结构力学第7章(四川大学)资料
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2004年四川大学结构力学考研试题页数:4
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第7章静定结构的位移计算
P
A
ql2/2
B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI Pl/4
MP
q B
l/2
l/2
MP
A
l
m=1
l 3l/4
M
P=1
1/2
M
1 1 Pl 1 Pl 2 B l EI 2 4 2 16EI
1 1 ql 2 3 ql 4 B l l EI 3 2 4 8EI
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； 35 b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
§3—3计算结构位移的虚力原理
3. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应 的虚拟力状态。
例如:
求△
A
实际状态
AH
求
A
A
1
A
虚拟状态
1
虚拟状态
求△
A
AB
1
B
求
A
AB
B
1
广义力与 广义位移
25
1
虚拟状态
虚拟状态
1
4、静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移△KP， 此时没有支座位移，故式（7—15）为
3. 计算位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。
（2）结构制造和施工的需要。
（3）为分析超静定结构打下基础。 另外，结构的稳定和动力计算也以位移为基础。
起拱高度
△
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。
7力法结构力学
(5) 求基本结典构型在方已程知荷！载作用时的位移 iP
(6) 解力法方程求出多余未知力 X i
(7) 根据叠加原理作超静定结构的内力图，并校核
M Mi Xi MP i
FN FNi Xi FNP i
FQ
i
FQi
Xi
FQP
2 力法的算例
例1.用力法解图示结构,作M图.
21 X1 22 X2 2P 0
q
X1 3ql / 20, X 2 ql 2 / 40XFra bibliotek X2法2
12
0 0
11 X1 12 X2 1P 0 21 X1 22 X2 2P 0
X1 ql 2 / 20, X 2 ql 2 / 40
P 3Pl / 32
M
EI
EI
l/2 l/2 l P
X1
M1
l / 2 X1=1 P
Pl / 4
MP 3Pl / 8
解: 1 0
11X1 1P 0
11 l 3 / 6EI
即可使结构的内力重新分布.
ql 2 20
ql 2 / 40 M
原结构
约束力
解除多余约束 代以约束反力
基本未知量
“超” 静
=0 位移条件
基本体系
线性代数 方程
§7-5 力法的计算步骤和示例
1 回顾力法的计算步骤
(1) 判断结构的超静定次数，解除多余约束代以多余约束力， 确定基本结构与基本体系
注意： (a) 超静定次数 = 变成基本结构所需解除的多余约束数 = 多余未知力数
二.超静定结构的计算方法
(6) 解力法方程求出多余未知力 X i
(7) 根据叠加原理作超静定结构的内力图，并校核
M Mi Xi MP i
FN FNi Xi FNP i
FQ
i
FQi
Xi
FQP
2 力法的算例
例1.用力法解图示结构,作M图.
21 X1 22 X2 2P 0
q
X1 3ql / 20, X 2 ql 2 / 40XFra bibliotek X2法2
12
0 0
11 X1 12 X2 1P 0 21 X1 22 X2 2P 0
X1 ql 2 / 20, X 2 ql 2 / 40
P 3Pl / 32
M
EI
EI
l/2 l/2 l P
X1
M1
l / 2 X1=1 P
Pl / 4
MP 3Pl / 8
解: 1 0
11X1 1P 0
11 l 3 / 6EI
即可使结构的内力重新分布.
ql 2 20
ql 2 / 40 M
原结构
约束力
解除多余约束 代以约束反力
基本未知量
“超” 静
=0 位移条件
基本体系
线性代数 方程
§7-5 力法的计算步骤和示例
1 回顾力法的计算步骤
(1) 判断结构的超静定次数，解除多余约束代以多余约束力， 确定基本结构与基本体系
注意： (a) 超静定次数 = 变成基本结构所需解除的多余约束数 = 多余未知力数
二.超静定结构的计算方法
四川大学结构力学本科教学大纲
结构力学Ⅰ》教学大纲一、课程基本信息课程名称：结构力学（Structural Mechanics）课程号：课程类别：选修课学时： 64学分： 4二、教学目的及要求本课程是土木工程专业必修的一门主要的专业基础课。
本课程的教学目的是使学生在理论力学、材料力学的基础上进一步掌握分析计算杆件体系的基本原理和方法，了解各类结构的受力性能，培养结构分析计算（包括手算与电算）方面的能力，为学习有关专业课程及进行结构设计和科学研究打下基础。
课程的基本要求：1. 了解结构力学的任务以及与其它课程的关系，正确理解结构计算简图的概念、简化要点和条件，了解杆件和荷载的分类与特点。
2. 理解几何不变体系、几何可变体系、几何瞬变体系、（静力）自由度、约束及其类型等基本概念。
正确理解和应用几何不变体系的组成规则（两刚片法则、三刚片法则、二元体法则），对体系进行几何构造分析。
掌握体系的计算自由度的概念及计算。
3. 熟练掌握杆件上的荷载与内力的微分关系、增量关系，并用以定性分析和判断内力图的形状。
熟练掌握分段叠加法作弯矩图的方法。
正确、灵活地选取和画出隔离体图，熟练掌握应用隔离体图及平衡条件计算结构支座反力、内力的方法；熟练掌握静定梁、静定刚架内力计算和内力图的绘制以及静定平面桁架内力的求解方法；掌握静定组合结构、三铰拱的内力计算和内力图的绘制方法；了解静定结构的力学特征。
4. 理解变形体虚功原理的内容及其应用；熟练掌握荷载作用下静定结构的位移计算方法（主要是图乘法）；掌握静定结构由于温度改变和支座移动所引起的位移计算方法；了解互等定理。
5. 正确理解影响线的概念以及与内力图的区别；熟练掌握静力法作静定梁、刚架和桁架的内力（支反力）影响线；了解用机动法作影响线；会用影响线求移动荷载作用下结构的最大内力。
6. 了解超静定结构的特点和掌握判定超静定结构的次数，充分理解和掌握力法的基本原理，能够熟练的用力法计算超静定结构（梁、刚架、桁架、排架、组合结构和两铰拱）在荷载作用、温度改变和支座移动影响下的内力，并利用结构和荷载特点来简化计算，会计算超静定结构的位移，了解超静定结构内力图的校核方法和力学特征。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7章 力 法【圣才出品】
第7章 力 法
7.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概述（见表7-1-1） ★★
表7-1-1 概述
二、超静定次数的确定（见表7-1-2） ★★★★
表7-1-2 超静定次数的确定
三、力法的基本概念（见表7-1-3） ★★★
力法的基本概念，包括基本未知量、基本体系、基本结构以及基本方程见表7-1-3，此外，表中还归纳了超静定结构的力法分析步骤。
表7-1-3 力法的基本未知量、基本体系和基本方程
四、力法的典型方程（见表7-1-4） ★★★
表7-1-4 力法的典型方程
五、对称性的利用 ★★★★
1．对称结构及作用荷载的对称性（表7-1-5）
表7-1-5 对称结构及作用荷载的对称性
2．非对称荷载的处理（表7-1-6）
表7-1-6 非对称荷载的处理。
结构力学课件7静定结构总论
E
B
xx
X
7
小结：1）虚功原理（这里是用虚位移原理）的特点是用几 何方法解决平衡问题。
2）求解问题直接，不涉及约束力。
二、应用虚功原理求解静定结构的约束力
P
p
A
C
B
a X
b P
A
C
B
x
X
a
b
将求约束力的问题转化为求平衡力的问题
2020/2/10
8
用虚位移原理求内力的问题
1）求截面C的弯矩
m
c
a
X bP a
6
例：求机构相应的平衡力X=？
[解]：（1）建立虚功方程
X X PP 0
pp
P
F
（2）几何关系 以d作为位移参数
b 2a cos c a sin
D
3c c
当有虚位移 d 时，b和c的变化
db 2asin d dc a cosd
PB
A
N AB
N AB
P
P
2020/2/10
2
2
4
（4）构造作等效变换的影响
P
A N
A
2020/2/10
B
N
B
5
§7-2 刚体体系的虚功原理（具有理想约束）
计算静定结构内力的另一个普遍方法—虚功原理，它等价于平衡方程。
一、虚功原理
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小 刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
第七章
2020/2/10
1
§7-1 静定结构的一般性质
静定结构的几何特性: 无多余约束的几何不变体系; 静定结构的静力特性: 全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，解答是 唯一的。
结构力学第7章
EI l
称杆件的线刚度。
M
F AB
,M
为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为固端弯矩。
同理，另两类杆的转角位移方程为
A端固定B端铰支
M
AB
3 i
A
3i l
AB M
F AB
A端固定B端定向
M M
AB
i A M
F AB F BA
BA
i A M
§7-3
无侧移刚架的计算
附加 刚臂
P A
C
θA
A
θA
C
附加刚臂限制结点
位移，荷载作用下
B 附加刚臂上产生附 加力矩
施加力偶使结点产生的 B角位移，以实现结点位 移状态的一致性。
P
θA
A
θA
C
实现位移状态可 分两步完成： 1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B
分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
BA
1
同理可得
B
1 6i
M
AB
1 3i
M
BA
MAB
A
A
1 3i
1
M
AB
1 6i
1
M
BA
E I l
B
B
M
6i
AB
M
3i
BA
MBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A B
l
MAB
A
B
以上两过程的叠加
MBA
A
1 3i
四川大学结构力学第7章
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
由平衡条件建立位移法方程
16i1
6i l
1
ql 2 8
0
(1)
M CD
FX 0, FQCA 0
M CA
B FQCA
M CA
M AC l
6i l
1
12i l2
1
C
D
6i l
1
12i l2
1
0
例2、用位移法分析图示结构
10kN.m
20kN/m
B 2EI
40kN
E D 2EI
4m EI
EI
C
A
4m
2m
2m
❖ 解：１、确定基本未知量
20kN/m
40kN
10kN.m θ2
E
θ1 B
2i
D
2i
结构力学-第7章 位移法
第7章位移法一. 教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二. 主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）§7-8小结§7-9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)-基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）§7-1 位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：课本P225。
结构力学第7章 6
(1)奇数跨对称刚架
P P P
结点B、A均将有反对称的转角和水平线位移，但无 竖向位移，且两处均无弯矩和轴力。
14
3.对称结构的半结构分析法称结构的半结构分析法
(1)偶数跨对称刚架
结点A不发生反对称的转动和任何线位移。
截取半个结构分析时，切口应处理成固定端
16
3.对称结构的半结构分析法
F
F
F
F
10
3．对称结构的半结构分析法
当对称结构承受正对称或反对称荷载时，也可以 截取结构的一半来进行计算，即为对称结构的半结 构分析法。 半结构分析法要求该半结构能等效代替原结构的 半边的受力与变形状态。 关键：沿对称轴被截开处应按原结构上的位移条件 及相应的静力条件设置合适的支承。 (1)奇数跨对称刚架 (2)偶数跨对称刚架
11 144 m 3 EI
1P 1800 kN m 3 EI
X1
1P
11
12.5 kN
M M 1 X1 M P
7
2. 未知力分组及荷载分组
（1）未知力分组
11Y1 1P 0 22Y2 2 P 0
X1 X 2 Y2 2
X1 X 2 或 Y1 2
对称轴上的结点A和B均有转角和侧移，但无竖向线 位移，中央竖杆AB发生挠曲变形 。 在截取半结构计算时，除了取竖杆AB刚度之半(EI/2) 外，还应在A处加一竖向链杆支承。
19
3.对称结构的半结构分析法
EI =∞
在对称轴上的结点B 和A均无转角及水平线位移， 但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB不发生 挠曲。因此截取半结构时，可将杆AB看作刚性杆而保 留，并在结点B、A分别加上水平链杆支承。
P P P
结点B、A均将有反对称的转角和水平线位移，但无 竖向位移，且两处均无弯矩和轴力。
14
3.对称结构的半结构分析法称结构的半结构分析法
(1)偶数跨对称刚架
结点A不发生反对称的转动和任何线位移。
截取半个结构分析时，切口应处理成固定端
16
3.对称结构的半结构分析法
F
F
F
F
10
3．对称结构的半结构分析法
当对称结构承受正对称或反对称荷载时，也可以 截取结构的一半来进行计算，即为对称结构的半结 构分析法。 半结构分析法要求该半结构能等效代替原结构的 半边的受力与变形状态。 关键：沿对称轴被截开处应按原结构上的位移条件 及相应的静力条件设置合适的支承。 (1)奇数跨对称刚架 (2)偶数跨对称刚架
11 144 m 3 EI
1P 1800 kN m 3 EI
X1
1P
11
12.5 kN
M M 1 X1 M P
7
2. 未知力分组及荷载分组
（1）未知力分组
11Y1 1P 0 22Y2 2 P 0
X1 X 2 Y2 2
X1 X 2 或 Y1 2
对称轴上的结点A和B均有转角和侧移，但无竖向线 位移，中央竖杆AB发生挠曲变形 。 在截取半结构计算时，除了取竖杆AB刚度之半(EI/2) 外，还应在A处加一竖向链杆支承。
19
3.对称结构的半结构分析法
EI =∞
在对称轴上的结点B 和A均无转角及水平线位移， 但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB不发生 挠曲。因此截取半结构时，可将杆AB看作刚性杆而保 留，并在结点B、A分别加上水平链杆支承。
结构力学教学课件第7章
A
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
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θA
F
q
A
B
ΔAB
M BA
0, B
(2i A
6i l
AB
M
f BA
)
4i
M AB
3i A
3i l
AB
M
f AB
FQAB
FQBA
3i l
A
3i l2
AB
F f QAB
四、一端固端一端定向梁的转角位移方程
A
B
FQ B A
0, AB l
1
2
A
1 2
B
l 12i
Ff QAB
M AB
i A
i B
F
B
D
F
A
B
C
FRB
B
C
F DE
F
G
DE
F RB
M CB C
DE
G
F
G
FRB
M CB C
θ1 DE
F
G
7.4 由平衡条件建立位移法方程
例１、用位移法分析图示结构
A 2EI B
4m
q=3kN/m
EI C
EI
D
4m
2m
解：１、确定基本未知量
A
θ1
2EI B
4m
q=3kN/m
θ2
EI
C EI D
4m
§7-1 位移法的基本概念
1、简例.
①、如图7-1所示，选取竖向位移Δ为基本未知量。
②、如图7-2所示，已知轴向位移ui，则，
(a)
a
a
a
a
(a)
A i
Ai
2a
12 345
li
(b) FN1
B
B
FP
FN 5
B FP
o
x
y
B
ui
B
FN i
(b)
B
ui sini
B
B
图7-1
图7-2
FNi
EAi li
位移法的基本要点如下：
❖ 1.确定基本未知量.(如B点的竖向位移Δ ） ❖ 2.建立位移法基本方程.(力的平衡方程).
位移法计算梁和刚架的基本思路
q
C
A
θ
EI B
θ
EI
l
l
1) 离散化：结构拆成单杆 q
θθ
C
A
θ
EI B
B
θ EI
l
l
M BA
3i , M BC
3i
ql 2 8
2) 整体化：单杆组合成原结构
l
12EI 12i
l3
l2
12EI 12i
l3
l2
B
3EI 3i
l
B
Δ=1
3EI 3i
l2
l
3EI 3i
l2
l
3EI 3i
l2
l
3EI 3i
l3
l2
3EI 3i
l3
l2
EI i
EI i
B
l
l
7.3 基本未知量数目的确定
一、角位移
每个刚结点都具有一个角位移，所以刚结 点数就是角位移数。
A M AB>0
θ φ>0
A
M BA<0 B
B
ΔAB
二、两端固端梁的转角位移方程
θA
F
q
θB
B
A
ΔAB
θA
A
A
4iθA
6liΔAAB
A
B
2iθA A B
A
2iθB
B
ΔAB F
B
AMf AB
6liΔAB
θB
B
4iθB
B
q
B Mf
BA
M AB
4i A
2i B
6i l AB
M
f AB
M BA
2i A
ui
EAi 杆件的刚度系数
li
2. 如图7-2b,各杆位移ui与基本未知量的关系为
ui sini
(a)
3. 由结点B的平衡
5
Fy 0,
FNi sin i FP
(b)
i 1
即得：
5 i 1
EAi li
sin 2 i
FP
(c)
由此解得：
5 i 1
FP
EAi li
sin 2 i
(d )
, M DC
4i 2
qlC2D 12
3、建立位移法方程
M BA
M BC
M B 0, M BA M BC 0
B
10i1 2i2 4 0(1)
MC 0, MCB MCD 0
M CB
C
M CD
2i1 12i2 3 0(2)
1
0.466 i
,
2
0.328 i
4、确定各杆端弯矩，并作出弯矩图
2.若某结点的线位移及该结点处各截面沿该线位方 向的剪力均为未知时，则该结点线位移为位移法的 基本未知量。
概括起来，只有位移和相应位移方向上的内力 均未知时，该位移作为位移法的基本未知量。
F
F
F
θ3
F
θ1
θ2
Δ2
F M
Δ1
F M
F
A E
C
F M AE A
F
BF
A
E
BF
D
F
F
B
M AE A
D
D
θ1
满足的条件：a.平衡条件 b.位移协调条件
i EI l
M B 0, M BA M BC 0
6i ql 2 0 ql 2
8
48i
M BA
ql 2 16
, M BC
ql 2 16
ql 2 16
C
A
B
M
ql 2
8
7. 2 等截面直杆的转角位移方程
一、位移法中杆端力和杆端位移的符号规定
结构力学
第七章 位移法
(Displacement Method) 位移法是以结构位移作为基本未知量，即将结 构拆成杆件，以杆件的内力和位移关系作为基础， 再把杆件组装成结构，通过各杆件在结点的平衡和 变形协调来实现。
位移法方程有两种表现形式：
1、直接写平衡方程的形式 .
2、基本体系典型方程的形式.
4iB
6i l
AB
M
f BA
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l 2 AB
Ff QAB
M
AB
4i
M
BA
2i
FQ
A
B
6i l
2i
4i 6i
l
6i
l 6i
l
12i
l2
A
M
f AB
B
M
f BA
AB
Ff QA
B
三、一端固端一端铰支梁的转角位移方程
M
f AB
M BA
i A
i B
M f BA
A
B
形常数不变，
载常数反号。
A
B
简
图
θ=1
A
l
A
l
θ=1
A
l
A
l θ=1
A
l
弯
矩
剪
力
M AB
M BA
FQAB
FQBA
B
4EI 4i l
2EI 2i lBiblioteka 6EI 6il2l
6EI 6i
l2
l
B
Δ=1
6EI 6i
l2
l
6EI 6i
l2
2m
２、写转角位移方程
θ1
θ1 q=3kN/m
θ2 θ2 q=3kN/m
A
2i
BB
i
CC
2i
D
i EI 4
AB杆： M AB 0, M BA 3 2i1 6i1
BC杆：
M BC
4i1
2i2
ql
2 BC
12
,
M CB
2i1
4i2
qlB2C 12
CD杆：
M CD
8i 2
qlC2D 12
4.将式(d)代入式(a)，再代回(8-1)式得各杆内力：
FNi
EAi li
sin i
5 i 1
EAi li
sin 2 i
FP
(e)
设各杆EA相同，将图7-1a的尺寸代入得：
0.637 FPa EA
FN1 FN5 0.159 FP , FN2 FN4 0.255 FP , FN3 0.319 FP
θ1
θ2
θ3
θ4
EI=∞
θ1
θ2
θ3
θ4
角位移为零
二、独立线位移
假设：忽略轴向变形，即杆长不变。
ΔB
ΔC
B
C
B C
方法：从两个不动点出发引出的两杆不共线，其交 点不会动。
θ1
θ2
Δ1
F
EI=∞
F
θ1
Δ1
θ1 Δ1
EI=∞
在结构所有的结点(包括边界结点和内部结点)中:
1.若某结点的角位移及该结点处各截面的弯矩均为 未知时，则该结点角位移为位移法的基本未知量。
M AB 0, M BA 2.79kN m, M BC 2.79kN m, M CB 3.62kN m, M CD 3.62kN m, M DC 0.31kN m