金融工程第9章布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
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金融工程布莱克斯科尔斯莫顿模型.pptx
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基本思路
• 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资 产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产 收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期 权价格的最根本因素。
• 要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律 后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。
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13.2收益率的分布 The distribution of the rate
of return 若 x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则
ST S0 exT
x = 1 ln ST
T S0
x
m
s2 2
,
s2 T
5
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6
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13.3 预期收益率 The expected return
• 其在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S:
DS mSDt sSDz
• 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理 可得：
•
在一
：
个小
的时
间
间
隔
中
，
fd的f
变 (化Sf值m△S
f为f:t
1 2
2 f S 2
s
2S
2 )dt
f S
sSdz
Df ( f mS f 1 2 f s 2 S 2 )Dt f sSDz
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有
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基本思路
• 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资 产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产 收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期 权价格的最根本因素。
• 要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律 后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。
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13.2收益率的分布 The distribution of the rate
of return 若 x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则
ST S0 exT
x = 1 ln ST
T S0
x
m
s2 2
,
s2 T
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13.3 预期收益率 The expected return
• 其在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S:
DS mSDt sSDz
• 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理 可得：
•
在一
：
个小
的时
间
间
隔
中
，
fd的f
变 (化Sf值m△S
f为f:t
1 2
2 f S 2
s
2S
2 )dt
f S
sSdz
Df ( f mS f 1 2 f s 2 S 2 )Dt f sSDz
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
金融工程学 第9章
= [ pc + (1 − p )c ]e
d
− rτ
e S0 − S e rτ − d here， p = u = d S −S u−d
d
rτ
9
例子
假设有一个股票买权合约，到期日为 年 假设有一个股票买权合约，到期日为1年，执行 价格为112美元，股票当前的价格为 美元， 美元， 价格为 美元 股票当前的价格为100美元，无 美元 风险利率为8％（连续复利折算为单利）。 ％（连续复利折算为单利）。在到 风险利率为 ％（连续复利折算为单利）。在到 期日股票的价格有两种可能： 美元或者60美 期日股票的价格有两种可能：180美元或者 美 美元或者 求期权的价值？ 元，求期权的价值？ S1=Su=uS0＝180 c1=cu=max(0, Su-112) ＝68 S1=Sd=dS0=60 c1=cd=max(0, Sd-112) ＝0
V = [(c − c ) /( S − S )]S − c = Be
u d u d u u
rτ
若S1＝Sd
V = [(c − c ) /( S − S )]S − c = Be
u d u d d d
rτ
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这说明，上述风险性资产投资的组合相当 这说明， 于一个无风险的套期保值组合 所以， 所以，投资的风险态度对于这样的组合是 无关紧要。 无关紧要。 基于上述的理由， 基于上述的理由，只要以上述方式构建投 资组合来对期权定价， 资组合来对期权定价，就等价于假设投资 者是风险中性的， 者是风险中性的，由此就大大简化对期权 的推导过程。 的推导过程。
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风险中性的另一种解释
若在期初构造如下组合： 的价格买入N 若在期初构造如下组合：以S0的价格买入 股股票，同时以c 的价格卖出一个期权， 股股票，同时以 0的价格卖出一个期权，则 该组合的投资成本为NS 该组合的投资成本为 0－c0，若无套利它 必然等于B。 必然等于 。 证明： 证明：若S1＝Su
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
y第9章 期权定价理论
0.5S c 0.550 c 25 c
因此存在等式: 20e0.021 25 c 解出： c 5.4（ 0 元）
二叉树模型中，把期权的有效期分为很多很小 的时间间隔 。
假设每一个时间间隔 t 内证券价格只有两种 运动的可能。
当 t 较大时，这种二值运动的假设与实际不 相符合。
1 e 2 dt
2
S 证券的市价 X 期权的执行价格 T 期权的有效期 t 时间
证券价格波动率
r 无风险利率
标的资产无收益情况下，欧式看涨期权与美式看 涨期权的价值相等。
无收益资产美式看涨期权计算公式与下式相同：
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
2、无收益资产欧式看跌期权的定价公式
若以该股票为标的资产、期限为一年的欧式看涨期 权的执行价是60元，试计算该欧式买权目前的价格。
图1 股票价格变化的二叉树图
图2 期权价值变化的二叉树图
构造一个组合：1单位看涨期权空头与 单位 股票多头可构造无风险资产。
1年后，若市场处于繁荣状态，组合的价值为
80 -20； 若市场处于萧条状态，组合的价值为40 -0。
p Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
3、固定收益证券欧式看涨和看跌期权的定价 公式
c (S I )N (d1) Xer(T t) N (d2 )
p Xer(T t) N (d2 ) (S I )N (d1)
其中：I 为标的证券产生的固定收益的现值
ln((S I ) / X ) (r 2 / 2)(T t)
通过买入一种股票的同时卖出一定份额该股票 的看涨期权，可以构造一个无风险投资组合。
因此，期权的收益或现金流可以用标的物股票 和无风险证券的投资组合来复制。
因此存在等式: 20e0.021 25 c 解出： c 5.4（ 0 元）
二叉树模型中，把期权的有效期分为很多很小 的时间间隔 。
假设每一个时间间隔 t 内证券价格只有两种 运动的可能。
当 t 较大时，这种二值运动的假设与实际不 相符合。
1 e 2 dt
2
S 证券的市价 X 期权的执行价格 T 期权的有效期 t 时间
证券价格波动率
r 无风险利率
标的资产无收益情况下，欧式看涨期权与美式看 涨期权的价值相等。
无收益资产美式看涨期权计算公式与下式相同：
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
2、无收益资产欧式看跌期权的定价公式
若以该股票为标的资产、期限为一年的欧式看涨期 权的执行价是60元，试计算该欧式买权目前的价格。
图1 股票价格变化的二叉树图
图2 期权价值变化的二叉树图
构造一个组合：1单位看涨期权空头与 单位 股票多头可构造无风险资产。
1年后，若市场处于繁荣状态，组合的价值为
80 -20； 若市场处于萧条状态，组合的价值为40 -0。
p Xer(T t) N (d2 ) SN (d1)
3、固定收益证券欧式看涨和看跌期权的定价 公式
c (S I )N (d1) Xer(T t) N (d2 )
p Xer(T t) N (d2 ) (S I )N (d1)
其中：I 为标的证券产生的固定收益的现值
ln((S I ) / X ) (r 2 / 2)(T t)
通过买入一种股票的同时卖出一定份额该股票 的看涨期权，可以构造一个无风险投资组合。
因此，期权的收益或现金流可以用标的物股票 和无风险证券的投资组合来复制。
布莱克_斯科尔斯期权定价模型分析
二、期权价值的影响因素以及期权定价的基本假设、原则
不例外。它除了满足以上所有期权定价模型都要遵守的基本假
在经济学中，价值（ｖａｌｕｅ）和价格（ｐｒｉｃｅ）是两个不同的概 设外，还有其自身另外需要满足的假设前提，分别是：
念。其中，价格是为得到某种商品（如金融资产期权）而付出的
１． 金 融 资 产（股 票）收 益 率 服 从 对 数 正 态 分 布 ，即 ，ｌｎＳ￣Ｎ
表 3 日本方差分解图
追踪期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
标准差 0.292101 0.443562 0.580553 0.720747 0.791517 0.839553 0.875984 0.907389 0.947468 0.986631
Ljfdi 100.0000 91.62234 86.67862 84.25748 82.22778 82.32719 82.22168 82.10551 82.21052 82.00107
理论与实践
布莱克 － 斯科尔斯期权定价模型分析①
程度晴 杨 琴
摘 要：本文首先介绍期权定价模型兴起的经济背景并详细分析了期权价值的主要影响因素；接着主要围绕最为著名的期权定 价模型— ——布莱克 － 斯科尔斯期权定价模型，对其成立的前提条件、推导过程作了较为详细的说明，并通过实例运用模 型进行期权定价，简单分析了期权价值对布莱克 － 斯科尔斯期权定价模型中各个变量的敏感性。
３．市场不存在税收和交易成本；
但是还得围绕其理论价值进行，以体现价值。
４．金融资产在期权有效期内不存在红利支出和其他所得
那么，期权定价为什么会成为一个大难题呢？我们知道，对
５．期权只有在到期日才可执行（即为欧式期权）
于 股 票 、债 券 等 基 础 金 融 工 具 ，其 价 值 一 般 都 是 通 过“ 净 现 值
布莱克休尔斯莫顿期权定价模型(ppt41张)
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布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型 11.3.1
假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
和 为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型 11.0
MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧 式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响； 同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的 模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学 奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模 型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
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11.2.６ 衍生品价格所服从的随机过程
当股票价格服从几何布朗运动 dS 时，由 Sdt Sdz 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)， 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
5
11.2.1
布朗运动
x a t b t ，显然，Δx也 普通布朗运动的离差形式为 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为 b 2 t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。 2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T ，方差为b2T。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
∂f
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
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12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
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12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
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标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
第九章《金融工程》PPT课件
第六， 标的资产价格的变动是连续的，且是均匀的，既无跳空上涨 ，又无跳空下跌。
第七， 标的资产价格和利率的波动在整个交易期间为已知常量。
39
期权定价的B-S模型
三、ITO过程与ITO定理
1、 ITO过程
40
期权定价的B-S模型
2、 ITO定理
41
期权定价的B-S模型
四、B-S微分方程与定价公式
19
期权的价值与影响因素
三、影响期权价格的因素
1、标的资产的市场价格 2、期权的协议价格 3、期权的有效性 4、标的资产价格的波动率 5、无风险利率 6、标的资产的收益
20
期权的价值与影响因素
期权价格影响因素总表
21
期权定价
第二节 期权平价定理
22
期权平价定理
（一）欧式期权平价定理
（1）不支付红利的欧式期权
期权价值的上限与下限
一、看涨期权的价值上限与下限 （一） 看涨期权价值的上限 在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价 格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖 出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式期 权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
26
期权价值的上限与下限
（二） 看涨期权价值的下限 1. 欧式期权 （1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限
期权费主要反映了人们对合约项下的基础资产的市场 价格变化趋势的预期心理以及期权合约至期满日所剩的时 间长短；它主要由期权的“内在价值”和“时间价值”构 成。
16
期权的价值与影响因素
（一）期权的内在价值 “内在价值”，就是期权“沽盈价”（看涨期权的执行价 格低于现货价格的差额；或者是看跌期权的执行价格高于 现货价格的差额）与期权面值或合约规模的乘积，它反映 了期权持有者现在就执行期权可获盈利的程度
第七， 标的资产价格和利率的波动在整个交易期间为已知常量。
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期权定价的B-S模型
三、ITO过程与ITO定理
1、 ITO过程
40
期权定价的B-S模型
2、 ITO定理
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期权定价的B-S模型
四、B-S微分方程与定价公式
19
期权的价值与影响因素
三、影响期权价格的因素
1、标的资产的市场价格 2、期权的协议价格 3、期权的有效性 4、标的资产价格的波动率 5、无风险利率 6、标的资产的收益
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期权的价值与影响因素
期权价格影响因素总表
21
期权定价
第二节 期权平价定理
22
期权平价定理
（一）欧式期权平价定理
（1）不支付红利的欧式期权
期权价值的上限与下限
一、看涨期权的价值上限与下限 （一） 看涨期权价值的上限 在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价 格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖 出期权来获取无风险利润。因此，对于美式和欧式期 权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
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期权价值的上限与下限
（二） 看涨期权价值的下限 1. 欧式期权 （1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限
期权费主要反映了人们对合约项下的基础资产的市场 价格变化趋势的预期心理以及期权合约至期满日所剩的时 间长短；它主要由期权的“内在价值”和“时间价值”构 成。
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期权的价值与影响因素
（一）期权的内在价值 “内在价值”，就是期权“沽盈价”（看涨期权的执行价 格低于现货价格的差额；或者是看跌期权的执行价格高于 现货价格的差额）与期权面值或合约规模的乘积，它反映 了期权持有者现在就执行期权可获盈利的程度
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton option pricing model）是金融学中最经典的期权定价模型之一。
该模型由费舍尔·布莱克（Fisher Black）、默顿·舒尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）三位学者于1973年共同提出，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
该模型被广泛用于期权定价和风险管理。
布莱克-舒尔斯-默顿模型建立在一系列假设之上，其中包括市场允许短期空头交易、无风险利率保持恒定、市场流动性足够充足、期权不考虑红利支付等。
该模型的核心思想是使用风险中性估值来确定期权的价格，基于期权的风险与标的资产价格的相关性。
模型的数学公式为:C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rT) * N(d2)P = X * e^(-rT) * N(-d2) - S_0 * N(-d1)其中，C为看涨期权的价格，P为看跌期权的价格，S_0是标的资产的现价，X是期权的行权价，r是无风险利率，T是期权的到期时间，N()是正态分布函数，d1和d2是根据数学公式计算得出的变量。
这个模型基于对资本市场和期权市场的理性行为假设，即市场参与者会根据可得的信息做出最优决策。
它可以用来估计欧式期权的价格，即只在到期日时才能行使的期权。
但该模型不能直接应用于美式期权，因为美式期权可以在任何时间行使。
为了使用布莱克-舒尔斯-默顿模型进行期权定价，需要计算d1和d2的值。
这两个值可以通过期权定价的一系列参量（如标的资产价格、行权价、无风险利率、到期时间和标的资产的波动率）来计算。
这些参量的准确估计对期权定价的精确性至关重要。
布莱克-舒尔斯-默顿模型的优点在于提供了一种快速而相对准确的期权定价方法，为投资者提供了一个公平的市场价值。
然而，该模型也存在一些限制，例如，该模型假设市场流动性充足，但实际市场可能存在流动性不足的情况。