2014年人教A版选修2-2教案 1.1.1变化率问题

§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

1.1.1 变化率问题【学习目标】1．通过对实例的分析，理解平均变化率；2．会求函数在指定区间上的平均变化率.【新知自学】 知识回顾：1.球的体积公式为____________________.2.已知直线l 经过两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线l 的斜率为________________. 新知梳理：1.通过气球膨胀率和高台跳水问题可知，函数)(x f y =从21x x 到的变化过程中，我们用x ∆表示相对于1x 的一个“增量”，即x ∆=____________，则2x =x x ∆+1；类似地，y ∆=____________．则把=∆∆xy ___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率． 注意：（１）x ∆是一个整体符号，而不是∆与x 的乘积；（２）x ∆是自变量x 在0x 处的增量，可以是正值，也可以是负值．2.函数平均变化率的概念是什么？感悟：函数y=f(x)在x 从x 1→x 2的平均变化率的几何意义是过函数y=f(x)的图象上两点(x 1,f(x 1))、(x 2,f(x 2))的直线的斜率. 对点练习：1.在求平均变化率中，自变量的增量x ∆满足（ ）A.0>∆xB.0<∆xC.0=∆xD.0≠∆x2.设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量y ∆=（ ）A.)(0x x f ∆+B.x x f ∆+)(0C.)()(00x f x x f -∆+D.x x f ∆⋅)(03.一物体运动时的位移方程是22t s =，则从２到２＋t ∆这段时间内位移的增量s ∆=（ ）A.８ t B ∆+28.2)(28.t t C ∆+∆ 2)(24.t t D ∆+∆4.已知函数x x x f +-=2)(的图象上一点（-1，-2）及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+-，则xy ∆∆= . 【合作探究】 典例精析：例1.求函数y=x 2+1在区间[2,2+∆x]上的平均变化率.讨论展示结合函数．．．．2x y =图象．．，探讨当x ∆取定值后，随0x 取值不同，该函数在0x x =附近的的平均变化率是否相同．变式练习：求函数23)(2+=x x f 在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率，并求当1.0,20=∆=x x 时平均变化率的值.例2.高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）之间的关系式为h(t)=-4.9t 2+6.5t+10，求运动员在s 9865t时的瞬时速度，并解释此时的运动状态.讨论展示 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？变式练习：放在下节试用一质点按规律s(t)=at 2+1作直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），若质点在t=2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值.规律总结：求函数平均变化率的主要步骤：【课堂小结】【当堂达标】1.已知函数f(x)=x 2+1,则在1.0,20=∆=x x 时，y ∆的值为（ ）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间段[]1.2,2中相应的平均速度等于（）A.3B.4C.4.1D.0.413.已知函数12)(2-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点),1,1(y x ∆+∆+则xy ∆∆=（ ） A ． 4 B. 4xC.x ∆+24D. 2)(24x ∆+4.函数 235)(x x f -=在区间[]2,1上的平均变化率是 .【课时作业】1.将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加R ∆，则铁球的表面积增加（ ）A.8R R ∆⋅πB.2)(48R R R ∆+∆⋅ππC.2)(44R R R ∆+∆⋅πD.2)(4R ∆⋅π2.已知曲线241x y =和这条曲线上的一点)41,1(P ,Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为（ ） A.))(41,1(2x x ∆∆+ B.))(41,(2x x ∆∆ C.))1(41,1(2+∆∆+x x D.))1(41,(2+∆∆x x 3.甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s=s 1(t),s=s 2(t)，图象如图.则在时间段内甲的平均速度__________乙的平均速度（填大于、等于、小于）.s 2(t )s 1(t )4.已知函数xx f 1)(=在[]x ∆+1,1上的平均变化率为 . 5.求函数y=sinx 在0到6π之间和3π到2π之间的平均变化率，并比较它们的大小.6.求函数x =y 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率.。

1．1.1 变化率问题教学目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.教学导入知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？[答案]自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？[答案]对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．梳理(1)：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2) 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率定义式实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1． 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．[答案] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[答案] 当Δt 趋近于0时，Δs Δt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 题型探究类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．反思与感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则Δy Δx＝________. (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．[答案](1)Δx (2)12 34[解析](1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx. ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx＝1＋Δx . 又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定[答案]B[解析]设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． 类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝Δs Δt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt . 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2. 当堂检测1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[答案]A[解析]Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．[答案][x 3，x 4][解析]由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．3．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1.[答案]1[解析]lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.。

§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。

如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。

板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

． 变化率问题 导数的概念()平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？()瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？()如何用定义求函数在某一点处的导数？．函数＝()从到的平均变化率.＝()定义式：的改变量之比．自变量的改变量与函数值()实质： 快慢．上变化的]，[()意义：刻画函数值在区间()平均变化率的几何意义：设(，())，(，())是曲线＝()上任意不同的两点，函数＝()的平均变化率＝＝为割线的斜率，如图所示．[点睛]Δ是变量在处的改变量，且是附近的任意一点，即Δ＝－≠，但Δ可以为正，也可以为负．．函数＝()在＝处的瞬时变化率Δ趋于的距离要多近有多近，即Δ－可以小于给定的任意小的正数，且始终Δ≠. ．导数的概念．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)预习课本～，思考并完成下列问题()函数＝()在＝处的导数值与Δ值的正、负无关．( ) ()瞬时变化率是刻画某函数值在区间[，]上变化快慢的物理量．( )()在导数的定义中，Δ，Δ都不可能为零．( )答案：()√()×()×．质点运动规律为()＝＋，则从到＋Δ的平均速度为( )．＋Δ＋．＋Δ．＋Δ．＋Δ答案：．已知函数()＝－的图象上两点，，且＝，＝，则函数()从点到点的平均变化率为()．．．．答案：．在′()＝中，Δ不可能为( )．小于．大于．大于或小于．等于答案：[典例]求函数()＝在＝附近的平均变化率，取Δ的值为，哪一点附近的平均变化率最大？[解]在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；若Δ＝，则＝＋＝，＝＋＝，＝＋＝，由于＜＜，故在＝附近的平均变化率最大．。

课题：§1.1.1变化率问题课题：§1.1.2导数的概念课题：§1.1.3导数的几何意义教学班级教学目的1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题教学难点 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义知识重点导数的几何意义教学过程方法和手段一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆图3.1-2说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念： ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1)与该点的位置相关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存有,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,能够有多个,甚至能够无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 三．典例分析例1：（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，所以，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -= （2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，所以，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3能够看出，直线1l 的倾斜水准小于直线2l 的倾斜水准，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，能够得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--，所以 (0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：例4、求曲线11+=x y 在点（1，21）处的切线方程。

1.1 变化率与导数第1课时 变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 2～P 6的内容，回答下列问题． (1)气球膨胀率气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么r (V )＝ 33V4π.①当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．②当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 提示：r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．③当空气容量从V 1 增加到V 2时，气球的平均膨胀率又是多少？ 提示：r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后时间t (单位：S )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.①在0≤t ≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v 是多少？ 提示：v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/S )．②在1≤t ≤2这段时间里，运动员的平均速度v 是多少？ 提示：v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/S )．③在t 1≤t ≤t 2这段时间里， 运动员的平均速度 v 又是多少？⎝⎛⎭⎫其中t 1<t 2∈⎣⎡⎦⎤0，6549 提示：v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1.2．归纳总结，核心必记 (1)函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt 趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t 0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .[问题思考](1)设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，则函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 表示什么？提示：表示割线AB 的斜率．(2)Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？提示：Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为0，平均变化率ΔyΔx 可正、可负、可为零．(3)在高台跳水中，如何求在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度v ？当Δt 趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？提示：v ＝v (1＋Δt )－v (1)(1＋Δt )－1.当Δt 趋近于0时，平均速度v 即为t ＝1时的瞬时速度．(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．[课前反思](1)平均变化率的定义是：(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？ (3)导数的定义是什么？如何表示？(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？知识点1[思考1] 平均变化率可用式子ΔyΔx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？提示：Δy 、Δx 分别表示函数值和自变量的变化量．[思考2] 如何求函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率？ 提示：平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.讲一讲1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． [尝试解答] (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6x 0＋3Δx .类题·通法(1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 的形式．练一练1．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．知识点2某物体按S ＝f (t )的规律运动．[思考1] 该物体在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是什么？在t 0的瞬时速度是多少？ 提示：v ＝f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt ＝Δs Δt .v 0＝lim Δt →0ΔsΔt.[思考2] 如何求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限？名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算． (2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．讲一讲2．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．[尝试解答] (1)因为ΔS ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/S )． (2)因为ΔS ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ，所以Δs Δt ＝3(Δt )2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 S 时的瞬时速度为S ′(1)＝lim Δx →0ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/S )．类题·通法求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度ΔsΔt ；(4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt .练一练2．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．解：因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔsΔt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0ΔsΔt＝4a (m/S )．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.知识点3[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？名师指津：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，ΔyΔx的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．讲一讲3．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．[尝试解答] Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4.类题·通法求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限． 练一练3．利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx ＝li mΔx →0 (－Δx －1)＝－1. [课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的定义，也是本节课的难点． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)平均变化率的求法，见讲1； (2)瞬时速度的求法，见讲2;(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3.3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.注意：在导数的定义中，增量Δx 的形式是多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 求函数的平均变化率1．如果函数y ＝a x ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝⎛⎭⎫32，314及邻近一点⎝⎛⎭⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3 解析：选D ∵Δy ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32 ＝－3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx ，∴Δy Δx＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 题组2 求瞬时速度4．某物体的运动路程S (单位：m)与时间t (单位：S )的关系可用函数S (t )＝t 3－2表示，则此物体在t ＝1 S 时的瞬时速度(单位：m/S )为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →[3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20，故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/S . 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/S ，求t 0的值． 解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2， 因为lim Δt →[3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27，解得t 0＝±3，因为t 0>0，故t 0＝3，所以物体在3 S 时的瞬时速度为27 m/S . 题组3 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) 解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx ＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝a x ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx ＝a ，∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ，而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1，又limΔx →011＋Δx ＋1＝12，所以f ′(1)＝12. [能力提升综合练]1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．3．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知，A 机关所对应的图象比较陡峭，B 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为S ＝1－t ＋t 2，其中S 的单位是：m ，t 的单位是：S ，那么物体在3 S 末的瞬时速度是( )A ．7 m/SB ．6 m/SC ．5 m/SD ．8 m/S解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ，∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0(5＋Δt )＝5 (m/S )． 5.如图是函数y ＝f (x )的图象，则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________． 解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14 ＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx 24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116. ∴y ′|x ＝4＝116. 答案：1167．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2(位移：m ；时间：S )．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时平均速度． 解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt 2)Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3(m/S )． 即物体的初速度为3 m/S .(2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/S )．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/S，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1(m/S)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/S.8．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．解：因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：Δy Δx＝f(2＋Δx)－f(2)Δx＝－(2＋Δx)2＋(2＋Δx)－(－4＋2)Δx＝－4Δx＋Δx－(Δx)2Δx＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．。

变化率问题班级： 姓名：【学习目标】：通过具体案例理解函数平均变化率的概念。

【学习重点】：理解函数平均变化率的概念及几何意义。

【学习难点】：求函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率。

【问题导学】1.阅读教材p72,在【气球膨胀率】问题中：（1）空气容量从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率约为：0.62（dm/L);空气容量从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率约为：0.16（dm/L);请计算出空气容量从2L 增加到2.5L 时，气球的平均膨胀率约为多少？空气容量从2.5L 增加到4L 时，气球的平均膨胀率约为多少？（2）从以上数据可以看出：随着气球体积的增大，比值体积的增加量半径的增加量发生怎样的变化？说明了什么(快慢）？（3）概括出：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率的表达式？2.阅读教材p73,在【高台跳水】问题中：（1）在5.00≤≤t 时间段内，平均速度)/(05.4s m v =，那么运动员相对于水面的高度h 是在平均增大还是减小？在21≤≤t 时间段内呢？能概括出：运动员在1t 到2t 时间段内的平均速度吗？（2）计算运动员在49650≤≤t 时间段里的平均速度，思考下面的问题： ①运动员在这段时间内是静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？3.阅读教材p73,回答什么是函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率？并阅读p74的思考栏目回答相应问题？【实践演练】例1：一物体做直线运动，其位移s 与时间的关系为23)(t t t s s -==，求物体在[]t t t ∆+00,这段时间内的平均速度。

例2：求函数21x y =在)0(00≠x x 到x x ∆+0之间的平均变化率。

【基础练习】：1.在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆是否一定大于0？2.函数)(x f y =，当自变量x 由0x 变到x x ∆+0时，函数值的改变量为：3.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(及邻近一点)4,1(y x ∆+∆+，则xy∆∆等于多少？4.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(P 及附近一点),(00y x Q ，且21=∆∆x y ，则点Q 的坐标为多少？若P 为)1,0(呢？为)4,1(-呢？5.求函数122-=x y 在1-=x 和2-=x 处的平均变化率，并比较当21=∆x 时变化率的的大小。

教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －．（3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？二、建构数学（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－注意：平均变化率不能脱离区间而言（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．思考：（1） 若设21∆x x x ＝－，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量21()()∆y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()∆∆∆∆f x f x f x x f x y x x x x－＋－＝＝－（2）)(x f 在[]12x x ，平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率．三、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1） 如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1 （kg /月）？问题（2） 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积0.1()52t V t －＝×（单位：cm 3），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．问题（1） 例2中解出的平均变化率实际意义是什么？问题（2） 25.0-（cm 3/s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？问题（3） 第一个10秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为25.0-（cm 3/s ），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？ 讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零．例3 已知函数()21()2f x x g x x ＝＋，＝－，分别计算在区间[31]－，－，[05] ，上函数)(x f 及)(x g 的平均变化率．问题（1） 你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评 一次函数y kx b ＝＋在区间[]m n ，上的平均变化率等于它的斜率k ． 例4 已知函数2()f x x ＝，分别计算在下列区间上的平均变化率： ① ⑤ ② ⑥ ③ ⑦④⑧问题（4） 例4中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？四、当堂训练乙练习1 回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？ 练习2 在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？练习3 下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．①09:30至11:00 ②11:00至11:30 ③14:00至14:07 ④14:07至15:00五、回顾反思（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－．（2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？六、布置作业1．预习第1.1.2节瞬时变化率——导数．2．课本P7练习2；P16 习题1.1 第1题．3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试通过计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．。

教学目标：1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；2．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；3．培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．教学过程：一、问题情境1．问题情境．法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．学生活动．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？（1）由点B 上升到C 点必须考察C B y y －的大小，但仅注意到C B y y －的大小 能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y －的同时必须考察C B x x －．（3）曲线上BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程 度？二、建构数学（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－注意：平均变化率不能脱离区间而言（2）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化 率的“视觉化”．思考：（1） 若设21∆x x x ＝－，即将x ∆看作是对于1x 的一个增量21()()∆y f x f x ＝－， 则)(x f 在[]12x x ，平均变化率为211121()()()()∆∆∆∆f x f x f x x f x y x x x x－＋－＝＝－（2）)(x f 在[]12x x ，平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的 斜率．三、数学运用例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到 第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题（1） 如何解释例1中从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1 （kg /月）？问题（2） 本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？ 讲评 在不同的区间上平均变化率可能不同．例2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积0.1()52t V t －＝×（单位：cm 3），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．问题（1） 例2中解出的平均变化率实际意义是什么？问题（2） 25.0-（cm 3/s ）是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积V 减少的速度？问题（3） 第一个10秒内，甲容器中水的体积的平均变化率为25.0-（cm 3/s ），那么乙容器中的水的体积的平均变化率呢？乙讲评：平均变化率可能正可能负也可能为零．例3已知函数()21()2，－，－，[05]＝＋，＝－，分别计算在区间[31]f x xg x x上函数)g的平均变化率．(x(xf及)问题（1）你在解本题的过程中有没有发现什么？讲评一次函数y kx b，上的平均变化率等于它的斜率k．m n＝＋在区间[]例4已知函数2＝，分别计算在下列区间上的平均变化率：f x x()①⑤②⑥③⑦④⑧问题（4）例4中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？四、当堂训练练习1回答问题情境中提出的问题：平均速度的数学意义是什么？练习2在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？练习3下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．①09:30至11:00②11:00至11:30③14:00至14:07④14:07至15:00五、回顾反思（1）一般地，函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为()()2121f x f x x x －－．（2）平均变化率近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？六、布置作业1．预习第1.1.2节瞬时变化率——导数． 2．课本P7练习2；P16 习题1.1 第1题．3．下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试通过计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．。

1．1.1 变化率问题教学目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法. 知识梳理知识点一 函数的平均变化率1．平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx． 2．求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy?(2)平均变化率的几何意义是什么？(1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零．(2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢．(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．题型探究题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率．解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9. 反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值． 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx＝______________.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0)． (1)[答案]2Δx ＋4[解析]因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率Δy Δx＝2Δx ＋4. (2)解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20 ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20， ∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20. 题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1. 即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数．跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米)．(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．跟踪训练2 解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米)． v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒)． 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒)．(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒)． 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒．当堂检测1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ≠0D ．Δx 可为任意实数[答案]C[解析]因平均变化率为Δy Δx，故Δx ≠0.] 2．沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率[答案]B[解析]v ＝Δs Δt ，而li m Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度． 3．以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，Δs Δt→v 0－gt 0. ∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v (t )＝v 0－gt ， ∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt＝－g . ∴当Δt →0时，Δv Δt→－g . 故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .。

1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0. 3预习课本P2～6，思考并完成下列问题[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[活学活用]求函数y ＝x 3从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝⎛⎭⎫122＝194.[典例] ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即 [0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，li mΔt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．[活学活用]一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝12t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A ∵Δs Δt ＝12(2＋Δt )2－12×22Δt ＝12Δt ＋2，∴li m Δt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫12Δt ＋2＝2，故选A.[典例] (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数． [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1，ΔyΔx＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1，li mΔx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②li mΔt →0 ΔyΔt＝li m Δt →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)求极限li mΔx →0 ΔyΔx. 2．瞬时变化率的变形形式li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li mΔx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝li mΔx →0 f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．[活学活用]求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －()1－1＝Δx ＋Δx 1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx. 当Δx →0时，ΔyΔx→2， 所以函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2.层级一 学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：选D 当f (x )＝b 时，瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m △x －0 b －b Δx ＝0，所以f (x )的图象为一条直线．2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2D ．0解析：选A Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析：选C f′(x0)＝li m△x－0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝li m△x－0(a＋b·Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为() A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴li m△x－0ΔsΔt＝li m△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0解析：选C f′(0)＝li m△x－0(0＋Δx)2－3(0＋Δx)－02＋3×0Δx＝li m△x－0(Δx)2－3ΔxΔx＝li m△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝li m△x－0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝li m△x－0a(1＋Δx)＋4－(a＋4)Δx＝a，∴a＝2.答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．解析：v1＝k OA，v2＝k AB，v3＝k BC，由图象知k OA＜k AB＜k BC.答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π3 9．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt ， ∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x－ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值． 解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx ＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2).∴Δy Δx＝124＋Δx (4＋Δx ＋2).∴li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2)＝12×4×(4＋2)＝116.∴f ′(4)＝116. 当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →(Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx ＝2(Δx )2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝li m Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1，∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ，∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵Δy Δx＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li m Δx →(7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值． (1) li m Δx →f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx；(2li m Δx →f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx.解：(1) li m Δx →f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m li mΔx→0f(x0－mΔx)－f(x0)－mΔx＝－mf′(x0)．(2)原式＝li mΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)－[f(x0＋5Δx)－f(x0)]Δx＝li mΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)Δx－li mΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)Δx＝4li mΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5li mΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．1．1.3 导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n ，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．导函数的概念(1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)． (2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx.[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝li m Δx →0 [4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y－4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝li m Δx →0(1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝li m Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)，即x －y －2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1， 又由导数的几何意义知k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0，∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x ⎪⎪⎪2－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． [活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝li m Δx →(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13， 当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝li m Δx →0cos Δx －1Δx .当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ，得f ′(x )＝li m △x →1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →0 2x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)． 答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →0 f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝li m Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1，∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．第二课时 导数的运算法则预习课本P15～18，思考并完成下列问题(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？[新知初探]1．导数的四则运算法则 (1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))． ②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝y u ′·u x ′.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x答案：B3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案：1[典例] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos x x . [解] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2 ＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x . (2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos x x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x[典例] 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u －12)′ (1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32 (－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a ＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax ＋b )．(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． [活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12； (2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2；(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1； (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .[典例] (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )，①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 答案：－1(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x ， 所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，直线方程为y ＝0. 由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274.由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝07．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：19．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin 2x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝x ＋cos xx ＋sin x；(4)y ＝cos x ·sin 3x .解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x－1)2.(3)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2.(4)y ′＝(cos x ·sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′ ＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x ＝3cos x cos 3x －sin x sin 3x .10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.层级二 应试能力达标1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 2．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝e x －1＋x e x －1＝(1＋x )e x －1，当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，故选C. 3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x ＞0，整理得(x ＋1)(x －2)x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.5．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________________． 解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a，设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝12ln 2.答案：12ln 26．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是____________．解析：y ′＝－1(2x －1)2，则y ′⎪⎪x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－17．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. 由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14， 或y 0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n3n ＋1.解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1.所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n ＋1. (2)因为f (0)＝－1＜0，f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n ≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0， 因为x ≥0，n ≥2.所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1为增函数， 所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内单调递增， 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n＞12，故12＜a n ＜23. 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝2n3n ＋1.导数的计算第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12～14，思考并完成下列问题(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝x n的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数[点睛](1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( )(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( ) (3)f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12，则y ′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．函数y ＝x 在点⎝⎛⎭⎫14，12处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案：B[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x -25.(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x . 解：(1)y ′＝(lg x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln 10′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫log 13x ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.[典例] 已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程． [解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点，所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x 在点P (1,1)的导数，即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2. (2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x 上，则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎫a ， 1a ， 那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a 2.则切线方程为y －1a ＝－1a 2(x －a )．①将Q (1,0)代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．将得a ＝12，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－4x ＋4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [活学活用]当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A (x 0，x 20＋k )．∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0， ∴⎩⎨⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切，且切点坐标为⎝⎛⎭⎫12， 12.[典例] (1)质点的运动方程是S ＝sin t ，则质点在t ＝π3时的速度为________；质点运动的加速度为________．(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] (1)v (t )＝S ′(t )＝cos t ， ∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.∵v (t )＝cos t ， ∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t . 答案：12－sin t(2)解：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．[活学活用]曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )。

第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2),则=∆∆xy． 解：()1(22x y +∆+--=∆+-∴x xx x y ∆-=∆+-+∆+--=∆∆31()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。