2021新高考版数学一轮习题：专题3+阶段滚动检测(二)Word版含解析

滚动评估检测(三)(第一至第八章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x+1<2),则A∩B=( )A.(-∞,2)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(1,2)【解析】选B.因为A={x|0<x<2},B={x|x<1},所以A∩B=(0,1).2.(2019·大庆模拟)已知i是虚数单位,若z(1+i)=,则z的虚部为( )A. B.- C.i D.-i【解析】选B.由z(1+i)=,得z====--i,所以z的虚部为-.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,则x= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.a-b=(-4,1),c=(x,4),且(a-b)⊥c;所以(a-b)·c=-4x+4=0.所以x=1.4.已知m∈R,若p:m≤0;q:∃x∈R,m≤sin x.那么p是q的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【解析】选C.因为y=sin x具有有界性质即sin x∈[-1,1],所以由p:m≤0能推出q:∃x∈R,m≤sin x成立,充分性满足;反之,由q:∃x∈R,m≤sin x成立,不一定能推出p:m≤0成立,即必要性不满足, 故由充分条件必要条件的定义可知p是q的充分不必要条件.5.(2020·三明模拟)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128, 28=256……用你所发现的规律可得22 019的末位数字是( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.通过观察可知,末尾数字周期为 4,2 019=4×504+3,故 22 019的末位数字与 23末尾数字相同,都是8.6.若a=20.2,b=l ogπ3,c=l og2,则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a【解析】选C.因为20.2>20=1,0<l ogπ3<l ogππ=1,l og2<l og21=0,所以a>b>c.7.等差数列有如下性质:若数列{a n}为等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列{c n}是正项等比数列,当d n=________________时,数列{d n}也是等比数列,则d n的表达式为( )A.d n=B.d n=C.d n=D.d n=【解析】选C.在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{a n}是等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列.类比推断:若数列{c n}是各项均为正数的等比数列,则当d n=时,数列{d n}也是等比数列.8.已知函数f(x)=sin,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.函数f(x)=sin=sin,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)=sin=sin为偶函数,可得:-2φ=kπ+,k∈Z,即:φ=-kπ-,k∈Z,由于:φ>0,故φ的最小值为.9.(2020·西北工业大学附中模拟)执行如图所示的算法框图,则输出的S的值为( )A.-B.0C.D.【解析】选B.由算法框图知该算法的功能是利用循环结构计算并输出S= sin +sin +sin π+sin+sin 的值,S=sin +sin +sin π+sin +sin =0.10.(2019·宁波模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,=(n∈N*),且a1=-,则= ( )A.2 019B.-2 019C.2 020D.-2 020【解析】选D.==(n∈N*),化为:-=-1.所以数列是等差数列,首项为-2,公差为-1.所以=-2-(n-1)=-1-n.则=-1-2 019=-2 020.11.已知函数f(x)=+l n-1,若定义在R上的奇函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),且g(1)=f(l og2 25)+f(l o),则g(2 019)=( ) 世纪金榜导学号A.2B.0C.-1D.-2【解析】选A.因为f(x)+f(-x)=++ln+ln-2=++0-2=-2,f(x)+f(-x)=-2,因为log 225=log2(52)=2·log25,l o=l o(5-1)=-2·log25,所以g(1)=f(log225)+f(l o)=f(2·log25)+f(-2·log25)=-2.又因为g(1-x)=g(1+x),即g(x)=g(2-x),且g(x)为奇函数,所以g(x)=-g(-x),所以g(2-x)=-g(-x),可知函数g(x)的周期T=4.所以g(2 019)=g(505×4-1)=g(-1)=-g(1)=2.12.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是世纪金榜导学号( )A.(-∞,2]B.[0,]C.[,2]D.[1,]【解析】选C.根据题意,对于f(x)=x2-2x+1,是二次函数,其对称轴为x=2,在区间(-∞,2]上为减函数,对于y==+-2,在区间[-,0)和(0,]上为减函数,在区间(-∞,-]和[,+∞)为增函数,若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上“缓减函数”,则f(x)在区间I上是减函数,函数y==+-2在区间I上是增函数,区间I为(-∞,-]或[,2];分析选项可得[,2]为I的子集.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·马鞍山模拟)已知实数x,y满足约束条件若z=x+ty(t>0)的最大值恰好与幂函数y=(a-2)x4a-1中幂指数相同,则实数t=________________.【解析】因为y=(a-2)x4a-1是幂函数,所以a-2=1,即a=3,则函数为y=x11,即z=x+ty(t>0)的最大值为11,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x+ty得y=-x+,平移直线y=-x+,由图知,当直线y=-x+经过点A时,直线的截距最大,此时z最大为11,由得,即A(3,2),则3+2t=11,t=4.答案:414.(2019·天水模拟)如图是平面直角坐标系下y=sin x与圆O:x2+y2=π2的图像,在圆O内随机取一点,则此点落在图中阴影部分的概率是________________.【解析】依题意,图中阴影面积为S=2sin xdx=-2cos x=4,而圆的面积为S′=π×π2=π3,所以圆O内随机取一点,则此点落在图中阴影部分的概率是=.答案:15.(2020·运城模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC =,AB=3,AD=,则BD的长为________________.【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=,根据余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=9+3-2×3××=6,则BD=.答案:16.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________________.世纪金榜导学号【解析】因为a+b=1,所以+=2a+2b++=2++,因为+=(a+b)=1+4++≥5+2=5+4=9,当且仅当=时即a=,b=时取等号,故+≥2+9=11.答案:11三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2019·绵阳模拟)已知m>0,p:x2-2x-8≤0,q:2-m≤x≤2+m.(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.(2)若m=5,“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数x的取值范围.【解析】(1)记p对应的集合为A=[-2,4],q对应的集合为B=[2-m,2+m],因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以,解得m≥4,所以m的取值范围是[4,+∞).(2)因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p与q一真一假,①若p真q假,则无解,②若p假q真,则解得x∈[-3,-2)∪(4,7].综上,x∈[-3,-2)∪(4,7].18.(12分)(2020·达州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设公差为d,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).即:1和5为关于x的方程a1x2-S3x+5=0的解,所以=5,=1+5=6,解得a1=1,S3=6,所以d=1,故a n=1+n-1=n.(2)由于a n=n,所以数列{b n}满足b n==2n,则T n=21+22+23+…+2n==2n+1-2.19.(12分)(2019·六安模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.(1)求角B的大小.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A, 可得2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A,即2sin Ccos B-sin(A+B)=0,可得cos B=,所以B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= a.由正弦定理得a===+1.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故1<a<4,从而<S△ABC<2.因此,△ABC面积的取值范围是.20.(12分)已知等式1×22+2×32+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)(an+b)(a,b∈R,且a,b是常数)对任意的n∈N*成立.(1)求a,b.(2)用数学归纳法证明这个等式.【解析】(1) 当n=1时,原式可化为a+b=8,当n=2时,原式可化为2a+b=11,由,解得a=3,b=5,(2)原式即为1×22+2×32+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)(3n+5),①当n=1时,左边=1×22=4,右边=×1×2×3×8=4,左边=右边,所以当n=1时成立;②假设当n=k时原式成立,即1×22+2×32+…+k(k+1)2=k(k+1)(k+2)(3k+5), 那么当n=k+1时,1×22+2×32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=k(k+1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+2)[k(3k+5)+12(k+2)]=(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)[3(k+1)+5],所以当n=k+1时原式也成立,由①②可得原式成立.21.(12分)已知函数f(x)=l n x-ax+1. 世纪金榜导学号(1)当a=1时,证明:f(x)≤0.(2)若f(x)在[2,3]的最大值为2,求a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=l n x-x+1,f′(x)=-1=(x>0),当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)≤0.(2)由f(x)=ln x-ax+1,得f′(x)=-a=(x>0),若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在[2,3]上为增函数,由f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,得a=,与a≤0矛盾;若a>0,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)在上为增函数,在上为减函数.若0<≤2,即a≥,则f(x)在[2,3]上单调递减,f(x)max=f(2)=ln 2-2a+1=2,即a=(舍去);若≥3,即0<a≤,则f(x)在[2,3]上单调递增,f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,即a=;若2<<3,即<a<,f(x)max=f=-ln a=2,即a=(舍).综上,a=.22.(12分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.(1)判断函数f(x)=l og2x是否是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由.(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值.(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.【解析】(1)函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”;理由如下:f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),令x1=,x2=,则==|-1-(-2)|=1,而2|x1-x2|=,所以|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|,所以函数f(x)=log2x 不是“2-利普希兹条件函数”.(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.因为1≤x2<x1≤4,所以<<,所以k的最小值为.(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期内f(a)=M,f(b)=m, 则|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)≤|a-b|.若|a-b|≤1,显然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.若|a-b|>1,不妨设a>b,则0<b+2-a<1,所以|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b+2)≤|a-b-2|<1.综上,对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.。

阶段滚动月考卷(二)三角函数、解三角形、平面向量、复数(时间:120分钟 分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.i 是虚数单位,则复数z=(1+i 1−i)2+i 的共轭复数为( ) A.2+i B.2-iC.-1+iD.-1-i2.(滚动单独考查)已知集合A={1,3,x},B={1,√x },若A ∩B=B,则x= ( ) A.0或3 B.0或9 C.1或9D.3或93.(滚动单独考查)(2016·杭州模拟)函数y=√x 2−2x −3+log 3(x+2)的定义域为 ( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.(-2,-1]D.(-2,-1]∪[3,+∞)4.已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,且5()2a b ⊥(a+b),则a 与b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.23πD.56π5.(2016·济宁模拟)如图所示,非零向量OA →=a,OB →=b,且BC ⊥OA,点C 为垂足,若OC →=λa(λ≠0),则λ= ( )6.(2016·石家庄模拟)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上两条相邻的对称轴,则φ= ( ) A.π4B.π3C.π2D.3π47.已知a=(cos θ2,sin θ2),b=(cos θ,sin θ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(0,√2)D.(0,√2]8.(2016·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c, cosC=14,AC →·CB →=-2且a+b=5,则c 等于 ( )A.√B.√C.4D.√9.(滚动交汇考查)(2016·泰安模拟)已知f(x)=sin 2(x +π4),若a=f(lg5), b=f (lg 15),则 ( ) A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1D.a-b=110.(滚动单独考查)已知x 0是函数f(x)=2x+11−x的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则 ( )A.f(x 1)<0,f(x 2)<0B.f(x 1)<0,f(x 2)>0C.f(x 1)>0,f(x 2)<0D.f(x 1)>0,f(x 2)>0二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动交汇考查)计算:log 2sin π12+log 2cos π12= .12.(2016·枣庄模拟)已知|a|=2,|b|=4,a 和b 的夹角为π3,以a,b 为邻边作平行四边形,则该四边形的面积为 .13.在△ABC 中,若sin 2B=sinAsinC,则角B 的最大值为 . 14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos2A−B2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35,若a=4√2,b=5,则BA →在BC →方向上的投影为 . 15.已知函数f(x)=-x 2-2x,g(x)={x +14x ,x >0,x +1,x ≤0.若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,则实数a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·杭州模拟)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b=3.已知向量m=(cos 2B2,sinB),n=(√3,2),且m ∥n.(1)若A=5π12,求c 的值.(2)求AC 边上的高的最大值.17.(12分)(2016·临沂模拟)已知函数f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期.(2)已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b 的值.18.(12分)(2016·黄山模拟)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ))(ω>0,0<φ<π4),函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M (1,72).(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1≤x ≤1时,求函数f(x)的单调区间.19.(12分)(2016·郑州模拟)在△ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边.若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)所成的角为π3.(1)求角B 的大小.(2)若b=√3,求a+c 的最大值.20.(13分)(滚动单独考查)根据统计资料,某工厂的日产量不超过20万件,每日次品率p 与日产量x(万件)之间近似地满足关系式p={x 2+60540,0<x ≤12,12,12<x ≤20.已知每生产1件正品可盈利2元,而生产1件次品亏损1元.(该工厂的日利润y=日正品盈利额-日次品亏损额)(1)将该工厂日利润y(万元)表示为日产量x(万件)的函数.(2)当该工厂日产量为多少万件时日利润最大?最大日利润是多少万元? 21.(14分)(滚动单独考查)(2016·太原模拟)已知函数f(x)=2lnx-ax. (1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0),求a 的值. (2)求f(x)的单调区间.(3)如果x 1,x 2(x 1<x 2)是函数f(x)的两个零点,f ′(x)为f(x)的导数,证明: f ′(x 1+2x 23)<0.答案解析1.D z=(1+i)2(1−i)+i=2i−2i+i=-1+i,所以其共轭复数为-1-i. 2.B 因为A ∩B=B,所以B A,验证易知x=0满足,x=9满足.3.D 由{x 2−2x −3≥0,x +2>0得-2<x ≤-1或x ≥3. 4.B 由题意,得·(a+b)=a 2-32a ·b-52b 2=4-32a ·b-52=0.所以a ·b=1, 所以cos θ==12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3. 5.A BC →⊥OA →,即BC →⊥OC →, 所以(OC →-OB →)·OC →=0,所以|OC →|2-OB →·OC →=0,即λ2|a|2-λa ·b=0,又λ≠0,解得λ=6.A2πω=2(5π4−π4),得ω=1,所以f(x)=sin(x+φ),故f (π4)=sin (π4+φ)=±1.因为0<φ<π,所以π4<φ+π4<5π4,所以φ+π4=π2,即φ=π4. 7.C 因为a-b=(cos θ2−cosθ,sin θ2−sinθ),所以|a-b|=√(cos θ2−cosθ)+(sin θ2−sinθ)=√2−2(cos θ2cosθ+sin θ2sinθ)=√2−2cos (θ2−θ)=√2−2cos θ2,因为θ∈(0,π),所以θ2∈(0,π2),cos θ2∈(0,1).故|a-b|∈(0,√2).8.【解题提示】由已知cosC=14,AC →·CB →=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC 可求c. A 由已知cosC=14,AC →·CB →=-2,得b ·a ·cos(π-C)=-2⇒b ·a ·cosC=2, 所以ab=8,利用余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=√5.【加固训练】在△ABC 中,内角A,B,C 所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m ∥n,m ⊥p,则△ABC 的形状是 .【解析】由m ∥n 可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以A-C=0,即A=C. 由m ⊥p 可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C.故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形9.C a=f(lg5)=sin 2(lg5+π4)=1−cos(2lg5+π2)2=1+sin(2lg5)2,b=f (lg 15)=sin 2(lg 15+π4)=1−cos(2lg 15+π2)2=1−sin(2lg5)2,则可得a+b=1.10.B 设g(x)=11−x,由于函数g(x)=11−x=-1x−1在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x 0,且在(1,x 0)上f(x 1)<0,在(x 0,+∞)上f(x 2)>0. 11.【解析】原式=log 2(sin π12cosπ12)=log 2(12sin π6)=log 214=-2.答案:-212.【解析】S=2×12|a||b|sin π3=2×4×√32=4√.答案:4√13.【解题提示】化角为边,利用基本不等式求解. 【解析】由正弦定理,得b 2=ac, 由余弦定理,得cosB=a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac2ac≥2ac−ac 2ac=12.因为B ∈(0,π),y=cosx 在(0,π)上单调递减, 所以B 的最大值为π3.答案:π314.【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由2cos2A−B2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-35,即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35.则cos(A-B+B)=-35,即cosA=-35.由0<A<π,得sinA=45,由正弦定理,有asinA =bsinB,所以,sinB=bsinA a=√22.由题知a>b,则A>B,故B=π4,根据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c ×(−35),解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB=√22.答案:√2215.【解题提示】利用数形结合法求解.【解析】令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t 在t ∈(-∞,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a 的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a 有2个不同的交点, 即所求a 的取值范围是[1,54).答案:[1,54)16.【解析】(1)方法一:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,即1+cosB=√得sin (B −π6)=12.又0<B<π,所以-π6<B-π6<5π6,故B-π6=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√方法二:由m ∥n,得2cos 2B2=√3sinB,则2cos 2B 2=2√3sin B 2cos B 2,又cos B 2≠0,故cos B 2=√3sin B2,即tan B 2=√33,又0<B<π,所以0<B 2<π2,故B 2=π6,即B=π3.结合A=5π12,可得C=π4.由正弦定理bsinB =csinC,得c=√(2)设AC 边上的高为h,则S △ABC =12bh=32h=12acsinB=√34ac,即h=2√3ac.而b 2=a 2+c 2-2accosB=a 2+c 2-ac ≥ac(当且仅当a=c 时,等号成立),所以ac ≤9,因此h=2√3ac ≤3√32.所以AC 边上的高的最大值为3√32.17.【解析】(1)f(x)=√3sinxcosx-cos 2x-12=√32sin2x-12cos2x-1=sin (2x −π6)-1.所以f(x)的最小值为-2,最小正周期为π. (2)因为f(C)=sin (2C −π6)-1=0,即sin (2C −π6)=1,又因为0<C<π,-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,故C=π3.因为m 与n 共线,所以sinB-2sinA=0. 由正弦定理a sinA =bsinB,得b=2a.①因为c=3,由余弦定理,得9=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=9,② 联立①②,解得{a =√3.b =2√3.【加固训练】(2015·洛阳模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, cos2C+2√cosC+2=0.(1)求角C 的大小.(2)若b=√2a,△ABC 的面积为√22sinAsinB,求sinA 及c 的值. 【解析】(1)因为cos2C+2√2cosC+2=0,所以2cos 2C+2√2cosC+1=0,即(√2cosC+1)2=0,所以cosC=-√22. 又C ∈(0,π),所以C=3π4. (2)因为c 2=a 2+b 2-2abcosC=3a 2+2a 2=5a 2,所以c=√5a,即sinC=√5sinA,sinA =√5sinC=√1010, 因为S △ABC =12absinC,且S △ABC =√22sinAsinB, 所以12absinC=√22sinAsinB, 即ab sinAsinB sinC=√2, 由正弦定理得:(csinC )2sinC=√, 解得c=1. 18.【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a 2-b 2=|a|2-|b|2=sin 2(ωx+φ)+3-cos 2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3,由题意得周期T=2π2ω=4, 故ω=π4,又图象过点M (1,72),所以72=3-cos (π2+2φ), 即sin2φ=12,而0<φ<π4,故2φ=π6, 则f(x)=3-cos (π2x +π6). (2)当-1≤x ≤1时,-π3≤π2x+π6≤2π3. 所以当-π3≤π2x+π6≤0时, 即x ∈[−1,−13]时,f(x)是减函数. 当0≤π2x+π6≤2π3时, 即x ∈[−13,1]时,f(x)是增函数. 则函数f(x)的单调递减区间是[−1,−13],单调递增区间是[−13,1]. 19.【解析】(1)由题意得cos π3= =2√sin 2B+(1−cosB)2=12, 即√2−2cosB =12, 所以2sin 2B=1-cosB,2cos 2B-cosB-1=0,所以cosB=-12或cosB=1(舍去), 因为0<B<π,所以B=2π3. (2)由(1)知A+C=π3, 而a sinA =c sinC =b sinB =√3sin 2π3=2, 所以a+c=2sinA+2sinC=2[sinA +sin (π3−A)]=2(sinA +√32cosA −12sinA) =2sin (A +π3), 因为0<A<π3,所以π3<A+π3<2π3. 所以√32<sin (A +π3)≤1, 所以a+c=2sin (A +π3)∈(√3,2], 故a+c 的最大值为2.20.【解析】(1)由题意知,当0<x ≤12时,y=2x(1-p)-px,所以y=2x (1−x 2+60540)-x 3+60x 540=53x-x 3180,当12<x ≤20时,y=2x(1-p)-px=2x (1−12)-12x=12x, 即y={53x −x 3180,x ∈(0,12],12x,x ∈(12,20]. (2)当x ∈(0,12]时,y ′=53-x 260=100−x 260,令y ′=0,得x=10, 当0<x<10时,y ′>0;当10<x ≤12时,y ′<0,所以,当x=10时,y max =1009, 当x ∈(12,20]时,y=12x 在(12,20]上单调递增,当x=20时,y max =10,由于1009>10,所以当该工厂的日产量为10万件时,日利润最大,最大日利润为1009万元.21.【解题提示】(1)由导数的几何意义求解.(2)分类讨论.(3)构造函数证明不等式.【解析】(1)因为f′(x)=2x-a(x>0),所以f′(1)=2-a,又f(1)=-a,所以切线方程为y+a=(2-a)(x-1).又切线过点(2,0),所以0+a=(2-a)(2-1),解得a=1.(2)由(1)知f′(x)=2x-a(x>0),①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f′(x)>0,有x∈(0,2a),f(x)在(0,2a )上单调递增;令f′(x)<0,有x∈(2a,+∞),f(x)在(2a,+∞)上单调递减.故当a≤0时,f(x)的单调增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,2a ),单调减区间为(2a,+∞).(3)由题意知f(x1)=0,f(x2)=0. 即2lnx1-ax1=0,2lnx2-ax2=0,则2lnx2-2lnx1=a(x2-x1),a=2ln x2x1 x2−x1.因为f′(x)=2x-a,所以f′(x1+2x23)=6x1+2x2-a=6x1+2x2-2ln x2x1x2−x1,要证f′(x1+2x23)<0,只需证6x1+2x2-2ln x2x1x2−x1<0,①因为x2>x1>0,所以x2-x1>0,x1+2x2>0,故①式可化为3(x 2−x 1)x 1+2x 2-ln x 2x 1<0,即3(x 2x 1−1)2·x 2x 1+1-ln x 2x 1<0, 令t=x 2x 1,则t>1,构造函数h(t)=3(t−1)2t+1-lnt,则h ′(t)=9(2t+1)2-1t =-(4t−1)(t−1)t(2t+1)2.显然t>1时,h ′(t)<0,即h(t)在[1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0. 即证得f ′(x 1+2x 23)<0.关闭Word 文档返回原板块。

阶段滚动检测(三)(建议用时：90分钟) 一、选择题1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.8解析 由于A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个. 答案 C2.曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.x －3y ＋2＝0 C.3x ＋y －4＝0D.x ＋3y －4＝0解析 y ′＝2x ＋1x ，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a x ＋1′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2， ∵x ＝1为函数的极值点， ∴f ′(1)＝0，即3－a ＝0，∴a ＝3. 答案 C4.(2022·金华重点中学联考)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x ＝－4时满足x 2＋y 2≥9，但不满足x ＞3，所以充分性不成立；反之，当x ＞3且y ≥3时，肯定有x 2＋y 2≥9，所以必要性成立，即“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的必要不充分条件，故选B. 答案 B5.(2022·杭州质量检测)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )解析 由题意得，f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜t ≤22，－（t －2）2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫22＜t ＜2，1（t ≥2），故其图象为C. 答案 C6.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0. 答案 A7.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析 如图所示，当x ∈(－∞，x 0)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )为减函数，∴x ＝x 0是函数f (x )的极大值点，可得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0.由此对比各个选项，可得函数y ＝f ′(x )的图象只有A 项符合.答案 A8.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.[0，1] C.[－2，0)D.[－2，1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜ 1.答案 D9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( ) A.{x |x ＞0} B.{x |x ＜0}C.{x |x ＜－1或x ＞1}D.{x |x ＜－1或0＜x ＜1}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x .由于g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数.由于g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，故原不等式化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0.答案 A10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.(0，1)D.(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，故y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当直线l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，则x 0＝1，从而令2a ＝1，∴a ＝12.结合函数图象知0<a <12. 答案 B 二、填空题11.已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 112.(2022·杭州高三模拟)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0相互垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________.解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8明显不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不肯定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，留意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④. 答案 ①④13.(2022·杭州重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立的全部实数a构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为空集的全部实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________．解析 对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ≤2，所以集合A ＝(－2，2]．当不等式|x －4|＋|x －3|＜a 有解时，a ＞(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的全部实数a 构成集合B ＝(－∞，1]， 则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2，2]∩(1，＋∞)＝(1，2]． 答案 (1，2]14.若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，则a ≤h (x )min ＝4，故实数a 的取值范围是(－∞，4]. 答案 (－∞，4] 三、解答题15.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)争辩f (x )的单调性，并求f (x )的极大值. 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减. 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2.) 16.(2022·南山中学月考)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0). (1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3. (1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)， 则h ′(x )＝cos x －a .①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0， 则sin x ≤ax (x ≥0)成立.②若0<a <1，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意.③当a ≤0，结合f (x )与g (x )的图象可知明显不合题意. 综上可知，a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞). (2)证明 当a 取(1)中的最小值为1时， g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2， 则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0， 即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减.所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0， 则x －sin x ≤16x 3(x ≥0).所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3. 17.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)假如当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x（x ＋1）2－bx 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x . 考虑函数h (x )＝2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x (x ＞0)，则h ′(x )＝（k －1）（x 2＋1）＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，由h ′(x )＝k （x 2＋1）－（x －1）2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0.可得11－x 2h (x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0. 从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＞0，即f (x )＞ln x x －1＋kx.(ⅱ)设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0.故h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设冲突.(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设冲突.综合得k 的取值范围为(－∞，0]. 18.(2022·陕西检测)设函数f (x )＝e x －ax －1.(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围； (2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证： g (a )≤0；(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.(1)解 由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 均成立，又e x ＞0(x ∈R )，故a 的取值范围为(－∞，0].(2)证明 由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，故g (a )≤0. (3)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x －x －1，由(2)可知，e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立. ∴当x ≠0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得当x ≠0时，(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x (n ∈N *). 令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)；……令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n （1－e n ）1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e-1＜1.故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n＋1＜(n ＋1)n ＋1.阶段。

2021届高三数学一轮复习通关检测卷新高考卷（二）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集是实数集{}{},2||2,1M x x N x x =-≤≤=<R ，则()M N ⋂=R ( ) A.{}|2x x <-B.{}|21x x -<<C.{}|1x x <D.{|21}x x -≤<2.已知复数z 满足(1+2i)43i z =+，则z 的共轭复数是( )A ．2i -B ．2+iC ．1+2iD ．12i -3.已知函数()π2sin 6f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间(),0ααα->［］上是增函数，则α的最大值是( ) A.π6B.π3C.π2D.5π64.已知2:20p x x -->，()22:2100q x x m m -+-<>，若q 是p ⌝的必要条件，则m 的取值范围是（ ） A.()1,2B.()2,+∞C.[]1,2D.[)2,+∞5.函数()·ln x f x e x =的大致图象为( ) A. B.C. D.6.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有( ) A ．280种B ．350种C ．70种D ．80种7.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使1OP OF =( O 为原点)，且123PF PF =，则双曲线的离心率为( )A.31- B.31- C.31+ D.31+8.已知函数()ln4xf x x=-，则( ) A. ()y f x =的图象关于点()2,0对称 ， B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称， C. ()f x 在()0,4上单调递减 ，D. ()f x 在()0,2上单调递减，在()2,4上单调递增.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 10.若将函数π()cos(2)12f x x =+的图象向左平移π8个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( ) A.()g x 的最小正周期为π B.()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.π12x =不是函数()g x 图象的对称轴 D.()g x 在[]ππ,66-上的最小值为12-11.等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是( ) A. 0d >B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D. 0n S >时n 的最小值为812.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π,22,3DAB AB AD PD PD ∠===⊥底面ABCD ，则( )A.PA BD ⊥B.PB 与平面ABCD 所成角为π6C.异面直线AB 与PC 25D.平面PAB 与平面PBC 27三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知2,()22,xx x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则((-2))f f =______. 14.62x x ⎛⎝的展开式中常数项是______.15.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ABC ，△是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．16.已知圆22:2410C x y x y ++-+=，若圆C 上存在弦AB ，满足23AB =，且线段AB 的中点M 在直线20x y k ++=上，则实数k 的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10分）已知数列{}()*n a n ∈N ，其前n 项和为n S . ①数列{}n a 是等差数列，②11n n S a qS +=+（其中常数1,0a q ≠）， ③1010011010,,100,,110,10100110S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三点共线，④数列{}n a 是等比数列.从四个命题中选一个命题作为条件，另一个命题作为结论制作一个正确命题，并证明. 18. （12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2222cos 3cos 2a b c a B A c c +-⋅+=. (1) 若sin 2cC =，求a .(2)若2ABC S =△，3b c +=，求ABC △外接圆的面积. 19. （12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//,90,222BC AD BAD AD PD AB BC ∠=====，M 为PA 的中点．（1）求证：//BM 平面PCD ；（2）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60︒，且PAD △为钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值.20. （12分）从某果园的苹果树上随机采摘500个苹果，其质量分布如频率分布直方图所示.()I 求t 的值，并计算这500个苹果的质量的平均值；()Ⅱ现按分层抽样的方式从质量在[)[)250,300,300,350(克)的苹果中抽取6个，再从这6个苹果中随机抽取2个，求这2个苹果的质量都在[)250,300(克)的概率.21. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，且过点()0,1A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点,A B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点,N D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系. 22. （12分）已知函数1()ln af x a x x x-=-++． （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设2()e 3x g x mx =+-，当2e 1a =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2e ()f x g x +≥，证明：2e e m ≤-．答案以及解析1.答案：A 解析：由题可知{}22|M x x x =<->R或，故(){}|2M N x x ⋂=<-R . 2.答案：B解析：由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+. 3.答案：B解析：令πππ262x -≤+≤，则2ππ33x -≤≤，π32π3αα⎧≤⎪⎪∴⎨⎪-≥-⎪⎩，解得π3α≤.故选B4.答案：B解析：由2:20p x x -->，得2:20p x x ⌝--≤，所以:12p x ⌝-≤≤.由()22: 2100q x x m m -+-<>，得:11q m x m -<<+.若q 是p ⌝的必要条件，则1112m m -<-⎧⎨+>⎩，解得2m >.故选B.5.答案：A解析：由题意，()ln ||x f x e x =⋅的定义域为(,0)(0,)-∞+∞且()ln ||ln ||x x f x e x e x ---=⋅-=⋅()(),()()f x f x f x f x -≠-≠-∴()f x ∴为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D 当x →+∞时，(),()f x f x '→+∞→+∞，排除B 6.答案：B解析：由题意，先安排甲单位，从a 医生之外的7名医生中任选3人，有37C 种方法.再安排乙单位，从剩下的5名医生中任选3人，有35C 种方法. 最后安排丙单位，剩下的2名医生去丙单位，有1种方法.由分步乘法计数原理，共有33751350C C ⨯=（种）选派方法. 7.答案：D解析：在12PF F 中，O 为线段12F F 的中点，且1121,||2OP OF OP F F =∴=，12PF PF ∴⊥.12PF =，12212π1,62PF F PF F F c ∴∠=∴==.由双曲线的定义，知12222PF PF PF a -=-=，21) PF a ∴==，1),1ca c e a∴=∴==，故选D. 8.答案：A 解析：04x x >-，则函数定义域为()()()10,4,1ln ,3ln33f f ==， 即()()31f f =-，有关于点()2,0对称的可能，进而推测()2f x +为奇函数，关于原点对称， ()22ln2x f x x++=-，定义域为()2,2-，奇函数且单调递增， ∴()f x 为()2f x +向右平移两个单位得到， 则函数在()0,4单调递增，关于点()2,0对称 9.答案：CD解析：由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误； 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确； 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确； 故选：CD. 10.答案：ACD解析：πππ()cos 2cos 28123g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 故()g x 在上有增有减，选项B 错误；π()012g =，故π12x =不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确.当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π20,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦且当π2π233x +=，即π6x =时，()g x 取最小值12-，D 正确. 11.答案：ABD解析：由753a a =可得，()11634a d a d +=+，即13a d =-由于等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确；4n =时，n S 最小，故C 错误；12.答案：ABCD解析：对于A ，由π,23DAB AB AD ∠==及余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥.由PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥.又AD PD D ⋂=，所以BD ⊥平面PAD ，故PA BD ⊥.故A 正确.对于B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠就是PB 与平面ABCD所成的角，又tan PD PBD BD ∠==π6PBD ∠=.故B 正确. 对于C ，显然PCD ∠是异面直线PC 与AB 所成的角，易得cos CD PCD PC ∠==故C 正确. 对于D ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设1AD =，则(1,0,0),((0,0,1)A B C P -，所以(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-.设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =n ，则00AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111100x z ⎧-=⎪-=，取11y =，可得=n 是平面PAB 的一个法向量.设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ， 则0PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22200z x -=-=⎪⎩，取21y =，可得(=m 是平面PBC 的一个法向量，所以cos ,||||⋅〈〉==m nm n m n所以平面PAB 与平面PBC 故D 正确.13.答案：14解析：根据题意得： 2(2)(2)4f -=-=，则4((2))(4)2216214f f f -==-=-= . 14.答案：60解析：在62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，通项公式为366216(1)2r r r r r T C x --+=⋅-⋅⋅，令3602r-=，求得4r =，可得展开式的常数项是426260C ⋅=， 故答案为：60. 15.答案：48π 解析：如图，在等边三角形ABC 中，取AB 中点F ，设其中心为O ， 由6AB =，得2233CO CF ==∵PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴F 为PAB △的外心，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 则外接球半径23R OC ==.∴该三棱锥外接球的表面积为(24π348π⨯=.故答案为：48π. 16.答案：[5,5]-解析：圆C 的方程可化为()()22124x y ++-=，因此圆心()1,2C -，半径2r =.连接CM ，由于AB =因此1CM =，因此点M 在以()1,2C -为圆心，1为半径的圆上.又点M 在直线20x y k ++=上，故直线20x y k ++=与圆()()22121x y ++-=有公共点，1≤，解得k ≤.17.答案：解法一：①和③组合为一个正确命题：若数列{}n a 是等差数列，则1010011010,,100,,110,10100110S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三点共线； 证明：因为数列{}n a 是等差数列，由等差数列前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+， 知1(1)2n S d a n n =+-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 则已知三点每两点连线的斜率都是2d，故三点都在一次函数1(1)2dy a x =+-的图象上，所以三点共线. 解法二：②和④组合为一个正确命题：若11n n S a qS +=+（其中常数1,0a q ≠），则数列{}n a 是等比数列；证明：当1n =时，211S a qS =+，所以21a q a =； 当2n 时，因为11n n S a qS +=+，所以11n n S a qS -=+， 两式相减得()()()11111n n n n n n S S a qS a qS q S S +---=+-+=-， 所以1n n a qa +==，即1n na q a +=. 由等比数列的定义知，数列{}n a 是等比数列.解法三：②和④组合为一个正确命题：若数列{}n a 是等比数列，则11n n S a qS +=+（其中常数1,0a q ≠）；证明：若数列{}n a 是等比数列，则当1q =时，111,(1)n n S na S n a +==+，满足11n n S a qS +=+；当1q ≠时，()111n n a q S q-=-，()11111n n a q S q ++-=-，所以()11111n n a q a qS a q q -+=+⋅-()()1111111(1)11111.n n n n a q a q q qa a q q qa q S q ++-+-=--⋅=--==-故若数列{}n a 是等比数列，则11n n S a qS +=+（其中常数1,0a q ≠）.18.答案：(1)由题干及余弦定理，得22cos cos 3cos 2a bc A B A c c ⋅+=，即 cos cos 3cos a B b A c A +=. 由正弦定理，得sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=，所以()sin 3sin cos A B C A +=.因为sin 0C ≠，所以3cos 1A =，解得1cos 3A =，所以22sin A =， 又sin 2c C =，所以由正弦定理，得2sin sin a c A C ==，所以42a =. (2)由(1)知，1cos 3A =，22sin A =， 所以1sin 2ABC S bc A =△12222bc =⨯=，所以3bc =. 又()2221cos 23b c bc a A bc +--==，3b c +=，所以1a =. 由正弦定理可得，2sin 22a R A ==，解得32R =. 所以ABC △外接圆的面积29ππ32S R ==. 19.答案：（1）证明：取PD 的中点N ，连接,CN MN ，因为M 为PA 的中点，则//MN AD ，且12MN AD =， 又//BC AD ，且12BC AD =，所以//,MN BC MN BC =， 所以四边形BMNC 为平行四边形，所以//,BM CN CN ⊂平面,PCD BM ⊄平面PCD ，所以//BM 平面PCD(Ⅱ)由题意可知//BC AD ，所以ADP ∠或其补角为异面直线BC 与PD 所成角，又,AD PD PAD =△为钝角三角形，所以120ADP ∠=︒，又平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD .以A 为坐标原点，,AD AB 所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,0,1,1,3,3,0A B D C P， 向量()()3,2,1,3,3,1PC PB =--=--，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =由00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩令1x =， 得平面PBC 的一个法向量()1,0,3n =，同理可得平面PCD 的一个法向量(1,3,3m =--设二面角B PC D --的平面角为θ，则7cos 27m nm n θ⋅=== 则242sin 1cos 7θθ=-=故二面角B PC D --20.答案：(1)依题意，(20.0030.0080.0040.001)501t ++++⨯=，解得0.002t =.这500个苹果的质量的平均值为1250.11750.12250.152750.43250.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 17.533.751103750.0512.6518.755257.5++==+⨯++(克).(2)依题意，质量在[)[)250,300,300,350的苹果分别有4个和2个.记质量在[)250,300的苹果为,,,A B C D ，质量在[)300,350的苹果为,a b ，随机抽取2个，可能的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D C a C b D a(,),(,)D b a b ，共有15种情况.其中满足条件的有(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A C A D B C B D C D ，共6种情况. 故所求概率为62155P ==. 21.答案：（1）由题意可知，2221b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， ∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）设点2214x y +=，则00,2x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：002(1)1y y x x -=+， 令1y =-得，001x x y =-，∴点N 的坐标为00,11x y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，∴点D 的坐标为00,12(1)x y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， 22200000000000,,1222(1)444x x x x x OM DM y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴， 又∵点()00,P x y 在椭圆C 上，220022001,444x y y x +==-∴， 2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y -⋅=-+=-++=-∴， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．22.答案：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]'()1a a x x a f x x x x -+--=-++=， 由'()0f x =，得1x =或1x a =-，当2a >即11a ->时，由'()0f x <得11x a <<-； 由'()0f x >得01x <<或1x a >-； 当2a =即11a -=时，当0x >时都有'()0f x ≥， ∴当2a >时，单调减区间为(1,1)a -，单调增区间为(0,1)，(1,)a -+∞ 当2a =时，单调增区间是(0,)+∞，没有单调减区间．（2）当2e 1a =+时，由（1）知()f x 在2(1,e )单调递减， 在2(e ,)+∞单调递增，从而()f x 在[1,)+∞上的最小值为22(e )e 3f =--． 对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使得212()2e ()f x g x +≥， 即存在2[1,)x ∈+∞，使得2()g x 的值不超过2()2e f x +在区间[1,)+∞上的最小值为2e 3-．由222e 32e e 3x mx --+≥+-得22e e x mx +≤， ∴22e e x m x -≤．令22e e ()xh x x-=，则当[1,)x ∈+∞时，max ()m h x ≤． ∵222223e 2(e e )e 2(e e )'()()x x x x x x x h x x x ---+-==-，当[1,2]x ∈时，'()0h x <； 当[2,)x ∈+∞时，2e 2(e e )e 2e 0,'()0x x x x x x h x +->-≥<， 故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)e e h x h ==-，从而实数2e e m ≤-．。

一、单项选择题1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∪B 等于( ) A ．[－2,3] B ．[－2,0] C ．[0,3]D ．[－3,3]2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≥－1D ．a ≤－33．(2020·重庆模拟)命题p ：∃x 0>0，x 0＋1x 0＝2，则綈p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x ＝2B ．∀x >0，x ＋1x ≠2C ．∀x ≤0，x ＋1x＝2D ．∀x ≤0，x ＋1x≠24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋m )－1，x ≥0，12 019，x <0的图象经过点(3,0)，则f (f (2))等于( )A ．2 019 B.12 019C ．2D ．15．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－2C ．6D ．－66．三个数a ＝0.312，b ＝log 20.31，c ＝20.31之间的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <a <cD ．b <c <a7．(2019·湖南师大附中博才实验中学月考)函数f (x )＝e x ＋1x (1－e x )(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )8．函数f (x )＝2e x －a (x －1)2有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫e 4，1 B ．(1,2e] C.⎝⎛⎭⎫0，e 32 D.⎝⎛⎭⎫－∞，e 32 二、多项选择题9．已知a >b >0，c >1，则下列各式不成立的是( ) A ．sin a >sin b B ．c a >c b C ．a c <b cD.c －1b <c －1a10．下列命题为假命题的是( ) A ．“A ∩B ＝A ”的充要条件是“A ⊆B ”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分不必要条件C ．若椭圆x 216＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，且弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为16D ．“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充要条件11．在下列函数中，其中最小值为2的函数的是( ) A ．y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x B ．y ＝x 2＋2x 2＋1C ．y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)D ．y ＝tan x ＋1tan x ，0<x <π212．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”成立的是( )A ．f (x )＝－x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x －1xC ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝12log (2)x ＋1三、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，5]上为减函数，则实数a 的取值范围为________；当a ＝2时，函数f (x )在[－3,2]上的值域为________．14．在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________． 15．设函数f (x )＝e x －1e x －2x ，若f (a －3)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围为________．16．对一定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对任意正实数ξ，∃x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立，则称函数y ＝f (x )为“敛c 函数”，现给出如下函数：①f (x )＝x (x ∈Z )；②f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1(x ∈Z )；③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝x －1x .其中为“敛1函数”的有________．(填序号)四、解答题17．设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x >1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a <x <a ＋1}是A ∩B 的子集，求实数a 的取值范围．18．计算：(1)(3－1)0＋(3－π)2＋1318-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)2lg 5＋lg 25＋2log32.19．(2019·天津调研)设函数f (x)＝lgax＋1(a∈R)，且f (1)＝0.(1)求a的值；(2)求f (x)的定义域；(3)判断f (x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．20．为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x %，则用户人数会增加x8万人．(1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x 的取值范围；(2)为了布局“5G 网络”，该公司拟定投入资金进行5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x 的值．(总盈利资金＝总收入资金－总投入资金)21．已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．22．(2019·北京四中期中)已知函数f (x )＝ln x ＋1x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1，证明：当x >0且x ≠1时，x －1与g (x )同号．答案精析1．A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8．C 9.ACD 10.CD11．ABD [对于A ，y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，当且仅当x ＝±1时取等号，正确； 对于B ，y ＝x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号，正确；对于C ，当x ∈(0,1)时，log x 2<0，log 2x <0，得y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)的最小值不可能为2，错误；对于D ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan x ∈(0，＋∞)，令tan x ＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，所以y ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，正确．]12．AD [根据题意，“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x )＝－x 2－2x ＋1为二次函数，其对称轴为x ＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；对于选项B ，f (x )＝x －1x ，其导数f ′(x )＝1＋1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项C ，f (x )＝x ＋1为一次函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项D ，f (x )＝12log (2)x ＋1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．] 13．(－∞，－4] [1,10] 14.x －y －1＝0 15.⎣⎡⎦⎤－32，1 解析 根据题意，函数f (x )＝e x －1e x －2x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1e x －2，f ′(x )＝e x ＋1e x －2≥0恒成立，则函数f (x )在R 上为增函数，又因为f (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，原式等价于f (a －3)≤－f (2a 2)， f (a －3)≤f (－2a 2)，a －3≤－2a 2,2a 2＋a －3≤0， (2a ＋3)(a －1)≤0，－32≤a ≤1.16．②③④解析 由新定义知，对任意正实数ξ，∃x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立， 即0<|f (x )－c |<ξ有解．对于函数①解得，1－ξ<x <1＋ξ，且x ≠1，x ∈Z ，因为ξ为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛1函数”；对于函数②解得，x >－log 2ξ且x ∈Z ，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－ξ<x <21＋ξ，且x ≠2，故函数③是“敛1函数”；对于函数④解得，|x |>1ξ，故函数④是“敛1函数”．因此正确答案为②③④.17．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥0，2－x >0得，－6≤x <2，由2x >1得，x >0，∴A ＝[－6,2)， B ＝(0，＋∞)， ∴A ∪B ＝[－6，＋∞)． (2)A ∩B ＝(0,2)，∵集合{x |a <x <a ＋1}是A ∩B 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤2，解得0≤a ≤1，∴a 的取值范围是[0,1]．18．解 (1)原式＝1＋|3－π|＋2＝1＋π－3＋2＝π. (2)原式＝lg 25＋lg 25＋3＝lg ⎝⎛⎭⎫25×25＋3＝4.19．解 (1)根据题意，函数f (x )＝lgax ＋1(a ∈R )，且f (1)＝0， 则f (1)＝lg a 2＝0，则a2＝1，解得a ＝2.(2)根据题意，f (x )＝lg2x ＋1， 必有2x ＋1>0，解得x >－1，即函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． (3)根据题意，f (x )＝lg 2x ＋1在(0，＋∞)上的单调递减， 证明：设0<x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝lg2x 1＋1－lg 2x 2＋1＝lgx 2＋1x 1＋1＝lg(x 2＋1)－lg(x 1＋1)， 又由0<x 1<x 2，则lg(x 2＋1)>lg(x 1＋1)，即f (x 1)－f (x 2)>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 20．解 (1)根据题意，设该公司的总收入为W 万元， 则W ＝50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x100，0<x <100， 若该公司月总收入不减少， 则有50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x100≥10×50， 解得0<x ≤20.(2)设该公司盈利为y 万元，则y ＝50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x 100－2⎝⎛⎭⎫10＋x 8＝－x216＋x ＋480,0<x <100， 结合二次函数的性质分析可得，当x ＝8时，该公司的总盈利最大． 21．解 (1)f ′(x )＝x 2＋a ， 由f ′(2)＝0得a ＝－4，由f (2)＝－43得b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0得x >2或x <－2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)由f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以f (x )在[－4,3]上的最大值为283，要使13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，只要f (x )max ≤m 2＋m ＋103就可以了，即283≤m 2＋m ＋103， 解得m ≥2或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 22．(1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． (2)证明 函数g (x )的定义域是(0，＋∞)， 又g ′(x )＝ln x ＋x ＋1x －1＝ln x ＋1x ＝f (x )，由(1)可知，f (x )min ＝f (1)＝1， 所以当x >0时，g ′(x )>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为g(1)＝0，所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0且x－1>0；当0<x<1时，g(x)<g(1)＝0且x－1<0，所以当x>0且x≠1时，x－1与g(x)同号．。

2021届高三数学滚动测试题(2020.10.05)一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知复数z 满足：+i z a i ⋅=，其中i 是虚数单位，则“10a -<<”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件2. 已知lg a ＋lg b ＝2，则a ＋b 的最小值为（ ）A. 22B. 4C. 10D. 203. 已知函数f （x ）=x 2，g （x ）=ln x ，若有f （a ）=g （b ），则b 的取值范围是（ ）A. [0，+∞）B. （0，+∞）C. [1，+∞）D. （1，+∞）4. 掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是58π米，“弓”所在圆的半径为1.25米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，）( ) A. 1.012米B. 1.768米C. 2.043米D. 2.945米5. 在边长为4的等边△ABC 中，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）A. -6B. 6C. 0D.32-6. 若实数x ，y 满足1-210yx -+=，则y 关于x 的图象大致是（ ）A.B.C.D.7. 若函数y =f （x ），y =g （x ）的定义域均为R ，且都不恒为零，则（ ）A. 若y =f （g （x ））为偶函数，则y =g （x ）为偶函数B. 若y =f （g （x ））为周期函数，则y =g （x ）为周期函数C. 若y =f （x ），y =g （x ）均为单调递减函数，则y =f （x ）•g （x ）为单调递减函数D. 若y =f （x ），y =g （x ）均为奇函数，则y =f （g （x ））为奇函数8. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N =，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A. 22B.33C.212- D. 213-二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有：（ ）A. 若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；B. 若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；C. 若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；D. 若△ABC 为锐角三角形，则sin A <cos B ． 10. 数列的前项和为，若，*12()n n a S n N +=∈，则有A. 1=3n n S -B.为等比数列C. 1=23n n a -⋅D.11. 由函数f （x ）＝sin x 的图象得到函数()cos(2)3g x x π=-的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A. 先将()f x 的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度B. 先将()f x 的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C. 先将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） D. 先将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 12. 已知,,A B C 三点均在球的表面上，=2AB BC CA ==，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是（ ）A. 球O 的半径为32B. 球O 的表面积为6πC. 球O 的内接正方体的棱长为6D. 球O 的外切正方体的棱长为6三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量=(2,1),(1,2)a b =-，则向量b 在向量c a b =-方向上的投影为__________． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13＝6，则3a 9-2a 10＝_____ ___．15. 某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系kx b y e += (e =2.718为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.16. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数是()f x '，且满足()1()(0)0f x f x f '>-=，，则不等式()1x x e f x e >-的解集为______ _． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知数列{a n }满足：a 1=1，169n n na a a +-=（n ∈N *） （1）求证：数列13n a⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； （2）求数列{lg a n }的前999项和．18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2=2n S n n +，，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，． （1）求、； （2）求数列的前项和．19. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，AD =CD ，BA =7，BC =8.(1)若B =60°，求△ABC 外接圆的半径R ； (2)设CAB ACB θ∠-∠=，若33sin 14θ=，求△ABC 面积.20. 已知向量(2cos ,1),(2sin(),1)6a xb x π==+-，设函数()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 在(3,3)x ∈-上的单调递增区间; （2）若24sin ()16cos 6x af x x π+++>对任意(,)44x ππ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.21. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站．记P 到三个村庄的距离之和为y ． (1) 设∠PBO =α，把y 表示成α的函数关系式；(2) 变电站建于距离点O 多远处，它到三个小区的距离之和最小？ 说明理由.22.已知函数f （x ）=e x ，g （x ）=kx +1，且直线y =g （x ）和函数y =f （x ）的图象相切． （1）求实数k 的值；（2）设()()()h x f x g x =-，若不等式()()1m x h x x '-<+对任意x ∈（0，+∞）恒成立,（m ∈Z ，()h x ' 为()h x 的导函数），求m 的最大值.2021届高三数学滚动测试题答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z 满足：i •z =a +i ，则z =1-ai ，若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，则a ＜0，则“-1＜a ＜0”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的充分不必要条件，故选：B ． 2.【答案】D【解析】解：因为lg a ＋lg b ＝2，即lg a ＋lg b ，所以可得ab =100，且a >0,b >0,所以a ＋b，当且仅当a =b =10时，等号成立，所以(a ＋b )min =20.故答案为D . 3.【答案】C 【解析】解：∵f （a ）=a 2≥0，∴g （b ）=lg b ≥0，∴b ≥1；故选：C ．4.【答案】B【解析】解：根据题意作出下图，其中OC ⊥AB 于D ， 则弧的长为米，∴所以（米），故选B . 5.【答案】A【解析】解：由图可知：||=||=4，=4×=8，=（），=，所以•=（）•（-）=-（）==-6，故选：A ．6.【答案】A【解析】解：由21-y -|x +1|＝0，可得y ＝1-log 2|x +1|，通过对数函数的图象与性质可知， 只有图象A 大致符合．故选A . 7.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若y =f （g （x ））为偶函数，则可能g （x ）为奇函数，而f （x ）为偶函数，如f （x ）=cos x ，g （x ）=sin x ，A 错误；对于B ，若y =f （g （x ））为周期函数，可能f （x ）为周期函数，如f （x ）=sin x ．g （x ）=2x ，B 错误；对于C ，当f （x ）=-2x ，g （x ）=-3x ，均为单调递减函数，而y =f （x ）•g （x ）=6x 2，不是减函数，C 错误；对于D ，若y =f （x ），y =g （x ）均为奇函数，对于y =f （g （x ）），有f （g （-x ））=f （-g （x ））=-f （g （x ）），为奇函数，D 正确；故选：D ． 8.【答案】A【解析】解：设|NF 1|=m，因为，所以|MF 1|=3m ，由椭圆的定义可得|MF 2|=2a -3m ，|NF 2|=2a -m ， 在△MNF 2中，由余弦定理可得|MF 2|2=|MN |2+|NF 2|2-2|MN |•|NF 2|cos ∠MNF 2，即（2a -3m ）2=（4m ）2+（2a -m ）2-2•4m •（2a -m ）•，整理可得m =①在△NF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|NF 1|2+|NF 2|2-2|NF 1|•|NF 2|•cos ∠MNF 2，即（2c ）2=m 2+（2a -m ）2-2m•（2a -m ），即4c 2=+-，整理可得：=，所以椭圆的离心率e ==，故选：A ．9.【答案】AC【解析】解：选项A ：在中，若sin A ＞sin B ，则a ＞b ，即有,则A 正确,选项B :.若sin2A ＝sin2B ，则,故三角形不一定为等腰三角形,故B 错误.选项C :在中，由由可得：可得，由正弦定理可得：,故为直角三角形，故C 正确.选项D :.若为锐角三角形,,则，即，即sin A >cos B ,故D 错误.故选AC .10.【答案】ABD 【解析】解：∵，∴当n ≥2时，，两式相减得，，即，当n =1时，，∴数列从第二项起为公比为3的等比数列，∴ ,故C 错误，D 正确，由当n ≥2时，，所以，又满足上式，所以为等比数列，； 故A ，B 正确，故选ABD .11.【答案】AC 【解析】解：g (x )=(-2x )=(2x -)=(2x +)，方式一：先将f (x )=x 的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) ，再向左平移个单位长度；方式二：先将f(x )=x 的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，根据选项A，C正确. 故选AC.12.【答案】BD【解析】解：设球的半径为，△的外接圆圆心为，半径为.可得，因为球心到平面的距离等于球半径的，所以，得，，故A不正确；所以球的表面积，故B正确；球的内接正方体的棱长满足，解得a=，故C 不正确；球的外切正方体的棱长满足=，故D正确.故选BD. 13.14.【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S13＝6，得13a7＝6，解得，所以．故答案为.15.【答案】24【解析】解：由题意得==,=,当x=33时,y ===192=192=24(小时).故答案为24.16.【答案】【解析】解：设g(x )=,则,∵f'(x)>1-f(x),∴f(x)+f'(x)-1>0,∴g'(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增，∵,∴g(x)>-1,又∵g (0)==-1,∴g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集为，故答案为.17.【答案】解：（1）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=，故：=，所以：（常数），故：是以为首项，为公差的等差数列．………………5分（2）由（1）得，解之得：；所以，=lg3+lg（n+1）-lg n．………………7分则：T n=（lg3+lg2-lg1）+（lg3+lg3-lg2）+…+（lg3+lg（n+1）-lg n），=n lg3+lg（n+1），T999=3+999lg3 ………………10分18.【答案】解：（1）因为，当n＝1时，，当时，，所以，，由，得，；………………6分（2）由（1）知，，所以，，两式相减得：，所以，．………………12分19.【答案】解：（1）由余弦定理AC2=BA2+BC2-2BA•BC•cos B=57，解得；又，解得；∴△ABC外接圆的半径R 为…………4分（2）由AD=CD，所以∠DCA=∠DAC，所以θ=∠CAB-∠ACB=∠BAD；由，得；…………6分设BD=x，则DC=8-x，DA=8-x，在△ABD 中，由余弦定理得，解得x=3；所以BD=3，DA=5；…………8分由正弦定理，即，解得；…………10分所以，即△ABC的面积为10．…………12分20.【答案】解：（1）由题意，可得，=2x +2x-1=2x +2x =2(2x +)由-+2k2x++2k,k Z得-+kx+k,k Z又x (-3,3),f(x)在x(-3,3)上的单调增区间为(-3,-],[-,],[,3)………………6分(2)由题意x (-,),f(x +)=2(2x +)=22x>0原不等式等价于a 22x >6x-x -1,即a >恒成立 ………………8分 令g (x )===x+1(x) ………………10分因为x(-,),所以x =0,x =1时,g (x )的最大值为. 因此,a > ………………12分21.【答案】解：（1）在中，所以=OA =，,由题意知， .………………2分所以点P 到A ,B ,C 的距离之和为故所求函数关系式为..………………6分（2）由（1）得，..………………7分令,即，又，从而...………………8分当时，；当时,．所以当时，取得最小值，………………10分此时（km ），即点P 在OA 上距O 点km 处．答：变电站建于距O 点km 处时，它到三个小区的距离之和最小．………………12分 22.【答案】解：（1）设切点的坐标为（t ，e t ）， 由f （x ）=e x 求导得f ′（x ）=e x ，∴切线方程为y -e t =e t （x -t ），即y =e t x +（1-t ）e t ， 由已知y =e t x +（1-t ）e t 和y =kx +1为同一条直线， ∴e t =k ，（1-t ）e t =1，令r （x ）=（1-x ）e x ，则r ′（x ）=-xe x ，当x ∈（-∞，0）时，r ′（x ）＞0，r （x ）单调递增，当x ∈（0，+∞）时，r ′（x ）＜0，r （x ）单调递减， ∴r （x ）≤r （0）=1，当且仅当x =0时等号成立，∴t =0，k =1，..………………6分 （2）由于k =1，∴（m -x ）h ′（x ）＜x +1⇔（m -x ）（e x -1）＜x +1， ∵x ＞0，∴e x -1＞0，∴m ＜+x ，令φ（x ）=+x ，∴m ＜φ（x ）min ，φ′（x ）=，令t （x ）=e x -x -2，∵x ＞0，∴t ′（x ）=e x -1＞0，∴t （x ）在（0，+∞）单调递增，且t （1）＜0，t （2）＞0，∴t （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，且x 0∈（1，2）， 当x ∈（0，x 0）时，φ′（x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，φ′（x ）＞0， ∴φ（x ）min =φ（x 0）=+x 0，由t （x 0）=0，∴=x 0+2，∴φ（x 0）=x 0+1∈（2，3），又∵m ＜φ（x 0），m ∈Z ，∴m 的最大值为2．..………………12分。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

滚动评估检测(二)(第一至第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-1<0},B=,则A∩B= ( )A.(-1,1)B.(1,+∞)C. D.【解析】选D.A={x|x2-1<0}={x|-1<x<1},B=,所以A∩B=.2.“<1”是“>1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得,根据<1,解得x>0,又由>1,解得0<x<1,所以“<1”是“>1”的必要不充分条件.3.(2020·苏州模拟)已知向量a=(,1),b=(-3,),则向量b在向量a方向上的投影为( )A.-B.C.-1D.1【解析】选A.由投影的定义可知:向量b在向量a方向上的投影为:|b|·cos<a,b>,又因为a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.所以|b|·cos<a,b>===-.4.设a=,b=,c=ln,则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选B.由<1可得c=ln<0,由题意可得a>0,b>0,又因为函数f(x)=在区间(0,e)上单调递增,故f>f,即:>,则ln>ln,据此有:ln>ln,结合对数函数的单调性有:>,即a>b,综上可得:a>b>c.5.(2019·扬州模拟)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.向量a=(1,m),b=(m,1),若a∥b,则m2=1,即m=±1,所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.6.(2020·嘉兴模拟)函数y=sin x+sin2x的部分图象大致是 ( )【解析】选C.由奇函数的定义得y=sin x+sin2x是奇函数,排除选项B,又y=sin x+sin2x=sin x+sin xcos x=sin x(1+cos x),所以当x∈(0,π)时,函数y=sin x(1+cos x)>0,当x∈(π,2π)时,y=sin x(1+cos x)<0,排除选项D,又y′=cos x+cos2x,当x=π时,y′=0,所以函数在点(π,0)处的切线为x轴,排除选项A,故选C.7.已知A(2,1),B(6,x),C(10,0),D(3,8),若在上的投影为,则实数x的值为 ( )A.2B.-2C.4D.-4【解析】选C.依题意,=(4,x-1),=(7,-8),则在上的投影为===,解得x=4,故选C.8.△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,则= ( )A.+B.+C.+D.+【解析】选C.建立如图所示的直角坐标系,可得:C(0,0),A(0,3),B(4,0),由图知=λ,解得=λ+(1-λ)=(4-4λ,3λ),又⊥,=(4,-3),所以4×(4-4λ)+(-3)×3λ=0,λ=,所以=+.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知集合A={0,1,2},B={a,2},若B⊆A,则a的值为( )A.0B.1C.2D.【解析】选AB.由B⊆A可知B={0,2}或B={1,2},所以a=0或1.10.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).则以下说法正确的是( )A.函数f(x)的周期是4B.f(x)的图象关于直线x=2对称C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数【解析】选ABC.由f(x)+f(x+2)=0得f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期是4,又由f(4-x)=f(x)得f(x)的图象关于直线x=2对称;由f(4-x)=f(x)与f(x+4)=f(x)得f(4-x)=f(-x),f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.11.在△ABC中,内角A,B所对的边分别为a,b,若acos A=bcos B,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选AB.由acos A=bcos B可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,故2A=2B或2A+2B=π,故A=B或A+B=,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.12.若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则下列结论不正确的是( )A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0【解析】选BCD.因为x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,所以f′(1)=0,所以a+=0,所以a=-1,所以f(1)=-1,f′(x)=-1+=,当x>1时,f′(x)<0,当0<x<1时,f′(x)>0,因此f(x)有极大值-1. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=sin (ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为______;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]的零点个数为________. 【解析】由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取到最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈N,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=f-=sin x-在区间[0,22]上的零点个数是8个.答案:1+12k(k∈N) 814.(2019·菏泽模拟)如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是________.【解析】因为=-,=2,=+=2-,所以=-=2-(2-)=3-2,又,不共线,=x+y,所以x+y=3-2,所以x=3,y=-2,x+y=1. 答案:115.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,则不等式f(x)<0的解集是______________. 世纪金榜导学号【解析】由题意得,f(x)<0等价于或即或解得x>2或-2<x<0,所以不等式的解集是(-2,0)∪(2,+∞).答案:(-2,0)∪(2,+∞)16.函数y=f(x)=x2e x在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围为________.【解析】y′=2xe x+x2e x=xe x·(x+2),令y′=0,则x=0或-2,当-2<x<0时,f(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数的极值点.因为f(x)=x2e x在(a,a+1)上存在极值点,所以a<-2<a+1或a<0<a+1,所以-3<a<-2或-1<a<0.答案:(-3,-2)∪(-1,0)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·石家庄模拟)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.【解析】(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0,f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4ln x=x--4ln x-2(x>0),所以g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如表:x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗极大值↘极小值↗当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,所以g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.所以g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos B+bcos C=2acos A.(1)求A;(2)若a=2,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解析】(1)因为ccos B+bcos C=2acos A,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos A.所以sin(B+C)=2sin Acos A,sin A=2sin Acos A.因为A∈(0,π),所以sin A≠0,cos A=,所以A=.(2)因为△ABC的面积为,所以bcsin A=bc=,bc=4.由a=2,A=及a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-4,所以b2+c2=8,又bc=4,所以b=c=2,所以△ABC的周长为6.19.(12分)(2019·大庆模拟)已知向量a=,b=(sin x,cos x),f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合M.(2)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若+∈M且c=1,求△ABC的周长的取值范围.【解析】(1)a=(cos x,-cos x),f(x)=a·b=sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x-=sin-,所以f(x)的最大值为1-,此时2x-=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z,所以M=.(2)因为+∈M,所以+=kπ+,k∈Z,C=2kπ+,k∈Z,因为C∈(0,π),所以C=,因为c=1,由c2=b2+a2-2abcos C得c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-=,所以a+b≤2,又因为a+b>1,所以2<a+b+c≤3,即△ABC的周长的取值范围为(2,3].20.(12分)(2019·泰州模拟)已知函数f(x)=e x cos x-x. 世纪金榜导学号(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=e x·cos x-x,所以f(0)=1,f′(x)=e x(cos x-sin x)-1,所以f′(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-1=0·(x-0),即y=1.(2)f′(x)=e x(cos x-sin x)-1,令g(x)=f′(x),则g′(x)=-2e x sin x≤0在上恒成立,且仅在x=0处等号成立,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f′(x)≤0且仅在x=0处等号成立,所以f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值.(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】(1)当a=时,f(x)=ln x-x,f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表.x (0,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 -f(x) ↗ln 2-1 ↘所以f(x)极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)由(1)知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0).①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值点;②当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在x=处有极大值.综上,当a≤0时,f(x)无极值点,当a>0时,f(x)有一个极大值点x=.22.(12分)(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),其中A>0,ω>0,φ∈(0,π),x∈R,且f(x)的最小值为-2,f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,f的图象关于原点对称. 世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间.(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且(4a2-2ac)cos B=a2+b2-c2,求f(B).【解析】(1)由已知,A=2,因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,所以T==4π,解得ω=,又因为f的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于对称,所以×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,又因为φ∈(0,π),所以φ=,所以f(x)=2sin.由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)在△ABC中,由已知及余弦定理得(4a2-2ac)=a2+b2-c2,即a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=,f(B)=f=2sin=.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

姓名，年级：时间：专项突破 高考学科素养专练专项突破一 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 1。

已知集合M =｛0,1，2｝，N ={x |｜x — 1|≤1}，则 ( ） A.M =N B 。

N ⊆M C 。

M ∩N =M D.(∁R M ）∪N =R 2.已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ） A .复数z =1+2i1-i 的虚部为32B 。

复数z =2+5i -i的共轭复数z -= - 5 — 2i C 。

复数z =12 − 12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z∈R，则z ∈R 3.采购经理指数（简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用。

制造业PMI 在50％以上，通常反映制造业总体扩张，低于50％，通常反映制造业总体衰退。

如图1 — 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是 （ )图1 - 1A.大部分月份制造业总体衰退B 。

2019年3月制造业总体扩张最大C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长D.2019年10月的PMI 为49。

3%，比上月下降0。

5个百分点4。

已知函数f (x ）={x 2,x ≤0,-x 2,x >0,则下列结论中正确的是( )A 。

f ( - 2）=4B 。

若f (m ）=9，则m =±3 C.f （x )是偶函数D.f （x )在R 上单调递减5。

已知（ax 2+√x )n(a 〉0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D 。

展开式中含x 15项的系数为45 6。

已知向量a =（1,2），b =(m ，1）(m <0），且满足b ·（a +b )=3,则 ( ） A 。

滚动评估检测(二)(第一至第五章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-1<0},B=,则A∩B= ( )A.(-1,1)B.(1,+∞)C. D.【解析】选D.A={x|x2-1<0}={x|-1<x<1},B=,所以A∩B=.2.“<1”是“>1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得,根据<1,解得x>0,又由>1,解得0<x<1,所以“<1”是“>1”的必要不充分条件.【变式备选】“若x=0或x=1,则x2-x=0”的否命题为( )A.若x=0或x=1,则x2-x≠0B.若x2-x=0,则x=0或x=1C.若x≠0或x≠1,则x2-x≠0D.若x≠0且x≠1,则x2-x≠0【解析】选D.“若x=0或x=1,则x2-x=0”的否命题为:若x≠0且x≠1,则x2-x ≠0.3.(2020·太原模拟)已知向量a=(,1),b=(-3,),则向量b在向量a方向上的投影为( )A.-B.C.-1D.1【解析】选A.由投影的定义可知:向量b在向量a方向上的投影为:|b|·cos<a,b>,又因为a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.所以|b|·cos<a,b>===-.【变式备选】(2020·泰安模拟)在△ABC中,M为AC中点,=,=x+y,则x+y=( ) A.1 B. C. D.【解析】选B.=+=+=+(-)=-,故x=-1,y=⇒x+y=.4.设a=,b=,c=l n,则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选B.由<1可得c=ln<0,由题意可得a>0,b>0,又因为函数f(x)=在区间(0,e)上单调递增,故f>f,即:>,则ln>ln,据此有:ln>ln,结合对数函数的单调性有:>,即a>b,综上可得:a>b>c.5.(2019·石家庄模拟)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.向量a=(1,m),b=(m,1),若a∥b,则m2=1,即m=±1,所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.6.(2020·嘉兴模拟)函数y=sin x+sin2x的部分图像大致是( )【解析】选C.由奇函数的定义得y=sin x+sin2x是奇函数,排除选项B,又y= sin x+sin2x=sin x+sin xcos x=sin x(1+cos x),所以当x∈(0,π)时,函数y=sin x(1+cos x)>0,当x∈(π,2π)时,y=sin x(1+cos x)<0,排除选项D,又y′=cos x+cos2x,当x=π时,y′=0,所以函数在点(π,0)处的切线为x轴,排除选项A,故选C.7.(2020·渭南模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos 2A=sin A,bc=2,则△ABC的面积为( )A. B. C.1 D.2【解析】选A.由cos 2A=sin A,得1-2sin2A=sin A,解得sin A=(负值舍去),由bc=2,可得△ABC的面积S=bcsin A=×2×=.8.函数f(x)=x2+x l n x-3x的极值点一定在区间( )A.(0,1)内B.(1,2)内C.(2,3)内D.(3,4)内【解析】选B.函数的极值点即导函数的零点,f′(x)=x+l n x+1-3=x+l n x-2,则f′(1)=-1<0,f′(2)=l n 2>0,由零点存在性定理得f′(x)的零点在(1,2)内. 9.(2020·兰州模拟)向量a=,b=(cos α,1),且a∥b,则cos=( ) A.- B. C.- D.-【解析】选A.因为a=,b=(cos α,1),a∥b,所以×1-tan αcosα=0,sin α=,所以cos=-sin α=-.10.(2020·合肥模拟)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且=,=,AC,MN交于点P.若=λ,则λ的值为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为=,=,所以=λ=λ(+)=λ=λ+λ.因为点M,N,P三点共线,所以λ+λ=1,则λ=.11.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1+x)=f(1-x),f(4+x)=f(4-x),且-3<x≤3时, f(x)=l n(x+),则f(2 018)= 世纪金榜导学号( ) A.0 B.1C.l n(-2)D.l n(+2)【解析】选D.因为f(1+x)=f(1-x),f(4+x)=f(4-x),所以f(x)=f(2-x),f(x)=f(8-x),所以f(2-x)=f(8-x),所以T=8-2=6,所以f(2 018)=f(2)=ln(2+).12.(2020·郑州模拟)若函数y=f(x)存在n-1(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n 折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)e x-x(x+2)2,则f(x)为( )世纪金榜导学号A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数【解析】选C.f′(x)=(x+2)e x-(x+2)(3x+2)=(x+2)(e x-3x-2),令f′(x)=0,得x=-2或e x=3x+2.易知x=-2是f(x)的一个极值点,又e x=3x+2,结合函数图像,y=e x 与y=3x+2有两个交点.又e-2≠3(-2)+2=-4.所以y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·宝鸡模拟)已知函数f(x)=2sin的图像经过点(0,1),则该函数的振幅为____________,最小正周期T为________________,频率为________________,初相φ为________________.【解析】振幅A=2,最小正周期T==6,频率f=.因为图像过点(0,1),所以2sinφ=1,所以sin φ=,又因为|φ|<,所以φ=.答案:2 614.(2019·菏泽模拟)如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是________________.【解析】因为=-,=2,=+=2-,所以=-=2-(2-)=3-2,又,不共线,=x+y,所以x+y=3-2,所以x=3,y=-2,x+y=1.答案:115.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-l og2x,则不等式f(x)<0的解集是____________________________.【解析】由题意得,f(x)<0等价于或即或解得x>2或-2<x<0,所以不等式的解集是(-2,0)∪(2,+∞).答案:(-2,0)∪(2,+∞)【变式备选】若f(x)=l n(e x+1)+kx是偶函数,则k=________________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以ln-k=ln(e+1)+k,k=-,经检验k=-符合题意.答案:-16.函数y=f(x)=x2e x在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围为________________. 世纪金榜导学号【解析】y′=2xe x+x2e x=xe x·(x+2),令y′=0,则x=0或-2,当-2<x<0时,f(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数的极值点.因为f(x)=x2e x在(a,a+1)上存在极值点,所以a<-2<a+1或a<0<a+1,所以-3<a<-2或-1<a<0.答案:(-3,-2)∪(-1,0)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·合肥模拟)已知sin α=,求tan(α+π)+的值. 【解析】因为sin α=>0,所以α为第一或第二象限角.tan(α+π)+=tan α+=+=.①当α为第一象限角时,cos α==,原式==.②当α为第二象限角时,cos α=-=-,原式==-.综合①②知,原式=或-.18.(12分)(2020·石家庄模拟)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=-4l n x的零点个数.【解析】(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0,f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4ln x=x--4ln x-2(x>0),所以g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如表:x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗极大值↘极小值↗当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,所以g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.所以g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.19.(12分)已知函数f(x)=l n x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值.(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】(1)当a=时,f(x)=l n x-x,f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表.x (0,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 -f(x) ↗ln 2-1 ↘所以f(x)极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)由(1)知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0).①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值点;②当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在x=处有极大值.综上,当a≤0时,f(x)无极值点,当a>0时,f(x)有一个极大值点x=.20.(12分)(2020·运城模拟)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=. 世纪金榜导学号(1)求AB的长.(2)求cos的值.【解析】(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.由正弦定理得=,所以AB===5.(2)在△ABC中,因为A+B+C=π,所以A=π-(B+C),又因为cos B=,sin B=,所以cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos+sin Bsin=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.21.(12分)(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),其中A>0,ω>0,φ∈(0,π),x∈R,且f(x)的最小值为-2,f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,f的图像关于原点对称. 世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间.(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且(4a2-2ac)cos B=a2+b2-c2,求f(B).【解析】(1)由已知,A=2,因为f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,所以T==4π,解得ω=,又因为f的图像关于原点对称,所以f(x)的图像关于对称,所以×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,又因为φ∈(0,π),所以φ=,所以f(x)=2sin.由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)在△ABC中,由已知及余弦定理得(4a2-2ac)=a2+b2-c2,即a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=,f(B)=f=2sin=.22.(12分)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 世纪金榜导学号【解析】(1)因为f(x)=e x·cos x-x,所以f(0)=1,f′(x)=e x(cos x-sin x)-1,所以f′(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-1=0·(x-0),即y=1.(2)f′(x)=e x(cos x-sin x)-1,令g(x)=f′(x),则g′(x)=-2e x sin x≤0在上恒成立,且仅在x=0处等号成立,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f′(x)≤0且仅在x=0处等号成立,所以f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.。

2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。

2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。

$\{2\}$。

B。

$\{2,3\}$。

C。

$\varnothing$。

D。

$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。

$6-2i$。

B。

$4-2i$。

C。

$6+2i$。

D。

$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2.B。

2$\sqrt{2}$。

C。

4.D。

4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。

$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。

B。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。

C。

$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。

D。

$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B =A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}2．已知2i z =-，则(i)z z += A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数π()7sin()6f x x =-单调递增的区间是A ．π(0,)2B ．π(,π)2C ．3π(π,)2D ．3π(,2π)25．已知1F ，2F 是椭圆22194x y C +=：的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为 A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则 A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题3.2 函数的单调性与最值（真题测试）一、单选题1．（2014·北京·高考真题（文））下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x = 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意； 对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.2．（2020·山东·高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数 【答案】C【解析】【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立， 等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数.故选：C3.（2015·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（ ）A ．函数的最大值是1B ．函数图象的对称轴是直线1x =C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞D ．函数图象过点()2,0【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】 ()22211y x x x =-+=--+，最大值是1，A 正确；对称轴是直线1x =，B 正确；单调递减区间是[)1,+∞，故C 错误；令2x =的22220y =-+⨯=，故()2,0在函数图象上，故D 正确，故选：C4．（2021·全国·高三专题练习）函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（ ） A ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[)2,+∞ 【答案】B【解析】【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩如图所示：函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞． 故选：B.5．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】 分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断. 【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数 可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件.故选：C.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，并且对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（ ） A ．(0)(3)f f <B ．(2)(2)f f =-C ．(2)f f <-D ．1)1)f f <【答案】C【解析】【分析】根据题意得到函数()f x 关于2x =对称，且在区间(,2)-∞上单调递减函数，在区间(2,)+∞上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解．【详解】由函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，可得函数()f x 关于2x =对称， 又由对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-， 可得函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减函数，则在区间(2,)+∞上单调递增函数，由()(0)4(3)f f f =>，所以A 不正确；由(2)(2)f f <-，所以B 不正确；由()(6)2f f f <=-，所以C 正确；1212->-，所以))11f f >，所以D 不正确. 故选：C.7．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x -=-，且[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()33f =．若对()1,3x ∀∈，()230f x a -->恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,9-B ．[]1,7-C ．()(),19,-∞-+∞ D ．(][),17,-∞-+∞【答案】D【解析】【分析】 由抽象函数单调性和对称性的定义可得()f x 在[)1,+∞上单调递增，在(],1-∞上单调递减且()()133f f -==，由此可将恒成立的不等式化为23x a ->或21x a -<-，分离变量后，根据函数最值可得a 的范围.【详解】[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增；()()13f x f x -=-，()f x ∴图象关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减；()33f =，()()133f f ∴-==；由()230f x a -->知：()()23f x a f ->或()()21f x a f ->-，23x a ∴->或21x a -<-，23a x ∴<-或21a x >+，()1,3x ∈，1a ∴≤-或7a ≥，即a 的取值范围为(][),17,-∞-+∞.故选：D. 8．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】分0m ≥和0m <进行分类讨论，分别确定m 的取值范围，最后综合得答案.【详解】0m ≥时，()()()22220f x m mf x x m mx ++=++>，符合题意；0m <时，()()20f x m mf x ++>，即()())2f x m mf x f+>-=显然()f x 在R 上递增，则2x m +>对1x ∀≥恒成立 (120x m +>对1x ∀≥恒成立则：10104120m m ⎧⎪⇒-<<⎨>⎪⎩； 综上，1,4m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭， 故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）函数()21x a f x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <- 【答案】AC【解析】分离常数()221a f x x +=-+，根据()f x 在区间()b +∞，上单调递增，可得201a b +>⎧⎨≥-⎩，从而可得出选项.【详解】()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b .故选：AC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数23()4x f x x +=+，则下列叙述正确的是（ ） A ．()f x 的值域为()(),44,-∞--+∞ B ．()f x 在区间(),4-∞-上单调递增 C ．()()84f x f x +--=D ．若{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为-3 【答案】BCD【解析】【分析】 将函数转化为()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++，再逐项判断. 【详解】 函数()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++， A. ()f x 的值域为()(),22,-∞+∞，故错误；B. ()f x 在区间(),4-∞-上单调递增，故正确；C. ()23()8134442x x x f x f x x ++=--++++=，故正确； D. 因为{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为(3)3f -=-，故正确；故选：BCD11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(12)3221a x a y a x -++=+-（a 是常数）在[2,5]上的最大值是5，则a 的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解.【详解】令(12)324()221211a x a f x y a a a x x -++==+=++---（a 是常数）， 因为[2,5]x ∈，所以41[2,5]1x +∈+. 若1a ≤，44()212111f x a a x x =++-=+--的最大值为5，符合题意； 当512a <≤时，()f x 的最大值为(2)f 与(5)f 中较大的数，由(2)(5)f f =， 即2|52|2|22|a a a a +-=+-，解得74a =， 显然当714a <≤时，()f x 的最大值为5，当74a >时，()f x 的最大值不为定值. 综上，当74a ≤时，()f x 在[2,5]上的最大值是5，结合选项可知，a 的值可能是0或1， 故选AB . 12．（2022·江苏·二模）已知定义在[]1,6上的函数()4f x x x=+，则（ ） A ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长B ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 不能作为一个三角形的三条边长C ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均不能成为一个直角三角形的三条边长D ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 能成为一个直角三角形的三条边长【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在定义区间上的最值，再结合构成三角形、直角三角形的条件判断作答.【详解】函数()4f x x x =+在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，min ()(2)4f x f ==，max 20()(6)3f x f ==，任意[],,1,6a b c ∈，不妨令()()()f a f b f c ≥≥，则min max ()()2()2()()()f b f c f c f x f x f a +≥≥>≥，即()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取2,2a b c ===，满足[],,1,6a b c ∈，则()()4,()f a f b f c ===显然有222[()][()][()]f a f b f c +=，即()f a ，f b ，()f c 为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确. 故选：AD三、填空题13．（2022·山东淄博·三模）设()()232,2x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩．若()()2f a f a =+，则=a __________． 【答案】19【解析】【分析】由分段函数各区间上函数的性质有02a <<3a =，即可求结果.【详解】由y =(0,2)上递增，3(2)y x =-在(2,)+∞上递增，所以，由()()2f a f a =+，则02a <<，3a =，可得19a =. 故答案为：19 14．（2022·湖北武汉·模拟预测）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【解析】【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可， 设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞15．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数()f x 为定义在R 上的函数，对任意的R x ∈，均有()()22f x f x +=-成立，且()f x 在[)2,+∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()10f x -≥的解集为__________．【答案】[]0,6##}{06x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解.【详解】由题意，因为函数()f x 对任意的R x ∈均有()()22f x f x +=-，所以可得函数()f x 的图象关于2x =对称，又由()f x 在[)2,+∞上单调递减，则()f x 在(,2)-∞上单调递增，因为()10f -=，可得()()510f f =-=，则不等式()10f x -≥，可得115x -≤-≤，解得06x ≤≤，所以不等式()10f x -≥的解集为[]0,6.故答案为：[]0,6.16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____.【解析】【分析】设(1)f a =，令1x =、1x a =+求得()1111f f a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，结合()f x 单调性求出a 值，代入()f x 验证即可得结果.【详解】设(1)f a =，令1x =得：()()()111111f f f a f a⎡⎤+=⇒+=⎣⎦； 令1x a =+得：()()()111111111f f a f a f a f a a a ⎡⎤⎛⎫++=⇒+== ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭，因为()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，所以1111a a a +=⇒=+，当()1f a ==时，由()()11111101a f a f a a a a +>⇒+>⇒>⇒<-<<或矛盾.故()1f a ==.四、解答题17．（2021·江苏·高三）比较2ππ1+，103【答案】2ππ1013+<<【解析】【分析】构造()21x f x x+=，函数在()1,+∞上单调递增，3π<<. 【详解】设()21x f x x +=，故()211x f x x x x+==+，函数在()1,+∞上单调递增.故3π<<()()3πf f f <<，即2ππ1013+<< 18．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【答案】(1)()()20s y bv a v c v =+<≤ (2)答案见解析【解析】【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式； （2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论.(1)由题意知：每小时可变部分的成本为2bv ，全程运输时间为s v时， ∴全程运输成本()()20s y bv a v c v=+<≤. (2)由（1）得：a y s bv v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，c >时，y 在(]0,c 上单调递减；则当v c =时，y 取得最小值；c 时，y 在⎛ ⎝上单调递减，在c ⎤⎥⎦上单调递增；则当v =y 取得最小值；c >时，应以速度c c . 19．（2021·上海浦东新·一模）已知函数2()1=++f x x ax ，a R ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()()(0)f x g x x x=>，写出函数()g x 的单调递增区间并用定义证明. 【答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞，证明见解析【解析】【分析】（1）分0a =、0a ≠两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；（2）求得1()g x x a x=++，可以确定()g x 的单调递增区间为[)1,+∞，之后利用函数单调性证明即可.(1)当0a =时，2()1f x x =+，定义域为R ， 任选x ∈R ，都有2()1()f x x f x -=+=，所以0a =时函数()f x 为偶函数；当0a ≠，(1)2,(1)2f a f a -=-=+则(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-； 0a ≠时函数()f x 既非奇函数又非偶函数；(2)函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞. 证明：()1()f x g x x a x x==++， 任取[)12,1,,x x ∈+∞且12x x <，1212121212111()()()()(1)g x g x x a x a x x x x x x -=++-++=--1212121()()x x x x x x -=-， 由于12x x <，则120x x -<；由于[)12,1,x x ∞∈+，则121210x x x x ->； 所以1212121()()0x x x x x x --<，即12()()f x f x <. 函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞.20．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2) 因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 21．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知函数()f x 的定义域为R ，,a b ∀∈R ，()()()f a f a b f b -=，且当0x >时，()1f x >.(1)求(0)f ，并写出一个符合题意的()f x 的解析式；(2)若()()22248f m m f m +>-，求m 的取值范围. 【答案】(1)(0)1f =，()2x f x =（答案不唯一） (2)423,⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用特殊值求出()0f ，再根据指数的运算性质得到()f x 的一个解析式；（2）令2a b =，即可得到()0f x >，再利用单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；(1) 解：因为(),,()()f a a b f a b f b ∀∈-=R ，所以()0f x ≠. 令a b =，得()(0)1()f a f f a ==. 所以()f x 的一个解析式为()2x f x =（答案不唯一）.(2) 解：令2a b =，则2()02a f a f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()0f x >. 令12x x <，则()()()2211f x f x x f x -=. 因为当0x >时，()1f x >，所以()()()22111f x f x x f x -=>. 因为()0f x >，所以()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.不等式()()22248f m m f m +>-等价于22248m m m +>-， 即23280m m --<，解得423m -<<，即m 的取值范围是423,⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24(1)f x x ax a =-+≥，2()1x g x x =+. (1)求函数()y f x =的最小值()m a ；(2)若对任意12,[0,2]x x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)24,12()84,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩(2)1a ≤<【解析】【分析】（1）先将()f x 的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0,2]的位置关系，可求出函数()y f x =的最小值()m a ；（2）根据函数的单调性求出函数()f x 的最小值和()g x 的最大值，然后使()()21min max f x g x >，建立关系式，解之即可求出答案.(1)由()()222244f x x ax x a a =-+=-+-，则二次函数的对称轴为x a =，则当12a ≤<时，()f x 在[)0,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增，所以 ()()()2min 4m a f x f a a ===-；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，()()()min 284m a f x f a ===- ，所以()24,1284,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩； (2)()()1121g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，[]11,3x +∈，又()g x 在区间[0,2] 上单调递增，所以()40,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.若对任意12,[0,2]x x ∈，()()21f x g x >恒成立 则()()21min max f x g x >，故212443a a ≤<⎧⎪⎨->⎪⎩或24843a a ≥⎧⎪⎨->⎪⎩解得：1a ≤<.。

专题 3 阶段滚动检测(二)一、单项选择题1．已知集合A＝｛x|－2≤x≤3｝，B＝｛x|x2－3x≤0｝，则A∪B等于( )A．[－2,3] B．[－2,0]C．[0,3] D．[－3,3]2．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q 的充分不必要条件，则实数a A ．a ≤1 B ．a≥1 C ．a ≥－1 D．a≤－313．(2020 重·庆模拟)命题p：? x0>0，x0＋x＝2，则綈p 为( )A ．?x>0，1x＋＝2 x1B．? x>0，x＋≠2xC．? x≤0，x＋x1＝21D．? x≤0，x＋≠ 2xlog3 x＋m －1，x≥0，4．已知函数f (x)＝1 ，x<02 019的图象经过点(3,0)，则f (f (2))等于(A．2 0191B.2 019C．2 D．15．若函数1f (x)＝3x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为()A ．2B ．－2 C．6 D．－66．三个数a＝0.312，b＝log20.31，c＝20.31之间的大小关系为()A．a<c<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a7．(2019 ·湖南师大附中博才实验中学月考)函数f (x)＝x e1－＋1e x(其中e为自然对数的底数x 1 －e 的取值范围是( ))的图象大致为( )8．函数f (x)＝2e x－a(x－1)2有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A. e4，1 B．(1,2 e] C. 0，e23二、多项选择题D. －∞，e329．已知a>b>0 ，c>1 ，则下列各式不成立的是()A ．sin a>sin b B．c a>cbc－1c－1C．a c<b c D. <b a10．下列命题为假命题的是()A．“ A∩ B＝A”的充要条件是“A? B”B．若a，b，c∈R ，则“ ac2>bc2”是“ a>b”的充分不必要条件x 2y2C．若椭圆1x6＋2y5＝1的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ ABF2的周长为16xD ．“ a ＝1”是“函数 f (x)＝a － ex 在定义域上是奇函数”的充要条件 1＋ aey ＝tan x ＋ta 1n x ，0<x<2πtan x 2D ．f (x)＝ log 1 (2 x) ＋12三、填空题13．已知函数 f ( x)＝ x 2＋ 2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－∞， 5］上为减函数，则实数 a 的取值范围为 __________ ；当 a＝2 时，函数 f (x)在 ［－ 3,2］上的值域为 ______ ．ππ14．在曲线 f (x)＝sin x －cos x ，x ∈－2，2的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 ___________________ ．115．设函数 f (x)＝ e x －e x －2x ，若 f (a －3)＋f (2a 2)≤0，则实数 a 的取值范围为 ______________ ．x － 1＝x .其中为“敛 1 函数”的有 _________ ． (填序号 )四、解答题17．设函数 f (x)＝ 6＋x ＋ln(2－x)的定义域为 A ，集合 B ＝ { x|2x >1} ． (1) 求 A ∪ B ；(2) 若集合 {x|a<x<a ＋1}是 A ∩B 的子集，求实数 a 的取值范围．11．在下列函数中，其中最小值为 2 的函数的是 ( ) A ． 1 y ＝ x ＋ xB ．x 2＋2 y ＝x 2＋1C ．y ＝log 2x ＋log x 2(x>0 且 x ≠1) D ．12． 列函数中，满足“对任意的 x 1， x 2∈ (0，＋∞ )，使得 f x 1 － f x 2f x x 11－－f x2x2 <0”成立的是 ( ) A ．f (x)＝－ x 2－ 2x ＋1 B ． f (x)＝x －1xxC ． f (x)＝ x ＋ 116．对一定义域为D 的函数y＝f (x)和常数c，若对任意正实数ξ，? x∈D 使得0<|f (x)－c|<ξ成立，则称函1数y＝f (x)为“敛c 函数”，现给出如下函数：①f (x)＝x(x∈Z)；②f (x)＝2x＋1(x∈Z)；③f (x)＝log2x；④f (x) 18．计算：(1)( 3－1)0＋3－π2＋2 log2 3(2)2lg 5＋lg 5＋2log23a19．(2019 天·津调研)设函数f (x)＝lg x＋1(a∈R)，且f (1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 求f (x)的定义域；(3) 判断f (x)在区间(0，＋∞ )上的单调性，并用单调性定义证明．20．为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10 万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%，则用户人数会增加x万人．8 (1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x 的取值范围；(2)为了布局“ 5G 网络”，该公司拟定投入资金进行5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2 元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x 的值．(总盈利资金＝总收入资金－总投入资金)1421．已知函数f (x)＝3x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2 处取得极小值－3.(1) 求函数f (x)的单调递增区间；1 10(2)若3x3＋ax＋b≤m2＋m＋3对x∈［－4,3］恒成立，求实数m 的取值范围．33122．(2019 ·北京四中期中)已知函数f (x)＝ln x＋x.x(1) 求函数f (x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝( x＋1)ln x－x＋1，证明：当x>0且x≠ 1时，x－1与g( x)同号．1． A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8． C 9.ACD 10.CD11 111．ABD [对于 A ，y ＝ x ＋x ＝|x|＋ 3≥2 |x| ·1 ＝ 2，当且仅当 x ＝±1 时取等号，正确； x |x| |x|1 ＋ 1 ≥ 2，当且仅当 x ＝0 时取等号，正确； x 4 5＋1对于 C ，当 x ∈ (0,1)时， log x 2<0 ， log 2x<0 ，得 y ＝ log 2x ＋ log x 2(x>0且 x ≠ 1)的最小值不可能为 2，错误；π1对于 D ，x ∈ 0，2π，所以 tan x ∈(0，＋∞)，令 tan x ＝ t ，所以 t ∈(0，＋∞)，所以 y ＝ t ＋ 1t ≥ 2，当且仅当 t ＝1 时取等号，正确． ]12．AD [根据题意， “ 对任意的f x 1 － f x 2x 1，x 2∈(0，＋ ∞)，使得<0 ”，则函数 f (x)在(0，＋ ∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x)＝－x 2－2x ＋1为二次函数，其对称轴为 x ＝－1，在(0，＋∞) 上单调递减，符合题意；对于选项B ，f (x)＝x －1x ，其导数 f ′ (x) ＝ 1＋ x 12>0 ，所以 f (x)在(0，＋ ∞ )上单调递增，不符合题意；对于选项 C ，f (x)＝x ＋1为一次函数，所以 f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对 于选项 D ，f (x)＝ log 1 (2 x) ＋ 1，在(0，＋ ∞ )上单调递减，符合题意． ]213． (－∞，－ 4] [1,10] 14.x －y －1＝0 3 15. － 2， 11解析 根据题意，函数 f (x)＝ e x － e 1x － 2x ，e1其导数 f ′ (x)＝e x ＋ 1x －2，e3f ′(x)＝e x ＋ x － 2≥0 恒成立，e则函数 f (x)在 R 上为增函数，又因为 f (－ x)＝ e －x － e x ＋ 2x ＝－ f (x)， 所以 f (x)为奇函数，原式等价于 f (a －3)≤－f (2a 2)， f (a －3)≤f(－2a 2)，a －3≤－2a 2,2a 2＋a －3≤ 0，5(2a ＋3)(a －1)≤0，－ 2≤a ≤1. 16．②③④解析 由新定义知，对任意正实数 ξ，? x ∈ D 使得 0<|f (x)－ c|<ξ成立，答案精析对于 B ，y ＝ x x ＋2＋21＝ x 2＋1即 0<|f (x)－c|<ξ有解．对于函数 ① 解得，1－ξ<x<1＋ξ，且x ≠1，x ∈Z ，因为 ξ为任意正实数，所以无解，故函数 ①不是“敛1函数”；对于函数 ② 解得，x>－log 2ξ且 x ∈Z ，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－ξ<x<21＋ξ，且 x ≠2，故函数③是“敛11函数”；对于函数 ④解得， |x|>1ξ，故函数 ④是“敛 1函数”．因此正确答案为 ②③④ .6＋ x ≥ 0 ，17．解 (1)由得，－ 6≤x<2，2－ x>0由 2x >1 得， x>0， ∴A ＝[－ 6,2)，B ＝(0，＋ ∞)，∴A ∪B ＝[－6，＋ ∞)．(2)A ∩B ＝(0,2)，∵集合 {x|a<x<a ＋1}是 A ∩B 的子集，a ≥ 0，∴ 解得 0≤ a ≤1，a ＋1≤2， ∴a 的取值范围是 [0,1] ．18． 解 (1)原式＝ 1＋ |3－ π＋|2＝ 1＋ π－ 3＋2＝π. 2(2)原式＝ lg 25＋lg 5＋3 2＝lg ×25 ＋ 3＝4.5a19．解 (1)根据题意，函数 f (x)＝ lg x ＋1(a ∈R)，且 f (1)＝0，＋aa则 f (1)＝lg 2＝0，则 2＝1，解得 a ＝2.2必有x ＋ 1>0，解得 x>－1，即函数 f (x)的定义域为 (－1，＋ ∞ )．2(3)根据题意， f (x)＝ lg x ＋ 1在(0，＋ ∞ )上的单调递减，证明：设 0<x 1<x 2 ，22 f (x 1)－ f (x 2)＝ lg －lg x 1＋1 x 2＋ 1x 2＋1＝lg x x 21＋＋11＝lg （x 2＋1）－lg （x 1＋1），又由 0<x 1<x 2，则 lg(x 2＋ 1)>lg( x 1＋ 1)，(2)根据题意， f （x ）＝ lg2，x ＋ 1，即f (x1)－f (x2)>0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．20． 解 (1)根据题意，设该公司的总收入为 W 万元，则 W ＝50 10＋x 1－ x ， 0<x<100，8 100若该公司月总收入不减少，xx则有 50 10＋ 1－≥ 10×50，8 100解得 0<x ≤ 20.(2) 设该公司盈利为 y 万元，x x xx2则 y ＝50 10＋8 1－100 －2 10＋8 ＝－ 16＋x ＋480,0<x<100， 结合二次函数的性质分析可得，当 x ＝ 8时，该公司的总盈利最大．21． 解 (1)f ′(x)＝x 2＋a ，由 f ′(2)＝0得 a ＝－4，41由 f (2)＝－ 3得 b ＝ 4，则 f (x) ＝3x 3－4x ＋ 4，33令f ′(x)＝x 2－4>0得x>2或 x<－2，∴f (x)的单调递增区间为 (－∞，－ 2)，(2，＋ ∞)．(2)由 f (－4)＝－34，f (－2)＝238，f (2)＝－43，f (3)＝1，28 2 10 即 ≤ m 2＋ m ＋ ， 33 解得 m ≥2 或 m ≤ － 3，所以实数 m 的取值范围是 (－∞，－ 3］∪［2，＋ ∞)．22． (1)解 函数 f (x)的定义域是 (0，＋ ∞)，(x)＝x 1－x 12＝x －x 21x x 2 x 2令 f ′(x)＝0，得 x ＝ 1，当 x 变化时， f ′(x)与 f (x)的变化情况如下表，x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x) － 0＋ f (x)↘↗所以 f (x)的单调递增区间是 (1，＋ ∞)，单调递减区间是 (0,1)． (2)证明 函数 g(x)的所以 f (x)在［－ 4,3］上的最大值为 281 要使 3x 3＋ax ＋ b ≤m 2＋ m ＋x ∈［－4,3］恒成立，只要 f (x) max ≤ m 2＋ m ＋ 10 3就可以了，定义域是(0，＋∞ )，又g′ (x)＝ln x＋x＋x1－1＝ln x＋1x＝f (x)，xx由(1)可知，f (x)min＝f (1)＝1，所以当x>0 时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，＋∞ )上单调递增．因为g(1)＝0，所以当x>1 时，g(x)>g(1)＝0 且x－1>0；当0<x<1 时，g(x)< g(1) ＝0 且x－1<0 ，所以当x>0 且x≠1时，x－1与g(x)同号．。

滚动评估检测(三)（第一至第八章）(120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知集合A=｛x|x（x—2）〈0},B={x|x+1〈2),则A∩B=（）A。

(—∞，2）B。

(0，1)C。

(0,+∞） D.(1,2)【解析】选B。

因为A=｛x｜0<x〈2｝,B={x|x〈1}，所以A∩B=（0，1）.2。

（2019·大庆模拟）已知i是虚数单位，若z（1+i）=,则z的虚部为()A. B.-C。

i D.—i【解析】选B。

由z（1+i)=,得z====-—i,所以z的虚部为—。

3。

已知向量a=(-1，2）,b=(3,1），c=（x,4)，若（a—b）⊥c,则x= ()A.1B.2C。

3 D.4【解析】选A.a—b=（—4，1），c=（x,4）,且(a—b)⊥c;所以(a-b）·c=-4x+4=0.所以x=1.4。

已知m∈R,若p：m≤0;q:∃x∈R,m≤sin x。

那么p是q的(）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C。

充分不必要条件D。

必要不充分条件【解析】选C.因为y=sin x具有有界性质即sin x∈［—1,1]，所以由p:m≤0能推出q:∃x∈R，m≤sin x成立,充分性满足;反之，由q：∃x∈R，m≤sin x成立，不一定能推出p：m≤0成立，即必要性不满足，故由充分条件必要条件的定义可知p是q的充分不必要条件. 5。

(2020·三明模拟)观察下列算式：21=2，22=4，23=8,24=16，25=32，26=64，27=128,28=256……用你所发现的规律可得22 019的末位数字是（）A。

2 B.4 C.6 D.8【解析】选D。

通过观察可知，末尾数字周期为4,2 019=4×504+3,故22 019的末位数字与23末尾数字相同，都是8.6.若a=20。