高考数学(理科)大二轮复习练习：专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练18

专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.(2017全国Ⅲ,理5)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是() A.B.C.D.3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.84.已知双曲线=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=15.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.7.(2017全国Ⅰ,理15)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为. 8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l 与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.思维提升训练11.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1012.(2017全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.13.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.15.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B 是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q 两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.A解析由条件知F1(-,0),F2(,0),=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),-3<0. ①=1,=2+2.代入①得,∴-<y0<3.B解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.4.D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选D.5.C解析在y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线=1中令x=c得P当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),,,∴e=同理,当点P的坐标为时,e=故该双曲线的离心率为6.2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2. 7解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=又tanθ=,,解得a2=3b2,∴e=8.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为(2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为由题意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以=1+此时>1,且2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且综上所述,的取值范围是10.解(1)由题意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).∵||=()+2,=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2=2∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点H,|PH|==1-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由得x D=由得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.思维提升训练11.A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=同理可得|BF|=,所以|AB|=又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.12.6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=±4所以N(0,±4).所以|FN|==6.13.y=±x 解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.14.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值15.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=-1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,的最大值是,由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m。

7.2 直线、圆、圆锥曲线 小综合题专项练
1.直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系判定: ①几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定. ������������ + ������������ + ������ = 0, ②代数法:解方程组 利用方程组解的个数 (������-������ )2 + (������-������)2 = ������ 2 , 判定. (2)直线与圆相交时,弦心距 d,半径 r,弦长的一半2l 满足关系式 r2=d2+
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一、选择题(共12小题,满分60分) 1.(2018全国Ⅲ,文8)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P 在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( A ) A.[2,6] B.[4,8] C.[ 2,3 2] D.[2 2,3 2]
解析 圆心到直线 AB 的距离 d=
������2 ������2 (2)已知双曲线标准方程������2 − 2 =1(a>0,b>0),其焦点为 ������ ������2 ������2 M(x,y)是椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的一点,其焦点为 ������ ������
②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;
������2 ③x1x2= 4 ,y1y2=-p2.
|2+0+2| =2 2
2.
设点 P 到直线 AB 的距离为 d'. 易知 d-r≤d'≤d+r,即 2≤d'≤3 2. 又 AB=2 2,
1 ∴S△ABP=2· |AB|· d'=

第18练 圆锥曲线的定义、方程及性质[明晰考情] 1.命题角度：圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等.2.题目难度：中档难度或偏难．考点一 圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧 (1)椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法．1．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2－x 248＝1B ．x 2－y 248＝1C ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)答案 C解析 由两点间距离公式，可得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，因为A ，B 都在椭圆上，所以|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2<14，故F 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的下支．由c ＝7，a ＝1，得b 2＝48，所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)，故选C.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1 答案 B解析 由e ＝2知a ＝b ，且c ＝2a .∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 又k PF ＝4－00＋c ＝4c ＝1，∴c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线方程为x 28－y 28＝1.3．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是________． 答案2解析 由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1为直角，所以12PF F S △＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.4．已知抛物线y ＝116x 2，A ，B 是该抛物线上两点，且|AB |＝24，则线段AB 的中点P 离x 轴最近时点P 的纵坐标为________． 答案 8解析 由题意得抛物线的标准方程为x 2＝16y ， 焦点F (0,4)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AB |≤|AF |＋|BF |＝(y 1＋4)＋(y 2＋4)＝y 1＋y 2＋8， ∴y 1＋y 2≥16，则线段AB 的中点P 的纵坐标y ＝y 1＋y 22≥8，∴线段AB 的中点P 离x 轴最近时点P 的纵坐标为8. 考点二 圆锥曲线的几何性质要点重组 在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2；在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.5．(2018·全国Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 答案 A解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又∵离心率c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a (a ＞0，b ＞0)． ∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x . 故选A.6．(2018·全国Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A.5B ．2C.3D. 2 答案 C解析 如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a . 又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝c a＝ 3.7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为______． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________． 答案233解析 如图，由题意知点A (a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b2. 又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 考点三 圆锥曲线的综合问题方法技巧 (1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法 定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法．(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明． 9．如图，点F 1，F 2是椭圆C 1的左、右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2的渐近线交于点P ，PF 1⊥PF 2，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 22＝1＋e 411－e 21B ．e 22＝2e 411－e 21C ．e 22＝1－e 412e 21－1D ．e 22＝e 412e 21－1答案 D解析 设椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，点P 的坐标为(x 0，y 0)，由图知x 0＞0，y 0＞0， 因为点P 在椭圆C 1上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a .① 又因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，② 在Rt△PF 1F 2中，易得|PF 1|·|PF 2|＝2c ·y 0，③联立①②③，得y 0＝b 2c，代入椭圆方程，得x 0＝a cc 2－b 2. 因为点P 在双曲线的渐近线上，所以双曲线的渐近线的斜率k ＝y 0x 0＝b 2a c 2－b 2＝a 2－c 2a 2c 2－a 2＝1－e 212e 21－1， 又在双曲线中易得其渐近线的斜率k ＝e 22－1， 所以1－e 212e 21－1＝e 22－1， 化简得e 22＝e 412e 21－1，故选D.10．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1答案 C 解析 如图，由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，显然， 当y 0<0时，k OM <0； 当y 0>0时，k OM >0.要求k OM 的最大值，不妨设y 0>0，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03， k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22， 当且仅当y 20＝2p 2时等号成立．故选C.11．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AF ，BF 的长分别为m ，n ，则mnm ＋n＝________. 答案14a解析 显然直线AB 的斜率存在，故设直线方程为y ＝kx ＋14a ，与y ＝ax 2联立，消去y 得ax2－kx －14a＝0，设A (x 1，ax 21)，B (x 2，ax 22)，则x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－14a2，x 21＋x 22＝k 2a 2＋12a 2，m ＝ax 21＋14a ，n ＝ax 22＋14a ，∴mn ＝14a ·k 2＋1a ，m ＋n ＝k 2＋1a ，∴mn m ＋n ＝14a .12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且△F 1AB 的面积为2－32，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为________． 答案 [1，4]解析 由已知得2b ＝2，故b ＝1， ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32， ∴a －c ＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1， ∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2| ＝2a |PF 1|(4－|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|， 又2－3≤|PF 1|≤2＋3， ∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4， ∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4].1．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞答案 B解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3， 设P (x ，y )，x ≥3，FP →＝(x ＋2，y )， 则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．2．若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的方程为________________． 答案x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 解析 由题意，得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.所以当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 212＋y 29＝1；当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆的方程为x 29＋y 212＝1.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.3．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (1,2)解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0， 即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2a a 2＋b2>1，即2ac >1，所以e ＝ca<2， 又e >1，故1<e <2.解题秘籍 (1)椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x 轴上或y 轴上进行讨论． (2)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件．1. (2018·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x2a 2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.故选C.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．y 2＝8x D ．y 2＝6x 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由抛物线的定义可知，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝(x 1＋x 2)＋p ，∵线段PQ 中点的横坐标为3， 又|PQ |＝10，∴10＝6＋p ，可得p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x .4．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析 由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1， ∴e 1e 2＞1.5．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝8与l 交于A ，B 两点，若△ABC 是等腰直角三角形，且OB →＝5OA →(其中O 为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )A.2133B.2135C.135D.133答案 D解析 双曲线的渐近线方程为y ＝bax ，圆(x －a )2＋y 2＝8的圆心为(a,0)，半径r ＝22，由于∠ACB ＝π2，由勾股定理得|AB |＝(22)2＋(22)2＝4，故|OA |＝14|AB |＝1.在△OAC ，△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC ＝a 2＋1－82a ＝52＋a 2－810a ，解得a 2＝13.由圆心到直线y ＝b a x 的距离为2，得ab c ＝2，结合c 2＝a 2＋b 2，解得c ＝133，故离心率为c a ＝13313＝133.6．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 答案 C解析 如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b ＝6，∴b ＝3. 又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴a ＝ 3. ∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 故选C. 7．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析 设M (－c ，m )(m ≠0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线， 所以am 2(a －c )＝am a ＋c ，a ＝3c ，所以e ＝13. 8．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( ) A.43B.53C.94D ．3 答案 B解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2. 又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝53，故选B. 9．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案 15解析 因为在椭圆x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，得焦点为F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的定义，得|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋(2a －|PF 2|)＝10＋(|PM |－|PF 2|)．因为|PM |－|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在MF 2的延长线上时等号成立，此时|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋5＝15.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________． 答案 3解析 由题意知1＋p 2＝5，∴p ＝8.∴M (1,4)， 由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且直线AM 平行于双曲线的一条渐近线，∴41＋a ＝3a ，则a ＝3.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段PF 1上一点，且满足MF 1→＝2PM →，MF 2→·OP →＝0，则椭圆C 的离心率的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 设P (x ，y )(y ≠0)，取MF 1的中点N ，由MF 1→＝2PM →知，NF 1→＝12PN →，解得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2c 3，y 3， 又MF 2→·OP →＝0，所以MF 2→⊥OP →，连接ON ，由三角形的中位线可知ON →⊥OP →，即(x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2c 3，y 3＝0， 整理得(x －c )2＋y 2＝c 2(y ≠0)，所以点P 的轨迹为以(c ，0)为圆心，c 为半径的圆(去除两点(0,0)，(2c ，0))，要使得圆与椭圆有公共点，则a －c ＜c ，所以e ＝c a ＞12，又0<e <1， 所以椭圆的离心率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高频考点
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练1 已知P1(a1,b 1)与P2(a2,b 2)是直线y=kx+ 1(k为常数)
上两个不同的点,则关于x 和y的方程组
的解
的情况是( )
A.无论k ,P 1 ,P 2 如何,总是无解 B.无论k ,P 1 ,P 2 如何,总有唯一解 C.存在k ,P 1 ,P 2 ,使之恰有两解 D. 存在k ,P 1 ,P 2 ,使之有无穷多解
例4 已知圆M :(x+ 1)2+y 2= 1,圆N :(x- 1)2+y 2= 9,动圆P与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程; (2)l是与圆P、圆M 都相切的一条直线,l与曲线C 交于A ,B两点,当 圆P的半径最长时,求|AB|. 解：由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r1= 1;圆N 的圆心为 N (1,0),半径r2= 3 .设圆P的圆心为P(x ,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M 外切并且与圆N 内切,所以 |PM|+|PN|= (R+r 1)+ (r2-R )=r 1+r 2= 4 . 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2 ,
解析：(方法一)设A (1,0).由mx-y- 2 m- 1 = 0,得m (x- 2)(y+ 1)= 0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直 线系方程.
当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.
故所求圆的标准方程为(x- 1)2+y 2= 2 .
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