高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §4 数列在日常经济生活中的应用 含解析

课时作业(十一)数列在日常经济生活中的应用(限时：10分钟)1．某人从2002年1月份开始，每月初存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到12月底取出本利和应是()A．1 203.6元B．1 219.8元C．1 223.4元D．1 224.4元解析：12×100＋(1＋2＋3＋…＋12)×31 000×100＝1 223.4(元)．答案：C2．一个工厂年产值在10年内翻了两番，则其年增长率是()A.410B．41 10C．4110－1 D．2110－1解析：设原来年产值为a,10年中的平均增长率为r.则a(1＋r)10＝4a,1＋r＝4110，r＝4110－1.答案：C3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是() A．a(1＋q%)3B．a(1－q%)3C.a(1－q%)3D.a (1＋q%)3解析：设现在的成本为x，则x(1－q%)3＝a，故x＝a(1－q%)3.答案：C4．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a100元/m2，则该商品房各层的平均价格为()A．a1＋a2＋23.1a元/m2B.123(a1＋a2＋23.1a)元/m2C.123(a1＋a2＋23.31a)元/m2D.123(a1＋a2＋22.9a)元/m2解析：123⎝⎛⎭⎫a1＋a2＋21a＋21×202×a100.答案：B5．年利率9%，每年复利一次，希望在6年后得到本利和10 000元，则本金应是__________．解析：设本金为a元，a(1＋9%)6＝10 000⇒a＝5 962.67.答案：5 962.67。

§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。

所以 a6=130.0-9.6×5=82.0. 所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是 82.0 寸.
答案:82.0
4.(教材二次开发:习题改编)2020 年 5 月小刘在中国银行存入 10 万元
定 期 存 款 , 存 期 1 年 , 年 利 率 为 2.25%, 那 么 10 年 后 共 得 本 息 为
寸 1 分(1 寸=10 分).
节气
冬至
小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 (大雪) (小雪) (立冬) (霜降) (寒露) (秋分)
晷影 135
长(寸)
125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5
节气
清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至
(白露) (处暑) (立秋) (大暑) (小暑)
日影长度最小,为 160 分,即可求出 d=- ,进而求出立春”时日影长
度为 1 052 分.
【解析】选 B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差
为 99 分,且“冬至”时日影长度最大,为 1350 分;“夏至”时日影长度
最小,为 160 分.所以 1 350+12d=160,解得 d=- ,所以“立春”时日
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§4 数列在日常经济生活中的应用
学 1.理解单利、复利的含义(数学抽象)
习 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相
目 应的问题(数学建模)
标 必备知识·自主学习 1.数学中常见的定期存
导 款利率计算方法有哪些? 思 2.建立数学模型的关键
构成等差数列. ( )
(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增 10%,则各年的投资额也构

§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只 2. 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．43. 一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．20004.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足关系式S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C .7月、8月D.8月、9月二、填空题（每小题5分，共30分）5.一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时． 6. 某市20082012国内生产总值平均每年增长率为p ,那么该市2012年国内生产总值比2007年国内生产总值增长的倍数为 .7.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成__________.8. 凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________． 9.某纺织厂的一个车间有n (n >7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n .定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n 7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…时间该林区原有林地减少后的面积该年开荒 造林面积 2003年年底 99.8000万公顷 0.3000万公顷 2004年年底 99.6000万公顷 0.3000万公顷 2005年年底 99.4001万公顷 0.2999万公顷 2006年年底 99.1999万公顷0.3001万公顷＋a3n＝2，则说明__________.10.函数f(x)＝a·b x的图象过点A(2，12)，B(3,1)，若记a n＝log2f(n)(n∈N*)，S n是数列{a n}的前n项和，则S n 的最小值是________．三、解答题（本大题共4小题，共50分）11.（12分）某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2002年年底的林地面积为100万公顷，从2003年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：试根据此表所给数据进行预测.（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）（1）如果不进行从2003年开始的开荒造林，那么到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？（2）如果从2003年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？12.（12分）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)13.（13分）某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积为32a m2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S n. 14.（13分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n – 2，…，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出T n与T n – 1(n≥2)的递推关系式；（2）求证：T n = A n + B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5. ；6. ；7. ； 8. ；9. ；10. .三、解答题11.12.13.14.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5） 答案一、选择题1.A 解析： 依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列.设a 1＝7，d >0，S n 1＝65－10＝55. ∴ 有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55，即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， ∴ (n －1)[7＋(n －2)d2]＝55.∵ 55＝11×5且(n －1)为正整数，[7＋(n －2)d2]为正整数. ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得 n ＝6.2.A 解析：根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴ P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴=1.3.D 解析：设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958，∴ 7x －7(12＋0)2＝13 958，解得x ＝2 000.4. C 解析1：由S n 可求出a n =301（－n 2+15n －9），解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9. 解析2：将选项中的月份代入计算验证. 二、填空题5.5 解析：由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息的总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55，即2n +1≥56，∴ n +1≥6，∴ n ≥5．6.(1+)5-1 解析：设2007年国内生产总值为，则(1)5为2012年国内生产总值，增长倍数为(1)5-1.7.512 解析：由题意知a 1=1，公比q =2，经过3小时分裂9次，∴ 末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．8. 9 解析：由条件得 (n －2)×180°＝120°×n ＋n (n －1)2×5°， 解得 n ＝9或n ＝16，∵ a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°， ∴ n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°， ∴ n ＝9.9. 1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴ a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n7＝1. 同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0， 即第3号工人操作了2台织布机．10. －3 解析：将A 、B 两点坐标代入,得解得∴＝18·2x，∴ f(n)＝18·2n ＝2n －3， ∴ a n ＝log 2＝n －3.令a n ≤0，即≤0，∴ ≤3.∴ 数列前3项小于或等于零，故3或2最小．3＝1＋2＋3＝－2＋(－1)＋0＝－3.三、解答题 11. 解 ：（1）记2003年该林区原有林地面积为1，到2016年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为14，从表中看出｛a n ｝是等差数列，公差约为0.2，故141＋（,所以到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．（2）根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2003年起，年后林地总面积达102万公顷，结合（1）可知：解得， 即2022年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．12. 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴ a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量 S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵ S 10≤80，∴ 10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴ a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．13.解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a . 设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ， 解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n )a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n －1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a ＝15a ＋(n －4)(19－n )a 2＝(23n －n 2－46)a2.故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(2n－1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N .14.解：（1）依题设有T n = T n – 1(1 + r) + a n (n ≥2).（2）T 1 = a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n = T n – 1(1 + r) + a n = T n – 2(1 + r)2+ a n – 1(1 + r) +a n = a 1(1 + r)n – 1 + a 2(1 + r) n – 2+ … + a n – 1(1 + r) + a n . ① 在①式两端同乘 (1 + r)，得(1 + r)T n = a 1(1 + r)n + a 2 (1 + r)n – 1 + … +a n – 1(1 + r)2+ a n (1 + r) . ② ② – ①，得rT n = a 1(1 + r )n + d [(1 + r )n – 1 + (1 + r) n– 2 + … + (1 + r )] – a n =d r[(1 + r )n– 1 – r ] + a 1(1 + r ) n– a n ，又a n = a 1 +（n – 1）d ，则1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--.如果记1122(1),n n n a r d a r d dA rB n r r r++=+=--， 则T n = A n + B n ，其中{A n }是以12(1)a r d r r ++为首项，以1 + r (r ＞0)为公比的等比数列，{B n}是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列.。