抛物线型实际应用题(PDF版 含解析)

初三抛物线试题大全及解析一、抛物线的基本概念抛物线是一种重要的几何图形，它在中考数学试题中占有重要地位。

抛物线通常由一条直线和一个二次曲线组成，它可以用来描述一些常见的数学问题，如二次函数、几何问题等。

二、抛物线试题类型1. 已知抛物线解析式求未知量2. 抛物线的性质与应用3. 抛物线的形状与开口方向、对称轴、顶点坐标的关系4. 抛物线与方程的综合题5. 与抛物线有关的实际问题三、抛物线试题解析【例1】（基础题）已知抛物线解析式为y=x²-2x-3，请回答下列问题：（1）求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？【解析】（1）因为a=1>0，所以抛物线开口向上。

对称轴为直线x=-b/2a=-(-2)/2=1，顶点坐标为（1，-4）。

（2）因为对称轴为直线x=1，且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大而增大。

【例2】（提高题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（1，0），B（0，-6），C（2，-4）三点，求这个二次函数的解析式。

【解析】由题意可设y=ax²+bx-6，把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。

再由点A（1，0）在抛物线上可求c值，即可得到二次函数的解析式。

【答案】解：由题意可设y=ax²+bx-6。

把C（2，-4）代入得4a+2b-6=-4，即b-a=1。

又因为图像经过A（1，0），B（0，-6），所以y=x²+x-6。

【例3】（压轴题）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点。

求这个二次函数的解析式和图像的对称轴。

【解析】这道题需要用到待定系数法。

首先根据条件确定系数可能取到的值，再代入求出解析式。

然后根据对称性求出对称轴。

【答案】设这个二次函数的解析式为y=a(x-h)²+k，将A（0，5），B（1，3），C（-2，7）三点代入得{c=5a+b+c=39a−2a+k=7解得{a=2k=5∴y=2(x−1)2+3图像的对称轴为直线x=1。

一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，供高是2m，当水面降低1m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1m）
有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？
考点：二次函数的应用．
专题：应用题．
分析：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a（x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a的值．
（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．
解答：解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（5，4），
所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为y=a（x-5）2+4，
由图象知该函数过原点，将O（0，0）代入上式，得：0=a（0-5）2+4，
解得a=-4/25,
故该二次函数解析式为y=-4/25（x-5）2+4，
（2）对称轴右边1米处即x=6，此时y=-4/25（6-5）2+4=3.84
因此桥洞离桥面的高5.6-3.84=1.76米．
点评：本题考查的是二次函数的实际应用．考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力．
（2005•绵阳）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．
考点：二次函数的应用．。

(完整版)抛物线练习题(含答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)抛物线练习题(含答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)抛物线练习题(含答案)的全部内容。

（完整版）抛物线练习题(含答案)编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版）抛物线练习题（含答案）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。

同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <(完整版)抛物线练习题(含答案)〉这篇文档的全部内容.抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内,到点（1,1)和直线x＋2y＝3距离相等的点的轨迹是( ）A．直线B．抛物线 C．圆 D．双曲线2．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为( ）A。

错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（）A.错误! B．－错误! C．8 D．－84．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．125．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（）A．相交B．相切 C．相离D．以上答案都有可能6．过点F(0，3）且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为（)A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y7．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为( ) A．20 B．8 C．22 D．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A．2错误! B.错误! C。

中考压轴题专项训练1——抛物线专题考点分析：命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决复杂的图形综合问题。

二次函数常考点汇总：1. 两点间的距离公式：22)()(AB B A B A x x y y -+-=2. 中点坐标公式：已知A ),(A A y x ，B ),(B B y x ，则线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,2B A B A y y x x 。

3. 在平面直角坐标系中求面积的方法：公式法、割补法（做铅垂高或水平宽） 4. 几何分析法：特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

例题精讲：1.如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．3.已知，在平面直角坐标系xoy 中，点A 的坐标为（0，2），点P （m ，n ）是抛物线2114y x =+上的一个动点．（1）①如图1，过动点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ，连接PA ，求证：PA=PB ； ②如图2，设C 的坐标为（2，5），连接PC ，AP+PC 是否存在最小值？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）如图3，过动点P 和原点O 作直线交抛物线于另一点D ，若AP=2AD ，求直线OP 的解析式．4.【变式】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.（1）直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3) 已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.5．如图，已知二次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ． （1）∠ABC 的度数为 °；（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．6.（本题满分10分）如图，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标； （3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ∆P N 与∆APM 的面积相等，且线段Q N 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．7．（8分）如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．答案解析1.【解答】解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（三点重合，舍去）或m＝；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝3（舍去）或m＝﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．2．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3∴k＝1即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（﹣，）∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴，则＝∵∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS）∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）3.【解答】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x 轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P 1（，3），直线OP 的解析式为y=x ， P 2（﹣，3）直线OP 的解析式为y=﹣x ， 综上所求，所求直线OP 的解析式为y=x 或y=﹣x ．4.【解答】解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+.∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 取得最小值18. 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图)(3) ∵对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.xy111APBMO∴整数c 的值为0.此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩ 对一切实数x 均成立. 由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩ 由⑤得整数b 的值为1.此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.当a≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴整数a 的值为1.∴整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.5．【解答】解：（1）45．理由如下：令x =0，则y =-m ，C 点坐标为（0，-m ）．令y =0，则()210x m x m +--=，解得11x =-，2x m =． ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴B 点坐标为（m ，0）．∴OB =OC =m ．∵∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∠OBC ＝45°． （2）如图①，作PD ⊥y 轴，垂足为D ，设l 与x 轴交于点E ，由题意得，抛物线的对称轴为12mx -+=． 设点P 坐标为（12m-+，n ）． ∵P A = PC ， ∴P A 2= PC 2，即AE 2+ PE 2=CD 2+ PD 2．∴()222211122m m n n m -+-⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得12m n -=．∴P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭． ④⑤② ③ ⑥ ⑦图①图②（3）存在点Q 满足题意．∵P 点的坐标为11,22m m -+-⎛⎫⎪⎝⎭， ∴P A 2+ PC 2=AE 2+ PE 2+CD 2+ PD 2=222221111112222m m m m m m -+---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵AC 2=21m +，∴P A 2+ PC 2=AC 2．∴∠APC ＝90°． ∴△P AC 是等腰直角三角形．∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△P AC 相似， ∴△QBC 是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q 的坐标为（-m ，0）或（0，m ）． ①如图①，当Q 点的坐标为（-m ，0）时，若PQ 与x 轴垂直，则12m m -+=-，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与x 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（25-，0）时， PQ 的长度最小．②如图②，当Q 点的坐标为（0，m ）时，若PQ 与y 轴垂直，则12m m -=，解得13m =，PQ =13． 若PQ 与y 轴不垂直， 则22222221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵0＜m ＜1，∴当25m =时，2PQ 取得最小值110，PQ ．＜13， ∴当25m =，即Q 点的坐标为（0，25）时， PQ 的长度最小．综上：当Q 点坐标为（25-，0）或（0，25）时，PQ 的长度最小．6. 【解答】解：（1）.3)(03,20.0,c -),,0(,.2,12.1x 2CD x //2-=∴=-=++=∴∴=-==-∴=∴=c c c c c c B c C OC OB b bl CD ，舍去或解得）点坐标为（：抛物线对称轴为直线，轴，（2）设点F 坐标为（0，m ）.∵对称轴是直线,1:=x l ∴点F 关于直线l 的对称点’F 的坐标为（2，m ）. ∵直线BE 经过点B （3,0），E （1，-4），∴利用待定系数法可得直线BE 的表达式为y=2x-6. ∵点’F 在BE 上，∴m=2⨯2-6=-2,即点F 的坐标为（0，-2）. （3）存在点Q 满足题意。

抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。

抛物线运动练习题(含答案)抛物线运动练题 (含答案)问题一一颗子弹以水平速度100 m/s 射向离地面20m的点，以重力加速度10 m/s²作用下，子弹射出后多久击中地面？答案：使用抛物线运动的公式，可以计算出子弹击中地面所需的时间。

抛物线运动公式为：h = v₀t + 1/2gt²其中，v₀表示初始速度，g表示重力加速度，h表示高度，t表示时间。

代入已知数据：h = 20mv₀ = 100 m/sg = 10 m/s²将公式稍作变形，得到：t² + 20t - 40 = 0解这个二次方程，可求得：t ≈ -23.3 秒或t ≈ 1.7 秒因为时间不能为负数，所以子弹射出约1.7秒后击中地面。

问题二一个人从离地面15m的点以速度20 m/s斜抛一个物体，物体飞行的距离是多少？答案：根据抛物线运动的公式，可以计算出物体的飞行距离。

抛物线运动公式为：d = v₀x t其中，v₀x表示初始水平速度，t表示时间，d表示距离。

我们需要找到物体运动的总时间，然后将其代入公式中计算距离。

首先，我们可以使用重力加速度的公式计算物体运动所需的时间 t₀：h = v₀yt₀ + 1/2gt₀²将公式代入已知数据：h = 15 mv₀y = 20 m/sg = 10 m/s²可得到：15 = 20t₀ + 1/2 * 10 * t₀²将这个方程稍作整理，得到二次方程：5t₀² + 20t₀ - 30 = 0解这个二次方程，可求得：t₀ ≈ -1.85 秒或 t₀ ≈ 0.85 秒因为时间不能为负数，所以物体运动约0.85秒后落地。

然后，我们将求得的 t₀代入公式：d = v₀x * t₀代入已知数据：v₀x = 20 m/st₀ ≈ 0.85 s计算得到物体的飞行距离d ≈ 17 m。

问题三一颗炮弹以45°角发射，速度为400 m/s。

抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。

函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总抛物线型问题（专题训练）1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到OE 的距离均为6m ，求点A 、B 的坐标．【答案】(1)29(5)925y x =--+(2)(5(5A B +【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，再代入（0，0），求出a 的值即可；（2）根据题意知，A ，B 两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．(1)依题意，顶点(5,9)P ，设抛物线的函数表达式为2(5)9y a x =-+，将(0,0)代入，得20(05)9a =-+．解之，得925a =-．∴抛物线的函数表达式为29(5)925y x =--+．(2)令6y =，得29(5)9625x --+=．解之，得125,5x x +=+．∴(5(5A B +．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．2.甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽8m OA =，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处．有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线()20y ax bx c a =++≠，该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】（1）y=14-x 2+2x （0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x ，根据待定系数法，即可求解；（2）把：x =1，代入y=14-x 2+2x ，得到对应的y 值，进而即可得到结论；（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m 的范围．【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x ，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：14a =-，∴二次函数的解析式为：y=14-(x-8)x=14-x 2+2x （0≤x≤8）；（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=14-x 2+2x ，得y=14-×12+2×1=74＞1.68，答：他的头顶不会触碰到桥拱；（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y=14x 2-2x ，当x ＜0或x ＞8时，新函数表达式为：y=-14x 2+2x ，∴新函数表达式为：2212(08)41(08)4x x x y x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩或，∵将新函数图象向右平移()0m m >个单位长度，∴O '（m ，0），A '（m+8，0），B '（m+4，-4），如图所示，根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在89x ≤≤时，y 的值随x 值的增大而减小．本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．3.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【答案】（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．【分析】（1）根据题意可知：点A （0，4）点B （4，8），利用待定系数法代入抛物线221:8C y x bx c=-++即可求解；（2）高度差为1米可得21=1C C -可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线2117C :1126y x x =-++可知坡顶坐标为61(7,)12，此时即当7x =时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过3米，即2161773812y b c =-⨯++≥+，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A （0，4），点B （4，8）代入抛物线221:8C y x bx c =-++得，2=4144=88c b c ⎧⎪⎨-⨯++⎪⎩，解得：=43=2c b ⎧⎪⎨⎪⎩，∴抛物线2C 的函数解析式213482y x x =-++；（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，∴221317(4)(1)182126x x x x -++--++=，解得：14x =-（不合题意，舍去），212x =，故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）∵点A （0，4），∴抛物线221:48C y x bx =-++，∵抛物线2211761C :1=7)12612y x x x =-++-+，∴坡顶坐标为61(7,12，∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，∴21617743812y b =-⨯++≥+，解得：3524b ≥．【点睛】本题属二次函数应用中的难题.解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．4.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且8AB =dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度8OC =dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．【答案】(1)296-；(2)20dm ；(3)能切得半径为3dm 的圆．【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m ，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m （2）如详解2中图所示，设矩形落在AB 上的边DE=2n ，利用函数解析式求解F 点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H 坐标为（0，3），表示出圆心H 到二次函数上个点之间的距离与半径3进行比较即可．(1)由题目可知A （-4，0），B （4，0），C （0，8）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c ，∵对称轴为y 轴，∴b=0，将A 、C 代入得，a=12-，c=8则二次函数解析式为2182y x =-+，如下图所示,正方形MNPQ 即为符合题意得正方形，设其边长为2m ，则P 点坐标可以表示为（m ，2m ）代入二次函数解析式得，21822m m -+=，解得122,2m m =-=-（舍去），∴2m=4，()()222496m =-=-则正方形的面积为296-；(2)如下如所示矩形DEFG ，设DE=2n ，则E （n ，0）将x=n 代入二次函数解析式，得2182y n =-+，则EF=2182n -+，矩形DEFG 的周长为：2（DE+EF ）=2（2n+2182n -+）=22416(2)20n n n -++=--+，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm ；(3)如下图所示，为了保证尽可能截取圆，应保证圆心H 坐标为（0，3），则圆心H 到二次函数上个点之间的距离为3≥，∴能切得半径为3dm 的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．5.跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++．(1)c 的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ；②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞9 10；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣150，b＝910，知y＝﹣150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣150×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．(1)解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；(2)解：①∵a＝﹣150，b＝910，∴y＝﹣150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣1 50，∴y＝﹣150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣150×752+75b+66＞21，解得b＞9 10，故答案为：b＞9 10；(3)解：他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣2 125，∴抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣2125×（75﹣）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．6.根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m ；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务一：见解析，2120y x =-；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-；66x -≤≤；任务三：两种方案，见解析【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m ，根据题意求得任意一种方案即可求解．【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且经过点(10,5)-．设该抛物线函数表达式为2(0)y ax a =≠，则5100a -=，∴120a =-，∴该抛物线的函数表达式是2120y x =-．任务二：∵水位再上涨1.8m 1m ，灯笼长0.4m ，∴悬挂点的纵坐标5 1.810.4 1.8y ≥-+++=-，∴悬挂点的纵坐标的最小值是 1.8-．当 1.8y =-时，211.820x -=-，解得16x =或26x =-，∴悬挂点的横坐标的取值范围是66x -≤≤．任务三：有两种设计方案方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵66x -≤≤，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ，∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.646⨯>，⨯<，若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.636∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．-．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 4.8方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，+⨯->，∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8 1.6(51)6+⨯-<，若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8 1.6(41)6∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．-．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 5.6【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．7.公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m ；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t ，代入求出s 即可；（2）分析得出当v=10m/s 时，两车之间距离最小，代入计算即可．【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为2s at bt =+，一次函数表达式为v kt c =+，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则8816k c c =+⎧⎨=⎩，解得：116k c =-⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式为16v t =-+，令v=9，则t=7，∴当t=7时，速度为9m/s ，∵二次函数经过（2，30），（4，56），则423016456a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1216a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数表达式为21162s t t =-+，令t=7，则s=491672-+⨯=87.5，∴当甲车减速至9m/s 时，它行驶的路程是87.5m ；（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s ，∴当10＜v ＜16时，两车之间的距离逐渐变小，当0＜v ＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v=10m/s 时，两车之间距离最小，将v=10代入16v t =-+中，得t=6，将t=6代入21162s t t =-+中，得78s =，此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m ，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．8.如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A 处，另一端固定在离地面高2米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体A 的水平距离x （米）之间的关系满足216y x bx c =-++，现测得A ，B 两墙体之间的水平距离为6米．图2（1）直接写出b ，c 的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为3724米的竹竿支架若干，已知大棚内可以根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？【答案】（1）76b =，1c =；（2）7324米；（3）352【分析】（1）根据题意，可直接写出点A 点B 坐标，代入216y x bx c =-++，求出b 、c 即可；（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；（3根据2173716624y x x =-++=，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．【详解】解：（1）由题意知点A 坐标为(0)1，，点B 坐标为(6)2，，将A 、B 坐标代入216y x bx c =-++得：21=12666c b c ⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩解得：761b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故76b =，1c =；（2）由221717731666224y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可得当72x =时，y 有最大值7324，即大棚最高处到地面的距离为7324米；（3）由2173716624y x x =-++=，解得112x =，2132x =，又因为06x ≤≤，可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为111622-=（米），又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为1116882⨯=（平方米）共需要884352⨯=（根）竹竿．【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质．9.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱项部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【答案】（1）6m ；（2）①21'(6)112y x =++；②2m 【分析】（1）设211y a x =，由题意得(6,1.5)F -，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y 1的值即可；（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，设222(6)1y a x =-+，将点H 代入求值即可；②设彩带长度为h ，则12h y y =-，代入求值即可．【详解】解（1）设211y a x =，由题意得(6,1.5)F -，11.536a ∴-=，1124a ∴=-，21124y x ∴=-，∴当12x =时，21112624y =-⨯=-，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，∴设222(6)1y a x =-+，(0,4)H ，224(06)1a ∴=-+，2112a ∴=，221(6)112y x ∴=-+，(左边抛物线表达式：21'(6)112y x =++)②设彩带长度为h ，则22221111(6)1()412248h y y x x x x =-=-+--=-+，∴当4x =时，2min h =，答：彩带长度的最小值是2m ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键．。

初三抛物线经典例题讲解抛物线，听起来就像是某种高大上的东西，对吧？但其实你一学就明白，嘿！它其实就像你打篮球时投篮的轨迹，或者是你丢石子水里的涟漪那样，都是抛物线的一部分。

今天就来聊聊初三那经典的抛物线题目，你会发现，它其实没你想象的那么复杂，甚至比你想象的要有趣得多。

你别看它一开始那么让人头疼，真正理解了之后，你会发现抛物线其实就像是解谜一样，让人上瘾。

好了，咱们直接开始，带你深入了解抛物线的世界。

你们学过数学，应该知道有个公式叫做y = ax² + bx + c吧？这个公式就是抛物线的“身份证”。

说白了，只要你能看懂这个公式，你就能搞定抛物线题目了。

那它到底是啥意思呢？嗯，简单来说，抛物线就是一个图形，它有个尖尖的底部，像是个倒过来的“U”字。

至于a、b、c，它们分别控制着抛物线的开口方向、宽度以及位置。

你可以想象它们就是调皮的小精灵，想怎么跳就怎么跳，随便控制抛物线的各种“表情”。

抛物线的题目会问到它的顶点在哪。

这个问题听起来有点吓人，但其实它并不难。

顶点就是抛物线的最高点或者最低点，具体看开口朝上还是朝下。

别担心，你只需要用公式顶点的坐标公式，就能轻松算出来。

公式是：x = b/2a。

嘿！记住了这个公式，计算起来就像是吃饭一样简单。

找到了x之后，代入原方程就能得到y坐标，完事儿！题目还会问抛物线与x轴的交点在哪？这个就稍微麻烦点，得用到求解二次方程。

不过别怕，求根公式就是你最好的朋友，能帮你轻松搞定。

再说说抛物线与实际生活的关系吧。

你有没有在夏天的时候，看到某个人把水泼出去，看它划出一条优美的弧线？对了！那就是抛物线的真实写照。

投篮也是一样，篮球离开手的瞬间，飞行的轨迹也是抛物线。

很多体育动作，比如羽毛球、跳远、甚至你跳水时，你的身体轨迹都可以用抛物线来描述。

所以说，抛物线并不是只有数学题里才有，它活跃在你我生活的方方面面。

嘿，说到这里，你是不是也对这个数学小家伙感兴趣了？不过说实话，有些同学学抛物线的时候，常常会觉得头大，弄不清楚它究竟是啥。

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。

《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 12 1 1（2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右，2 4a11∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1．4a 4a②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左，2 4a11∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ．故所求直线方程为： y 2x 2 ．则所求直线方程为： y 2x 2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ，解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由：y kx 22y 28x可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0．∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k1．∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 82 k 22，解得： k 2 或 k 1舍去)．解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 28x 12y28x 2 ．两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ，k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去)．1MM 1AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．12说明：类似有： 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离， 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5，求 k 值．为 9 时，求 P 点坐标．求 P 点坐标．k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解：（ 1）由 yy4x 2x 得： 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ，即 k 4 2）S 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上，∴设 P 点坐标是 （x 0,0） 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ，即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5，即所求 P 点坐标是（－ 1，0）或（ 5，0）．典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积 分析：（1）题可利用弦长公式求 k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2） 两点．则有：BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上)，n 为过A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B ，点 B 关于 AN 的对称点为 P ，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线， 有两个途径， 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程， 可先用第一种方法，由 A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN 且 PN l 即可． 证明： 如图所示，连结 PA 、PN 、NB ．由已知条件可知： PB 垂直平分 NA ，且 B 关于 AN 的对称点为 P ． ∴ AN 也垂直平分 PB ．则四边形 PABN 为菱形．即有 PA PN ．AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析： 此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：F(2p ,0)，若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时，则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：y k(x 2p)(k 0) ，且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) ．k(x p )2得：k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有：P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得：112P1F P2F p证法二：如图所示，设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ，且不妨设P2P2 n m P1P1 ，又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ，AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立．典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p ．sin分析： 此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一： 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得： y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2，求证：x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ，则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二： 如图所示，分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l ．由抛物线定义有：AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P （3,2 3） ，它的一个焦点为 F （1，0），对应于该 焦点的准线为 x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ，若弦 AB 的长度不超过 8， 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点，求 （ 1） AB 的倾斜角 的取值范围．（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为 k ，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围， 从而可得 的 取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即 可．于是可得出：AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立．解：(1)由已知得PF 4 ．故P到x 1 的距离 d 4 ，从而PF d ∴曲线C是抛物线，其方程为y24x ．设直线AB的斜率为k，若k 不存在，则直线AB与3x2∴k 存在．设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得：ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点．2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)，则：y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8，24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得：(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k2 3可得： 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ，∴所求的取值范围是：3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得：(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标．分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设 F 是y 2 x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和N 是垂足，则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得： 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为： 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN x ，则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F ．2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2，y 1 y 2 2 ， y5 2 5 所以 M(54, 22) ，此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 ．说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中， 解法较简．典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A 、B 两点， 求 AB 的最小值．分析：本题可分 2 和 2两种情况讨论．当 2 时，先写出 AB 的表达式， 再求范围．解：(1) 若 2 ，此时 AB 2p ．11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时， y 1y 2 P 214，故MN1AB ：y tan (x 2p )，即 x ta y n说明：(2) 若 2 ，因有两交点，所以 0．代入抛物线方程，有 ta 2 3n p y tan p 2 0 ．故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p ．因 2 ，所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ，当 2 时， AB 最小值 2p ．(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论；的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AA ' AF 1 2， 又 AA ' // x 轴 1 3 ． ∴ 2 3，同理 4 6 ， 而 2 3 6 4 180 ，∴ 3 6 90 ，∴ A 'FB ' 90 ．选 C ．②过AB 中点 M 作MM ' l ，垂中为 M '，∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切，切点为 M ' ．又 F ' 在圆的外部，∴ AF 'B 90 ． 特别地，当 AB x 轴时， M '与 F '重合， AF 'B 90 ．即 AF 'B 90 ，选 B ．典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)， F 为抛物线 y 2 2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动， 当 PM PF 取最小值时，点 P 的坐标为 __________ ．分析： 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义，结合图形则问题不难解决．1 由定义知PF PE ，故PM PF PF PM ME MN 3 ．取等号时，M 、P、E三点共线，∴ P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为(2, 2) ．。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（ ）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得， 所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14． 当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14， 解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系． 抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ， 根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±． 故答案为：b =±． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4， 整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ． 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝﹣34． 将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解． 【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒； （2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ， 又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可 【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5； （2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3， 当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。