最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》知识梳理

人教版高中数学选修二全册知识点归纳总结第一篇：数学选修二必修内容详解第一章函数及其应用1.函数及其概念：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性、周期性、对称性等2.函数的运算：加法、减法、乘法、除法、复合函数、反函数等3.函数的应用：函数模型、函数方程、函数关系、函数表示、函数求值等第二章三角函数1.三角函数的基本概念：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割2.三角函数的相互关系：借助单位圆解释正弦、余弦函数，借助正切函数解释余割、正割函数3.三角函数的简单运算：倍角公式、半角公式、和差公式、化简公式、合并公式、差积定理等4.三角函数的应用：角度关系、角度测量、三角函数图像、三角函数方程、三角函数求解等第三章解析几何1.二维平面直角坐标系的基本概念：点、直线、圆等2.二维坐标系中的直线方程：斜截式、截距式、一般式、交点式等3.圆的相关概念：圆的标准方程、圆的一般方程、圆心、半径、切线等4.解析几何的应用：确定方程、矢量运算、空间几何、曲线分析等第四章微积分1.导数及其基本概念：导数定义、导数运算、高阶导数、柯西—罗尔定理等2.微积分基本定理：牛顿—莱布尼茨公式、区分反函数、定积分、不定积分等3.微积分应用：函数极值、函数图像分析、相关变化率、微分方程、微积分定理等以上是数学选修二的必修内容，掌握这些知识点，能够帮助学生扎实掌握高中数学基本概念和方法，为进一步发展数学能力打下基础。

第二篇：数学选修二选修内容详解第五章数列及其应用1.数列的概念：等差数列、等比数列等2.数列的性质：通项公式、求和公式、收敛性、发散性等3.数列的应用：数学归纳法、数列问题的解答、计算器计算数列等第六章概率论与数理统计1.随机事件及其概率：基本概念、事件关系、样本空间等2.概率分布及其函数：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等3.抽样分布及其统计推论：抽样中心极限定理、参数估计、假设检验等4.应用：概率模型、统计图表、数据分析、随机模拟等第七章矩阵论与线性代数1.基本知识：矩阵基本运算、行列式、逆矩阵、秩等2.线性方程组：高斯消元法、矩阵表示、特解、齐次线性方程组、基础解系等3.特征值和特征向量：特征方程、特征值、特征向量、对角化、相似变换等4.应用：向量分析、投影、方程求解、几何变换、矩阵算法等以上是数学选修二的选修内容，掌握这些知识点，能够帮助学生进一步拓展数学领域，学会使用不同的数学方法解决实际问题。

庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;(2)(归纳推理)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.深化升华①数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须是真实可靠的;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即命题只要对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.这两步各司其职,缺一不可.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步而仅有第二步,命题也有可能是假命题.②数学归纳法的优点是克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学的方法,使我们认识到由繁到简,由特殊到一般,由有限到无穷的数学思想.知识拓展归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法,根据考察的对象是全部还是部分,归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法.二、数学归纳法的主要应用1.用数学归纳法证明不等式问题对与正整数有关的不等式的证明,如果用其他的方法比较困难,此时可考虑利用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式的证明等其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.要点提示在数学归纳法中,由n=k时成立推证n=k+1时也成立是关键和难点,在推证时一般要用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等.2.用数学归纳法证明整除问题对于整数a,b,如果a=b·c,c为整数,则称a能被b整除;对于多项式A,B,如果A=B·C,C为整式,则称A能被B整除.由多项式的定义容易得出:对多项式A,B,C,P,如果A能被C整除,那么PA也能被C整除;如果A,B能被C整除,那么A+B或A-B也能被C整除.疑点突破用数学归纳法证明整除问题,P(k) P(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形是关键的一步.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式分拆配凑成P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实,这个变形是难点.3.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时,难点就是在P(k) P(k+1)递推时,找出从n=k到n=k+1时的递推公式,这是关键所在.方法点拨分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在P(k)的基础上增加了多少,就能找出相应的递推关系.问题·探究问题有两堆棋子数目相等,均为n颗,两人做游戏,轮流取子,规定每人可在其中任一堆里每次取走若干颗,但不能不取,也不能同时从两堆里取,直至取尽,取到最后一颗棋子者为胜者.你能用数学知识证明后者取胜吗?思路:这是一个与正整数有关的问题,所以可以考虑利用数学归纳法来处理.探究:(1)当n=1时,即两堆中,每堆各一颗,先取者只能在其中一堆里取一颗,则另一堆的一颗是最后一颗,由后者取得,问题得证.(2)假设当n≤k 时,命题正确,即后者取胜;那么当n=k+1时,若先取者取走l 颗棋子(1≤l≤k+1),这样一堆还剩下(k+1-l)≤k 颗,另一堆仍有k+1颗,这时候取者可在较多的一堆里也取走l 颗,使两堆棋子数保持相等,且都不大于k.由归纳假设推得后者取胜.由(1)(2)可知对于任意自然数n,后取者都能得胜.典题·热题例1用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…·(2n -1),其中n ∈N *.思路分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k 时等式两边的式子的联系,增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决了.证明:(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=21·1=2,等式成立.(2)假设当n=k 时,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k ·1·3·…·(2k -1).则当n=k+1时,(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)=2k ·1·3…(2k -1)·2(2k+1)=2k+1·1·3…(2k -1)(2k+1).即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知对一切n ∈N *,等式成立.误区警示 当n=k+1时,等式的左边容易错写成(k+1)(k+2)…(k+k )(k+k+1).这时我们要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的结构特征以及该式与n 之间的关系.例2求证:65312111>+++++n n n ,(n≥2,n ∈N *). 思路分析:本题在由n=k 到n=k+1的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式常用的方法之一.证明:(1)当n=2时,右边=6561514131>+++,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k ∈N *)时命题成立,即65312111>+++++k k k . 则当n=k+1时,)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k )11331231131(312111+-+++++++++++=k k k k k k k 65)113313(65)11331231131(65=+-+⨯+>+-++++++>k k k k k k 所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立.深化升华 数学归纳法的应用通常与其他方法联系在一起,如比较法,放缩法,配凑法,分析法和综合法等.例3利用数学归纳法证明:(3n+1)·7n -1（n ∈N *)能被9整除.思路分析:第一步当n=1时,可计算(3n+1)·7n -1的值,从而验证它是9的倍数;第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.证明:(1)当n=1时,(3×1+1)×71-1=27,能被9整除,所以命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *)时命题成立,即(3k+1)·7k -1能被9整除.那么当n=k+1时,［3(k+1)+1］·7k+1-1=(3k+4)·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=［(3k+1)·7k -1］+3·7k+1+6·(3k+1)·7k=［(3k+1)·7k -1］+7k (21+6×3k+6)=［(3k+1)·7k -1］+9·7k (2k+3).由归纳假设知(3k+1)·7k -1能被9整除,而9·7k (2k+3)也能被9整除,故［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知对一切n ∈N *,(3n+1)·7n -1能被9整除.深化升华 涉及整除的问题,常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法,其中等价变换的技巧性往往较强.例4平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一个点,证明交点的个数f(n)等于2)1( n n . 思路分析:本例的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题时常运用几何图形的性质.证明:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=21×2×(2-1)=1, 因此,当n=2时,命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k 条直线的交点的个数f(k)= 21k(k-1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记为l(如图2-3-1).图2-3-1由上面的假设,除l 以外的其他k 条直线的交点的个数为f(k)=21k(k-1).另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不同,且与平面内其他的21k(k-1)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数为21k(k-1)+k=21k ［(k-1)+2］ =21(k+1)［(k+1)-1］.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数f(k+1)=21(k+1)［(k+1)-1］. 根据(1)(2),可知命题对任何大于1的正整数都成立.拓展延伸 有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点.求证:这n 个圆把平面分成f(n)=n 2-n+2个部分.思路分析:由k 到k+1时,研究第k+1个圆与其他k 个圆的交点的个数问题.证明:(1)当n=1时,即一个圆把平面分成2个部分,f(1)=2;又n=1时,n 2-n+2=2,所以命题成立.(2)假设n=k 时,命题成立,即k 个圆把平面分成f(k)=k 2-k+2个部分;那么设第k+1个圆记为⊙O,由题意,它与k 个圆中每个圆交于两点,又无三圆交于同一点,于是它与其他k 个圆相交于2k 个点.把⊙O 分成2k 条弧而每条弧把原区域分成2块,因此该平面的总区域增加2k 块,即f(k+1)=k 2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立.由(1)(2)知对任何n ∈N *命题均成立.深化升华 用数学归纳法证明这类几何问题,关键是弄清从k 到k+1的变化规律,也就是找出新增加的相应的元素的个数.例5(2006辽宁高考)已知函数f(x)=13++x x (x≠-1).设数列{a n }满足a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足b n =|a n 3-|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N *).(1)用数学归纳法证明b n ≤12)13(--n n; (2)证明S n <332. 思路分析:本题考查数列、等比数列、不等式等基础知识及运用数学归纳法解决有关问题的能力.证明:(1)当x≥0时,f(x)=1+12+x >1. ∵a 1=1,∴a n ≥1(n ∈N *). 下面用数学归纳法证明不等式b n ≤12)13(--n n. ①当n=1时,b 1=3-1,不等式成立.②假设当n=k 时,不等式成立,即b k ≤12)13(--k k, 那么b k+1=|a k+1-3|=k k k k k b a a 2)13(2131|3|)13(1+-≤-≤+-- 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据①②可知不等式对任意n ∈N *都成立.(2)由(1)知b n ≤12)13(--n n.∴S n =b 1+b 2+…+b n ≤(3-1)+2131)213(1)13(2)13(2)13(12----∙-=-++--n n n 33221311)13(=--∙-<. 故对任意n ∈N *,S n <332.。

第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(2)进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．(3)掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．2．过程与方法目标(1)利用“归纳—猜想—证明”模式解决问题，培养学生自觉运用数学归纳法的意识．(2)培养学生综合运用知识的能力及解题时的目标意识．(3)培养学生思维的严谨性，培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力进一步提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生思维的严密性．通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：(1)由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．难点：(1)初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．(3)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现递推关系．教学过程复习巩固让学生独立完成下列练习题1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立．．．，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立3．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则下列说法正确的是( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋144．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f(k ＋1)－f(k)等于…( ) A.12k ＋1 B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2活动结果：1.B 2.C 3.D 4.D设计意图练习中4个题难度不大，但题目小巧灵活，用来复习旧知，为师生共同探讨下面的例题作准备．5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N )． 思路分析：注意数学归纳法的两步一结论，特别是归纳假设的利用．证明：(学生板演)(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1等式成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 那么，当n ＝k ＋1时左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6＝右边，即当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N 都成立．点评：应用归纳假设的过程中要注意变形的目的性，否则由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形不易完成．设计意图通过本题复习数学归纳法的证明步骤，体会由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时归纳假设的应用及在证明过程中强化“目标意识”．典型示例类型一：用数学归纳法证明“等式”例1设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.求a 2，a 3，a 4，由此猜想a n 的一个通项公式，并证明你的结论．思路分析：在“推理与证明”一节课中已经熟悉了这种模式，由于这是一个与正整数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．由于上节课刚学完数学归纳法，此题学生想到用数学归纳法证明很容易．证明：由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n ＝n ＋1，下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＋1，猜想成立．(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a 2k －ka k ＋1＝(k＋1)2－k(k ＋1)＋1＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由(1)(2)知，对于任意n ∈N *都有a n ＝n ＋1成立．点评：此例属于用数学归纳法证明“等式”．以数列为背景，培养学生“观察→分析→归纳→猜想→证明”这种从特殊到一般的数学思维，体会数学归纳法在数列中的应用．巩固练习是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．解：假设存在a 、b 、c 使上式对n ∈N 均成立，则当n ＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解此方程组可得a ＝3，b ＝11，c ＝10，下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立．即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k ＋112[k(3k 2＋11k ＋10)＋12(k ＋2)2]＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋17k ＋24)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．所以，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，存在常数a ＝3，b ＝11，c ＝10，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数均成立． 类型二：用数学归纳法证明“不等式”例2(2009山东高考理20题改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N ，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 思路分析：没有要求用哪种方法来证明，首先要综合分析是选用分析法？综合法、反证法、还是数学归纳法来证明．此题与正整数有关可以考虑数学归纳法，当然也不能把学生试图用其他方法证明的想法一棍子打死．证明方法的选用体现了新学知识与旧知识的融合，而不能仅停留在刚学完什么方法就用什么方法证明的思维误区中，以至于在复习考试时非常被动．证明：由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k(k ≥1且k ∈N )时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋12k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1) >4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1) ＝k ＋2 ＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N 都成立．点评：本题属高考改编题，与高考题相比，删去了与数学归纳法无关的某些内容，一方面提高了课堂效率，突出了本节课的重点，同时也体现了数学归纳法在证明不等式中的应用，结合了分析法、放缩法等其他方法证明不等式．用数学归纳法证明不等式要有目标意识，考虑到n ＝k ＋1时不等式的左边为分式右边为根式，所以一般先将要证明的不等式两端都化成同一种形式(同为分式或根式)，再根据目标进行合理放缩．本题证法的关键是“4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)”这一步的放缩． 巩固练习证明不等式1＋12＋13＋…＋1n <2n(n ∈N )． 证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．②假设n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1＝右边， 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意正整数都成立．类型三：用数学归纳法证明整除性问题例3对于n ∈N *，求证：(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．思路分析：此题既不是证明等式也不是证明不等式，代数式的整除性是第一次遇到，用以前学过的方法不好处理，又由于此命题与正整数有关，故考虑用数学归纳法来证明．证明：(1)当n ＝1时，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1＝(x ＋1)2＋(x ＋2)1＝x 2＋3x ＋3可被(x 2＋3x＋3)整除，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·f(x)．当n ＝k ＋1时，(x ＋1)k ＋2＋(x ＋2)2k ＋1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＋(x ＋1)(x ＋2)2k －1－(x ＋1)(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)[(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1]＋[(x ＋2)2－(x ＋1)](x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x 2＋3x ＋3)·f(x)＋(x 2＋3x ＋3)(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·[(x ＋1)f(x)＋(x ＋2)2k －1]，∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．点评：整除问题一般要面临因式分解，所以在证明n ＝k ＋1时，要对式子进行合理的添加项使得既能提取公因式进行因式分解又能利用归纳假设，一般添加项的项是从两项中各取一个因式然后相乘得到．本题中添加的项是(x ＋1)(x ＋2)2k －1，也可以是(x ＋1)k ＋1(x ＋2)2.巩固练习求证：对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．证明：(1)当n ＝1时，即3×5＋2＝15＋2＝17命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即3×52k －1＋23k －2＝17M ，M ∈N ．则当n ＝k ＋1时，3×52k ＋1＋23k ＋1＝25×3×52k －1＋8×23k －2＝25×3×52k －1＋8×23k －2＋25×23k －2－25×23k －2＝25(3×52k －1＋23k －2)－17×23k －2＝25×17M －17×23k －2＝17(25M －23k －2)，∴n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．类型四：用数学归纳法证明相关问题例4平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：(1)共有交点a n ＝12n(n －1)个； (2)构成线段或射线b n ＝n 2条．思路分析：用数学归纳法证明平面几何中与自然数有关的证明题的时候，关键是分析好由n ＝k 到n ＝k ＋1时的证明思路，而要找到证明思路就要通过分析当直线的条数由n ＝2增加到n ＝3时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，这样由特殊到一般就容易找到由n ＝k 到n ＝k ＋1时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，从而找到证明思路．证明：(1)①当n ＝2时，a 2＝1，结论成立，②假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝12k(k －1)， 则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线与前k 条有k 个交点，∴a k ＋1＝a k ＋k ＝12k(k －1)＋k ＝12k(k ＋1)．∴结论成立． 由①②知，结论共有交点a n ＝12n(n －1)(n ≥2)个成立．(2)①n ＝2时，b 2＝4，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即b k ＝k 2，则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线上有k 个交点，将第k ＋1条直线分成k ＋1部分，k 个交点在原k 条线上，每一点将所在线段或射线分成两部分，增加了k 部分．∴b k ＋1＝b k ＋(k ＋1)＋k ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.∴结论成立．由①②知，对一切n ∈N ，n ≥2，b n ＝n 2成立．巩固练习平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：将平面分成c n ＝12n(n ＋1)＋1部分． 证明：①n ＝2时，两条相交直线将平面分成4部分，c 2＝12·2·(2＋1)＋1＝4，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即c k ＝12k(k ＋1)＋1， 当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线被分成k ＋1段，每一段将原来那一部分分成两部分，即增加了k ＋1部分．∴c k ＋1＝c k ＋(k ＋1)＝12k(k ＋1)＋(k ＋1)＋1＝12(k ＋1)(k ＋2)＋1， 即n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对一切n ∈N ，n ≥2，c n ＝12n(n ＋1)＋1成立． 变练演编用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N )时，从“n ＝k →n ＝k ＋1”两边需同乘以一个代数式，它是( )A ．2k ＋2B ．(2k ＋1)(2k ＋2)C.2k ＋2k ＋1D.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1解析：当n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)＝2k ·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝2k ＋1·1·3·…·[2(k ＋1)－1]．通过对比等式左边可知，增加了两个因式(2k ＋1)(2k ＋2)，减少了一个因式k ＋1.故答案选D.答案：D达标检测1．如果命题P(n)对于n ＝k(k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P(n)对于n ＝2时成立，则P(n)对所有的________都成立．①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④大于1的正整数2．如果命题p(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现知p(n)对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对n ∈N 成立B ．p(n)对n>4且n ∈N 成立C ．p(n)对n<4且n ∈N 成立D ．p(n)对n ≤4且n ∈N 不成立3．利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1324时，由k 递推到k ＋1不等式左边应添加的项是( )A.12(k ＋1)B.12k ＋1＋12(k ＋1)C.12k ＋1－12(k ＋1)D.12k ＋1答案：1.② 2.D 3.C反考老师已知m 为正整数，用数学归纳法证明当x>－1时，(1＋x)m ≥1＋mx.证明：(ⅰ)当m ＝1时，原不等式成立；当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ， ∵x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；(ⅱ)假设当m ＝k 时，不等式成立，即(1＋x)k ≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0，于是在不等式(1＋x)k ≥1＋kx 两边同乘以1＋x 得(1＋x)k ·(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2≥1＋(k ＋1)x ，所以(1＋x)k ＋1≥1＋(k ＋1)x ，即当m ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立．课堂小结1．知识收获：(1)数学归纳法的证明步骤．(2)用数学归纳法证明等式、不等式、整除等问题的主要思路．2．方法收获：目标意识，用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n ＝k ＋1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业教材习题2.3 A 组第2题，B 组第1,2题．补充练习基础练习1．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1. 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误．．是__________． 2．对于n ∈N *，n ≥2，求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n. 答案：1.没有用上归纳递推2．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋14＝54<32＝2－12＝右边，所以不等式成立． (2)假设n ＝k 时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 当n ＝k ＋1时，左＝1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－(k ＋1)－1k (k ＋1)＝2－1k ＋1， 即n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，n ≥2不等式成立．拓展练习3．首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *. 证明若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．证明：已知a 1是奇数，可假设a k ＝2m －1，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m(m －1)＋1是奇数． 根据数学归纳法，对任何n ∈N ，a n 都是奇数．设计说明第1课时已经理解了数学归纳法的原理及步骤，本节课主要熟悉用数学归纳法证明各种题型，进一步加深对数学归纳法的理解，特别是证明当n ＝k ＋1时有一个技巧：即代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．对于教学中学生可能遇到的障碍也通过例题得到清除．常见障碍：1．由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定(产生此障碍的原因：没弄清计数规律，这类问题，通常按“找规律，定项数”的方法来处理)．2．若命题中n 为正奇数(或正偶数)，在第二步假设“n ＝k 时命题成立”，误认为需证明“n ＝k ＋1时命题也成立”(错因：忽略相邻的正奇数相差2)．3．处理P(k ＋1)时不善于“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用(原因：缺乏目标意识)．4．不能灵活运用其他证明不等式的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法(原因：对“数学归纳法”缺乏认识，忽略了应用数学归纳法证题时可以结合其他数学方法)．备课资料例1：(2009陕西卷理)已知数列{x n }满足，x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *. 猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决．解：由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，x 2>x 4，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x 2k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3) ＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0， 即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立．例2：求证：(1＋1)(1＋13)…(1＋12n －1)>2n ＋1，n ∈N *. 思路分析：与正整数有关的不等式证明可以考虑数学归纳法，关键在于由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立，在这个过程中可以应用分析法或者是放缩法．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2＝4>3＝右边，所以不等式成立．(2)假设n ＝k 时不等式成立，即(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)>2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，左＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1)＝2k ＋22k ＋1， 欲证：左边>2(k ＋1)＋1＝右边，只需证(2k ＋22k ＋1)2－(2k ＋3)2＝(2k ＋2)2－(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1＝12k ＋1>0. ∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3.∴n ＝k ＋1时不等式成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *不等式成立．点评：由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立的过程中也可以应用放缩法：左边＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)＋(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1) ＝2k ＋22k ＋1＝(2k ＋2)22k ＋1＝4k 2＋8k ＋42k ＋1>4k 2＋8k ＋32k ＋1＝(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1 ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1＝右边．(设计者：张建霞)。

数学选修2-2知识点总结导数及其应用 一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0xx =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1.[()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=• 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值； （2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

励学国际学科学生讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：宋冰洁课题数学归纳法课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容数学归纳法【要点梳理】要点一:数学归纳法的概念与原理1.数学归纳法的定义对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.2.数学归纳法的原理数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。

它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。

但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。

但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。

其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。

3.数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。

要点二:运用数学归纳法的步骤与技巧1.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的基本步骤：(1)证明：当n取第一个值n0（如n0=1或2等）命题正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当n=k+1时命题也成立.根据(1)，(2)可以断定命题对于一切从n0开始的所有正整数n都成立.要点诠释：（1）不要弄错起始n0：n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．（2）项数要估算正确：特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）切忌关键步骤含糊不清：“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．2.用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．要点三:用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数n 有关的恒等式．．．对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 2.用数学归纳法证明与正整数n 有关的整除性问题．．．．．用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

学科教师辅导讲义讲义编号学员编号： 年 级： 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 数学归纳法授课日期及时段教学目的1、了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理。

2、 能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。

3、初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。

4、进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

教学内容一、课前检测1用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )A.n =1B.n =2C.n =3D.n =4 答案：C2用数学归纳法说明：1+111(1)2321n n n ++⋅⋅⋅+<>-，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是( )。

【2】(A)k 2个 (B) 12-k 个 (C) 12-k 个 (D) 12+k 个答案：A3已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 答案：C 4已知a 1=21,a n +1=33+n na a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________. 答案：73、83、93、103 53=n5楼梯共有n 级，每步只能跨上1级或2级，走完该n 级楼梯共有)(n f 种不同的走法，则)(n f 、)1(-n f 、)2(-n f 的关系为 。

答案：)2()1()(-+-=n f n f n f 6观察下列式子：222543=+,222221413121110+=++,222222227262524232221++=+++,222222222444342414039383736+++=++++，…，则第n 个式子是 。

2.3数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理数学归纳法阅读教材P92～P94“例1”以上内容，完成下列问题．1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)．【自主解答】(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.【答案】 D(2)①当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2.等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)那么当n＝k＋1时，[(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]·…·[(k＋1)＋(k＋1)]＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)＝2×2k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)×[2(k ＋1)－1]即当n＝k＋1时，等式也成立．根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立．数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[再练一题]1．(1)下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋kC ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13 D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4(2)用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 【解析】 (1)A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ；B 中，n ＝1时，式子＝1；C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1. 故正确的是C.【答案】 C(2)【证明】①当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12(k＋1)－1－12(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12(k＋1)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k＋1－12(k＋1)＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋12(k＋1)＝右边，所以当n＝k＋1时等式也成立．由①②知对一切n∈N*等式都成立.用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>1324(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．【精彩点拨】(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．【自主解答】(1)当n＝k＋1时左边的代数式是1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋1 2k＋2，增加了两项12k＋1与12k＋2，但是少了一项1k＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 【答案】 1(2k ＋1)(2k ＋2)(2)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．[再练一题] 2．试用数学归纳法证明例2(1)中的不等式．【证明】 ①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324， 那么当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋12(2k＋1)(k＋1)>1324.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．[探究共研型]用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题探究【提示】解决此类问题的基本思路是：可以先从观察入手，发现问题的特点，以形成解决问题的初步思路，然后用归纳的方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明．已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝13.【导学号：62952086】(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．【精彩点拨】(1)令n＝2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想a n，再用数学归纳法证明．【自主解答】(1)a2＝S22(2×2－1)＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝1 35.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜得：a n＝1(2n－1)(2n＋1).证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即a k＝1(2k－1)(2k＋1)，那么，当n＝k＋1时，由题设a n＝S nn(2n－1)，得a k＝S kk(2k－1)，a k＋1＝S k＋1(k＋1)(2k＋1)，所以S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，所以a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N*都成立．1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．[再练一题]3．已知函数y＝f(n)(n∈N*)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)试猜想f (n )的解析式，并用数学归纳法给出证明．【解】 (1)因为f (1)＝2，f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (2＋1)＝f (2)·f (1)＝22·2＝23＝8.f (4)＝f (3＋1)＝f (3)·f (1)＝23·2＝24＝16.(2)猜想：f (n )＝2n (n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝21＝2，所以猜想正确．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想正确，即f (k )＝2k ，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，所以，当n ＝k ＋1时，猜想正确．由①②知，对任意的n ∈N *，都有f (n )＝2n .1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3.【答案】 C2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )【导学号：62952087】A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3【解析】 当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2.【答案】 B3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．【解析】当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.【答案】1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k＞k2.那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．【解析】在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.【答案】(2)5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－1)(n＋1)4.【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k－1)(k＋1)4.那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k ＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝k2(k－1)(k＋1)4＋(2k＋1)k(k＋1)2＝14k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝14k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2[(k＋1)－1][(k＋1)＋1]4.所以当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*等式成立．。

2．3数学归纳法整体设计教材分析本节课是人教A版选修2－2的第二章第三单元．“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步研究的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学习，可以更好地理解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯．课时分配2课时．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质．(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论．(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式．(4)初步掌握归纳与推理的方法．2．过程与方法目标培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力得到进一步的提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生数学思维的严密性，通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明．(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．教学过程引入新课提出问题：问题1：一个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：你知道谚语“天下乌鸦一般黑”的由来吗？问题3：一个数列的通项公式是a n＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.由此作出结论：对于一切n∈N ，a n＝(n2－5n＋5)2＝1都成立．请问这个结论正确吗？问题4：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？问题5：请说出以上4个问题的异同点．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，并注意与学生交流．活动成果：教师板书“一一进行验证”(学生回答问题1的时候抓住关键词)“只能验证有限个”(学生在回答问题2的时候)“结论不一定正确”(学生在回答问题3、4的时候)“归纳法，完全归纳法，不完全归纳法”(学生在回答问题5的时候)同时说明：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法．点明不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论．学情预测：对于问题1及问题2估计学生会比较感兴趣，这两个问题有利于活跃课堂气氛，拉近师生之间的距离，让学生的思维过渡到课堂的思考中来．问题3大部分学生应该能判断准确．对于问题4最初可能会有一部分学生认为正确，但是由问题3的引导也会对问题4的正确性产生怀疑．设计意图让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛．在学生已有认知基础上给出问题，从生活问题自然过渡到数学问题．由问题3的不正确引导，学生对问题4的正确性产生怀疑，从而使学生对学过的知识进行及时的反思，在不断反思中得到提高(教师可以在学生回答完问题4后顺便提问学生以前学过的结论中哪些用到了不完全归纳法)．通过问题的设计使学生了解归纳法的分类，让学生自然领悟到不完全归纳法的缺憾，使学生对本节课的知识产生期待，从而引出本节课的课题“数学归纳法”．探究新知实例：播放多米诺骨牌录像，思考以下问题：提出问题：你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？活动设计：学生讨论交流，各抒己见．活动成果：根据学生的发言板书以下内容(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．(板书时注意格式，为数学归纳法的步骤提供类比依据．)可以再举几则生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等．学情预测：大部分学生在电脑或电视节目中或者小时候玩的玩具中都遇到过多米诺骨牌，通过讨论，教师再加以引导，学生对所提出的问题基本能解决．设计意图：通过直观具体的画面让“归纳递推”这一难点在学生的头脑中建立载体，便于帮助学生理解从有限到无限的过渡．提出问题：对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3,4，…)，求a 4，a 100. 活动设计：学生进行计算推理后，展示思考结果(学生板演)．教师追问：问1：根据递推公式a n ＋1＝a n 1＋a n，可以由a 1出发，推出a 2，再由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，说说你又是如何求得a 100的呢？学情预测：学生可能会回答：“由前四项归纳猜想a 100＝1100”．问2：归纳猜想的结果并不可靠，你能对a 100＝1100给出严格的证明吗？ 针对学生的回答情况，教师可进行追问：问3：利用递推公式，命题可以由a 1推出a 2，由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，…，由a 99推出a 100，这样要严格证明n ＝100时结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？(教师在刚才学生板演的基础之上板书以下推理过程，可以再多写出第六步，第七步，第八步直到学生开始有反应：嫌麻烦等情绪的出现)第一步，a 1＝1，第二步，a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，(由a 1推a 2) 第三步，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，(由a 2推a 3) 第四步，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，(由a 3推a 4) ……第99步，a 99＝a 981＋a 98＝1981＋198＝199，(由a 98推a 99) 第100步，a 100＝a 991＋a 99＝1991＋199＝1100.(由a 99推a 100) 学情预测：通过板书上的推理过程，学生可能窃窃私语“太麻烦”，出现畏难情绪．教师可以抓住这一契机继续追问：问4：你认为上述推理的麻烦之处在哪里？你能否对此过程进行优化？只用最少的步骤就能证明这个结论呢？学情预测：学生思考、讨论之后可能会总结出：推理麻烦之处在于除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明实际上都是类似的．教师因势利导：后面99个步骤都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：若n 取某一个值时结论成立，则n 取其下一个值时结论也成立，即若a k ＝1k (k ≥1，k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(*)．(a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1) 问5：你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗？问6：有了命题(*)的证明，你能肯定a 100＝1100吗？你能肯定a 101＝1101吗？你能肯定a 102＝1102吗？甚至你能肯定a 1 000＝11 000吗？…… 问7：给定a 1＝1及命题(*)，你能推出什么结论呢？学情预测：通过追问4、5、6、7，学生可能对“归纳递推”这一步骤有了清晰的认识，逐渐领悟了从有限到无限的飞跃，有了对数学问题解决过程的体验，对于问7部分学生有能力对这一模式的特征概括出“可以证明对任意的正整数n ，结论a n ＝1n(n ∈N )都成立”．(为了更直观可以用多媒体投出下列图示) 反思与总结：a n ＝1n(n ∈N *)？问8：已知数列{a n }：a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，求证：a n ＝1n . 教师在上述板书的基础之上把后99步用彩笔圈起，在附近用同色彩笔写下下面的(2)中的推理过程，然后用板书完善数学归纳法的“两步一结论”．证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时，结论成立，即a k ＝1k， 则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k(已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标)， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立． 问9：你能否总结出这一证明方法的一般模式？活动成果：板书以下内容(注意与多米诺骨牌得到的结论写在一起便于之后的类比) 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．证明命题P (n )(n ∈N *)说明：(1)是归纳基础，(2)是归纳递推，两者缺一不可．数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断．通过对a 4的求解，让学生体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值．通过对a 100的求解过程总结领悟到99步的证明“汇成一句话”：设计意图“若a k ＝1k (k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(k ∈N )(*)”为学生理解从有限到无限提供了依托，再加之追问5、6、7使学生容易实现从有限到无限的思维“飞跃”，直观的框图式结构为刚才的思维过程加以“浓缩”使观点得以提炼，再加上问题(8)的趁热打铁可以说学生对“归纳递推”的认识也基本到位．至此从具体实例中概括出数学归纳法已经是水到渠成．提出问题：你认为证明数列的通项公式是a n ＝1n与多米诺骨牌游戏有相似性吗？ 活动设计：首先学生独立思考，然后学生自由发言，最后教师总结并形成新知． 活动结果：设计意图通过类比让学生进一步理解数学归纳法的原理，增加对数学学习的兴趣，通过从不同的角度审视，更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质．理解新知提出问题：用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何n ∈N 等式都成立．活动设计：给学生充足的时间让学生对照黑板上板书的数学归纳法的步骤，积极思考、交流，不仅要明确数学归纳法的步骤，还要明确数学归纳法的实质．学情预测：生甲：证明是对的．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．(指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法)从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．生丙：“则当n ＝k ＋1时1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．”应该改为“则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2”．活动成果：数学归纳法的核心是在验证n 取第一个值n 0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k ＋1)正确，也就是说核心是证明命题具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k ＋1)的正确性．可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证明的关键．不能机械地套用两个步骤，而要深入理解其实质及两个步骤之间的内在联系．设计意图通过判断正误，使学生在一个看似完美的证明过程中发现问题，以加深对数学归纳法“核心技术”的理解而不是仅仅停留在数学归纳法的形式上，从而突出重点．生丙的改正错误实际上是重点练习了归纳假设的应用．提出问题：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步验证而没有第二步递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？活动设计：生甲：第一步仅是验证当n 取第一个值n 0时结论正确，其实这是显然的，可以省略．生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1成立吗？ 设n ＝k 时成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝(k 2＋k ＋1)＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.这就是说，n ＝k ＋1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n ∈N 都成立的结论，那就错了．事实上，当n ＝1时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n ∈N 该式都是不成立的．活动成果：数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础，缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．设计意图通过具体的例子让学生体会到用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．应当克服教师反复强调，而学生只知其一不知其二，仅停留在“了解、知道”的层面上的弊端．一个好的例子胜过千百次的强调．运用新知例1证明若{a n }是首项是a 1，公差是d 的等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d 对于一切n ∈N 都成立．思路分析：题目没有要求用什么方法证明，这就要分析可以用哪种方法去证明，这是一个与正整数有关的数学命题，故可以用数学归纳法进行证明．证明：(教师可以要求学生板演)(1)当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1＋(k －1)d ，则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋d ＝a 1＋(k －1)d ＋d ＝a 1＋[(k ＋1)－1]d.所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知如果{a n }是一个等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d 对于一切n ∈N 都成立． 点评：通过证明学生学过的命题，体现了用数学归纳法在证明问题之前的选择与判断．此题由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形比较简单，利用简单问题来突出证明步骤，防止复杂的变形冲淡数学归纳法的核心．变式练习用数学归纳法证明若{a n }为首项是a 1，公比是q(q ≠1)的等比数列，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 证明：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝a 1(1－q 1)1－q，结论成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝a 1(1－q k )1－q， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a 1q k (1－q )1－q ＝a 1(1－q k ＋1)1－q .所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q(q ≠1)，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 变练演编1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n>n 0的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值n 应取( )A ．1B ．2C ．3D ．52．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式左端增加的项数是( )A ．1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1答案：1.D 2.C设计意图通过变练演编，使学生的认识不断加深，进一步巩固数学归纳法证明数学问题的两个步骤，培养学生思维的严谨性．达标检测用数学归纳法证明当n ∈N 时，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1.请分析下面的证法是否正确，若不正确请改正．证明：①n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 那么当n ＝k ＋1时，有11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12k －1－12k ＋1)＋(12k ＋1－12k ＋3)] ＝12(1－12k ＋3)＝12·2k ＋22k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切n ∈N 等式成立．解：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n ＝k 这一步，当n ＝k ＋1时，是用裂项法推出来的，这样归纳假设没起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n ＝k ＋1时左边＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边． 这就说明，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．课堂小结1．知识收获：学习数学归纳法应掌握下列几个要点：(1)数学归纳法证题的步骤：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据①②，可知命题对任何n ∈N 都成立．(2)数学归纳法的核心是在验证P(n 0)正确的基础上，证明P(n)(n ≥n 0)的正确具有递推性．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据，因此两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键．(3)数学归纳法适用的范围是：一般用于证明某些与正整数n(n 取无限多个值)有关的数学命题，但是并不能简单的说，所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，如果问题中存在可以利用的递推关系，数学归纳法才有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、特殊到一般、有限到无限方法．3．思维收获：递推思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．布置作业教材习题2.3 A 组第1题．补充练习基础练习1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数为12n(n －3)条时，第一步验证n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．02．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第2步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确3．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是( ) A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确 4．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f(2n )>n 2时，f(2k ＋1)比f(2k )多出的项数是__________．答案：1.C 2.B 3.C 4.2k拓展练习5．已知数列{a n }满足：a 1＝32，且a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明对于一切正整数n ，不等式a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！.(1)解：将条件变为：1－n a n ＝13(1－n －1a n －1)，因此{1－n a n }为一个等比数列，其首项为1－1a 1＝13，公比为13，从而1－n a n ＝13n ，据此得a n ＝n·3n3n －1(n ≥1)．① (2)证明：据①得a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！(1－13)(1－132)…(1－13n )， 要证a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！，只要证n ∈N 时，有(1－13)(1－132)…(1－13n )>12.② 显然，左端每个因式都是正数，只需证明，对每个n ∈N ，有(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )．③ 用数学归纳法证明③式：(ⅰ)n ＝1时，③式显然成立，(ⅱ)假设n ＝k 时，③式成立，即(1－13)(1－132)…(1－13k )≥1－(13＋132＋…＋13k )． 则当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－132)…(1－13k )(1－13k ＋1)≥[1－(13＋132＋…＋13k )]·(1－13k ＋1) ＝1－(13＋132＋…＋13k )－13k ＋1＋13k ＋1(13＋132＋…＋13k ) ≥1－(13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，③式也成立． 故对一切n ∈N ，③式都成立．利用③得，(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )＝1－13[1－(13)n ]1－13＝1－12[1－(13)n ]＝12＋12(13)n >12.故②式成立，从而结论成立． 设计说明本节课是数学归纳法的第一课时，新课标要求不能仅以用数学归纳法解决一些简单问题为标准，只让学生通过各种题型的操练，学会第一步证什么，如何证；第二步证什么，如何证．这样训练出来的学生，能知道数学归纳法的步骤，也会套用数学归纳法证明一些数学命题，但不一定知道为什么要这样做，这样做可行的理由、依据是什么．这样的教学看似容易完成，但被动地训练使学生可能会增添的是：数学是机械的、枯糙的；一定会丢失的是：对数学以及数学方法、思想的进一步认识与理解．所以本节课的设计没有急于去进行大量的练习，而是把主要精力用在了由“假设P(k)(k∈N 且k≥n0)成立，推证P(k＋1)成立”的突破上，从生活出发加强了数学与生活的联系，消除了学生的畏惧感，通过问题串将学生从有限逐步引领到无限的高峰．备课资料《归纳法的分类》(一)第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k为自然数)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．(二)第二数学归纳法：对于某个与自然数n有关的命题，(1)验证n＝n0时P(n)成立；(2)假设n0<n≤k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k＋1)成立．综合(1)(2)对一切正整数，命题P(n)都成立．(三)倒推归纳法(反向归纳法)：(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立；(2)假设P(k＋1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n>n0)，命题P(n)都成立．(四)螺旋式归纳法：P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立；(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k＋1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n>n0)，P(n)，Q(n)都成立．(设计者：张建霞)。

第二章复习小结【学习目标】1.认识合情推理的含义，能利用概括和类比等进行简单的推理，认识合情推理在数学发现中的作用．2.认识演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.认识直接证明的基本方法：剖析法、综合法和数学概括法；认识剖析法、综合法和数学概括法的思虑过程、特色．4.认识本章知识构造，进一步感觉和领会常用的思想模式和证明方法，形成对数学的完整认识．知识回首：一、本章知识构造：二、基础知识过关：1.推理（1）合情推理包含推理、推理．（2）称为概括推理；它是一种由到，由到的推理．（3）称为类比推理；它是一种由到的推理．（4）概括推理的一般步骤是：①，②．（5）类比推理的一般步骤是：①，②．（6）从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们称这类推理为，它是一种到的推理．2.证明：（1）和是直接证明的两种基本方法．（2）反证法证明问题的一般步骤：①；②；③．（3）数学法的基本思想；数学法明命的步：①；②；③．三、知运用例 1．写出以下推理果，并指明分是那种推理？（1）观察以下一不等式：332244335532＋2＋5＞ 2·5＋2·5，2 ＋5＞ 2·5＋ 2·5 ， 2＋ 5＞ 2·522·53，⋯．将上述不等式在左右两头仍两和的状况下加以推行，使以上的不等式成推广不等式的特例，推行的不等式能够是．（2）在平面上，若两个正三角形的的比1∶ 2，它的面比1∶ 4，似地，在空内，若两个正四周体的棱的比1∶ 2，它的体比．（3）若数列 { a n} 是等差数列，于b n＝1(a1＋ a2＋⋯＋ a n )，数列 { b n} 也是等差数列．n比上述性，若数列 { c n} 是各都正数的等比数列，于 d n＞ 0 ， d n＝，数列 { d n} 也是等比数列．（4）∵a＝ (1,0) ，b＝ (0 ，－ 1) ，∴a b ＝(1,0) (0·，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0,∴_________________.例 2．若△ABC的三个内角A，B， C 成等差数列，分用合法和剖析法明：c＋a＝1．a＋ b b＋ c例 3.已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可以同时大于1．4例 4.已知数列{ a n}，a n≥0，a1＝0，a n＋12＋a n＋1－1＝a n2(n∈ N*),求证：当n∈ N *时，a n＜a n＋1 .【课时作业】1．以下推理:①由圆的性质类比出球的性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，推出三角形的内角和是180°；③ a≥ b， b≥ c，则 a≥ c；④三角形内角和是180 °，四边形的内角和是360 °，五边形的内角和是540 °，由此得凸n 边形的内角和是(n－ 2) ×180 °.是合情推理的是 ()A．①② B ．①③④C．①②④D．②④2．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)有有理数根，那么a，b， c 中起码有一个偶数时”以下条件假定中正确的选项是()A ．假定 a， b， c 都是偶数B ．假定 a， b， c 都不是偶数C．假定 a， b， c 中至多有一个偶数D ．假定 a， b， c 中至多有两个偶数3．平面上有 n 条直线，此中随意的两条不平行，随意三条不共点．f(k)表示 n＝ k 时平面被分红的地区数，则 f(k＋ 1) －f (k－ 1) ＝ ()A ． 2kB ． 2k＋ 1C． k＋1 D ． k＋ 24．察看以下的图形中小正方形的个数，则第 6 个图中有 ________ 个小正方形．5.已知 a＞ 0，求证：212≥ a＋1－ 2.a＋2－aa6.自然状态下鱼类是一种可重生资源，为连续利用这一资源，需从宏观上观察其重生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用x n表示某鱼群在第n 年年初的总量，n∈N＋，且x1＞ 0.不考虑其余要素，设在第n 年内鱼群的生殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x2n成正比，这些比率系数挨次为正常数a， b， c.(1)求 x n＋1与 x n的关系式；(2) 猜想：当且仅当 x1， a，b， c 知足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？ (不要求证明 )。

数学归纳法知识集结知识元数学归纳法知识讲解1．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．例题精讲数学归纳法例1.（2020春∙安徽期末）已知f（n）=1++++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（n）>n时，有f（k+1）-f（k）=___．【答案】【解析】题干解析:∵假设n=k时，f（k）=1+，∴当n=k+1时，f（k+1）=1，∴f（k+1）-f（k）=．例2.（2020春∙慈溪市期中）用数学归纳法证明：“1+”由n=k（k∈N*，k>1）不等式成立，推理n=k+1时，不等式左边应增加的项数为____．【答案】2k【解析】题干解析:当n=k时，不等式左侧为1+++…+，当n=k+1时，不等式左侧为1+++…++++…+不等式左边增加的项数是（2k+1-1）-（2k-1）=2k．例3.（2020春∙徐汇区校级期末）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是______．【答案】4k+2【解析】题干解析:用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n∙1∙3∙5…（2n-1）（n∈N*）时，从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是=2（2k+1）．用数学归纳法证明不等式知识讲解1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n只观察前3项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．例题精讲用数学归纳法证明不等式例1.证明：x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）．【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：当n=1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x-x=0易得此时x n-na n-1x+（n-1）a n 能被（x-a）2整除成立；设n=k时，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除成立，即x k-ka k-1x+（k-1）a k能被（x-a）2整除成立，则n=k+1时，x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1=x k-ka k-1x+（k-1）a k+ka k─1（x─a）2即x n-na n-1x+（n-1）a n=x k+1-（k+1）a k x+ka k+1也能被（x-a）2整除综合，x n-na n-1x+（n-1）a n能被（x-a）2整除（a≠0）。

课堂探究 知能点一：用数学归纳法证明等式指点迷津 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，第一步作归纳假设，第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识，要掌握常用的三角变换方法．关键步骤要清楚，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．【例1】 用数学归纳法证明：n n n21)11).....(1611)(911)(411(2+=---- (n ≥2，n ∈N *)． 思路分析 解答此题可先验证当n ＝2时等式成立，再假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时等式成立，然后利用归纳假设证明当n ＝k ＋1时等式也成立．证明：(1)当n ＝2时，左边＝43411=-，右边＝432212=⨯+， ∴左边＝右边． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即k k k 21)11)....(911)(411(2+=---. 那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：)1(22)1()2(.21)1(1121)1(11)11)....(911)(411(2222++=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----k k k k k k k k k k k k ∴即n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n∈N *等式恒成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．知能点二：用数学归纳法证明不等式指点迷津 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，除了综合法外，作差比较法，分析法，反证法也是常用的方法，另外恰当地放缩是证明不等式特有的技巧，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )＞g (k )，求证f (k ＋1)＞g (k ＋1)，对这个条件不等式的证明，应注意灵活运用上述证明不等式的一般方法．具体证明过程中要注意以下三点：(1)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析；(2)活用起点的位置；(3)先作等价变换．【例2】 证明：对任意的n ∈N *，不等式313)2311)...(411)(11(+>-+++n n 恒成立． 思路分析 先求出当n ＝1时等式左右两边的值，验证不等式成立，然后作出假设：当n ＝k 时不等式成立，接着令n ＝k ＋1，将假设得到的结论与不等式的左边比较，可将所证不等式进行化简．证明：(1)当n ＝1时，左边＝2，右边＝34，因为342>，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k 时不等式成立，即313)2311)...(411)(11(+>-+++k k 成立，那么当n ＝k ＋1时， 左边＝ 3.)13()23(132313]2)1(311[13]2)1(311)[2311)...(411)(11(2333++=++⋅+=-++⋅+>-++-+++k k k k k k k k k 要证3231)1(3)13()23(3++>++k k k 成立，只需证43)13()23(23+>++k k k 成立， 由于(3k ＋1)2＞0，只需证(3k ＋2)3＞(3k ＋4)(3k ＋1)2成立，只需证27k 3＋54k 2＋36k ＋8＞27k 3＋54k 2＋27k ＋4成立，只需证9k ＋4＞0成立． 由于k ∈N *，所以9k ＋4＞0成立， 即31)1(32)1(311)[2311)...(411)(11(++>-++-+++k k n 成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)和(2)可得不等式对任意n ∈N *恒成立．右边(当n ＝k ＋1时，不等式右边的式子)推理前应先明确“证明方向”，此例右边的“证明方向”为33(k ＋1)＋1，于是由假设构造出当n ＝k ＋1时，不等式(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝⎛⎭⎫1＋13k －2⎣⎡⎦⎤1＋13(k ＋1)－2＞33k ＋1·⎣⎡⎦⎤1＋13(k ＋1)－2的右边33k ＋1·⎣⎡⎦⎤1＋13(k ＋1)－2＞33(k ＋1)＋1成立． 知能点三：归纳、猜想、证明指点迷津 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此，“归纳、猜想、证明”能更好地体现数学归纳法的起源及数学归纳法递推的本质，是近几年高考热点问题之一．(1)在中学阶段，这方面的题型主要有以下几方面：①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和；②由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在；③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n 都成立的一般性命题．(2)这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面所讲述的所有内容：代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等．解题一般分三步进行：①验证p (1)、p (2)、p (3)、p (4)、…；②提出猜想；③用数学归纳法证明．【例3】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ＞0. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式并加以证明．利用数列递推公式，可得a 2，a 3，a 4，观察并找出规律，对{a n }作出猜想，然后用数学归纳法证明．解：(1)由a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n ， 将a 1＝2代入，得a 2＝λa 1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4，将a 2＝λ2＋4代入，得a 3＝λa 2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8，将a 3＝2λ3＋8代入，得a 4＝λa 3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.(2)由a 2，a 3，a 4，对{a n }的通项公式作出猜想：a n ＝(n －1)λn ＋2n .当n ＝1时，a 1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝(k －1)λk ＋2k ，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k ＝(k －1)λk ＋1＋λ2k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k ＝kλk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1.由此可知，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1也成立．综上可知，a n ＝(n －1)λn ＋2n 对任意n ∈N *都成立．“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法：①观察：由已知条件写出前几项；②归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系；③猜想：猜想出通项公式；④证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明． 知能点四：用数学归纳法证明几何问题指点迷津 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，建立起k 与k ＋1之间的递推关系，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．【例4】 证明凸n 边形的对角线的条数*).,4)(3(21)(N n n n n n f ∈≥-= 解答此题的关键之处是，要弄清楚讲明白由凸k (k ≥4，k ∈N *)边形增加一条边变为k ＋1边形时，其对角线所增加的数量．证明：(1)当n ＝4时f (4)＝21×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝21k (k －3)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴].3)1)[(1)[(1(21)2)(1(21)2(211)3(21)1(2-+++=-+=--=-+-=+k k k k k k k k k k k f 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明． 证明时的关键是确定由n ＝k 到n ＝k ＋1时对角线条数的增加量，解题时可先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明．。

人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。

数学选修22知识点总结第一章：排列与组合排列与组合是数学中一个非常重要的概念，它涉及到了数学中的置换和组合问题。

在排列中，元素的顺序很重要，而在组合中，元素的顺序并不重要。

在本章中，我们将学习如何进行排列和组合的计算，以及它们的性质和应用。

1.1 排列的概念与性质排列是指从一组元素中任取出若干元素，按照一定的顺序排成一列的不同方式。

如果从n 个不同元素中取出r个元素进行排列，那么其排列数为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)* (1)在排列中，我们还可以分为有重复元素的排列和无重复元素的排列。

在有重复元素的排列中，我们需要考虑重复元素导致的排列重复情况，并进行适当的调整。

1.2 组合的概念与性质组合是指从一组元素中任取出若干元素，不考虑元素的顺序所构成的组合方式。

如果从n 个不同元素中取出r个元素进行组合，那么其组合数为C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)，组合数也被称为二项式系数。

在组合中，我们还可以使用传统的复合计数或卡特兰数来进行计算，通过这些方法我们可以更加简便地求解组合问题。

1.3 排列与组合的应用排列与组合在现实生活中有着广泛的应用，比如在概率统计、图论、密码学等领域。

排列与组合问题也是数学竞赛中的常见题目之一，我们可以通过解这些问题加深对排列与组合的理解并提高自己的计算能力。

第二章：数列与数学归纳法数列是数学中一个非常重要的概念，它是指按照一定的规则排列的一列数。

数列的概念和性质将在本章中进行介绍，并且我们将学习如何使用数学归纳法来证明数列的性质。

2.1 数列的概念与性质数列是由按一定规律排列的一列数所构成的序列，在数列中我们可以分为等差数列、等比数列和等差-等比数列。

不同的数列具有不同的性质和特点，在应用中也有着不同的表现形式。

在等差数列中，相邻两项之间的差为一个常数d，我们可以通过等差数列的通项公式来描述其一般形式。

而在等比数列中，相邻两项之间的比为一个常数q，我们可以通过等比数列的通项公式来描述其一般形式。

数学归纳法一、【教材知识梳理】1.数学归纳法的定义：一个与自然数．．．相关的命题，如果（1）当n 取第一个值n 0时命题成立；（2）在假设当n=k(k ∈N* ,k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n 取第一个值后面的所有正整数成立。

二、【典例解析】例1、用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n ＋1) ＝))(2)(1(n 31+∈++N n n n跟踪练习1：用数学归纳法证明：223333(1)123...4n n n +++++=例2：证明：平面上n 个圆最多把平面分成n 2-n+2个区域.跟踪练习2：证明凸n 边形的对角线的条数)4)(3(21)(≥-=n n n n f .例3：用数归法证明：)(1212+--∈+N n y xn n 能被x+y 整除.跟踪练习3：用数归法证明：n 3+5n 能被6整除.例3：求证：当5≥n 时，22n n >.跟踪练习4：求证：对于大于1的任意自然数n ，都有n n >++++1312111三、当堂检测1、用数字归纳法证明1+2+…+(2n +1)=(n +1)(2n +1)时,在验证n =1成立时,左边所得的代数式是（ ）A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+42、用数学归纳法证明()111112233411n n n n +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅++ (n ∈N )时,从"n =k 到n =k +1",等式左边需增添的项是（ ） A.1(1)k k + B. 11(1)(1)(2)k k k k ++++ C. 1(1)(2)k k ++ D. 1(2)k k + 3、用数学归纳法证明某不等式，其中证n k =+1时不等式成立的关键一步是：(1)(2)(1)(2)(2)(3)()333k k k k k k ++++++>+>，括号中应填的式子是（ ）C.2k +D.2(2)3k +4、1()n n ≤+∈N ，某人的证明过程如下：︒1当1n =11≤+不等式成立。

2.3 数学归纳法问题探究 【问题】证明数列⎪⎩⎪⎨⎧+==+n n 1n 1a 1a a ,1a 的通项公式a n =n 1(n ∈N *)对任意正整数都成立.思路分析:(1)易知n =1时,显然成立.(2)如果n =k 时成立,则a k =k 1. 若假设n =k +1时成立,则a k +1=1k 1+. 事实上,a k +1=k11k 11k 1a 1a a 111k k k +=+=+=+,即n =k +1时成立. 综上可知对n ∈N *,命题成立,即a n =n1. 设问:(1)上述证明方法与几何命题证明有什么区别?(2)请想一想,上例证明的两个步骤各自的作用是什么?它们之间有怎样的联系? 自学导引1.数学归纳法是一种重要的证明与________________有关的数学命题的方法. 答案：自然数n2.证明步骤:(1)证明 ;(2)假设 ,证明 .完成这两个步骤,就可以断定命题对于 .答案：(1)当n 取第一个值n 0时,命题成立 (2)当n =k (k ≥n 0,k ∈N *)时命题成立 当n =k +1时命题也成立 从n 0开始的所有正整数n 都成立精典讲解1.用数学归纳法证明与正整数有关的命题的基本思路是递推.其中第一步为奠基步(验证步),是递推的基础,是奠定命题成立的基础.第二步称递推步,是递推的依据,是以归纳假设为前提条件,解决命题的传递性.两个步骤缺一不可.缺第一步,归纳假设就失去了基础,缺第二步,递推就失去了依据,实际上等于没有证明.在完成奠基步和递推步后,最后还要下一个结论.2.数学归纳法应用广泛,无论是代数、三角、几何中的问题,还是证明恒等式及不等式,都有它的用武之地.特别是在研究数列的存在性与探索性问题时,其思维模式是:归纳——猜想——证明.【例1】 用数学归纳法证明12-22+32-42+…+(-1)n -1·n 2=(-1)n -1·21)n(n +.思路分析:运用数学归纳法的证明步骤.证明:(1)当n =1时,左边=1,右边=(-1)1-1×221⨯=1,结论成立. (2)假设当n =k 时,结论成立,即12-22+32-42+…+(-1)k -1k 2=(-1)k -1×21)k(k +,那么当n =k +1时,12-22+32-42+…+(-1)k -1k 2+(-1)k (k +1)2=(-1)k -1·21)k(k + +(-1)k ·(k +1)2=(-1)k (k +1)(22k 2k ++-)=(-1)k 22)1)(k (k ++,结论也成立.由(1)(2)可知,对一切正整数n ,结论都成立.温馨提示:第一步是递推的基础,第二步突出两凑:一“凑”假设,二“凑”结论.【例2】 证明不等式:1+3121++…+n 1<2n .思路分析:该不等式中含有自然数n ,所以可用数学归纳法证明.证明:(1)当n =1时,不等式左端=1,右端=2,所以不等式成立. (2)假设n =k (k ≥1)时不等式成立,即1+3121++…+k1<2k , 则1+3121++…+1k 1+ <2k +1k 1+=1k 11)(k k 1k 11)k(k 2++++<+++∴当n =k +1时,不等式成立. 综合(1)(2)得,当n ∈N *时,1+3121++…+n 1<2n 成立.温馨提示:数学归纳法证明不等式关键一步是:放缩法.运用数学归纳法证明由“n =k ”推证“n =k +1”时常用到证明不等式的基本方法和不等式的基本性质,这些知识要熟练掌握.【例3】 用数学归纳法证明cos x +cos3x +cos5x +…+cos(2n -1)x =sinx 2nx 2sin .思路分析:在运用数学归纳法的同时,注意函数名和角的变化.证明:(1)当n =1时,左边=cos x ,右边=sinx 2sinxcosx 2sinx 2x 2sin ==cos x 成立.(2)假设n =k 时等式成立,即cos x +cos3x +cos5x +…+cos(2k -1)x =sinx 2kx 2sin .当n =k +1时,原式左边=cos x +cos3x +…+cos(2k -1)x +cos(2k +1)x =sinx2kx 2sin +cos(2k +1)x=sinx 21)x sinxcos(2k 2kx 2sin ++ =sinx 2sin2kx -2)x sin(2k sin2kx ++ =sinx 21)x (k 2sin +, 即n =k +1时,原式成立.由(1)(2)可知,对任意n ∈N *等式成立.温馨提示:证明三角恒等式问题时,要熟悉常用三角恒等变换的公式和方法.【例4】 平面上有n 个圆,每两圆交于两点,每三圆不过同一点,求证:这n 个圆分平面为n 2-n +2个部分.思路分析:借助图形的直观性可解决.证明:(1)当n =1时,n 2-n +2=1-1+2=2,而一圆把平面分成两部分,所以当n =1时,命题成立.(2)假设n =k 时,k 个圆分平面为k 2-k +2个部分,那么n =k +1时,第k +1个圆与前k 个圆有2k 个交点,这2k 个交点分第k +1个圆为2k 段,每一段将原来的平面一分为二,故增加了2k 个部分,共有(k 2-k +2)+2k =(k +1)2-(k +1)+2个部分, ∴对n =k +1命题也成立.由(1)(2)可知,这n 个圆分割平面为n 2-n +2个部分.温馨提示:关于几何题的证明,关键是分析k 与k +1的差异,k 到k +1的变化情况,建立k 与k +1的递推关系.【例5】 试用数学归纳法证明n 3+5n 能被6整除(n ∈N *).思路分析:(1)当n =2时,n 3+5n =23+5×2=18,显然成立.(2)假设n =k 时命题成立,即k 3+5k 能被6整除,那么n =k +1时,原式=(k +1)3+5(k +1)=(k +1)［(k +1)2-1］+6(k +1)=(k +1)(k +1-1)(k +1+1)+6(k +1)=k (k +1)·(k +2)+6(k +1).而∵k ·(k +1)·(k +2)是6的倍数,∴k ·(k +1)(k +2)是6的倍数.又6·(k +1)是6的倍数,故原式能被6整除.综上知,原命题成立.但这个证明过程错了.这是因为:(1)n 取的第一个值应是1.(2)未用归纳假设.从形式上套用数学归纳法的格式,没有给出严格的逻辑推证,因此不符合数学归纳法的步骤要求.下面给出正确证法.证明:(1)当n =1时,13+5×1=6,命题显然成立.(2)假设当n =k 时,k 3+5k 能被6整除.因(k +1)3+5(k +1)=k 3+3k 2+3k +1+5k +5=(k 3+5k )+3k (k +1)+6,其中两个连续自然数之积的3倍能被6整除,k 3+5k ,3k (k +1),6分别能被6整除,所以当n =k +1时,命题成立.据(1)(2)可知对于任意的n ∈N *,命题都成立.拓展迁移【拓展点1】 当n ∈N *时,试比较a n =2n 与b n =n 2的大小.解析:a 1=2,b 1=1,∴a 1>b 1;a 2=4,b 2=4,∴a 2=b 2;a 3=8,b 3=9,∴a 3<b 3;a 4=16,b 4=16,∴a 4=b 4;a 5=32,b 5=25,∴a 5>b 5;a 6=64,b 6=36,∴a 6>b 6.猜想:n ≥5时,a n >b n (以下用数学归纳法证明当n ≥5时,a n >b n ).(1)当n =5时,a 5=32,b 5=25,a 5>b 5成立.(2)假设当n =k (k ∈N *,k ≥5)时,有a k >b k ,即2k >k 2(k ≥5),因此a k +1-b k +1=2k +1-(k +1)2=2·2k -(k 2+2k +1)>2k 2-(k 2+2k +1)=k 2-2k -1=(k -1)2-2.∵k ≥5,∴(k -1)2≥16.∴(k -1)2-2>0,即a k +1>b k +1 .这表明当n =k +1时,a k +1>b k +1.根据(1)(2)可知,当n ≥5(n ∈N *)时a n >b n .综上可知,当n =2,4时,a n =b n ;当n =3时,a n <b n ;当n =1或n ≥5时,a n >b n . 【拓展点2】 设()x f 是非负函数,当x 1、x 2≥0时,有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+2)f(x )f(x 21⋅.求证:对一切实数n ∈N *都有f (nx )=n 2()x f .证明:(1)当n =1时,f (nx )= ()x f =12·()x f =n 2()x f ,所以原式成立.(2)假设n =k 时,原式成立,即f (kx )=k 2()x f ,则n =k +1时,f (nx )=f ［(k +1)x ］=f (kx +x )=f (kx )+ ()x f +2f(kx)f(x)=k 2()x f +()x f +2f (x)f (x)k 2⋅=k 2()x f +()x f +2k ()x f=(k +1)2()x f =n 2()x f ,即n =k +1时,原式成立.由(1)(2)可知对一切n ∈N *,原式成立. 【拓展点3】设a 0为常数,且a n =3n -1-2a n -1(n ∈N *). 证明:对任意n ≥1,a n =51［3n +(-1)n -1·2n ］+(-1)n ·2n a 0.证明:(1)当n =1时,由已知a 1=1-2a 0,等式成立.(2)假设当n =k (k ≥1)时等式成立,即a k =51［3k +(-1)k -1·2k ］+(-1)k ·2k a 0, 那么a k +1=3k -2a k =3k -52［3k +(-1)k -1·2k ］-(-1)k 2k +1a 0=51［3k +1+(-1)k ·2k +1］+(-1)k +1·2k +1a 0, 也就是说,当n =k +1时,等式也成立. 根据(1)(2)可知等式对任何n ∈N *都成立.。

预习导航请沿着以下脉络预习：1．数学归纳法的步骤(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．数学归纳法的框图表示：3．数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系？提示：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．4．数学归纳法主要应用于哪些方面？提示：利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面：①已知数列的递推公式，求通项或前n项和；②由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围；③猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题．5．应用数学归纳法时应该注意些什么？提示：(1)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．(2)归纳奠基的确定：第一个允许值是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.(3)归纳假设的作用：证明“n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用“假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k ＋1时命题成立，否则，第二步也就不能成为递推依据．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1)，在验证n ＝1时，等式左边为( )．A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案：C解析：因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.2．某同学回答“用数学归纳法证明n (n ＋1)<n ＋1(n ∈N *)”的过程如下：证明：①当n ＝1时，显然命题是正确的；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，有k (k ＋1)<k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时命题是正确的．由①②可知对于n ∈N *，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于( )．A ．从k 到k ＋1的推理过程没有使用假设B ．假设的写法不正确C ．从k 到k ＋1的推理不严密D ．当n ＝1时，验证过程不具体答案：A解析：分析证明过程中的②可知，从k 到k ＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条时，第一步验证n 等于__________．答案：3解析：∵三角形是边数最少的凸多边形，∴需验证的第一个n 值为3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需增添的代数式是__________．答案：(2k ＋2)＋(2k ＋3)解析：当n ＝k 时，左边共有2k ＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，左边共有2k ＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)．故左边需增添的代数式是(2k ＋2)＋(2k ＋3)．5．用数学归纳法证明：对任意正整数n，有1 3＋115＋135＋163＋…＋14n2－1＝n2n＋1.证明：(1)当n＝1时，左边＝13，右边＝12×1＋1＝13，故左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1 3＋115＋135＋163＋…＋14k2－1＝k2k＋1，那么当n＝k＋1时，1 3＋115＋135＋163＋…＋14k2－1＋14(k＋1)2－1＝k2k＋1＋14(k＋1)2－1＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝(2k＋1)(k＋1)(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12(k＋1)＋1.这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．由(1)，(2)知，等式对任意正整数n都成立．。