第十一章 “四大题型”揭密高考热点

第十一章总习题
1. 填空题
∞
∑ (1)
lim
n→∞
un
= 0 是级数 un 收敛的
n=1
必要
条件,
而不是
充分
条件;
∞
∞
∞
(2) 若级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定 收敛 ; 若级数 ∑un 条件收敛,
n=1
n=1
n=1
∞
则级数 ∑ un 必定 发散 ; n=1
∞
∞
(3) 级数 ∑un 按某一方式经添加括号后所得的级数收敛是级数 ∑un 收敛的
.
n=1 (n − 1)! 3
n=1 (n − 1)!
n=1 (n − 1)!
93
所以
S ( x)
=
x2 (
+
x
x
+ 1)e3
,
x ∈ (−∞, +∞) .
93
∑ ∑ (4) 令 t = x + 1, 则 ∞ (x + 1)n = ∞ tn . n=0 (n + 2)! n=0 (n + 2)!
设 an
−1)
,
而 lim un+1 n→∞ un
=
lim
n→∞
2(n + 1) 2n+1
−1 2n x2 2n −1
=
x2 2
,
当
x=±
2
时级数
∞
∑
2n
−
1
发散,
所 以 级 数 的 收 敛 区 间 为 (−
2,
2) .
设
n=1 2
∑ S ( x)
=
∞ n=1

第十一章 第4课时
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医生 人 0 1 2 3 4 5人及以上 数
概率
0. 0.1 0. 0. 0. 1 6322
0.04
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高数下十一章重点总结+例题第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5.知道散度与旋度的概念，并会计算。

6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

【教学课时分配】(14学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ?≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i ni s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ?=∑),(1ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i ni L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121+=+.闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(?.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21+=;性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为L ds y x f ),(.另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,曲线的质量为?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22.即'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22.定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分dsy x f L ),(?存在, 且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β. 讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),dx x x x f ds y x f baL ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.(2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),dy y y y f ds y x f dcL ??+'=1)(]),([),(2??.(3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.例1 计算ds y L, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此'+=1222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(121-=.例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则?=L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α). 于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α).例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++?Γ?++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

高考语文：散文阅读四大题型详解一、作用题（一）标题的作用1.常考提问方式①标题的含义是什么?标题含义理解题能快捷、准确地考查出学生领悟作品内涵、初步鉴赏文学作品的能力。

这类题要求学生首先明确标题的表面义即字典义，然后弄清标题的语境义及延伸义，而语境义和延伸义一般与文章的主题有着直接的关系。

②标题的作用是什么?③为什么以此为标题?换成另一个标题好不好?④给文章取个合适的标题。

2.标题常见的作用①点名写作对象的特点和多层含义②表达作者主观感情和态度③揭示文章的主旨和哲理④成为文章的线索和构思思路⑤标题运用的修辞手法或写作手法的作用,如象征、比喻、一语双关等，有的标题对文中的人物和主题有象征作用。

⑥设置悬念,激发读者阅读兴趣解题思路：①题目含义：表面义、深层义。

②题目与表现手法的关系：运用何种修辞③题目与与文章结构关系：是否起到贯穿全文线索作用。

④题目与内容的关系：是否明确了时间、地点、人物、事件内容⑤题目与主旨情感的关系：是否揭示了文章的中心，表达了作者的情感。

⑥题目与人物命运的关系：是否暗示或揭示了人物的命运。

①明确标题含义：表层义、深层义。

②分析文章结构：与开头结尾的照应、文章的线索③标题与文章中心关系：本身的点题作用、揭示文章的中心内容④分析效果：注意题目本身特点（比喻等修辞、特定句式等）；效果，生动形象、新颖含蓄、言简义丰、发人深思、引起读者思考及兴趣。

3.标题的含义一般标题有两层含义。

①联系表层含义即标题的字面义、常用义。

内容（词语的含义，点明写作对象、概括文章主要内容）。

②体会深层含义即比喻义、象征义、引申义等，往往是抽象的精神品质之类，常常是文章要揭示的中心。

答题步骤：第一步，理解标题的表层含义。

一般指的是其字典义或常用义。

第二步，体会标题的语境义（即比喻义、象征义、双关义和象征义等）。

第三步，联系全文内容，结合文章主旨，探究标题与文章中心的关系。

第四步，提炼整合答案。

答题模式：表层含义+深层含义+中心。