1轧制过程数学模型1.1轧制工艺参数模型随着科学技术的发展，计算机已广泛应用于轧钢生产过程的控制，促使轧钢生产向自动化、高速和优质方向发展。
电子计算机在线控制生产过程，不仅仅只是电子计算机本身的硬件和软件的作用，更重要的是控制系统和各种各样的数学模型，正因为有适合轧钢生产的各种数学模型，才有可能实现电子计算机对整个轧钢生产各个环节的控制，获得高精度的产品。
线材连轧生产过程的主要内容基本上可归纳为尺寸变化和温度变化两大类性质极不相同但又相互紧密联系的物理过程，涉及的数学模型主要是轧制工艺参数的制定、各环节的温降变化、产品质量控制及实现线材连轧生产的可靠性等。
在线材连轧生产过程中，准确地计算（预估）各个环节的温度变化是实现计算机控制的重要前提，这是因为轧件各道次的变形阻力、轧制压力、轧制力矩的准确确定与温度是分不开的，而各机架轧制压力的预估精度将直接关系到设备的使用安全等。
下面分别讨论线材连轧生产过程中的温降模型、变形阻力模型、轧制力与轧制力矩模型。
1.1.1延伸系数及孔型尺寸计算模型在制订棒线材轧制工艺时，当坯料和产品断面面积F 0和F n 给定之后，总延伸系数∑μ就可唯一确定：nn n i i n i F FF F F F F F F F 011211021===-+∑ μμμμμ 其中：n ——总轧制道次；μi ——某一道次的延伸系数； F i ——某一道次的轧件断面面积。
椭圆孔示意图mB R F +-=)sin (2θθRB 2arcsin2=θ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2cos 12θR h m对于圆孔，轧件断面面积可通过下式计算：圆孔示意图απθ2-=αθtan 422R R F +=1.1.2前滑模型孔型轧制时的前滑率计算可采用筱篬或斋藤提出的实验模型。
两者都认为前滑仅是轧件、孔型几何尺寸的函数。
斋藤模型以平均工作辊径定义前滑，当道次变形量较小时会出现负前滑的计算结果；筱篬模型改用孔型槽底处的最小辊径定义前滑，即前滑S f 为：S f =V 1/V R -1 （1.1） 其中：V 1 ，V R ——轧件出口速度及孔型槽底处的轧辊线速度。
在孔型中轧制时，前滑值取平均值f S ，其计算式为()[]1cos 1cos ++-=hhD S f γγ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=βααγ212 Dh H --=1cos α 式中 γ——变形区中性角的平均值； α——咬入角的平均值； β——摩擦角，一般为21~27度； D ——轧辊工作直径的平均值；h H ,——轧件轧前、轧后高度的平均值； 1.1.3轧件温降模型轧件在轧制过程中的温度变化，是由辐射、传导、对流引起的温降和金属变形所产生的温升合成的，可用下式表示：b d Z f T T T T T ∆-∆+∆+∆=∆（1.5）以上四项起作用的是辐射损失和金属变形热所产生的温升。
各项温度变化的计算按下式进行：1、由于辐射引起的温降计算41000072.0⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆T G Ft T f （1.6）式中：ΔT f ——辐射引起的温降，℃；F ——轧件的散热表面积，m 2； t ——冷却时间，s ； T ——轧件表面绝对温度，K 。
2、由于传导引起的温降计算 cZZ Z Gh c t F T 08.1λ=∆（1.7）式中：ΔT Z ——传导引起的温降，℃；λ——钢材的导热系数，λ≈1.255KJ/(m ·h ·℃)；Fz ——轧件与导热系体的接触面积，m 2，对于轧辊Fz ＝2l c b c ×10－6； l c ——轧件与轧辊的接触弧长，mm ； b c ——轧件轧前与轧后的平均宽度，mm ；c 0——钢材平均比热容，在若杂货温度西热轧温度下取c 0＝0.627KJ/Kg ·℃tz ——传导时间，s ；hc ——轧件轧前与轧后的平均高度，mm 。
3、由于对流引起的温降计算f r d T T T T t V T T T ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-∆405.22301003.0ε（1.8） 式中ΔTd ——对流引起的温降，℃； T ——轧件表面绝对温度，K ； T 0——环境绝对温度，K ； V 0——轧件的移动速度，m/s ； t ——对流时间，s ；εr ——轧件表面的相对黑度，εr ≈0.8；ΔTf ——同时间内的辐射温降，℃； 4、由于变形热产生的温升计算 Gc a A T b 0427)1(-=∆（1.9）式中ΔTb ——变形热产生的温升，℃；A ——该道次所需变形功，根据公式A=pVln(H/h)；P ——平均单位压力，MPa ，粗略估计可用p=(t y0－t －75)×σb /1500计算；V ——轧件体积，mm 3H 、h ——轧件轧前、轧后高度，mm ；a ——系数，表明被轧件吸收的变形能的相对部分，在T/T y0＞0.4时，当静力变形时（102s －1）为0.9％～2.6％； 当动力变形时（102s －1）为19％～21％；σb ——强度极限，MPa ； t y0——钢材的熔点温度，K 。
取钢材的密度γ＝7.8，则得：)/ln()1(184.0h H a p T b -=∆（1.10）由于传导和对流引起的温降很小，甚至可以忽略不计。
此时可以采用А.И.采利柯夫方法计算在孔型中轧制和移送到下一孔型时间内，轧件温度得变化：27327310000255.0100033100+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆++-=∆t t F lt t T （1.11）式中t 0——进入该孔型前得轧件温度，℃； l ——轧后轧件横截面周边长，mm ； F ——轧后轧件横截面面积，mm 2； t ——轧件冷却时间，s ；Δt 1——在该孔型中金属温度得升高，℃； Δt 1值按下式确定：Δt 1=0.183K m ln μ（1.13） 式中K m ——金属塑性变形抗力，MPa ； μ——延伸系数。
1.1.4变形抗力模型钢铁材料在热状态下的物理特性，与其温度、化学成分、应力、应变状态等诸多因素有关。
目前在这方面的研究还不够充分，对于大多数钢种，只能给出离散数据的描述；但对于碳钢，平均变形抗力(MPa/mm2)可按以下模型计算：m m f m f K )10/(εσ=（1.14） 其中：f σ——简单应力状态下的材料热变形抗力。
0.28exp （05.001.00.5+-C T ） （T ≥T d ） f σ＝0.28g （C,t ）exp(05.001.00.5+-C T d ) (T ＜T d )（1.15）式中：参数T ，T d 按下式计算： T=10002730+t T d =0.9532.041.0++C C(1.16)其中：t 0——轧件温度；C ——材料的碳含量百分数。
式（2）中的函数g(C,t)为：09.006.042.049.095.0)9.0(0.30),(2+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-•+=C C C C T C t C g （1.17） 式（1）中的f m 为考虑材料应变量等因素的影响系数：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=2.015.02.013.1εεnm n f C n 07.041.0-=（1.18）在孔型设计时，式（1）、式（5）中的平均应变ε和平均应变速率.ε按下式计算： ε＝ln HF F F -00.ε＝m m L N R 602επ（1.19）其中：F 0，F H ——轧件入口断面面积和轧件被孔型压掉部分的断面面积； F ——轧辊平均工作半径； N ——轧辊转数，r/min ； Lm ——接触弧平均长度。
式（1）中的指数m 由下式给出：(—0.019C ＋0.126)T ＋0.075C －0.05 （T ≥T d ）（0.081C －0.154）T ＋－0.019C ＋0.207＋0.027/（C ＋0.32）（T ≤Td ） （1.20） 该模型的适用范围为:材料的碳含量小于 1.2％，温度在(700-1200)℃范围内，平均应变小于0.7，平均应变速率在(0.1～100)s －1范围之内，该模型的最大优点是其数学上的完整性，利于实现计算机编程计算，但也因此使其精确性有所降低，可用来进行预报。
另外，为了适应计算机在线控制轧钢生产对变形阻力数学模型的要求和进一步提高计算精度，周纪华等采用碳钢和合金在高温、高速下测定得到的变形温度、变形速度和变形程度对变形阻力影响的大量实测数据而建立了非线性回归模型。
它是以各种钢种为单位，得到各回归系数值，结构如下式。
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4.0)1(4.010)ex p(66210543γγμσσa a a T a a a T a（1.21）式中 1000273+=t T ； 0σ——基准变形阻力，即t ＝1000℃、γ＝0.4和μ＝10s －1时的变形阻力（MPa ）；t ——变形温度（℃）；u ——变形速度（s -1）；γ——变形程度（对数应变）； γ⋅=lv u 1， （1.23） )ln(μγ=（1.24）式中 v 1——轧件出口速度； l ——变形区长度； R ——轧辊半径； h 0——轧前高度。
0σ、1a ～6a ——回归系数，其值取决于钢种。
各回归系数值按钢种的分类列于表1-1至表1-14。
表1-1普通碳钢变形抗力数学模型回归系数表1-2优质碳素结构钢变形抗力数学模型回归系数表1-3低合金钢变形抗力数学模型回归系数注：1.①②③表示Nb含量不同。
2.*在进行变形抗力试验时，将试件加热到1250℃，再冷却到850～1150℃进行压缩得到变形抗力的试验数据。
表1-4合金结构钢变形抗力数学模型回归系数表1-6合金工具钢变形抗力数学模型回归系数表1-7弹簧钢变形抗力数学模型回归系数表1-8轴承钢变形抗力数学模型回归系数表1-10硅钢变形抗力数学模型回归系数将此模型的计算结果与经典的变形抗力曲线图对比后发现，当变形速度在1～30s -1，变形温度在850～1200℃之间时，结果能够很好的吻合曲线。
因此在编制程序进行计算时采用的便是此模型。
1.1.5轧制压力模型工程计算中经常采用如下简化的专用于孔型轧制的轧制压力公式计算轧制压力：Q F K P d m =（1.25） 式中：m K ——平均变形抗力；d F ——接触投影面积；确定轧件与轧辊的接触面积，经常采用如下公式：用矩形－箱形孔，方－六角，六角－方，方－平椭圆，平椭圆－方以及矩形－平辊系统轧制时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1122101ηA B B H S （1.26）按方－椭轧制方案时 75.0)1(121-+=A H S ηξη （1.27）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=213.009.011845.0375.01128.0)1(29.071.0221k k a a ηηηδξ 按椭－椭，椭－圆，圆－椭，椭－立椭和立椭－椭轧制时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121ηξA H S （1.28）椭圆－圆 )1.01)(62.1(201K K a a --=δδξ （1.29）圆－椭圆 )4.01)(62.1(2101δδδξK K a a +-=（1.30） Q ——载荷系数，针对各种孔型轧制情况的Q 值回归模型为：W W Q /61.10771.0731.0++-=式中：W ——考虑不同轧制条件的无量纲参数； 102F F F W d+=其中：10,F F 分别为轧件如出口断面面积。
