一、函数的对称性1．一个函数)(x f y =图象本身的对称性：①轴对称：()()()f a x f b x f x +=-⇔的图象关于直线()()22a x b x a bx ++-+==对称． ②中心对称：()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图象关于点(,)2a bc +对称．注：记忆窍门：相加无x 为对称，相加的结果除以2．2．两个函数的图象对称性：函数()y f a x =+与()y f b x =-图象关于直线2b ax -=对称． 注：记忆窍门：通过作图一个特殊函数图像观察得到，比如f (x )=x ．3．函数的对称性常见的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特殊：函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0，0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称； y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a ，0)对称．二、函数的周期性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝函数的对称性周期性及图像知识梳理(－a ，0) y=f (x+a )y=f (b －x )y=f (x ) 2b a x -=(b ，0)f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．常见的几个结论周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则函数的周期为2a；(4)函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(5)若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(6)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，函数f(x)的周期是4|b－a|；(7)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(8)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.三、函数的图像1．图象的变换(1)平移变换①y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(＋a)或向右(－a)平移a个单位得到；②y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(＋b)或向下(－b)平移b个单位得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称；②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称；③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(3)伸缩变换①y＝kf(x)(k>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k>1)或缩短(0<k<1)为原来的k倍而得到；②y＝f(kx)(k>0)的图象，可由y＝f(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(0<k<1)或缩短(k>1)为原来的1k而得到．(4)翻折变换①要得到y＝|f(x)|的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；②由于y＝f(|x|)是偶函数，要得到y＝f(|x|)的图象，可先画出y＝f(x)的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到．2．辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；(2)利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；④从函数的周期性，判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项． 灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．一、函数的对称性【例1】1≤x ，1)(2-=x x f ，且函数)(x f 的图像关于)0,1(对称，则)(x f 的解析式为_____．【例2】1≤x ，1)(2-=x x f ，且函数)(x f 的图像关于1=x 对称，则)(x f 的解析式为_____．【例3】1)(2-=x x f ，)(x g 与)(x f 关于2=x 对称，则)(x g 解析式为_____．【例4】1)(2-=x x f ，)(x g 与)(x f 关于)4,3(对称，则)(x g 解析式为_______．【例5】【2012年闸北区一模文理第5题】若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为_____．【例6】（闵行区2016届高三上学期期末10）若函数()2x af x -=()a ∈R 满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于_____．)(x f x y 4log =0=+y x )(x f =)(x f (1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m 例题解析【例7】设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例8】（2010一模卢湾区22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．将奇函数的图像关于原点（即(0,0)）对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=的充要条件是()y f x =的图像关于点(,)a b 成中心对称．②函数()y f x =满足()()()F x f x a f a =+-为奇函数的充要条件是()y f x =的图像关于点(,())a f a 成中心对称（注：若a 不属于x 的定义域时，则()f a 不存在）． 利用上述结论完成下列各题：（1）写出函数()tan f x x =的图像的对称中心的坐标，并加以证明．（2）已知m （1m ≠-）为实数，试问函数()1x mf x x +=-的图像是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．（3）若函数()2()|||3|43f x x x t x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭的图像关于点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成中心对称，求t 的值．【巩固训练】1．若函数()y f x =的图像与1y x x=+的图像关于1x =轴对称，则()f x =________．2．已知()1a xf x x a -=--图像的对称中心是（3，－1），则实数a 等于 ．3．（1）函数()y f k x =-和函数()y f x k =-的图象关于直线对称； （2）函数()y f k x =-和函数()y f k x =+的图象关于直线对称．)(x f y =D 1x D x ∈2a x x 221=+b x f x f 2)()(21=+),(b a )(x f y =3sin )(-+=x x x f π⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ40274027-80548054-4．已知函数)(x f 定义域为R ，下列命题正确的是_____． （1）)(x f y =为偶函数，则)2(+=x f y 的图像关于y 轴对称； （2）)2(+=x f y 为偶函数，则)(x f y =的图像关于直线2=x 对称； （3）)2()2(x f x f -=-，则)(x f y =关于直线2=x 对称； （4）)2(-=x f y 和)2(x f y -=的图像关于直线2=x 对称．5．【2012年静安区一模文科第13题】已知函数的图像关于直线对称，则的值是_____．6．（2011一模嘉定理23）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（3）设函数)()(x f x g -=，),2[∞+-∈x ，)(x g 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关．试求a 的取值范围．二、函数的周期性【例9】已知奇函数)(x f 满足条件)()3(x f x f =+，当)1,0(∈x 时，13)(-=xx f ，则)36(log 31f ＝_____．【例10】)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 关于21=x 对称，则=+++)100()1()0(f f f Λ_____．【例11】若)2(x f y =的图像关于直线2a x =和)(2a b bx >=对称，则)(x f 的一个周期为（ ）a x x x f -++=1)(1=x aA ．2b a +B ．2()b a +C ．2ab - D ．)(4a b -【例12】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2014(f 的值为____．【例13】设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1，34)D ．(34，2)【例14】【2012年长宁区区一模文理第13题】已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则______．【例15】（嘉定区2013届高三一模理科18）设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-【例16】对于函数()y f x =，有下列五个命题：①若()y f x =存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线y x =上； ②若()y f x =在R 上有定义，则(||)y f x =一定是偶函数； ③若()y f x =是偶函数，且()0f x =有解，则解的个数一定是偶数；④若(0)T T ≠是函数()y f x =的周期，则()nT n N ∈，也是函数()y f x =的周期； ⑤(0)0f =是函数()y f x =为奇函数的充分不必要条件． 从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（）A ．15 B ．25 C ．35 D ．45【例17】已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”；()f x R x Z ∈()()()11f x f x f x =-++()()12,13f f -==()()20122012f f +-=②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =”． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【例18】【2012年青浦区一模文理第22题】(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分6分．定义在R 上的奇函数有最小正周期4，且时，．（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式； （2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？【巩固训练】1．（奉贤区2013届高三一模理9）已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)65(f 的值为_____．2．【2010一模崇明县10】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧---=+)1()()4(log )1(2x f x f x x f 0,0,>≤x x ，计算)2010(f 的值等于_____．3．【2012年宝山区一模文理第11题】设是定义在R 上的奇函数，且满足，，则实数的取值范围是____．4．【2010一模宝山区12】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当)1,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则0.5f (log 6)的值为_____．()f x ()0,2x ∈142)(+=x x x f ()f x ()0,2()f x []2,2-λx ()f x λ=[]6,2()f x ()()3f x f x +=()()2311,21m f f m ->=+m5．（2014届高三1月一模文13)已知定义在R 上的函数对任意的都满足()()x f x f -=+2，当11x -≤<时，，则[]4,2∈x 时的解析式是____．6．若函数()y f x =满足：对于任意的x ∈R 有(1)()f x f x +=-成立，且当[)1,2x ∈时，()21f x x =-，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++=L _____．7．（11·上海理13）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为____．8．（普陀区2014届高三1月一模理14）已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是_____．9．（青浦区2013届高三一模23）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数； （2）当2,1==a T 时，某个似周期函数在10<≤x 时的解析式为)1()(x x x f -=，求函数)(x f y =，[)Z n n n x ∈+∈,1,的解析式；（3）对于确定的T x T ≤<>00且时，xx f 3)(=，试研究似周期函数函数)(x f y =在区间),0(+∞上是否可能是单调函数？若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由．()y f x =x 3()f x x =()y f x =三、函数的图像（一）基本函数图像及应用【例19】分别画出以下函数的图像：（1）2||y x x =-；（2）2||y x x =-；（3）2|2|3y x x =+-；（4）lg |1|y x =-；（5）2(1)3y x -=-+；（6）()2lg 2y x =-．【例20】（2015崇明一模理16文16）已知圆221x y +=及以下三个函数：①3()f x x =；②()cos f x x x =；③()tan f x x =．其中图像能等分圆的面积的函数个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【例21】(1)若直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是__________； (2)关于x 的方程22||90x a x a ++-=()a R ∈有唯一的实数根，则a =_____．【例22】若二次函数()y f x =对一切R x ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且(5)27f =，则(11)f =____．【例23】（2010一模长宁区12）设56)(|,1|)(221-+-=-=x x x f x x f ,函数⎩⎨⎧<≥=)()(),()()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x g ,若方程a x g =)(有四个不同的实数解,则实数a 的取值范围是_____．【例24】（2010一模普陀区13）对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的条件为_____．【例25】（2015奉贤一模理18文18）设),(b a P 是函数3)(x x f =图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是（ ）A ．),(1b a P -B ．),(2b a P --C ．),(3b a P -D ．),(4b a P -【例26】（长宁区2013届高三一模理18）函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-U 的图象可能是下列图象中的（）【例27】（虹口区2016届高三上学期期末18）设函数22,0,(),0,x x f x log x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234,x x x x <<<则3122341()x x x x x ++的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞C ．[)3,3- D ．(]3,3-【例28】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥，2221()(23)2f x x a x a a =-+--.若对任意x R ∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围（ ）A ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B．66⎡-⎢⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D．33⎡-⎢⎣⎦【巩固训练】1．（2013一模宝山区7）将函数sin ()cos xf x x=的图像按向量n (a,0)=-r （0a >）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为_____．2．【2012年闸北区一模文理第7题】在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都为整数的点为整点，则方程所表示的曲线上整点的个数为_____．3．（2011一模徐汇理13）设,a b R ∈且1b ≠．若函数1y a x b =-+的图像与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是____．4．【2012年青浦区一模文理第13题】已知平面区域，则平面区域的面积为_____．5．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=______．6．已知函数若方程有四个不同的实数根,,,,则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．7．【2012年青浦区一模文理第18题】已知椭圆及以下３个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 是 ．18222=+y x |)||(|4:221y x y x C +≤+1C 191622=+y x x x f =)(x x f sin )(=x x x f sin )(=9．已知函数11()||||f x x x x x =+--． （Ⅰ）指出11()||||f x x x x x =+--的基本性质（结论不要求证明）并作出函数()f x 的图像；（Ⅱ）关于x 的不等式2()2()6(7)0kf x kf x k -+->恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）关于x 的方程2()()0f x m f x n ++=（,m n R ∈）恰有6个不同的实数解，求n 的取值范围．（二）复合函数方程求根问题【例29】设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_________．【例30】（2015普陀一模理13）设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=+00log )(1x ax x x f x a ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f 恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是_____．【例31】设函数2()2f x x x a =++，若函数(())y f f x =有且只有两个不同的零点，求实数a 的取值范围？【例32】已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2，2]的图像如下图所示，给出下列四个命题： ①方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根； ②方程g [f (x )]＝0有且仅有3个根； ③方程f [f (x )]＝0有且仅有5个根； ④方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根． 其中正确的命题个数是_____．R ⎩⎨⎧=≠-=101 1lg )(x x x x f x 0)()(2=++c x bf x f【例33】（2010一模崇明县14）已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为_____．【巩固训练】1．函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是________．2．已知函数是定义域为的偶函数. 当时，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是_____．3．（普陀区2016届高三上学期期末18）若函数()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程 ()()()210f x a f x a -++=，给出下列结论：①存在这样的实数a ，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a ，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a ，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a ，使得方程由6个不同的实数根． 其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个（三）函数的零点【例34】（黄浦区2013届高三一模理科9）已知函数，且函数()()F x f x x a =+-有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____．)(x f y =R 0≥x ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．x 2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、a ⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x a【例35】（2015奉贤一模理12文12）定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ．【例36】（虹口区2013届高三一模13）设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当[]0,x π∈时，1)(0<<x f ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在[10,10]ππ-上的零点个数为_____．【例37】（2015长宁一模理14）已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是_____．【巩固训练】1．【2011一模长宁10】设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数)(x f y =的零点是_____．2．【2012年奉贤区一模文理第17题】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．【2012年静安区一模理科第13题】记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为_____．（写出所有零点）()13-=x x f ()3x x f =()x x f =()x x f ln ={}⎩⎨⎧>≤=时当时当b a b b a a b a ,,,min {}34,12m in )(222+--++=x x t tx x x f t )(x f y =4．（2015徐汇一模理13）在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是_____．5．（2011一模黄浦理14）若关于x 的方程2||3x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．6．（2015虹口一模理18文18）若直线1y kx =+与曲线11y x x x x=+--有四个不同交点， 则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,0,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭四、函数性质与图像综合应用【例38】已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【例39】已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是________________．【例40】（奉贤区2013届高三一模18）定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；【例41】（2011一模浦东）23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；（3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)4,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域．【巩固训练】1．【2012年闵行区一模文理第12题】若偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数为_____个．2．若是定义在上的奇函数，且对任意的实数，总有正常数，使得成立，则称具有“性质”，已知函数具有“性质”，且在上，；若当时，函数恰有8个零点，则实数__________．3．（杨浦区2016届高三上学期期末14）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11()y f x =()x ∈R (1)(1)f x f x +=-[1,0]x ∈-2()f x x =()()lg g x f x x =-个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________．4．（黄浦区2013届高三一模理科23）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数()y f x =与常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“类P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求(2)(*)N n f n ∈；（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =23k x --，求()f x 在区间[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值；（3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“类P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①(2)n f -与2n -+2(*)N n ∈；②()f x 与22x +((0,1])x ∈．1、1．在函数性质应用时必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方．（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域关于原点对称，为此确定函数的奇偶性时，务必先判断函数定义域是否关于原点对称．（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集．（3）讨论函数的周期性，一般情况下定义域是无限集，所以判断函数是否为周期函数要在整个定义域上观察函数的图像．2．初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围．特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想． 3．对称性问题和奇偶性问题：（1）若函数)(x f 在其定义域上满足)()(x b f a x f -=+，则函数)(x f 的图像关于直线2ba x +=对称．（2）奇偶性问题的判定方法：先特殊判定，后定义证明；是对数函数的，先考虑真数，后证明结论． 4．周期性问题推广：若T 是函数)(x f 的一个周期，则)(),()(Z k x f kT x f ∈=+． 5．函数图像是高考的必考内容，其中包括作图、识图、用图．作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．图像变换法中，有平移变换、对称变换和伸缩变换，要记住它们的变换规律．利用描点法作函数图像其基本步骤是①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．识图时，要留意它们的变化趋势，以及坐标轴的交点及一些特殊点.特别是对称性、周期性等图形特点，应引起足够的重视． 用图，主要是数形结合思想的应用．1．若关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．课后练习反思总结2．（宝山区2013届期末8）设函数)(x f 是定义在R 上周期为3的奇函数，且2)1(=-f ，则(2011)(2012)f f +=____．3．（2015崇明一模理11文11）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ．4．设)(x f 是定义在R 上的函数，若81)0(=f ，且对任意的R x ∈，满足 x x x f x f x f x f 310)()4(,3)()2(⨯≥-+≤-+，则=)2014(f _____．5．给出定义：若（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作 ，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数的图像关于直线对称．其中正确命题的序号是_____．6．已知函数02,()1(2),2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数n k （*N ∈n ），直线x k y n ⋅=与函数)(x f y =的图像恰有12+n 个不同交点，则2nk =_____．7．（2015虹口二模理14）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =___．8．【2012年长宁区区一模文理第13题】已知函数的定义域为，且对任意，都有．若，则_______．1122m x m -<+≤{}x m =(){}f x x x =-()y f x =R 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =()y f x =2kx =()k Z ∈()f x R x Z ∈()()()11f x f x f x =-++()()12,13f f -==()()20122012f f +-=9．【2010一模卢湾区14】方程2cos 0x x -=的解可视为函数cos y x =的图像与函数2y x =的图像交点的横坐标．方程210sin 102xx x π-+=实数解的个数为_____．10．方程有3个或者3个以上解，则常数的取值范围是_____．11．已知)(x f 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当10≤≤x 时，2)(x x f =，如果直线a x y +=与曲线)(x f y =恰有两个交点，则实数a 的值是 ( )A ．0B ．)(2Z k k ∈C ．k 2或)(412Z k k ∈-D ．k 2或)(412Z k k ∈+12．对实数a 和b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)□(x －1)，x ∈R .若函数y＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．[－2，－1]13．（2015浦东一模理19文19）函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．314．【2012年嘉定区一模理科第17题】设，则函数的图像大致形状是（ ）k x x x +=--2322k b a <<0)(||b x a x y --=yb xx15．（2011一模嘉定17）方程22xx=的实数解的个数是（）A．0B．1C．2D．316．（2015嘉定一模理17文17）定义在区间),1[∞+上的函数)(xf满足：①)(2)2(xfxf=；②当42≤≤x时，|3|1)(--=xxf，则集合)}34()({fxfxS==中的最小元素是（）A．2B．4C．6D．817．【2012年卢湾区一模文理第18题】已知函数，若，且，则（）A．（）B．）C．（）D．（）18．（宝山区2013届期末18）已知21,[1,0),()1,[0,1],x xf xx x+∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是（）A．)1(-xf的图像B．)(xf-的图像C．|)(|xf的图像D．|)(|xf的图像19．（2010一模黄浦区18）已知函数)()()1(1)1(|1|1)(2=++⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=cxbfxfxxxxxf的方程，若关于有且仅有3个实数根=++232221321xxxxxx，则、、( )A．5 B．2222bb+C．3 D．2222cc+20．（2015青浦一模理18文18）设函数*()1,[,1),f x n x n n n N=-∈+∈，函数2()logg x x=，则方程()()f xg x=实数根的个数是（）2()|1|f x x=-0x y<<()()f x f y=24y x-02x<<24y x=-02x<<22y x-02x<<22y x=-01x<<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个21．（2011一模黄浦文18）若函数4||y y x a x==-和的图像有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．4a >-．B ．4a ≤-．C ．4a ≤．D ．4a >22．（嘉定区2013届高三一模理科18）设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-24．对于函数)(x f ，D x ∈，若存在D x x ∈21、，对任意的D x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则称)(x f 为“幅度函数”，其中)()(12x f x f -称为)(x f 在D 上的“幅度”．（1）判断函数223)(x x x f --=是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；（2）已知022)1(1=+---n n y y x n Z x ,(∈为正整数)，记y 关于x 的函数的“幅度”为n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ；（3）在(2)的条件下，试比较n n n b b b 2212lg2lg2lg+++++Λ与21lg 2n 的大小，并说明理由．25．已知：函数b ax ax x g ++-=12)(2)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数x x g x f )()(=． （1）求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围； （3）如果关于x 的方程0)3124()12(=--⋅+-xx t f 有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．26．【2012年青浦区一模文理第22题】(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分6分．定义在R 上的奇函数有最小正周期4，且时，（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式； （2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？27．（虹口区2013届高三一模23）（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值；（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．()f x ()0,2x ∈142)(+=x xx f ()f x ()0,2()f x []2,2-λx ()f x λ=[]6,228．【2012年浦东新区一模理科第23题】（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度； （2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.xOy 1PABC PABC x P ()y x P ,()y f x =(),R y f x x =∈m m 0x m ≤≤P l [](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈()f x a x =[]8,8-a。
