高中数学第二章函数习题课函数的基本性质学案北师大版必修1

2.2．2 函数的表示法1．掌握函数常用的三种表示法．(重点)2．能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点．3．理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题．(难点)[基础·初探]教材整理 1 函数的表示法阅读教材P28～P29“例2”以上内容，完成下列问题．某汽车司机看见前方约50米处有行人穿过马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图像可能是( )【解析】刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图像较陡，排除选项B，故选A.【答案】 A教材整理 2 分段函数阅读教材P29“例2”～P31，完成下列问题．在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的图像一定是连续不断的曲线．( )(2)函数的解析式是唯一的．( )(3)分段函数是由多个函数组成的．( )(4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集．( )【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×[小组合作型]函数图像的作法作出下列函数的图像．(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．【精彩点拨】(1)中函数的定义域为Z；(2)中函数是二次函数，且定义域为[0,3)，作图像时要注意定义域对图像的影响．【尝试解答】(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图①所示为函数图像的一部分；(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．1．图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数或二次函数的图像来作图．2．作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点，还是空心点．[再练一题]1．作出下列函数的图像． (1)y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x <1，1，x ≥1.【导学号：04100018】【解】 (1)函数y ＝x 2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}是由⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，(4,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，72五个孤立的点构成，如图：(2)函数的图像如图：求函数解析式求函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式；(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．【精彩点拨】 (1)可设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，再根据题设列方程组，求待定系数k ，b . (2)在“x ＋2x ”中凑出“x ＋1”或将“x ＋1”整体换元来求解．(3)将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (x )看成未知数，通过解方程组求f (x )．【尝试解答】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4，解得k ＝3，b ＝1或k ＝－3，b ＝－2.∴f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二(换元法)：令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1(t ≥1)．∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x 取1x的值，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．函数解析式的求法：(1)待定系数法：①设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)；反比例函数解析式设为f (x )＝k x(k ≠0)；二次函数解析式可根据条件设为a.一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．b.顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)．c.双根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．②把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． ③解方程或方程组，得到待定系数的值． ④将所求待定系数的值代回原式． (2)换元法：已知f [g (x )]是关于x 的函数，即f [g (x )]＝F (x )，求F (x )的解析式，通常令g (x )＝t ，由此能解出x ＝e (t )，将x ＝e (t )代入f [g (x )]＝F (x )中，求得f (t )的解析式，再用x 替换t ，便得F (x )的解析式．如本例(2)的法二．(3)配凑法：此法是把所给函数的解析式，通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表示式，然后以x 代替“自变量”，即得所求函数解析式．如本例(2)的法一．(4)消元法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[再练一题]2．求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝－1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋2，求f (x )； (3)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，求f (x )． 【解】 (1)法一：(换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得f (t )＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1.∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．法二：(配凑法)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x 2－1＋x x ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝－1，∴c ＝－1.∵f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －ax 2－bx －c ＝2ax ＋a ＋b ＝2x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，∴a ＝1，b ＝1，c ＝－1， ∴f (x )＝x 2＋x －1.(3)在原式中以－x 替换x ，得af (－x )＋f (x )＝－bx ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧afx ＋f －x ＝bx ，af －x ＋f x ＝－bx ，消去f (－x )，得f (x )＝bxa －1. 故f (x )的解析式为f (x )＝ba －1x . [探究共研型]分段函数探究 1 画出函数y ，f (1)的值．【提示】 由绝对值的概念，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.所以，图像y ＝|x |的图像为过原点且平分第一、第二象限的两条射线，如图所示．其中f (－3)＝3，f (3)＝3，f (－1)＝1，f (1)＝1.探究 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤0，x 2， x ＞0，若f (a )＝4，则实数a 等于多少？【提示】 当a ≤0时，f (a )＝－a . ∵f (a )＝4，∴－a ＝4，∴a ＝－4. 当a ＞0时，f (a )＝a 2.∵f (a )＝4，∴a 2＝4，∴a ＝2，或a ＝－2(舍去)． 综上a ＝－4或2.探究 3 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表． 信函质量(m )/g 0＜m ≤2020＜m ≤4040＜m ≤6060＜m ≤8080＜m ≤100邮资(M )/元1.202.403.604.806.00画出图像，并写出函数的解析式．【提示】 邮资是信函质量的函数，函数图像如图．函数的解析式为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.20，0＜m ≤20，2.40，20＜m ≤40，3.60，40＜m ≤60，4.80，60＜m ≤80，6.00，80＜m ≤100.如图2­2­2所示，从边长为2a 的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t .试把铁盒的容积V 表示为x 的函数，并求出其定义域．图2­2­2【精彩点拨】 可由题意将长方体底面正方形的边长和高度表示出来，但要注意定义域x 不但受解析式的影响，还受t 的限制．【尝试解答】 依题意知，长方体铁盒高为x ，底面正方形的边长为(2a －2x )，则V ＝(2a －2x )2·x ＝4x (a －x )2.∵⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a ，x2a －2x≤t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a ，0＜x ≤2at 1＋2t ，∵a －2at 1＋2t ＝a1＋2t ＞0，∴0＜x ≤2at1＋2t.∴铁盒容积V ＝4x (a －x )2，定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ≤2at 1＋2t .此类问题要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x 和函数y ，然后利用题干条件用x 表示y ，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.[再练一题]3．某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图2­2­3，用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．图2­2­3【解】 速度是时间的函数，解析式为 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋t ， t ∈[0，5，3t ， t ∈[5，10，30， t ∈[10，20，－3t ＋90， t ∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v (9)＝3×9＝27(cm/s).1. 如图，函数y ＝|x ＋1|的图像是( )【解析】 y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1.【答案】 A2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x ＞1，则f [f (3)]等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 【解析】 ∵f (3)＝23，∴f [f (3)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.【答案】 D3. 已知函数f (x )由下表给出：x 1 2 3 4 f (x )－3－2－1则f (3)＝________.【解析】 由数表可知f (3)＝－1. 【答案】 －13. 已知f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1，则f (x )＝________.【解析】 因为f (x 2－1)＝x 4－x 2＋1＝(x 2－1)2＋(x 2－1)＋1，所以f (x )＝x 2＋x ＋1(x ≥－1)．【答案】 x 2＋x ＋1(x ≥－1)4. 如图2­2­4，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3的值等于________. 【导学号：04100019】图2­2­4【解析】 由函数f (x )图像，知f (1)＝2，f (3)＝1， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f 3＝f (1)＝2.【答案】 25. 已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图像； (2)写出函数的定义域和值域．【解】 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．所以已知函数可写成分段函数形式：y ＝|x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1x ≤－2，3－2＜x ≤1，2x ＋1x ＞1.在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图像，如图所示，即为所求函数的图像．(2)根据函数的图像可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)．。

新教材高中数学：§2函数2.1 函数概念学习目标核心素养1.能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域与值域．(难点)1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数的定义域与值域的求解，培养数学运算素养．函数的概念定义给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数．三要素对应关系y＝f()x，x∈A定义域自变量x的取值范围A值域与x值对应的y值的集合{}f()x|x∈A思考：若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数一定是相同函数吗？提示：不一定．如y＝x，x∈[]0，1和y＝x2，x∈[]0，1的定义域都是区间[]0，1，值域也都是区间[]0，1，但它们不是相同函数．当且仅当两个函数的定义域与对应关系都分别相同时，这两个函数是同一函数．1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是( )A．π2B．πC．πD．不确定B[由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.]2．函数y＝f()x的定义域是R，则在同一坐标系中y＝f()x的图象与直线x＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1B [由于1∈R ，所以由函数的定义知：在值域中有唯一的像与之对应，故选B.] 3．函数y ＝x 的定义域________，值域是______． [答案][)0，＋∞ [)0，＋∞4．已知函数f ()x ＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)若f (m )＝2，求m 的值． [解] (1)f ()2＝2＋12＋2＝34.(2)由f ()m ＝2，得m ＋1m ＋2＝2，解得m ＝－3.函数的概念【例1】 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. [思路点拨] 依据函数的定义来判断．[解] (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．1．判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断： (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一．2．在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相同．值域相同，只是前两个要素相同的必然结果．[跟进训练]1．下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④C [①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数； ②f (x )＝x ，g (x )＝x 2＝|x |，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一函数；③f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．]求函数值【例2】 已知f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1).(1)求f (0)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值； (2)求f (1－x )及f (f (x )).[思路点拨] 先把自变量的值代入到函数的解析式中，再按解析式指明的运算进行运算．对于型如f (f (x ))的求值，可由里向外，分层计算．[解] (1)f (0)＝1－01＋0＝1.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－121＋12＝13， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－131＋13＝12.(2)f (1－x )＝1－（1－x ）1＋（1－x ）＝x2－x (x ≠2).f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－1－x 1＋x 1＋1－x 1＋x＝x (x ≠－1).求函数值的方法(1)已知f ()x 的表达式时，只需用a 代替表达式中的x ，即得f ()a . (2)求f ()g ()x 的函数值应遵循由里向外的原则．[跟进训练] 2．已知f (x )＝11＋x(x ∈R 且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f ()g ()a －1.[解] (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)g (a －1)＝(a －1)2＋2＝a 2－2a ＋3.f ()g ()a －1＝f ()a 2－2a ＋3＝11＋()a 2－2a ＋3＝1a 2－2a ＋4.求函数的定义域 [探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否先化简再求定义域？ 提示：不能，这样定义域有可能扩大． 2．若函数y ＝f ()x ＋1的定义域是[]1，2，则 (1)[]1，2是x 的取值范围，还是x ＋1的取值范围？ (2)y ＝f ()x 的定义域是什么？ 提示：(1)是x 的取值范围．(2)y ＝f ()x 的定义域是函数u ＝x ＋1的值域[]2，3.【例3】 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝2x －1－7x ； (3)y ＝（x ＋1）0x ＋2；[解] (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，17.(3)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，即x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）x ＋2的定义域为{x |x >－2且x ≠－1}．1．函数f (x )＝xx －1的定义域为________．{x |x ≥0且x ≠1} [要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}．]2．函数f (x )＝2x ＋3－12－x＋1x的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ＜2，且x ≠0 [要使函数有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x ＜2，且x ≠0，所以函数y ＝f (x )的定义域为{x ⎪⎪⎪－32≤x ＜2，且x ≠0}．]3．已知等腰三角形ABC 的周长为10，且底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52＜x ＜5 D [∵等腰三角形的周长为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，10－2x ＞0，2x ＞10－2x ，∴52<x <5.]求函数定义域的常用依据 (1)分式，分母不为零；(2)偶次根式，被开方数大于或等于零； (3)零次幂，底数不为零； (4)实际问题，使实际问题有意义．1．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x 没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x 的集合．2．我们可以将“f ”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x 的一个值后，经过“数值加工器f ”的“加工”就得到一个对应值．如f (x )＝3x ＋5，f 表示“自变量的3倍加上5”，如f (4)＝3×4＋5＝17.3．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相同只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝1不是函数；( ) (2)函数f ：A →B 的值域一定是集合B .( )[答案] (1)× (2)×2．对于函数f ：A →B ，若a ∈A ，则下列说法错误的是( ) A ．f (a )∈BB ．f (a )有且只有一个C ．若f (a )＝f (b )，则a ＝bD ．若a ＝b ，则f (a )＝f (b )[答案] C 3．函数f ()x ＝x －3||x －5的定义域为________．{x |x ≥3，且x ≠5} [由⎩⎨⎧x －3≥0||x －5≠0，得x ≥3且x ≠5.]4．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x －|x |； (2)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (3)f (x )＝（x ＋1）2x ＋1－1－x .[解] (1)当x －|x |≠0，即|x |≠x ，也即x <0时，f (x )有意义，故函数f (x )的定义域为(－∞，0).(2)要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4.故函数f (x )的定义域为[1，4].(3)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，解得x ≤1，且x ≠－1.故函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1].。

高中数学第二章函数2.2.1函数概念学案北师大版必修11．通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．[基础·初探]教材整理 1 生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是( )A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪，标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B，D中两种关系不是确定的关系，不符合函数的定义，C中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】 C教材整理 2 函数的概念阅读教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.3．名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，称y是x 的函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．( )(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值．( )(3)在函数f：A→B中，值域即集合B.( )【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理 3 区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”～“例1”以上内容，完成下列问题．1．区间的定义条件：a<b(a，b为实数)．结论：(1)闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为(2)开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为(3)半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，数轴表示为或2．无穷大区间(1)实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)．(2)读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)无穷大区间的表示：定义{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)几何表示集合{x|－1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为________．【解析】结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】[－1,0)∪(1,2][小组合作型]生活中的变量关系及判断下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？(1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系．【精彩点拨】当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系．【尝试解答】(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数．(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．[再练一题]1. 下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？①正方形的面积和它的边长之间的关系；②姚明罚球次数与进球数之间的关系； ③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A 地到B 地所用时间与汽车速度之间的关系．【解】 ①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系.函数概念的理解下列对应关系是否为A 到B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝R ＋，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|；(4)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |0≤x ≤1}，f ：x →y ＝13x .【精彩点拨】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【尝试解答】 (1)A 中的元素－1在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数． (2)对于集合A 中任意一个正数，在集合B 中有两个元素±x 与之对应，故不是A 到B 的函数．(3)集合A 中元素1在B 中没有对应元素，故不是从A 到B 的函数．(4)集合A 中的任意一个元素，按照对应关系f ：y ＝13x ，在集合B 中都有唯一一个确定的实数13x 与之对应，故是从集合A 到B 的函数．判断对应关系是否为函数关系的关键：,函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”，说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”.[再练一题]2. 下列各式是否表示y 是x 的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因．(1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )；(2)xy ＝－3(x ≠0)； (3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )．【解】 (1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝－52x ＋12；(2)xy ＝－3(x ≠0)是函数关系，解析式为y ＝－3x(x ≠0)；(3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))不是函数关系，因对于x ∈(－1,0)的任意一个值，对应的y 值有两个；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝31－x 3.函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.【精彩点拨】 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}．1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．2．求函数的定义域，一般是将其转化为求解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．[再练一题]3. 求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝x ＋12|x |－x；(3)y ＝5－x －x －5－1x 2－9. 【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3⇔x ＞－2且x ≠3.∴函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须|x |－x ＞0，解得x ＜0， ∴函数的定义域是(－∞，0)． (3)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －5≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，x ≠±3.故函数的定义域是{5}． [探究共研型]函数的值域探究 1 函数定义中，非空数集B 与值域{f (x )|x ∈A }之间具有什么样的关系？ 【提示】 {f (x )|x ∈A }⊆B .探究 2 函数定义中，设a ∈A ，则函数值f (a )与值域{f (x )|x ∈A }之间具有怎样的关系？【提示】 f (a )∈{f (x )|x ∈A }．已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值； (3)求函数g (x )的值域.【精彩点拨】 (1)将x ＝2分别代入f (x )与g (x )的函数表达式中求f (2)，g (2)；(2)先求g (3)，再求f [g (3)]；(3)利用x 2≥0求值域．【尝试解答】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (3)∵x 2≥0，∴x 2＋2≥2， ∴值域为[2，＋∞)．求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g x ]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g x ]与g [fx ]的区别.[再练一题] 4. 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)]；(3)求f (x )的值域． 【解】 f (x )＝x ＋1x ＋2， (1)f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f [f (1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.(3)f (x )＝x ＋1x ＋2＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2(x ≠－2)， ∵1x ＋2≠0， ∴f (x )的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).1. 下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【解析】 结合函数的定义，A 项值域不可能是空集，B 项应该是定义域和对应关系确定后值域就确定了，C 项离散的数集不能用区间表示，正确答案D.【答案】 D2. 下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )【解析】 A 、B 、C 中任意一个x 的值，都有唯一的y 值对应，是函数关系，D 中的一个x 值，如x ＝3时，有两个y 值与之对应，故不是函数．【答案】 D3. 已知f (x )＝x －1x，则f (2)＝________.【解析】 f (2)＝2－12＝32.【答案】 324. 函数y ＝1－x ＋x ＋4的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1.故函数的定义域为[－4,1]． 【答案】 [－4,1]5. 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域． 【解】 ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 又∵－5≤x ≤－2，∴－4≤x ＋1≤－1， ∴1≤(x ＋1)2≤16， ∴－12≤4－(x ＋1)2≤3， ∴所求函数的值域为[－12,3]．。

第二章函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P 20例1 解：（略） 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2 解：（略） 说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。