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高中数学知识点归纳(理科)高中数学知识点归纳（理科）一、代数与函数1. 多项式函数- 定义与性质- 常见多项式函数类型（一次函数、二次函数、三次函数等） - 图像特征与变化规律2. 指数函数与对数函数- 指数函数与对数函数的基本概念- 常见指数函数与对数函数的性质- 指数函数与对数函数的应用举例3. 三角函数- 弧度与角度的转换- 常见三角函数的定义与性质- 三角函数的图像与变化规律4. 数列与数列极限- 数列与通项公式的关系- 常见数列类型（等差数列、等比数列等） - 数列极限的概念与性质二、平面几何1. 平面几何基本概念- 点、线、面的定义与性质- 垂直、平行线与角的关系2. 三角形的性质与判定- 三角形的分类与性质- 三角形的判定方法与应用3. 圆的性质与判定- 圆的基本性质与术语- 圆的判定方法与应用4. 二次曲线方程- 抛物线、椭圆、双曲线的定义与性质- 二次曲线的标准方程与图像特征三、立体几何1. 空间几何基本概念- 空间中的点、线、面与体的性质- 空间几何基本定理与推论2. 空间图形的性质- 空间中常见几何体的性质（立方体、正四面体等） - 空间图形的计算与应用3. 空间向量- 向量的定义与性质- 向量的运算与应用- 平面与直线的向量表示与方程四、数学推理与证明1. 数学归纳法- 数学归纳法的基本原理与应用- 数学归纳法在数列、不等式证明中的应用2. 数学推理与等价命题- 命题、命题连接词与命题的真值- 数学推理法则与常用的等价命题3. 数学证明方法- 直接证明法与间接证明法- 数学证明中的常见方法与技巧五、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的计算方法与应用2. 排列与组合- 排列与组合的基本概念与性质- 排列与组合的计算公式与应用3. 统计与统计图- 数据的收集与整理- 基本统计量与统计图的绘制与分析以上是高中数学理科知识点的归纳总结。
掌握这些知识点有助于提高数学学科的理解与应用能力，为进一步的学习打下坚实的基础。
高中数学所有知识点归类大全一、数学初等函数1. 指数函数：定义、对数、幂函数、应用。
2. 三角函数：定义、几何语言、正弦余弦定理、半正弦函数等。
3. 对数函数：定义、有理函数的对数、指数函数的对数等。
4. 幂函数：定义、幂函数定义、幂函数的性质、幂函数的应用等。
5. 向量函数：定义、表示、性质等。
6. 积分函数：定义、概念、初等函数积分、重积分等。
二、统计与概率1. 概率的定义、公理、概率的计算。
2. 离散分布与连续分布：定义、概率分布函数、期望值等。
3. 抽样估计：抽样分布函数、均匀抽样、样本总体的判断等。
4. 回归分析：定义、正态模型、最小二乘估计、多项式回归模型等。
5. 贝叶斯分析：定义、贝叶斯统计、贝叶斯方法应用等。
6. 推断分析：点估计、区间估计、参数误差等。
三、代数1. 多项式及其性质：定义、系数、次数、根的处理等。
2. 同类型代数式：定义、因式分解、完全平方式等。
3. 向量空间：定义、向量空间的子空间、线性相关、线性无关等。
4. 线性方程组：定义、矩阵方程组、逆矩阵解、三角形法等。
5. 二元一次方程：一次函数性质、椭圆方程、双曲线方程等。
6. 不定系数线性方程组：定义、条件互异、充分必要性等。
四、几何1. 直角坐标系：定义、坐标方程组、投影面等。
2. 点、线：定义、直线的性质、平行线的性质等。
3. 平面图形：定义、圆的性质、锐角三角形、钝角三角形等。
4. 正多边形：定义、正五边形性质、正六边形性质等。
5. 空间几何：定义、球面坐标系、球面角等。
6. 极坐标系：定义、极线条件、极角等。
高考数学基础知识点大全总结归纳数学是高考中最重要的科目之一，也是考生们备战高考的重点之一。
要在高考数学中取得好成绩，掌握基础知识点是至关重要的。
本文将对高考数学中的基础知识点进行全面总结归纳，帮助考生们更好地复习备考。
一、代数与函数代数与函数是数学中最基础也是最核心的内容之一。
在高考数学中，代数与函数的知识点占据了相当大的比重。
以下是高考数学代数与函数部分的基础知识点：1.1 整式与分式1.2 多项式与多项式的运算1.3 幂的运算与整式的整除性1.4 分式的化简与运算1.5 分式方程的解法二、数与数量关系数与数量关系是高考数学中的重要知识点之一，它不仅包括了基础的数与数的关系，还包括了数量之间的比较和计算。
以下是高考数学数与数量关系部分的基础知识点：2.1 数与数的性质2.2 数与式的计算2.3 数与面积、体积的关系2.4 一次函数与一次函数的应用三、几何与变换几何与变换是高考数学中相对较为复杂的知识点，但也是不可或缺的一部分。
几何与变换包括了图形的性质、图形的变换与运动等内容。
以下是高考数学几何与变换部分的基础知识点：3.1 线与角3.2 三角形与三角形的性质3.3 圆与圆的性质3.4 二次曲线与二次曲线的性质3.5 向量与向量的运算四、概率与统计概率与统计是高考数学中较为实际且应用广泛的知识点，它涉及到事件的发生概率和数据的统计分析等内容。
以下是高考数学概率与统计部分的基础知识点：4.1 随机事件与随机事件的运算4.2 概率的计算与性质4.3 统计数据的收集与整理4.4 统计指标与统计图的应用综上所述，高考数学基础知识点的掌握对于考生在高考中取得好成绩至关重要。
通过对代数与函数、数与数量关系、几何与变换以及概率与统计等知识点的全面总结归纳，相信考生们能够更好地复习备考并在高考中取得优异成绩。
希望本文能为广大考生提供帮助，祝愿各位考生都能顺利通过高考，实现自己的人生目标。
高三数学基础知识点归纳一、代数与函数1. 线性函数点斜式方程、一般式方程、截距式方程、两点式方程、函数图像及性质等。
2. 二次函数标准式方程、一般式方程、顶点式方程、对称轴、函数图像及性质、求最值等。
3. 指数与对数函数增长率、对数的定义、性质与运算、指数方程与指数不等式等。
4. 幂函数与根函数次方函数、开根函数、函数的图像、性质与运算等。
5. 三角函数基本概念、函数图像、性质、同角三角函数关系、和差化积、倍角公式、半角公式等。
6. 高中应用题通过实际问题学习函数定义域与值域、函数的图像判断、函数的解析式、函数关系式等。
二、平面几何1. 三角形基本概念、三角形内角和、三角形分类及性质、相似三角形、勾股定理等。
2. 四边形平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形、直角梯形、等腰梯形、平面内角和、性质与判定等。
3. 圆基本概念、弧、弦、切线、割线、相切与相交等。
4. 圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线等，基本概念、方程、性质及图像等。
5. 平面向量基本概念、向量的加减法、数量积与夹角、向量共线与垂直等。
三、立体几何1. 空间几何空间点、空间直线、空间平面、空间向量等基本概念。
2. 空间图形球与球面、柱与柱面、棱柱与棱台、棱锥与棱台等基本概念与性质。
3. 空间坐标直角坐标系、空间中点的坐标、定点与点的距离、点的投影等。
四、概率与统计1. 概率基本概念、事件及运算、条件概率、独立事件、随机变量等。
2. 统计数据的收集与整理、频数与频率、中心位置度量、离散程度度量、直方图与折线图、样本与总体等。
五、数列与数学归纳法1. 数列等差数列、等比数列、通项公式、求和公式、数列极限、数列的应用等。
2. 数学归纳法基本思想、归纳法证明等。
六、解析几何1. 直线与平面方程一般式方程、点法式方程、平面的交线、平面的倾斜角、直线与平面的位置关系等。
2. 空间向量向量方程、向量共线与垂直、点线面距离等。
3. 球与圆锥曲线球面方程、切平面与法线、球面上的线、球面与平面的位置关系、圆锥曲线的方程等。
高三数学基础知识点归纳总结大全1. 代数与函数代数是高中数学的基础，它涉及各种数学操作和符号。
以下是高三数学中常见的代数知识点：1.1. 一次函数一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数。
它的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
1.2. 二次函数二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
它的图像是一条抛物线，开口的方向由a的正负号决定。
1.3. 复数复数是形如a+bi的数，其中a和b为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数具有实部和虚部，可以进行加、减、乘、除等运算。
1.4. 指数与对数指数与对数是代数中的重要概念，它们互为逆运算。
指数运算表达形式为aⁿ，表示将a连乘n次，其中a为底数，n为指数。
对数运算表达形式为logₐb，表示将底数a连乘若干次得到b。
指数和对数具有许多重要的性质和定律。
2. 几何与三角几何与三角是研究空间内的图形和形状的数学分支。
以下是高三数学中常见的几何与三角知识点：2.1. 直线与曲线直线是最简单的几何对象，由无数个点组成，不存在弯曲。
曲线则弯曲多姿，可以分为折线和曲线两类。
常见的曲线有圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
2.2. 三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量，以函数值为因变量的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在几何和物理等领域有广泛应用。
2.3. 三角恒等式三角恒等式是三角函数中的重要定理，它们能够推导出一系列具有特定关系的三角函数值。
2.4. 图形的性质图形的性质是几何中研究图形固有属性的一部分。
常见的图形性质有角的性质、线段的性质、多边形的性质等。
3. 概率与统计概率与统计是研究随机现象及其规律的数学分支。
以下是高三数学中常见的概率与统计知识点：3.1. 概率概率是研究随机试验结果发生可能性的数学工具。
常见的概率计算方法有经典概型、几何概型和统计概型等。
3.2. 统计统计是通过对数据进行收集、整理、描述和分析，研究总体特征和规律的一门学科。
高三数学全部知识点归纳总结数学作为一门重要的学科，对于高中学生而言尤为重要。
而高三是学生们备战高考的关键时期，数学知识点的掌握与练习显得尤为紧迫。
为了帮助高三学子们更好地复习数学，本文将对高三数学的全部知识点进行归纳总结，以便帮助学生们系统地回顾和巩固相关知识。
一、函数与方程1. 一次函数与二次函数：介绍一次函数和二次函数的基本概念、性质以及图像特征。
同时提供一些常见的一次函数与二次函数的实际应用问题。
2. 指数与对数函数：讲解指数函数和对数函数的定义、性质以及图像特点，同时重点说明指数函数与对数函数之间的互逆关系。
3. 三角函数：介绍常用三角函数的概念、性质以及图像特征。
包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，重点强调它们在几何、物理等方面的应用。
4. 幂函数与反比例函数：详细讲解幂函数和反比例函数的定义、性质以及图像特征，同时重点说明幂函数和反比例函数的增减性质。
5. 二次函数与二次方程：对二次函数的图像、性质和图像的相关变换进行介绍，同时详细讲解二次方程的解法、判别式和应用问题。
二、数列与数列的极限1. 数列概念与性质：介绍数列的基本概念、常见性质和判敛的标准。
包括等差数列、等比数列等的定义和通项公式。
2. 数列极限：讲解数列的极限的定义、性质以及收敛数列和发散数列的判定方法。
同时引入常见的数列极限求解方法。
3. 递推数列：对递推数列的概念、性质和求解进行详细说明，包括等差数列、等比数列的递推公式及求和公式。
4. 常用数列极限：列举一些常见的数列极限，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等的极限求解方法和应用问题。
三、概率与统计1. 随机事件与概率：介绍随机事件的概念、基本性质和概率计算公式。
重点讲解概率的加法定理和乘法定理，以及条件概率的计算方法。
2. 离散型随机变量：对离散型随机变量及其概率分布函数进行详细讲解，包括离散型随机变量的数学期望和方差的计算。
3. 连续型随机变量：介绍连续型随机变量及其概率密度函数，重点讲解连续型随机变量的数学期望和方差的计算方法。
高考数学知识点归纳高中高中数学是高考的重要科目之一，也是考生们备战高考的重点。
在高中数学学习的过程中，我们接触了很多不同的数学知识点，包括代数、几何、概率与统计等。
这些知识点既有基础的也有深入的，对于我们备考高考至关重要。
下面，我将对高考数学知识点进行归纳，希望对广大考生有所帮助。
一. 代数篇1. 数与式数与式是代数学习的基础，其中包括整数、有理数、实数、复数等。
在高中数学中，我们还学习了数轴、绝对值、数字的约束等概念，这些都是理解数与式的关键。
2. 数列与数列的通项公式数列是高中数学学习中的重要内容，包括等差数列、等比数列以及其它特殊的数列。
数列的通项公式是数列中的一种模式，通过它我们可以快速计算任意一项的值。
3. 函数与方程函数和方程是代数学习的核心概念，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
方程是用来求解未知数的值的，我们学习了一元一次方程、一元二次方程和一元高次方程等。
4. 不等式不等式是代数学习中的一个重要内容，它包括一元一次不等式、一元二次不等式等。
在高考中，不等式可以作为解答问题时的一个工具，能有效地缩小解的范围。
二. 几何篇1. 平面几何平面几何是高中数学中的一个重要内容，包括直线、角、三角形、四边形等概念。
我们学习了平行线与垂直线的性质、平面内角的和等于180度、直角三角形的性质等。
2. 空间几何空间几何是高中数学中的一个重要扩展，它包括空间中的直线、平面、立体等概念。
我们学习了直线与平面的关系、空间几何中的角、立体图形的性质等。
3. 解析几何解析几何是空间几何与代数的有机结合，它通过坐标系的引入，使得几何问题更具有计算性。
我们学习了平面直角坐标系、点、直线、圆的方程等。
三. 概率与统计篇1. 概率概率是数学中非常实用的一个概念，通过概率我们可以预测事件的发生可能性。
我们学习了事件、样本空间、随机变量、概率分布等重要概念，以及概率的计算方法。
2. 统计统计是描述和推断总体特征的一种方法，它通过收集样本数据来了解总体的特征。
高三数学所有知识点归纳总结高三数学知识点归纳总结在高三备战数学考试的过程中，我们需要对高中三年所学的数学知识进行全面、系统的复习与总结。
本文将对高三数学的各个知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地复习与整理。
1. 数学的基本概念和基本运算数学的基础是基本概念和基本运算，包括常见的数系、绝对值、因数分解、最大公约数、最小公倍数等。
这些知识点是数学学习的基石，要牢固掌握。
2. 函数与方程函数与方程是高中数学的核心内容。
包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的性质和图像，以及线性方程、二次方程、指数方程、对数方程等的求解方法。
掌握这些知识点，能够帮助我们解决各种实际问题和推导数学关系。
3. 数列与数列极限数列是数学中重要的概念，在高三数学中也是常见的知识点。
包括等差数列、等比数列、递推数列等的性质与求和公式，以及数列极限的计算方法和性质。
数列与数列极限的掌握，对于理解数学的连续性和趋势具有重要意义。
4. 概率与统计概率与统计是数学的实际应用领域之一。
包括概率的基本概念与计算方法，如事件的概率、条件概率、独立事件等；统计的基本概念与计算方法，如平均数、方差、标准差、正态分布等。
概率与统计的学习不仅有助于我们理解随机事件的规律性，还可以帮助我们分析和解决实际问题。
5. 平面几何与立体几何几何是数学中的重要分支，涵盖了平面几何和立体几何。
包括点、线、面的性质、平行线与垂直线的判定、三角形的性质与判定、多边形的性质与判定、圆的性质与判定等；立体几何包括立体图形的性质与判断、体积与表面积的计算等。
几何的学习不仅考查我们的空间想象力，还培养了我们的逻辑思维能力。
6. 三角函数及其应用三角函数是高数中重点和难点，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义与性质，三角函数的诱导公式和四个象限的变换。
同时还需要掌握三角函数在解决实际问题中的应用，如三角函数的图像变换、三角恒等式的运用等。
7. 数学证明与推理数学的核心是证明，数学证明能够培养我们的逻辑思维和推理能力。
高考数学基础知识点归纳总结大全数学作为高考的一门重要科目，在考试中占据了相当的比重。
为了帮助广大考生更好地复习和备考高考数学，下面将对高考数学的基础知识点进行归纳总结，供考生参考。
一、代数与函数1. 整式与分式整式的定义和性质，如加减乘除法则；分式的定义和性质，如分式的加减乘除、约分等。
2. 一元一次方程与一元一次不等式一元一次方程与一元一次不等式的基本概念和解法，如等式与不等式的性质、方程和不等式的解集、解的判定条件等。
3. 二次函数与一元二次方程二次函数的定义和性质，如顶点、对称轴、图像等；一元二次方程的定义和性质，如因式分解、配方法、求根公式等。
4. 常见函数与方程平方根函数、倒数函数、绝对值函数、指数函数、对数函数等的定义和性质；一次函数、反比例函数等的定义和性质；一元高次多项式方程的定义和性质。
5. 等差数列与等比数列等差数列与等差数列的基本概念，如通项公式、前n项和等的计算；6. 指数与对数指数的定义和性质，如指数幂的乘除、指数幂的0次方、负指数幂的性质等；对数的概念与性质，如对数的定义、对数与指数的关系等。
二、几何与图形1. 点、线、面的基本概念点的定义与性质，如点的坐标、点的相对位置等；线的定义与性质，如两点确定一条直线、直线的方程等；面的定义与性质，如四边形、多边形等的性质。
2. 角与三角形角的定义与性质，如角的度量、角的分类等；三角形的定义与性质，如三角形的分类、三角形内角和等于180度等。
3. 平面向量平面向量的定义与性质，如向量的加减法、数量积与向量积等；向量的数量积与向量积的计算。
4. 图形的性质与计算圆、椭圆、双曲线的定义与性质，如圆的方程、椭圆的焦点等；三角形的周长与面积计算，如海伦公式、三角形面积公式等。
三、概率与统计1. 事件、概率与分布随机事件的概念与性质，如事件的和、事件的对立事件等；概率的定义和计算，如概率的加法定理、乘法定理、全概率公式等；离散型和连续型随机变量的概率密度函数与分布函数。
高中数学基础知识大全高中数学基础知识包括以下几个方面：（一）集合与常用逻辑用语：集合的基本概念、集合的运算、命题及其关系、充分必要条件的判断等。
（二）函数与方程：函数的定义域与值域、函数的单调性、奇偶性与周期性、二次函数、指数函数与对数函数等。
（三）数列：等差数列与等比数列的定义、性质与通项公式等。
（四）三角函数与平面向量：三角函数的定义、图象与性质，平面向量的基本概念与运算等。
（五）解析几何：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、图象与性质等。
（六）立体几何：平面、空间直线与平面的位置关系，空间几何体的定义、性质与面积体积的计算等。
（七）计数原理与二项式定理：排列组合的定义、性质与计算，二项式定理及其展开式的通项公式等。
（八）概率与统计：概率的基本概念、随机变量的分布，统计的基本概念与数据处理方法等。
（九）导数及其应用：导数的定义、性质与计算，利用导数研究函数的单调性、极值与最值等。
（十）复数：复数的定义、表示法与运算等。
（十一）不等式：不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。
（十二）平面直角坐标系与极坐标系：平面直角坐标系的基本概念、点的坐标的确定、图形与坐标的关系等，极坐标系的概念、表示法与转换等。
（十三）推理与证明：合情推理与演绎推理的概念、方法与步骤，证明的基本方法与技巧等。
（十四）数据建模与决策：数据的收集、整理、分析与建模，决策的基本概念与方法等。
（十五）数学建模与实际问题：数学建模的基本方法与步骤，实际问题中数学模型的应用等。
（十六）常用工具：计算器、函数图像器等常用数学工具的使用方法与技巧等。
这些基础知识是高中数学的重要组成部分，学生需要熟练掌握并能够灵活运用，以便更好地应对数学考试和实际问题。
同时，学生还需要注重数学思想方法的运用，培养自己的数学思维能力和解决问题的能力。
高中数学基础知识归类——献给高三(文理科)考生数学是理科的支柱，数学基础不好往往影响到理化成绩的提高，因此必须给予足够重视。
大家知道，高中数学分为几大板块：一是函数板块，二是三角板块，三是立体几何板块，四是解析几何板块，五是数列板块，六是概率统计板块，七是排列组合板块，八是复数板块，九是不等式板块，十是算法板块。
要学好这些知识，首先要重视课堂听讲，要眼睛随着老师转，脑子随着老师想。
只有抓好了课堂学习，才能谈得上课后复习。
课堂上尽可能多听讲，课后自己再验证，选择一些有特色的问题去探索。
要重视基础知识的复习。
每一章复习开始前一定要把课本看一遍，定理、公式等概念性的东西记住自不必说，例题的解法也要注意，特别是立体几何，在以前高考中曾多次出现课本上的例题。
学完一章或一部分后，要学会归纳总结，掌握规律性的东西，做一些综合题，考前温习一下笔记和自己归纳的东西，将基础知识夯实打牢，注重在基本知识、基本技能和创造性问题的解决上多下功夫。
最后冲刺的诀窍：高考最后两个月要拾遗补缺。
抓基础，理清头脑中的知识网络，而不应该去攻难度太大的题。
可适当去做一些综合性的题，对自己会很有好处的。
如果以前有错题本的话，现在应该看看了；最后一个月复习数学关键是“看”：看练习题，看复习资料。
一眼能看出解题思路的，从此不管它；看不出的，就在草稿纸上演算，演算到理清思路为止，并在题前做“#”记号；很难的综合题，则进行正规演算，目的仍是寻找思路，这种题一直做出了结果，就在题前做“*”记号。
三五天或一周之后，再回过头来看，有“#”的看一看，一般能看出从何处下手；有“*”的看一看，在草稿纸上演算，知道怎么做再停止。
因为这个时候正确与否不重要，重要的是知道该如何下手解这些题，以及需要用哪些知识来解题。
基础知识一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅,求a 的取值.(答：0a ≤) ④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =；A B C A B C =（）（）；A B C A B C =（）（）. ⑤A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=∅U C AB R ⇔=.⑥AB 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+-. ⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n-；非空真子集个数为22n -.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,数p 的取值围.(答：32(3,)-)4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件) 5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件或q 的一个充分非必要条件是p 或p 的一个必要非充分条件是q).6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数”否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 7.常见结论的否定形式)二.函数1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象.2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()()1(()0)f x f x f x -=±≠； ⑷复合函数的奇偶性特点是：“偶则偶，奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0f x =定义域关于原点对称即可).⑸奇函数在对称的单调区间有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数122log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数 ()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2Ay =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于 y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ； ⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ； ⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑹()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；10.对数：⑴log log n n a a b b =(0,1,0,)a ab n R +>≠>∈；⑵对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>；⑶log ()log log ;log log log ;log log n a a a aa a a a M NM N M N M N M n M⋅=+=-=；1log log a a nM=；⑷对数换底公式log log log b b a N aN =(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；推论：121123log log log 1log log log log n a b c a a a n a nb c a a a a a -⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=.(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠>且12,,n a a a 均不等于1)11.方程()k f x =有解k D ⇔∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ⇔≥最大值,()a f x ≤恒成立[()]a f x ⇔≤最小值.12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0∆>、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求()g x 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()y f x =与1()y f x -=互为 反函数,设()f x 的定义域为A ,值域为B ,则有1[()]()f f x x x B -=∈,1[()]()f f x x x A -=∈. 18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的围问题：()()()0f u g x u h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0()0f a f b ≥⎧⇔⎨≥⎩(或()0()0f a f b ≤⎧⎨≤⎩)；19.函数(0,)ax b cx dy c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线dc x =-(由分母为零确定)和 直线ac y =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c -；③反函数为b dxcx a y --=；20.函数(0,0)bxy ax a b =+>>：增区间为(,)-∞+∞,减区间为[-.如：已知函数12()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a 的取值围是_____(答：12(,)+∞).三.数列1.由n S 求n a ,1*1(1)(2,)n n n S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}n a 满足111534,n n n a S S a ++=+=，求n a (答：{14(1)34(2)n n n a n -==⋅≥).2.等差数列1{}n n n a a a d -⇔-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-⇔=+≥∈21122(,)(,)n n d da anb a d b a d S An Bn A B a ⇔=+==-⇔=+==-；3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m na a m n d --=； ②m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n pa a a +=；③若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n n ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列；④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S --仍是等差数列； ⑤等差数列{}n a ,当项数为2n 时,S S nd-=偶奇,1n n S a S a +=奇偶；项数为21n -时,(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,21(21)n n S n a -=-,且1S nS n =-奇偶；()(21)nnn nA aB b f n f n =⇒=-. ⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式100n n a a +≥⎧⎨≤⎩(或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.⑦若,()n m a m a n m n ==≠,则0m n a +=；若,()n m S m S n m n ==≠,则()m n S m n +=-+；若()m n S S m n =≠,则S m+n =0；S 3m =3(S 2m －S m )；m n m n S S S mnd +=++.4.等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.5.等比数列的性质 ①n mn m a a q-=,n q ={}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；③111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩；④m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)；m nm n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列. ⑥等比数列{}n a 当项数为2n 时,S S q =偶奇；项数为21n -时,1S a S q-=奇偶.6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}na A (n aA 总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列,则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数列；②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列；③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++；三个数成等比的设法：,,aq a aq；四个数成等比的错误设法：33,,,aaq q aq aq (为什么？) 7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a 用作差法：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩. ⑶已知12()n a a a f n ⋅⋅⋅=求n a 用作商法：()(1)(1),(1),(2)n f n f n f n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩. ⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知1()n n a a f n +=,求n a 用迭乘法.⑹已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n n a ka b -=+,1n n n a ka b -=+,1n n a ka a n b -=+⋅+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a .②形如11n n n a kaba --+=的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：12123(1)n n n ++++=+；222216123(1)(21)n n n n ++++=++；33332(1)2123[]n n n +++++=；2135n n ++++=；常见裂项公式111(1)1n n n n ++=-；1111()()n n k k nn k++=-；1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；11(1)!!(1)!nn n n ++=-常见放缩公式：<=. 9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为：(1)2(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+(等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++(等比数列问题).四.三角函数1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ⇔=+∈；α终边与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称2()k k Z απθπ⇔=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ⇔=++∈； α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ⇔=-+∈.2.弧长公式：||l r θ=；扇形面积公式：21122||S lr r θ==扇形；1弧度(1rad )≈57.3︒.3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.注意： 3tan15cot 752︒=︒=-；3tan75cot152︒=︒=+；1-22-0 011- 1 sin cos αα-1-22-11- 1sin cos αα+4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的关系.如2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±等. 5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；22αβαβ++=⋅；222()()αββααβ+=---等；“1”的变换：221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=⋅=︒=︒；7.重要结论：22sin cos )a b a x b x x ϕ++=+其中tan ba ϕ=）；重要公式22cos 1sin 2αα-=；2cos α=1cos 22α+；sin 1cos 21cos sin tanααααα-+==；22|cos sin |θθ±.万能公式：22tan 1tan sin 2ααα+=；221tan 1tan cos2ααα-+=；22tan 1tan tan 2ααα-=.8.正弦型曲线sin()y A x ωϕ=+的对称轴2()k x k Z ππϕω+-=∈；对称中心(,0)()k k Z πϕω-∈；余弦型曲线cos()y A x ωϕ=+的对称轴()k x k Z πϕω-=∈；对称中心2(,0)()k k Z ππϕω+-∈；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形的三角函数问题勿忘三角和等于180︒,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：sin sin sin 2ab c A BCR===；余弦定理：22222222()222cos ,cos 1b c ab c abcbca b c bc A A +-+-=+-==-；正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的切圆半径2ABC S a b c r ∆++=；面积公式：124sin abcR S ab C ∆==；射影定理：cos cos a b C c B =+.10.ABC ∆中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②22sincosA B C +=,22cossinA B C +=,22tancotA B C +=. ③sin sin a b A B A B >⇔>⇔>④锐角ABC ∆中,2A B π+>,sin cos ,cos cos A B A B ><,222a b c +>,类比得钝角ABC ∆结论.⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 11.角的围：异面直线所成角2(0,]π；直线与平面所成角2[0,]π；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线的倾斜角[0,)π；1l 到2l 的角[0,)π；1l 与2l 的夹角2(0,]π.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等. 五.平面向量1.设11(,)a x y =,22(,)b x y =. (1)1221//0a b x y x y ⇔-=；(2)121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=. 2.平面向量基本定理：如果1e 和2e 是同一平面的两个不共线的向量,那么对该平面的任一向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e eλλ=+. 3.设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+；其几何意义是a b ⋅等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a 在b 的方向上的投影1222||cos ||a b a b x θ⋅==+.4.三点A 、B 、C 共线AB ⇔与AC 共线；与AB 共线的单位向量||ABAB ±.5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y =,22(,)b x y =,则121cos ||||a ba b x θ⋅==+；注意:,a b 〈〉为锐角0a b ⇔⋅>,,a b 不同向；,a b 〈〉为直角0a b ⇔⋅=；,a b 〈〉为钝角0a b ⇔⋅<,,a b不反向. 6.a b ⋅同向或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+≥-=-；a b ⋅反向或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+≥-=+；a b ⋅不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<±<+.7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y =,22(,)b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+；1||(AB x = ⑵若(,)a x y =,则222a a a x y =⋅=+.8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P 在线段21P P上时,0λ>；当点P 在线段21P P (或12P P )延长线上时,1λ<-或10λ-<<.②分点坐标公式：若12PPPP λ=；且111(,)P x y ,(,)P x y 222(,)P x y ；则121211(1)x x y y x y λλλλλ++++⎧=⎪⎪≠-⎨⎪=⎪⎩, 中点坐标公式：121222(1)x x y y x y λ++⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.③1P,P ,2P 三点共线⇔存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+且1λμ+=. 9.三角形中向量性质：①AB AC +过BC 边的中点：||||||||()()AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥-；②13()0PG PA PB PC GA GB GC G=++⇔++=⇔为ABC ∆的重心；③PA PB PB PC PA PC P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=⇔为 ABC ∆的心；||||()(0)AB AC AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆心. ⑤设1122(,),(,)A x y B x y ,12AOB A B B AS x y x y ∆=-.22211||||sin ||||()2ABC S AB AC A AB AC AB AC ∆==-⋅⑥O 为ABC ∆一点,则0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆++=.10.(,)(,)(,)a h k P x y P x y ='''−−−−−→按平移,有x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩(PP a '=)；(,)()()a h k y f x y k f x h ==−−−−−→-=-按平移.六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：①若0ab >,b a >,则11a b >.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法. 3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0,>b a ,则2211a b a b ++≥≥(当且仅当b a =时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈，222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：22222()a b a b ++≥,22()a bab +≤；(4)若0,0a b m >>>,则bb ma a m ++<(真分数的性质)；4.含绝对值不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+≥-=-；,a b异号或有0 ||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+≥-=+. 5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,||a >n >.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本不等式,(1)2nn ++.④利用常用结论：0111=；2211111111(1)(1)1kk k kkk kk k++---=<<=-(程度大)；03 22111111211()kk k k --+<=-(程度小)；⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元代数换元.如：知222x y a +=,可设cos ,sin x a y a θθ==；知221x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ=(01r ≤≤)；知22221xya b +=,可设cos ,sin x a y b θθ==；已知22221xya b -=,可设sec ,tan x a y b θθ==.α︒π O k⑺最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则()a f x <恒成立. 七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角α的围是[0,π）；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2tan ()k παα=≠(如右图)：3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为112121y y x x y y x x ----=,它不包括垂直于坐标轴的直线.⑷截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1xy a b+=,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行⇔12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)；⑵相交⇔12210A B A B -≠；(3)重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.5.直线系方程：①过两直线1l ：1110A x B y C ++=,2l：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.6.到角和夹角公式：⑴1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ,(0,)θπ∈且2112121tan (1)k k k k k k θ-+=≠-；⑵1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2,(0,]πθθ∈且2112121tan ||(1)k k k k k k θ-+=≠-.7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d ；两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d =.8.设三角形ABC ∆三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123(,)33x x x y y y G ++++；9.有关对称的一些结论⑴点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a . ⑵曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=；②x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =： (,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=.10.⑴圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=. ⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当2240D E F +->时,方程 220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为22(,)D E --,的圆(二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆0A C ⇔=≠,且220,40B D E AF =+->). ⑶圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；222cos ,sin (0x y t x r y r r θθ+=→==≤≤.⑷以11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=；11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->⇔点P 在圆外； ②22200()()x a y b r -+-<⇔点P 在圆；③22200()()x a y b r -+-=⇔点P 在圆上. 12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆222x y r +=上,则过点P 的切线方程为：200x x y y r +=；过圆222()()x a y b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线.14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >⇔相离 ②d r =⇔相切 ③d r <⇔相交15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R ：d R r >+⇔两圆相离；d R r =+⇔两圆相外切； ||R r d R r -<<+⇔两圆相交；||d R r =-⇔两圆相切； ||d R r <-⇔两圆含；0d =⇔两圆同心.16.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为2222111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解. 八.圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设00(,)P x y 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,则1020,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)； 2.双曲线焦半径：设00(,)P x y 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,则：⑴当P 点在右支上时,1020||,||PF a ex PF a ex =+=-+；⑵当P 点在左支上时,10||PF a ex =--,20||PF a ex =-；(e 为离心率).另：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为22220x y a b -=.3.抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上任意一点,F 为焦点,则02||p PF x =+；22(0)y px p =->上任意一点,F 为焦点，则02||p PF x =-+.4.共渐近线ba y x =±的双曲线标准方程为2222x y a b λ-=(λ为参数,0λ≠).5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b <时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =或12|AB x x -12]|y y -(弦端点1122(,),(,)A x y B x y ,由方程(,)0y kxc b F x y =+⎧⎨=⎩消去y 得到02=++c bx ax ,0∆>,k 为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想； 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为22ba ,焦准距为2bc p =,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ；双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离为b ；8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为221Ax By +=(对于椭圆0,0A B >>)；9.抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为AB ,11(,)A x y 、22(,)B x y ,则有如下结论：⑴12||AB x x p =++；⑵2124px x =,212y y p =-； ⑶112||||p AF BF +=.10.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.11.对于22(0)y px p =≠抛物线上的点的坐标可设为20(,)2y y p,以简化计算.12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆22221x y a b +=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率202b x k a y =-；在双曲线22221x y a b -=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2020b x k a y =；在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率p y k =.13.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论：⑴给出直线的方向向量(1,)u k =或(,)u m n =.等于已知直线的斜率k 或nm ； ⑵给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点；⑶给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;⑷给出()AP AQ BP BQ λ+=+,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;⑸给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数λ,使AB AC λ=； ③若存在实数,αβ, 且1αβ+=；使OC OA OB αβ=+,等于已知C B A ,,三点共线. ⑹给出1OA OB OP λλ++=,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ=⑺给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角或反向共线,给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角或同向共线.⑻给出||||()MAMBMA MB MPλ+=,等于已知MP 是AMB ∠的平分线.⑼在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-⋅+,等于已知ABCD 是菱形. ⑽在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形. ⑾在ABC ∆中,给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心(三角形的外心是外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).⑿在ABC ∆中,给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点).⒀在ABC ∆中,给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点). ⒁在ABC ∆中,给出+=||||()AB AC AB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的心.⒂在ABC ∆中,给出=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的心(三角形切圆 的圆心,三角形的心是三角形三条角平分线的交点).⒃在ABC ∆中,给出12()AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线.九.直线、平面、简单几何体1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC .若AOB AOC ∠=∠,则点A 在平面BOC 上的射影在BOC ∠的平分线上；2.立平斜三角余弦公式：(图略)AB 和平面所成的角是1θ,AC 在平面,AC 和AB 的射影1AB 成2θ,设3BAC θ∠=,则123cos cos cos θθθ=；3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式cos S S θ=射斜 其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂 线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解.⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.7.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角||||||arccosa b a b α⋅⋅=.⑵求线面角：设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则斜线l 与平面α所成的角||||||arcsinl n l n α⋅⋅=. ⑶求二面角(法一)在αa l ⊥,在β。
