得其最值及对称轴，可得答案．【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值﹣2，故选：D．3．【分析】先求出方程的解，根据三角形三边关系定理得出菱形的边长为5，求出即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+10＝0得：x＝2或5，当AB＝AD＝2，BD＝6时，AB+AD＜BD，不符合三角形三边关系定理，舍去；当AB＝AD＝5，BD＝6时，此时符合三角形三边关系定理，所以菱形ABCD的周长是5+5+5+5＝20，故选：C．4．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．5．【分析】先得到抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y＝2（xx+2）2+1．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，1），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（xx+2）2+1．故选：A．6．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选：A．7．【分析】作BC⊥x轴于点C，根据旋转的概念和三角函数值解答即可．【解答】解：作BC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（2，0），将OA绕原点逆时针方向旋转60°得OB，∴OB＝OA＝2，∠BOC＝60°，∴OC＝1，BC＝，∴点B的坐标为（1，），故选：A．8．【分析】根据圆周角定理得到∠O＝2∠C，由三角形的内角和得到∠A+∠O＝∠C+∠B，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵∠O＝2∠C，∵∠A+∠O＝∠C+∠B，∴∠ACB＝∠B﹣∠A＝50°，故选：A．9．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．10．【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD＝x，则AD＝2﹣x，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM＝2﹣x，∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，∴y＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（3，6）代入函数y＝x2﹣mx+m﹣2列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值．【解答】解：根据题意，得6＝9﹣3m+m﹣2，即6＝7﹣2m，解得，m＝；故答案是：．12．【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴b2﹣4ac＝36﹣4×k×3＝36﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤3，且k≠0，则k的取值范围是k≤3，且k≠0，故答案为：k≤3，且k≠0．13．【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把﹣2a2+4a+2015变形为﹣2（a2﹣2a）+2015，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，∴a2﹣2a﹣1＝0，即a2﹣2a＝1，∴﹣2a2+4a+2020＝﹣2（a2﹣2a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故答案为：2018．14．【分析】根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝65°，根据旋转变换的性质计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝65°，由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝65°，∴∠ADC＝∠CAB＝65°，∴∠CAD＝50°，∴∠CAE＝15°，∴∠BAE＝50°，故答案为：50°．15．【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC 中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，则OC＝3，由于OC为△ABE的中位线，则BE＝2OC＝6，再根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC2+AC2＝OA2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．故答案为：2．16．【分析】过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF＝EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+．【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE ＝∠EHF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，∴∠EDG＝∠FEH，又∵EF＝DE，∴△DEG≌△EFH（AAS），∴HF＝EG，∵△ABC是等边三角形，AB＝3，AE＝AC，∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，∴EG＝CG＝，∴HF＝，∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+，故答案为：1+．三．解答题（共7小题）17．【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【解答】解：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0（x﹣2）（2x﹣6）＝0x﹣2＝0或2x﹣6＝0∴x1＝2，x2＝3．18．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，（3）根据勾股定理逆定理解答即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．19．【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．【解答】解：（1）连接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴∠DCE＝40°∴的度数为40°；（2）延长AC交⊙C与点F，∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6，∴AB＝2＝5，AE＝6﹣2＝4．∵AB与AF均是⊙C的割线，∴AD•AB＝AE•AF，即2•AD＝4×8，解得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣＝．20．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据该市政府2018年及2020年的投资额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用2021年建设的廉租房的面积＝2021年市政府的投资额÷每万平方米廉租房的价格，即可求出结论．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，依题意，得：4（1+x）2＝9，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：每年市政府投资的增长率为50%．（2）9×（1+50%）×（16÷4）＝54（万平方米）．答：2021年建设了54万平方米廉租房．21．【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），再求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标；（2）先确定抛物线的顶点坐标为（1，2），设顶点式y＝a（x﹣1）2+2，然后把A点坐标代入求出a即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；即A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵抛物线的顶点在直线y＝2x上，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，把A（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2．22．【分析】（1）延长CE交⊙O于点G，连接BG．利用圆周角的性质进行解答即可．（2）连接AC，作OH⊥CF于H．证明△ACB∽△CHO，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点G，连接BG．∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，∴BC＝BG，∴∠G＝∠2，∵BF∥OC，∴∠1＝∠F，又∵∠G＝∠F，∴∠1＝∠2．即∠OCF＝∠ECB．（2）解：连接AC，作OH⊥CF于H．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，BC＝2，∴AC＝＝＝4，∵OH⊥CF，∴FH＝CH，∵∠ACB＝∠CHO＝90°，∠A＝∠F＝∠1，∴△ACB∽△CHO，∴＝，∴＝，∴CH＝2，∴CF＝4．23．【分析】（1）当m≠﹣4时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．（2）根据抛物线y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1），求出x1和x2的值，可求OA．（3）可设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），根据S△P AC的面积为15，分P在y轴左边或右边两种情况讨论，列出方程可求P点的坐标．【解答】解：（1）∵m≠﹣4，∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0，∴当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0，解得x1＝m+1，x2＝﹣3，∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0，∵OA•OB＝6，∴3（m+1）＝6，解得m＝1，∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6，当x＝0时，y＝6，∴点C的坐标为（0，6）；（3）设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），P在y轴左边，则（3﹣a）（a2+a﹣6）+×3×6﹣（﹣a）（a2+a﹣6+6）＝15，解得a＝﹣5，a＝2（舍去）．P在y轴右边，则（a+a+3）×6+（a+3）（a2+a﹣6）﹣a（a2+a﹣6+6）＝15，解得a＝﹣5（舍去），a＝2（舍去）．故P点的坐标为（﹣5，﹣14）．。

2019-2020学年广州市白云区九年级（上）期中考试数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）A．5x2﹣3x＝0B．3（x﹣2）2＝27C．（x﹣1）2＝16D．x2+2x＝82．对于二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最小值是﹣2B．对称轴是直线x＝1，最大值是﹣2C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是﹣2D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是﹣23．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长是（）A．20或8B．8C．20D．124．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（）A．B．C．D．5．把抛物线y＝2x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x+2）2+1B．y＝2（x+2）2﹣1C．y＝2（x﹣2）2﹣1D．y＝2（x﹣2）2+16．下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，0），将OA绕原点逆时针方向旋转60°得OB，则点B的坐标为（）A．（1，）B．（1，﹣）C．（0，2）D．（2，0）8．如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠A＝20°，∠B＝70°，则∠ACB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y210．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．若函数y＝x2﹣mx+m﹣2的图象经过（3，6）点，则m＝．12．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．13．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2020的值为．14．如图，△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于．15．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．16．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是．三．解答题（共7小题）17．解下列方程3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）19．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A＝25°，求弧DE的度数；（2）若BC＝2，AC＝6，求BD的长．20．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房16万平方米，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若在近三年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若近三年内的建设成本不变，问2021年建设了多少万平方米廉租房？21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，且满足：（1）一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1；（2）抛物线的顶点在直线y＝2x上．问：（1）直接写出A、B两点的坐标．（2）求此抛物线的解析式．22．已知，如图，AB为⊙O的直径，点C是半圆上一点，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．（1）求证：∠OCF＝∠ECB；（2）当AB＝10，BC＝2，求CF的值．23．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C．（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若OA•OB＝6，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上找一点P，使S△P AC的面积为15，求P点的坐标．2019-2020学年广州市白云区九年级（上）期中考试数学试卷参考答案和试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．【解答】解：A、5x2﹣3x＝0，符合一元二次方程的一般形式，故A正确；B、C、D均不是一元二次方程的一般形式，故B、C、D错误．故选：A．2．【分析】由二次函数的解析式可求得其最值及对称轴，可得答案．【解答】解：∵y＝﹣3（x+1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值﹣2，故选：D．3．【分析】先求出方程的解，根据三角形三边关系定理得出菱形的边长为5，求出即可．【解答】解：解方程x2﹣7x+10＝0得：x＝2或5，当AB＝AD＝2，BD＝6时，AB+AD＜BD，不符合三角形三边关系定理，舍去；当AB＝AD＝5，BD＝6时，此时符合三角形三边关系定理，所以菱形ABCD的周长是5+5+5+5＝20，故选：C．4．【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【解答】解：A、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．C、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．5．【分析】先得到抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为y＝2（xx+2）2+1．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，1），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（xx+2）2+1．故选：A．6．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选：A．7．【分析】作BC⊥x轴于点C，根据旋转的概念和三角函数值解答即可．【解答】解：作BC⊥x轴于点C，∵点A的坐标为（2，0），将OA绕原点逆时针方向旋转60°得OB，∴OB＝OA＝2，∠BOC＝60°，∴OC＝1，BC＝，∴点B的坐标为（1，），故选：A．8．【分析】根据圆周角定理得到∠O＝2∠C，由三角形的内角和得到∠A+∠O＝∠C+∠B，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵∠O＝2∠C，∵∠A+∠O＝∠C+∠B，∴∠ACB＝∠B﹣∠A＝50°，故选：A．9．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．10．【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD＝x，则AD＝2﹣x，∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM＝2﹣x，∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，∴y＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（3，6）代入函数y＝x2﹣mx+m﹣2列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值．【解答】解：根据题意，得6＝9﹣3m+m﹣2，即6＝7﹣2m，解得，m＝；故答案是：．12．【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴b2﹣4ac＝36﹣4×k×3＝36﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤3，且k≠0，则k的取值范围是k≤3，且k≠0，故答案为：k≤3，且k≠0．13．【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把﹣2a2+4a+2015变形为﹣2（a2﹣2a）+2015，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，∴a2﹣2a﹣1＝0，即a2﹣2a＝1，∴﹣2a2+4a+2020＝﹣2（a2﹣2a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故答案为：2018．14．【分析】根据平行线的性质得到∠ACD＝∠CAB＝65°，根据旋转变换的性质计算即可．【解答】解：∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝65°，由旋转的性质可知，AD＝AC，∠DAE＝∠CAB＝65°，∴∠ADC＝∠CAB＝65°，∴∠CAD＝50°，∴∠CAE＝15°，∴∠BAE＝50°，故答案为：50°．15．【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BC＝AB＝4，在Rt△AOC 中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，则OC＝3，由于OC为△ABE的中位线，则BE＝2OC＝6，再根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，∵OC2+AC2＝OA2，∴（R﹣2）2+42＝R2，解得R＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE为直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2．故答案为：2．16．【分析】过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，依据△DEG≌△EFH（AAS），即可得到HF＝EG，进而得到当点D运动时，点F与直线GH的距离为个单位，据此可得当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+．【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE ＝∠EHF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，∴∠EDG＝∠FEH，又∵EF＝DE，∴△DEG≌△EFH（AAS），∴HF＝EG，∵△ABC是等边三角形，AB＝3，AE＝AC，∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，∴EG＝CG＝，∴HF＝，∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+，故答案为：1+．三．解答题（共7小题）17．【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【解答】解：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0（x﹣2）（2x﹣6）＝0x﹣2＝0或2x﹣6＝0∴x1＝2，x2＝3．18．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，（3）根据勾股定理逆定理解答即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1＝，A1B＝，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形．19．【分析】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．【解答】解：（1）连接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴∠DCE＝40°∴的度数为40°；（2）延长AC交⊙C与点F，∵∠BCA＝90°，BC＝2，AC＝6，∴AB＝2＝5，AE＝6﹣2＝4．∵AB与AF均是⊙C的割线，∴AD•AB＝AE•AF，即2•AD＝4×8，解得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝2﹣＝．20．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据该市政府2018年及2020年的投资额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用2021年建设的廉租房的面积＝2021年市政府的投资额÷每万平方米廉租房的价格，即可求出结论．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，依题意，得：4（1+x）2＝9，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：每年市政府投资的增长率为50%．（2）9×（1+50%）×（16÷4）＝54（万平方米）．答：2021年建设了54万平方米廉租房．21．【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标得抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），再求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标；（2）先确定抛物线的顶点坐标为（1，2），设顶点式y＝a（x﹣1）2+2，然后把A点坐标代入求出a即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的一个解是﹣1，∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；即A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵抛物线的顶点在直线y＝2x上，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，把A（﹣1，0）代入得a（﹣1﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2．22．【分析】（1）延长CE交⊙O于点G，连接BG．利用圆周角的性质进行解答即可．（2）连接AC，作OH⊥CF于H．证明△ACB∽△CHO，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点G，连接BG．∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，∴BC＝BG，∴∠G＝∠2，∵BF∥OC，∴∠1＝∠F，又∵∠G＝∠F，∴∠1＝∠2．即∠OCF＝∠ECB．（2）解：连接AC，作OH⊥CF于H．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，BC＝2，∴AC＝＝＝4，∵OH⊥CF，∴FH＝CH，∵∠ACB＝∠CHO＝90°，∠A＝∠F＝∠1，∴△ACB∽△CHO，∴＝，∴＝，∴CH＝2，∴CF＝4．23．【分析】（1）当m≠﹣4时，先得出判别式大于零，再判断出这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．（2）根据抛物线y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1），求出x1和x2的值，可求OA．（3）可设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），根据S△P AC的面积为15，分P在y轴左边或右边两种情况讨论，列出方程可求P点的坐标．【解答】解：（1）∵m≠﹣4，∴△＝（m﹣2）2﹣4×（﹣1）×3（m+1）＝（m+4）2＞0，∴当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）令y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0，解得x1＝m+1，x2＝﹣3，∵二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）与x轴交于AB两点（A在B左侧），与y轴正半轴交于点C，∴A（﹣3，0），B（m+1，0），m+1＞0，∵OA•OB＝6，∴3（m+1）＝6，解得m＝1，∴二次函数y＝﹣x2﹣x+6，当x＝0时，y＝6，∴点C的坐标为（0，6）；（3）设P点的坐标为（a，﹣a2﹣a+6），P在y轴左边，则（3﹣a）（a2+a﹣6）+×3×6﹣（﹣a）（a2+a﹣6+6）＝15，解得a＝﹣5，a＝2（舍去）．P在y轴右边，则（a+a+3）×6+（a+3）（a2+a﹣6）﹣a（a2+a﹣6+6）＝15，解得a＝﹣5（舍去），a＝2（舍去）．故P点的坐标为（﹣5，﹣14）．。

广州市 2019-2020 年度九年级上学期质量评估期中数学试题 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题1 . 若关于 的方程A．B．1的两根互为倒数，则 的值为（ ）C．－1D．02 . 若方程是关于 的一元二次方程，则 是（ ）A．2B．-2C．±2D．±13 . 已知线段 a，b，c，求作线段 x，使 ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（ ）A．B．C．D．4 . 快递公司 2014 年的快递业务量为 2 亿件，受益于经济的快速增长及电子商务发展等多重因素，快递业务 迅猛发展，2016 年的快递业务量达到 3.92 亿件．若设该地区这两年快递业务量的年平均增长率为 x，则下列方程 正确的是（ ）A．2（1﹣x）2=3.92B．3.92（1﹣x）2=2C．2（1+x）2=3.92D．3.92（1+x）2=25 . 如图，AD⊥BC 于 D，CE⊥AB 于 E，交 AD 于 F，则图中相似三角形的对数是（ ）A．3 对B．4 对6 . 下列各式成立的是（ ）C．5 对第1页共5页D．6 对A． ＝3B．＝7 . 下列计算正确的是（ ）C． ＝D．＝﹣3A．B．＝3C．D．8 . 如图，已知△ABC 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，3），若以点 B 为位似中心，在平面直角坐标系 内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC 位似，且相似比为 2：1，则点 C′的坐标为（ ）A．（0，0）B．（0，1）9 . 如图，在四边形中，，是边 ， 的中点，则 的长是C．（1，﹣1），，D．（1，0），．若点 ， 分别A．B．C．2D．10 . 下列运算正确的是（ ）A．B．C．D．二、填空题11 . 若□ABCD 中，∠A=50°，则∠C=_______°．第2页共5页12 . 计算：已知与 是同类最简根式，则 ___________.13 . 已知 a、b、c 满足，a、b、c 都不为 0，则=_____．14 . 如图，将边长为 4 的正方形，沿两边剪去两个一边长为 x 的矩形，剩余部分的面积为 9，可列出方程为．15 . 如果点 P（x，y）关于直线 x＝2 的对称点是（﹣3，4），那么 P 点的坐标是_____三、解答题16 . 在学习完北师大教材九年级上册第四章第 6 节“利用相似三角形测高”后，数学兴趣小组的 3 名同学利 用课余时间想要测量学校里两棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：①测得一根长为 l 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米（如图 l）. ②测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图 2），测得落在地面上的影 长为 4.4 米，一级台阶高为 0.3 米，落在第一级台阶的影子长为 0.2 米. （1）在横线上直接填写甲树的高度为_____________米. （2）图 3 为图 2 的示意图，请利用图 3 求出乙树的高度. 17 . 基本事实：“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”．一元二次方程 x2－x－2＝0 可通过因式分解化为（x－2）（x ＋1）＝0，由基本事实得 x－2＝0 或 x＋1＝0，即方程的解为 x＝2 或 x＝－1． （1）、试利用上述基本事实，解方程：2x2－x＝0： （2）、若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求 x2＋y2 的值．第3页共5页18 . 在△ABC 中，∠ABC＝90° （1）如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为点 M，N，求证：△ABM∽△BCN；（ 2 ） 如 图 2 ， P 是 BC 边 上 一 点 ， ∠BAP ＝ ∠C ， tan∠PAC ＝， BP ＝ 2cm ， 求 CP 的长． 19 .20 . 已知一个三角形的三边长分别为，，．(1)求它的周长（要求结果化简）；(2)请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.21 . 某社区决定把一块长 ，宽 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四 块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的 4 个出口宽度相同，当绿化区较长边 为何值时，活动区的面积达到?22 . 如图，抛物线与 x 轴交于点 A，顶点为点 P．（1）直接写出抛物线 的对称轴是_______，用含 a 的代数式表示顶点 P 的坐标_______；（2）把抛物线 绕点 M（m，0）旋转 顶点为点 Q．得到抛物线 （其中 m>0），抛物线 与 x 轴右侧的交点为点 B，第4页共5页①当 m=1 时，求线段 AB 的长； ②在①的条件下，是否存在△ABP 为等腰三角形，若存在请求出 a 的值，若不存在，请说明理由； ③当四边形 APBQ 为矩形时，请求出 m 与 a 之间的数量关系，并直接写出当 a=3 时矩形 APBQ 的面积． 23 . 如图,已知 A(-4,0)、B(0,2)、C(6,0),直线 AB 与直线 CD 相交于点 D,D 点的横纵坐标相同； (1)求点 D 的坐标； (2)点 P 从 O 出发,以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴正半轴匀速运动,过点 P 作 x 轴的垂线分别与直线 AB、CD 交于E、F 两点,设点 P 的运动时间为 t 秒,线段 EF 的长为 y(y>0),求 y 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取 值范围；(3)在(2)的条件下,直线 CD 上是否存在点 Q,使得△BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出符合条件的 Q 点坐标,若不存在,请说明理由．第5页共5页。

绝密★启用前|1 试题命制中心2019-2020 学年上学期期中原创卷【广东 B 卷】九年级数学（考试时间： 100 分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：人教版九上全册。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A．B．C．D．2．若对于的x 方程 x2+3x+a=0 有一个根为–1，则 a 的值为A ．–4B．–2C．2D．43．抛物线y=2 x2–3 的极点在A ．第一象限B．第二象限C． x 轴上 D ．y 轴上4．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其余同学各送一张表示纪念，全班共送1035 张照片，假如全班有 x 名同学，依据题意，列出方程为A ． x（x+1） =1035B． x（ x–1）=1035 × 2C． x（ x–1） =1035D． 2x（ x+1） =10355．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦CD⊥ AB，垂足为E，假如 AB=10 ， CD =8，那么线段OE 的长为A ．6B ． 5 C． 4 D ．3 6．如图， AB 为⊙ O 的直径，点 C， D 在⊙ O 上．若∠ AOD=30 °，则∠ BCD 等A ．75°B． 95°C． 100 °D．7．二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象以下图，则以下说法不正确的选项是A ．b2–4ac>0 B． a>0 C． c>0 D．8．设 x1， x2是一元二次方程 x2+3x–4=0 的两个根，则 x1+x2的值是A ．3 B．–3 C． 4 D ．–4 9．如图，直线AB、CD、BC 分别与⊙ O 相切于 E、F、G，且 AB∥ CD，若 OB=的长等于A ．13 B． 12 C． 11 D．10．如图，△ ABC 是直角三角形，∠A=90 °， AB=8cm，AC =6cm．点 P 从点的速度向点B 运动，同时点Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s 的速度向点达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ 的最大面积是A ．6cm2B． 8cm2C． 16cm2 D． 24cm2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11．△ABC 中，∠ACB=120 °，将它绕着点 C 顺时针旋转30°后获得△ DCE ，则12．对于 x 的一元二次方程kx2–x+1=0 有实数根，则k 的取值范围是 _______ 13．如图，⊙ O 的半径为6，四边形ABCD 内接于⊙ O，连结 OB，OD，若∠ B __________ ．14．a、 b、 c 是实数，点A（ a+1、 b）、 B（ a+2， c）在二次函数y=x2–2ax+系是 b__________c（用“ >”或“ <”号填空）．15．如图，将扇形AOC 围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12，扇锥的侧面积为__________．16．如图，在等边△ ABC 中，已知 AB =8cm，线段 AM 为 BC 边上的中线．点 N 在动点 D 在直线 AM 上运动，连结CD，△ CBE 是由△ CAD 旋转获得的．以作⊙ C 与直线 BE 订交于 P， Q 两点，则PQ=__________cm ．三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分）1 / 217．（ 1） x2–2x–8=0 ．（ 2）（ x–2）（ x–5） +1=0．18．如图， E、 F 分别是正方形ABCD 的边 BC， CD 上一点，∠ EAF=45 °．将△ ABE 绕着点 A 逆时针旋转90°获得△ ADG ，若 AB=5 ，求△ ECF 的周长．19．如图，在四边形ABCD 中，∠ A=∠ C=90 °．（1）用直尺和圆规作⊙ O，使它经过点 A， B， D；（2）查验点 C 能否在⊙ O 上，并说明原因．四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每题 7 分，共 21 分）20．如图，⊙ O 中，直径CD⊥弦 AB 于 E， AM⊥BC 于 M，交 CD 于 N，连 AD．（1）求证： AD =AN；（2）若 AE= 2 2，ON=1，求⊙ O 的半径．21 2 3的图象经过点（2，5．已知二次函数 y=x +bx–）．4 4（1）求这个二次函数的函数分析式；（2）若抛物线交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，极点为 D，求以 A、B、C、D 为极点的四边形面积．22．如图小张想用总长60m 的篱笆围成矩形ABCD 场所，此中 AD 边靠墙，墙体最多能用30m，矩形 ABCD 的面积 S（ m 2）随矩形边长AB（设为 x（ m））的变化而变化．（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系（ 2）当 x 为多少米时，矩形的面积是400 m 2？此时长宽分别是多少米？五、解答题（三）（本大题共 3 小题，每题9 分，共 27 分）23．以下图，AB 为⊙ O 的直径， CD 为弦，且CD⊥ AB，垂足为H ．（1）假如⊙ O 的半径为 4， CD=4 3，求∠ BAC 的度数；（2）若点 E 为ADB的中点，连结 OE，CE．求证： CE 均分∠ OCD ．24．在一个不透明的盒子中装有大小和形状同样的 3 个红球和 2 个白球，把它们充足搅匀．（ 1）“从中随意抽取 1 个球不是红球就是白球”是__________事件，“从中随意抽取 1 个球是黑球”是 __________ 事件；（ 2 ）从中随意抽取 1 个球恰巧是红球的概率是 __________ ；（ 3 ）学校决定在甲、乙两名同学中选用一名作为学生代表讲话，拟订以下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你以为这个规则公正吗？请用列表法或画树状图法加以说明．25．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA 4，=OC=3，若抛物线的极点在BC 边上，且抛物线经过O， A 两点，直线AC 交抛物线于点（1）求抛物线的分析式；（2）求点 D 的坐标；（ 3）若点 M 在抛物线上，点N 在 x 轴上，能否存在以A，D ，M，N 为极点的四边形是平若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．2 / 2。

2019-2020学年广东省广州中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分）1．（3分）在下列方程中，一元二次方程是（）A．x2﹣2xy+y2＝0B．x（x+3）＝x2﹣1C．x2﹣2x＝3D．x+＝02．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥33．（3分）已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大4．（3分）二次函数y＝x2+x﹣6的图象与x轴交点的横坐标是（）A．2和﹣3B．﹣2和3C．2和3D．﹣2和﹣3 5．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．3C．4D．57．（3分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD 等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为（）A．cm B．3cm C．2cm D．9cm9．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α10．（3分）如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm二、填空题（共6小题，每题3分，满分18分）11．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为．12．（3分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程．13．（3分）如图，△ABC绕着点C旋转至△DEC，点B，C，D共线，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则BD＝．14．（3分）如图⊙O中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B （1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为．16．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝．三、解答题（本题满分102分)17．（10分）解方程（1）3x2﹣5x+2＝0（2）（x+1）（x+3）＝818．（8分）公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式是s ＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行一段时间才能停下来，求出滑行的时间及最大的滑行距离．19．（10分）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完填空；（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标；（2）作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出线段C1C2的长度．20．（10分）如图，⊙O的直径AB＝10CM，弦长AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求△ABD的面积．21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．（2）2023年预计全省5G基站数量达到27万座，这一数量能否继续保持前两年的年平均增长率？请通过计算说明．22．（12分）小明遇到这样一个问题：已知：＝1．求证：b2﹣4ac≥0．经过思考，小明的证明过程如下：∵＝1，∴b﹣c＝a．∴a﹣b+c＝0．接下来，小明想：若把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到a﹣b+c＝0．这说明一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝﹣1．所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：b2﹣4ac≥0．根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：＝﹣2．求证：b2≥4ac．请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．23．（12分）已知如图△ABC中，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E．（1）∠A＝68°，求∠CED的大小；（2）当DE＝BE时，证明：△ABC为等腰三角形．24．（14分）如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．（1）写出AE与BD的大小关系；（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．（3）△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，把△CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置，求出线段AE长的最大值和最小值．25．（14分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线L：y＝x+m过顶点C和点B．（1）求抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（2）点D（0，），在x轴上任取一点Q（x，0），连接DQ，作线段DQ的垂直平分线l1，过点Q作x轴的垂线，记l2，l2的交点为P（x，y），在x轴上多次改变点Q的位置，相应的点P也在坐标系中形成了曲线路径D2，写出点P（x，y）的路径D2所满足的关系式（即x，y所满足的关系式），能否通过平移、轴对称或旋转变换，由抛物线D1得到曲线D2？请说明理由．（3）抛物线D1上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省广州中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分）1．（3分）在下列方程中，一元二次方程是（）A．x2﹣2xy+y2＝0B．x（x+3）＝x2﹣1C．x2﹣2x＝3D．x+＝0【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、方程含有两个未知数，故不是；B、方程的二次项系数为0，故不是；C、符合一元二次方程的定义；D、不是整式方程．故选：C．【点评】一元二次方程必须满足的条件：首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥3【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根可得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m＞0，∴m＜3，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．3．（3分）已知函数y＝（x﹣1）2，下列结论正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时，y随x的增大而增大C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大【分析】直接利用二次函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：函数y＝（x﹣1）2，对称轴为直线x＝1，开口方向上，故当x＜1时，y随x的增大而减小．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确把握二次函数的增减性是解题关键．4．（3分）二次函数y＝x2+x﹣6的图象与x轴交点的横坐标是（）A．2和﹣3B．﹣2和3C．2和3D．﹣2和﹣3【分析】利用二次函数的图象与x轴交点性质．【解答】解：二次函数y＝x2+x﹣6的图象与x轴交点的横坐标是当y＝0时，一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个根．解得x1＝2，x2＝﹣3．故选：A．【点评】解答此题要明确：二次函数的图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的两个根．5．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，连接OA，AM＝AB＝4，由勾股定理知，OM＝3．故选：B．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．7．（3分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠CAD 等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据圆周角定理可知∠B＝∠D＝30°，∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，易求出∠CAD的度数．【解答】解：∵AD是⊙O的直径∴∠ACD＝90°由圆周角定理知，∠D＝∠B＝30°∴∠CAD＝90°﹣∠D＝60°．故选：D．【点评】本题利用了圆周角定理、直角三角形的性质求解．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为（）A．cm B．3cm C．2cm D．9cm【分析】根据圆周角定理可求出∠COB的度数，再利用特殊角的三角函数值及垂径定理即可解答．【解答】解：∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，又∵OC＝cm，CD⊥AB于点E，∴，解得CE＝cm，CD＝3cm．故选：B．【点评】易错易混点：学生易审题不清，求出CE后错当作正确答案而选A．9．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB+∠ADB＝180°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°﹣α，故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（3分）如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm【分析】证明△ADF∽△DBE，推出＝＝＝，推出＝，设BE＝3a，则DE＝5a，推出BC＝3a+5a＝8a，AC＝8a×＝a，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a2的值即可解决问题．【解答】解：如图，∵正方形的边DF∥CB，∴∠B＝∠ADF，∵∠AFD＝∠ADEB＝90°，∴△ADF∽△DBE，∴＝＝＝，∴＝，设BE＝3a，则DE＝5a，∴BC＝3a+5a＝8a，AC＝8a×＝a，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（a）2+（8a）2＝（10+6）2，解得a2＝，红、蓝两张纸片的面积之和＝×a×8a﹣（5a）2，＝a2﹣25a2，＝a2，＝×，＝30cm2．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题（共6小题，每题3分，满分18分）11．（3分）已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为2．【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之和等于﹣，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m＝3，解得：m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．12．（3分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78，故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）＝6×78．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．13．（3分）如图，△ABC绕着点C旋转至△DEC，点B，C，D共线，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则BD＝3．【分析】由直角三角形的性质求出AC＝2BC，根据旋转的性质可求出CD的长，则BD可求出．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，∵△ABC绕着点C旋转至△DEC，∴CD＝AC＝2，∴BD＝BC+CD＝1+2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．14．（3分）如图⊙O中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝148°．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°．故答案为148°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B （1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B （1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．故答案为x1＝﹣2，x2＝1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．16．（3分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝2．【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．【解答】解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．三、解答题（本题满分102分)17．（10分）解方程（1）3x2﹣5x+2＝0（2）（x+1）（x+3）＝8【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）分解因式得：（3x﹣2）（x﹣1）＝0，3x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝，x2＝1；（2）整理得：x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．18．（8分）公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式是s ＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行一段时间才能停下来，求出滑行的时间及最大的滑行距离．【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5（t﹣2）2+20，当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．故滑行的时间为2秒，最大的滑行距离20米．【点评】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．19．（10分）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完填空；（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标；（2）作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出线段C1C2的长度．【分析】（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标即可；（2）作出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，写出线段C1C2的长度即可．【解答】解：如图所示：（1）△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1如图所示；点A1的坐标为（2，﹣1）；（2）△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°的△A2B2C2如图所示．线段C1C2的长度为＝．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．20．（10分）如图，⊙O的直径AB＝10CM，弦长AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求BC的长；（2）求△ABD的面积．【分析】（1）先根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．（2）求得AD和BD的长后利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）∵AB是直径∴∠ACB＝∠ADB＝90°在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝10cm，AC＝6cm∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64∴BC＝＝8（cm）；（2）∵CD平分∠ACB，∴＝，∴AD＝BD，又∵在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2∴AD2+BD2＝102∴AD＝BD＝＝5（cm）．∴△ABD的面积＝×（5）2＝25．【点评】本题考查的是圆周角定理及勾股定理、等腰三角形的性质，根据题意得出等腰直角三角形是解答此题的关键．21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．（2）2023年预计全省5G基站数量达到27万座，这一数量能否继续保持前两年的年平均增长率？请通过计算说明．【分析】（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2023年底全省5G基站数量＝2022年底全省5G基站数量×（1+增长率），即可求出2023年底全省5G基站数量，再与27万座比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：1.5×4（1+x）2＝17.34，整理，得：6x2+12x﹣11.34＝0，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．（2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座），∵29.478＞27，∴这一数量不能继续保持前两年的年平均增长率．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出按同一增长率2023年底全省5G基站数量．22．（12分）小明遇到这样一个问题：已知：＝1．求证：b2﹣4ac≥0．经过思考，小明的证明过程如下：∵＝1，∴b﹣c＝a．∴a﹣b+c＝0．接下来，小明想：若把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到a﹣b+c＝0．这说明一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝﹣1．所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：b2﹣4ac≥0．根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：＝﹣2．求证：b2≥4ac．请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．【分析】由＝﹣2可得出4a+2b+c＝0，进而可得出一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝2，结合根的判别式△≥0即可证出b2≥4ac．【解答】证明：∵＝﹣2，∴4a+c＝﹣2b，∴4a+2b+c＝0．∵把x＝2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），恰好得到4a+2b+c＝0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有根，且一个根是x＝2，∴△＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，根据＝﹣2找出一元二次方程ax2+bx+c＝0有根且一个根是x＝2是解题的关键．23．（12分）已知如图△ABC中，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E．（1）∠A＝68°，求∠CED的大小；（2）当DE＝BE时，证明：△ABC为等腰三角形．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到∠A+∠BED＝180°，则可证明∠CED＝∠A ＝68°；（2）利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠CDE，而∠CDE＝∠ABC，所以∠C＝∠ABC，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论．【解答】（1）解：∵∠A+∠BED＝180°，∠DEB+∠CED＝180°，∴∠CED＝∠A＝68°；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠CDE+∠EDB＝90°，∠C+∠EBD＝90°，∴∠C＝∠CDE，∵∠CDE＝∠ABC，∴∠C＝∠ABC，∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定．24．（14分）如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形．（1）写出AE与BD的大小关系；（2）若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时，上述（1）的结论仍成立吗？请说明理由．（3）△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，把△CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置，求出线段AE长的最大值和最小值．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠ACE＝∠BCD，判断出△ACE≌△BCD，即可得出结论；（3）判断出点E在AC的延长线上时，AE达到最大，点E在线段AC上时，AE达到最小，即可得出结论．【解答】解：（1）AE＝BD，理由：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）AE＝BD，理由：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（3）∵△ABC的边长为5，△CDE的边长为2，∴AC＝5，CE＝2，在△ACE中，AC+CE＞AE，∴当点E在AC的延长线上时，AE达到最大，最大值为AE＝AC+CE＝5+2＝7，在△ACE中，AC﹣CE＜AE，∴当点E在线段AC上时，AE达到最小AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3，即：线段AE长的最大值为7，最小值3．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键．25．（14分）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线L：y＝x+m过顶点C和点B．（1）求抛物线D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（2）点D（0，），在x轴上任取一点Q（x，0），连接DQ，作线段DQ的垂直平分线l1，过点Q作x轴的垂线，记l2，l2的交点为P（x，y），在x轴上多次改变点Q的位置，相应的点P也在坐标系中形成了曲线路径D2，写出点P（x，y）的路径D2所满足的关系式（即x，y所满足的关系式），能否通过平移、轴对称或旋转变换，由抛物线D1得到曲线D2？请说明理由．（3）抛物线D1上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点B的坐标，再将B，C的坐标代入抛物线解析式即可；（2）根据题意画出图象，由垂直平分线的性质可知PD＝PQ，根据勾股定理列出方程，化简可得出x，y所满足的关系式；（3）分两种情况讨论，结合锐角三角函数分别求出直线CM的解析式，再求出直线与抛物线的交点即可．【解答】解：（1）在直线L：y＝x+m中，当x＝0时，y＝m；当y＝0时，x＝﹣m，∵C（0，﹣3），∴B（3，0），∵抛物线D1：y＝ax2+b的顶点为C（0，﹣3），∴y＝ax2﹣3，将B（3，0）代入，得，a＝，∴抛物线D1：y＝ax2+b的解析式为y＝x2﹣3；（2）如图1，连接PD，则PD＝PQ，∵P（x，y），D（0，），Q（x，0），∴x2+（y﹣）2＝y2，整理，得y＝x2+，∴路径D2所满足的关系式为y＝x2+，∵﹣（﹣3）＝，∴可将抛物线D1向上平移个单位长度得到曲线D2；（3）∵C（0，﹣3），B（3，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，①如图2，若点M在点B上方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°+15°＝60°，∴OE＝OC•tan30°＝，设直线CE解析式为y＝kx﹣3，将E（，0）代入，可得，k＝，∴y CE＝x﹣3，联立，得，解得，或，∴M1（3，6）；②如图2，若M在点B下方，设MC交x轴于点F，则∠OFC＝45°﹣15°＝30°，∴OF＝OC•tan60°＝3，设直线CF解析式为y＝kx﹣3，将F（3，0）代入，可得，k＝，∴y CF＝x﹣3，联立，得，解得，或，∴M2（，﹣2），综上所述，M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．。

2020-2021学年广州市白云区广外附设外语学校九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.借用一副三角尺，你能画出下列哪个度数的角()A. 85°B. 95°C. 105°D. 115°2.已知点P(−1,3)，那么与点P关于原点对称的点的坐标是()A. (−1,−3)B. (1,−3)C. (1,3)D. (3,−1)3.已知一个面积为3的矩形的长为y，宽为x，则y与x之间的关系用图象大致可表示为()A. B.C. D.4.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AED≌△AEF；②BF=DE；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是()A. ②④B. ①④C. ②③D. ①③5.已知方程2(a−b)x2+(2b−ab)x+(ab−2a)=0有两个相等实根，则2b −1a的值为()A. .0B. .12C. .1D. .26.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：(1)△ABD≌△ACD；(2)AD⊥BC；(3)∠B=∠C；(4)AD是△ABC的角平分线．其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为()A. 3cmB. 6cmC. √41cmD. 9cm8.如图，点A为⊙O上一点，BC为直径，AB=4，AC=3，D是弧AB的，则CE的长为()中点，CD与AB相交于点E，且DE=√52A. √52B. √5C. 3√52D. 2√59.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1.直线y=−x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①a−b+c<0；②2a+b+c>0；③x(αx+b)≤a+b；④a>−1.其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.已知函数f(x)=x2−2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1−y2|≤9，则实数a的取值范围是()A. −3≤a≤4B. −2≤a≤4C. −3≤a≤3D. 3≤a≤4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 定义：如果一个y 与x 的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x 的“反比例平移函数”.例如：y =1x−2+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y =1x 的图象，则y =1x−2+1是y 与x 的“反比例平移函数”.如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为(9,0)、(0,3).点D 是OA 的中点，连接OB 、CD 交于点E ，“反比例平移函数y =ax+kx−6”的图象经过B 、E 两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为____；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，则写出这个反比例函数的表达式为____．12. 把抛物线y =−x 2+x 向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______．13. 关于x 的函数y =ax 2+(a +2)x +a +1的图象与x 轴只有一个公共点，则实数a 的值为______．14. 若方程组{x +2y =4k 2x +y =2k +1的解满足0<y −x <1，则k 的取值范围是______． 15. 用一张半径为9cm 、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是______cm ．16. 如图，若正方形AB′C′D′是由边长为2的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°而成的，则DB′的长度为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 贾汪百货大搂服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

初三数学期中模拟测试一一、选择题（每题3分共计30分）1． 将抛物线2y 3x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) Ａ. ()23x 1y 1=-- Ｂ. ()23x 1y 2=-+Ｃ. ()23x 1y 2=+-Ｄ. ()23x 1y 2=++ 2．二次函数2y 2x mx 8=++的图象如图所示，则m 的值是A ．－8B ．8C ．±8 D．63．若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为【 】A ．直线x=1B ．直线x=﹣2C ．直线x=﹣1D ．直线x=﹣4 4．若抛物线c x x y +-=22与y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是( ) A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x=1C ．当x=1时，y 的最大值为﹣4D ．抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）给出了结论：（1）二次函数有最小值，最小值为﹣3；（2）当22x 时，y ＜0； （3）二次函数的图象c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值是【】 A ．45 B ．54C ．35D ．537．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1，则AB 的长为( )A ．12米B ．C ．米D ．米8．如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=( ) A ．32 B ．23C D9．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=【 】A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：210．如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为A 、m n 2⎛⎫⎪⎝⎭， B 、（m ，n ） C 、n m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， D 、m n 22⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、填空题（每题3分共计18分）11．如图，AB 是⊙O 的直径，AD DE ，AB=5，BD=4，则sin ∠ECB=．12．如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD ，则折痕BE 的长为 ．13．如图，矩形ABCD 的边AB 上有一点P ，且AD=，BP=，以点P 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC ，线段BC 于点E ，F ，连接EF ，则tan ∠PEF= ．14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．已知△ABC 是面积为3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝15．如图，45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于（结果保留根号）．16．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6，sinA=35，则DE= ． 三、解答题（102分）17网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC∽△DEF ．18．．如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.（1）设Rt△CBD 的面积为S 1, Rt△BFC 的面积为S 2, Rt△DCE 的面积为S 3 , 则S 1S 2+ S 3(用“>”、“=”、“<”填空)；（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明. 19．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是以 点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.（1）画出位似中心点O ；（2）直接写出△ABC 与△A ’B’C ’的位似比； （3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点 O 中心对称的△A"B"C"，如果△ABC 内部一点M 的坐标为（x ，y ），写出△A"B"C"中M 的对应点M"的坐标。

2019-2020学年上学期期中原创卷B 卷九年级数学·参考答案12345678910CCDAC ACACD11．312．513．8k -且0k ≠14．180︒15．(2,2)-16．①③④17．【解析】由题意得：222()()60m -+-⨯-=，解得1m =-，（3分）当1m =-时，方程为260x x --=，解得：122,3x x =-=，所以方程的另一根23x =．（6分）18．【解析】∵二次函数的对称轴为2x =，且在x 轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(),(1,050)-，，（2分）设抛物线解析式为(1)(5)y a x x =+-，把(0)2-，代入得152a ⨯⨯-=-（），解得a =25，∴抛物线的解析式为y =25（x +1）（x -5）=25x 2−85x −2．（6分）19．【解析】（1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x ，根据题意列方程2150(1)216x +=解得120%x =，2220%x =-（舍去）.（3分）（2）150(120%)180⨯+=，(5800052000)(150180216)3276000-⨯++=.答：（1）该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为20%；（2）共盈利3276000元.（6分）20．【解析】探究：根据旋转角的定义可知∠DCE 是旋转角为90°，故答案为90；（2分）应用：∵△BCP 绕点C 顺时针旋转至△DCE ，∴△BCP ≌△DCE （SSS ）．∴∠CBP =∠CDE ．∵∠CDE +∠E =90°，∴∠CBP +∠E =90°．∴∠BFE =90°.（5分）拓展：∵DC =BC =3，DP =2CP ，∴CP =1．∴CE =1．所以四边形ABED 面积=正方形ABCD 面积+△DCE 面积=9+12×1×3=10.5．（7分）21．【解析】（1）因为有A ，B ，C 共3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13，故答案为13．（3分）（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率6293==．（7分）22．【解析】（1）解方程组224y x y x ⎧=-⎨=+⎩，得1137x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩，即A 的坐标为（﹣2，2），B 的坐标为（3，7）.（3分）（2）当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围是23x -<<．（7分）23．【解析】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26.（2分）（2）设当每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x ）（20+2x ）＝1200，整理，得x 2﹣30x +200＝0，解得：x 1＝10，x 2＝20，要求每件盈利不少于25元，∴x 2＝20应舍去，解得x ＝10，答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．（5分）（3）设每件商品降价n 元时，该商店每天销售利润为y 元，则：y ＝（40﹣n ）（20+2n ），y ＝﹣2n 2+60n +800，n ＝﹣2＜0，∴y 有最大值，当n ＝15时，y 有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意.即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．（9分）24．【解析】（1）连接OC ，,120AC CD ACD ∠︒ ＝＝，30A D ∴∠∠︒＝＝．（2分）OA OC ＝，30ACO A ∴∠∠︒＝＝．90OCD ACD ACO ∴∠∠∠︒＝﹣＝．即OC CD ⊥，CD ∴是O 的切线．（4分）（2）30A ∠︒ ＝，260COB A ∴∠∠︒＝＝．260333602BOC S π⋅π∴=扇形＝，在Rt OCD △中，CD =，11•3222OCD S OC CD ∴==⨯⨯=△，9332OCD BOC S S π∴-=△扇形，∴图中阴影部分的面积32-π．（9分）25．【解析】（1）如图①所示；根据等量代换得出∠GAF =∠FAE ，利用SAS 得出GAF EAF △≌△，∴GF =EF ，故答案为：EAF ；△EAF ；GF .（3分）（2）DE ＋BF ＝EF ，理由如下：假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转，m °得到△ABG ，如图，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D ＝90°，∴∠ABG ＋∠ABF ＝90°＋90°＝180°，（5分）因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵12EAF m ∠=︒，∴112322BAD EAF m m m ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12m ︒．即∠GAF ＝∠EAF ．（7分）∵在△AGF 和△AEF 中，AG AE GAF EAF AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△GAF ≌△EAF （SAS ）．∴GF ＝EF ．又∵GF ＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ，∴DE ＋BF ＝EF ．（9分）。

广东省广外附中实验学校2019-2020学年九年级上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 如图，我国传统文化中的“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2. 如图，将Rt△ABC(其中∠B=35°，∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A．35°B．50°C．125°D．90°3. 某地质学家预测：在未来的20年内，F市发生地震的概率是．以下叙述正确的是（）A．从现在起经过13至14年F市将会发生一次地震B．可以确定F市在未来20年内将会发生一次地震C．未来20年内，F市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大D．我们不能判断未来会发生什么事，因此没有人可以确定何时会有地震发生4. 方程的根是（）A．B．C．D．5. 下列对抛物线y=-2(x-1)2+3性质的描写中，正确的是( )A．开口向上B．对称轴是直线x=1C．顶点坐标是(-1，3)D．函数y有最小值6. 反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于( )D．﹣2A．﹣8 B．﹣4C．﹣7. 如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知相似．（）A．B．C．D．8. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠BOD＝44°，则∠C的度数是（）A．44°B．22°C．46°D．36°9. 如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410. 已知：如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线AC=8cm，直线l从点A出发，以1c m/s的速度沿AC向右运动，直到过点C为止在运动过程中，直线l始终垂直于AC，若平移过程中直线l扫过的面积为S（cm2），直线l的运动时间为t（s），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题11. 一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率为_______．12. 已知两个相似三角形与的相似比为3．则与的面积之比为________．13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．14. 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于____________.15. 如图,点O是半径为3的圆形纸片的圆心,将这个圆形纸片按下列顺序折叠,使弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积为______16. 如图，A是反比例函数图象上的一点，点B、D在轴正半轴上，是关于点D的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则的值为____．17. 二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有______（请将结论正确的序号全部填上）三、解答题18. “十一”黄金周期间, 西安旅行社推出了“西安红色游”项目团购活动，收费标准如下:若总人数不超过25人，每人收费1000元；若总人数超过25人，每增加1人，每人收费降低20元(每人收费不低于700元)，设有x人参加这一旅游项目的团购活动.(1)当x=35时,每人的费用为______元.(2)某社区居民组团参加该活动,共支付旅游费用27000元,求该社区参加此次“西安红色游”的人数.19. 已知△ABC为等边三角形， M为三角形外任意一点，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.(1)如图①，若∠BMC=120°，BM=2，MC=3.求∠AMB的度数和求AM的长.(2)如图②，若∠BMC = n°，试写出AM、BM、CM之间的数量关系，并证明你的猜想.20. 如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．21. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD＝OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．23. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x ＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？24. 如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC=度，∠BPC=度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．25. 如图所示，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴的交点为点A(3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，连接AA．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大?若存在，求出点D的坐标及△ACD面积的最大值，若不存在，请说明理由.（3）在抛物线上是否存在点E，使得△ACE是以AC为直角边的直角三角形如果存在，请直接写出点E的坐标即可；如果不存在，请说明理由.。