高中数学第二章函数章末复习课学案北师大版必修1

高中数学第二章函数2.2.1函数概念学案北师大版必修11．通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．[基础·初探]教材整理 1 生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是( )A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪，标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B，D中两种关系不是确定的关系，不符合函数的定义，C中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】 C教材整理 2 函数的概念阅读教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.3．名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，称y是x 的函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．( )(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值．( )(3)在函数f：A→B中，值域即集合B.( )【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理 3 区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”～“例1”以上内容，完成下列问题．1．区间的定义条件：a<b(a，b为实数)．结论：(1)闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为(2)开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为(3)半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，数轴表示为或2．无穷大区间(1)实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)．(2)读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)无穷大区间的表示：定义{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)几何表示集合{x|－1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为________．【解析】结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】[－1,0)∪(1,2][小组合作型]生活中的变量关系及判断下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？(1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系．【精彩点拨】当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系．【尝试解答】(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数．(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．[再练一题]1. 下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？①正方形的面积和它的边长之间的关系；②姚明罚球次数与进球数之间的关系； ③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A 地到B 地所用时间与汽车速度之间的关系．【解】 ①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系.函数概念的理解下列对应关系是否为A 到B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝R ＋，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|；(4)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |0≤x ≤1}，f ：x →y ＝13x .【精彩点拨】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【尝试解答】 (1)A 中的元素－1在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数． (2)对于集合A 中任意一个正数，在集合B 中有两个元素±x 与之对应，故不是A 到B 的函数．(3)集合A 中元素1在B 中没有对应元素，故不是从A 到B 的函数．(4)集合A 中的任意一个元素，按照对应关系f ：y ＝13x ，在集合B 中都有唯一一个确定的实数13x 与之对应，故是从集合A 到B 的函数．判断对应关系是否为函数关系的关键：,函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”，说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”.[再练一题]2. 下列各式是否表示y 是x 的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因．(1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )；(2)xy ＝－3(x ≠0)； (3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )．【解】 (1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝－52x ＋12；(2)xy ＝－3(x ≠0)是函数关系，解析式为y ＝－3x(x ≠0)；(3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))不是函数关系，因对于x ∈(－1,0)的任意一个值，对应的y 值有两个；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝31－x 3.函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.【精彩点拨】 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}．1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．2．求函数的定义域，一般是将其转化为求解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．[再练一题]3. 求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝x ＋12|x |－x；(3)y ＝5－x －x －5－1x 2－9. 【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3⇔x ＞－2且x ≠3.∴函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须|x |－x ＞0，解得x ＜0， ∴函数的定义域是(－∞，0)． (3)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －5≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，x ≠±3.故函数的定义域是{5}． [探究共研型]函数的值域探究 1 函数定义中，非空数集B 与值域{f (x )|x ∈A }之间具有什么样的关系？ 【提示】 {f (x )|x ∈A }⊆B .探究 2 函数定义中，设a ∈A ，则函数值f (a )与值域{f (x )|x ∈A }之间具有怎样的关系？【提示】 f (a )∈{f (x )|x ∈A }．已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值； (3)求函数g (x )的值域.【精彩点拨】 (1)将x ＝2分别代入f (x )与g (x )的函数表达式中求f (2)，g (2)；(2)先求g (3)，再求f [g (3)]；(3)利用x 2≥0求值域．【尝试解答】 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (3)∵x 2≥0，∴x 2＋2≥2， ∴值域为[2，＋∞)．求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g x ]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g x ]与g [fx ]的区别.[再练一题] 4. 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)]；(3)求f (x )的值域． 【解】 f (x )＝x ＋1x ＋2， (1)f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f [f (1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.(3)f (x )＝x ＋1x ＋2＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2(x ≠－2)， ∵1x ＋2≠0， ∴f (x )的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).1. 下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【解析】 结合函数的定义，A 项值域不可能是空集，B 项应该是定义域和对应关系确定后值域就确定了，C 项离散的数集不能用区间表示，正确答案D.【答案】 D2. 下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )【解析】 A 、B 、C 中任意一个x 的值，都有唯一的y 值对应，是函数关系，D 中的一个x 值，如x ＝3时，有两个y 值与之对应，故不是函数．【答案】 D3. 已知f (x )＝x －1x，则f (2)＝________.【解析】 f (2)＝2－12＝32.【答案】 324. 函数y ＝1－x ＋x ＋4的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1.故函数的定义域为[－4,1]． 【答案】 [－4,1]5. 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域． 【解】 ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 又∵－5≤x ≤－2，∴－4≤x ＋1≤－1， ∴1≤(x ＋1)2≤16， ∴－12≤4－(x ＋1)2≤3， ∴所求函数的值域为[－12,3]．。

第二章函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P 20例1 解：（略） 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2 解：（略） 说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

第二章 函数 章末小结（二）一、教学目标1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络；（2）掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；（3）会用定义判断函数的单调性和奇偶性；（4）掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；（5）了解简单的幂函数。

2、 过程与方法：(1)通过例题讲解让学生回顾掌握函数的两条重要的性质单调性和奇偶性．(2)让学生归纳整理本章所学知识使知识形成网络．3、情感．态度与价值：学生感受到学习函数的性质对研究函数的重要性，增强学好函数的信心。

二、教学重点: 复习函数的单调性和奇偶性和二次函数．教学难点：判断函数的单调性和奇偶性．三、学法指导：学生通过自主整理、回顾复习．四、教学过程（一）、函数的知识导图:（二）、复习函数的基础知识1．函数的单调性的定义及其应用2．函数的奇偶性3．二次函数的图像与性质 4．幂函数（三）、应用举例1．函数的单调性例1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（ ）．.()3A f x x =-2.()3B f x x x =- .()||C f x x =-3.()2D f x x =-+答案:D解析:函数f(x)=3-x 为减函数, f(x)=x 2-3x 在3(,)2-∞上为减函数,在3(,)2+∞上是增函数, ⎩⎨⎧≥-<=-=)0()0(||)(x x x x x x f 在(0,+∞)上为减函数,只有函数f(x)=-23+x 在(-2,+∞)上是增函数,所以在(0,+∞)上为增函数．故选择D ．练习1．已知 f(x)=x 2-2x+8,如果g(x)=f(x+2),则g(x)（ ）．A ．在区间(-∞,1)上是单调减函数,在区间[1,+∞]上是单调增函数B ．在区间(-∞,0)上是单调减函数,在区间[0,+∞]上是单调增函数C ．在区间(-∞,-1)上是单调减函数,在区间[-1,+∞]上是单调增函数D ．在区间(-∞,3]上是单调减函数,在区间[3,+∞)上是单调增函数 答案:C解析:因为f(x)=x 2-2x+8,所以g(x)= f(x+2)=(x+2)2-2(x+2)+8=x 2+2x+8=(x+1)2+7,所以g(x)在区间(-∞,-1]上是单调减函数,在区间[-1, +∞)上是单调增函数．反思归纳：判断函数单调性的方法有①图象法；②按复合函数的判断方法同向增异项减；③定义法。

教学设计本章复习整体设计教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．三维目标通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①函数的基本知识．②含有字母问题的研究．③抽象函数的理解．教学难点：①分类讨论的标准划分．②抽象函数的理解．课时安排1课时教学过程导入新课函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①本章内容分为几部分？②画出本章的知识结构图.讨论结果：①第1～3节是函数的概念和性质；第4,5节是基本初等函数的性质，可以分为两部分．(答案不唯一)②本章的知识结构图，如图1所示．(答案不唯一)图1应用示例思路1例1 求函数y ＝3xx 2＋4的最大值和最小值．分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值．解：(判别式法)由y ＝3xx 2＋4得yx 2－3x ＋4y ＝0，∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有实数根． 当y ＝0时，则x ＝0，故y ＝0是一个函数值；当y ≠0时，则关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0是一元二次方程， 则有Δ＝(－3)2－4×4y 2≥0，∴0＜y 2≤916.∴－34≤y ＜0或0＜y ≤34，综上所得，－34≤y ≤34.∴函数y ＝3x x 2＋4的最小值是－34，最大值是34.点评：形如函数y ＝ax 2＋bx ＋cdx 2＋ex ＋f (d ≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk ≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎨⎧n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．例2 函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴是直线x ＝a ，由于函数f (x )在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x ＝a 位于区间(－∞，1)内，即a ＜1.g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2，下面用定义法判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x 1＜x 2，则 g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－2－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2－2 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2，∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1＞0. 又∵a ＜1，∴x 1x 2＞a .∴x 1x 2－a ＞0. ∴g (x 1)－g (x 2)＜0.∴g (x 1)＜g (x 2)．∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g (x )在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D.答案：D点评：定义法判断函数f (x )的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②比较f (x 1)与f (x 2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值．例3 求函数f(x)＝x2－1的单调区间．分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．设y＝u，u＝x2－1，当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f (x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上是减函数．即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u ＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f这[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．思路2例1 某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题： (1)填写表格中空格的内容：(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？ 分析：(1)销售总利润y ＝销售量r (x )×每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y ＝f (x )的最大值，由条件②③求出b 2与k 的关系，应用二次函数的知识求解．解：(1)在销售旺季，y ＝(kx ＋b 1) (x －100)＝kx 2－(100k －b 1)x －100b 1； 在销售淡季，y ＝(kx ＋b 2)(x －100)＝kx 2－(100k －b 2)x －100b 2， 故表格为：如下表所示．(2)∵k ＜0，b 1＞0，b 2＞0， ∴－b 12k ＞0，－b 22k ＞0.∴50－b 12k ＞0,50－b 22k＞0.则在销售旺季，y ＝kx 2－(100k －b 1)x －100b 1，∴当x ＝100k －b 12k ＝50－b 12k时，利润y 取最大值；在销售淡季，y ＝kx 2－(100k －b 2)x －100b 2，∴当x ＝100k －b 22k ＝50－b 22k 时，利润y 取最大值．由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润． 因此在销售旺季，当标价x ＝50－b 12k ＝140时，利润y 取最大值．∴b 1＝180k .∴此时销售量为r (x )＝kx －180k .令kx －180k ＝0，得x ＝180， 即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180×23＝120元/件．可见在销售淡季，当标价x ＝120元/件时，销售量为r (x )＝kx ＋b 2＝0. ∴120k ＋b 2＝0. ∴b 2k＝－120.∴在销售淡季，当标价x ＝50－b 22k ＝50＋60＝110元/件时，利润y 取得最大值．即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．点评：在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案．例2 求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最小值．分析：思路1：画出函数的图像，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值．解：方法1(图像法)：y ＝|x ＋2|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，2x ，4，x ≤－2，－2<x <2，x ≥2.其图像如图2所示．图2由图像得，函数的最小值是－4，最大值是4.方法2(数形结合)：函数的解析式y ＝|x ＋2|－|x －2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y ＝|P A |－|PB |，如图3所示，图3观察数轴可得－|AB |≤|P A |－|PB |≤|AB |， 即函数y ＝|x ＋2|－|x －2|有最小值－4，最大值4. 点评：求函数最值的方法：图像法：如果能够画出函数的图像，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图像写出最值．其步骤是：①画函数的图像；②观察函数的图像，找出图像的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值．数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值．其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值．例3 定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .(1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)若当x ∈(－1,0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1,1)上是减函数．分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f (0)的值进而取x ＝－y 是解题关键；(2)定义法证明，其中判定x 2－x 11－x 1x 2的范围是关键．证明：(1)函数f (x )定义域是(－1,1)， 由f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋01＋0，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(2)先证f (x )在(0,1)上单调递减，令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2－x 11－x 1x 2，∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0. ∴x 2－x 11－x 1x 2＞0.又(x 2－x 1)－(1－x 1x 2)＝(x 2－1)(x 1＋1)＜0， ∴0＜x 2－x 1＜1－x 1x 2.∴－1＜－x 2－x 11－x 1x 2＜0，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2－x 11－x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )在(0,1)上为减函数． 又f (x )为奇函数，∴f (x )在(－1,1)上也是减函数．点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．知能训练1．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1和f (x ＋1)－f (x )＝2x . (1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．分析：(1)由于已知f (x )是二次函数，用待定系数法求f (x )；(2)结合二次函数的图像，写出最值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1，可知c ＝1.而f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b . 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0. 因而a ＝1，b ＝－1.故f (x )＝x 2－x ＋1. (2)∵f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )的最小值是f ⎝⎛⎭⎫12＝34，f (x )的最大值是f (－1)＝3.2．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.(1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f (x )是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由． 分析：本题中的函数f (x )是抽象函数，则用定义法判断f (x )的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f (0)，再利用定义法判断f (x )的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f (x )在[－3,3]内的单调性，利用单调法求出最值．解：(1)∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (0)＝f (0)＋f (0)．∴f (0)＝0.而0＝x－x，因此0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)．所以函数f(x)为奇函数．(2)设x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，知f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0.∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x1)＞f(x2)．函数f(x)是定义域上的减函数，当x∈[－3,3]时，函数f(x)有最值．当x＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x＝3时，函数有最小值f(3)．f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6.拓展提升问题：某人定制了一批地砖．每块地砖(如图4所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图5所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图4 图5分析：(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE，△CFG，△CGH，△CEH 为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题．设CE＝x，每块地砖的费用为W，求出函数W＝f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题．解：(1)图5可以看成是由四块图4所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE ＝CF，∠ECF＝90°，∴△CFE为等腰直角三角形．同理可得△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形， ∴四边形EFGH 是正方形．(2)设CE ＝x ，则BE ＝0.4－x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a,2a ，a (元)，W ＝12x 2·3a ＋12×0.4×(0.4－x )×2a ＋[0.16－12x 2－12×0.4×(0.4－x )]a＝a (x 2－0.2x ＋0.24)＝a [(x －0.1)2＋0.23](0＜x ＜0.4)．由于a ＞0，则当x ＝0.1时，W 有最小值，即总费用为最省， 即当CE ＝CF ＝0.1米时，总费用最省．课堂小结本节课总结了第二章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法．作业已知函数y ＝f (x )的定义域是R ，且对任意a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，并且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (1)＝－1.(1)证明函数y ＝f (x )是R 上的减函数； (2)证明函数y ＝f (x )是奇函数；(3)求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈Z ，m ＜n )的值域．分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f (－x )＝－f (x )；(3)利用单调法求函数的的值域．解：(1)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，由题意得f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)． ∴f (x 1)－f (x 2)＝－f (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又∵当x ＞0时，f (x )＜0恒成立， ∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＞0. ∴函数y ＝f (x )是R 上的减函数．(2)令a ＝x ，b ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝f (0)． 令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0. ∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)由(1)得函数y ＝f (x )在[m ，n ]上是减函数，则有f (n )≤f (x )≤f (m )． ∵对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，∴f (m )＝f [(m －1)＋1]＝f (m －1)＋f (1)＝f (m －2)＋2f (1)＝…＝mf (1)＝－m ，同理有f(n)＝－n.∴函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z，m＜n)上的值域是[－n，－m]．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，教材中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结．备课资料知识点总结——函数概念及性质1．函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．求出不等式组的解集即为函数的定义域．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟练掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等．3．函数图像知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数y＝f(x)(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫作函数y＝f(x)(x∈A)的图像．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y＝f(x)，反过来，以满足y＝f(x)的每一组有序实数对x，y为坐标的点(x，y)，均在C 上．即记为C＝{P(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．图像C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成．画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x，y的一些对应值并列表，以(x，y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来．②图像变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误．4．区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．给定一个集合A到B的映射，如果a ∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫作元素a的像，元素a叫作元素b的原像．说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，(1)集合A、B及对应法则f是确定的；(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；(3)对于映射f：A→B来说，则应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有像，并且像是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的像可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原像．6．函数表示法函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图像的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图像法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图像法便于量出函数值．分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．复合函数：如果y＝f(u)(u∈M)，u＝g(x)(x∈A)，则y＝f[g(x)]＝F(x)(x∈A)称为f，g的复合函数．7．函数单调性增函数：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．区间D 称为y＝f(x)的单调增区间．如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．区间D称为y＝f(x)的单调减区间．注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)．图像的特点：如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图像从左到右是上升的，减函数的图像从左到右是下降的．函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1，x2∈D，且x1＜x2；作差f(x1)－f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕．图像法(从图像上看升降)；复合函数的单调性，复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u＝g(x)，y＝f(u)的单调性密切相关，其规律如下：注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．8．函数的奇偶性偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫作偶函数．奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫作奇函数．注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数．若对称再根据定义判定；有时判定f(－x)＝±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(－x)±f(x)＝0或f(x)＝±1来判定，利用定理，或借助函数的图像判定．f(－x)9．函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)．10．函数最大(小)值方法利用二次函数的性质(配方法)；利用图像；利用函数单调性；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．(设计者：张新军)。