小升初数学暑假培优训练十七《行程问题》

17.行程问题知识要点梳理一、基本公式：1.路程＝速度×时间2.速度＝路程÷时间3.时间＝路程÷速度二、问题类型1.相遇问题：①相遇时间＝总路程÷速度和②速度和＝总路程÷相遇时间③总路程＝速度和×相遇时间2.追及问题：①追及时间＝路程差÷速度差②速度差＝路程差÷追及时间③路程差＝速度差×追及时间3.流水行船问题：①顺水速度＝船速＋水速②逆水速度＝船速－水速③船速＝(顺水速度＋逆水速度）÷2④水速＝(顺水速度－逆水速度）÷24.列车过桥问题：(1) 火车过桥（隧道）：火车过桥（隧道）时间＝(桥长＋车长）÷火车速度(2) 火车过树（电线杆、路标）：火车过树（电线杆、路标）时间＝车长÷火车速度(3) 火车过人:①火车经过迎面行走的人:迎面错过的时间＝车长÷（火车速度＋人的速度）②火车经过同向行走的人:追及的时间＝车长÷(火车速度－人的速度）(4) 火车过火车：①错车问题：错车时间＝(快车车长＋慢车车长）÷（快车速度＋慢车速度）②超出问题:错车时间＝(快车车长＋慢车车长）÷（快车速度－慢车速度）考点精讲分析典例精讲考点1 一般行程问题【例1】小王骑公共自行车从家去上班，每分钟行350米，用了20分钟，下午下班沿原路回家，每分钟比去时多骑50米，多少分钟到家？【精析】先根据路程＝速度×时间，求出家到单位的距离，再求出下班的速度，最后根据时间＝路程÷速度即可解答。

【答案】350×20＝7000(米）350＋50＝400 (米/分）7000÷400＝17.5(分钟)答:17.5分钟到家。

【归纳总结】本题考查知识点：依据速度，时间以及路程之间的数量关系解决冋题。

考点2 相遇问题【例2】甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A 城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。

小升初数学专项题行程问题- 行程问题是小学数学中的一个经典题型，也是中学数学中的常见题型。

它常常涉及到时间、速度、距离等概念，考察学生对这些概念的理解和运用能力。

下面是一个关于行程问题的例子：例题：小明骑自行车从A地到B地，全程120公里。

第一天他骑了3小时，剩余距离的3/4。

第二天他骑了4小时，剩余距离的1/3。

问小明第一天的平均速度和第二天的平均速度分别是多少？解析：首先，我们需要确定小明第一天和第二天所剩余的距离分别是多少。

设小明第一天所剩余的距离为x，那么根据题意，我们可以得到以下等式：3/4 * 120 = x解得 x = 90同理，设小明第二天所剩余的距离为y，那么根据题意，我们可以得到以下等式：1/3 * 120 = y解得 y = 40然后，我们可以利用速度=距离/时间的公式来计算小明第一天和第二天的平均速度。

第一天的平均速度 = 90 / 3 = 30公里/小时第二天的平均速度 = 40 / 4 = 10公里/小时所以，小明第一天的平均速度是30公里/小时，第二天的平均速度是10公里/小时。

通过这个例题，我们可以看到解决行程问题的关键在于确定所剩余的距离，并利用速度=距离/时间的公式来计算平均速度。

除了这个例题，行程问题还有很多其他的变形。

例如，给定两个地点之间的距离和速度，求到达目的地所需的时间；或者给定两个地点之间的距离和时间，求平均速度等等。

这些问题都要求学生能够熟练地应用相关的公式和概念来解决。

行程问题不仅在小学数学中经常出现，而且在高中数学和大学数学中也有所涉及。

因此，通过解决这类问题，可以帮助学生建立起对时间、速度、距离等概念的深入理解，为以后更复杂的数学问题打下坚实的基础。

行程问题（一）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。

2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 行程问题的基本概念：行程、速度、时间、路程。

2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

3. 行程问题的解题方法和技巧。

教学步骤：1. 引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的基本元素：行程、速度、时间、路程。

2. 讲解行程问题的基本公式，让学生理解路程、时间、速度之间的关系。

3. 通过例题讲解行程问题的解题方法和技巧，让学生学会如何解决行程问题。

4. 练习题：让学生运用所学的知识和技巧解决实际问题。

教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对行程问题基本概念和公式的理解程度。

2. 练习题解答：评价学生对行程问题解题方法和技巧的掌握程度。

行程问题（二）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。

2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 行程问题的基本概念：行程、速度、时间、路程。

2. 行程问题的基本公式：路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

3. 行程问题的解题方法和技巧。

教学步骤：1. 引入行程问题的概念，让学生了解行程问题的基本元素：行程、速度、时间、路程。

2. 讲解行程问题的基本公式，让学生理解路程、时间、速度之间的关系。

3. 通过例题讲解行程问题的解题方法和技巧，让学生学会如何解决行程问题。

4. 练习题：让学生运用所学的知识和技巧解决实际问题。

教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对行程问题基本概念和公式的理解程度。

2. 练习题解答：评价学生对行程问题解题方法和技巧的掌握程度。

行程问题（三）教学目标：1. 理解行程问题的基本概念和基本公式。

2. 掌握行程问题的解题方法和技巧。

一、相遇问题甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A ，B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程＋乙走的路程＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间＝路程和，即=t S V 和和。

二、追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。

这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）。

如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程－乙走的路程＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程＝速度差×追及时间，即=t S V 差差。

三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同。

(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

相遇问题：速度和×相遇时间＝路程和 路程和÷速度和＝相遇时间 路程和÷相遇时间＝速度和 追及问题：速度差×追及时间＝路程差知识梳理行程问题路程差÷速度差＝追及时间路程差÷追及时间＝速度差一、多次追及、相遇问题精讲精练题型一、环形跑道多次相遇问题例、甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【举一反三】甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长是多少米？【07年15所民校联考题】题型二、折返多次相遇问题例1、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。

行程问题【题目1】有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？【题目2】正方形ABCD是一条环形公路，已知汽车在AB上的时速为90千米，在BC上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米。

已知从CD上的一点P同时反向各发一辆汽车，他们将在A、B的中点上相遇。

那么如果从PC中点M点同时反向各发一辆汽车，他们将在A、B上的一点N相遇。

求AN占AB的几分之几？【题目3】甲乙二人在400米的跑道上进行两次竞赛,第一次乙先跑到25米后,甲开始追乙,到终点比乙提前7."5秒,第二次乙先跑18秒后,甲追乙,当乙到终点时,甲距终点40米,求在400米内,甲乙速度各多少?【题目4】甲乙两人分别从AB两地同时出发，在AB之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。

如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，那么AB之间的距离是多少米？【题目5】甲乙两辆车在一条长为10千米的环形公路上从同一地点同时反向开出，甲车开出4千米时两车相遇。

如果每次相遇后两车都提速10%，求第三次相遇时甲车离出发点多远。

【题目6】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们下山的速度是各自上山速度的2倍。

甲到达山顶时乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。

求山脚到山顶的距离。

【题目7】甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车中途相遇后，甲又用4小时到B地，乙又用9小时到A地，相遇时，甲车比乙车多行了90千米，求甲乙两车每小时各行多少千米？【题目1】一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，300秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？【题目2】甲乙两车分别从AB两地同时出发相向而行，出发时，甲和乙的速度比是4：3，相遇后，甲的速度减少10%，乙的速度增加20%。

行程问题考点一：一般行程问题公式，速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 考点二：相遇问题公式，速度和×相遇时间=相遇路程 相遇路程÷相遇时间=速度和 相遇路程÷速度和=相遇时间考点三：追及问题公式，速度差×追及时间=追及距离 追及距离÷追及时间=速度差 追及距离÷速度差=追及时间考点四：火车过桥公式：火车速度×过桥时间=车长+桥长考点五：流水行船公式，顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 顺水速度=逆水速度+水速×2 逆水速度=顺水速-水速×2考点六：环形行程问题公式，封闭环形上的相遇问题，利用关系式：环形周长÷速度和=相遇时间 封闭环形上的追及问题，利用关系：环形周长÷速度差=追及时间【例1】甲乙二人同时从两地出发，相向而行。

走完全程，甲需要60分钟，乙需要40分钟。

出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。

甲再次出发，多长时间后两人相遇？【例2】两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要8小时，比快车从乙地到甲地多用31的时间。

如果两车同时开出，那么相遇时快车比慢车多行40千米。

求甲、乙两地的距离。

【例3】一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用了16小时，逆流航行120千米也用了16小时。

求水流速度。

【例4】已知某铁路长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用了120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度。

【例5】甲乙二人在操场的400米跑到上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙的后面，出发后6分钟甲第一次追上乙，22分钟时甲第二次追上乙。

假设两人的速度都保持不变，问：出发时甲在乙身后多少米？【例6】甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返行驶。

行程问题【题目1】有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？【解答】乙丙的速度比是（10＋40）：40＝5：4，甲丙的速度比是（20＋60）：60＝4：3。

所以甲乙的速度比是4/3：5/4＝16：15，甲比乙晚出发10分钟，可以得出甲用了15×10＝150分钟追上乙。

【题目2】正方形ABCD是一条环形公路，已知汽车在AB上的时速为90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是80千米。

已知从CD上的一点P同时反向各发一辆汽车，他们将在A、B的中点上相遇。

那么假如从PC 中点M点同时反向各发一辆汽车，他们将在A、B上的一点N相遇。

求AN占AB的几分之几？【解答】设每边720千米，AB、BC、CD和DA分别需要8，6，12，9小时，D→P需要（12－9＋6）÷2＝4.5小时，P→D→A需要13.5小时，这时相距8＋6－13.5＝0.5小时的路程，A→N就需要0.5÷2＝1/4小时，所以AN：AB＝1/4÷8＝1/32【题目3】甲乙二人在400米的跑道上进行两次竞赛,第一次乙先跑到25米后,甲开始追乙,到终点比乙提前7.5秒,第二次乙先跑18秒后,甲追乙,当乙到终点时,甲距终点40米,求在400米内,甲乙速度各多少?【解答】第一次甲行全程的时间乙行了全程的1－25÷400＝15/16少7.5秒。

第二次甲行全程的1－40÷400＝9/10的时间乙就行了全程的15/16×9/10＝27/32少7.5×9/10＝27/4秒。

乙行完全程需要（18－27/4）÷（1－27/32）＝72秒。

乙每秒行400÷72＝50/9米。

甲每秒行（400－40）÷（72－18）＝20/3米【题目4】甲乙两人分别从AB两地同时出发，在AB之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。

行程问题练习知识点梳理一、基础公式①路程＝速度×时间②时间＝路程÷速度③速度＝路程÷时间二、常见题型①一般相遇：路程和＝时间×速度和②中点相遇：四步曲（1）找出快走者多走的路程：中点路程×2 （2）算出速度差：快者速度－慢者速度 （3）时间：（1）的路程÷（2）的速度＝时间（4）套用公式：路程和＝时间×速度和③往返相遇：两者相对行驶，第三人在中间往返。

同时出发、同时停止就是相遇时间。

④环形相遇：背向行驶，相遇几次就共走了几个全长。

三、解题思路①画行程图理解题意。

②分析题型。

③套用公式。

例题1红红和聪聪分别从相距 1026 米的两地同时出发，相向而行。

红红家的小狗也跟来了，而且跑在了红红的前面。

当小狗和聪聪相遇后，立即返回跑向红红，遇到红红后，又立即返回跑向聪聪，这样跑来跑去，一直到两人相遇。

这只小狗一共跑了__________米。

(已知红红每分钟走54 米，聪聪每分钟走60 米，小狗每分钟跑70米）例题2一辆客车从 A 地出发开往 B 地，同时一辆货车从 B 地出发开往 A 地。

3 小时后两车在离 A 地 180 千米的 C 地相遇。

相遇后两车继续向前行驶，2 小时后，客车到达 B 地。

此刻，货车还要行驶多少小时才能到达A地？例题3星期天，小英从家里出发去少年宫学画画。

她刚走不久，妈妈发现小英忘了带画笔，于是就去追小英。

如图象表示两人行走的时间和路程。

①妈妈每分钟走__________米；②照这样的速度，妈妈出发后__________分钟可以追上小英。

例题4某日上午，甲、乙两车先后从 A 地出发沿一条公路匀速前往 B 地。

甲车 7 点出发，如图是甲行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图像。

乙车 8 点出发，若要在 9 点至 10 点之间（含 9 点和 10 点）追上甲车，则乙车的速度 v （单位：千米/时）的范围是__________。

行程问题（一）1、如图，客车和货车同时从A点出发向两个不同的方向行驶，4小时后在C点相遇，已知BC相距18千米，货车与客车的速度比为6：7，相遇时货车行了多少千米？2、一个人从县城骑车去乡办厂。

他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比本来多行50米，又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才干赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。

3、甲乙两人往返于AB，第一次距离A90米处相遇，第二次距离A 65%处相遇求AB的距离？4、从甲地到乙地有上坡和下坡，上坡和下坡时速分别为20千米和35千米。

甲到乙要9小时，乙到甲7.5小时，求甲乙路程？5、一客车和货车从AB中点反向而行，4小时后客车到了A，货车离B尚有60千米。

客车速度比货车快40%,求AB的路程？6、一辆客车和一辆货车同时从AB 出发相向而行，11小时后客车行了全程的89，货车只行了一半的路程多176千米，客车时速比货车快12千米，求AB 的路程？7、有甲乙丙三辆车，各以一定速度从A 到B ，乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙，甲比乙晚出发20分钟，1小时40分钟追上丙，甲出发多久后追上乙？8、甲乙两船静水速度相同。

甲船和一木筏从A 顺流而下。

乙同时从B 逆流而上。

4小时后甲和木筏相距100千米。

甲乙相遇6小时后，乙与木筏相遇。

求AB 的距离？9、小时乘车从A 到B ，计划5.5小时到。

有段36千米路由于堵车，速度只有计划的34，于是晚到了12分钟，求AB 距离？10、一辆车从甲地开往乙地，假如把车速提高14，可比原定期间早1小时到达，假如以本来速度行驶120千米后，再将速度提高百分之二十，可以提前20分钟到达乙地，求甲乙两地相距多少千米？11、小明和小李上山和下山的速度分别为20，30米每分。

小明从山脚出发，小李从山顶同时出发上下山往返。

小明到山顶后休息30分钟后返回，两人距离山顶480米处第二次相遇，求山的高度？12、甲乙两车同时从AB的中点C出发反向而行。

小升初奥数行程问题【典型例题】1.行程问题基本公式1.1 根据基本公式，路程（和、差）等于速度（和、差）乘以时间。

对于火车过桥（隧道），长度也算在路程中。

1.2 时间等于路程（和、差）除以速度（和、差），速度（和、差）等于路程（和、差）除以时间。

1.3 速度差等于快速速度减去慢速速度，速度和等于慢速速度加上快速速度。

快速速度等于（速度和加上速度差）除以21.4，慢速速度等于（速度和减去速度差）除以2.2.三类基本行程问题：相遇、追及、环形跑道。

2.1 相遇的含义是如果出发时间相同，则所走的时间相同；相遇时，两方都处于同一个位置。

在超过2人的行程问题中，相遇就是时间和距离的等量代换点；如果一方先出发或者有一方中间停止，则这一方还要算上先出发的时间或去掉停止的时间。

2.2 相遇时，速度和等于对应的路程和，有公式：路程和等于速度和乘以时间，时间等于路程和除以速度和，速度和等于路程和除以时间。

2.3 追及时，速度差等于对应的路程差，有公式：路程差等于速度差乘以时间，时间等于路程差除以速度差，速度差等于路程差除以时间。

2.4 在环形跑道的同向追及问题中，速度差等于每相遇一次的路程差为1圈。

距离差等于圈数乘以跑道长，时间等于距离差除以速度差，速度差等于距离差除以时间。

2.5 在环形跑道反向碰头问题中，速度和等于每相遇一次的路程和等于1圈。

距离和等于圈数乘以跑道长，时间等于距离和除以速度和，速度和等于距离和除以时间。

2.6 再次相遇问题相当于环形跑道，跑道距离相当于2倍总路程。

如果到对方出发点都又返回，再次相遇，与第一次相遇相比，二次相遇所走的总路程相当于环形跑道的总路程，即2倍总路程和2倍时间。

再次相遇与第一次相遇相比，共走3倍的总路程，花费3倍的总时间。

以后每次相遇，总路程等于环形跑道的距离，即2倍总路程。

规律就是1、3、5、7倍的总路程（时间）时相遇。

2.7 在顺水（风）或逆水（风）行程问题中，顺水速度加上逆水速度除以2等于船速，顺水速度减去逆水速度除以2等于水速，即速度和加上速度差除以2等于船速，速度和减去速度差除以2等于水速。