河北省高三数学第一学期9月份测试试题

2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−5x +6≤0}，B ={x ∈Z |1<x <5}，则A ∩B =( )A.[2,3]B.(1,5)C.{2,3}D.{2,3,4}2. 命题“对于任意x ∈R ，都有e x >0”的否定是( )A.对于任意x ∈R ，都有e x ≤0B.不存在x ∈R ，使得e x ≤0C.存在x 0∈R ，使得e x 0>0D.存在x 0∈R ，都有e x 0≤03. 函数f (x )=ln x +e x （e 为自然对数的底数）的零点所在的区间是( )A.(e,+∞)B.(0,1e )C.(1e ,1)D.(1,e )4. 已知cos α=14，则sin (π2−2α)=( )A.18B.−18C.78D.−785. 已知函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1, +∞)C.[2,+∞)D.[1, +∞)6. 俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60∘，在塔底C 处测得A 处的俯角为45∘．已知山岭高CD 为36米，则塔高BC 为( )A.(36√2−36)米B.(36√3−36)米C.(36√6−36)米D.(72√3−36)米7. 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A.3π4B.π4C.0D.−π48. 已知函数f(x)=e x−2x−1（其中e为自然对数的底数），则y=f(x)的图象大致为( )A. B.C. D.9. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为(12,√32)，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是( )A.(−√32,12) B.(−12,√32) C.(√32,12) D.(−√32,−12)10.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)<f′(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)>2e x的解集为()A.(−∞, 0)B.(−∞, 2)C.(0, +∞)D.(2, +∞)11. 已知△ABC是斜三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2√21，c sin(B+C)+√3a cos(A+B)=0，且sin C+sin(B−A)=5sin2A，则△ABC的面积为( )A.5√34B.54C.5D.5√312. 已知函数f(x)=x22+(m+1)e x+2(m∈R)有两个极值点，则实数m的取值范围为( )A.[−1e , 0] B.(−1−1e, −1) C.(−∞, −1e) D.(0, +∞)二、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=π3，b=√2，c=√3，则A=________．已知函数f(x)=x3−2kx2+x−3在R上不单调，则k的取值范围是________.已知α为锐角，且sin(α+5π6)=−35，则cosα=________.已知函数f(x)=2x+1x2+1，函数g(x)=(12)x−m，若对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为________．三、解答题已知0<β<α<π2，sinα=45，sin(α−β)=√55.(1)求sin2α；(2)求cos(α+β).已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)，设ℎ(x)=g(x)+f (x )，求函数ℎ(x )在[0,π2]上的最大值．设f(x)=a ln x −x +4(a ∈R )，曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴．(1) 求a 的值；(2) 求函数f(x)的极值．如图，在△ABC 中，已知B =π3，AC =4√3，D 为BC 边上一点．(1)若AD =2，S △DAC =2√3，求DC 的长；(2)若AB =AD ，试求△ADC 的周长的最大值．已知函数f (x )=ax 2+b ln x 在x =12处取得极小值12+ln 2. (1)求f (x );(2)令函数g (x )=mx 3−ln x +2，若f (x )≤g (x )对x ∈[1,4]恒成立，求m 的取值范围．已知函数f (x )=ln x −x−1a .(1)当a =1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x ) 在区间(2,e )上存在零点，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021年河北省某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】(1)根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知集合A={x|x2−5x+6≤0}={x|2≤x≤3}，集合B={x∈Z|1<x<5}={2,3,4}，则A∩B={2,3} .故选C.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对于任意x∈R，都有e x>0”的否定是：存在x0∈R，都有e x0≤0．故选D.3.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】无【解答】解：因为函数f(x)=ln x+e x在(0,+∞)上为增函数，所以若函数f(x)存在零点，零点个数有且只有一个，)=−1+e1e>0，又f(e)=1+e e>0，f(1)=e>0，f(1e且x→0，f(x)→−∞，)，使f(x0)=0，所以∃x0∈(0,1e).即f(x)的零点所在的区间是(0，1e故选B ．4.【答案】D【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ cosα=14，∴ sin(π2−2α)=cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78.故选D .5.【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：∵ 函数f(x)=kx −2ln x 在区间(1, +∞)上单调递增，∴ 当x >1时，f ′(x)=k −2x ≥0恒成立， 即k ≥2x 在区间(1,+∞)上恒成立.∵ y =2x 在区间(1, +∞)上单调递减， ∴ k ≥2.故选C .6.【答案】B【考点】解三角形【解析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高BC 的值．【解答】解：如图所示，在Rt△ACD中，∠CAD=45∘，CD=36米，所以AD=36米；在Rt△ABD中，∠BAD=60∘，所以BD=AD tan∠BAD=36√3米，所以BC=BD−CD=(36√3−36)米.故选B.7.【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的奇偶性【解析】利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【解答】解：令y=f(x)=sin(2x+φ)，则f(x+π8)=sin[2(x+π8)+φ]=sin(2x+π4+φ)，∵f(x+π8)为偶函数，∴π4+φ=kπ+π2，∴φ=kπ+π4，k∈Z，∴当k=0时，φ=π4．故φ的一个可能的值为π4．故选B.8.【答案】C【考点】函数图象的作法【解析】找出四个选项的区别，用特值法验证．【解答】解：∵f(0)=e0−2×0−1=0，f(1)=e−2−1=e−3<0，∴ 函数图象过(0, 0)点，且在y轴右侧，x轴下方有图象.故选C.9.【答案】A【考点】诱导公式在实际问题中建立三角函数模型【解析】计算出运动3分钟时动点M转动的角，再利用诱导公式可求得结果．【解答】解：如图，动点每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312×2π=π2.设点M的初始位置的坐标为(cosα,sinα)，则cosα=12,sinα=√32，运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M′(cos(α+π2),sin(α+π2))，由诱导公式可得cos(α+π2)=−sinα=−√32，sin(α+π2)=cosα=12，所以点M′的坐标为(−√32,1 2 ).故选A．10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据条件构造函数g(x)=f(x)e x，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵ f(x)<f′(x)，∴ g ′(x)>0，即函数g(x)在定义域内单调递增．∵ f(0)=2，∴ g(0)=f(0)=2.则不等式f(x)>2e x 等价于g(x)>g(0)，∵ 函数g(x)在定义域内单调递增．∴ x >0.∴ 不等式的解集为(0, +∞).故选C ．11.【答案】D【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由 c sin (B +C )+√3a cos (A +B )=0得：c sin A −√3a cos C =0，由正弦定理，得 sin C sin A =√3sin A cos C ，显然 sin A ≠0 ，所以 tan C =√3，又C ∈(0，π)，所以 C =π3. 又sin C +sin (B −A )=5sin 2A ，所以 sin (B +A )+sin (B −A )=5sin 2A ，变形得 2sin B cos A =10sin A cos A .又A ≠π2 ，所以 sin B =5sin A ，所以 b =5a ，由余弦定理得 (2√21)2=b 2+a 2−2ab cos π3=21a 2，解得 a =2，b =10，所以 S △ABC =12ab sin C =12×2×10×√32=5√3.故选D.12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为R ，f ′(x)=x +(m +1)e x ，∵ 函数f(x)有两个极值点，∴ f ′(x)=x +(m +1)e x 有两个不同的零点，故关于x 的方程−m −1=x e x 有两个不同的解.令g(x)=xe x ，则g ′(x)=1−xe x ，当x ∈(−∞, 1)时，g ′(x)>0，当x ∈(1, +∞)时，g ′(x)<0，∴ 函数g(x)=xe x 在区间(−∞, 1)上单调递增，在区间(1, +∞)上单调递减， 又当x →−∞时，g(x)→−∞，当x →+∞时，g(x)→0，g(1)=1e ，故0<−m −1<1e ，∴ −1−1e <m <−1. 故选B .二、填空题【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可得sin B =√22，利用大边对大角可得B 为锐角，可得B =π4，根据三角形内角和定理即可解得A 的值．【解答】解：∵ C =π3，b =√2，c =√3， ∴ 由正弦定理b sin B =c sin C ，可得：√2sin B =√3√32， 即sin B =√22. ∵ b <c ，∴ B =π4，∴ A =π−B −C =5π12．故答案为：5π12.【答案】(−∞，−√32)∪(√32，+∞) 【考点】已知函数的单调性求参数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知得：f ′(x)=3x 2−4kx +1，因为函数 f(x)=x 3−2kx 2+x −3 在R 上不单调， 所以f ′(x)与x 轴有交点，即Δ=(−4k)2−4×3>0， 解得：k <−√32或k >√32， 故答案为：(−∞，−√32)∪(√32，+∞).【答案】4√3−310 【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系 三角函数值的符号 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为sin (α+5π6)=−35，α为锐角，则α+5π6∈(π,4π3)，则cos (α+5π6)=−45， 故cos α=cos (α+5π6−5π6)=cos (α+5π6)cos 5π6+sin (α+5π6)sin 5π6=(−45)×(−√32)+(−35)×12=4√3−310. 故答案为：4√3−310. 【答案】[−72, +∞) 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】条件等价于f(x)min≥g(x)min，利用导数可求得f(x)在[1, 2]上单调递增，根据指数函数性质可得g(x)在[−1, 1]上单调递减，进而得到f(1)≥g(1)，解得即可【解答】解：对任意的x1∈[1, 2]，存在x2∈[−1, 1]，使得f(x1)≥g(x2)，等价于f(x)min≥g(x)min，令f′(x)=2−2x3=0，解得x=1，且当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在[1, 2]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=2+1+1=4，又g(x)在[−1, 1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=12−m，则4≥12−m，解得m≥−72.故答案为：[−72, +∞)．三、解答题【答案】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：(1)因为0<α<π2，sinα=45，所以cosα=35，从而sin2α=2sinαcosα=2425．(2)由题知，cos2α=1−2sin2α=−725．因为0<β<α<π2，所以0<α−β<π2，所以cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=2√55，所以cos(α+β)=cos[2α−(α−β)]=cos2αcos(α−β)+sin2αsin(α−β)=−725×2√55+2425×√55=2√525．【答案】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【考点】两角和与差的正弦公式三角函数的最值由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由图象可得A=2，最小正周期T=4×(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，由f(712π)=2sin(7π6+φ)=−2，又|φ|<π2，则易求得φ=π3，所以f(x)=2sin(2x+π3)；(2)由题意知g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]=2sin2x，所以ℎ(x)=g(x)+f(x)=2sin(2x+π3)+2sin2x=2sin2x cos π3+2cos2x sinπ3+2sin2x=3sin2x+√3cos2x =2√3sin(2x+π6).因为0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，所以ℎ(x)max=2√3.【答案】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴f′(x)=ax−1.由于曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)=a−1=0，∴a=1.(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx.令f′(x)>0，解得0<x<1，故f(x)在(0, 1)上为增函数；令f′(x)<0，解得x>1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数；故f(x)在x=1处取得极大值f(1)=3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】(1)求导函数，利用曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y轴，可得f′(1)=0，从而可求a的值；(2)由(1)知，f(x)=ln x−x+4(x>0)，f′(x)=1x −1=1−xx，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极值．【解答】解：(1)∵f(x)=a ln x−x+4，∴ f′(x)=ax −1.由于曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于y 轴， 故该切线斜率为0，即f′(1)=a −1=0， ∴ a =1.(2)由(1)知，f(x)=ln x −x +4(x >0)， f′(x)=1x −1=1−x x.令f′(x)>0，解得0<x <1，故f(x)在(0, 1)上为增函数； 令f′(x)<0，解得x >1，故f(x)在(1, +∞)上为减函数； 故f(x)在x =1处取得极大值f(1)=3． 【答案】解：(1)∵ S △DAC =2√3，AC =4√3，AD =2， ∴ 12⋅AD ⋅AC ⋅sin ∠DAC =2√3，∴ sin ∠DAC =12，∵ B =π3，∴ ∠DAC <∠BAC <π−π3=2π3，∴ ∠DAC =π6，在△ADC 中，由余弦定理得：DC 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅AC cos π6， ∴ DC 2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴ DC =2√7；(2)∵ AB =AD ，B =π3，∴ △ABD 为正三角形，∵ ∠DAC =π3−C ，∠ADC =2π3，在△ADC 中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin 2π3=DCsin (π3−C)，∴ AD =8sin C ，DC =8sin (π3−C)，∴ △ADC 的周长为AD +DC +AC =8sin C +8sin (π3−C)+4√3 =8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3，∴ π3<C +π3<2π3，∴当C+π3=π2，即C=π6时，sin(C+π3)的最大值为1，则△ADC的周长最大值为8+4√3．【考点】三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理【解析】（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD 的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；（2）由B=π3，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为2π3，进而得到∠DAC+∠C=π3，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sin C，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．【解答】解：(1)∵S△DAC=2√3，AC=4√3，AD=2，∴12⋅AD⋅AC⋅sin∠DAC=2√3，∴sin∠DAC=12，∵B=π3，∴∠DAC<∠BAC<π−π3=2π3，∴∠DAC=π6，在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC cosπ6，∴DC2=4+48−2×2×4√3×√32=28，∴DC=2√7；(2)∵AB=AD，B=π3，∴△ABD为正三角形，∵∠DAC=π3−C，∠ADC=2π3，在△ADC中，根据正弦定理，可得：ADsin C =4√3sin2π3=DCsin(π3−C)，∴AD=8sin C，DC=8sin(π3−C)，∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin(π3−C)+4√3=8(sin C +√32cos C −12sin C)+4√3 =8(12sin C +√32cos C)+4√3=8sin (C +π3)+4√3， ∵ ∠ADC =2π3，∴ 0<C <π3， ∴ π3<C +π3<2π3，∴ 当C +π3=π2，即C =π6时，sin (C +π3)的最大值为1， 则△ADC 的周长最大值为8+4√3． 【答案】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ， 所以f ′(12)=a +2b =0，因为f (12)=14a −bln2=12+ln2， 所以a =2，b =−1， 所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4， 令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3；令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)因为f ′(x)=2ax +bx ，所以f ′(12)=a +2b =0， 因为f (12)=14a −bln2=12+ln2，所以a =2，b =−1，所以f(x)=2x 2−lnx ． (2)若f(x)≤g(x)，则2x 2−lnx ≤mx 3−lnx +2，即2x 2−mx 3−2≤0对x ∈[1,4]恒成立， 等价于m ≥2x 2−2x 3对x ∈[1,4]恒成立，令ℎ(x)=2x 2−2x 3， 则ℎ′(x)=6−2x 2x 4=2(√3−x)(√3+x)x 4，令ℎ′(x)>0，得1≤x <√3； 令ℎ′(x)<0，得√3<x ≤4，所以ℎ(x) 在[1,√3) 上单调递增，在(√3,4]上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(√3)=4√39， 即m ∈[4√39,+∞)．【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=ln x −x +1，定义域为(0,+∞) ， 则f ′(x )=1x −1，令f ′(x )=0， 解得x =1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max =f (1)=0. (2)由题意知，方程f (x )=ln x −x−1a=0在(2,e )上有实根．因为ln x ≠0 ， 所以方程可转化为a =x−1ln x.设g (x )=x−1ln x，则g ′(x )=ln x−1x(x−1)(ln x )2=ln x+1x−1(ln x )2.设ℎ(x )=ln x +1x −1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，即1ln2<g(x)<e−1.综上所述，实数a的取值范围是(1ln2,e−1).【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=ln x−x+1，定义域为(0,+∞)，则f′(x)=1x−1，令f′(x)=0，解得x=1.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(1)=0.(2)由题意知，方程f(x)=ln x−x−1a=0在(2,e)上有实根．因为ln x≠0，所以方程可转化为a=x−1ln x.设g(x)=x−1ln x，则g′(x)=ln x−1x(x−1)(ln x)2=ln x+1x−1(ln x)2.设ℎ(x)=ln x+1x−1，则ℎ′(x)=1x −1x2.当2<x<e时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(2,e)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(2)=ln2−12>0，于是g′(x)>0，所以g(x)在(2,e)上单调递增，所以g(2)<g(x)<g(e)，<g(x)<e−1.即1ln2,e−1). 综上所述，实数a的取值范围是(1ln2。

河北省数学高三上学期理数9月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·乐清月考) 已知集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·吉安期末) 下列四个命题一定正确的是（）A . 算法的三种基本结构是顺序结构、条件结构，循环结构B . 用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，总体容量越大，估计越精确C . 一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得的新数据组的方差还是3D . 有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为5，15，20，35，404. （2分）(2017·揭阳模拟) 设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A . {﹣1，0，1}B . {0}C . （﹣1，1）D . （﹣1，3）5. （2分） (2016高二上·清城期中) 下列说法中正确的是（）A . 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B . “a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C . “a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D . 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真6. （2分）若为奇函数且在上递增，又，则的解集是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A .B .C . 或D .8. （2分）设集合（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·浙江月考) 如图，对应此函数图象的函数可能是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·山东模拟) 已知（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）(2020·上海模拟) 已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数对任意都存在使得则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一下·南通开学考) 函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2 ，若f（﹣2）=3，则f （2）=________．14. （1分） (2018高一上·海安期中) 已知函数f（x）=x3 ，若f（x2-4）＜f（2x-1），则实数x的取值范围是________．15. （1分）已知A={﹣1，3，m}，集合B={3，4}，若B⊆A，则实数m=________．16. （1分）已知一个球的半径为R，一个平面截该球所得小圆的半径为r，该小圆圆心到球心的距离为d，则d关于r的函数解析式为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）(2018·内江模拟) 设是数列的前项和.已知， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.18. （5分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3．（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）求函数f（x）在闭区间[ ]上的最小值并求当f（x）取最小值时，x的取值集合．19. （5分） (2018高二上·黑龙江月考) 在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，，且．（1）求角B的大小；（2）若的面积是，且，求b．20. （15分） (2016高二下·普宁期中) 已知：函数f（x）= x2+ax﹣2a2lnx，（a≠0）．（I）求f（x）的单调区间；（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．21. （15分） (2019高三上·湖南月考) 已知函数有两个零点，，且 .（1）求的取值范围；（2）证明： .22. （10分）(2017·河北模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若不等式≤f（x）有解，求实数a的取值范围．23. （10分）(2017·南昌模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|= ，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+2y的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

河北省2022-2023学年高三上学期9月省级联测考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名,班级和考号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后.用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230,{3,}A x x x B x x x =--=∈N ∣∣, 则A B =A. [1,3)-B. {1,0,1,2,3}-C. {0,1,2,3}D. {1,2,3}2. 已知函数1,2,()ln(1)1,2,ax x f x x x +<⎧=⎨--+⎩若[(2)]2f f =, 则a = A. 0B. 12C. 14D. 1 3. 若2i (i 1)1iz z ⋅=-+,则复数z 可能为 A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 12i +4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 若255,2S S ==, 则7S =A. 7B. -7C. -10D. 105. 若2cos 230,,21tan 8πααα⎛⎫∈= ⎪+⎝⎭, 则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B. 2C. 12D. 16. 已知13m <, 则23244m m m m m ++++的取值范围为 A. 31,134⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 31,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 11,54⎛⎤ ⎥⎝⎦7. 已知 431e 1e ,22a b c +===, 则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c b a <<8. 若双曲线2222:1x y C a b--上存在E F M N 、、、四点, 使得四边形EFMN 为正方形, 且原点O 为正方形中心,A 为双曲线右顶点,M 在第一象限, 2MA =, 设双曲线的离心率为e , 则2e =A. 9227+B. 9327+C. 9427+D. 9527+ 二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 下列命题不正确的是A. 若a b >, 则22ac bc >B. 三个数,,a b c 成等比数列的充要条件是2b ac =C. 向量,a b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ, 使λ=b aD. 已知命题:0p x ∀>时,0e x x >, 则命题p 的否定为:0x ∃>时, 0e t x10. 已知当(0,)x π∈时,()cos f x x =,并且满足(2)(2),()()0f x f x f x f x ππππ+=-++-=, 则下列关于函数()f x 说法正确的是A. 302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 周期2T π=C. ()f x 关于x π=对称D. ()f x 关于(,0)π-对称11. 如图几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成,G 为22A D 的中点,下列说法正确的是A. 平面11B GD ⊥平面21AA CB. 三棱锥211A B GD -的体积为 124C. 该几何体外接球的体积为66πD. 若P 为动点, 且12B P =, 则P 点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π12. 星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，22331x y +=便是它的一种表达式,下列有关说法正确的是A. 星形线关于y x =对称B. 星形线图象围成的面积小于 2C. 星形线上的点到x 轴,y 轴距离乘积的最大值为14 D. 星形线上的点到原点距离的最小值为12三、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 毛泽东思想是党的重要思想, 某学校在团员活动中将四卷不同的《毛泽东选集》分发给三名同 学, 每个人至少分发一本, 一共有_____种分发方法.14. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ,且()24300.6827P X X -+=, 则(1)P X <-=_____. (附: 若()2~,X N μσ, 则()0.6827P X μσμσ-+=,(22)0.9545,(33)0.9973)P X P X μσμσμσμσ-+=-+=5. 已知01e ln (),2x x x x f x x +-=是该函数的极值点, 定义x 〈〉表示超过实数x 的最小整数, 则 ()0f x 的值为_____.16. 单位圆中,AB 为一条直径,,C D 为圆上两点且弦CD 长为3, 则AC BD ⋅的取值范围是_____.四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 10 分)已知在ABC 中,D 在BC 边上, AD 平分,3,5,7BAC AD AB AC ∠===.(1)求cos BAD ∠;(2) 求ABC 的面积.18. (本小题满分 12 分)已知{}n a 为等差数列,1154,115n n a n a a n+-==+. (1)求{}n a 的通项公式;(2) 若()()1,414n n n n b T a a =++为n b 的前n 项和, 求n T .19. (本小题满分 12 分)在斜三棱柱111ABC A B C -中,ABC 是等腰直角三角形,,23AB BC AC ==, 平面11ACC A ⊥底面 11,2ABC A B AA ==.(1) 证明: 1A B AC ⊥;(2) 求二面角11A BC C --的正弦值.20. (本小题满分 12 分)已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b +=>>,椭圆上的点到两焦点的距离和为25,点151,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆L 上.(1) 求椭圆L的标准方程;(2) 过点(0.2)P作直线l交椭圆于,A B两点,点E为点P关于x轴的对称点,求ABE面积的最大值.21. (本小题满分 12 分)小明和小红进行比赛抛掷硬币, 规定小明和小红每人抛6 次.小明得分规则为每连续抛掷(26)n n次结果相同则得12n-分(规定连续抛掷结果不同不得分,如正反正反正反不得分, 正正反正反反得 4 分), 小红每抛掷一次正面结果则得 2 分, 得分高者获胜.(1)求小红得 8 分的概率;(2)求小明得分的分布列和期望,并比较两人谁获胜的概率大?22. (本小题满分 12 分)已知3()e ln3,()()ln2(0)3exxa xf x ag x f x ax+=+-=++≠+.(1) 当1a=时,求()g x的单调性;(2) 若()f x怛大于0 , 求a的取值范围.。

2021-2022学年河北省沧州市普通高中高三（上）质检数学试卷（9月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={−5,−2,0，3}，N ={x|x 2+2x −8<0}，则M ∩N =( )A. {−5,−2}B. {−2,0}C. {0,3}D. {−2,3}2. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(2,−1)，则|z −i|=( )A. √2B. 2C. 2√2D. 83. 某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X(单位：cm)的情况，得出X ～N(100,102)，随机测量一株水稻，其株高在(110,120)(单位：cm)范围内的概率为( )(附：若随机变量X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544)A. 0.0456B. 0.1359C. 0.2718D. 0.31744. 若实数a ，b 满足a 2<ab <a ，则( )A. 1a <1b B. √b +1<√a +1 C. (12)a <(12)bD. 0<b −a <15. 如图，已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的2√3倍，则AB 与平面BCD 所成的角为( )A. π6 B. π4 C. π3 D. 5π126. 已知直线l 1：x −y +2=0，l 2：x −y −2=0与圆E ：x 2−ax +y 2−2y +b =0分别交于点A ，B 与C ，D.若四边形ABCD 是正方形，则a +b =( )A. 0B. 1C. 2D. 47. 如图，△ABC 中，AB =2AC =6，P ，Q 分别是BC的三等分点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −1B. 2C. 3D. 68.已知定义在R上的函数y=f(x+1)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则满足f(2x)>f(x+2)的x的取值范围为()A. (2,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)C. (−∞,−23) D. (−∞,−23)∪(2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知一组数据为−1，1，4，4，2，8，则该组数据的()A. 众数是4B. 平均数是3C. 第50百分位数是2D. 方差是810.已知(x−2x3)n的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中()A. 各项的系数之和为−1B. 存在常数项−32C. 各项的系数中最大的是24D. 含x的无理项有三项11.已知直线l：x=ty+2与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，若线段AB的中点是M(m,2)，则()A. t=12B. m=3C. |AB|=8D. 点(−2,2)在以AB为直径的圆内12.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2，将f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若∀x1∈[0,7π12]，总∃x2∈[0,π2]，使f(x1)+g(x2)=2.则φ可以为()A. π6B. π4C. π3D. 5π12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知正项等差数列{a n}满足a1a2=3，a2a3=15，则a5=______．14.已知直线y=ax+b与曲线y=alnx+2相切，则ab的最大值为______．15.如图，已知平面四边形ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，BC⊥CD，以BD为棱折成直二面角A−BD−C，若折叠后A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的体积为______．16.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点．若点F关于点A的对称点也在双曲线C 上，则双曲线C的渐近线的斜率为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设S n为数列{a n}的前n项和，已知S n=−n2+3n2．(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n=2a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=3，且sin∠ADB=√3sinB．(1)求AB的长；(2)若AD⊥AC，BC=3BD，求△ABC的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB⊥AP，PD⊥平面ABCD，AP=BC=√2AB=2AD．(1)证明：PB⊥AC；(2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．20.某校组织一次篮球定点投篮比赛，有A，B两处场地，每人每处最多投2次．在A处每投进一球得2分，投不进得0分；在B处每投进一球得3分，投不进得0分．若先在A处投，在A处只要有一次投不进就停止投篮，两次都投进才能在B处投，在B处两次都可投；若先在B处投，连续两次都未投进，则停止投篮，否则继续在A处投完两次．已知同学甲在A处的命中率为0.8，在B处的命中率为0.5，每次投篮的结果相互独立．(1)若同学甲先在A处投，记X为同学甲的投篮总得分，求X的分布列与数学期望；(2)试判断同学甲先在A处投还是先在B处投能使投篮总得分超过6分的概率更大一些．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且过点A(√22a,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：y=kx+m与椭圆C交于P，Q两点(不同于点A)，记直线PA，QA的斜率分别为k1，k2，试判断是否存在定值k，使当m变化时k1k2=14总成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=ae x−x，a>0．(1)若a=1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：√x1x2>ae．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合M={−5,−2,0，3}，N={x|x2+2x−8<0}={x|−4<x<2}，则M∩N={−2,0}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合N，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，z=2−i，∴|z−i|=|2−2i|=√22+(−2)2=2√2．故选：C．由已知直接利用复数模的计算公式求解．本题考查复数的代数表示法，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵X～N(100,102)，∴P(110<X<120)=12[P(80<X<120)−P(90<X<110)]=12×(0.9544−0.6826)=0.1359．故选：B．根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵实数a ，b 满足a 2<ab <a ，∴{a 2<a ab <a，∴0<a <b <1， A ：∵0<a <b ，∴1a >1b，∴A 错误， B ：∵0<a <b ，∴1<a +1<b +1，∴√a +1<√b +1，∴B 错误， C ：∵y =(12)x 为减函数，a <b ，∴(12)a >(12)b ，∴C 错误， D ：∵0<a <b <1，∴0<b −a <1，∴D 正确， 故选：D ．由实数a ，b 满足a 2<ab <a ，得到0<a <b <1，利用不等式的性质判断ABD ，利用指数函数的单调性判断C ．本题考查了不等式的性质，指数函数的单调性，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：设上底面圆心为E ，下底面圆心为F ，连接EF 、ED 、BF 、EC ，因为AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ， 所以FB 在时底面上的射影为EB ，同时AB 在平面CDB 上的射影为BF ，所以∠EBF 为AB 与平面BCD 所成的角， 设底面半径为R ，高为h ，该圆柱的侧面积是其上底面面积的2√3倍， 可得2πRℎπR 2=2√3，ℎ=√3R ， tan∠EBF =√3，所以∠EBF =π3． 故选：C ．设出圆柱的底面半径，利用侧面积与底面积关系，求解圆柱的高，然后转化求解AB 与平面BCD 所成的角．本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：由圆E ：x 2−ax +y 2−2y +b =0，得(x −12a)2+(y −1)2=14a 2−b +1，则圆心坐标为E(a2,1)，半径R =√14a 2−b +1．点E 到直线l 1：x −y +2=0的距离d 1=|12a−1+2|√2=√22⋅√14a 2−b +1， 点E 到直线l 2：x −y −2=0，d 2=d 1=|12a−1+2|√2=√22⋅√14a 2−b +1=|12a−1−2|√2．解得a =2，b =−2， a +b =0． 故选：A ．由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式，结合四边形是正方形，列出关系式，求解a ，b ，即可得到结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式及两平行线间的距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵△ABC 中，AB =2AC =6，P ，Q 分别是BC 的三等分点， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−3， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×32+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−9， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−9+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−9+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−9+13×62−13×(−9)=6， 故选：D ．根据条件转化求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−9，进而求得结论． 本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：定义在R 上的函数y =f(x +1)是偶函数， 可得f(−x +1)=f(x +1)，即f(x)的图象关于直线x =1对称，且在(1,+∞)上单调递增，则f(2x)>f(x+2)，即为f(|2x−1|)>f(|x+2−1|)，可得f(|2x−1|)>f(|x+1|)，即有|2x−1|>|x+1|，可得3x(x−2)>0，解得x>2或x<0．故选：B．由偶函数的定义可得f(x)的图象关于直线x=1对称，结合单调性可得|2x−1|>|x+1|，解不等式可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的综合，以及对称性的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：把该组数据从小到大排列：−1，1，2，4，4，8，所以这组数据的众数为4，平均数为−1+1+2+4+4+86=3，第50百分位数是2+43=3，方差为16×[(−1−3)2+(1−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(4−3)2+(8−3)2]=8，故选：ABD．根据众数，平均数，第50百分位数，方差的定义求解．本题主要考查了数据的数字特征，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：∵(x−2x3)n的展开式中各项的二项式系数之和为2n=16，∴n=4，令x=1，可得(x−2x3)n的展开式中各项系数之和为1，故A错误；由于它的通项公式为Tr+1=C4r⋅(−2)r⋅x4−4r3，令4−4r3=0，求得r=3，可得它的常数项为T4=C43⋅(−2)3=−32，故B正确；由于第r+1项的系数为C4r⋅(−2)r，故当r=2时，该项的系数中最大的是24，故C正确；由于第r+1项的x的幂指数为4−4r3，故当r=1，2，4时，该项为含x的无理项，故D 正确，故选：BCD．由题意利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，得出结论.本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：直线l：x=ty+2与抛物线C：y2=8x，可得y2=8ty+16，y2−8ty−16=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得x1+x22=m，y1+y22=4t=2，可得t=12，m=12×2+2=3，所以A，B正确；即有y1+y2=4，y1y2=−16，|AB|=√1+t2|y1−y2|=√52⋅√42+4×16=10.所以C不正确；点(−2,2)与M的距离为：√52+0=5，点(−2,2)在以AB为直径的圆上，所以D不正确；故选：AB．联立直线与抛物线方程，结合中点坐标，求解t，m，利用弦长公式求解AB判断C；推出点(−2,2)与AB中点的距离与弦长|AB|的关系，判断D即可．本题考查抛物线的弦长的求法，注意运用中点坐标公式和抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)=(sinx+cosx)2=1+sin2x，将f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)=1+sin(2x−2φ)，∀x1∈[0,7π12]，总∃x2∈[0,π2]，使f(x1)+g(x2)=2，即∀x1∈[0,7π12]，总∃x2∈[0,π2]，使−sin2x1=sin(2x2−2φ)，因为x1∈[0,7π12]，则2x1∈[0,7π6]，所以−sin2x1∈[−1,12]，因为x2∈[0,π2]，则2x2−2φ∈[−2φ,π−2φ]，所以[−π2+2kπ,π6+2kπ]⊆[−2φ,π−2φ]或[5π6+2kπ,3π2+2kπ]⊆[−2φ,π−2φ]，k∈Z ，则{−2φ≤−π2+2kππ−2φ≥π6+2kπ,k ∈Z 或{−2φ≤5π6+2kππ−2φ≥3π2+2kπ,k ∈Z ， 解得π4−kπ≤φ≤5π12+kπ,k ∈Z 或无解，结合选项可得，φ可以为π4,π3,5π12． 故选：BCD ．先化简函数f(x)，然后由三角函数的图象变换求出g(x)，将问题转化为∀x 1∈[0,7π12]，总∃x 2∈[0,π2]，使−sin2x 1=sin(2x 2−2φ)，分别求解−sin2x 1的值域，从而得到[−π2+2kπ5,π6+2kπ]⊆[−2φ,π−2φ]或[5π6+2kπ,3π2+2kπ]⊆[−2φ,π−2φ]，k ∈Z ，列式求解即可．本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数性质的应用，三角函数的图象变换，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】9【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，由a 1a 2=3，得(a 2−d)a 2=2，即a 22−a 2d =3①，又a 2a 3=15，得a 2(a 2+d)=15，即a 22+a 2d =15②，联立①②，解得a 2=3，d =2或a 2=−3，d =−2(舍去)， 所以a 5=a 2+3d =3+6=9． 故答案为：9．设等差数列{a n }的公差为d(d >0)，由a 1a 2=3可得a 22−a 2d =3；又a 2a 3=15可得a 22+a 2d =15，从而解出a 2与d 的值即可利用a 5=a 2+3d 求出结果．本题考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．14.【答案】1【解析】解：直线y =ax +b 与曲线y =alnx +2相切，设切点为(x 0,y 0)，则{a x 0=ay 0=ax 0+b y 0=alnx 0+2，可得{x0=1y0=2a+b=2，所以ab≤(a+b)24=1，所以ab的最大值为1，故答案为：1．设曲线的切点，利用切线，列出方程组，求出切点坐标，a+b的值，利用基本不等式求解最值即可．本题考查曲线的切线方程，考查基本不等式的应用，属于中档题．15.【答案】32√3π27【解析】解：平面四边形ABCD中，AB=AD=BD=2，BC⊥CD，以BD为棱折成直二面角A−BD−C，若折叠后A，B，C，D四点在同一球面上，E为BD的中点，底面三角形BCD的外心，直二面角A−BD−C，所以△ABD的外心就是A，B，C，D四点在同一球面上的球的球心，球的半径为：23×√32×2=2√33；所以球的体积为：4π3×(2√33)3=32√3π27．故答案为：32√3π27．由题意可知，A，B，C，D顶点在同一个球面上，△ABD的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．本题是中档题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．16.【答案】±2√3【解析】解：设点F关于点A的对称点为M，左焦点为F1，根据题意可得MF1⊥MF，所以M为以FF1为直径的圆与双曲线的交点位于y轴右边的点，以FF1为直径的圆的方程为x2+y2=c2，联立方程{x2+y2=c2x2a2−y2b2=1，解得点M的坐标为(−a√c2+b2c,±b2c)，MF的中点A的坐标为(c2−a√c2+b22c ,±b22c)，又点A在双曲线线上，代入双曲线方程得(c2−a√c2+b2)24a2c2−b24c2=1，c4−2ac2√c2+b2+a2(c2+b2)−a2b2=4a2c2，∴−2a√c2+b2=3a2−c2，∴4a2c2+4a2b2=9a4−6a2c2+c4，把c2=a2+b2代入化简有12a2=b2，所以ba=2√3，所以渐近线的斜率为±2√3．故答案为：±2√3．设点F关于点A的对称点为M，左焦点为F1，根据题意可得MF1⊥MF，M为以FF1为直径的圆与双曲线的交点位于y轴右边的点，解圆与双曲线的方程组成的方程组得交点M的坐标，表示出点A的坐标为(c2−a√c2+b22c ,±b22c)，代入双曲线方程计算可渐近线的斜率．本题考查了转化的思想和双曲线的性质，以及运算能力，属中档题．17.【答案】解：(1)因为S n=−n2+3n2，所以当n=1时，a1=−2；当n≥2时，S n−1=−(n−1)2+3(n−1)2，故a n=S n−S n−1=−n2+3n2+(n−1)2+3(n−1)2=−n−1．由于首项符合通项，故a n=−n−1．(2)由(1)得b n=2a2n=2−2n−1=(12)2n+1，所以T n=18×[1−(14)n]1−14=13×[1−(14)n]．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式，求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，得到数列{b n}的通项公式，再利用等比数列的前n项和公式，求出数列的前n项和T n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的递推关系式，等比数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，由正弦定理可得AB sin∠ADB =AD sinB ，则AB =ADsin∠ADBsinB，因为sin∠ADB =√3sinB ，AD =3，代入可得AB =3√3； (2)如图，因为AD ⊥AC ，AB =3√3，AD =3，所以BD =√AB 2−AD 2=√(3√3)2−32=3√2， 又因为BC =3BD ，所以BC =9√2，则三角形ABC 的面积为12AD ⋅BC =12×3×9√2=27√22．【解析】(1)由正弦定理可得ABsin∠ADB =ADsinB ，代入条件即可解得AB ； (2)作图，根据勾股定理得到BD ，结合条件求得BC ，进而求得三角形面积． 本题考查解三角形，涉及正弦定理的应用，属于基础题．19.【答案】证明：(1)，设AD =2，则由已知得，AB =2√2，AP =BC =4，∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ，又∵AB ⊥AP ， AP ∩PD =p ，∴AB ⊥平面PAD ，∵AD ⊂面PAD ，∴AB ⊥AD ，， 过点D 作DM//AB 交BC 于点M ，可得PD ⊥DM ，PD ⊥AD ， 在Rt △ADP 中易求得PD =2√3，以点D 为坐标原点，以DA ，DM ，DP 所在直线分别作为坐标轴建立如图所示的坐标系， 则P(0,0，2√3)，B(2,2√2,0)，A(2,0，0)C(−2，2√2，0)， 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,−2√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2√2,0)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(−4)+2√2×2√2+0×2√3=0， ∴PB ⊥AC ；(2)由(1)知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2√3) 设平面ABP 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)，∴{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{2√2y =0−2x +2√3z =0，令z =√3，则x =3，y =0所以平面ABP 的一个法向量n ⃗ =(3,0,√3)， 由(1)知CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2√2,2√3) 设平面PBC 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c) 所以{m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{4a =02a −2√2b +2√3c =0，令b =√3，则c =√2，所以平面PBC 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,√3,√2)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=√3+√2×√32√3×√5=√1010， 所以平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值√1010．故答案为：(1)PB ⊥AC 成立． (2)√1010．【解析】(1)由PD ⊥平面ABCD 得PD ⊥BC ，进而AB ⊥平面PAD ，AB ⊥AD ，作直线DM//AB ，建立空间直角坐标系证明PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而证明结论． (2)由(1)可得两平面的一个法向量，从而用向量法求得平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值．本题考查了线线垂直和线面垂直和性质和判定，用向量法证明线线垂直以及用向量法求平面与平面所成角的余弦值，属中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得，X 的所有可能取值为0，2，4，7，10，则P(X =0)=1−0.8=0.2，P(X =2)=0.8×(1−0.8)=0.16，P(X =4)=0.8×0.8×0.5×0.5=0.16，P(X =7)=2×0.8×0.8×0.5×0.5=0.32， P(X =10)=0.8×0.8×0.5×0.5=0.16， 故X 的分布列为：数学期望E(X)=0×0.2+2×0.16+4×0.16+7×0.32+10×0.16=4.8(分)． (2)由(1)知，同学甲先在A 处投，投篮总得分超过6分的概率P 1=0.32+0.16=0.48， 若同学甲先在B 处投，投篮总得分超过6分包含前两次投中一次，后两次全投中，及前两次全投中，后两次至少投中一次，所以记事件M =“同学甲先在B 处投篮，总得分超过6分”，则P(M)=2×0.5×0.5×0.8×0.8+0.5×0.5×[1−(1−0.8)(1−0.8)]=0.56， ∵P(M)>P 1，∴同学甲先在B 处投能使投篮总得分超过6分的概率更大一些．【解析】(1)由题意可得，X 的所有可能取值为0，2，4，7，10，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解． (2)分别算出A ，B 两地投篮超过6分的概率，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率为√32，则e =c a =√1−b 2a 2=√32①， 又过点A(√22a,1)，所以12a 2a2+1b 2=1，解得b 2=2，由①可得a 2=8， 所以椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(2)由(1)可知，点A(2,1)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程组{x 28+y 22=1y =kx +m ，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−84k 2+1，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m4k 2+1， y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 24k 2+1，因为k 1k 2=14，所以y 1−1x1−2⋅y 2−1x2−2=14， 整理可得，4y 1y 2−4(y 1+y 2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)， 所以4×m 2−8k 24k 2+1−4×2m4k 2+1=4m 2−84k 2+1−2×(−8km4k 2+1)，化简整理可得，4k 2+2km +m −1=0， 解得k =−12或k =1−m 2，若k =1−m 2，则y =1−m 2x +m 过点A(2,1)，则P ，Q 与点A 重合，不符合题意，所以k =−12，故存在定值k=−12，使当m变化时k1k2=14总成立．【解析】(1)利用椭圆的离心率得到a和b的关系，然后结合点A在椭圆上，求出b的值，得到a的值，即可得到椭圆的方程；(2)联立椭圆与直线的方程，然后利用两点间斜率公式化简k1k2=14，求出k的值，即可得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系，斜率公式，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−x，x∈(−∞,+∞)，则f’(x)=e x−1．因为x∈(−∞,0)时，f’(x)<0，f(x)单调递减，x∈(0,+∞)时，f’(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)．(2)证明：x1，x2是f(x)的两个不同的零点，等价于x1，x2是方程e x=xa的两个不同的根，也是方程xe x=a的两个不同的根，由a>0，可知x1>0，x2>0．要证√x1x2>ae，只需证x1a ⋅x2a>e2，只需证e x1+x2>e2，即证x1+x2>2．令ℎ(x)=xe x ，则ℎ′(x)=1−xe x，所以x∈(0,1)时，ℎ’(x)>0，ℎ(x)单调递增；x∈(1,+∞)时，ℎ’(x)<0，ℎ(x)单调递减．不妨设x1<x2，则0<x1<1<x2，2−x1>1，令φ(x)=ℎ(x)−ℎ(2−x)=xe x −2−xe2−x(x>0)，则φ′(x)=(1−x)e2−e2xe x+2，所以0<x<1时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，又φ(1)=0，所以0<x<1时，φ(x)<0，即ℎ(x1)=ℎ(x2)<ℎ(2−x1).因为x∈(1,+∞)时，ℎ(x)单调递减，所以x2>2−x1，即x1+x2>2．故原结论正确，即√x1x2>ae．【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的符号，即可确定函数的单调区间；(2)首先将不等式进行恒等变形，然后构造函数ℎ(x)=x，判断ℎ(x)的单调性，进一步e x证明结论．本题主要考查导数的几何意义，利用导数证明不等式的方法，考查了转化思想，属于中档题．。