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数学选修1-1基础题型归类

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数学选修1-1基础题型归类
1、常用逻辑用语：
要求：理解必要条件、充分条件与充要条件，会分析四种命题的相互关系；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解全称量词与存在量词，能正确对含有一个量词的命题进行否定.
例1 （1）已知()22:(2)(10)0;:2100p x x q x x m m +-≤-+-≤>，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
（2）写出下列命题的否定，并判断否命题的真假，分析属全称命题还是特称命题：
（i ）有理数是实数； （ii ）有的三角形是直角三角形；
（iii ）每个二次函数的图象都与y 轴相交； （iv ）x R ∀∈，220x x ->.
（3）给出下列四个命题： ① 有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③ x R ∀∈，220x x ->；④ 有一个素数含有三个正因数. 以上命题的否定为真命题的序号依次是 .
练1 （1）令2():210,,()p x ax x x R p x ++>∀∈若对是真命题，则实数a 的取值范围是 .
（2）有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ③命题“若m ≤1，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A ∩B =B ，则A ⊆B ”的逆否命题. 其中是真命题的是 .
（3）命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根. 若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.
2、圆锥曲线定义及方程：
要求：掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程.
1.已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,(1)若12MF MF +=10,则点
M 的轨迹方程是 . (2)若12MF MF +=8, 则点
M 的轨迹方程是 . (3)若12MF MF +=6, 则点
M 的轨迹 . 2.椭圆22
1625400x y +=的长轴与短轴的和等于 , 离心率等于 , 焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 .
3.已知方程122=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_______________.
4.直线220x y -+=与椭圆2244x y +=相交于A,B 两点,则AB = .
5.已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,(1)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;
(2)若动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于8,则点P 的轨迹方程是 ;
(3)动点P 到1F 的距离与它到2F 的距离的差等于6, 则点P 的轨迹方程是 ;
6.双曲线22916144x y -=的实轴长与虚半轴长的和等于 , 离心率等于 ,焦点的坐标是 ,顶点的坐标是 ,渐近线的方程 .
7.已知曲线C 的方程是22
121
x y m m -=++,(1)若曲线C 是圆,则m 的取值范围是 ; (2)若曲线C 是椭圆, 则m 的取值范围是 ;(3)若曲线C 是双曲线, 则m 的取值范围是 ，(4) 曲线C 是否可以表示抛物线 （填“是”或“否”）
8.经过点)2,21(且与双曲线1422=-y x 仅交于一点的直线条数是________.
9.点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程是 _____ .
10.抛物线26(0y ax a a =≠为常数，且）的焦点的坐标是 , 准线方程是 .
11.设直线l 经过抛物线24y x =的焦点,与抛物线相交于A 11(,)x y ,B 22(,)x y 两点,(1)12x x = ;(2)12y y = ;
(3)若直线l 的斜率为1,则AB = ;(4) OA OB ⋅ = .
12.过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为 。

例2 （1）求以椭圆264x +216y =1的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程.
（2）已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12122||||||F F PF PF =+.
（i ）求椭圆的方程；（ii ）若点P 在第二象限，21120F F P ︒∠=，求21F F P ∆的面积.
（3）抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴
垂直，又抛物线与双曲线交于点3(2
，求二者的方程.
练2 （1）已知椭圆22
12516
x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 .
（2）抛物线210y x =的焦点到准线的距离是 .
（3）若方程22
135x y a a
+=--表示椭圆，则 的取值范围是 . （4）若椭圆的两个焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长为20，那么该椭圆的方程为 .
（5）双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，则双曲线的方程为 .
（6）求以椭圆22
12516
x y +=的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程.
3、圆锥曲线的几何性质：
要求：掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质.
例3 （1）椭圆22
14924
x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，求△12PF F 的面积.
（2）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144. （i ）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （ii ）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小.
练3 （1）若椭圆221x my +=，则它的长半轴长为__________ （2）抛物线214
y x =-的焦点坐标为 . （3）已知点(3,4),A F 是抛物线28y x =的焦点， M 是抛物线上的动点， 当MA MF +最小时，M 点坐标是 .
（4）设F 1、F 2分别为椭圆C ：22
22x y a b
+ =1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点. （i ）若椭圆C 上的点A （1，32
）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （ii ）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程
4、直线与圆锥曲线：
要求：能解决直线与圆锥曲线的一些问题.
例4 （1）k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
（2）在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短
练4 （1）若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则此直线的斜率是____________.
5、圆锥曲线的应用问题：见教材
6、导数的计算：
要求：能利用所给出的基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.
例6 （1）求下列函数的导数.
（i ）sin x y x =
； （ii ）(1)(2)(3)y x x x =---； （iii ）3(1cos2)y x =+.
（2）如果曲线23032y x y x x x =+=-=与在处的切线互相垂直，则x 0的值为 .
练6 （1）曲线34y x x =-在点(1,3)- 处的切线倾斜角为 .
（2）函数cos2(,0)4
y x π
=在点处的切线方程是 . （3）一个物体的运动方程为21s t t =-+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 .
7、利用导数研究函数：
要求：能利用导数研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值.
例7已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值
练7 （1）函数3y x x =+的递增区间是 .
（2）已知42()f x ax bx c =++的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.
（i ）求()y f x =的解析式；（ii ）求()y f x =的单调递增区间.
（3）已知函数()x f x xe =（e 为自然对数的底）.
（i ）求函数()f x 的单调递增区间；（ii ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.
8、优化问题：
要求：能用导数解决生活中的优化问题.
某城准备在半径为r 的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，已知各点亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平方成反比，问高杆灯距离地面多少时，绕在街心花园周旁的道
路亮度最大？。

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高中数学选修1-1知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结

数学选修1-1知识点总结导数及其应用一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ 例1． 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++运动员在t=2s 时的瞬时速度是多少？解：根据定义0(2)(2)(2)lim 13.1x h x h v h x∆→+∆-'===-∆ 即该运动员在t=2s 是13.1m/s,符号说明方向向下2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a'=8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'= 考点：导数的求导及运算★1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ） 319.316.313.310.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90° ★★5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =三.导数在研究函数中的应用 1.函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.求单调性的步骤：① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）；② 解不等式'()0'()0f x f x ><或；③ 确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★隔开，不能用“”连结。

高二数学选修一类型题

高二数学选修一类型题

高二数学选修一类型题高二数学选修一类型题可以说是一种高校数学学习中非常重要的知识点，是学生检验自身数学基础和实践能力的重要渠道。

高二数学选修一类型题主要是分为几类：一是基础性类型题，即采取数学表达式的方法和运算的形式解决问题；二是综合性类型题，此类型题要求学生要能通过多种数学方法来广泛应用数学知识进行问题求解；三是练习题，此类型题可以练习学生的数学演算和解决数学实际问题能力；四是解答题，这类型题要求学生使用数学公式进行推导，有时也要求学生把公式化式写清楚，即使求解过程有出入，也要正确地解答出来。

因此，要正确解答高二数学选修一类型题，学生首先需要具备一定的基本数学基础，从能够掌握数学基础知识开始，完善知识储备，如何能够掌握数学知识？这就需要学生开展系统性学习。

系统性学习指的是学生要有计划地、有科学性地以“自学”的形式学习所需要的知识，例如高二数学基础，要求学生要有课本、辅助教材，做一定的习题练习，或结合真实的生活中的任务实践，一定要有正确的学习方法来完成学习任务。

其次，学生需要进行扩展性学习。

扩展性学习可以理解为“课外的学习”。

学生需要学会思考，运用数学知识解决学习中遇到的问题，联系理论实践，学会查找和诊断数学问题；除此之外，学生还可以结合实际生活实践，进行应用性的练习。

最后，学生在解答高二数学选修一类型题时还要注重细节，在完成习题时一定要严格按照要求，如步骤、答案、证明过程中，不能有步骤掉链才能实现正确答案的情况，要注意不同类型题型的不同解题方法，学会把已知条件与要求相结合，以减少算术步骤，缩短求解过程。

总之，学生在准备解答高二数学选修一类型题时，一定要有充足的数学知识储备，培养自身系统性和扩展性学习能力，最后在解答时要按照要求，注重细节，以达到解题的要求。

只有掌握了数学的基本知识，并有全面、系统的学习心态，才能正确解答高二数学选修一类型题。

新高考数学试卷题型分布

新高考数学试卷题型分布

新高考数学试卷题型分布近年来，随着新高考改革的推进，数学考试的题型分布也有所调整。

下面将根据最新的考纲和历年真题，对新高考数学试卷的题型分布进行详细分析。

一、必修一（全选必修一或者文法学想去的大学）1.选修部分：10%的比例。

主要考查对线性方程组、二次函数和三角函数的理解和运用。

2.必修内容：90%的比例。

主要考查对函数、解析几何、数列和立体几何的掌握程度。

题目具体分布如下：（1）单选题：20%的比例。

考查知识点广泛，涉及函数、方程、不等式、数列、几何等的基本概念和运算规律。

（2）多选题：10%的比例。

往往涉及多个知识点的综合运用，考查学生综合运用能力。

（3）填空题：20%的比例。

不仅考查基本概念的理解，还要求对重要公式和结论的熟练掌握。

（4）解答题：50%的比例。

主要考查综合能力和创新能力，如证明、计算、选用适当的方法求解问题的能力等。

其中，主观题占22%的比例，试卷分值占65%；客观题占28%的比例，试卷分值占35%。

二、必修二1.选修部分：20%的比例。

主要考查对三角函数和指数函数的理解和运用。

2.必修内容：80%的比例。

主要考查对微积分和解析几何的掌握程度。

题目具体分布如下：（1）单选题：15%的比例。

考查细节问题的理解和掌握程度。

（2）多选题：10%的比例。

内容涉及多个知识点，考查对知识点的合理运用能力。

（3）填空题：20%的比例。

不仅考查基础概念的理解，还要求对重要公式和结论的熟练掌握。

（4）解答题：55%的比例。

主要考查综合能力和创新能力，如证明、计算、选用适当的方法求解问题的能力等。

其中，主观题占20%的比例，试卷分值占65%；客观题占35%的比例，试卷分值占35%。

三、选修三1.选修部分：30%的比例。

主要考查对离散数学和图论的理解和运用。

2.必修内容：70%的比例。

主要考查对线性代数和常微分方程的掌握程度。

题目具体分布如下：（1）单选题：15%的比例。

考查知识点广泛，内容涵盖代数、几何、函数的基本概念及其运用。

人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_全称量词与存在量词_基础

人教版高中数学【选修1-1】[知识点整理及重点题型梳理]_全称量词与存在量词_基础

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。