高中数学专题_抛物线

高中数学必修五抛物线的定义知识点
高中数学抛物线的定义知识点(一)
抛物线方程
1设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
图形
焦点
准线
范围
对称轴轴轴
顶点(0，0)
离心率
焦点
注：①顶点
.
②则焦点半径
;则焦点半径为
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④(或)的参数方程为
(或
)(为参数).
高中数学抛物线的定义知识点(二)
抛物线的性质(见下表):
抛物线的焦点弦的性质：
关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是
抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点
的两条切线交于点M(x0，y0)，则
(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F.。

《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x ay 12=，a p 12=∴①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=x y kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==．两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S Θ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可．证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥Θ则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF Θ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴kk 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ则323211522<+-≤k 即3252<≤x ．3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k Θ 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ．设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ，221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=．(2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ．)2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值．说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论；(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =；(3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．典型例题十二例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。

高中数学解析几何抛物线大题
抛物线大题：
一、抛物线的定义
1、抛物线是二次曲线的一种，它的方程式一般可表示为
$y=ax^2+bx+c$，当$a<0$时，得到的曲线是向下凹的，即为抛物线。

2、抛物线的凹顶是位于曲线上一点，它是抛物线上最高点，也称为顶点，当a<0时，顶点的坐标为$( -\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a} )$。

二、抛物线的过程
抛物线的运动轨迹实际上是一个二次函数的图形，它的轨迹可以概括为如下四个特点：
1、抛物线最开始是一条负斜率直线，也就是抛出物体时在水平移动，且斜率为负数。

2、当抛物线经过顶点，斜率从负值变为正值，即抛物线开始反弹Test 栏。

3、当抛物线接近水平线时，斜率极小，且小于零，此时抛物线开始向下倾斜。

4、当抛物线趋于水平线时，斜率终于变成负数，到达最终形状，也就是它在水平线上的运动。

三、抛物线的应用
抛物线的应用非常广泛，如：
1、抛物线在现实世界中被广泛应用于物理、力学及许多其他领域，如抛物线运动、摆动运动等。

2、抛物线在计算机图形学中被用于表示图形的光滑与曲线，以及在人工智能中用于处理数字图像。

3、抛物线也常常被用于描述经济上的一些需求量及供给量等关系，以便进行更合理的调控。

四、抛物线的性质
抛物线的一些基本性质有：
1、轴对称性：抛物线所围成的图形与其凹顶点关于y轴对称。

2、放射性：抛物线与任一垂线所形成的三角形均具有放射性。

3、相反照应：抛物线与任一对称轴所形成的图形是反照的。

4、重心：抛物线的重心坐标为$( \frac{a}{3},\frac{-b^2}{9a})$。

2.4 抛物线1.定义平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。

另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。

定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=—2px上开口抛物线:x^2=2py下开口抛物线:x^2=—2pyp为焦准距（p>0）抛物线的标准方程有四个：（开口向右）；（开口向左）；（开口向上）；（开口向下）；在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2；在抛物线y^2=—2px 中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2；在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2；在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；抛物线3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P4.它的解析式求法：以焦点在X轴上为例知道P（x0,y0)令所求为y^2=2px则有y0^2=2px0∴2p=y0^2/x0∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x5.抛物线的一段的面积和弧长公式面积 Area=2ab/3弧长 Arc length ABC=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)6..其他抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x-h）^2 + k就是y等于a乘以（x-h）的平方+kh是顶点坐标的xk是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是&nbsp;：yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py7.关于抛物线的相关结论过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A （x1,y1)，B(x2,y2),有① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2②焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]③（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）⑥弦长公式：AB=x1+x2+p⑦△=b^2-4ac⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根⑶△=b^2-4ac<0没实数根⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

高中数学抛物线抛物线是数学中的一种曲线，它的特点是呈现出对称性和开口朝上或朝下的形状。

在高中数学中，我们经常会遇到抛物线的相关知识，包括抛物线的标准方程、顶点坐标、焦点坐标等等。

本文将围绕抛物线展开讨论，介绍一些与抛物线相关的基本概念和性质。

一、抛物线的定义和基本性质抛物线可以用数学形式表示为二次函数的图像。

一般来说，抛物线可以分为开口朝上和开口朝下两种情况。

对于开口朝上的抛物线，其标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0；而对于开口朝下的抛物线，其标准方程为y = -ax^2 + bx + c，其中a不等于0。

抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的对称轴与抛物线的交点。

对于标准方程y = ax^2 + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)表示函数y = ax^2 + bx + c。

二、抛物线的焦点和准线抛物线还有两个重要的特殊点，即焦点和准线。

对于开口朝上的抛物线，焦点位于抛物线的顶点上方，对称轴与焦点之间的距离称为焦距；而对于开口朝下的抛物线，焦点位于抛物线的顶点下方。

焦点的坐标可以通过公式((-b/2a), (1-4ac-b^2)/4a)求得。

准线是与对称轴平行且与焦点相切的直线，其方程为y = (1+4ac-b^2)/4a。

三、抛物线的图像和应用抛物线的图像具有很多特点和应用。

首先，抛物线是对称的，对称轴是抛物线的一条重要特征，它将抛物线分为两个完全对称的部分。

这种对称性质使得抛物线在几何中有广泛的应用，例如建筑物的设计、桥梁的结构等。

抛物线还具有最值性质。

对于开口朝上的抛物线，最低点就是顶点，也是抛物线的最小值；而对于开口朝下的抛物线，最高点就是顶点，也是抛物线的最大值。

这一性质在实际问题中有着广泛的应用，例如求解最优化问题、确定物体的最佳轨迹等。

抛物线还与抛物运动密切相关。

抛物线可以用来描述抛出物体在无阻力情况下的运动轨迹，例如抛出的物体在空中飞行的轨迹、水平抛出的物体在竖直方向上的运动等。

抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

第7讲　抛物线1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的考试要求简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解抛物线的简单应用.01聚焦必备知识知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质常用结论夯基诊断××√×2.回源教材(1)抛物线y 2＝10x的焦点到准线的距离是________.答案：5抛物线的方程为y 2＝10x ，则p ＝5，所以抛物线y 2＝10x 的焦点到准线的距离是5.(2)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为________.(3)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________.答案：202突破核心命题例1　(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ⊥l ，交l 于D .若|AF |＝4，∠DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为________.考 点 一　抛物线的方程与几何性质答案：y 2＝4x(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练1　(1)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )C答案：16例2　(2024·福州质检)在平面直角坐标系Oxy 中，动点P (x ，y )到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P 的轨迹方程为( )A.y 2＝2xB.y 2＝4xC.y 2＝－4xD.y 2＝－8x考 点 二抛物线的定义及应用考向 1求轨迹方程DD　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.例3　若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为__________.2最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.反思感悟DA考 点 三抛物线的综合问题1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.反思感悟训练3　过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.03限时规范训练(六十三)A级　基础落实练1.(2023·临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对B称的点为(0，－9)，则C的方程为( )A.x2＝6yB.x2＝12yC.x2＝18yD.x2＝36y2.(2024·昆明一中月考)过抛物线y2＝8x的焦点的直线l与抛物线相交于M，N两点.若M，N两点到直线x＝－3的距离之和等于11，则这样的直线l(　C　)A.不存在B.有且仅有一条C.有且仅有两条D.有无穷多条C　由题意知M，N两点到准线x＝－2的距离之和等于9，由抛物线定义得|MN|＝9.又抛物线y2＝8x的通径长为2p＝8＜|MN|＝9根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选C.图① 图②A.1 B.2C.3D.4ABB6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中ACD点，则下列结论正确的是( )A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10。

抛物线专题复习一、抛物线的知识点：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 02x p PF)(21x x p AB22ppx yxyOFl,0x 轴0,2p2p x1e 02x p PF)(21x x p AB22ppy x,0y轴2,0p 2p y1e 02y p PF)(21y y pAB 022ppy x,0y轴2,0p 2p y1e 02y p PF)(21y y p AB 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：pd 2AB 为抛物线px y 22的焦点弦，则BA x x 42p，B A y y 2p ，||AB =px x BA考点 1 抛物线的定义[例1 ]已知点P 在抛物线x y42上，则点P 到点)1,2(Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为考点 2 抛物线的标准方程[例2 ]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点)2,3(； (2)焦点在直线240xy 上考点 3 抛物线的几何性质[例3 ]设B A,为抛物线px y22上的点,且O AOB(2为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______[例4 ]设F 是抛物线2:4G xy 的焦点．（I ）过点(04)P ，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0FBFA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值．二．基本题型1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621x x ，那么||AB =( )（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知抛物线22(0)ypx p的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列，则有（）A ．321x x x B ．321y y y C ．2312x x x D. 2312y y y 3．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）64．过抛物线02aaxy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则||1||1QF PF （）（A ）a 2（B ）a21（C ）a4（D ）a45．已知抛物线C ：24y x 的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为()A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则11FB A （）A. 45B. 60C. 90D.1207．两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且,b a则抛物线2()y b a x 的焦点坐标为（）A ．1(0,)4 B ．1(0,)4 C ．1(,0)2 D ．1(,0)48．抛物线,42F x y的焦点为准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l ABA 垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（）A ．33B ．34C ．36D．389．已知抛物线C ：212xy ,过点(0,4)A 和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是()A ．(,1)(1,)B. 22(,)(,)22C ．(,22)(22,)D ．(,22)(2,)10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x 上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21N nx x x n 成等差数列且45921x x x ，则||5F P =（）．A ．5B ．6C ．7D ．911．设O 是坐标原点，F 是抛物线24yx 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA为．12．若直线10axy 经过抛物线24yx 的焦点，则实数a13．若抛物线22ypx 的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p 的值14．(文)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．15．抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点M ,为准线与y 轴的交点A ,为抛物线上一点,且3||,17||AF AM ，求此抛物线的方程．16．在抛物线24y x 上求一点，使该点到直线45y x 的距离为最短，求该点的坐标．17．设抛物线22y px (0p )的焦点为,F 经过点F 的直线交抛物线于B A,两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．18．已知直线b xy 与抛物线px y220p 相交于A 、B 两点，若OB OA，（O 为坐标原点）且52AOB S ，求抛物线的方程．19．椭圆12222by ax 上有一点)59,4(在抛物线px y22（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求||||NQ MN 的最小值.20．椭圆C 1：2221(04xy b＜b ＜2)的离心率e3,2抛物线C 2：22(x py p ＞0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过(1,0)M 的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．21．已知抛物线C ：24yx 的焦点为,F 过点(1,0)K 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为 D.(1)证明：，点F 在直线BD 上；(2)设8.9FA FB求BDK 的内切圆M 的方程．20．(文)[解析](1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝ca ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. ∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y.(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，E(x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，(理)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由y ＝k x ＋1x 2＝4y得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0. 21．[解析]设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4①直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1x －y 224令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F(1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±4m 2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t<1)，M(t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为x －192＋y 2＝49. 例4（I ）设切点24x Q x ，．由2xy ，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为200()42xx yx x ．即20424x xyx．因为点(0)P ，在切线上．所以2044x，2016x，04x ．所求切线方程为24y x ．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k．因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1ykx ．点A C ，的坐标满足方程组214y kx xy ，，得2440xkx，由根与系数的关系知121244.x x k x x ，2222212121212()()1()44(1)ACx x y y k x x x x k ．因为ACBD ，所以BD 的斜率为1k，从而BD 的方程为11yx k ．同理可求得22214(1)41k BD kk．2222218(1)18(2)322ABCDk S AC BDk kk≥．当1k时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．。

抛物线考纲要求1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．知识梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线． (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切．2．顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________． 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .3．抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________． 答案 2解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2.4．(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9答案 C解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.故选C.5．(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP答案 B解析 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，P (x 0，y 0)(x 0>0)，则Q ⎝⎛⎭⎫－p 2，y 0，F ⎝⎛⎭⎫p2，0，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为py 0，又线段FQ 的中点为⎝⎛⎭⎫0，y 02，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02＝py 0(x －0)，即2px －2y 0y ＋y 20＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20＝0，又2px 0＝y 20，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上，故选B.6．(2021·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]．考点一 抛物线的定义及标准方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－12y 或y 2＝16xB ．x 2＝12y 或y 2＝－16xC ．x 2＝9y 或y 2＝12xD ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3，所以p ＝6， 此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1C ．32D ．2答案 B解析 设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.3．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 感悟升华 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)抛物线焦点到准线的距离为p .2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．考点二 抛物线的几何性质【例1】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1,0)D ．(2,0)(2)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时， ∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2答案 (1)B (2)A解析 (1)将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2,2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.故选B.(2)过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D (图略)．因为∠OF A ＝120°，所以∠BAF ＝60°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.故选A.感悟升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练1】 (2021·长春质量监测)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF |＝|BF |，O 为坐标原点，则|AF ||OF |＝( )A.43 B ．34C ．4D ．54答案 A解析 由题意，知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线l ：y ＝－p 2. 作AE ⊥l 于点E ，BG ⊥l 于点G ，过点A 作AD ⊥BG 于点D ，交y 轴于点H ，设|AF |＝x ，则|BF |＝3x .由抛物线的定义，知|AE |＝|AF |＝x ，|BG |＝|BF |＝3x ，|AB |＝x ＋3x ＝4x ，|BD |＝3x －x ＝2x ，|FH |＝p －x .由△AHF ∽△ADB ，得|AF ||AB |＝|FH ||BD |，即x 4x ＝p －x 2x ，解得x ＝23p ，所以|AF ||OF |＝23pp 2＝43，故选A.考点三 与抛物线有关的最值问题角度1到焦点与定点距离之和(差)的最值问题【例2】点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|P A|＋|PF|的最小值为________；(2)|P A|－|PF|的最小值为________，最大值为________．答案(1)3(2)－2 2解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|P A|＋|PF|＝|P A|＋|PH|，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在F A延长线上时，|P A|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|P A|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|P A|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.感悟升华 1.解决到焦点与定点距离之和的最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题．2．到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取得最值．角度2到点与准线的距离之和的最值问题【例3】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x ＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.感悟升华 解决到点与准线的距离之和的最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．角度3 动弦中点到坐标轴距离的最短问题【例4】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B ．32C ．1D ．2答案 D解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 感悟升华 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解． 角度4 焦点弦中的距离之和的最小问题【例5】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 答案 2解析 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.感悟升华 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值． 角度5 到定直线的距离的最小问题【例6】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 答案 43解析 法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二 对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.感悟升华 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值．【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2,1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________． 答案 (1)A (2)17－1解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1,0)．依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1. 考点四 直线与抛物线的综合问题【例7】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l 的方程为y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0，则x 1＋x 2＝－12t －19. 从而－12t －19＝52，得t ＝－78(满足Δ>0)． 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.所以A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故|AB |＝4133. 感悟升华 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【训练3】 (2020·汉中模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程．解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2km k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2－km k 2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝⎛⎭⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，k DE ·k ＝－1，即⎩⎨⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝⎛⎭⎫2－km k 2－32＋⎝⎛⎭⎫2k 2＝6，整理可得⎝⎛⎭⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0， 故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.抛物线的几个“二级结论”的应用抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B ．92C ．5D ．6答案 B[通法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[优解]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B ．938C ．6332D ．94答案 D[通法]由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.[优解]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6C ．163D ．203答案 C[通法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[优解]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 思维升华 解决抛物线的焦点弦问题，应掌握通性通法，活用二级结论，提升数学抽象核心素养.A 级 基础巩固一、选择题1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1C ．12D ．14答案 D解析 抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14.故选D.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14答案 D解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14.故选D.3．(2021·河南中原名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1C ．54D ．74答案 C解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C.4．(2021·衡水调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .5．(2021·江西五校协作体联考)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( ) A ．15° B ．30°C ．45°D ．60°答案 B解析 分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°.故选B.6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2C ．115D ．3答案 B解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.二、填空题7．(2020·新高考山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案163解析 由题意得，抛物线焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．9．(2021·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________． 答案 3解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 三、解答题10．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． ∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．11．(2021·安徽六校第二次联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (a,3)，点P 为抛物线C 上的动点．(1)若|P A |＋|PF |的最小值为5，求实数a 的值；(2)设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，求△OP A 的面积．解 (1)由题意知F (1,0)，当线段AF 与抛物线C 没有公共点，即a >94时，设点P 在抛物线准线x ＝－1上的射影为D ，则D ，P ，A 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AD |＝a －(－1)＝5，此时a ＝4； 当线段AF 与抛物线C 有公共点，即a ≤94时，则A ，P ，F 三点共线时，|P A |＋|PF |有最小值，为|AF |＝a －12＋32＝5，此时a ＝－3.综上，实数a 的值为－3或4.(2)因为∠MOA ＝∠MAO ＝∠AOF ，所以MA ∥x 轴且|MO |＝|MA |＝|MP |，设M (t,3)，则P (2t,6)，代入抛物线C 的方程得2t ＝9，于是|MO |＝|MA |＝|MP |＝3132，所以S △OP A ＝12|MA |·|y P |＝9132. B 级 能力提升12．(2021·银川联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝9.∵半径为3的圆C 过点O ，F ，且与抛物线的准线l 相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，⎝⎛⎭⎫p 2－a 2＋b 2＝9，3＝a ＋p 2⇒⎩⎨⎧ p 2－a ＝a ，a ＝3－p 2⇒p ＝4.故选C. 13．(2020·贵阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在双曲线C ：x 24－y 22＝1的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|OF |＝|PF |，则△PFO 的面积为________．答案 23解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，双曲线C ：x 24－y 22＝1的渐近线方程为x ±2y ＝0， 不妨设P 在渐近线x －2y ＝0上，可设P (2m ，m )，m >0，由|OF |＝|PF |可得2m －12＋m 2＝1，解得m ＝223， 则△PFO 的面积为12|OF |·|y P |＝12×1×223＝23. 14．(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明 设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12. 由⎩⎨⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。

高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。

它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。

说明：1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。

【解题方法指导】例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。

解析：设所求抛物线的方程为或设交点（y1>0）则，∴，代入得∴点在上，在上∴或，∴故所求抛物线方程为或。

例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。

解析：证法一：由题意知抛物线的焦点故可设过焦点的直线的方程为由，消去得设，则∵∥轴，且在准线上∴点坐标为于是直线的方程为要证明经过原点，只需证明，即证注意到知上式成立，故直线经过原点。

证法二：同上得。

又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。

于是，知三点共线，从而直线经过原点。

证法三：如图，设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足则∥∥，连结交于点，则又根据抛物线的几何性质，∴因此点是的中点，即与原点重合，∴直线经过原点。

高中数学-抛物线知识点抛物线是数学中的重要概念，广泛应用于几何学和物理学中。

本文将介绍高中数学中与抛物线相关的知识点。

1. 抛物线的定义和特征- 抛物线是由平面上一动点P和一定点F以及到F的距离与到直线l的距离相等的所有点P的轨迹形成的曲线。

- 抛物线的特征是对称性，即关于对称轴对称。

对称轴是通过焦点F的垂直于直线l的直线。

- 抛物线的焦点F与对称轴的交点称为焦点，对称轴上的任意一点P到直线l的距离称为焦距。

2. 抛物线的方程- 抛物线的一般方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

- 抛物线的判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以判断抛物线的开口方向和与x轴的交点个数。

3. 抛物线的图像和性质- 当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。

- 抛物线的顶点是极小值点或极大值点，具有最值性质。

- 抛物线的对称轴与x轴的交点是抛物线的零点，也是方程的实根。

- 抛物线的导数表示斜率，斜率为0时对应抛物线的顶点。

4. 抛物线的应用- 抛物线可用于描述物体在一定条件下的运动轨迹，如炮弹抛体运动、射击训练等。

- 抛物线的最值性质可应用于优化问题，如求解最大最小值等。

- 抛物线的几何性质可应用于建筑设计、桥梁设计等。

以上是高中数学中关于抛物线的基本知识点。

抛物线作为基础的数学概念，为其他数学和物理学知识的研究奠定了坚实基础。

参考资料：- 高中数学教材- 数学知识网站。

高中数学抛物线题型归类高中数学抛物线题型归类一、基础知识1、抛物线的定义：平面上，到一个定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的集合。

2、抛物线的标准方程：右开口抛物线的标准方程为 y^2 = 2px，左开口抛物线的标准方程为 y^2 = -2px，上下开口抛物线的标准方程为 y^2 = 2p(x + k) 和 y^2 = 2p(x - k)。

3、抛物线的性质：抛物线是平滑的曲线，它关于轴、轴和原点对称，它的焦点在直线上，它的准线与直线的交点在对称轴上。

二、常见题型1、抛物线的定义题例1. 已知抛物线的方程为y^2 = 4x，F是抛物线的焦点，准线与对称轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B 两点，求证：AF、MF、BF成等比数列。

解：设A、B的横坐标分别为x1、x2，根据抛物线的定义，得|AF| = x1 + 1，|MF| = -1，|BF| = x2 + 1，因为x1 + x2 = 4，所以(x1 + 1)^2 = (x2 + 1)(4 - x2)，即x1^2 + 2x1 - 3x2 - 4 = 0，由此得到(x1 + 3)(x1 - 4) = -3(x2 + 1)，即x1x2 = -12，所以|AF||BF| = |MF|^2，即AF、MF、BF成等比数列。

2、抛物线的标准方程题例2. 已知抛物线的焦点在y轴上，且经过点A(0, 6)和B(6,0)，求此抛物线的标准方程。

解：设此抛物线的标准方程为 x^2 = 2py(p > 0)，因为抛物线经过点A(0, 6)，所以6 = 2p，解得p = 3，因此此抛物线的标准方程为 x^2 = 6y。

3、抛物线的几何性质题例3. 已知抛物线y^2 = ax(a > 0)上有两个不同的点A和B，它们的横坐标分别为x1、x2，且满足条件x1^2 + x2^2 = a^2 + 6a - 8。

求证：直线AB的斜率为-4a。

解：因为A和B是抛物线上的两个不同的点，所以可以设它们的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。

高中数学抛物线知识点高三网高中数学抛物线知识点在高中数学学习中，抛物线是一个重要的数学概念。

它是一个非常基础也是比较常见的曲线形状，广泛应用于数学和物理的领域。

本文将介绍一些与高中数学抛物线相关的知识点，包括定义、特征和一些典型问题的解决方法。

1. 抛物线的定义抛物线是平面上的一类曲线，其定义可以通过几种不同的方式描述。

一种常见的定义是：抛物线是一个平面上所有距离一个定点（称为焦点）和一条直线（称为准线）的距离相等的点的集合。

换句话说，对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F 的距离等于它到准线 L 的距离。

2. 抛物线的标准方程抛物线的标准方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数。

这个方程中的a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b决定了抛物线在x轴上的平移，而c决定了抛物线在y轴上的平移。

3. 抛物线的对称性抛物线具有对称性。

即抛物线的焦点和准线之间存在一条对称轴，对称轴垂直于准线，并通过抛物线的顶点。

对称轴的方程为x = -b/2a。

这意味着，抛物线上的任意一点P(x,y)，与对称轴上的点P'(-x,y) 关于对称轴对称。

4. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。

焦点F(x,y)距离准线的距离称为抛物线的焦距。

焦点的坐标可以通过方程的系数计算得出。

准线的方程为y = -b/2a。

5. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最高或最低点，也是对称轴与抛物线的交点。

顶点的坐标可以通过将对称轴的x值代入抛物线方程计算得出。

6. 抛物线的性质抛物线具有许多有趣的性质。

例如，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

这一性质被称为焦准线性质。

此外，抛物线的切线在切点处与对称轴垂直，这意味着切线的斜率为零。

这些性质对于解决抛物线相关的问题至关重要。

7. 抛物线的应用抛物线广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

高二数学抛物线知识点在高中数学中，抛物线是一个重要的几何形状，它在物理、工程和计算机科学等领域中都有广泛的应用。

学习抛物线的知识可以帮助学生更好地理解和应用数学原理。

在高二数学课程中，学生将会学习关于抛物线的基本概念、性质和相关公式。

本文将以多个方面来介绍高二数学中的抛物线知识点。

一、抛物线的基本定义抛物线是一种特殊形状的二次曲线，它由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。

具体而言，抛物线是所有到焦点距离和到准线距离相等的点组成的图形。

抛物线由一个开口向上或向下的弧线组成，其形状特征能够通过方程或者图形来描述。

二、抛物线的标准方程在高二数学中，抛物线的标准方程是一个重要的知识点。

对于一个开口向上或向下的抛物线，其标准方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。

通过标准方程，我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及其他重要属性。

三、抛物线的顶点和焦点抛物线的顶点是图形的最高点或最低点，它在数学问题中起到重要的定位作用。

对于一个开口向上或向下的抛物线，顶点的 y 坐标是抛物线函数的最大值或最小值。

顶点坐标可以通过标准方程或者其他数学方法来确定。

抛物线的焦点是抛物线曲线和准线的交点，它在抛物线的几何构造中发挥重要作用。

焦点坐标的确定同样可以通过标准方程来实现。

焦点是抛物线的特殊点之一，它在许多物理和工程问题中具有重要的几何意义。

四、抛物线的对称性和切线抛物线具有一些重要的几何性质，其中之一是对称性。

对称轴是指通过抛物线顶点并垂直于准线的直线。

抛物线关于对称轴具有对称性，即对称轴上的任意点关于对称轴可以找到另一个点与之对称。

对称性是抛物线在计算和应用中的一个重要特征。

在抛物线上的每个点处，可以找到一条切线，它与该点的切点相切于抛物线。

切线是指与曲线仅仅在某一个点处相切的直线。

切线的斜率与抛物线在该点的斜率相等，因此可以通过求导来求得切线的斜率。

切线在计算动力学和微积分问题中有广泛的应用。

2 抛物线1．抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F 叫做抛物线的焦点。

定直线l 叫做抛物线的准线。

y2 = 2px （p ＞0） 2．抛物线的对称性关于X 轴对称，没有对称中心，因此，抛物线又叫做无心圆锥曲线。

而椭圆和双曲线又叫做有心圆锥曲线3．抛物线的顶点定义 ：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点 只有一个顶点 4．抛物线的离心率 所有的抛物线的离心率都是 11. 如图所示：直线l 过抛物线px y 22 的焦点，并且与这抛物线相交于A 、B 两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线．分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论；别一方面也可以根据l 上任一点到C 、D 距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线，因为直线l 与抛物线交于A 、B 两点，所以直线l 的斜率存在，且不为零；直线CD 的斜率存在，且不为0．设C 、D 的坐标分别为)2,2(121pt pt 与)2,2(222pt pt ．则211t t k CD +=∴l 的方程为)2()(21p x t t y -⋅+-= ∵直线l 平分弦CD∴CD 的中点))(),((212221t t p t t p ++在直线l 上， 即]2)()[()(22212121p t t p t t t t p -++-=+，化简得：0)21)((222121=+++t t t t p 由0)(21≠+t t p 知0212221=++t t 得到矛盾，所以直线l 不可能是抛物线的弦CD 的垂直平分线．证法二：假设直线l 是弦CD 的垂直平分线 ∵焦点F 在直线l 上，∴DF CF =由抛物线定义，),(),,(2211y x D y x C 到抛物线的准线2px -=的距离相等． ∵2121,y y x x -==，∴CD 的垂直平分线l ：0=y 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾，下略．2. 设过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直，求抛物线顶点O在AB 上射影N 的轨迹方程．分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N 看成定点),(00y x ；待求得00y x 、的关系后再用动点坐标)(y x ，来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算．解法一：设),,(),,(),,(002211y x N y x B y x A则：2221212,2px y px y ==，22221214p y y x x ⋅=∴OB OA ⊥ ，1-=⋅∴O B O A k k 即02121=+y y x x042122221=+∴y y py y 021≠y y ，2214p y y -=∴ ①把N 点看作定点，则AB 所在的直线方程为：),(000x x y x y y --=-显然00≠x 0200)(x y x y y x -+-=∴代入,22px y =化简整理得：0)(222020020=+-+y x p y py y x 00≠∴x ，0202021)(2x y x p y y +-=∴ ② 由①、②得：020202)(24x y x p p +-=-，化简得)0(02002020≠=-+x px y x用x 、y 分别表示00y x 、得：)0(0222≠=-+x px y x解法二：点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设)2,2(2pt pt A ，则以OA 为直径的圆方程为：)()()(242222t t p pt y pt x +=-+-022222=--+pty pt y x ①设)2,2(121pt pt B ，OA ⊥OB ，则tt t t 1111-=⇒-= 在求以OB 为直径的圆方程时以t1-代1t ，可得022)(222=+-+pty px y x t ②由①＋②得：0)2)(1(222=-++px y x t)0(0222≠=-+∴x px y x3.如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，7=AM ，3=AN ，且6=BN ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．分析：因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C 所满足的抛物线方程．【解析】以1l 为x 轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．由题意，曲线段C 是N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、B x 为A 、B 的横坐标令,p MN =则)0,2(),0,2(pN p M -，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++92)2(172)2(22A A A Apx p x px p x解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p∵△AMN 为锐角三角形，∴A x p>2，则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262=-=-=∴pBN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82>≤≤=y x x y4.如图所示，设抛物线)10(22<<=p px y 与圆9)5(22=+-y x 在x 轴上方的交点为A 、B ，与圆27)6(22=+-y x 在x 由上方的交点为C 、D ，P 为AB 中点，Q 为CD 的中点．（1）求PQ ．（2）求△ABQ 面积的最大值．分析：由于P 、Q 均为弦AB 、CD 的中点，故可用韦达定理表示出P 、Q 两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ ．【解析】（1）设),(),,(),,(),,(),,(),,(2211y x Q y x P y x D y x C y x B y x A D D C C B B A A由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 29)5(222得：016)5(22=+--x p x ，P x x x BA -=+=∴521 2198)5(222222)(222p p p p x x x x p x x p y y y BA B A B A B A -=+-=++=+=+=由⎪⎩⎪⎨⎧==+-pxy y x 227)6(222得09)6(22=+--x p x ， p x x x DC -=+=∴622 )(2222D C D C x x p y y y +=+=同1y 类似，229p p y -=则0,12121=-=-y y x x ，1=∴PQ（2）B A B A APQ ABQ x x P y y PQ S S S B P Q -=-⋅=+=∆∆∆2221)1(821022p p p P-=--=10<<p ，∴当21=p 时，ABQ S ∆取最大值21．5.已知直线l 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且点)0,1(-A 和点)8,0(B 关于直线l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．分析：设出直线l 和抛物线C 的方程，由点A 、B 关于直线l 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设α=∠Ox B '，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线C 的方程为px y 22=)0(>p ，直线l 的方程为kx y =)0(≠k ， 则有点)0,1(-A ，点)8,0(B 关于直线l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅+-⋅=,11,2121111k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=;12,1121221k k y k k x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=+,18,2282222k x y x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.1)1(8,11622222k k y k k x 如图，'A 、'B 在抛物线上∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+-+-⋅=+.1162)1()1(64,112)1(42222222222k k p k k k k p k k 两式相除，消去p ，整理，得012=--k k ，故251±=k ， 由0>p ，0>k ，得251+=k ．把251+=k 代入，得552=p ． ∴直线l 的方程为x y 251+=，抛物线C 的方程为x y 5542=．解法二：设点A 、B 关于l 的对称点为),(11'y x A 、),(22'y x B ，又设α=∠Ox B '，依题意，有1'==OA OA ，8'==OB OB ．故αcos 82=x ，αsin 82=y ． 由︒=∠90BOA ，知︒=∠90''OA B ．∴ααsin )90cos(1=︒-=x ，ααcos )90sin(1-=︒-=y ． 又01>x ，02>x ，故α为第一象限的角． ∴)cos ,(sin 'αα-A 、)sin 8,cos 8('ααB ．将'A 、'B 的坐标代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧==.cos 16sin 64,sin 2cos 22ααααp p ∴αα33cos sin 8=，即21tan =α从而55sin =α，552cos =α， ∴552=p ，得抛物线C 的方程为x y 5542=．又直线l 平分OB B '∠，得l 的倾斜角为︒+=-︒+452290ααα． ∴251sin 1cos )90cos(1)90sin()452tan(+=-=︒++︒+=︒+=αααααk ． ∴直线l 的方程为x y 251+=． 说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握．。