数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型

用连续的随机噪声来描述．因此，本文考虑下列具有时滞与 Ｌéｖｙ跳的随机捕食者 －食饵模型
ｄｘ１（ｔБайду номын сангаас ＝ｘ１（ｔ）［ｂ１ －ｃ１１ｘ１（ｔ）－ｃ１２ｘ２（ｔ－τ１２）－ｃ１３ｘ３（ｔ－τ１３）］ｄｔ＋β１１ｘ１（ｔ）ｄＷ１１（ｔ）＋
∫
β１２ｘ２ １（ｔ）ｄＷ１２（ｔ）＋
ｘ１（ｔ－）γ１（ｕ）珟Ｎ（ｄｔ，ｄｕ），
响，也要考虑随机因素对种内竞争系数的影响，即
·
－ｃｉｉ→ －ｃｉｉ＋βｉ２Ｗｉ２（ｔ）（ｉ＝１，２，３），
其中，β２ｉｊ ＞０表示白噪声的强度，ｉ＝１，２，３，ｊ＝１，２．Ｗｉｊ（ｔ）（ｉ＝１，２，３，ｊ＝１，２）是完备的概率空间（Ω，Ｆ，Ｐ） 中相互独立的标准的布朗运动．此外种群也可能会受到一些突然的波动，例如：地震、海啸等，这些现象不能
食饵种群之间的种间竞争系数；ｃ１３和 ｃ２３是捕获系数；ｃ３１和 ｃ３２代表捕食者对食饵的转化率；以上参数均为正
常数．τｉｊ表示时滞，Ｗｉ１（ｔ）（ｉ＝１，２，３）是白噪声，β２ｉ１（ｉ＝１，２，３）是白噪声强度．然而模型（１）仅考虑了对参
数 ｂｉ的扰动，没有考虑对种内竞争系数的扰动．为此，本文不仅要考虑随机因素对自然增长率和死亡率的影
（山西大学 数学科学学院，山西 太原 ０３０００６）
摘要：研究了一类具有时滞与 Ｌéｖｙ跳的随机捕食者 －食饵模型．首先利用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法和 Ｉｔｏ＾公 式，给出了模型全局正解的存在唯一性．然后根据切比雪夫不等式和指数鞅不等式以及 Ｂｏｒｅｌ－ Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理等，得到了解的随机最终有界性以及灭绝性．最后，运用数值模拟验证了理论结果． 关键词：Ｌéｖｙ跳；时滞；捕食者 －食饵模型；灭绝 中图分类号：Ｏ２１１．６３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２－８５１３（２０１９）０５－０４７０－０５

几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告一、选题背景及意义捕食-食饵模型是生态学领域最为经典的研究领域之一，其研究对象是生态系统中的食饵和食肉动物之间的关系。

这种模型的建立可以有效的分析和预测生态系统中的变化，评估人类活动对生态系统的影响。

捕食-食饵模型的研究中存在周期解的存在性和稳定性问题，对此问题的解决可以有效地预测生态系统的变化，制定科学的保护策略，有助于保护地球生态环境，实现可持续发展。

二、选题内容和研究目的本文将以Ricker模型和Lotka-Volterra模型为基础，探讨捕食-食饵模型周期解的存在性和稳定性问题。

具体研究目的包括：1、判断模型的周期解是否存在。

2、分析周期解的稳定性，包括周期解的局部稳定性和全局稳定性。

3、探讨影响周期解稳定性的因素，如参数的变化对周期解的影响。

三、研究方法与预期结果本论文将采用数学建模和分析的方法研究该问题，并通过分析得到如下预期结果：1、在Ricker模型和Lotka-Volterra模型中，周期解的存在性与参数之间的关系。

2、利用线性稳定性分析周期解的局部稳定性。

3、通过Lyapunov函数法或直接算法讨论周期解的全局稳定性。

4、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，以及如何通过人类活动控制环境变化来实现捕食-食饵模型的可持续发展。

四、论文的创新点本文将从周期解的存在性和稳定性角度出发，研究捕食-食饵模型的演化及其稳定性。

创新点主要体现在以下几个方面：1、基于周期解探讨捕食-食饵模型的演化情况。

2、针对周期解的局部和全局稳定性分别进行讨论，比较两种模型间的区别。

3、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，提出有针对性的保护措施。

五、论文的结构文章的结构设计如下：第一章：绪论1.1 选题背景和意义1.2 选题内容和研究目的1.3 研究方法和预期结果1.4 论文创新点1.5 论文结构第二章：相关理论介绍2.1 捕食-食饵模型基本概念2.2 Ricker模型及其分析2.3 Lotka-Volterra模型及其分析第三章：周期解的存在性分析3.1 Ricker模型的周期解3.2 Lotka-Volterra模型的周期解第四章：周期解的稳定性分析4.1 Ricker模型周期解的局部稳定性4.2 Lotka-Volterra模型周期解的局部稳定性4.3 Ricker模型周期解的全局稳定性4.4 Lotka-Volterra模型周期解的全局稳定性第五章：环境变化对周期解稳定性的影响5.1 环境变化的影响机制分析5.2 人类活动对周期解的影响5.3 指导对策第六章：结论6.1 研究成果回顾6.2 不足之处与改进方向6.3 后续研究建议参考文献。

一类捕食者-食饵种群动力学模型及数值模拟的开题报告一、研究背景食物链是自然界中广泛存在的生态现象，其中包括一类捕食者与一种或多种食饵之间的相互作用。

在生态学中，一类捕食者-食饵种群动力学模型是常见的研究对象，其关注点在于探究捕食者和食饵种群数量之间的互动过程，以及这种互动过程对生态系统的影响。

近年来，随着数值模拟技术的不断发展，研究者可以通过模拟程序模拟真实生态系统中的捕食者与食饵的数量变化，从而深入研究生态系统中的动态变化规律，梳理生态系统中的关键变量及相互关系。

二、研究内容本文拟以一类捕食者-食饵种群动力学模型为研究对象，通过数学模型与数值模拟相结合的方式，探究捕食者和食饵数量之间的相互作用，并分析它们对生态系统的影响。

具体来说，本文将研究以下几点内容：1.建立一类捕食者-食饵种群动力学模型，并探究其数量变化规律；2.采用数值模拟方法模拟不同捕食者和食饵初始数量时的数量变化过程，分析动态过程与变化规律；3.通过对动态过程的分析，研究捕食者和食饵数量之间的相互作用，并揭示它们对生态系统的影响机制。

三、研究方法1.建立数学模型：采用典型的捕食者-食饵模型，通过运用微积分和差分方程求解，建立二者之间的动态变化方程；2.数值模拟：采用数值计算方法求解数学模型，运用Python语言编写仿真程序，模拟不同条件下捕食者和食饵数量的变化过程；3.结果分析：对仿真结果进行分析，探究捕食者与食饵数量之间的相互作用，并揭示其对生态系统的影响机制。

四、预期效果与意义1.建立一类捕食者-食饵种群动力学模型，拓展捕食者-食饵模型的应用范围，为生态系统研究提供新的理论框架；2.运用数值模拟技术研究捕食者和食饵数量的动态变化和相互作用，获得更为精准的结果，进一步理解生态系统的演化机制；3.揭示生态系统中捕食者和食饵数量之间的相互作用和对生态系统的影响机制，为生态保护和可持续发展提供参考。

一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制捕食者-食饵模型是一种描述两种不同生物种群之间相互作用的数学模型，常用于生态系统和环境保护等领域的研究中。

其中，捕食者指的是靠捕食其他生物为生的动物，而食饵则是捕食者的猎物。

在这种模型中，捕食者的存在和数量会影响食饵的种群数量，而食饵数量的减少也会影响捕食者数量的大小。

本文将从敏感性分析和最优控制两个方面对一类捕食者-食饵模型进行研究。

一、敏感性分析在数学建模的过程中，敏感性分析是一个非常重要的环节，可以通过分析一些重要的参数的变化对模型结果的影响，来判断模型的准确性和可靠性。

对于一类捕食者-食饵模型而言，一些关键的参数包括捕食者的增长率、食饵自然死亡率和捕食率等。

以R x∈[0,1], Ry ∈[0,1] 为状态，t ∈[0, ∞) 为时间的Lotka- Voltera 模型为例，该模型的方程如下：dRx/dt= Rx(α-βRy)dRy/dt= Ry(δRx-γ)其中，Rx 和Ry 分别表示捕食者和食饵类群数量的变化，α是捕食者的出生率常数，β是捕食率常数，δ是食饵的增长率常数，γ是自然死亡率常数。

该模型可以用来描述食饵数量对捕食者数量的影响，以及捕食者的数量对食饵数量的影响。

通过敏感性分析，可以得出以下结论：1、捕食者增长率的变化对模型结果的影响较小，这是因为在该模型中，捕食者数量的增长主要依赖于食饵数量的增加，而不是捕食者自身的增长率。

因此，在此模型中，捕食者的增长率不是一个非常重要的参数。

2、食饵自然死亡率的变化对模型结果有较大的影响，当食饵自然死亡率增加时，食饵的数量减少，进而影响捕食者的数量，导致整个生态系统失衡。

3、捕食率的变化对模型结果也有较大的影响。

当捕食率增加时，捕食者数量迅速增加，会让食饵数量大幅度下降，使得捕食者数量接下来也会下降。

反之，当捕食率减小时，食饵数量随之增加，导致捕食者的数量增加。

捕食模型（生物数学）捕食模型（食饵捕食模型，生物数学重要模型）假设及建立模型：假设一个生态系统，其中含有两种生物 A 生物和B 生物，其中A 生物是捕食者，B 生物是被捕食者。

建立捕食数学模型1) 在观测数据（DATA1）无误差的情况下，确定模型中的参数，并分析误差。

2) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2和DATA3，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。

3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。

通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。

观测数据的格式依次为：观测时刻jt 、A 生物数目)(j t x 、B 生物数目)(j t y对于生态系统中的两种生物A 和B ，A 生物为捕食者，B 生物为被捕食者。

在某一段时期内，A 生物的数量与B 生物的数量之间存在一定的关系。

根据已知条件，可将（15）式改写为如下形式：12()dxx y dtαα=+ （1）34()dyy x dtαα=+ （2）0506()()x t y t αα=??=?其中()16k k α≤≤为模型的待定参数。

进行变换可得：3412()()y x dy dx x y αααα+=+ （3）3412()()dx x dy y y xαααα++=即（4）积分得：10203040ln ln )()(ln ln )()0y y y y x x x x αααα-+-+-+-=（可将上述表达式改写成n 元齐次线性方程组的形式，如下所示：m n A 0α?= （5）上述n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<="">我们首先用DATA1中的3组数据确定，，，，4321a a a a 程序clearA=zeros(3,4);A(1,1)=log(0.####82216 /60); A(1,2)= 60-0.####82216;A(1,3)=-log(11.750840650304518 /10); A(1,4)=10-11.750840650304518 ; A(2,1)=log(7.108705996120129/60);A(2,2)= 7.108705996120129-60; A(2,3)=-log(3.4####9176 /10); A(2,4)=10-3.4####9176; A(3,1)=log(0.425####24/60); A(3,2)= 0.425####24-60;A(3,3)=-log(20.80921881438798/10); A(3,4)=10-20.80921881438798 ;r=rank(A); % rank(A)=r<="" bdsfid="110" p="" r=""y="null(A," 时,该方程有无穷多个解,求它的一个基本解=""> 表1 )41(a '≤≤k k 的值'1a'2a'3a '4a-0.0478 -0.0042-0.99250.11253314140000222222(ln ln )ln ln y y y x x y x x αααααααααααα=+---++ （28）如设：31400000222(ln ln )y y x x αααβααα=+--，112αβα=-，422αβα=，332αβα=，1x =ln y ，2x =x ，3ln x x =，则（28）式可以写为如下形式；0112233y x x x ββββ=+++ （29）对于（29）式中因变量y 是自变量{}123x x x x =的线性函数。

《数学模型实验》实验一 被食者——食者系统的数学模型一、 实验大纲通过建立被食者与食者系统的数学模型并进行模拟，将模拟结果与实际观察数据进行对照分析。

并通过计算机观察改变各种参数后所引起的数量的变化。

二、 实验指导1、建立被食者与食者系统的数学模型（1） 害虫麦蚜的数量动态模型：x dtdx ）－（αλ= 其中α表示麦蚜遭天敌消灭的速率。

（2） 天敌数量动态模型：y dtdy ）－（βμ-= （3） 初始条件：000(,)0(y y x x ）＝=2、介绍微分方程的各种数值算法3、通过编程模拟被食者与食者在一段时间内的数量变化，并观察出变化规律4、改变模型中的各项参数，并观察变化规律。

三、 实验报告（见附表）实验二 安全过河问题一、 实验大纲通过建立安全过河的决策模型，进行计算编程求解。

二、 实验指导1、问题分析与建立模型（1） 将该问题可看作一个多步决策的过程。

设第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ， ,2,1=k ，k x ,k y =0,1,2,3。

将二维向量),(k k k y x S =定义为状态，安全渡河条件的状态集合称为允许状态集合，记作S ，则：}2,1;3,2,1,0,30|),{(=====y x y x y x S 或（2） 又设第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v 。

将二维向量),(k k k v u d =定义为决策.相应的允许决策集合记作D ，则由小船的容量可知：}2,1|),({=+=v u v u D（3） 分析状态k S 随着决策k d 变化的规律：k k k k d S S )1(1-+=+2、算法分析将问题转化为求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S S k ∈按照转移律（5.3），由初始状态)3,3(1=S 经有限步（设为n 步）到达状态)0,0(1=+n S 。

3、探讨无解的情况及其满足的条件4、将问题推广至n人的情形三、实验报告（见附表）实验三 飞行管理问题一、 实验目的通过分析飞机空中飞行可能发生的各种问题与应对策略后，建立模型与计算机模拟，能更快速的科学的指导某区域中飞机的飞行航向。

捕食者有病的食饵—捕食者模型
杨建雅;张凤琴
【期刊名称】《生物数学学报》
【年(卷),期】2007(22)3
【摘要】建立了捕食者有病的食饵—捕食者模型;由Hurwitz判据、LaSalle不变性原理获得了平衡点稳定的条件;并给出了模型的撮动解.
【总页数】6页(P419-424)
【关键词】食饵-捕食者模型;传染病;渐近稳定性;平衡点;撮动解
【作者】杨建雅;张凤琴
【作者单位】运城学院应用数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.具有r+1类功能性反应函数的捕食者有病的食饵—捕食者SIS模型 [J], 王烈;陈斯养
2.具有庇护效应且捕食者有病的食饵-捕食者模型分析 [J], 胡永亮;冯宇星;;
3.具有庇护效应且捕食者有病的食饵-捕食者模型分析 [J], 胡永亮;冯宇星
4.β扰动的食饵有病的随机食饵与捕食者系统的渐近行为 [J], 刘振文;郑凯鸿
5.捕食者环境容纳量依赖于食饵的食饵-捕食者模型 [J], 刘汉武;张凤琴;李秋英因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类捕食―食饵模型的性质
文章研究如下捕食-食饵模型在Neumann条件下的一些性质，
这里，分别为食饵和捕食者种群数量，均为正常数，其中衡量了捕食者除食饵之外的其他食物来源，文[1]探讨了系统（1）的生态学行为.文[2]研究了具有避难所和修正Leslie-Gower项的捕食食饵系统，得到正平衡点存在及全局稳定的条件，探讨了避难所和常数k对系统的影响，特别是对系统持久性和种群数量的影响，得到了些新结论. 文[3]考虑了一个齐次Neumann边界条件下具避难所的捕食-食铒模型的平衡态问题，获得了该模型正平衡态解的进一步结果。

给出了正解的先验估计，并用能量方法得到其非常数正解的不存在性，利用拓扑度理论得出其非常数正解的存在性。

常数正解的渐进稳定性
令是齐次Neumann边界条件下算子在上的特征值，是关于在中的特征子空间.是的一组正交基，
，
则
下面我们用文[5]中的方法来讨论系统（1）在正常数平衡解处的稳定性.
定理若，则系统（1）的正常数平衡解是渐近稳定的.
证明：令其中
令，则系统（1）在处的线性化方程为.对任意的是算子的不变子空间，是算子在上的特征值当且仅当是的特征值.而的特征多项式其中
容易验证在条件成立时，对于任意的，都有所以是渐近稳定的.。

m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。

第61卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .32023年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022285具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型王 灵 芝(陕西师范大学数学与统计学院,西安710119)摘要:考虑一类具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型.先利用特征方程和L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理,证明当R (τ)ɤ1时边界平衡点的全局渐近稳定性;再利用时滞微分方程H o pf 分支理论,讨论当R (τ)>1时共存平衡点的稳定性和全局H o pf 分支的存在性,得到了恐惧效应与时滞会影响系统稳定性的结果;最后通过数值模拟验证理论结果的正确性.关键词:恐惧效应;时滞;L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理;H o p f 分支中图分类号:O 175 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)03-0449-10D e l a y e dP r e d a t o r -P r e y Mo d e l w i t hF e a rE f f e c t WA N GL i n gz h i (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ,X i a n 710119,C h i n a )A b s t r a c t :T h e a u t h o r c o n s i d e r e dac l a s so f d e l a y e d p r e d a t o r -p r e y m o d e lw i t hf e a r e f f e c t .F i r s t l y ,b y u s i n g t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n d L y a p u n o v -L a S a l l ei n v a r i a n c e p r i n c i p l e ,t h e g l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h eb o u n d a r y e q u i l i b r i u m w a s p r o v e d w h e n R (τ)ɤ1.S e c o n d l y ,b y u s i n g t h e H o pf b i f u r c a t i o n t h e o r y o f d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ,t h ea u t h o rd i s c u s s e d t h e s t a b i l i t y of t h e c o e x i s t e n c e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d t h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a lH o pfb i f u r c a t i o nw h e n R (τ)>1,a n do b t a i n e dt h e r e s u l t s t h a t f e a r e f f e c t a n dd e l a y a f f e c t e d t h es t a b i l i t y o f t h es y s t e m.F i n a l l y,t h ec o r r e c t n e s so f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t sw a s v e r i f i e db y nu m e r i c a l s i m u l a t i o n s .K e y w o r d s :f e a r e f f e c t ;d e l a y ;L y a p u n o v -L a S a l l e i n v a r i a n c e p r i n c i p l e ;H o p f b i f u r c a t i o n 收稿日期:2022-06-27.作者简介:王灵芝(1999 ),女,汉族,硕士研究生,从事生物数学时滞微分方程的研究,E -m a i l :w a n g l z 0114@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11971285).0 引 言捕食者和食饵之间的相互作用是数学生态学和进化生物学的一个核心问题.研究表明,捕食者通过直接杀戮可对食饵的种群数量产生直接影响[1-4],但每个物种也会对感知到的捕食风险作出各种反捕食反应[5-11],包括栖息地㊁觅食㊁警惕性和生理的变化等.基于文献[11-12]的工作,本文考虑具有恐惧效应㊁种内竞争和捕食后生物量从食饵转化到捕食者的时间延迟以及在转化过程中捕食者的死亡率等因素的捕食者-食饵模型:̇u (t )=r f (k ,v )u (t )-d u (t )-a u 2(t )-g (u )v (t ),̇v (t )=βe -s τg (u (t -τ))v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t ),(1)其中:u (t )和v (t )分别表示食饵和捕食者t 时刻的种群密度;r 为食饵的出生率;d 和μ分别为食饵和捕食者的自然死亡率;a 和α分别为食饵和捕食者因种内竞争而导致的死亡率;f (k ,v )为恐惧因子,表示由于恐惧而导致的反捕食行为成本,k 反映了驱动食饵反捕食行为的恐惧程度;β和τ分别为捕食Copyright ©博看网. All Rights Reserved.后生物量从食饵转化到捕食者的转化率和时间延迟;e-s τ为捕食者在生物量转化过程中的存活率;g (u )为功能反应函数,且∀u ȡ0,g (u )ɪC (ℝ),g (0)=0,gᶄ(u )>0.根据k 和f (k ,v )的生物学意义,本文做如下合理假设[10-11]:(H 1)f (0,v )=1,f (k ,0)=1,l i m k ңɕf (k ,v )=0,l i m v ңɕf (k ,v )=0,∂f (k ,v )∂k <0,∂f (k ,v )∂v<0.由文献[10]可知,当r <d 时,无论恐惧效应和捕食机制如何,食饵和捕食者都趋向于灭绝.因此,考虑到其实际生物意义,本文做如下假设:(H 2)r >d .1 适定性与可行平衡点当τ>0时,记C ʒ=([-τ,0],ℝ),其中C 为从[-τ,0]映射到ℝ的连续函数全体构成的B a n a c h 空间.对∀ϕɪC ,定义范数 ϕ =s u p -τɤθɤ0ϕ(θ).记C +ʒ=([-τ,0],ℝ+)为C 的非负锥.当t =0时,系统(1)的初始条件为ϕɪX ʒ=C +ˑC +.(2) 定理1 在初始条件(2)下,系统(1)的解具有非负性和最终有界性.即所有轨线最终进入并保持在如下有界不变区域中:Γ=(u ,v )ɪC +ˑC +: u ɤr -d a , v ɤβe -s τ(r -d )2a m i n {r -d ,μ{}}. 证明:由系统(1)的第一个方程得d u (t )d t=r f (k ,v )-d -a u -g (u )u æèçöø÷v u ,从而可得u (t )=u (0)e x pʏt0r f (k ,v (θ))-d -a u (θ)-g (u (θ))v (θ)u (θéëêêùûúú)d {}θȡ0.对于v 的非负性,可利用反证法.假设t 1>0是使得v (t )第一次为0的时刻,即v (t 1)=0.由系统(1)的第二个方程可知v ᶄ(t 1)=βe -s τg (u (t 1-τ))v (t 1-τ)>0,故存在ε>0,使得当t ɪ(t 1-ε,t 1)时,有v (t )<0.与当t ɪ[0,t 1)时,v (t )>0矛盾,故v (t )ȡ0.下证最终有界性.由系统(1)的第一个方程及条件(H 1)可知,u ᶄ(t )ɤr f (k ,v )u -d u -a u 2ɤ(r -d )u -a u 2,由比较原理得l i ms u pt ң+ɕu (t )ɤr -d a .将系统(1)的两个方程相加可得(βe -s τu (t )+v (t +τ))ᶄ=βe -s τ[rf (k ,v )u -d u -a u 2-g (u )v ]+βe -s τg (u )v -μv (t +τ)-αv 2(t +τ)=βe -s τu (rf (k ,v )-d -a u )-μv (t +τ)-αv 2(t +τ)ɤβe -s τr -d a (r -d -a u )-μv (t +τ)ɤβe -s τ(r -d )2a-βe -s τ(r -d )u -μv (t +τ)ɤβe -s τ(r -d )2a-δ(βe -s τu (t )+v (t +τ)),其中δ=m i n {r -d ,μ}.故l i ms u p t ң+ɕ(βe -s τu (t )+v (t +τ))ɤβe -s τ(r -d )2δa,从而l i ms u pt ң+ɕv (t )ɤβe -s τ(r -d )2δa.因此系统(1)的所有解最终进入并保持在Γ中.系统(1)的动力学行054 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.为将在有界可行域Γ内进行分析.显然,系统(1)总存在两个边界平衡点E 0=(0,0)和E b =r -d a ,æèçöø÷0.若存在共存平衡点E *=(u *,v *),则共存平衡点满足的方程为r f (k ,v )u -d u -a u 2-g (u )v =0,βe -s τg (u )-μ-αv =0{.(3)由式(3)的第二个方程得v *=βe -s τg (u *)-μα,因此v *>0当且仅当u *>g -1μβe s æèçöø÷τ,由文献[11]及条件(H 1)易知,当且仅当R (τ)ʒ=βe -s τg ((r -d )/a )μ>1即0ɤτ<τm a x ʒ=1s l n βg ((r -d )/a )æèçöø÷μ时,系统(1)存在共存平衡点E *=(u *,v *).2 边界平衡点的全局稳定性下面讨论边界平衡点E b =r -d a ,æèçöø÷0的稳定性.系统(1)在E b 处的特征方程为[λ+(r -d )]λ+μ-βe -s τg r -d æèçöø÷a e -éëêêùûúúλτ=0.(4) 定理2 1)若R (τ)ɤ1,则E b 是局部渐近稳定的,进一步,E b 在Γ\{u =0}内是全局渐近稳定的;2)若R (τ)>1,则E b 是不稳定的.证明:1)显然特征方程(4)有一个特征根λ1=-(r -d )<0,其他根由方程λ+μ-βe -s τg r -d æèçöø÷a e -λτ=0(5)决定,由文献[13]中引理6可知,当βe -s τg r -d æèçöø÷a <μ,即R (τ)<1时,式(5)的所有特征根均具有严格负实部,则E b 局部渐近稳定.对于临界情形βe -s τg r -d æèçöø÷a =μ,即当R (τ)=1时,0是式(5)唯一的实特征根,其余根均具有严格负实部.进一步,利用规范型理论[14]可得时滞微分方程(1)限制在中心流形上的规范型为η1+τβe -s τg r -d æèçöø÷éëêêùûúúa ̇z =-ηβe -s τg ᶄr -d æèçöø÷a +αηéëêêùûúú2z 2+O (z 3),其中η=r -d gr -d æèçöø÷a -r (r -d )a ∂f (k ,v )∂v v =0>0.由条件(2)有z (0)ȡ0,故系统(1)的边界平衡点E b 局部渐近稳定.若R (τ)ɤ1,则有ρʒ=βe -s τg r -d æèçöø÷a ɤμ,因此由系统(1)的第二个方程得v ᶄ(t )=βe -s τg (u (t -τ))v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t )ɤβe -s τg r -d æèçöø÷a v (t -τ)-μv (t )=ρv (t -τ)-μv (t ). 考虑L y a p u n o v 泛函[12]:F (v (t ))=12v 2(t )+ρ2ʏtt -τv 2(θ)d θ,计算其沿系统(1)的导数为F ᶄ(1)=v (t )v ᶄ(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]ɤρv (t )v (t -τ)-μv 2(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]ɤρ2[v 2(t )+v 2(t -τ)]-μv 2(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]=(ρ-μ)v 2(t )ɤ0,当且仅当u (t )=r -d a,v (t )=0时等号成立,则F ᶄ=0的最大不变集为单点集{E b }.由于当u =0时,154 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.系统(1)的解趋向于E 0,因此由L a S a l l e s 不变原理[15]知,E b =r -d a ,æèçöø÷0在Γ\{u =0}内全局吸引,又E b 是局部渐近稳定的,从而E b 在Γ\{u =0}内全局渐近稳定.2)若R (τ)>1,则由文献[13]中引理6可知式(5)存在一个正实部特征根,从而E b 是不稳定的.3 共存平衡点的稳定性与局部H o pf 分支基于文献[11-12],选取线性功能反应函数g (u )=c u 以及恐惧因子f (k ,v )=11+k v,则系统(1)可写为如下时滞微分方程:̇u (t )=r u (t )1+k v (t )-d u (t )-a u 2(t )-c u (t )v (t ),̇v (t )=βe -s τc u (t -τ)v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t ).(6) 下面讨论当R (τ)>1时系统(6)共存平衡点E *=(u *,v *)的稳定性.共存平衡点E *满足的方程为r1+k v-d -au -c v =0,(7)βe -s τc u -μ-αv =0.(8)由式(8)得u *=αv *+μc βe s τ,代入式(7)可知v *满足如下一元二次方程:a 2v 2+a 1v +a 0=0,(9)其中a 2=k (a αe s τ+c 2β)>0, a 1=a e s τ(α+μk )+c β(d k +c )>0, a 0=a μe s τ+c β(d -r )<0.故式(9)仅有唯一的正根v *=-a 1+Δ2a 2,其中Δ=a 21-4a 2a 0>0.从而系统(6)存在唯一的共存平衡点E *=(u *,v *).在共存平衡点E *处的特征方程为λ2+b 1λ+b 0+(c 1λ+c 0)e -λτ=0,(10)其中b 1=μ+2αv *+a u *>0, b 0=a u *(μ+2αv *)>0,c 1=-(μ+αv *)<0, c 0=(αv *+μ)2c v *+d -r (1+k v *)éëêêùûúú2.由于b 0+c 0=a αu *v *+c βe -s τu *v *r k (1+k v *)2+éëêêùûúúc >0,故0不是方程(10)的特征根.当τ=0时,系统(6)变为如下常微分方程:̇u (t )=r u (t )1+k v (t)-d u (t )-a u 2(t )-c u (t )v (t )췍P (u ,v ),̇v (t )=βc u (t )v (t )-μv (t )-αv 2(t )췍Q (u ,v ).(11) 定理3 当τ=0且R (0)>1时,共存平衡点E *=(u *,v *)在 Γʒ=Γ\{u =0或v =0}内全局渐近稳定.证明:当τ=0时,在共存平衡点E *处的特征方程(10)变为λ2+(b 1+c 1)λ+(b 0+c 0)=0,(12)其中b 1+c 1=a u *+αv *>0, b 0+c 0>0.由R o u t h -H u r w i t z 准则可知式(12)的根均具有严格负实部,即当τ=0时,E *=(u *,v *)是局部渐近稳定的.取D u l a c 函数[12]B (u ,v )=1u v,经计算可知对∀(u ,v )ɪ Γ,均有254 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.∂(P B )∂u +∂(Q B )∂v=-αu +a æèçöø÷v <0,从而由D u l a c -B e n d i x s o n 判别法可知,系统(6)不存在全部位于 Γ内的周期轨.进一步,当τ=0且R (0)>1时,E *是位于 Γ内的唯一平衡点.又共存平衡点E *是局部渐近稳定的,于是可知共存平衡点E *在 Γ内全局渐近稳定.下面考虑当τ>0时,特征方程(10)纯虚根的存在性.假设λ=i ω(ω>0)是方程(10)的一个根,将λ=i ω代入方程(10)并分离实部和虚部可得ω2-b 0=c 1ωs i n (ωτ)+c 0c o s (ωτ),(13)b 1ω=c 0s i n (ωτ)-c 1ωc o s (ωτ).(14)对方程(13)和(14)两端取平方再相加,可得G (ω,τ)=ω4+(b 21-2b 0-c 21)ω2+(b 0+c 0)(b 0-c 0)=0,(15)其中b 21-2b 0-c 21=(2μ+3αv *)αv *+a 2u *2>0, b 0+c 0>0,b 0-c 0=a u *(2μ+3αv *)-c βe -s τv *r k u *(1+k v *)2+c u éëêêùûúú*. 记J (τ)=b 0(τ)-c 0(τ), I -={τɪ(0,τm a x ):J (τ)<0}, I +={τɪ(0,τm a x ):J (τ)ȡ0}.若I -=Ø,则对∀τɪ(0,τm a x ),均有b 0ȡc 0,即式(15)不存在正根,因此对∀τɪ(0,τm a x )没有纯虚特征根穿过虚轴,且式(10)的根始终保持在虚轴左侧,故∀τɪ[0,τm a x ),共存平衡点E *是局部渐近稳定的.若I -ʂØ,则∃τ*ɪI -,使得b 0(τ*)<c 0(τ*),所以式(15)有唯一的正根ω(τ*)=-(b 21-2b 0-c 21)+(b 21-2b 0-c 21)2-4(b 20-c 20)2.(16)从而特征方程(10)存在纯虚特征根λ=i ω(τ*),且纯虚特征根需满足s i n (ω(τ)τ)=ω(τ)[c 1ω(τ)2+b 1c 0-b 0c 1]c 20+c 21ω(τ)2췍g 1(τ),c o s (ω(τ)τ)=(c 0-b 1c 1)ω(τ)2-b 0c 0c 20+c 21ω(τ)2췍g 2(τ).(17)记θ(τ)ɪ(0,2π]是满足s i n (θ)=g 1,c o s (θ)=g 2的唯一解.经计算可得ω(τ*)2ɤb 0-b 1c 0c 1,所以θ(τ)=a r c c o s (g 2(τ)).根据文献[16]中关于判断系数依赖时滞的超越方程发生稳定性开关的几何准则S n (τ)=τ-θ(τ)+2n πω(τ), τɪI -,n ɪℕ,(18)可知i ω*(τ*)是特征方程(10)的纯虚根当且仅当τ*为函数S n 的零解.由文献[16]有S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*=S i g n ∂G ∂ω(ω*(τ*),τ*æèçöø÷)S i g n (S ᶄn (τ*)),注意到∂G ∂ω(ω*(τ*),τ*)=4ω*(τ*)3+2(b 21-2b 0-c 21)ω*(τ*)>0,因此关于横截条件的结论如下:引理1 若∃τ*ɪI -满足S n (τ*)=0(n ɪℕ),则当τ=τ*时,式(10)具有一对共轭纯虚根λ(τ*)=ʃi ω*(τ*).进一步,若S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*>0,则在复平面上这对纯虚根随着τ的变化从左至右穿过虚轴;反之,若S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*<0,则其从右至左穿过虚轴,其中S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*=S i g n (S ᶄn (τ*)).354 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.由式(18)可知S n (0)<0,且对∀τɪI -,有S n (τ)>S n +1(τ),其中n ɪℕ.记^τ=s u p I -ʒ=s u p {τɪ(0,τm a x ):b 0<c 0},则有b 0(^τ)-c 0(^τ)=0,因此当τң^τ时,ω(τ)ң0.再结合式(17)可得l i m τң^τ-s i n (θ(τ))=0且l i m τң^τ-c o s (θ(τ))=-1,从而l i m τң^τ-θ(τ)=π,l i m τң^τ-S n (τ)=-ɕ.为简化,本文做如下假设:(H 3)s u p τɪ[0,^τ)S 0(τ)>0,且对n ɪℕ+,S n (τ)最多存在两个根(包括重数).假设(H 3)可保证存在一个K ɪℕ+,使得当0ɤi ɤK -1(i ɪℕ)时每个S i (τ)存在两个单根,记为τi 和τ2K -i -1,且当i ȡK 时,S i (τ)没有零点,则对于所有的n ɪℕ,S n (τ)只有2K 个简单的零点τi ,且0<τ0<τ1< <τ2K -1<^τ.进一步,引理1表明,对于每个0ɤi ɤK -1(i ɪℕ),有S ᶄi (τi )>0,S ᶄi (τ2K -i -1)<0.从而一对纯虚特征根ʃi w (τi )从左至右穿过虚轴,另一对纯虚特征根ʃi ω(τ2K -i -1)从右至左穿过虚轴.因此当τ=τj (0ɤj ɤ2K -1,j ɪℕ)时,系统(6)在E *处经历了H o p f 分支.进一步,当τɪ[0,τ0)ɣ(τ2K -1,^τ)时E *是局部渐近稳定的,当τɪ(τ0,τ2K -1)时E *是不稳定的.记T j 为在τj 处分支出周期解的周期,对于0ɤi ɤK -1(i ɪℕ),有T i =2πω(τi )=2πτi θ(τi )+2i π, T 2K -i -1=2πω(τ2K -i -1)=2πτ2K -i -1θ(τ2K -i -1)+2i π,考虑到θɪ(0,2π],可得T 0>τ0,T 2K -1>τ2K -1,τn n +1ɤT n <τn n ,τ2K -n -1n +1ɤT 2K -n -1<τ2K -n -1n,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.因此,利用时滞微分方程H o p f 分支理论[15],可得如下关于E *的稳定性和局部H o pf 分支的存在性结论.定理4 对于系统(6),如果R (τ)>1且I -ʂØ,则下列结论成立:1)如果s u p τɪ[0,^τ)S 0(τ)ɤ0,则∀τɪ[0,τm a x ),共存平衡点E *是局部渐近稳定的;2)如果假设(H 3)成立,则存在2K 个局部H o p f 分支点,即0<τ0<τ1< <τ2K -1<^τ,使得当τ=τj (0ɤj ɤ2K -1)时,系统(6)在E *处经历H o p f 分支;当τɪ[0,τ0)ɣ(τ2K -1,τm a x )时,E *是局部渐近稳定的;当τɪ(τ0,τ2K -1)时,E *是不稳定的.进一步,在τn 处分支出周期解的周期T n 满足T 0>τ0,T 2K -1>τ2K -1,T n ɪτn n +1,τn æèçöø÷n ,T 2K -n -1ɪτ2K -n -1n +1,τ2K -n -1æèçöø÷n ,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.4 全局H o pf 分支下面利用W u [17]提出的全局H o p f 分支定理讨论系统(6)的全局H o pf 分支.令x (t )=(u (τt ),v (τt ))T,则系统(6)可写成如下泛函微分方程:x ᶄ(t )=F (x t ,τ,T ), (t ,τ,T )ɪℝ+ˑ[0,^τ)ˑℝ+,(19)其中x t (θ)=x (t +θ),θɪ[-1,0],且x t ɪX ʒ=C ([-1,0],ℝ2+),F (x t ,τ,T )=τr x 1t (0)1+k x 2t (0)-τd x 1t (0)-τa x 21t (0)-τc x 1t (0)x 2t (0)τc βe -s τx 1t (-1)x 2t (-1)-τμx 2t (0)-ταx 22t (0æèçççöø÷÷÷),(20)x t =(x 1t ,x 2t )ɪX .将F 限制在X 常值映射的子空间ℝ2+上,可得췍F (x ,τ,T )ʒ=F ℝ2+ˑ[0,^τ)ˑℝ=τrx 11+k x 2-τd x 1-τa x 21-τc x 1x 2τc βe -s τx 1x 2-τμx 2-ταx æèçççöø÷÷÷22,显然췍F 二阶连续可微,即文献[17]中条件(A 1)成立.设系统(19)的驻解集合为E (F )={( x , τ,췍T )ɪℝ2+ˑ[0,^τ)ˑℝ+:췍F ( x , τ,췍T )=0},则E (F )中任意一个驻解( x , τ,췍T)的特征方程为Δ(췍x ,τ,T )(λ)=λI d -D F ( x ,τ,T )(e -λI d ).(21)454 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.当R (τ)>1时,0不是系统(19)任何驻解的特征值,故文献[17]中条件(A 2)成立.由式(20)知文献[17]中光滑性条件(A 3)成立.由上述讨论可知,∀j ɪ[0,2K -1],驻解为(E *,τj ,2π/(ωj τj )),其中j ɪℕ是系统(19)的孤立中心[17],ωj =ω(τj )是G (ω,τ)=0的唯一正根,如式(16)所示,且只有一对形式为i m (2π/췍T )的纯虚特征根,其中m =1,췍T =2π/(ωj τj ).由引理1可得每个中心处的横截数[17]为γ1E *,τj ,2πωj τæèçöø÷j =-S i g n (R e λᶄ(τj))=-S i g n (S ᶄj (τj ))=-1,0ɤj ɤK -1,-S i g n (S ᶄ2K -j -1(τj ))=1,K ɤj ɤ2K -1{.(22)故文献[17]中条件(A 4)成立.定义一个紧子集Σ(F )⊂X ˑ[0,^τ)ˑℝ+为Σ(F )=C l {(x ,τ,T )ɪX ˑ[0,^τ)ˑℝ+:x 是方程(19)的非平凡T -周期解}.记C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))⊂Σ(F )是过(E *,τj ,2π/(ωj τj ))的连通分支,其中j ɪ[0,2K -1],j ɪℕ.由局部H o p f 分支定理4可知,C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))是Σ(F )的非空子集.为进一步给出存在周期解的τ区间,需证明系统(19)的一些性质.引理2 系统(19)的所有非平凡非负周期解x (t )一致有界.即对∀t ȡ0,有0<x (t )ɤM ,其中M =m a x r -d a ,βe -s τ(r -d )2a m i n {r -d ,μ{}}.(23) 证明:系统(19)是由系统(6)经无量纲变化所得,因此系统(19)的所有非平凡非负周期解x (t)等价于系统(6)的非平凡非负周期解u (t ),v (t ).下证系统(6)的非平凡非负周期解u (t ),v (t ),对∀t ȡ0有0<u (t ),v (t )ɤM ,其中M 如式(23)所示.因为u (t )是非平凡非负的周期解,故存在t 0>0,使得u (t 0)>0.对u ᶄ(t )积分可得u (t )=u (t 0)e x p ʏt t 0r 1+k v (ξ)-d -a u (ξ)-c v (ξéëêêùûúú)d {}ξ>0, t >t 0,则∀t >t 0,u (t )>0.又因为u (t )具有周期性,故∀t >0,u (t )>0.再由u (t ),v (t )是非平凡非负的周期解,可得̇v =βe -s τc u (t -τ)v (t -τ)-μv -αv 2ȡ-μv -αv 2,并存在t 1>0,使得v (t 1)>0.考虑初值问题̇y =-μy -αy 2,y (t 1)=v (t 1{),(24)问题(24)的解为y (t )=1y -1(t 1)e μ(t -t 1)+ʏtt 1αeμ(t -θ)d θ>0,由比较原理知当t >t 1时,v (t )ȡy (t )>0,又因为v (t )具有周期性,故∀t >0,v (t )>0.由定理1得l i ms u p t ңɕu (t )ɤM .断言∀t ȡ0,有u (t )ɤM .否则,存在t 1>0,使得u (t 1)>M ,则l i m n ңɕu (t 1+n T )=u (t 1)>M ,其中T 是周期解的周期,与u (t )最终有界矛盾,因此M 为u (t )的一致上界.同理,M 为v (t)的一致上界.引理3 系统(19)不存在周期为1的非平凡周期解.证明:反证法.设x (t )是系统(19)周期为1的非平凡周期解,则(u (t ),v (t ))为系统(6)周期为τ的非平凡周期解,故u (t -τ)=u (t ),v (t -τ)=v (t ),因此(u (t ),v (t ))也为常微分方程(11)的周期解,但由定理3知系统(11)不存在周期解,矛盾.从而系统(19)不存在周期为1的非平凡周期解.定理5 对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),关于系统(19)下列结论成立:1)所有的连通分支C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))是有界的;2)两个全局H o p f 分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))和C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1))相连,连接一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1.进一步,对于每个τɪ(τn ,τ2K -n -1),系统(19)至少存在一个周期属于554 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(1/(n +1),1/n )的周期解,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.证明:根据引理2可知C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在X 上的投影有界.又因为系统(19)不存在周期为1的周期解,故对∀m ɪℕ+,系统(19)不存在周期为1/m 或1/(m +1)的周期解.由定理4可知,对∀n ɪ[1,K -1],n ɪℕ+,在连通分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))(r e s p .C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1)))上周期解的周期T n 满足1n +1<T n <1n r e s p .1n +1<T 2K -n -1<1æèçöø÷n .故对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在T -空间上的投影有界.又因为τɪ[0,^τ)为有界区间,所以对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在X ˑ[0,^τ)ˑℝ+上有界.易知当R (τ)>1时,对任意的τ和周期T ,驻解(E 0,τ,T )和(E b ,τ,T )都不是中心,所以不需要考虑两个边界平衡点.记E 1(F )={(E *,τ,T );(τ,T )ɪ[0,^τ)ˑℝ+},则由文献[17]中的全局H o p f 分支定理可知E ʒ=C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))ɘE 1(F )是有限的,且ð(췍x ,τ,T )ɪEγ1(x ,τ,T )=0.(25)由式(25)和式(22)知,任何全局H o p f 分支必须包含至少两个H o p f 分支值τn (1ɤn ɤK -1)和τ2K -r -1(1ɤr ɤK -1).断言每个全局H o p f 分支精确地连接一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1(1ɤn ɤK -1).否则,存在一个全局H o p f 分支连接τn 和τ2K -r -1(n ʂr ).在连通分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))中,周期T n ɪ1n +1,1æèçöø÷n ;在另一个分支C (E *,τ2K -r -1,2π/(ω2K -r -1τ2K -r -1))中,周期T 2K -r -1ɪ1r +1,1æèçöø÷r .如果这两个分支相连,则相连时的周期应相同,但注意到n ʂr ,1n +1,1æèçöø÷n ɘ1r +1,1æèçöø÷r =Ø,所以两者周期范围的分离排除了连接的可能性.因此对任意的正整数1ɤn ɤK -1,H o pf 分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))(r e s p .C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1)))连接了一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1.图1 函数S 0,S 1,S 2在区间[0,^τ)上的图像(A )和系统(19)所有的全局H o pf 分支(B )及其周期解的周期(C )F ig .1 I m a g e s o f f u n c t i o n s S 0,S 1,S 2o n [0,^τ)(A ),a l l g l o b a lH o pf b i f u r c a t i o n s o f s ys t e m (19)(B )a n d p e r i o d s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s (C )5 数值模拟下面利用MA T L A B 软件和D D E -B I F T O O L 工具包进行数值模拟,演示在可行区间τɪ[0,^τ)上全局H o p f 分支的理论结果.基于文献[11-12]的数值模拟,选择如下一组参数:r =3,k =0.3,d =0.03,a =0.01,c =0.8,β=0.5,s =0.21,μ=0.08,α=0.2.直接计算可得^τʈ20.1719<τm a x ʈ34.778.因此存在唯一的共存平衡点E *.S n (τ)在[0,^τ)上的图像如图1(A )所示,根据定理4知,存在4个(K =2)局部H o p f 分支值:0<τ0ʈ0.3956<τ1ʈ6.8935<τ2ʈ19.2090<τ3ʈ20.0799<^τʈ20.1719.相应地,有ω0ʈ0.9992>ω1ʈ0.9753>ω2ʈ0.4179>ω3ʈ0.1328.当分支参数τ在更大范围内变化时,全局H o p f 分支由局部H o p f 分支从H o pf 分支值延拓而得.图1(B )为两个全局H o p f 分支C (E *,τk ,2π/(ωk τk ))(0ɤk ɤ1),且每个全局H o p f 分支连接了一对H o p f 分支值.图1(C )为全局H o p f 分支中周期解的周期.由图1(C )可知,∀τɪ(τ1,τ2),系统(19)至654 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.少在全局H o p f 分支C (E *,τ1,2π/(ω1τ1))上存在一个周期为T 1ɪ(τ/2,τ)的周期解,因此与定理5结论相符.图2(A )为两个全局H o p f 分支上周期解F l o qu e t 乘子的最大模,以反映周期解的稳定性.由图2(A )可见,第一支全局H o p f 分支C (E *,τ0,2π/(ω0τ0))上的周期解随着τ的增加呈现 稳定-不稳定-稳定 的状态变化,第二支全局H o p f 分支C (E *,τ1,2π/(ω1τ1))上的周期解均为不稳定状态.图2(B )为以τ为分支参数的分支图,进一步验证了定理4以及图2(A )中周期解的性质.当τɪ[0,τ0)ɣ(τ3,τm a x )时,唯一的共存平衡点E *是局部渐近稳定的;当τɪ(τ0,τ3)时,E *是不稳定的,并产生H o p f 分支,且H o p f 分支上的周期解从稳定状态转入混沌状态又恢复稳定状态.此外,当τ>τm a x ʈ34.778时,系统(19)不存在共存平衡点,此时边界平衡点E b 全局渐近稳定.图2 H o p f 分支上周期解F l o qu e t 乘子的最大模(A )及以τ为分支参数的分支图(B )F i g .2 M a x i m u m m o d u l u s o f F l o q u e tm u l t i p l i e r s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s o nH o pf b i f u r c a t i o n s (A )a n db i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h τa s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r (B )为分析恐惧程度k 和时滞τ对系统(19)的综合影响,基于文献[10-11]的数值模拟选择如下一组参数:r =0.6,d =0.05,a =0.05,c =0.4,β=0.5,s =0.16,μ=0.08,α=0.05.利用D D E -B I F T O O L 工具包绘制双参数H o pf 分支,如图3(A )所示.由图3(A )可见,在区域S 中共存平衡点E *局部渐近稳定,在区域U 中共存平衡点不稳定,且在E *附近发生H o p f 分支,存在周期解.由图3(A )可知:当时滞τ较小(τɪ[0,τ4))或较大(τɪ(τ7,τm a x ))时,恐惧程度k 对系统(19)的稳定性无影响,当时滞τɪ(τ4,τ7)时,系统(19)的稳定性将受食饵对捕食者恐惧的影响,当捕食者引起的恐惧处于低水平时,E *不稳定,产生H o pf 分支,当捕食者引起的恐惧处于高水平时,E *为稳定状态.图3(B )为在选取τ=2.3ɪ(τ5,τ6)时,k 作为分支参数的分支图.由图3(B )可见:当k 较小时,E *不稳定,在其附近产生稳定的周期解;当k 较大时,E *又恢复稳定状态.对这种现象的合理生物学解释[18]是:当食饵非常害怕捕食者时,它们会减少觅食活动并适应不同的防御机制以避免被捕食.恐惧效应可极大地帮助捕食者物种增加其生物量,因此,从长远来看,还有助于捕食者物种的持久性并提高整个系统的稳定性.图3 以k ,τ为分支参数的双参数H o pf 分支图(A )及当τ=2.3ɪ(τ5,τ6)时k 作为分支参数的分支图(B )F ig .3 T w o p a r a m e t e r sH o p f b i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h k a n d τa s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r s (A )a n db i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h k a s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e rw h e n τ=2.3ɪ(τ5,τ6)(B )754 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.854吉林大学学报(理学版)第61卷参考文献[1] C R E E LS,C H R I S T I A N S O N D.R e l a t i o n s h i p s b e t w e e nD i r e c t P r e d a t i o n a n dR i s kE f f e c t s[J].T r e n d s i nE c o l o g y&E v o l u t i o n,2008,23(4):194-201.[2] L I MASL.P r e d a t o r s a n d t h eB r e e d i n g B i r d:B e h a v i o r a l a n dR e p r o d u c t i v eF l e x i b i l i t y u n d e r t h eR i s ko fP r e d a t i o n[J].B i o l o g i c a lR e v i e w s,2009,84(3):485-513.[3] C R E S S W E L L W.P r e d a t i o n i nB i r dP o p u l a t i o n s[J].J o u r n a l o fO r n i t h o l o g y,2011,152(1):251-263.[4]姚佳佳,沈维.一类食饵-捕食模型的稳定性和H o p f分支的存在性[J].吉林大学学报(理学版),2022,60(2):225-230.(Y A OJJ,S H E N W.S t a b i l i t y o f aC l a s so fP r e y-P r e d a t o r M o d e l a n dE x i s t e n c eo fH o p fB i f u r c a t i o n [J].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n),2022,60(2):225-230.)[5] P E A C O RSD,P E C K A R S K YBL,T R U S S E L LGC,e t a l.C o s t so fP r e d a t o r-I n d u c e dP h e n o t y p i cP l a s t i c i t y:AG r a p h i c a lM o d e l f o r P r e d i c t i n g t h eC o n t r i b u t i o n o fN o n c o n s u m p t i v e a n dC o n s u m p t i v eE f f e c t s o f P r e d a t o r s o nP r e y[J].O e c o l o g i a,2013,171(1):1-10.[6] Z A N E T T ELY,WH I T E AF,A L L E N M C,e t a l.P e r c e i v e dP r e d a t i o nR i s kR e d u c e s t h eN u m b e r o fO f f s p r i n gS o n g b i r d sP r o d u c eP e rY e a r[J].S c i e n c e,2011,334:1398-1401.[7] S A R K A R K,K HA J A N C H I S.I m p a c t o f F e a rE f f e c t o n t h eG r o w t ho f P r e y i n aP r e d a t o r-P r e y I n t e r a c t i o nM o d e l[J].E c o l o g i c a l C o m p l e x i t y,2020,42:100826-1-100826-17.[8] L A ILY,Z HU Z L,C H E N F D.S t a b i l i t y a n dB i f u r c a t i o ni naP r e d a t o r-P r e y M o d e lw i t ht h eA d d i t i v eA l l e eE f f e c t a n d t h eF e a rE f f e c t[J].M a t h e m a t i c s,2020,8(8):1280-1-1280-21.[9] WA N G Y,Z O U XF.O n aP r e d a t o r-P r e y S y s t e m w i t hD i g e s t i o nD e l a y a n dA n t i-p r e d a t i o nS t r a t e g y[J].J o u r n a lo fN o n l i n e a r S c i e n c e,2020,30(4):1579-1605.[10] D A S B K,S A HO O D,S AMA N T A G P.I m p a c to f F e a ri n a D e l a y-I n d u c e d P r e d a t o r-P r e y S y s t e m w i t hI n t r a s p e c i f i cC o m p e t i t i o nw i t h i nP r e d a t o rS p e c i e s[J].M a t h e m a t i c sa n dC o m p u t e r s i nS i m u l a t i o n,2022,191:134-156.[11] WA N G X Y,Z A N E T T EL,Z O U XF.M o d e l l i n g t h eF e a rE f f e c t i nP r e d a t o r-P r e y I n t e r a c t i o n s[J].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l B i o l o g y,2016,73(5):1179-1204.[12] L IM Y,L I N X H,WA N G H.G l o b a lH o p fB r a n c h e sa n d M u l t i p l eL i m i tC y c l e s i naD e l a y e dL o t k a-V o l t e r r aP r e d a t o r-P r e y M o d e l[J].D i s c r e t e a n dC o n t i n u o u sD y n a m i c a l S y s t e m sS e r i e sB,2014,19(3):747-760.[13] S HU H Y,HU X,WA N G L,e ta l.D e l a y I n d u c e dS t a b i l i t y S w i t c h,M u l t i t y p eB i s t a b i l i t y a n d C h a o si na nI n t r a g u i l dP r e d a t i o n M o d e l[J].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l B i o l o g y,2015,71(6/7):1269-1298.[14]魏俊杰,王洪滨,蒋卫华.时滞微分方程的分支理论及应用[M].北京:科学出版社,2012:61-68.(W E I J J,WA N G H B,J I A N G W H.B i f u r c a t i o nT h e o r y a n d A p p l i c a t i o no fD e l a y D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[M].B e i j i n g: S c i e n c eP r e s s,2012:61-68.)[15] HA L EJ K,V E R D U Y N L U N E L S M.I n t r o d u c t i o nt o F u n c t i o n a l-D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s[M].N e w Y o r k:S p r i n g e r-V e r l a g,1993:1-464.[16] B E R E T T A E,K U A N G Y.G e o m e t r i c S t a b i l i t y S w i t c h C r i t e r i ai n D e l a y D i f f e r e n t i a l S y s t e m s w i t h D e l a yD e p e n d e n tP a r a m e t e r s[J].S I AMJ o u r n a l o n M a t h e m a t i c a lA n a l y s i s,2015,33(5):1144-1165.[17] WUJH.S y mm e t r i cF u n c t i o n a l-D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa n d N e u r a lN e t w o r k sw i t h M e m o r y[J].T r a n s a c t i o n so ft h eA m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1998,350(12):4799-4838.[18] X I EBF,Z HA N G N.I n f l u e n c e o fF e a rE f f e c t o naH o l l i n g T y p eⅢP r e y-P r e d a t o r S y s t e m w i t h t h eP r e y R e f u g e[J].A I M S M a t h e m a t i c s,2022,7(2):1811-1830.(责任编辑:李琦)Copyright©博看网. 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数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型一、实验目的1、学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析；2、学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。

二、实验材料问题图是著名的洛仑兹混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。

洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT ）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。

以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环 ；4)极限环面。

除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。

事实上这种想法是非常错误的。

1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。

而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。

例如，数据加密中。

我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢图 洛仑兹混沌吸引子假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x 为兔子数量,y 表狐狸数量。

假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。

如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。

狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为。

而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为。

建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。

预备知识1、求解常微分方程的Euler 折线法求初值问题⎩⎨⎧=='00)(),,(y x y y x f y （） 在区间],[0n x x 上的数值解，并在区间插入了结点)()(110n n x x x x <<<<-Λ。

基金项 目：国家 自 然科学基金（０７ １４； １９ １２） 教育部高等学校博士点基金（０８ ７８ ０４ ２Ｏ０ １００ ）
通讯作 者： ｉｎ ｕ ｗ￣ｓ ｎ ．ｄ ．ｎ ｊ ｈａ ａ ｎ ｕｅ ｕｃ
４４ ２
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第４ ６ 期
Ｈ ｌ， Ｕ
＿ ｕ ｉ
性，并给 出了数值模拟 ．然而现实世界 中， 种群 的空 间分布 是不均匀 的，鉴于 问题 的实际背景， 并考虑 到种群扩散的影响， 在齐次Ｎ ｕ ｎ 边界条件 下， ｅ ｍａ ｎ 系统ｆ） 为 ２变
ｆ％ 一 ｉｕ＝ １ 一 １一 ＋ ２ ｌ 而 ｌ Ｇ（） Ｅ ｔ ０ ｄ ｌ （ Ｕ） （ ） —ＵＵ ＝ Ｉ ， ，＞ ， Ａ １ 乱 ３ Ｕ ３ Ｕ
Ｉ ｛
ｌ
一 ２ｕ＝ ｌ ￣ｌ 一 ｕ ＝ ２ ） ｄ ２ Ｕ＋ Ｕ ２ ｄ２ Ｇ（ ， Ａ Ｕ 一 ３ｕ＝ ３ 他 ｍｉ＝ ３ ） ｄ ３ ｕ（ ＋ｌ ｕ Ｇ（ ， Ａ 一 ＋ ）
Ｕ ＝ Ｕ ＝０Ｕ ＝０ ｌ ２ ３ ，
Ｅ ｔ０ ，＞ ， Ｅ ｔ０ ，＞ ，
解 ＝（１面， ） 面，２ 是局部渐近稳定的．
证 令Ｇ ＝（ （ ）Ｇ （ ， ３ ） ２可记为面 （ ） Ｇ１ ， ２ ｕ ）Ｇ （ ， ） ） 则（ ｄ Ｕ＝Ｇ￡ ． （） 令 厂
Ｉ ｌ ２ ｎ３ ｌ ／０１ １。 １ 、 ｎ
Ｇ （ ｌ ａ １ ａ２ ａ ３ Ｉ ｕ ） Ｉ ２ ２ ２ Ｊ
§ 引 言 １
生 物种群 由于各种 因素，易于遭受病 毒感染．近些年 来，一些具有传 染病的生物个体 出现
在捕 食一 食饵模 型之 中，受到许 多学者 的广泛关注 【６ １】 － ，这些 模型大都局 限于种群 内部 的疾病传 染． 然而许多生物种群 中的传染病不仅来 自种群间的相互接触 ， 而且还直接来源于外部环境． 本

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2024.1.035收稿日期:2022-07-27基金项目:国家自然科学基金(11961074).第一作者:钟颖,女,1998-,硕士研究生;研究方向:生物数学;E -m a i l :443299074@q q.c o m.通信作者:韦煜明,男,1974-,博士,教授;研究方向:生物数学;E -m a i l :ym w e i @g x n u .e d u .c n .具有L év y 跳的随机时滞食饵-捕食模型的最优收获钟 颖, 韦煜明(广西师范大学数学与统计学院,541004,广西壮族自治区桂林市) 摘要:研究了一类带L év y 跳的时滞食饵-捕食模型的捕捞策略.利用比较原理分析物种平均持久性和灭绝性的充分条件,在一定假设条件下证明了该模型分布的稳定性,运用遍历法建立最优收获策略存在的条件,得到了最优捕捞努力量和最大持续产量.最后通过数值模拟验证理论结果.关键词:食饵-捕食;L év y 跳;时滞;最优收获策略中图分类号:O 175.6 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2024)01-0035-120 引 言近年来,全球生物多样性正在急剧下降,‘地球生命力报告2020“中指出:全球物种数量在不到半个世纪的时间减少了约2/3.导致物种减少的重要原因之一是生物资源过度利用,在1992年,加拿大纽芬兰岛的渔民没有捕获到一条鳕鱼,由于过度捕捞导致4万人失去工作,该地区经济衰落.捕食与被捕食是自然界中普遍存在的种间关系,研究具有收获项的食饵-捕食模型具有重要的现实意义[1-4].随着研究的逐步深入,学者们发现时滞不可避免的存在于自然界中,比如妊娠时滞㊁成熟时滞㊁合作时滞等,研究发现时滞会引起系统的稳定性变化[5-8].在现实环境中,物种还会受到不同形式的随机因素干扰,比如温度变化㊁寒流㊁空气湿度变化等,此类数量多但强度小的干扰称为白噪声[9-13],同时也存在一些数量少但强度大的干扰,例如海啸㊁洪水㊁火山爆发等称为L év y 噪声[14-16].随机扰动在自然界中无处不在,所以考虑随机噪声对种群动力学的影响是符合实际且必要的.基于上述文献的启发,本文构建具有收获和时滞的随机食饵-捕食模型 d x 1(t )=x 1(t -)[r 1(1-x 1(t -)k )-n x 2(t --τ2)-h 1]d t +σ1x 1(t -)d B 1(t )+x 1(t -)ʏχ1(u )N (d t ,d u ),d x 2(t )=x 2(t -)[r 2+m x 1(t --τ1)-a 22x 2(t -)-h 2]d t +σ2x 2(t -)d B 2(t )+x 2(t -)ʏχ2(u )N (d t ,d u ),ìîíïïïïïïïï(1)初值条件x i (θ)=φi (θ),θɪ[-τ,0],τ=m a x {τ1,τ2},i =1,2,其中x 1和x 2分别表示猎物和捕食者在t 时刻的种群密度,猎物生长服从l o g i s t i c 规律,r 1>0表示猎物的内禀增长率,k >0为x 1种群的环境最大容纳量,r 2<0表示捕食者的死亡率,m >0表示转化率,n >0表示捕食者对猎物的消耗率,a 22>0是捕食者种群内的竞争系数,h i >0分别为x i 的捕捞努力量,τi >0表示时滞,x i (t -)是x i (t )的左极限,φi 是[-τ,0]到(0,+ɕ)的连续函数.B i (t )是定义在完全概率空间(Ω,F ,P )上相互独立的标准B r o w n 运动,σ2i 表示白噪声强度.N (d t ,d u )=N (d t ,d u )-λ(d u )d t ,N 是P o i s s o n 计数测度,λ是N 在(0,+ɕ)的可测子集上满足第50卷 第1期2024年1月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .50 N o .1J a n .2024λ()<+ɕ的特征测度,χi 表示Lév y 噪声对物种i 的影响,i =1,2.1 平均持久性和灭绝性为了方便讨论,给出下列记号和假设:β1=r 1-h 1,β2=r 2-h 2,αi =0.5σ2i +ʏ(χi (u )-l n (1+χi (u )))λ(d u ),d i =βi -αi,Q i(t )=ʏt 0ʏl n (1+χi(u ))N (d s ,d u ),x (t )=1tʏtx (s )d s ,x *=l i m t ң+ɕs u p x (t ),x *=l i m t ң+ɕi n f x (t ),Γ=r 1k n -m a 22,κ1=β1α1,κ2=Γ2Γ 2,其中Γi 表示将Γ的第i 列替换为(β1,β2)t ,Γ i 表示将Γ的第i 列替换为(α1,α2)t .Γ>0,Γ 2>0.假设1 对于χi (u ),1+χi (u )>0,u ɪ,t ȡ0,存在正常数D 使得ʏ[l n (1+χi (u ))]2λ(d u )<D ,i =1,2. 假设2 Γ1>0,Γ2>0.假设3 r 1k>m ,a 22>n .假设4 β1α1>β2α2.为了研究随机种群模型的动力学行为,首先要考虑它的解是否为唯一的全局正解,下面给出引理.引理1.1 对任意的初值(φ1,φ2)ɪC ([-τ,0],ℝ2+),模型(1)有几乎确定的唯一全局解x (t )=(x 1(t ),(x 2(t ))T ɪℝ2+.证明 首先证明模型(1)有唯一的局部正解,考虑模型d z 1(t )=[d 1-r 1ke z 1(t -)-n e z 2(t --τ2)]d t +σ1d B 1(t )+ʏl n (1+χ1(u ))N (d t ,d u ),d z 2(t )=[d 2+m e z 1(t --τ1)-a 22e z 2(t -)]d t +σ2d B 2(t )+ʏl n (1+χ2(u ))N (d t ,d u ),ìîíïïïï(2)初值z i (θ)=l n φi (θ),θɪ[-τ,0],i =1,2.显然模型(2)的系数满足局部L i p s h c i t z 条件,故在[0,τe ]上有唯一局部解[17],其中τe 是爆破时间.用I t ^o 公式,可以得到模型(1)具有初值x i (θ)=φi (θ),θɪ[-τ,0]的唯一局部正解x (t )=(e z 1(t ),e z 2(t ))T .接下来用比较定理[18]证明x (t )是全局解,即τe =+ɕ.考虑模型d y 1(t )=y 1(t -)β1-r 1k y 1(t -)éëêêùûúúd t +σ1y 1(t -)d B 1(t )+y 1(t -)ʏχ1(u )N (d t ,d u ),d y 2(t )=y 2(t -)[β2+m y 1(t --τ1)-a 22y 2(t -)]d t +σ2y 2(t -)d B 2(t )+y 2(t -)ʏχ2(u )N (d t ,d u ),ìîíïïïï(3)初值y i (θ)=φi (θ),θɪ[-τ,0],i =1,2.由随机比较定理,当t ɪ[0,τe ]有x i (t )ɤy i (t ),a .s .,i =1,2.(4)根据文献[19]中的定理2.1,当t ȡ0时,模型(3)有唯一全局解y 1(t ),y 2(t ).因此得出结论τe =+ɕ.证毕.引理1.2[20]假设函数f (t )ɪC [Ωˑ[0,+ɕ],ℝ+],且假设1成立.(ⅰ)存在正常数T 和λ0,当t ȡT 时,有l n f (t )ɤλt -λ0ʏt 0f (s )d s +ð2i =1σi B i (t )+ð2i =1λiQ i (t ),其中σi ㊁λi (i =1,2)为常数,则63 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年f *ɤλ/λ0a .s .,λȡ0;l i m t ң+ɕf (t )=0a.s .,λ<0.{(ⅱ)存在正常数T ㊁λ和λ0,当t ȡT 时,有l n f (t )ȡλt -λ0ʏt 0f (s )d s +ð2i =1σi B i (t )+ð2i =1λi Q i (t ),则f *ȡλ/λ0a .s ..引理1.3[21] 令M y (t ,τ)=t -1ʏtt -τy (s )d s -ʏ0-τy (s )d s [].若存在常数c ,使得l i m t ң+ɕy (t )=c ,a .s .,则对于任意的τȡ0有l i m t ң+ɕM y (t ,τ)=0,a .s ..(5) 引理1.4 关于模型(3),有下列结论:(ⅰ)若d 1<0,则l i m t ң+ɕy i (t )=0,a .s .,i =1,2;(ⅱ)若d 1>0,d 2+m k d 1r 1<0,则l i m t ң+ɕy 1(t )=k d 1r 1,l i m t ң+ɕy 2(t )=0,a .s .;(ⅲ)若d 1>0,d 2+m k d 1r 1ȡ0,则l i m t ң+ɕy 1(t )=k d 1r 1,l i m t ң+ɕy 2(t )=d 2+m k d 1r 1a 22,a .s ..证明 将I t ^o 公式应用到模型(3)中,得到l n y 1(t )-l n y 1(0)=d 1t -r 1k ʏty 1(s )d s +σ1B 1(t )+Q 1(t ),(6)l n y 2(t )-l n y 2(0)=d 2t +m ʏty 1(s -τ1)d s -a 22ʏty 2(s )d s +σ2B 2(t )+Q 2(t )=d 2t +m ʏt 0y 1(s )d s -m ʏtt -τ1y 1(s )d s -ʏ0-τ1y 1(s )d s []-a 22ʏty 2(s )d s +σ2B 2(t )+Q 2(t ),(7)两边分别乘以t -1,得到t -1l n y 1(t )y 1(0)=d 1-r 1k y 1(t )+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t ),(8)t -1l n y 2(t )y 2(0)=d 2+m y 1(t )-mM y 1(t ,τ1)-a 22y 2(t )+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t ).(9) 首先证明(ⅰ)成立.由式(8)可推出t -1l n y 1(t )y 1(0)ɤd 1+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t ).由条件知d 1<0,根据引理1.2中的(ⅰ),有l i m t ң+ɕy 1(t )=0,a .s ..结合引理1.3,有|m y 1(t )-mM y 1(t ,τ1)|<ε,对充分大的t ,0<ε<-d 2,那么关于式(9),有t -1l n y 2(t )y 2(0)ɤd 2+ε-a 22y 2(t )+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t ).由于d 2<0,0<ε<-d 2,故d 2+ε<0,由引理1.2中的(ⅰ),有l i m t ң+ɕy 2(t )=0,a .s ..其次证明(ⅱ)成立.因为l i m t ң+ɕl n y 1(0)t=0,由式(8)可得(d 1-ε)t -r 1k ʏty 1(s )d s +σ1B 1(t )+Q 1(t )ɤl n y 1(t )ɤ(d 1+ε)t -r 1k ʏty 1(s )d s +σ1B 1(t )+Q 1(t ).73第1期 钟颖,等:具有L év y 跳的随机时滞食饵-捕食模型的最优收获根据条件d 1>0和引理1.2有y 1*=l i m t ң+ɕs u p t -1ʏt 0y 1(s )d s ɤk d 1r 1,a .s .,y 1*=l i m tң+ɕi n f t -1ʏt 0y 1(s )d s ȡk d 1r 1,a .s ..因此,l i m t ң+ɕy 1(t )=k d 1r 1,a .s ..结合引理1.3,对于任意ε>0,存在T >0,当t >T 时,有|m y 1(t )-mM y 1(t ,τ1)|<m k d 1r 1+ε.对于充分大的t ,由式(9)得到t -1l n y 2(t )y 2(0)-d 2-m k d 1r 1+a 22y 2(t )-t -1σ2B 2(t )-t -1Q 2(t )ɤε,(10)因此有t -1l n y 2(t )y 2(0)ɤd 2+m k d 1r 1+ε-a 22y 2(t )+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t ),(11)其中ε足够小且满足d 2+m k d 1r 1+ε<0.由引理1.2中的(ⅰ),有l i m t ң+ɕy 2(t )=0,a .s ..接下来证明(ⅲ)成立.如果d 2+m k d 1r 1=0,由引理1.2中的(ⅰ),有l i m t ң+ɕy 2*ɤεa 22,a .s ..由ε的任意性,则l i m t ң+ɕy 2(t )=0,a .s ..如果d 2+m k d 1r 1>0,应用引理1.2到式(10)中,有y 2*ɤd 2+m k d 1r 1+εa 22,a .s .,y 2*ȡd 2+m k d 1r 1-εa 22,a .s .,其中ε足够小,使得d 2+m k d 1r 1-ε>0.由ε的任意性得l i m t ң+ɕy 2(t )=d 2+m k d 1r 1a 22,a .s ..推论1.1 l i m t ң+ɕM x i (t ,τ)=0,a .s .,i =1,2,τȡ0.证明 根据引理1.4,对于1ɤi ɤ2,都有l i m t ң+ɕy i (t )=c ,a .s ..由引理1.3知l i m t ң+ɕM y i (t ,τ)=0,a .s ..由式(4),x i (t )ɤyi (t ),a .s .,i =1,2,故有l i m t ң+ɕM x i (t ,τ)=0.引理1.5 对于模型(1)有l i m t ң+ɕs u pl n x i (t )tɤ0,a .s .,i =1,2.证明 因为x i (t )ɤy i (t ),a .s .,i =1,2,故只需证明l i m t ң+ɕs u p l n y i (t )tɤ0,对引理1.4的结果依次验证.(ⅰ)l i m t ң+ɕy i (t )=0,a .s .,i =1,2.故有l i m t ң+ɕs u p l n y i (t )tɤ0,a .s .,i =1,2.(ⅱ)将引理1.4的结论l i m t ң+ɕy 1(t )=k d 1r 1代到式(8)中,容易证得l i m t ң+ɕs u pl n y 1(t )t ɤ0.因为l i m t ң+ɕy 2(t )=0,故有l i m t ң+ɕs u pl n y 2(t )t ɤ0.(ⅲ)类似(ⅱ)的证明,故省略.接下来,建立模型(1)中物种的时间平均持久性和灭绝性的充分条件.定理1.1 对于模型(1),如果假设1-假设4成立,则κ1>κ2并且有下述结论:(ⅰ)如果κ2>1,则l i m t ң+ɕx i (t )=Γi -Γ iΓ,a .s .,i =1,2;83 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年(ⅱ)如果κ2<1<κ1,则l i m t ң+ɕx 1(t )=k d 1r 1,l i m t ң+ɕx 2(t )=0,a .s .;(ⅲ)如果κ1<1,则l i m t ң+ɕx i (t )=0,a .s .,i =1,2.证明 首先证κ1>κ2成立.根据已知计算得κ1-κ2=r 1k (β1α2-β2α1)α1Γ 2>0.(ⅰ) 记(x *1,x *2)t是方程(12)的解r 1k x 1+n x 2=β1-α1,-m x 1+a 22x 2=β2-α2.ìîíïïï(12)由克莱姆法则,x *i=Γi -Γ i Γ,i =1,2.因为Γ>0和Γ2-Γ 2>0,因此x *2>0.因为β2<0,从方程(12)中得到x *1=a 22x *2+α2-β2m >0.此时Γi -Γ i Γ>0,i =1,2.接下来证明l i m t ң+ɕx 2(t )=Γ2-Γ 2Γ,a .s ..对模型(1)应用I t ^o 公式,得到t -1l n x 1(t )x 1(0)=d 1-r 1kx 1(t )-n x 2(t )+n M x 2(t ,τ2)+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t ),(13)t -1l n x 2(t )x 2(0)=d 2+mx 1(t )-a 22x 2(t )-mM x 1(t ,τ1)+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t ).(14)从式(13)和式(14)中消去x 1(t ),记Δ1=m ,Δ2=r 1k ,Δ2t -1l n x 2(t )x 2(0)+Δ1t -1l n x 1(t )x 1(0)=ð2i =1Δi d i ()-(Δ2a 22+Δ1n )x 2(t )+ t-1ð2i =1Δi σiB i(t )+t -1ð2i =1Δi Q i(t )-Δ1Δ2M x 1(t ,τ1)+Δ1n M x 2(t ,τ2)=Γ2-Γ 2-Γx 2(t )+t -1ð2i =1Δi σi B i (t )+t -1ð2i =1Δi Q i (t )- Δ1Δ2M x 1(t ,τ1)+Δ1n M x 2(t ,τ2).(15)由引理1.5和推论1.1,对于0<ε<Γ2-Γ 2,存在T >0,当t ȡT 时有t -1m l n x 1(t )x 1(0)-r 1k l n x 2(0)æèçöø÷<ε2,m n M x 2(t ,τ2)-m r 1k M x 1(t ,τ1)ȡ-ε2.将上述两个不等式代入式(15),对充分大的t ,有t -1Δ2l n x 2(t )ȡΓ2-Γ 2-ε-Γx 2(t )+t -1ð2i =1Δi σi B i (t )+t -1ð2i =1Δi Q i (t ).(16)由引理1.2中的(ⅱ)及ε的任意性,有x 2*=l i m t ң+ɕi n f t-1ʏt 0x 2(s )d s ȡΓ2-Γ 2Γ,a .s ..(17) 接下来证明x 2*ɤΓ2-Γ 2Γ,a .s ..对于∀ε>0,∃T >0,当t >T 时,有n x 2(t )ȡn x 2*-εȡn (Γ2-Γ 2)Γ-ε.根据推论1.1,对于充分大的t ,t -1l n x 1(t )=t -1l n x 1(0)+d 1-r 1kx 1(t )-n x 2(t )+n M x 2(t ,τ2)+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t )93第1期 钟颖,等:具有L év y 跳的随机时滞食饵-捕食模型的最优收获ɤd 1-n (Γ2-Γ 2)Γ+2ε-r 1k x 1(t )+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t )=r 1k Γ1-Γ 1Γ+2ε-r 1kx 1(t )+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t ).因为Γ1-Γ 1Γ>0.利用引理1.2中的(ⅰ)及ε的任意性,有x 1*ɤΓ1-Γ 1Γ,a .s ..(18)结合引理1.3推出t -1l n x 2(t )x 2(0)=d 2+mx 1(t )-a 22x 2(t )-mM x 1(t ,τ1)+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t )ɤd 2+m Γ1-Γ 1Γ+ε-a 22x 2(t )+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t )=a 22Γ2-Γ 2Γ+ε-a 22x 2(t )+t -1σ2B 2(t )+t -1Q 2(t ).(19)由引理1.2中的(ⅰ)及ε的任意性,有x 2*ɤΓ2-Γ 2Γ,a .s ..(20)根据引理1.3和式(20),得t -1l n x 1(t )x 1(0)=d 1-r 1kx 1(t )-n x 2(t )+n M x 2(t ,τ2)+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t )ȡd 1-n (Γ2-Γ 2)Γ-ε-r 1k x 1(t )+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t )=r 1k Γ1-Γ 1Γ-ε-r 1k x 1(t )+t -1σ1B 1(t )+t -1Q 1(t ),其中ε足够小且满足r 1k Γ1-Γ 1Γ-ε>0.由引理1.2中的(ⅰ)及ε的任意性,得x 1*ȡΓ1-Γ 1Γ,a .s .,结合式(17)㊁(18)㊁(20)证得(ⅰ).(ⅱ) 由推论1.1㊁引理1.5和式(15),可以得到t -1r 1k l n x 2(t )ɤΓ2-Γ 2+ε-Γx 2(t )+t -1ð2i =1Δi σi B i (t )+t -1ð2i =1Δi Q i (t ).因为κ2<1,其中ε足够小且满足Γ2-Γ 2+ε<0,据引理1.2中的(ⅰ)知l i m t ң+ɕx 2(t )=0.l i m t ң+ɕx 1(t )=k d 1r 1的证明与引理1.4中的(ⅱ)类似,故省略.(ⅲ) 由条件知κ1<1,故有d 1<0,通过引理1.4和式(4)可以得到l i m t ң+ɕx 1(t )=0,l i m t ң+ɕx 2(t )=0,a .s .2 依分布稳定性引理2.1 存在正常数c ,使得l i m t ң+ɕs u p (x i (t ))ɤc ,i =1,2.证明 证明过程参考文献[22].定理2.1 若假设3成立,则模型(1)是依分布稳定的.换句话说,对初值x (θ)ɪC ([-τ,0],ℝ2+)有唯一的概率测度μ(㊃),当t ң+ɕ,x (t )的转移概率p (t ,x (θ),㊃)弱收敛到μ(㊃).04 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年证明 分3步证明定理2.1.第1步.令x (t )和x (t )分别是模型(1)初值为x (θ)ɪC ([-τ,0],ℝ2+)和x (θ)ɪC ([-τ,0],ℝ2+)的2个解.令x ︶i (t )=x i (t )-x i (t ),证明l i m t ң+ɕ|x ︶i (t )|=l i m t ң+ɕ|x i (t )-x i (t)|=0,i =1,2.首先证明|x ︶i (t )|ɪL 1[0,+ɕ).定义V (t )=|l n x 1(t )-l n x 1(t )|+|l n x 2(t )-l n x 2(t)|+n ʏt t -τ2|x ︶2(t )|ds +m ʏtt -τ1|x ︶1(t )|ds .应用I t ^o 公式,可推导出d +V (t )=s g n (x ︶1(t ))-r 1k (x ︶1(t ))-n (x ︶2(t -τ2))éëêêùûúúd t + s g n (x ︶2(t ))m (x ︶1(t -τ1))-a 22(x ︶2(t ))[]d t + [n |x ︶2(t )|-n |x ︶2(t -τ2)|+m |x ︶1(t )|-m |x ︶1(t -τ1)|]d t ɤ-r 1k|x ︶1(t )|+a 22|x ︶2(t )|{}d t +n |x ︶2(t )|d t +m |x ︶1(t )|d t ,故有0ɤ(V (t ))ɤV (0)-r 1k -m æèçöø÷ʏt 0E |x ︶1(t )|d s -(a 22-n )ʏt 0|x ︶2(t )|d s ,这意味着r 1k -m æèçöø÷ʏt 0E |x ︶1(t )|d s ɤV (0)<+ɕ,(a 22-n )ʏt|x ︶2(t )|d s ɤV (0)<+ɕ.因此E |x ︶i (t )|ɪL 1[0,+ɕ),i =1,2.(21) 下证(x ︶i (t )),i =1,2是一致连续的.根据模型(1),由于(B i (t ))=0,(Q i (t ))=0,i =1,2.故有(x 1(t ))=x 1(0)+ʏt0(r 1-h 1)(x 1(s ))-r 1k (x 1(s ))2-n (x 1(s )x 2(s -τ2))éëêêùûúúd s .因此(x 1(t ))可微,根据引理2.1,得d (x 1(t ))d t =(r 1-h 1)(x 1(t ))-r 1k(x 1(t ))2-n (x 1(t )x 2(t -τ2))ɤr 1(x 1(t ))ɤr 1c 1,其中c 1是常数,因此(x 1(t ))是一致连续的.用同样的方法证(x 2(t ))是一致连续的.由B a r b a l a t s 引理[23]和式(21)得到l i m t ң+ɕ|x ︶i (t )|=0,i =1,2.(22) 第2步.记P (ℝ2+)={P (t ,x (θ),ℝ2+)|P (t ,x (θ),ℝ2+)是x (t ;x (θ))ɪℝ2+的概率}.下证对于给定的初值x (θ)ɪC ([-τ,0],ℝ2+),{P (t ,x (θ),㊃)是P (ℝ2+)中的柯西列.对于任意的P 1㊁P 2ɪP ,定义度量d D (P 1,P 2)=s u ph ɪDʏℝ2+h (x )P 1(d x )-ʏℝ2+h (x )P 2(d x ),其中D ={h :ℝ2ңℝ||h (x )-h (y )|ɤx -y ,|h (㊃)|ɤ1}.对任意的h ɪD 和t ,s >0有 |h (x (t +s ;x (θ)))-h (x (t ;x (θ)))|=|[(h (x (t +s ;x (θ)))|F s )]-h (x (t ;x (θ)))|=ʏℝ2+h (x (t ;x (θ)))p (s ,x (θ),d x (θ))-h (x (t ;x (θ)))ɤʏℝ2+|h (x (t ;x (θ)))-h (x (t ;x (θ)))|p (s ,x (θ),d x (θ)).(23)由式(22),存在T >0,当t >T 时,有s u ph ɪD|h (x (t ;x (θ)))-h (x (t ;x (θ)))|ɤε.(24)14第1期 钟颖,等:具有L év y 跳的随机时滞食饵-捕食模型的最优收获将不等式(24)代入式(23)中,推出|h (x (t +s ;x (θ)))-h (x (t ;x (θ)))|ɤε.由h 的任意性有s u ph ɪD|h (x (t +s ;x (θ)))-h (x (t ;x (θ)))|ɤε.对任意的t ȡT ,s >0有d D (P (t +s ;x (θ),㊃),P (t ;x (θ),㊃))ɤε.第3步.证l i m t ң+ɕd D (P (t ;x (θ),㊃),μ(㊃))=0.因为{P (t ,x (θ),㊃)}是P (ℝ2+)中的柯西列,因此{P (t ,ψ(θ),㊃)}是P (ℝ2+)中的柯西列,其中ψ(θ)=(ψ1(θ),ψ2(θ))T,ψi (θ)ʉ0.1,θɪ[-τ,0].因此存在唯一的μ(㊃)ɪP (ℝ2+),使得l i m t ң+ɕd D (P (t ,ψ(θ),㊃),μ(㊃))=0.(25)据式(22),l i m t ң+ɕd D (P (t ,x (θ),㊃),P (t ,ψ(θ),㊃))=0,结合式(25)有l i m t ң+ɕd D (P (t ,x (θ),㊃),μ(㊃))ɤl i m t ң+ɕd D (P (t ,x (θ),㊃),P (t ,ψ(θ),㊃))+l i m t ң+ɕd D (P (t ,ψ(θ),㊃),μ(㊃))=0.3 最优捕捞策略本节研究模型(1)的最优捕捞策略,建立最优捕捞策略存在的充分条件.注3.1 因为r 1k >0和Γ>0,所以Q -1+(Q -1)T是正定矩阵,其中Q =r 1k n -m a 22æèçççöø÷÷÷.定理3.1 当假设1-假设3成立时,定义L =(r 1-α1,r 2-α2)T ,A =(λ1,λ2)T =[Q (Q -1)T +I ]-1L ,其中I 为单位矩阵.(ⅰ)如果κ2>1,λi ȡ0,i =1,2,则最优捕捞策略(O H E )存在且O H E 为H *=A ,最大可持续产量(M E S Y )为Y *=A T Q -1(L -A ).(ⅱ)若(ⅰ)不成立,则模型(1)的最优捕捞策略不存在.证明 令G ={H =(h 1,h 2)Tɪℝ2|κ2>1,h i ȡ0,i =1,2}.显然H ɪG ,由定理1.1中的(ⅰ),如果H *存在,那么H *ɪG .(ⅰ) 显然A ɪG ,因此G 非空.由定理2.1知,模型(1)有唯一的不变测度μ(㊃),通过文献[24]中的定理3.2.6得到μ(㊃)是遍历的,由文献[24]有l i m t ң+ɕt -1ʏt 0H T x (s )d s =ʏℝ2+H T x μ(d x ),且μ(㊃)是强混合的(见文献[24]中的推论3.4.3).令ρ(x )表示模型(1)的平稳概率密度,因此Y (H )=l i m t ң+ɕð2i =1(h i x i (t )))=l i m t ң+ɕ(H T x (t ))=ʏℝ2+H Tx ρ(x )d x .通过定理1.1,对任意的H ɪG ,有l i m t ң+ɕt-1ʏt 0H Tx (s )d s =ð2i =1h i l i m t ң+ɕt -1ʏt0x i (s )d s =H T Q -1(L -H ).注意到模型(1)的不变测度的是唯一的,因此由ρ(x )和它的不变测度的一一对应关系可得ʏℝ2+H T x ρ(x )d x =ʏℝ2+H T x μ(d x ),故有Y (H )=H T Q -1(L -H ).令A =(λ1,λ2)T是下列方程(26)的唯一解,d Y (H )d H =d H T d H Q -1(L -H )+d d H[(L -H )T (Q -1)T ]H =Q -1L -[Q -1+(Q -1)T ]H =0,(26)因此A =[Q (Q -1)T +I ]-1L .由于H e s s i a n 矩阵d d H T d Y (H )d H éëêêùûúú=d d H d Y (H )d H æèçöø÷T éëêêùûúúæèçöø÷T =d d H[L T (Q -1)T -H T [Q -1+(Q -1)T ]]æèçöø÷T24 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年=-(Q -1+(Q -1)T )是负定的,因此A 是Y (H )的唯一极值点.由此可得出结论:如果A ɪG ,则H *=A ,且M E S Y 为Y *.(ⅱ) 假设H *0=(h *1,h *2)存在,则H *0ɪG ,故有κ2>1,h *1ȡ0,h *2ȡ0.由于H *0是OH E ,则H *0是式(26)的唯一解,而A 也是式(26)的解,因此H *0=A .4 数值模拟在本节中,通过数值模拟验证模型(1)的理论分析结果.部分参数选自文献[25],根据模型的生物学意义估计剩余参数.文献[25]忽略了种群会受到人为捕捞,本文分别考虑了L év y 噪声和白噪声对最优捕捞策略的影响.令r 1=0.7,h 1=0.1,r 2=-0.2,h 2=0.05,k =1.4,n =0.4,m =0.3,a 22=0.5,τ1=1,τ2=0.8.(1)物种的持久性和灭绝性本部分设置参数σ1=0.1,σ2=0.1.(ⅰ)令χ1(u )=-0.065,χ2(u )=-0.032.通过计算得Γ=0.37,Γ1=0.4,Γ 1=0.0014,Γ2=0.0549,Γ 2=0.0049,κ1=83.2321>1,κ2=11.1693>1.根据定理1.1知l i m t ң+ɕx 1(t )=Γ1-Γ 1Γ=1.0773,l i m t ң+ɕx 2(t )=Γ2-Γ 2Γ=0.1353.用软件M a t l a b 得到图1和图2,进一步验证了理论结果.图1 x 1的时间序列图(左图)和密度函数图(右图)图2 x 2的时间序列图(左图)和密度函数图(右图)(ⅱ)令χ1(u )=0.3,χ2(u )=1.通过计算得Γ=0.37,Γ1=0.4,Γ 1=-0.1034,Γ2=0.0549,Γ 2=0.1688,κ1=14.0727>1,κ2=0.3259<1.根据定理1.1知l i m t ң+ɕx 1(t )=k d 1r 1=1.1147,l i m t ң+ɕx 2(t )=0.图3证34第1期 钟颖,等:具有L év y 跳的随机时滞食饵-捕食模型的最优收获实了该结论.图3 种群的时间序列图(左图)和x 1的密度函数图(右图)图4 种群的时间序列图(ⅲ)令χ1(u )=2.3,χ2(u )=1.2.通过计算得Γ=0.37,Γ1=0.4,Γ 1=0.3889,Γ2=0.0549,Γ 2=0.5416,κ1=0.54<1,κ2=0.1015<1.根据定理1.1知l i m t ң+ɕx 1(t )=0,l i m t ң+ɕx 2(t )=0.图4证实了该结论.(2)最优捕捞策略分别对白噪声和L év y 跳噪声的强度取不同的值,观察种群的最优捕捞的变化.(ⅰ)L év y 跳噪声对最优捕捞策略的影响.设置参数σ1=0.1,σ2=0.1.令χ1(u )=0.2,χ2(u )=0.15,计算得到κ2=3.8134>1,H *=(0.2973,0.3253)T ,Y *=0.2363.令χ1(u )=0.4,χ2(u )=0.25,计算得到κ2=1.0609>1,H *=(0.2786,0.3013)T,Y *=0.2049.如图5所示.(ⅱ)白噪声对最优捕捞策略的影响.设置参数χ1(u )=0.2,χ2(u )=0.1.令σ1=0.2,σ2=0.15,计算得到κ2=1.5074>1,H *=(0.2895,0.3196)T,Y *=0.2263.令σ1=0.35,σ2=0.3,计算得κ2=1.0609>1,H *=(0.2794,0.2894)T,Y *=0.1968.如图6所示.图5 L év y 跳对最优捕捞策略的影响 图6 白噪声对最优捕捞策略的影响44 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2024年5 结论与展望本文研究了一类同时受到时滞㊁白噪声和L év y 跳随机扰动的食饵-捕食模型.定理1.1建立了物种时间平均持久和灭绝的充分条件,定理2.1和定理3.1探究了模型(1)的分布稳定性和最优捕捞策略.定理3.1表明最优捕捞策略与时滞无关,而环境波动的强度会影响种群:白噪声强度越大O H E 和M E S Y 越小,L év y 跳噪声强度越大,种群相应的O H E 和M E S Y 也越来越小.因此环境扰动会增加种群灭绝的风险.在本文中,只考虑了时滞是常数的情况,还可以考虑连续分布时滞对模型的影响,或者考虑S 型分布时滞,它包含了离散和连续分布时滞,建立更现实的模型进行研究.另外在现实环境中种群还会受到电报噪声的扰动,用马尔可夫过程描述,可以考虑在模型(1)中加入电报噪声,建立更复杂的模型进行更加深入的研究.参考文献:[1]周翔宇,吴建华.一类带M i c h a e l i s -M e n t e n 收获项的H o l l i n g-Ⅳ型捕食-食饵模型的定性分析[J ].应用数学学报,2019,42(1):32-42.[2]T H I R T HA R A A ,MA J E E DSJ ,A L Q U D A H M A ,e t a l .F e a r e f f e c t i na p r e d a t o r -p r e y m o d e lw i t ha d d i t i o n a l f o o d ,p r e yr e f u g e a n dh a r v e s t i n g o n s u p e r p r e d a t o r [J ].C h a o sS o l i t o n s a n dF r 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r g o d i c i t y m e t h o d, a n d t h e o p t i m a l f i s h i n g e f f o r t a n dm a x i m u ms u s t a i n e d y i e l d a r e o b t a i n e d.F i n a l l y,t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s a r e v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s.K e y w o r d s:p r e d a t o r-p r e y;Lév y j u m p;d e l a y;o p t i m a l h a r v e s t i n g s t r a t e g y。

具有时滞的功能反应函数的捕食-食饵系统的定性分析的开题报告开题报告题目：具有时滞的功能反应函数的捕食-食饵系统的定性分析研究背景：在生态系统中，捕食-食饵系统是一个经典的研究对象。

最早的捕食-食饵模型是由Lotka和Volterra建立的，称为Lotka-Volterra模型。

但是这个模型具有一些缺陷，例如假设捕食不会导致食饵死亡，忽略了个体数量对环境的影响等。

随着生态系统研究的深入，人们发现了许多生物体在自然界的行为是非常复杂的，不能简单地用Lotka-Volterra模型来描述。

为了更准确地描述生态系统的行为，许多学者提出了各种复杂的捕食-食饵模型。

其中，一个具有时滞的、非线性的功能反应函数广泛应用于捕食-食饵模型中。

时滞反应函数是指食饵数量的变化在时间上有延迟，这种延迟可能是由于限制因素的存在、处理过程中的时间滞后等原因造成的。

研究目的：本课题的主要目的是研究具有时滞的功能反应函数的捕食-食饵系统的定性分析。

通过建立数学模型，探究时滞反应函数在捕食-食饵系统中的作用及其对系统稳定性的影响，从而增强我们对生态系统的认识。

研究方法：本研究将采用数学建模的方式，建立具有时滞的功能反应函数的捕食-食饵系统的数学模型，并进行定性分析。

首先，根据实际生态系统的特征和时滞反应函数的特性，建立该系统的微分方程模型。

然后，通过分析系统的平衡点及其稳定性，确定系统的稳定性条件和稳定策略。

最后，利用数值模拟方法进行模型验证和分析。

研究意义：本研究的意义在于深入探究捕食-食饵系统，增加我们对生态系统的认识，为生态保护提供科学依据。

同时，研究结果可为环境保护相关政策的制定提供支持。

预期结果：本研究将构建具有时滞函数的功能反应捕食-食饵系统数学模型。

通过分析模型的平衡点及其稳定性，得到系统的稳定性条件和稳定策略，并利用数值模拟验证模型的合理性和准确性。

最终，研究结果将为加强生态保护提供重要的科学依据。

参考文献：1. 张宏伟等. 演化博弈与生态学[M].高等教育出版社, 2006.2. Gao Y, Chen L. Stability Analysis of A Predator-Prey System with Stage-Structure Considering the Effect of Time Delay[J]. Mathematical Biosciences & Engineering, 2015, 12(2):247-264.3. Song Y, Wei J. Dynamics in a Predator-Prey System with the Beddington-DeAngelis Functional Response and Time Delay[J]. Bulletin Of Mathematical Biology, 2015, 77(12):2418-2442.。

食饵——捕食者数学模型论文精品食饵——捕食者数学模型摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。

种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。

为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。

本文根据它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模型。

我们利用matlab 软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性关键词：自滞作用数值解matlab 平衡点相轨线分析稳定性一、问题重述自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。

种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。

为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。

解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。

二，问题背景一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时捕捞），但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？V olterra建立的模型回答了这个问题三，问题分析首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。

假如给食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的环境，它们是呈J形增长的。

现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。

我们利用软件matlab 求出微分方程的数值解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。

最后对数学模型进行修改和确定。

四、基本假设1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构4，假设捕食者离开食饵无法生存5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝五，符号说明。

食饵- 捕食者模型1. 模型建立食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量分别记作x ( t), y( t), 因为大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,( 相对)增长率为r,x = rx, 而捕食者的存在使食饵的增长率减小, 设减小的程度与捕食者数量成正比,于是x( t) 满足方程x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1) 比例系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力. 捕食者离开食饵无法生存, 设它独自存在时死亡率为d, y = - dy, 而食饵的存在为捕食者提供了食物, 相当于使捕食者的死亡率降低, 且促使其增长. 设这种作用与食饵数量成正比, 于是y( t) 满足y( t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2) 比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力.2. 模型分析方程(1),(2) 没有解析解, 我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析.首先, 利用数学软件求微分方程的数值解, 通过对数值结果和图形的观察, 猜测它的解析解的构造;然后, 从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测.3. 模型求解1. 数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为x(0) = x0 , y(0) = y0 (3) 为求微分方程(1),(2) 及初始条件(3) 的数值解x( t), y( t) ( 并作图)及相轨线y( x), 设r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2, 用M A T L A B 软件求解如下：M文件function xdot=sheir(t,x)r=1;d=;a=;b=; xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];>> ts=0::15>> x0=[25,2]>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]>>plot (t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause4. 结果分析x( t), y( t) 是周期函数, 与此相应地, 相轨线y( x) 是封闭曲线, 从数值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为99. 3 和2. 0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0, 并且用数值积分容易算出x( t), y( t) 在一个周期的平均值为x = 25, y =10。

食饵捕食者阻滞模型差分方程
食饵捕食者阻滞模型是描述捕食者和食饵之间相互作用的一种数学模型。

其差分方程形式可以表示为：
N(t+1) = N(t) + r*N(t)[1 - N(t)/K] - c*N(t)*P(t)
P(t+1) = P(t) + e*c*N(t)*P(t) - d*P(t)
N(t)表示食饵的数量在时间t的时候，P(t)表示捕食者的数量在时间t的时候。

参数r表示食饵的自然增长率，K表示食饵的环境容纳量，c表示食饵与捕食者之间的捕食率，e表示捕食者将食饵转化为自身的效率，d表示捕食者的自然死亡率。

差分方程描述了食饵和捕食者之间的交互作用。

第一行的方程表示食饵的数量根据自然增长率和环境容纳量的限制而变化，同时受到捕食者的捕食率的影响。

第二行的方程表示捕食者的数量根据食饵的消耗和转化效率而变化，同时受到自然死亡率的影响。

通过解析这个差分方程，可以得到在不同参数条件下食饵和捕食者数量的变化规律，从而对生态系统中食饵和捕食者之间的相互作用进行定量分析和预测。