离散型随机变量的方差教案

离散型随机变量的方差教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例解释离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的概率分布介绍离散型随机变量的概率分布的概念解释概率分布表的编制方法1.3 离散型随机变量的期望值介绍离散型随机变量的期望值的概念解释期望值的计算方法第二章：方差的概念2.1 方差的定义介绍方差的概念解释方差在概率论和统计学中的重要性2.2 方差的计算公式介绍离散型随机变量的方差计算公式解释公式中各参数的含义和计算方法2.3 方差的性质和特点介绍方差的性质和特点通过实例解释方差的应用和意义第三章：方差的估计3.1 方差的点估计介绍方差的点估计的概念解释如何通过样本数据来估计总体方差3.2 方差的区间估计介绍方差的区间估计的概念解释如何计算方差的置信区间3.3 方差的假设检验介绍方差的假设检验的概念解释如何利用样本数据进行方差的假设检验第四章：方差的应用4.1 方差在数据分析中的应用介绍方差在数据分析中的应用通过实例解释方差在数据分析中的作用和方法4.2 方差在质量控制中的应用介绍方差在质量控制中的应用通过实例解释方差在质量控制中的作用和方法4.3 方差在其他领域的应用介绍方差在其他领域的应用通过实例解释方差在其他领域中的作用和方法第五章：方差的进一步研究5.1 方差的优化和调整介绍方差的优化和调整的方法解释如何通过优化和调整方差来改善数据的质量和可靠性5.2 方差的分解和组合介绍方差的分解和组合的方法解释如何通过分解和组合方差来分析数据的结构和关系5.3 方差的比较和分析介绍方差的比较和分析的方法解释如何通过比较和分析方差来评估数据的差异和相似性第六章：方差与标准差的关系6.1 标准差的概念介绍标准差的概念解释标准差与方差的关系6.2 标准差的计算介绍标准差的计算方法解释如何通过方差计算标准差6.3 标准差的应用介绍标准差在数据分析中的应用通过实例解释标准差在数据分析中的作用和方法第七章：方差的假设检验7.1 方差的假设检验概述介绍方差的假设检验的基本概念解释方差假设检验的目的和方法7.2 单样本方差检验介绍单样本方差检验的方法解释如何进行单样本方差检验7.3 双样本方差检验介绍双样本方差检验的方法解释如何进行双样本方差检验第八章：方差的实际案例分析8.1 案例一：产品质量检验介绍一个产品质量检验的案例解释如何利用方差分析产品质量的稳定性8.2 案例二：金融市场分析介绍一个金融市场分析的案例解释如何利用方差分析金融市场的风险性8.3 案例三：教育成果评估介绍一个教育成果评估的案例解释如何利用方差分析教育成果的差异性第九章：方差的软件实现9.1 方差分析软件介绍介绍常用的方差分析软件解释如何使用这些软件进行方差分析9.2 方差分析软件操作实例通过实例演示如何使用方差分析软件进行数据分析解释软件操作的步骤和注意事项9.3 方差分析软件的结果解读介绍如何解读方差分析软件的结果解释结果中的各个指标的含义和作用10.1 方差的概念和作用强调方差在数据分析中的重要性10.2 方差的计算和应用强调方差在不同领域的应用价值10.3 方差分析的发展趋势展望方差分析的发展趋势强调方差分析在未来的应用前景重点和难点解析第一章：离散型随机变量的概念重点关注离散型随机变量的定义及其特点，理解概率分布的概念和编制方法。

离散型随机变量方差的教案教案标题：离散型随机变量方差的教案一、教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念和特点。

2. 掌握求离散型随机变量方差的方法和步骤。

3. 能够应用所学知识解决相关问题。

二、教学重点和难点：1. 离散型随机变量的方差计算方法。

2. 离散型随机变量方差计算的实际应用。

三、教学内容和步骤：1. 离散型随机变量的概念和特点介绍（10分钟）- 介绍离散型随机变量的定义和特点，以及其在实际问题中的应用。

2. 离散型随机变量方差的定义和计算方法（15分钟）- 介绍离散型随机变量方差的定义和计算公式。

- 通过具体的例子演示方差的计算步骤和方法。

3. 离散型随机变量方差计算的实际应用（15分钟）- 结合实际问题，引导学生应用所学知识计算离散型随机变量的方差。

- 引导学生分析和讨论方差在实际问题中的意义和应用。

4. 练习与讨论（10分钟）- 给学生提供一些练习题，让他们在课堂上进行练习并相互讨论。

- 对学生的解题过程和答案进行指导和讨论，帮助他们加深对离散型随机变量方差的理解。

四、教学方法：1. 讲授结合示例：通过具体的例子演示离散型随机变量方差的计算方法，帮助学生理解和掌握知识。

2. 互动讨论：引导学生在课堂上进行讨论和交流，加深对知识点的理解和应用。

3. 练习指导：给学生提供一定数量的练习题，并在课堂上进行指导和讨论，帮助他们巩固所学知识。

五、教学资源：1. 教科书和课件：提供相关的教学材料和示例，帮助学生理解和掌握知识。

2. 练习题和答案：为学生提供一些练习题，帮助他们巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况和讨论表现，评估他们对离散型随机变量方差的掌握程度。

2. 作业和考试：布置相关的作业和考试题目，检验学生对所学知识的掌握情况。

七、教学反思：根据学生在课堂上的学习情况和表现，及时调整教学方法和内容，帮助他们更好地理解和掌握离散型随机变量方差的知识。

教案：离散型随机变量的方差教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和计算方法；3. 能够运用方差分析数据的不均匀程度。

教学内容：一、离散型随机变量的概念1. 引入随机变量的概念，引导学生理解随机变量是随机现象的结果；2. 讲解离散型随机变量的定义，强调其取值有限且可数的特点；3. 通过实例让学生了解离散型随机变量的具体应用。

二、方差的定义1. 引入方差的概念，引导学生理解方差是衡量数据分散程度的指标；2. 讲解方差的计算公式，强调方差等于各个数据与平均数差的平方的平均数；3. 通过实例让学生了解方差的计算过程。

三、方差的计算方法1. 讲解如何计算离散型随机变量的方差，强调先求平均数，再求各个数据与平均数差的平方的平均数；2. 通过实例让学生掌握方差的计算步骤；3. 引导学生运用数学软件或工具进行方差的计算。

四、方差的应用1. 讲解方差在实际应用中的重要性，如统计学、经济学、自然科学等领域；2. 通过实例让学生了解如何运用方差分析数据的不均匀程度，如判断数据的分布情况、比较不同数据的离散程度等；3. 引导学生运用方差进行数据分析，培养学生的实际应用能力。

五、总结与练习1. 总结本节课的主要内容，让学生掌握离散型随机变量的概念、方差的定义和计算方法及其应用；2. 布置练习题，让学生巩固所学内容，提高解题能力。

教学资源：1. 离散型随机变量的定义和方差的计算方法的相关教材或教辅；2. 数学软件或工具，如Excel、MATLAB等；3. 实例数据，如统计数据、经济数据等。

教学评价：1. 学生能正确理解离散型随机变量的概念；2. 学生能熟练运用方差的计算方法计算离散型随机变量的方差；3. 学生能运用方差分析数据的不均匀程度，解决问题。

教案：离散型随机变量的方差（续）教学内容：六、方差的性质1. 讲解方差的性质，包括对称性、非负性、不变性和可加性等；2. 通过实例让学生了解方差的性质在实际应用中的作用；3. 引导学生运用方差的性质进行数据分析。

2.3.2离散型随机变量的方差三维目标1．知识与技能(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义．(2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．(3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差．2．过程与方法通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．3．情感、态度与价值观体会数学的应用价值，提高理论联系实际问题的能力．重点、难点重点：离散型随机变量方差的公式及根据分布列求方差．难点：方差的实际应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点．教学建议本节内容安排在均值之后，是刻画随机变量稳定性的工具，也是对学习过的样本方差的直接延伸，教学时引导学生类比样本方差的定义给出随机变量方差的定义，让学生探究它们的联系与区别，要注意对随机变量的方差和标准差概念、含义的解释，让学生在探究中加深对概念的理解．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解离散型随机变量方差的概念、性质及公式．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的方差、标准差的求法．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握离散型随机变量的方差的性质．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握均值、方差的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．课标解读1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.知识1离散型随机变量的方差【问题导思】A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床次品数X 10 1 2 3 P0.70.20.060.04B 机床次品数X 20 1 2 3 P0.80.060.040.10(1)试求E (X 1)，E (X 2)；(2)由E (X 1)和E (X 2)的值能比较两台机床的产品质量吗？ (3)试想利用什么指标可以比较加工质量？【提示】 (1)E (X 1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， E (X 2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44. (2)不能．(3)样本方差．1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1,2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．(3)离散型随机变量方差的性质： 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )． 2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p ).类型1 求离散型随机变量的方差、标准差例1 已知离散型随机变量X 1的概率分布为X 1 1 2 3 4 5 6 7 P17171717171717离散型随机变量X 2的概率分布为X 2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 P17171717171717求这两个随机变量的均值、方差与标准差．【思路探究】 直接利用离散型随机变量的均值和方差公式求解． 解 E (X 1)＝1×17＋2×17＋…＋7×17＝4；D (X 1)＝(1－4)2×17＋(2－4)2×17＋…＋(7－4)2×17＝4；D (X 1)＝2.E (X 2)＝3.7×17＋3.8×17＋…＋4.3×17＝4；D (X 2)＝(3.7－4)2×17＋(3.8－4)2×17＋(3.9－4)2×17＋(4－4)2×17＋(4.1－4)2×17＋(4.2－4)2×17＋(4.3－4)2×17＝0.04；D (X 2)＝0.2.规律方法1．本题已知分布列求均值、方差和标准差，属较容易题，套用公式即可完成．2．给出分布列求方差时，首先要求均值，然后再求方差和标准差，要注意公式应用要准确． 变式训练已知Y 的分布列为Y 0 10 20 50 60 P1325115215115求D (Y )，D (Y ).解 ∵E (Y )＝Y 1P 1＋Y 2P 2＋Y 3P 3＋Y 4P 4＋Y 5P 5 ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16.∴D (Y )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.∴D (Y )＝8 6.类型2离散型随机变量的方差的性质及应用例2 已知η的分布列为：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【思路探究】 (1)利用方差公式求解，首先求出均值E (η)，然后利用D (η)定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)．解 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)， ∴D (Y )＝D (2η－E (η)) ＝22D (η)＝4×384＝1 536. 规律方法1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 2．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )，若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，其中p 为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程． 互动探究将本例的分布列改为η 1 2 3 4 5 P0.10.20.40.20.1其他不变，如何求解？解 (1)∵E (η)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，∴D (η)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2， ∴D (η)＝ 1.2. (2)∵Y ＝2η－E (η)∴D (Y )＝D (2η－Eη)＝22D (η)＝4×1.2＝4.8.类型3方差的实际应用例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：ξA 110 120 125 130 135 P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．【思路探究】要比较两种材料的质量，需先比较其抗拉强度的期望，然后再看其方差值．解E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)＜D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．规律方法1．本题采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．2．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．变式训练甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.X012P 610110310Y012P 510310210解工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )＞D (Y )，可见乙的技术比较稳定．易错易误辨析 错用方差公式致误典例 已知η＝3ξ＋18，且D (ξ)＝13，D (η)＝________.【错解】 ∵D (ξ)＝13，η＝3ξ＋18.∴D (η)＝D (3ξ＋18)＝9D (ξ)＋18＝9×13＋18＝11718【答案】 11718【错因分析】 解答过程中，记错了方差的性质公式D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)直接导致解答出错．【防范措施】 熟练掌握方差的性质是解答此类问题的关键． 【正解】 D (η)＝D (3ξ＋18)＝9D (ξ)＝9×13＝117.【答案】 117课堂小结1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值和方差，可直接用均值、方差的性质求解，即E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．3．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．当堂检测1．下面说法中正确的是( )A ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的概率的平均值B ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量X 的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量X 的方差D (X )反映了X 取值的概率的平均值 【解析】 根据期望与方差的概念知选项C 正确． 【答案】 C2．若随机变量X 服从两点分布，且成功概率P ＝0.5，则D (X )和E (X )分别为( )A ．0.25和0.5B ．0.75和0.5C ．0.25和1D ．0.75和1【解析】 E (X )＝0.5，D (X )＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】 A3．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则n ＝________，p ＝________.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6np (1－p )＝3解得n ＝12，p ＝12.【答案】 12 124．已知随机变量X 的分布列如下表：X －1 0 1 P121316求X 的均值、方差和标准差．解 均值E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋(x 3－E (X ))2·p 3＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59；标准差D (X )＝53.。

教案：离散型随机变量的方差第一章：离散型随机变量的方差概念引入1.1 教学目标1. 了解离散型随机变量的概念；2. 掌握方差的定义和性质；3. 理解方差在实际问题中的应用。

1.2 教学内容1. 离散型随机变量的定义；2. 方差的定义和计算公式；3. 方差的性质和意义；4. 方差在实际问题中的应用案例。

1.3 教学过程1. 引入离散型随机变量的概念，通过实例让学生感受离散型随机变量的特点；2. 讲解方差的定义，通过具体例子让学生理解方差的含义；3. 引导学生掌握方差的计算公式，并进行计算练习；4. 讲解方差的性质，如非负性、齐次性等；5. 结合实际案例，让学生了解方差在数据分析中的应用。

第二章：离散型随机变量的方差计算方法2.1 教学目标1. 掌握离散型随机变量的期望值计算方法；2. 掌握离散型随机变量的方差计算方法；3. 了解离散型随机变量的协方差计算方法。

2.2 教学内容1. 离散型随机变量的期望值计算公式；2. 离散型随机变量的方差计算公式；3. 离散型随机变量的协方差计算公式；4. 期望值、方差、协方差之间的关系。

2.3 教学过程1. 讲解离散型随机变量的期望值计算方法，并通过实例进行计算练习；2. 讲解离散型随机变量的方差计算方法，并通过实例进行计算练习；3. 讲解离散型随机变量的协方差计算方法，并通过实例进行计算练习；4. 引导学生理解期望值、方差、协方差之间的关系。

第三章：离散型随机变量的方差性质3.1 教学目标1. 掌握离散型随机变量的方差性质；2. 了解方差在概率论中的应用；3. 学会运用方差分析实际问题。

3.2 教学内容1. 离散型随机变量的方差性质；2. 方差与其他数学量之间的关系；3. 方差的应用案例。

3.3 教学过程1. 讲解离散型随机变量的方差性质，如非负性、齐次性等；2. 引导学生了解方差与其他数学量之间的关系，如期望值、标准差等；3. 结合实际案例，让学生了解方差在数据分析中的应用；4. 进行方差计算和性质分析的练习。

离散型随机量的方差一、三目：1、知与技能：了解离散型随机量的方差、准差的意，会根据离散型随机量的分布列求出方差或准差。

2、程与方法：了解方差公式“ D( aξ +b)= a2Dξ”，以及“若ξ～Β( n， p) ，Dξ np—p”，并会用上述公式算有关随机量的方差。

= (1)3、情感、度与价：承前启后，感悟数学与生活的和之美, 体数学的文化功能与人文价。

二、教学重点：离散型随机量的方差、准差三、教学点：比两个随机量的期望与方差的大小，从而解决四、教学程：（一）、复引入：1.. 数学期望 :一般地，若离散型随机量ξ 的概率分布ξx1x2⋯x n⋯P p1p2⋯p⋯n称 Ex1 p1 x2 p2⋯ x n p n⋯ξ 的数学期望，称期望．2.数学期望是离散型随机量的一个特征数，它反映了离散型随机量取的平均水平3.期望的一个性:E(a b) aE b4、如果随机量X 服从两点分布X10P p1－ pEξ=np5、如果随机量X 服从二分布，即X ～ B （n,p ）， EX=np（二）、解新：1、( 探究 1)某人射 10次，所得数分是： 1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；所得的平均数是多少111122233443212 X10123410101010X X1X2⋯X i⋯X n( 探究 2)某人射P P1P2⋯P i⋯P n次，所得数分是： 1，101，1，1， 2，2，2，3，3，4；数据的方差是多少s21[( x1x) 2(x i x) 2( x n x)2 ]s2n1 [(12) 2(12) 2(12) 2(12)2(22) 210( 22) 2( 22) 2(32)2(32) 2(42) 2 ]1s24(1 2)23( 2 2) 22(3 2)21(4 2) 2101010102、离散型随机量取的方差的定:离散型随机量 X 的分布：(x i -EX) 2描述了 x i (i=1,2,⋯n)相于均EX的偏离程度，而n( x i EX )2 p ii 1X28910 PDX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值 EX的平均偏离程度。

离散型随机变量的方差教案第一章：离散型随机变量的方差概念引入教学目标：1. 让学生理解离散型随机变量的概念。

2. 让学生了解方差的概念及其在概率论中的重要性。

3. 让学生掌握计算离散型随机变量方差的方法。

教学内容：1. 离散型随机变量的定义及其数学表达式。

2. 方差的定义及其数学表达式。

3. 离散型随机变量方差的计算方法。

教学过程：1. 引入离散型随机变量的概念，通过实例让学生理解离散型随机变量的含义。

2. 引入方差的概念，解释方差在概率论中的重要性。

3. 讲解离散型随机变量方差的计算方法，并通过例题让学生掌握计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对离散型随机变量方差计算方法的掌握。

第二章：离散型随机变量的期望值与方差教学目标：1. 让学生理解离散型随机变量的期望值的概念。

2. 让学生掌握计算离散型随机变量期望值的方法。

3. 让学生理解期望值与方差之间的关系。

教学内容：1. 离散型随机变量的期望值的定义及其数学表达式。

2. 离散型随机变量期望值的计算方法。

3. 期望值与方差之间的关系。

教学过程：1. 引入离散型随机变量的期望值的概念，通过实例让学生理解期望值的含义。

2. 讲解离散型随机变量期望值的计算方法，并通过例题让学生掌握计算方法。

3. 讲解期望值与方差之间的关系，并通过例题让学生理解两者之间的关系。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量期望值概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对离散型随机变量期望值计算方法的掌握。

3. 通过练习题，检查学生对期望值与方差之间关系的理解。

第三章：离散型随机变量方差的性质教学目标：1. 让学生掌握离散型随机变量方差的性质。

2. 让学生能够运用方差的性质解决实际问题。

教学内容：1. 离散型随机变量方差的性质及其数学表达式。

2. 离散型随机变量方差的性质在实际问题中的应用。

教学过程：1. 讲解离散型随机变量方差的性质，并通过例题让学生理解方差的性质。

离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念通过实例说明离散型随机变量的特点1.2 离散型随机变量的取值讨论离散型随机变量的取值范围解释离散型随机变量的概率分布1.3 离散型随机变量的概率质量函数定义概率质量函数（PMF）示例说明如何计算离散型随机变量的概率第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值定义引入离散型随机变量的均值概念解释均值的意义和重要性2.2 计算离散型随机变量的均值介绍计算离散型随机变量均值的方法通过实例演示如何计算均值2.3 均值的性质讨论离散型随机变量均值的性质证明均值的线性性质第三章：离散型随机变量的方差3.1 方差的概念引入方差的概念和意义解释方差在描述随机变量离散程度方面的作用3.2 计算离散型随机变量的方差介绍计算离散型随机变量方差的方法通过实例演示如何计算方差3.3 方差的性质讨论离散型随机变量方差的性质证明方差的线性性质第四章：离散型随机变量的标准差4.1 标准差的概念引入标准差的概念和意义解释标准差在描述随机变量离散程度方面的作用4.2 计算离散型随机变量的标准差介绍计算离散型随机变量标准差的方法通过实例演示如何计算标准差4.3 标准差的性质讨论离散型随机变量标准差的性质证明标准差的线性性质第五章：离散型随机变量的期望和方差的关系5.1 期望和方差的关系引入期望和方差的关系概念解释期望和方差在描述随机变量特性方面的作用5.2 计算离散型随机变量的期望和方差介绍计算离散型随机变量期望和方差的方法通过实例演示如何计算期望和方差5.3 期望和方差的性质讨论离散型随机变量期望和方差的性质证明期望和方差的线性性质这五个章节涵盖了离散型随机变量的均值和方差的基本概念、计算方法和性质。

通过这些章节的学习，学生可以掌握离散型随机变量的均值和方差的计算方法，并了解它们在描述随机变量特性和规律方面的应用。

2.3 离散型随机变量的方差
【课题】：2.3 离散型随机变量的方差
【教学时间】：高二下学期
【学情分析】：
教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会利用离散型随机变量均值解决实际问题。

本课时要结合均值的概念讲解方差的概念,与均值进行对比和联系,要通过具体的例题讲清求方差的一般步骤。

本节课的教学难点是复杂的方差问题的求解，在教学中要加强对学生运算能力的培养。

在教学中要注意和实际问题相结合，使学生真正理解方差的意义。

【教学目标】：
（1）通过实例使学生理解离散型随机变量均值的定义；
（2）会运用方差解决实际问题。

【教学重点】：
1.离散型随机方差的定义；
2.离散型随机变量方差的求法；
3.运用方差解决实际问题。

【教学难点】：
1.复杂的方差问题的求解，；
2.运用均值解决实际问题。

【教学突破点】：
通过一个实际问题结合均值引入均值，与均值进行对比和联系，帮助学生理解方差的定义；通过对典型例题的分析，使学生掌握运用解决问题的方法和步骤。

【教法、学法设计】：
在具体教学过程中，教师可在教材的基础上适当拓展具体的实际例子，使得内容更为丰富．教师可以运用和学生共同探究式的教学方法，学生可以采取自主探讨式的学习方法．
【课前准备】：课件
根据离散型随机变量分布列的性质,可得
12101)21(2
1
2≤-≤=+-+q q q 解得2
2
1-=q。

离散型随机变量的均值与方差_教案第一章：离散型随机变量的概念1.1 离散型随机变量的定义介绍离散型随机变量的概念举例说明离散型随机变量1.2 离散型随机变量的概率分布概率分布的定义概率分布的性质概率分布的图形表示1.3 离散型随机变量的期望值期望值的定义期望值的计算方法期望值的意义第二章：离散型随机变量的均值2.1 离散型随机变量的均值的概念均值的定义均值的意义2.2 离散型随机变量的均值的计算方法均值的计算公式均值的计算步骤2.3 离散型随机变量的均值的性质均值的性质1：线性性质均值的性质3：单调性第三章：离散型随机变量的方差3.1 离散型随机变量的方差的概念方差的定义方差的意义3.2 离散型随机变量的方差的计算方法方差的计算公式方差的计算步骤3.3 离散型随机变量的方差的性质方差的性质1：非负性方差的性质2：对称性方差的性质3：单调性第四章：离散型随机变量的协方差4.1 离散型随机变量的协方差的概念协方差的定义协方差的意义4.2 离散型随机变量的协方差的计算方法协方差的计算公式协方差的计算步骤4.3 离散型随机变量的协方差的性质协方差的性质1：线性性质协方差的性质3：对称性第五章：离散型随机变量的相关系数5.1 离散型随机变量的相关系数的定义相关系数的定义相关系数的意义5.2 离散型随机变量的相关系数的计算方法相关系数的计算公式相关系数的计算步骤5.3 离散型随机变量的相关系数的性质相关系数的性质1：取值范围相关系数的性质2：单调性相关系数的性质3：对称性第六章：离散型随机变量的标准化6.1 离散型随机变量标准化的概念标准化的定义标准化的意义6.2 离散型随机变量的标准化方法标准化的计算公式标准化的计算步骤6.3 离散型随机变量标准化后的性质标准化后的分布标准化后的期望值和方差第七章：离散型随机变量的均值的估计7.1 离散型随机变量均值估计的概念均值估计的定义均值估计的意义7.2 离散型随机变量均值的点估计点估计的定义点估计的计算方法7.3 离散型随机变量均值的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第八章：离散型随机变量的方差的估计8.1 离散型随机变量方差估计的概念方差估计的定义方差估计的意义8.2 离散型随机变量方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法8.3 离散型随机变量方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第九章：离散型随机变量的协方差的估计9.1 离散型随机变量协方差估计的概念协方差估计的定义协方差估计的意义9.2 离散型随机变量协方差的点估计点估计的定义点估计的计算方法9.3 离散型随机变量协方差的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法第十章：离散型随机变量的相关系数的估计10.1 离散型随机变量相关系数估计的概念相关系数估计的定义相关系数估计的意义10.2 离散型随机变量相关系数的点估计点估计的定义点估计的计算方法10.3 离散型随机变量相关系数的区间估计区间估计的定义区间估计的计算方法重点和难点解析重点环节1：离散型随机变量的期望值和方差的计算方法。

2．3.2离散型随机变量的方差授课人：授课班级：高二（11）教学过程一、复习旧知1．数学期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望．2．两种分布的期望：若X服从两点分布，则E(X)＝p若X～B(n，p)，则E(X)＝np.3．数学期望的一个性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b.二、探究新知要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加三分球比赛，根据以往多次训练，两名同学甲乙20个三分球命中个数X1、X2的分布列如下：X1 2 3 4 5 6 7P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0. 10X2 2 3 4 5 6P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛．通过计算分析：E（X1）=5，E（X2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)1．方差：对于离散型随机变量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，x i，…x n，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，p i，…p n，那么，D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(x i－E(X))2·p i＋…＋(x n－E(X))2·p n称为随机变量X的方差，式中的E(X)是随机变量X的均值．标准差：D(X)的算术平方根D X叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)．随机变量X的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；对“探究”的再思考(1)如果其他班同学的训练成绩都在5个左右，应派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班同学的训练成绩都在6个左右，应派哪一名选手参赛？2．两种分布的方差若X 服从两点分布，则D(X)＝p （1-p ） 若X ～B(n ，p)，则D(X)＝np(1－p)． 3.方差的性质：D(aX ＋b)＝a 2D(X)； 其他：D(X)＝E(X 2)－(E(X))2(可了解)； 三、 运用新知例1、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求E （X ），D （X ）.解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为E （X ）＝np ，D （X ）＝np （1-p ），这里n ＝200，p ＝1%所以，E （X ）＝200×1%＝2，D （X ）＝200×1%×99%＝1.98.例2、已知随机变量X 的分布列为 解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为（1） 求X 的方差及标准差； （2） 设Y=2X-E （X ），求D （Y ）练习1：已知随机变量X设Y=2X+3，则D （Y ）=（ ）A .8/3B .5/3C .2/3D .1/3 练习2：设随机变量X 的概率分布为P （X=k ）= 1(1)(0,1)kkp pk --=，则E （X ）、D （X ）的值分别为（ ）A .0和1B .p 和 p^2C .p 和1-pD .1-p 和p （1-p ）四、小结。

离散型随机变量的方差一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：1..数学期望则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课：1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？(探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。

我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基础训练104332221111+++++++++=X 21014102310321041=⨯+⨯+⨯+⨯=])()()[(122212x x x x x x ns n i -++-++-= 1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(101)23(102)22(103)21(104-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=s ∑=-=ni ii p EX x 12)(求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （四）、方差的应用 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

离散型随机变量的方差课前预习学案一、预习目标了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差二、预习内容1、 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值，是1x ，2x ，…，nx ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p，…，那么, _________________称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 E 是随机变量ξ的期望．2、标准差: _________________叫做随机变量ξ的标准差，记作_________________． 注：方差与标准差都是反映_________________它们的值越小，则_________________小，即越集中于均值。

课内探究学案一、学习目标1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．2.了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差学习重难点：离散型随机变量的方差、标准差；比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题二、学习过程例1: 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．例2. 某人投弹命中目标的概率p ＝0.8. (1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．例3. 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？课堂练习1.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.3.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23.此人得分的数学期望与方差分别为________．4.随机变量ξ的分布列如下：其中a、b、c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝________.5.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.6.设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝p令随机变量1AXA⎧=⎨⎩，出现，不出现，则X的方差D(X)等于________．7.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差．8.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：试求E(ξ)、D(ξ)．9.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．10.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．答案例1.【解析】抛掷骰子所得点数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P161616161616从而E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D (X )＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，D X ≈1.71.例2.【解析】(1)随机变量X 的分布列为因为X 服从两点分布，故E (X )＝p ＝0.8，D (X )＝p (1－p )＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (10,0.8)，∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8，D (Y )＝np (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6.例3. 【解析】根据月工资的分布列，利用计算器可算得 E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1 ＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1 ＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 课堂练习1.【解析】由题意知1112106113a b c a c a c ⎧++=⎪⎪⎪-++=⎨⎪⎪++=⎪⎩解得5121414a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2.【解析】由题意知，－p 1＋p 3＝0.1，1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89. 又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.3.【解析】记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分， 则η～B 2(3,)3，ξ＝10η，∴E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20，D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 4.【解析】由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.5.【解析】每次取球时，红球被取出的概率为12，8次取球看做8次独立重复试验，红球出现的次数X ～B 1(,8)2，故D(X)＝8×12×12＝2. 6.【解析】X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )． 7.【解析】(1)P ＝13×23＋23×34＝1318. (2)P(ξ＝0)＝13×13＝19；P(ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P(ξ＝2)＝23×34＝12. 故ξ的分布列为E(ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518， D(ξ)＝225(0)18-×19＋225(1)18-×718＋225(2)18-×12＝149324，∴()D ξ＝14918. 8.【解析】由于离散型随机变量的分布列满足： (1)p i ≥0(i ＝1，2，...)；(2)p 1＋p 2＋ (1)故221(12)1201211q q q q ⎧+-+=⎪⎪≤-≤⎨⎪≤⎪⎩解之得212q =-. 故ξ的分布列为：∴E (ξ)＝(－1)×12＋0×(21)-＋1×3(2)2-＝1－2， D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋(12)-2×(21)-＋[1－(1－2)]2×3(2)2-＝2－1.9.解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为ξ 6 9 12 P715715115∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.10.【解析】(1)X 服从两点分布X 0 1 P1212.∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14. (2)由题意知，X ～B ⎝⎛⎭⎫10，12. ∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝npq ＝10×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝52.。

离散型随机变量的方差【教学目标】： 1．了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2．了解方差公式“D （a ξ+b ）=a2D ξ”，以及“若ξ～Β（n ，p ），则D ξ=np （1—p ）”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差【教学重点】离散型随机变量的方差、标准差【教学难点】比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题【授课类型】新授课【课时安排】2课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【内容分析】数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值。

今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究。

其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差。

回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差【教学过程】一、复习引入：1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2． 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量： 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4．离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系： 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5． 分布列：6． i 12+ (1)7．二项分布：ξ～B （n ，p ），并记kn k k n q p C -＝b （k ；n ，p ）。