云南省昆明市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析

三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（ ）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误 故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率． 【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲 故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（ ） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（ ）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误； 对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可 【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===， 不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-， 又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=， 且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确； 故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥， 又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角； 长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________． 【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解 【详解】 由题得：22111sec csc x x+=， 所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=， 在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ． 设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论 【详解】 （1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒， 解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==， 在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒， 因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==， 如图所示：所以1,2AB a nπθ==， 在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==， 所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； （2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值． 【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。

云南省丽江市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数21,0 ()2ln(1),0x x xf xx x⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx=-有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B．112⎛⎫⎪⎝⎭，C．(0,1)D．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，【答案】B【解析】【分析】根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x=为()()g x f x kx=-的一个零点；对于当0x<时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x<即可求得k的范围；对于当0x>时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k的范围.综合后可得k的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数()()g x f x kx=-的零点，即()f x kx=.由图像可知，(0)0f=，所以0x=是0()f x kx-=的一个零点，当0x<时，21()2f x x x=-+，若0()f x kx-=，则212x x kx-+-=，即12x k=-，所以12k-<，解得12k<；当0x >时，()ln(1)f x x =+， 则1()1f x x '=+，且()10,11x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.2．设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A ．()0-∞，B ．()23，C ．()()023-∞⋃，， D ．()3-∞， 【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案. 【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 3． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-， ∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】 【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题. 5．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．210B 26C 13D 13 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值. 【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设AB 的中点为O ，建立空间直角坐标系如下图所示.所以()()()()10,2,8,0,2,4,0,2,0,23,0,6A E A F---，所以()()10,4,4,23,2,6A E AF =-=-u u u r u u u r.所以异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为11824261342213A E AF A E AF⋅-==⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u ur . 故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题. 7．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.8．函数()2x x e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．9．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题. 10．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 11．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.12．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sin 55αα==2cos sin 2αα+=4825555+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年云南省昆明市“三诊一模”高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={−2,−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−1,1}C. [−1,1]D. {−2,−1,0，1，2}2.已知向量a⃗=(0,3)，b⃗ =(4,0)，则cos<a⃗，a⃗−b⃗ >=()A. 35B. 45C. −35D. −453.给出下列三个结论：①若复数z=(a2−a)+ai(a∈R)是纯虚数，则a=1；②若复数z=2i1+i，则复数z在复平面内对应的点在第二象限；③若复数z满足|z|=1，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆．其中所有正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.2021年3月28日，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”.其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.若某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为()A. 13B. 23C. 15D. 165.△ABC为等腰三角形，且∠C=90°，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为()A. √32B. √22C. √3−1D. √2−16.已知等差数列{a n}的公差为d，有下列四个等式：①a1=−1；②d=1；③a1+a2=0；④a3=3．若其中只有一个等式不成立，则不成立的是()A. ①B. ②C. ③D. ④7.(a+b)n=C n0a n+C n1a n−1b+⋯+C n k a n−k b k+⋯+C n n b n叫做二项式定理，取a=b=1，可得二项式系数的和.执行如图所示的程序框图，如果输入n=8，则输出S=()A. 64B. 128C. 256D. 5128.已知平面α截球O所得截面圆半径为√3，该球面上的点到平面α的距离最大值为3，则球O的表面积为()A. 4πB. 8πC. 16πD. 32π9.智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．已知某噪音的声波曲线y=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)在[−π2,π2]上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为()A. y=2sin(πx+π6) B. y=2√33sin(2π5x−π3)C. y=2√33sin(4π5x−2π3) D. y=2sin(πx−5π6)10.已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k⋅8e−0.1x(k>0)，当x=0时，y的值表示2021年年初的种群数量.若t(t∈N∗)年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，则t 的最小值为()(参考值：ln3≈1.09)A. 9B. 10C. 11D. 1211.设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，点P在C上，若∠F1PF2=π3，且|OP|=3a(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为()A. y=±2√63x B. y=±√64x C. y=±2√155x D. y=±√156x12.已知函数f(x)=e x−a−lnxx−1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (e,+∞)B. (√e2,+∞) C. (12,+∞) D. (1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x−y−1≥0x−y≤0x+y−6≤0，则z=−x+2y的最小值为______ ．14.甲、乙两组数据如表所示，其中a，b∈N∗，若甲、乙两组数据的平均数相等，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则(a,b)为______ .(只需填一组)甲12a b10乙12471115.两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为______ ．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+S n−1=4n2(n≥2,n∈N∗)，则S25=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，A=60°，D为BC边上一点，BD=2CD．(1)若CD=1，求sin C；(2)若△ABC的面积为2√3，求AD的长．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，AB⊥BC，C1在底面ABC上的射影是BC的中点．(1)证明：CB1⊥平面ABC1；(2)若BC=2AB，求CB1与平面ACC1A1所成角的正弦值．19.我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困.某村40户贫困家庭在扶贫工作组的帮助下于2017年全面脱贫，该工作组为了了解脱贫家庭的收入，消费支出，食品支出的关系，在这些脱贫家庭中利用简单随机抽样方法抽取了8户，调查统计这8户家庭每户2019年的年收入x，消费支出y，食品支出z(单位：千元)，整理数据(x i,y i)(i=1,2，⋯，8)得到下面的折线图，由数据(y i,z i)(i=1,2，⋯，8)得到如表．家庭(i)12345678消费支出(y)2730333537404244食品支出(z)910111312111212(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(精确到0.01)，并解释b ̂的现实生活意义；(2)恩格尔系数，是食品支出额占家庭消费支出总额的比重.通常一个家庭收入越少，家庭收入中(或总支出中)用来购买食物的比重越大；一个家庭收入越多，家庭收入中(或总支出中)用来购买食物的比重越小，所以该系数是衡量居民生活水平的有效指标.根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在59%以上为贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，低于30%为最富裕.根据上述样本数据，请估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数．参考数据：∑x i 8i=1=360，∑y i 8i=1=288，∑x i 8i=1y i =13310，∑x i 28i=1=16714．附：回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂==∑x n i=1y−nx −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 设函数f(x)=13x 3−x 2+(1−a 2)x +a 3(a ∈R)的极大值点为x 1，极小值点为x 2．(1)若x 1∈(0,1)，求a 的取值范围；(2)若∃a ∈(0,1]，f(x 1)+f(x 2)≤2m ，求实数m 的取值范围．21. 已知斜率为12的直线与圆x 2+(y −3)2=5相切，切点为T ，且T 在抛物线E ：y 2=2px(p >0)上．(1)求点T 的坐标和E 的方程；(2)已知点M(a,0)，N(2a,0)，R(4a,0)(a >0)，点A 是E 上的任意一点(异于顶点)，连接AM 并延长交E 于另一点B ，连接BN 并延长交E 于另一点C ，连接CR 并延长交E 于另一点D ，设直线AC 与BD 的交点为P.设△PAB 和△PCD 的面积分别为S 1，S 2，证明：S 1S 2为定值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =t,y =2t 2−t +√32(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=2acosθ(a >0)． (1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设射线θ=π3(ρ≥0)与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于M 点(异于O)，若|OM|=|AB|，求a ．23. 已知关于x 的不等式2a +3b +4c ≤|x|+|x −1|(x ∈R)恒成立．(1)求2a +3b +4c 的最大值；(2)当a >−12，b >13，c >−12，2a +3b +4c 取得最大值时，证明：12a+1+13b−1+14c+2≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|−1≤x ≤1}，B ={−2,−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={−1,0，1}． 故选：A ．进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵向量a ⃗ =(0,3)，b ⃗ =(4,0)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)， ∴cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ |⋅|a ⃗ −b⃗ |=93×5=35．故选：A ．先求出a ⃗ −b ⃗ =(−4,3)，再由cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ |⋅|a ⃗ −b⃗ |，能求出结果． 本题考查向量的余弦值的求法，考查向量夹角余弦公式等基础知识，涉及数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：①若复数z =(a 2−a)+ai(a ∈R)是纯虚数，则{a 2−a =0a ≠0，解得a =1，故①正确； ②因为复数z =2i1+i=(1+i)21+i=1+i ，则复数z 在复平面内对应的点(1,1)在第一象限，故②错误；③设z =x +yi(x,y ∈R)，因为复数z 满足|z|=√x 2+y 2=1，所以x 2+y 2=1，即z 在复平面内所对应点的轨迹是圆，故③正确； 综上所述，所有正确结论的个数是2个， 故选：C ．①复数z=(a2−a)+ai(a∈R)是纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，从而可判断①的正误；②化简复数z=2i1+i=1+i，由复数的几何意义可判断②的正误；③设z=x+yi(x,y∈R)，依题意，可得x2+y2=1，可判定③的正误．本题考查复数的代数表示及其几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，基本事件总数n=C62=15，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m=C11C51=5，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P=mn =515=13．故选：A．基本事件总数n=C62=15，其中一个是安宁温泉小镇包含的基本事件个数m=C11C51=5，由此能求出其中一个是安宁温泉小镇的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，涉及数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意△ABC为等腰三角形，且∠C=90°，可知：△ABC是等腰直角三角形，设：BC=2c，AC=2c，AB=2√2c由椭圆的定义可知：2√2c+2c=2a，则椭圆的离心率：e=ca =√2+1=√2−1．故选：D．由题意首先确定△ABC的形状，然后结合离心率的定义和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果．本题考查了椭圆的离心率的求解，等腰直角三角形的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．6.【答案】B【解析】解：假设①②成立，则a 1=−1，d =1，a 1+a 2=−1+0=−1≠0，③不成立，a 3=2≠3，④不成立；故①②不可能同时成立，则③④一定同时成立， 即a 1+a 2=0，a 3=3，所以{2a 1+d =0a 1+2d =3，解得d =2，a 1=−1，所以②不成立． 故选：B ．由已知结合等差数列的通项公式分析各条件即可判断．本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了分析问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =C 80+C 81+C 82+...+C 88的值， 由于(a +b)n =C n 0a n +C n 1a n−1b +⋯+C n k a n−k b k +⋯+C n n bn ， 取a =b =1，n =8，可得(1+1)8=C 80+C 81+C 82+...+C 88=28=256．故选：C ．模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =C 80+C 81+C 82+...+C 88的值，根据已知利用二项式定理即可求解．本题主要考查了程序框图的应用，考查了二项式定理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图，设平面α截球O 所得小圆为圆G ，圆心为G ， 由题意可得，PG =3，AG =√3，再设球的半径为R，则(3−R)2+(√3)2=R2，解得：R=2．∴球O的表面积为4πR2=4π×4=16π．故选：C．由题意画出图形，利用勾股定理求得球的半径，再由球的表面积公式得答案．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：根据曲线y=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)在[−π2,π2]上大致图象，可得Asin(0+π6)=1，∴A=2．再根据五点法作图，可得ω×56+π6=π，∴ω=π，故函数的解析式为y=2sin(πx+π6)，故选：D．由函数的特殊点坐标求出A，由五点法作图求出ω的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的特殊点坐标求出A，由五点法作图求出ω的值，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知y0=k×8e0=8k，∴y1≤14y0，即k⋅8e−0.1t≤14×8k，∴23e−0.1t≤2，∴e−0.1t≤13，∴t≥ln30.1≈10.9．故选：C．利用题中的条件列出等式，表示出k的值，进而可解出结果．本题考查了函数模型的实际应用，指数和对数不等式的解法，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设P 在双曲线的右支上，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 由双曲线的定义可得m −n =2a ，又PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，两边平方可得PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即为9a 2=14(m 2+n 2+2mncos π3)=14[(m −n)2+3mn]=14(4a 2+3mn)， 可得mn =323a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2=m 2+n 2−2mncos π3=(m −n)2+2mn −mn =4a 2+323a 2，化为c =√333a ，则b =√c 2−a 2=2√63a ， 所以双曲线的渐近线方程为y =±2√63x.故选：A ．由双曲线的定义和向量的中点表示，结合三角形的余弦定理，可得a ，c 的关系，求得a ，b 的关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理、向量的中点表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：依题意，e x−a −1=lnx x有且仅有两个根，即函数g(x)=e x−a −1与函数ℎ(x)=lnx x的图象有且仅有两个交点， 而ℎ′(x)=1−lnx x 2，易知函数ℎ(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且x →0时，ℎ(x)→−∞，x →+∞时，ℎ(x)→0，函数g(x)=e x 0−a −1相当于函数y =e x −1在水平方向向左(或右)平移了|a|个单位，作出函数g(x)与ℎ(x)的草图如下，当曲线g(x)与曲线ℎ(x)恰好相切时，设切点为(x 0,y 0)，则{e x 0−a −1=lnxx 0e x 0−a =1−lnx 0x 02，解得{x 0=1a =1， 由图象可知，当a >1时，函数g(x)=e x−a −1与函数ℎ(x)=lnx x的图象有且仅有两个交点，符合题意．故选：D ．依题意，函数g(x)=e x−a −1与函数ℎ(x)=lnx x的图象有且仅有两个交点，作出函数图象，观察图象即可得出答案．本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =02x −y −1=0，解得A(1,1)，由z =−x +2y ，得y =x2+z2，由图可知，当直线y =12x +z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−1+2=1． 故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】(6,6)(其它答案；(5,7)，(7,5)，(4,8)，(8,4))【解析】解：由题意可得，1+2+a+b+10=1+2+4+7+11，所以a+b=12，平均数为5，因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以(1−5)2+(2−5)2+(a−5)2+(b−5)2+(10−5)2<(1−5)2+(2−5)2+(4−5)2+(7−5)2+ (11−5)2，即(a−5)2+(b−5)2<16，所以(a,b)可以为(4,8)，(6,6)，(5,7)，(7,5)，(8,4)．故答案为：(6,6)(其它答案：(5,7)，(7,5)，(4,8)，(8,4))．由平均数相等求出a+b的值，再利用方差列出不等式，求解即可．本题考查了特征是的理解和应用，主要考查了平均数和方差计算公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．15.【答案】√62【解析】解：设这捆书所受的重力为G，进行力的合成，如图所示：根据正弦定理得：{1√32=Gsin75∘2√22=Gsin75∘，∴F1F2=√3√2=√62．故答案为：√62．可设这捆书所受的重力为G，根据力的合成，画出力的合成图形，然后根据正弦定理即可求出F1与F2的大小之比．本题考查了力的合成，正弦定理，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】1297【解析】解：∵S n +S n−1=4n 2(n ≥2,n ∈N ∗)，S n+1+S n =4(n +1)2， 相减可得：a n+1+a n =8n +4，∴S 25=1+8(2+4+⋯…+24)+12×4=49+8×12×(2+24)2=1297．故答案为：1297．由S n +S n−1=4n 2(n ≥2,n ∈N ∗)，S n+1+S n =4(n +1)2，相减可得：a n+1+a n =8n +4，通过分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、分组求和、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)依题意得BD =2，则BC =3，在△ABC 中，由正弦定理得：a sinA =csinC ，即√32=2sinC ，所以sinC =√33．(2)因为S △ABC =12bcsinA =√32b =2√3，所以b =4，由BD =2CD 可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2， =19×22+49×2×4×12+49×42=849，所以AD =2√213．【解析】(1)由已知结合正弦定理即可直接求解sin C ；(2)由已知结合三角形面积公式可求b ，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求． 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，向量数量积的性质，属于中档题．18.【答案】(1)证明：设BC 中点为D ，连结C 1D ，因为C 1在底面ABC 上的射影为BC 中点，所以C 1D ⊥平面ABC ， 又因为C 1D ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面ABC ， 又因为平面ABC ∩平面BCC 1B 1=BC ，AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面BCC 1B 1， 因为B 1C ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥B 1C ，(4分) 又因为四边形BCC 1B 1为菱形， 所以B 1C ⊥BC 1，而AB ∩BC 1=B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1.(6分)(2)解：不妨设BC =2，则AB =1，因为C 1D ⊥BC ，BD =DC ，所以C 1B =C 1C ，又因为四边形BCC 1B 1为菱形，所以C 1C =CB ，故△C 1BC 为等边三角形， 所以∠BCC 1=60°，故C 1D =√3，由(1)知AB ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥BC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系B −xyz 如图，B(0,0，0)，A(0,1，0)，C(2,0，0)，B 1(−1,0,√3)，C 1(1,0,√3)， 所以CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,√3)，(8分)设平面ACC 1A 1法向量为n ⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,√3)， 由{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0， 可得一个n ⃗ =(√3,2√3,1)，(10分) 设CB 1与平面ACC 1A 1所成角为θ，则sinθ=|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=√3+√3|2√3×4=14，所以CB 1与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为14.(12分)【解析】(1)设BC 中点为D ，连结C 1D ，推出C 1D ⊥平面ABC ，得到平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，然后证明AB ⊥平面BCC 1B 1，推出AB ⊥B 1C ，结合B 1C ⊥BC 1，证明B 1C ⊥平面ABC 1．(2)以B 为原点，建立空间直角坐标系B −xyz ，求出平面ACC 1A 1法向量，利用空间向量的数量积求解CB 1与平面ACC 1A 1所成角的正弦值．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意可知，x −=∑x i 8i=18=3608=45，y −=∑y i 8i=18=2888=36， 所以b ̂=∑x i 8i=1y 1−8x −⋅y−∑x i 28i=1−8x−2=13310−8×45×3616714−8×452=175257≈0.681≈0.68，故a ̂=y −−b ̂x −≈36−0.681×45≈5.36，所以y 关于x 的回归方程为y ̂=0.68x +5.36，b ̂的现实意义为年收入每增加1千元，估计消费支出增加0.68千元； (2)由题意可知，8户脱贫家庭的恩格尔系数如下表所示：所以样本中达到最富裕的家庭有3个，估计该村脱贫家庭中达到最富裕的家庭户数为38×40=15(户)．【解析】(1)先求出样本中心，然后利用参考公式求出b ̂,a ̂，即可得到线性回归方程，分析b ̂的现实意义即可；(2)列出8户脱贫家庭的恩格尔系数的表格，由此分析求解即可．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)函数f(x)=13x 3−x 2+(1−a 2)x +a 3(a ∈R)，则f′(x)=x 2−2x +1−a 2=[x −(1−a)][x −(1+a)]，①当1+a =1−a ，即a =0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，与题设矛盾，则a ≠0； ②当1+a <1−a ，即a <0时，f(x)在(−∞,1+a]，[1−a,+∞)上单调递增， 在(1+a,1−a)上单调递减，所以x 1=1+a ，由0<1+a <1，解得−1<a <0； ③当1+a >1−a ，即a >0时，f(x)在(−∞,1−a]，[1+a,+∞)上单调递增， 在(1−a,1+a)上单调递减，所以x 1=1−a ，由0<1−a <1，解得0<a <1．综上所述，a 的取值范围是(−1,0)∪(0,1)；(2)因为f(x)=13(x −1)3−a 2(x −1)+a 3−a 2+13， 所以f(x)图象关于(1,a 3−a 2+13)对称，而x 1+x 22=1，所以f(x 1)+f(x 2)2=f(1)，又因为∃a ∈(0,1]使f(x 1)+f(x 2)≤2m ，即∃a ∈(0,1]使m ≥f(1)=a 3−a 2+13， 令g(x)=x 3−x 2+13，x ∈(0,1]，所以g′(x)=3x 2−2x =x(3x −2)，可得g(x)在(0,23]上单调递减，(23,1]单调递增， 所以g(x)min =g(23)=527，则m ≥527， 综上，m 的取值范围为[527,+∞)．【解析】(1)求出导函数f′(x)，然后根据导函数两个根的大小关系进行分类讨论，由极值的定义确定x 1的值，利用x 1∈(0,1)，求解a 的取值范围即可； (2)利用函数f(x)的对称性，求出f(x 1)+f(x 2)2=f(1)，从而将所求不等式转化为∃a ∈(0,1]，使m ≥f(1)=a 3−a 2+13，构造函数g(x)=x 3−x 2+13，x ∈(0,1]，利用导数求g(x)的最小值，即可得到答案． 本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式存在性问题或恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．21.【答案】(1)解：由已知可得，经过T 和圆心的直线方程为y =−2x +3，代入x 2+(y −3)2=5得5x 2=5，x =1或x =−1(舍去)， 所以T(1,1).(2分)由点T 在抛物线上，得12=2p ×1，所以p =12， 故E 的方程为y 2=x.…(4分)(2)证明：设A(m 2,m)(m ≠0)，直线AB 的方程为x =ty +a ，代入E 的方程，得y 2−ty −a =0，所以my B =−a ，所以y B =−am ，所以B(a 2m2,−am)，同理可得C(4m 2,2m)，D(4a 2m 2,−2am )，直线AC 的方程为y −m =13m (x −m 2)，即x −3my +2m 2=0， 直线BD 的方程为y +am=−m3a (x −a 2m 2)，即x +3a my +2a 2m 2=0．由{x −3my +2m 2=0,x +3a m y +2a 2m 2=0,得y P =23(m −a m )，(8分) 则S 1S 2=12|PA||PB|sin∠APB 12|PC||PD|sin∠APB =|PA||PC|×|PB||PD|=y P −y A y P −y C×y P −y B y P −y D．而y P −y A =23(m −am )−m =−13(m +2am )， y P −y C =23(m −am )−2m =−23(2m +am )， y P −y B =23(m −am )+a m =13(2m +am)， y P −y D =23(m −am)+2a m=23(m +2a m)，所以S1S 2=14是定值．(12分)【解析】(1)求出经过T 和圆心的直线方程为y =−2x +3，代入x 2+(y −3)2=5求出T 的坐标，由点T 在抛物线上，求出p ，然后求解抛物线方程．(2)设A(m 2,m)(m ≠0)，直线AB 的方程为x =ty +a ，代入E 的方程，得y 2−ty −a =0，求出B(a 2m 2,−am )，求出C(4m 2,2m)，D(4a 2m 2,−2a m)，求出直线AC 的方程，直线BD 的方程，然后推出面积的比值的表达式，转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线以及圆的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 1：{x =t,y =2t 2−t+√32(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：y =2x 2−x +√32，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为曲线C 1的极坐标方程为：2ρ2cos 2θ−ρ(sinθ+cosθ)+√32=0；曲线C 2：ρ=2acosθ(a >0).根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为曲线C 2的直角坐标方程为：(x −a)2+y 2=a 2．(2)将θ=π3代入2ρ2cos 2θ−ρ(sinθ+cosθ)+√32=0，得12ρ2−√3+12ρ+√32=0， 即(ρ−1)(ρ−√3)=0， 解得ρ1=1，ρ2=√3， 所以|AB|=|ρ2−ρ1|=√3−1．又|OM|=2acos π3=a ， 而|OM|=|AB|， 所以a =√3−1．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：∵|x|+|x −1|={1−2x,x <01,0≤x ≤12x −1,x >1，作出函数f(x)=|x|+|x −1|的图象如图：由图可知，f(x)的最小值为1，∵不等式2a +3b +4c ≤|x|+|x −1|(x ∈R)恒成立， ∴2a +3b +4c 的最大值为1； (2)证明：∵a >−12，b >13，c >−12，∴12a +1+13b −1+14c +2=(12a +1+13b −1+14c +2)[(2a +1)+(3b −1)+(4c +2)]×13 =(3b −12a +1+2a +13b −1+2a +14c +2+4c +22a +1+4c +23b −1+3b −14c +2+3)×13≥(2√3b −12a +1⋅2a +13b −1+2√2a +14c +2⋅4c +22a +1+2√4c +23b −1⋅3b −14c +2+3)×13=9×13=3．当且仅当a =0，b =23，c =−14时等号成立．【解析】(1)令f(x)=|x|+|x −1|，写出分段函数解析式并作出图象，求其最小值，可得2a +3b +4c 的最大值；(2)由12a+1+13b−1+14c+2=(12a+1+13b−1+14c+2)[(2a +1)+(3b −1)+(4c +2)]×13，展开多项式乘多项式，再由基本不等式证明．本题考查分段函数的应用，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题．。

云南省昆明市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13BC ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =， 所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+， 所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2112sin 3θ-=，解得sin 3θ=（负值舍去），所以椭圆Г的离心率3e =．故选B ． 2．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20 B ．50C ．40D ．60【答案】B 【解析】 【分析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B. 【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.3．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.4．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】令2()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x =有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】令2()()30F x f x kx =-=， 可得2ln 3xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x=有两个交点， Q 312ln ()3xg x x -'=， 令12ln 0x -=，可得x =∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在(,)e +∞上单调递减.∴当e x =时，max 1()6eg x =， ∴若直线y k =和2ln ()3x g x x =有两个交点，则10,6e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=r u u u v u u u v u u u v ，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i iSSλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1 B ．1C ．32-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+，由此可得22232322322()1216S SS S SSS S S Sλλ+=⨯=≤=，当且仅当23S S=时，即P为EF的中点时，等号成立，所以0PE PF+=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE+=u u u r u u u r u u u r，2PA PC PF+=u u u r u u u r u u u r，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以1122PA PB PC++=u u u r u u u r u u u r r，又已知0PA xPB yPC++=u u u r u u u r u u u r r，根据平面向量基本定理可得12x y==，从而132122x y+=+=.故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A．5B．4C．2D．22【答案】D【解析】【分析】先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：2AD = ，3,2,CE SD ==所以2SC DC ==， 所以222222,22SA SDADSB SCBC=+==+=所以该几何体的最长棱的长为22 故选：D 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.8．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【答案】C 【解析】 【分析】将函数()f x 解析式化简，并求得()f x '，根据当[]11,3x ∈时()0f x >′可得()1f x 的值域；由函数()2g x x m =-++在[]21,3x ∈上单调递减可得()2g x 的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得m 的取值范围. 【详解】依题意()()222113311x x x x x f x x x ++++++==++ 121x x =+++， 则()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x >′，故函数()f x 在[]1,3上单调递增， 当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()[]21,1g x m m ∈-+， 则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 9．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.10．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=.本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 11．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2x π=对称，得到223ππϕ⨯+-2k ππ=+，由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ2φk π232⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3y x πϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。