下载文档原格式
浙江省杭州市学军中学（西溪校区）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题）1.已知集合M={x|x＞0}，N={x|-1＜x≤2}，则（∁R M）∩N等于（）A. B. C. D.2.下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A. ,xB. ,C. ,D. ,3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.4.在同一直角坐标系中，函数y=，y=1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A. B.C. D.5.若函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，则f（lg x）的定义域为（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1=f（x）+g（x），则g（1）=（）A. B. 2 C. D. 47.已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log2.53），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.8.已知f（x）=（x2-ax+3a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知a＞0，设函数f（x）=（x∈[-a，a]）的值域为[M，N]，则M+N的值为（）A. 0B. 2019C. 4037D. 403910.已知m∈R，函数f（x）=||+m在[2，5]上的最大值是5，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.若幂函数y=f（x）的图象经过点（8，2），则f（）的值是______．12.若f（1+）=，则f（3）=______．13.已知函数f（x）=x3+ln（+x）．若f（a-1）+f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是______．14.设函数f（x）=若f[f（a）]≤3，则实数a的取值范围是______．15.已知λ∈R，函数若函数f（x）恰有2个不同的零点，则λ的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共55.0分）16.若正数a，b满足log2a=log5b=lg（a+b），则的值为______ ．17.化简求值：（1）-（-）0++（2）lg25+lg2+（）-log29×log32．18.已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|1≤x≤3}，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．19.已知函数f（x）=log2（4x+b•2x+2），g（x）=x．（Ⅰ）当b=-3时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，求实数b的取值范围．20.已知函数f（x）=log a（1-）（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）当0＜a＜1时，判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅲ）是否存在实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=x2-3|x-a|．（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）若a=，求函数y=f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）当0＜a≤1时，若对任意的x∈[a，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={x|x＞0}，N={x|-1＜x≤2}，∴∁R M={x|x≤0}，（∁R M）∩N=（-1，0]．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.【答案】B【解析】解：相同的函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系，而函数f（x）=ln x4的定义域为非零实数集，g（x）=4ln x的定义域为正实数集合，故它们不是同一个函数；函数f（x）=x2和函数g（x）==x2，具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；函数f（x）=x-1的值域为R，而g（x）==|x-1|的值域为[0，+∞），故它们不是同一个函数；函数f（x）=x的值域为R，函数g（x）=|x|的值域为[0，+∞），故它们不是同一个函数，故选：B．由题意利用函数的三要素，判断两个函数是否为同一个函数，从而得出结论．本题主要考查函数的三要素，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=2x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=x|x|=，既是奇函数又是增函数，符合题意；对于C，f（x）=-，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=lg|x|，是偶函数，不符合题意；故选B．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；【解答】解：由函数y=，y=1og a（x+），当a＞1时，可得y=是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y=是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D故选D．5.【答案】C【解析】解：若函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，则1≤x2+1≤2，∴1≤lg x≤2，∴10≤x≤100，故选：C．由函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，求出其值域，即f（lg x）的值域，从而求出其定义域．本题考查了函数的定义域，值域问题，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1=f（x）+g（x），∴f（1）+g（1）=21+1=4，①f（-1）+g（-1）=2-1+1=20=1，即-f（1）+g（1）=1 ②由①+②得2g（1）=5，则g（1）=，故选：C．根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，则f（-x）=f（x），即（）|x-m|=（）|-x-m|，分析可得m=0，则f（x）=（）|x|-1=，，＜，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log2.53），c=f（2m）=f（0），且0＜log2.53＜log23，则有a＜b＜c；故选：A．根据题意，由偶函数的定义分析可得（）|x-m|=（）|-x-m|，进而可得m=0，即可得函数的解析式，分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合对数的运算性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意求出m的值，确定函数的解析式，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令t=x2-ax+3a，则由题意可得函数t在区间（2，+∞）上是增函数，且t＞0，∴ ，求得-4≤a≤4，故选：D．令t=x2-ax+3a，则由题意可得函数t在区间（2，+∞）上是增函数，且t＞0，故有，由此求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：依题意，f（x）==+2019x=2019-+2019x，f′（x）=2019+，当x∈[-a，a]时f′（x）＞0，所以f（x）为[-a，a]上的增函数，所以M+N=2019--2019a+2019-+2019a=4038-=4037．故选：C．将函数f（x）分离常数后根据函数的单调性求解函数值域，即可得到M，N的值，从而得到M+N．本题考查了函数的单调性，函数的最值，考查了幂运算，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由x∈[2，5]，=1+∈[2，5]，若m≤2则f（x）=的最大值为5，符合题意；当2＜m≤5时，f（x）的最大值为f（2）与f（5）中较大的，由f（2）=f（5），即|5-m|+m=|2-m|+m，解得m=，显然2＜m≤时，f（x）的最大值为5，m＞时，f（x）的最大值不为定值．综上可得m≤时，f（x）在[2，5]上的最大值是5，故选：A．求得x∈[2，5]，=1+∈[2，5]，讨论m的范围，结合f（2），f（5）可得所求范围．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：设幂函数为f（x）=xα，∵f（x）的图象经过点（8，2），∴f（8）=8α=2，即23α=2，则3α=，则α=，则f（x）=x=，则f（）==，故答案为：根据幂函数的定义，利用待定系数法求出函数的解析式，然后代入求值即可．本题主要考查函数值的计算，结合幂函数的定义利用待定系数法求出是的解析式是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】2【解析】解：∵f（1+）=，∴f（3）=f（1+）==2．故答案为：2．由f（1+）=，f（3）=f（1+），能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】，【解析】解：f（x）的定义域为R，且=，∴f（x）是奇函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增，由f（a-1）+f（2a2）≤0得，f（a-1）≤f（-2a2），∴a-1≤-2a2，解得，∴实数a的取值范围是，．故答案为：，．容易判断出f（x）是R上的奇函数，且单调递增，从而根据f（a-1）+f（2a2）≤0可得出a-1≤-2a2，解出a的范围即可．本题考查了奇函数的定义及判断，增函数的定义，一元二次不等式的解法，奇函数在对称区间上的单调性，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】（-∞，7]【解析】解：∵函数f（x）=，先讨论f（a）的取值情况：①若f（a）≤0，则f2（a）+2f（a）≤3，解得，-3≤f（a）≤1，即-3≤f（a）≤0，②若f（a）＞0，则-log2（f（a）+1）≤3，显然成立；则综上得，f（a）≥-3，再讨论a的取值情况：①若a≤0，则a2+2a≥-3，解得，a∈R，即a≤0．②若a＞0，则-log2（a+1）≥-3，解得，0＜a≤7，综上所述，实数a的取值范围是：（-∞，7]．故答案为：（-∞，7]．由已知中函数f（x）=，讨论f（a）的正负，代入求出f（a）≥-3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．本题考查了分段函数的应用，在已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于中档题．15.【答案】（0，2）【解析】解：根据题意，在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+2λ的图象，如图：若函数f（x）恰有2个零点，即函数f（x）图象与x轴有且仅有2个交点，可得△=16-8λ≥0，λ≤2，当λ=2时，函数f（x）恰有1个零点，所以λ＜2；y=x2-4x+2λ的对称轴为x=2，（0，0）与（4，0）关于x=2对称；所以f（0）＞0，可得λ＞0，f（0）≤0时，函数f（x）恰有3个不同的零点，即λ的取值范围是：（0，2）故答案为：（0，2）．根据题意，在同一个坐标系中作出函数y=x-4和y=x2-4x+2λ的图象，结合图象分析可得答案．本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力．16.【答案】1【解析】解：设log2a=log5b=lg（a+b）=k，∴a=2k，b=5k，a+b=10k，∴ab=10k，∴a+b=ab，则=1．故答案为：1．设log2a=log5b=lg（a+b）=k，可得a=2k，b=5k，a+b=10k，可得a+b=ab．即可得出．本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）0.064-（-）0+16+0.25=．-1++．=2.5-1+8+0.5=10；（2）lg25+lg2+（）-log29×log32=lg5+lg2+-2（log23×log32）=1+-2=-.【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意：集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}={x|-1≤x≤3}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R}={x|m-2≤x≤m+2}，（1）∵A∩B={x|1≤x≤3}，∴ ,解得：m=3，所以：A∩B={x|1≤x≤3}时，实数m的值为3；（2）∵B={x|m-2≤x≤m+2}，∴∁R B={x|m-2＞x或m+2＜x}，∵A⊆∁R B，∴m-2＞3或m+2＜-1,解得：m＞5或m＜-3．所以：A⊆∁R B时，实数m的取值范围是：（-∞，-3）∪（5，+∞）.【解析】本题考查了集合的基本运算的运用求参数的问题，属于基础题．（1）求出B，A集合，根据集合的基本运算求解实数m的值；（2）求出根据集合B，求出∁R B，在A⊆∁R B，求实数m的取值范围．19.【答案】解：（Ⅰ）当b=-3时，f（x）=log2（4x-3•2x+2），由4x-3•2x+2＞0，得2x＞2或2x＜1，∴x＞1或x＜0，∴f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜0}；（Ⅱ）对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，即4x+b•2x+2＞2x，对任意x≥1恒成立，∴b＞=，对任意x≥1恒成立，∴只需b＞=-2，∴b的取值范围为[-2，+∞）．【解析】（Ⅰ）将b=-3代入f（x）中，由4x-3•2x+2＞0，解出x的范围；（Ⅱ）根据对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，可得b＞对任意x≥1恒成立，因此只需b＞=-2，从而得到b的取值范围．本题考查了函数定义域的求法和不等式恒成立问题，考查了转化思想和整体思想，属中档题．20.【答案】解：（1）由1-＞0，可得x＜-1或x＞1，∴f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；∵f（x）=log a（1-）=log a（），且f（-x）=log a（）=log a（）=-log a（）=-f（x）；∴f（x）在定义域上为奇函数．（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）单调递减，任取x1，x2且1＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=log a（）；由（x1-1）（x2+1）-（x1+1）（x2-1）=2（x1-x2）＜0，∴0＜＜1，又0＜a＜1，∴log a（）＞0则f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）单调递减；（3）假设存在这样的实数a，使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]；由0＜m＜n，又log a n+1＜log a m+1，即log a n＜log a m，∴0＜a＜1．由（2）知：f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）在（m，n）单调递减，∴ ，即m，n是方程log a=log a x+1的两个实根，即=ax在（1，+∞）上有两个互异实根；于是问题转化为关于x的方程ax2+（a-1）x+1=0在（1，+∞）上有两个不同的实数根，令g（x）=ax2+（a-1）x+1，则有△ ＞＞＞，解得0＜a＜3-2；故存在实数a∈（0，3-2），使得当f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log a n，1+log a m]．【解析】（1）由1-＞0，可求出f（x）的定义域，利用定义法能求出f（x）在定义域上为奇函数．（2）当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）单调递减，利用定义法能进行证明．（3）把f（x）的定义域为[m，n]时值域为[1+log a n，1+1og a m]转化为f（x）在（1，+∞）上为减函数，进一步得到=ax在（1，+∞）上有两个互异实根，令g（x）=ax2+（a-1）x+1，转化为关于a的不等式组求解．本题考查函数的定义域及奇偶性的判断，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．属于中档题，21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2-3|x-a|，若函数y=f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），即（-x）2-3|-x-a|=x2-3|x-a|，∴|x+a|=|x-a|，两边平方，得x2+2ax+a2=x2-2ax+a2，∴2ax=-2ax，∴4ax=0，∴a=0，∴实数a的值为0；（Ⅱ）若，则函数y=f（x）=x2-3|x-|=，，＜，画出函数f（x）的图象，如图所示；由图象知，单调减区间为（-∞，-]，（，]；（Ⅲ）不等式f（x-1）≤2f（x），化为（x-1）2-3|x-1-a|≤2x2-6|x-a|，即6|x-a|-3|x-1-a|≤x2+2x-1（*）对任意x∈[a，+∞）恒成立，①当0≤x≤a时，将不等式（*）可化为3a≤x2+5x+2，对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+5x+2 在（0，a]为单调递增，只需g（x）min=g（0）=2≥3a，解得0＜a≤；②当a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为9a≥-x2+7x-2，对a＜x≤a+1上恒成立，由题意知h（x）=-x2+7x-2在x∈（a，a+1]上单调递增，则h（x）max=h（a+1）=-（a+1）2+7（a+1）-2≤9a，化简得a2+4a-4≥0，∴a≤-2-2或a≥-2+2；又0＜a≤1，所以-2+2≤a≤1；③当x＞a+1时，不等式（*）可化为3a≥-x2+x+4，则t（x）=-x2+x+4 在（a+1，+∞）为单调递减，则t（x）max=t（a+1）=-a2-a+4≤3a，解得a≤-2-2或a≥-2+2，又0＜a≤1，所以-2+2≤a≤1；综上知，实数a的取值范围是（0，]∪[-2+2，1]．【解析】（Ⅰ）根据偶函数的定义，化简整理，即可求得a的值；（Ⅱ）由分段函数的图象与性质，画出函数的图象，写出函数的单调区间；（Ⅲ）由题意可得，x∈[a，+∞）时，不等式恒成立，再分①当0≤x≤a时、②当x≥a+1、③当a＜x＜a+1时三种情况，分别求得a的取值范围，取交集即为所求．本题主要考查了分段函数的单调区间和二次函数性质的应用问题，体现了分类讨论和转化思想，属中档题．。
学军中学新高一分班考数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分。
1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧。
其中真命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中年高考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）A. 28，28，1B. 28，27.5，3C. 28，28，3D. 28，27.5，13. 已知方程组{3x−2y=3a−42x−3y=2a−1的解满足x＞y，则a的取值范围是（）A. a＞1B. a＜1C. a＞5D. a＜54. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使BD=2DC，连接AC，tanB=53，则tan∠CAD的值是（）A. 33B. 35C. 13D. 155. 如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，四边形DEFG、GHIJ均为正方形，点E在AC上，点I在BC上，J为边DG的中点，则GH的长为（）A. 1921B. 1 C. 6077D. 1802596. 如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQ，BP=PQ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线7. 如图，以点M（-5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A,B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的☉N与x轴交于点E，F则EF的长为（）A. 42B. 43C. 6D. 随P点位置而变化8. 已知二次函数图象的对称轴为x=1，且过点A（3，0）与B（0，1.5），则下列说法中正确的是（）①当0≤x≤22+1时，函数有最大值2；②当0≤x≤22+1时，函数有最小值-2；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则△PAB面积的最大值为32；④对于非零实数m，当x>1+1m 时，y都随着x 的增大而减小。
浙江省杭州学军中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合U =R ，集合{}{}02,31A x x B x x =≤≤=-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．()3,0-B ．()1,0-C ．0,1D ．2,32．命题“0x ∃<，使得22x x +>”的否定为（）A ．0x ∀<，22x x +>B ．0x ∃≥，使得22x x +>C ．0x ∀<，22x x +≤D ．0x ∃≥，使得22xx +≤3．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．如图，把直截面半径为25cm 的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x （单位：cm ），面积为y （单位：2cm ），则把y 表示为x 的函数的解析式为（）A ．y x =B ．y x =，050x <<C ．y x =D ．y x =050x <<5．函数()r f p =的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是A ．][)5,0,2,6-⎡⎣和[][]5,02,6-⋃B ．[][)5,02,6-⋃和][5,0,2,6-⎡⎤⎣⎦C ．][)5,0,2,6-⎡⎣和()()5,02,6- D ．[][)5,02,6-⋃和()()5,0,2,6-6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄．．．．．．．．．．，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为)3log lg20.28,lg30.48≈≈，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片．．．．．．．．．的同学分别为（）A ．丙同学和甲同学B ．乙同学和甲同学C ．甲同学和丙同学D ．乙同学和丙同学7．函数23()212,3x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为（）A ．(],8-∞B ．(],6-∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．已知函数()f x 在定义域()0,∞+上单调，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()()ln 1e f f x x -=+，则方程()210xf x x --=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．R,0x x x ∀∈+≥B ．“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件C ．“0ab =”是“220a b +=”的充要条件D ．“a b >”是“110a b<<”的必要不充分条件10．已知()221x x af x +=-是奇函数，则（）A ．1a =B ．()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增C ．()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞D ．()3xf f>的解集为1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x 11．已知函数()f x 是定义在R 上的函数.对任意,R a b ∈，总有()()()f a b f a f b +=+，()213f -=，且0x <时，()0f x >恒成立.则（）A ．()423f =-B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在()0,∞+上单调递减D ．122023202320243339f f f ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（注：()1122n n n +++⋅⋅⋅+=）三、填空题12．集合{}{}0,0,1,2,3,A B A C B ==⊆⊆，则符合条件的集合C 的个数为．13．已知a ，0b >且3ab a b =++，则a b +的取值范围为.14．已知函数()12423x x f x m m +=-⋅+-，若()f x 的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数m 的取值范围为．四、解答题15．已知集合{|15},{|10}A x x B x ax =≤≤=-≥．(1)若12a =，求()R A B ð；(2)从①A B A = ；②()R R B A ⋃=ð；③()R A B ⋂=∅ð这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答．问题：若_________，求实数a 的取值范围．16．设,,R,0,1a b c a b c abc ∈++==．注：2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)若a b c ≥≥，求a 的最小值．17．环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为()()[]25log 121,0,24f x x a a x =+-++∈其中a 为污水治理调节参数，且()0,1a ∈（1）若12a =，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()f x 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？18．已知函数()()222,21f x x ax a g x x =-+-=-，函数()()(){}min ,F x f x g x =，其中{},min ,,p p qp q q p q≤⎧=⎨≥⎩．(1)是否存在,a b ，使得曲线()()y f x g x =⋅关于直线x b =对称？若存在求,a b 的值；(2)若6a ≥，①求使得()()F x f x =成立的x 的取值范围；②求()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．19．对于正整数n ，如果()*N k k ∈个整数12,,k a a a 满足121k a a a n ≤≤≤≤≤ ，且12k a a a n +++= ，则称数组()12,,k a a a 为n 的一个“正整数分拆”.记12,,k a a a 均为偶数的“正整数分拆”个数为12,,,n k f a a a 均为奇数的“正整数分拆”个数为n g .(1)写出整数4的所有“正整数分拆”；(2)对于给定的整数()4n n ≥，设()12,,k a a a 是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值；(3)对所有的正整数n ，证明：n n f g ≤；并求出使得等号成立的n 的值.。
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 集合U ={0,1，2，3，4，5}，A ={1,2}，B ={x ∈N|x 2−3x ≤0}，则∁U (A ∪B)=( )A. {0,1,2，3}B. {0,4,5}C. {1,2,4}D. {4,5} 2. 已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin 2α+sinαcosα+1等于( ) A. 115 B. 25 C. 85 D. 75 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数是( )A. y =sinxB. y =x 3−xC. y =2xD. y =x 34. 函数f(x)=2x −8的零点是( )A. 3B. (3,0)C. 4D. (4,0)5. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −14 B. 14 C. −13 D. 13 6. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1] B. (−∞,√2] C. [−1,+∞) D. [−√2,+∞)7. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 37B. 13C. 6D. 127 8. sin 296π等于( ) A. −√32 B. −12C. 12D. √32 9. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0,π2]上的最小值是( )A. −1B. −√22C. √22D. 0 10. 若a ，b 分别为函数y =13sinx −1的最大值和最小值，则a +b 等于( )A. 23B. −23C. −43D. −2二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.若f(x)为幂函数，且满足f(8)f(2)=2，则f(3)=______．12.已知扇形的面积为2π3平方厘米，弧长为2π3厘米，则扇形的半径r为______厘米．13.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为______．14.已知角α的终边经过点(−2,1)，则tan(π−α)的值为______．15.已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)．其中正确的命题序号有______．16.已知函数f(x)=|x2−2x|+|2x2−3x|−ax.若对任意的x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为_____．17.已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R.若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3，则实数k的取值范围是_____．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知|a⃗|=√10，|b⃗ |=√5，a⃗·b⃗ =−5，c⃗=x a⃗+(1−x)b⃗ ．(1)当b⃗ ⊥c⃗时，求实数x的值；(2)当|c⃗|取最小值时，求向量a⃗与c⃗的夹角的余弦值．19.已知函数f(x)满足f(x)+3f(−x)=4ax2−8ax+8(a≠0)．(1)求f(x)的解析式；(2)若t>−3，求f(x)在[−3,t]上的最大值．20.已知函数f(x)=√3sin(2ωx+π3)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(−π3,0)，求当m取得最小值时，g(x)在[−π6,7π12]上的单调递增区间．21.若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a,b]上均有定义；②函数y=f(x)−g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上具有关系G．(1)若f(x)=lnx，g(x)=2−x，判断f(x)和g(x)在[1,3]上是否具有关系G，并说明理由；(2)若f(x)=2|x−2|和g(x)=mx2−1在[1,4]上具有关系G，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．解：B={x∈N|0≤x≤3}={0,1，2，3}，则A∪B={0,1，2，3}，则C U(A∪B)={4,5}，故选D．2.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα−sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosα22+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A.是正弦函数，为奇函数，在(2kπ−π2,2kπ+π2)，k∈Z，为增函数，故A错；对于B.函数满足f(−x)=−x3+x=−f(x)，则为奇函数，f′(x)=3x2−1>0，解得，x>√33或x<−√33则为增，故B错；对于C.是指数函数，不为奇函数，故C错；对于D.f(−x)=−f(x)，则为奇函数，且y′=3x2≥0，则为增函数，故D对．故选D ．运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可判断在定义域内既是奇函数，又是增函数的函数．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，属于基础题．4.答案：A解析：解：函数f(x)=2x −8的零点，就是2x −8=0的解，解得x =3．故选：A ．利用函数的零点与方程根的关系，求解方程的根即可．本题考查零点判定定理的应用，方程根的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 通过利用向量加减运算的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．解：∵∵点E 为线段AD 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−14，故选A ．6.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围． 本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示：。
浙江省杭州市学军中学（西溪校区）2020-2021学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则()RA B =（ ）A ．[1,1)-B ．[0,1]C ．[0,1)D ．[1,1]-2．下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ） A．()()f x g x == B ．0()1,()f x g x x ==C ．,0(),(),0x x f x x g x x x >⎧==⎨-≤⎩D．()()f x g x ==3．“1x >”是“01xx ≥+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()D x 的值域为[0,1]B ．()D x 是偶函数C ．()(3.14)D D π> D ．()D x 是单调函数5．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（ ） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(4)(1)(2)f f f <<6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，()()0f x f x +-=，且在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(2020.5)f =（ ）A ．116-B ．116C ．14D ．127．若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()f x =B ．||()2x f x -=C ．24()4x f x x =+D ．()|1|||f x x x =+-8．已知函数()2f x t =+，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++，则实数t 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,0]-C ．1(,)8-+∞D ．1(,0]8-二、多选题9．（多选题）已知2()f x x ax b =++，函数()y f x =的图象与x 轴的交点个数为m ，函数[()]y f f x =与x 轴的交点个数为M ，则M m -的值可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．（多选题）已知3515a b ==，则a ，b 满足下列关系的是（ ） A ．4ab > B ．4a b +>C ．224a b +<D ．22(1)(1)16a b +++>三、填空题11．已知3227x =，则x =_________. 12．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.13．设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.14．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________.四、双空题15．若指数函数()y f x =的图象经过点(2,4)，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭________；不等式131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭的解集是______________.16．若函数22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则函数是_________（奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数）；不等式()239f x +≤的解集为____________________.17．函数1()2x xf x +=的定义域是__________________；值域是_________________.五、解答题 18．化简求值：（1）（2）233371log 7log 21log 7log 3--. 19．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .（Ⅰ）设集合()M A B Z =⋂⋂，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集； （Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且BC =∅，求实数a 的取值范围.20．已知1121()(0)2x x a f x a a-+⋅-=>+为奇函数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并解不等式()23010f x x <-≤. 21．荷兰阿斯麦尔公司（ASML ）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV （极紫外光源）具备7nm 工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x （单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x x x x xω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x 百元，己知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x （单位：百元）. （Ⅰ）求()L x 的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数2()f x ax bx c =++，当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立.（Ⅰ）若1,0a b c =+=，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）证明：||||||3a b c ++≤，并找出一组{,,}a b c ，使得等号成立.参考答案1．C 【分析】 计算补集得到{|0}RA x x =≥，再计算交集得到答案.【详解】{|0},{|11}A x x B x x =<=-≤<，则{|0}R A x x =≥，()[0,1)R A B =.故选：C. 【点睛】本题考查了交集和补集运算，属于简单题. 2．C 【分析】对选项中的每组函数逐一分析定义域与解析式是否完全相同，进而可得答案. 【详解】A ，(][)))(),11,,()1f x x g x x =∈-∞⋃+∞=≥，定义域不同，不是同一个函数；B ，()()0()10,()f x x R g x x x∈=≠=，定义域不同，不是同一个函数；C ，,0,0(),(),0,0x x x x f x x g x x x x x >>⎧⎧===⎨⎨-≤-≤⎩⎩，解析式定义域都相同，是同一个函数；D ，(),()f x x g x x ====，解析式不相同，不是同一个函数，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的定义以及函数定义域的求解，属于基础题. 3．A 【分析】 解不等式01xx ≥+，根据解集的包含关系得到答案. 【详解】01xx ≥+，则0x ≥或1x <-，()()[)1,,10,+∞-∞-+∞，故“1x >”是“01xx ≥+”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，属于简单题. 4．B 【分析】计算函数值域为{}0,1A 错误，根据偶函数定义知B 正确，()0D π=，(3.14)1D =，C 错误，()()011D D ==，故D 错误，得到答案.【详解】根据题意：()D x 的值域为{}0,1，A 错误； 当x 为有理数时，x -为有理数，()()D x D x =-，当x 为无理数时，x -为无理数，()()D x D x =-，故函数为偶函数，B 正确； ()0D π=，(3.14)1D =，C 错误；()()011D D ==，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 5．B 【分析】由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称， 由函数2()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22bx =-=，∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=， ∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题. 6．D 【分析】由已知条件可知()f x 为奇函数且周期为4，利用函数的周期，结合其区间解析式即可求(2020.5)f 的值.【详解】由()()0f x f x +-=知：()()f x f x -=-，即()f x 为奇函数， ∵()(2)f x f x =-，有(2)()()f x f x f x +=-=-， ∴(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故()f x 为周期为4的函数，在[0,1]上有1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以121111(2020.5)(4505)()()2242f f f =⨯+===， 故选：D 【点睛】本题考查了函数的性质，根据函数的奇偶性、周期性以及区间解析式求函数值，属于基础题. 7．B 【分析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】A 选项：22023(1)44x x x ≤-++=--+≤，所以0()2f x ≤≤，值域跨度为2；B 选项：||0x -≤，所以0()1f x <≤，值域跨度不为2；C 选项：当0x =时()0f x =；当0x >时，244()144x f x x x x ==≤=++；当0x <时，244()144()()x f x x x x ==-≥=-+-+-；故1()1f x -≤≤，值域跨度为2； D 选项：1,0()21,101,1x f x x x x ≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪-<-⎩，故1()1f x -≤≤，值域跨度为2；故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题. 8．D 【分析】21t x =+，令0k =≥有220k k t --=且t 的取值范围.【详解】由题意知：()f x 的定义域为[1,)-+∞且单调递增，∴函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++21t x =+，∴令0k =，即220k k t --=为方程的两个根，∴18020t t ∆=+>⎧⎪=-≥，解得108t -<≤∴综上有：1(,0]8t ∈-， 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，根据函数单调性，结合定义域、值域构造一元二次方程，利用根与系数关系、判别式求参数范围，属于难题. 9．ABC根据二次函数的对称性，讨论0m =、1m =、2m =结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应[()]y f f x =的零点可能情况即可求M m -的值. 【详解】由2()f x x ax b =++知：24a b ∆=-且2min()()24a a f x fb =-=-，∴令()t f x =，()y f t =的定义域为2[,)4a b -+∞，对称轴为2a t =-，24a b ∆=-，1、当0m =时，240a b ∆=-<，()y f t =中0M =；2、当1m =时，240a b ∆=-=，1）当242a a b -≤-时()y f t =有一个零点0t ，若204a t b ≠-时2M =；若204a tb =-时1M =；2）当242a ab ->-时()y f t =无零点，0M =；3、当2m =时，240a b ∆=->，1）当242a ab --≤时()y f t =有两个零点，则4M =；2）当2242a a a b +-<-≤时()y f t =有一个零点，则2M =；3）当242a ab ->时()y f t =无零点，0M =； 综上知：M m -的可能值有0, 1, 2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题. 10．ABD由已知可得33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+，有a b ab +=，依据基本不等式即可知4a b +>，进而可知ab 、22a b +、22(1)(1)a b +++的范围.【详解】由题意知：33log 151log 5a ==+，55log 151log 3b ==+， ∴151511log 3log 51a b ab a b+=+=+=，即a b ab +=，∵3312log 524log 5a b +=++>+=， ∴4a b ab +=>，22222()2()2(1)18a b ab ab ab ab a b =+-=-=-->+， 222222()2()2(1)(1)1816a b a b ab a b =++++=++++>>，故选：ABD 【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题. 11．9 【分析】由指数运算性质有223332()27x =即可求x 值. 【详解】由3227x =知：23279x ===，故答案为：9. 【点睛】本题考查了指数运算，应用了()n m nmx x =的运算性质，属于简单题.12．(,1)-∞- 【分析】由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围． 【详解】 函数4()f x x x=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立，当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得1a >或1a <-，即有1a <-成立． 则a 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 13．2 【分析】化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到2222b b y -+≤≤，解得答案. 【详解】21ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥， 即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22b b m M -+==， 2M m -=.故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.14．716【分析】 变换得到22816132s ts s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-++， 当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.15 [)0,+∞ 【分析】先求出函数的解析式，从而可得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，然后利用指数函数的单调性转化原不等式为一次不等式即可求解. 【详解】设()xy f x a ==，()0,1a a >≠因为()y f x =的图象经过点(2,4)， 所以24a =，所以2a =，则()2x f x =，12122f ⎛⎫== ⎪⎝⎭131(21)2xf x -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭等价于213122x x --≤，即21310x x x -≤-⇒≥，[)0,+∞.【点睛】本题主要考查指数函数的解析式，考查指数函数单调性的应用，属于基础题. 16．奇函数 []3,0- 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断奇偶性即可得()()f x f x -=-，进而得函数为奇函数，再结合当0x ≥时，()2f x x =为增函数，()39f =解不等式即可得答案.【详解】解：当0x >时，()()()22f x x x f x -=--=-=-， 当0x <时，()()()()222f x x x xf x -=-==--=-，当0x =时，()0f x =，所以对于定义域R 内的任意实数x ，均有()()f x f x -=-，故函数为奇函数. 因为当0x ≥时，()2f x x =为增函数，所以函数()f x 在R 上单调递增， 由于()39f =，()239fx +≤，所以233x +≤，解不等式得： 30x -≤≤. 所以不等式()239fx +≤的解集为[]3,0-.故答案为：奇函数；[]3,0- 【点睛】本题考查分段函数奇偶性的判断，利用奇偶性与单调性解不等式，考查运算能力，是中档题. 17．(,0)(0,)-∞+∞； (0,2)(2,)⋃+∞；【分析】 要使分式1x x +有意义即0x ≠即可得定义域，令111t x=+≠，结合指数函数的值域求法即可求值域. 【详解】由题意知：指数1x x+中有0x ≠， ∴(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，令111t x=+≠，则()()2t f x g t ==有()(0,2)(2,)g t ∈⋃+∞， 故答案为：(,0)(0,)-∞+∞，(0,2)(2,)⋃+∞；【点睛】本题考查了求指数型复合函数的定义域、值域，属于简单题. 18．（1）6；（2）0 【分析】（1）将根式化为实数幂再计算即可得答案； （2）根据换底公式与对数运算法则计算即可得答案. 【详解】解：（1）()111326323122⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()112511112333636262332232323236-=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=.（2）()22333333371log 7log 21log 7log 7log 71log 7log 70log 3--=+--= 【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算能力，是基础题.19．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）(][),14,-∞-+∞【分析】（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案. （Ⅱ）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，得到121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得答案.【详解】（Ⅰ）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即(]3,log 8A =-∞，()22()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =⋂⋂=--⋂=.故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，BC =∅，当C =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-；当C ≠∅时，121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得(][)2,14,a ∈--+∞.综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.【点睛】本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误. 20．（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）[)(]1,01,2-.【分析】（Ⅰ）根据(0)0f =得到2a =，验证得到答案. （Ⅱ）11()221x f x =-+，根据复合函数单调性知函数单调递增，化简得到()()()202f f x x f <-≤，解不等式得到答案.【详解】（Ⅰ）1121()(0)2x x a f x a a-+⋅-=>+为奇函数，则12(0)02af a-==+，故2a =， 此时121()22x x f x +-=+，()12112()22222x xx xf x f x --+---===-++⋅，满足函数为奇函数. （Ⅱ）12111()22221x x xf x +-==-++，易知21xy =+单调递增， 根据复合函数单调性知函数()f x 单调递增，()00f =，()3210f =，()23010f x x <-≤，即()()()202f f x x f <-≤，故202x x <-≤，解得[)(]1,01,2x ∈-.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.21．（1）28483(02)()48963(25)1x x x L x x x x ⎧+-⎪=⎨--<⎪+⎩；（2）300元，7500元. 【分析】（1）由题意可得()16()2L x x x x ω=--，把()x ω代入整理得答案； （2）分段求出函数的最大值，取最大值中的最大者得答案． 【详解】（1）28483(02)()16()248963(25)1x x x L x x x x x x x ω⎧+-⎪=--=⎨--<⎪+⎩； （2）当02x 时，2()8348L x x x =-+，对称轴方程为316x =， ()max L x L ∴=（2）74=；当25x <时，48()99[3(1)]992751L x x x x =-++-+． 当且仅当483(1)1x x =++时，即3x=时等号成立． 因为7574>，所以，当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的最大利润是7500元. 【点睛】本题考查分段函数函数模型的应用以及利用基本不等式求最值，考查了建模能力与运算求解能力，是基础题．22．（1）b ≤≤-+02（2）证明见解析，1,1}1{,--- 【分析】（1）由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，求出01b ≤≤，从而确定二次函数的对称轴位置，利用单调性，判断函数的最值，根据|()|1f x ≤，可知min max ()1()1f x f x ≥-⎧⎨≤⎩，进而求得实数b 的取值范围（2）特殊赋值，求出|()|||f c =≤01，|()|||f a b c =++≤11，|()|||f a b c -=-+≤11，利用绝对值不等式||||||||||a b a b a b -≤±≤+求得||1b ≤，再通过上式分类讨论,b c 符号，从而求得||1a ≤，进而证得||||||3a b c ++≤. 【详解】（1）由1,0a b c =+=，得2222()()24b bf x ax bx c x bx b x b =++=-+-=+-由条件当||1x ≤时，|()|1f x ≤恒成立，取1x =-，|()|f b b b -=--=-≤11121，得01b ≤≤， 故()f x 的对称轴1,022b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当||1x ≤时，2min max ()()124()(1)1b bf x f b f x f ⎧=-=--≥-⎪⎨⎪==⎩，解得b --≤≤-+22 综上，实数b的取值范围是：b ≤≤-+02（2）证明：当0x =时，|()|||f c =≤01，当1x =时，|()|||f a b c =++≤11，当1x =-时，|()|||f a b c -=-+≤11， 由绝对值不等式性质可得：|()|||||a b c a b c a b c a b c ++--+=+++-+≤+11 化简得||b ≤22，即||1b ≤由|||a b c ++≤1，当,b c 同号时，有-13a ≤≤ 由||a b c -+≤1，当,b c 异号时，有-31a ≤≤ 综合可得，||1a ≤所以||||||3a b c ++≤，当,,1,1,1{}{}a b c =---时，等号成立. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，考查学生的综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力，属于难题．。
浙江省 2020 版高一上学期数学第一次质量检测试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·长春模拟) 已知集合 A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则 A∩（∁RB）=（ ）A . {x|x≥4}B . {x|x＞4}C . {x|x≥﹣2}D . {x|x＜﹣2 或 x≥4}2. （2 分） (2019 高一上·高台期中) 函数 A . （–1，+∞） B . （–1，0） C . （0，+∞） D . （–1，0）∪（0，+∞）的定义域为（ ）3. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨期末) 已知函数 A. B. C.，则的值是（ ）D. 4. （2 分） (2016 高一上·吉林期中) 指数函数 f（x）=ax（a＞0 且 a≠1）在 R 上是增函数，则 a 的取值范 围是（ ）A . a＞1第 1 页 共 11 页B . a＞2 C . 0＜a＜1 D . 1＜a＜2 5. （2 分） (2018 高一上·武汉月考) 已知奇函数定义在上，且对任意都有 A.成立，若成立，则 的取值范围为（ ）B.C.D.6. （2 分） 函数 值范围是（ ）A.，当时，恒成立，则实数 m 的取B. C. D.7. （ 2 分 ） 已 知 函 数表示中的较大值,值,记的最小值为的最大值为 ,则（）A. B.表示设 中的较小第 2 页 共 11 页C. D.8. （2 分） 若 O 和 F 分别为椭圆 （）A.2 B.3 C.6 D.8的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意点，则9. （2 分） (2018 高二下·齐齐哈尔月考)图象可能是（ ）的最大值是A.B. C.D.10. （2 分） (2016 高一上·天水期中) 若函数 f（x）=a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为 R 的增函数，则函数f（x）=loga（x+1）的图象大致是（ ）第 3 页 共 11 页A. B. C.D. 11. （2 分） 已知函数 f（x）=， 则 y=f（2﹣x）的大致图象是（ ）A.B.第 4 页 共 11 页C.D.12. （2 分） (2018 高一上·雅安期末) 已知定义在 上的函数在是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)上是减函数，若13. （1 分） (2019 高一上·南康月考) 已知，则的值为________．14. （1 分） (2016 高一上·黑龙江期中) 设函数 f（x）= 是________．，若 f（x0）＞1，则 x0 的取值范围15. （1 分） (2018·南宁模拟) 已知函数 为________.若，则实数 的取值范围16. （1 分） 对于具有相同定义域 D 的函数 f（x）和 g（x），若存在函数 h（x）=kx+b（k，b 为常数），对任给的正数 m，存在相应的 x0∈D，使得当 x∈D 且 x＞x0 时，总有第 5 页 共 11 页，则称直线 l：y=kx+b 为曲线y=f（x）和 y=g（x）的“分渐近线”．给出定义域均为 D={x|x＞1}的四组函数如下： ①f（x）=x2 ， g（x）= ；②f（x）10﹣x+2，g（x）=；③f（x）=，g（x）=；④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线 y=f（x）和 y=g（x）存在“分渐近线”的是________．三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17. （10 分） (2019 高一上·葫芦岛月考) 设集合.（1） 求；（2） 用列举法表示集合 ，并求.18. （10 分） (2017·漳州模拟) 漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州” 之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻 250 粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚 1.2 元，如果雕刻师当天超额完成 任务，则超出的部分每粒赚 1.7 元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资．（I）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量 n（单位：粒，n∈N）的函数解析式 f（n）；（Ⅱ）该雕刻师记录了过去 10 天每天的雕刻量 n（单位：粒），整理得如表：雕刻量 n210230250270300频数12331以 10 天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．（ⅰ）求该雕刻师这 10 天的平均收入；（ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率．19. （10 分） (2016 高一上·灌云期中) 已知 a+a﹣1= （a＞1）第 6 页 共 11 页（1） 求下列各式的值： （Ⅰ）a +a ；（Ⅱ）a +a ；（2） 已知 2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，求 loga 的值．20. （10 分） (2018 高一上·中原期中) 已知函数.（1） 若的定义域和值域均是，求实数 的值；（2） 若 围；在区间上是减函数，且对任意的，都有，求实数 的取值范（3） 若 的取值范围.，且对任意的，都存在，使得成立，求实数21. （15 分） (2019 高一上·郑州期中) 已知函数.（Ⅰ）若，求 的值；（Ⅱ）若对于恒成立，求实数 的取值范围.22. （10 分） (2019 高三上·安康月考) 已知函数.（1） 求函数的图象在点处的切线方程；（2） 若在上有解，求 的取值范围；（3） 设是函数的导函数，是函数恰好就是该函数的对称中心.试求的导函数，若函数的零点为 ，则点 的值.第 7 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 65 分)17-1、17-2、18-1、第 9 页 共 11 页19-1、 19-2、 20-1、20-2、 20-3、第 10 页 共 11 页21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{}1M x x =>，{}21P x x =>则下列关系中正确的是（ ） A ．M P = B ．M P M = C ．M P M=D ．()UM P =∅2．设纯虚数z 满足1i1i a z-=+（其中i 为虚数单位），则实数a 等于 A ．1B ．－1C ．2D ．－23． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）4．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b >- B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b >5．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A ．()()1D D x =，0是()D x 的一个周期B ．()()1D D x =，1是()D x 的一个周期 C ．()()0D D x =，1是()D x 的一个周期 D ．()()0D D x =，()D x 最小正周期不存在7．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 8．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC+2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12BC 3D ．369．已知二次函数()()22f x ax bx b a =+≤，定义()(){}1max 11f x f t t x =-≤≤≤，()(){}2min 11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b 表示,a b 中的较小者，下列命题正确的是( ) A ．若()()1111f f -=，则()()11f f -> B ．若()()2211f f -=，则()()11f f -> C ．若()()2111f f =-，则()()1111f f -< D ．若()()211-1f f =，则()()2211f f ->10．已知数列{}n a 满足112a =-，2131n n n a a a +=++，若12n nb a =+，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、双空题11．()512x -展开式中3x 的系数为___；所有项的系数和为____．12．等比数列{}n a中，1a =2a =，则2201382019a a a a +=+__________，1234a a a a =__________．13．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos c A C =，则C =__________，若c =，ABC的面积为2，则a b +=__________．14．已知函数()()222,021,0x x x f x f x x -⎧+-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________，若函数()()g x f x k =-有无穷多个零点，则k 的取值范围是__________．三、填空题15．已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为__________． 16．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．17．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是__________．四、解答题18．已知函数()2sin cos()3f x x x π=++. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.19．已知在ABC 中，1AB =，2AC =．（1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-； （2）若点E 为BC 的中点，求2211AEBC+的最小值．20．已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a =+++，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()()()1412121n n n n nb a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+. 21．设函数(),xf x e ax a a R =-+∈，其图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12xx <.（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<.22．已知函数()2ln 2f x x ax bx =---，a R ∈.（1）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；（2）若对任意的3,b e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】对集合P 进行化简，然后得到集合M 和集合P 的关系，得到答案. 【详解】集合{}{}2111P x x x x x =>=><-或， 集合{}1M x x =>， 所以M P M =，故选C. 【点睛】本题考查集合之间的关系，属于简单题. 2．A 【解析】本题考查的是复数运算．设，则，所以．解得，应选A ．3．D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．4．B 【分析】根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a ＞b 的关系，可得答案． 【详解】B 选项1a b >+是a b >的充分不必要的条件； A 选项1a b >-是a b >的必要不充分条件；C 选项a b >是a b >的即不充分也不必要条件；D 选项22a b >是a b >的充要条件； 故选B ． 【点睛】本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题． 5．D 【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<,所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题. 6．B 【分析】根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可． 【详解】若x 为有理数，()()()11D D x D ==， 若x 为无理数，()()()01D D x D ==， 综上()()1D D x =，排除C ，D ．根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A 错误， 若x 为有理数，()11D x +=，()1D x =，则()()1D x D x += 若x 为无理数，()10D x +=，()0D x =，则()()1D x D x += 综上()()1D x D x +=， 即1是函数()D x 的一个周期， 故选B ． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件和定义是解决本题的关键，属于简单题. 7．C 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题. 8．D 【分析】利用垂心的性质，连接CO 并延长交AB 于D ，得到CD AB ⊥，把已知条件中的式子化简，得到()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos cos sin 2C B B +=⋅，再把cos C 化为5cos 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，整理后得到m 值. 【详解】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =， 得cos cos 2sin sin C BAB AC m AO C B+=⋅， 连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+， 所以()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B ⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅因为6A π=，所以2cos cos sin sin C B c C B +=由正弦定理可得cos sin cos sin sin sin 2C C B C B C +=又sin 0C ≠，所以有cos sin 2C B B +=⋅， 而56C A B B ππ=--=-，所以51cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin sin 2B B =，而sin 0B ≠，所以得到6m =， 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题． 9．C 【分析】由新定义可知f 1（﹣1）=f 2（﹣1）=f （﹣1），f （x ）在[﹣1，1]上的最大值为f 1（1），最小值为f 2（1），即可判断A ，B ，D 错误，C 正确． 【详解】由于2b a ≤,故二次函数的对称轴[]1,12bx a=-∈-.()(){}()11max |11f f t t f -==-=-,()(){}11max |11f f t t =-≤≤,若此时对称轴为0x =,则有()()111f f =,即()()11f f -=,所以A 选项不正确，()(){}()21min |11f f t t f -==-=-, ()(){}21min |11f f t t =-≤≤,在对称轴的位置取得最小值,即对称轴为1x =-,所以()()11f f -<,故B 选项不正确，()(){}21min |11f f t t =-≤≤,()(){}()11max |11f f t t f -==-=-，也即是函数在区间[]1,1-上的最小值,故()()1111f f -<, 所以选C . 【点睛】本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档题．二次函数的最值和函数的对称轴有关系，在小区间上的最值问题，应该讨论轴和区间的关系. 10．C 【分析】根据2131n n n a a a +=++，得到10n n a a +->，判断出n a 为递增数列，由()()1112n n n a a a ++=++，从而得到11111n n n b a a +=-++，然后利用裂项相消法得到2019S ，从而得到2019S k -，判断出201911a +的范围，得到要使2019S k -最小的整数k 的值.【详解】因为2131n n n a a a +=++，所以()2212110n n n n n a a a a a +-=++=+≥，所以n a 为递增数列，而()()2113212n n n n n a a a a a ++=++=++，所以()()1111111212n n n n n a a a a a +==-+++++ 所以1111211n n n n b a a a +==-+++， 因为数列{}n b 的前项和为n S ，112a =- 所以2019122320192020111111111111S a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-++++++ 2020121a =-+而()()21131124a a a +=++=， ()()3227711216a a a +=++=，所以20203771116a a ++=≥从而得到202011382,2177a ⎡⎫-∈⎪⎢+⎣⎭所以2019S k -要取最小，k 的整数值为2， 故选C. 【点睛】本题考查数列的递推关系研究数列的性质，裂项相消法求数列的和，属于中档题. 11．-80 -1 【分析】令1x =可得所有项的系数和，根据通项公式可写出含3x 的系数. 【详解】因为15(2)r r rr T C x +=-，令3r =，3480T x =-，所以3x 的系数为-80，设()512x -5015a a x a x =++⋯+，令1x =，则0151a a a +⋯+=- ，所以所有项的系数和为-1. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题. 12．89 92【分析】根据已知条件，求出等比数列{}n a 的公比q ，然后将所求式子进行化简，利用等比数列的基本量进行计算. 【详解】因为等比数列{}n a中，1a =2a =，所以21a q a ==， 所以()22013220136682019220131a a a a a a a a q q ++==++6189==644612341a a a a a q =⋅=⋅ 99482=⨯=.故答案为89；92【点睛】本题考查等比数列通项中基本量的计算，属于简单题. 13．3π7 【分析】根据正弦定理将边化成角，然后得到tan C =C 的值，根据余弦定理得到22a b +，根据ABC 的面积得到ab ，从而得到+a b 的值.【详解】因为sin cos c A C =由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得，sin sin cos C A A C =而sin 0A ≠，所以tan C =()0,C π∈，所以3C π=.因为c =所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2213122a b ab =+-⨯，即2231a b ab +-=因为ABC ，所以1sin 2ab C = 所以6ab =，所以22249a b ab ++=， 所以7a b +=. 故答案为3π；7. 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题.14．8 0k ≥ 【分析】根据题意得到31124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后根据0x ≥时的解析式，得到答案；根据0x ≥时的解析式，得到其图像，然后根据0x <时，由()()21f x f x =+可知，每向左1个单位，()f x 的值增大2倍，得到()f x 的最小值，从而得到()y f x =图像与y k =图像的交点有无穷多个时，k 的取值范围. 【详解】因为函数()()222,021,0x x x f x f x x -⎧+-≥⎪=⎨+<⎪⎩，所以31124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112242228-⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦.当0x ≥时，()2220xxf x --=+≥，当0x =时，等号成立，而0x <时，由()()21f x f x =+， 即每向左1个单位，()f x 的值增大2倍， 且()min 0f x ≥函数()()g x f x k =-有无穷多个零点， 即()y f x =图像与y k =图像有无穷多个交点， 则0k ≥.故答案为8；[)0,+∞. 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，求函数的值，函数与方程，属于中档题. 15．54-【分析】对条件中的式子进行转化，得到()21x y xy +-=，代入到所求的式子中，然后通过配方，得到其最小值. 【详解】因为,x y R ∈且221x y xy ++=，所以()21x y xy +=+，即()21x y xy +-=， 代入到x y xy ++中得()()21x y xy x y x y ++=+++-21524x y ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，故当12x y +=-时，x y xy ++有最小值，为54-，故答案为54-. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、配方法解决二元函数最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．8 【分析】由0a b ⋅=，建立坐标系，设(),c x y =，得到221x y +=，然后将条件和所求的目标都转的不等式，从而求出a b -的最大值，得到答案. 【详解】因为0a b ⋅=，所以以a 为x 轴，以b 为y 轴建立坐标系， 设(),0a a =，()0,b b =，(),c x y =，1c =可得221x y +=，(),a c a x y -=--，(),b c x b y -=--因为5a c b c -=-=所以()()22222525x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 两式相加得()222212502ax by a b x y ⎡⎤+=+++-⎣⎦ 即()221482ax by a b +=+-由柯西不等式得()()()2222222ax by a bxy a b ≤+++=+，即ax by ≤+所以()221482a b ≤+-整理得2048≤-所以得80≤≤，(),a b a b -=-所以28a b a ≤-=+.故答案为：8. 【点睛】本题考查通过建立坐标系处理向量问题，利用柯西不等式求最值，属于中档题. 17．[]4,8- 【分析】先对不等式进行整理，得到2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立，设24t x x =+，利用导数求出t 的值域，然后根据一次函数保号性得到关于,a b 的不等式组，通过配凑系数，得到答案. 【详解】因为322044ax bx a x ≤++≤对[]1,4x ∈恒成立， 两边同除以2x 得2440a x b x ≤≤⎛⎫++ ⎪⎝⎭对[]1,4x ∈恒成立， 故令24t x x=+，[]1,4x ∈，不等式转化为40at b ≤+≤， 381t x'=-，令0t '=得2x =， 所以()1,2x ∈，0t '<，t 单调递减，()2,4x ∈，0t '>，t 单调递增， 所以2x =时，t 取最小值为3， 当1x =时，5t =；当4x =时，174t =； 所以t 的值域为[]3,5， 根据一次函数保号性可知034054a b a b ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩令()()357m a b n a b a b +++=+，得3571m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以784a b ≤+≤-， 故答案为[]4,8- 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题. 18．（Ⅰ）7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈；（Ⅱ）()f x 取得最大值，()f x 取得最小值32-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据两角和余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()f x ，再根据正弦函数性质求单调区间：由解得，最后写出区间形式（Ⅱ）先根据自变量范围确定基本三角函数定义区间：，再根据正弦函数在此区间图像确定最值：当时，取得最小值；当时，取得最大值1.试题解析：（Ⅰ）. ……………………………………3分由，，得，.即的单调递减区间为，.……………………6分（Ⅱ）由得， ………………………………8分所以. …………………………………………10分所以当时，取得最小值；当时，取得最大值1. ………………………………13分考点：三角函数性质【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 19．（1）0；（2）910【分析】（1）根据AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==，然后得到2133AD AB AC =+，代入到()2AD AB AC ⋅-中，进行整理化简，得到答案；（2）根据E 为BC 的中点，在ABE ∆和ACE ∆中用余弦定理，从而得到224AE BC+()22210AB AC=+=，然后利用基本不等式，求出2211AEBC+的最小值，得到答案.【详解】解：（1）因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CDAC==所以可得2133AD AB AC =+， 所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+⎪⎝⎭()20AB AC ⋅-=；（2）在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得222cos 2AE BE ABAEB AE BE+-∠=，222cos 2AE CE ACAEC AE CE+-∠=，而BE CE =，cos cos AEB AEC ∠=-∠，所以得到22222222AE BE ABAE CE ACAE BEAE CE+-+-=-整理得：224AE BC +()22210AB AC=+=22221111110AE BC AE BC ⎛⎫⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭()224AE BC + 2222414110BC AE AE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 222241951010BC AE AE BC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭≥ 当且仅当2BC AE =时，等号成立. 【点睛】本题考查平面向量定理，余弦定理解三角形，基本不等式求和的最小值，属于中档题. 20．（1）n a n =；（2）证明见解析； 【分析】（1）根据已知得到1n =和2n =时的式子，联立后得到1a 和2a 的值，从而得到1a 和公差d ，再写出{}n a 的通项；（2）根据（1）得到的n a 的通项，代入n b 中得到n b 通项，利用裂项相消的方法求出n b 前n 项的和，进行证明. 【详解】解：（1）因为233312n n S a a a =+++1n =时，2311S a =；2n =时，233212S a a =+，联立得：2311233212S a S a a ⎧=⎨=+⎩即()23112331212a a a a a a ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩ 解得1212a a =⎧⎨=⎩，所以公差211d a a =-=所以n a n =； （2）()()()1412121n n n b n n -=--+()()111112121n nn n -=----+所以12n b b b +++()()()()()()112111111111111113352121n nn n -=---+---+⋅⋅⋅+----+ ()11121nn =--+12212121n n n +≤+=++. 【点睛】本题考查等差数列通项中基本量计算，裂项相消求的方法求和，属于中档题. 21．（1）2a e >（2）证明见解析； 【分析】（1）先求出()f x '，易得当0a ≤不符合题意，当0a >时，当ln x a =时，()f x 取得极小值，所以()ln 0f a <，得到a 的范围，再由()10f >，()3ln 0f a >，结合零点存在定理，得到答案.（2）由题意，12120,0,x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩，两式相减，得到2121x x e e a x x -=-，记()2102x x s s -=>，将122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭转化为()g s ，再由导数求出其单调性，从而得到1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭，再由()xf x e a '=-是单调增函数，得到0f '<.【详解】解：（1）因为(),xf x e ax a a R =-+∈，所以()xf x e a '=-.若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾.所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a =时，()f x 取得极小值.因为函数()()xf x e ax a a R =-+∈的图象与x 轴交于两点()1,0A x ，()()212,0B x x x <， 所以()()ln 2ln 0f a a a =-<，即2a e >.此时，存在1ln a <，()10f e =>；存在3ln ln a a >，()33ln 3ln f a a a a a =-+3230a a a >-+>， 又()f x 在R 上连续，故2a e >.（2）因为12120,0,x x e ax a e ax a ⎧-+=⎨-+=⎩ 两式相减得2121x x e e a x x -=-. 记()2102x x s s -=>， 则1221122212x x x x x x e e f e x x ++-⎛⎫'=- ⎪-⎝⎭()12222x x s s e s e e s +-⎡⎤=--⎣⎦， 设()()2s s g s s e e -=--，则()()20s s g s ee -'=-+<， 所以()g s 是单调减函数， 则有()()00g s g <=，而12202x x es +>，所以1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭. 又()x f x e a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，换元法构造新函数，涉及知识点较多，题目较综合，属于难题.22．（1）0a >，()f x 在20,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，24a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减； 0a =，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；102a -<<，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎝⎭单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增； 12a ≤-，()f x 在()0,∞+单调递增. （2）220a e<≤ 【分析】（1）求出()f x '，然后对a 进行分类讨论，判断出()f x '的正负，从而得到()f x 的单调区间，得到答案；（2）问题等价于ln 2x ax b x -=+有两解，令()ln 2x g x x-=，利用导数求出()g x '，求出其单调性和极值，结合图像得到0a >，过30,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭作切线时，斜率a 最大，通过导数求出过一点的切线，得到a 最大值，从而得到a 取值范围.【详解】解：（1）()2122x ax f x x--'=,0x > （i ）0a >，令()0f x '=，得到21220x ax --=，解得x =，x =所以当20,4x a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当24x a ⎛⎫-+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在20,4a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，24a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减； （ii ）0a =，令()0f x '=，得到12x = 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； （iii ）102a -<<，令()0f x '=，得到x =，24x a -=当24x ⎛⎛⎫--∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当2244x a a ⎛-+-∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 在20,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，22,44a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，24a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增； （iiii ）12a ≤-，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+单调递增； 综上所述，0a >，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减； 0a =，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；102a -<<，()f x在20,4a ⎛-+ ⎝⎭单调递增，2244a a ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，24a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增； 12a ≤-，()f x 在()0,∞+单调递增. （2）因为对任意的3,b e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，方程()0f x =恒有2个不等的实根 所以将问题等价于ln 2x ax b x-=+有两解 令()ln 2x g x x -=，0x >有()23ln x g x x -'=，0x > ()30g e ∴=；()g x 在()30,e 递增，()3,e +∞递减；0x →，()g x →-∞；x →+∞，()0g x →；∴有图象知要使()ln 2x g x x-=的图像和y ax b =+的图像有两个交点， 0a >，过30,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭作切线时，斜率a 最大. 设切点为()00,x y ，有002003ln 2ln 5x x y x x x --=+， 002ln 53x x e-∴=-， 0x e ∴=此时斜率a 取到最大22e 220a e∴<≤. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，导数的几何意义，函数与方程，求过一点的切线，运用了分类讨论以及数形结合的方法，题目比较综合涉及到多个知识点，对计算能力的要求比较高，属于难题。
2020年浙江省杭州市学军中学高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】两角和与差的正切函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sinθ，进而求得sin2θ．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T==2，过P作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，AP=在直角三角形中有sin∠APD=，cos∠APD=；cos∠BPD=，sin∠BPD=∴sinθ=sin（∠APD+∠BPD）==cosθ=∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．2. 在边长为1的正方形ABCD中，等于（）A．0 B．1 C．D．3参考答案：B【考点】9A：向量的三角形法则．【分析】根据向量的加法法则即可求出【解答】解：利用向量加法的几何性质，得++=∴=||=1，故选：B3. 已知是方程的两个根，则（）A. B. C. D.参考答案：C4. 函数的定义域是（）A. B. C. D.参考答案：D5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：B【分析】由，根据函数的图像变换规律可得解.【详解】要得到函数的图象.只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像平移，解决此类问题应注意对函数图像平移的影响.6. 直线与圆的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切参考答案：D略7. 设偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则的大小关系是A、 B、C、 D、参考答案：A8. 已知，，则=( )A． B． C． D．参考答案：D略9. 满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是（）A. 8B. 7C. 6D. 5参考答案：C10. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）．A．B．C．D．参考答案：C选项，是偶函数，故错误；选项，是奇函数且在上是减函数，故错误；选项，是奇函数且在上是增函数，故正确；选项，是奇函数，在和上是增函数，在和上是减函数，故错误，综上所述，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校共有师生2400人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本. 已知从学生中抽取的人数为110人，则该校的教师人数是________.参考答案：20012. 已知函数的值域为R，则实数a 的取值范围是．参考答案：13. 已知函数，若实数满足，则等于 .参考答案：114. 如图所示算法，则输出的i 值为***参考答案：12略15. 已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+= ．参考答案：﹣1【考点】3O：函数的图象．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1?x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1?x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．16. 函数f(x)=(a-2)+2(a-2)x-4的定义域为R,值域为（-∞，0]，则满足条件的实数a组成的集合是__________________ 。
2020年杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟.2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、姓名和会考号. 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4．考试结束，只需上交答题卷.一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合M={1, 2, 5}，则集合U ðM =( ) A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．{}3,4,52．在下列各函数中，既是奇函数，又在(0,1)上单调递增的是( ) A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x -=D ．cos 2y x =3．sin()tan()234ππππ++-=( ) A ．32B ．12-C ．32D ．312- 4．已知数列{}n a 的通项为110n n a -=，*()n N ∈. 设lg n n b a =，则数列{}n b 是( ) A ．公差为正的等差数列 B ．公差为负的等差数列C ．公比为正的等比数列D ．公比为负的等比数列5．在△ABC 中，22,2,135,AB BC B ==∠=o 则AC =( )A ．2B ．23C ．25D ．276．若把颜色分为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3个人，每人分得1个球. 记事件M 为“甲分得白球”，事件N 为“乙分得白球”，则( ) A ．M U N 为必然事件 B ．M U N 为不可能事件C ．M 与N 是对立事件D ．M 与N 是互斥事件7．设二次函数2()(,)f x x bx a a b R =-+∈的部分图象如图所 示，则函数()ln 2g x x x b =+-的零点所在的区间是( )A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．(2,3)8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值为( ) A ．0 B ．3C ．32 D ．32-9．若在直线l 上存在不同的三个点A 、B 、C ，使得关于x 的方 程20()x OA xOB OC x R --→--→--→→++=∈ 有解 (点O 不在直线l 上)，则此方程的解集为( ) A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1-D ．{}1,0-10．已知01a <<，设集合{}{}(,)(),(,)P x y y f x M x y y a x ====-. 现给出下列函数：①()x f x a =；②()log a f x x =；③()sin()f x x a =+；④2()2f x a ax =-，则能使得P M =∅I 的函数()f x 的编号是( ) A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①②③④二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分. 请将答案填在答题卷中的横线上. 11．在等差数列{}n a 中，若2106a a +=，则该数列的前11项和等于 . 12．设函数4,110,()210,10100.x x f x x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩若()60f x =，则x = .13．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图， 则甲、乙 两人得分的中位数之和是.甲 乙7 8 04 6 3 1 25 36 8 2 5 4 3 8 9 3 1 6 1 67 94 4(第13题)xy O 1(第7题)1sin()3n S S π=+ 开始否2011?n ≤是输出S 1n n =+结 束S = 0, n = 1 (第8题)14．若满足不等式2()(2)0ax a x a --+<的整数x 仅有3个，则实数a 的取值范围是 . 15．若钝角三角形三内角的度数依次成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m ，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题有5小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，单位圆O 与x 轴正半轴的交点为A ，点 P , Q 在单位圆上，且满足,,[0,)6AOP AOQ πααπ∠=∠=∈.(1)若3cos ,5α=，求cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)设函数()f OP OQ α--→--→=⋅，求()f α的值域.17．(本题满分10分)设非零向量向量,--→--→OA =a OB =b ，已知2=a b ，()⊥a +b b . (1)求a 与b 的夹角；(2)在如图所示的直角坐标系xOy 中，设(1,0)B ，已知153(,)26M ，1212(,)R λλλλ--→=∈OM a +b ，求12λλ+的值.18．(本题满分10分)抽样100位高一学生的化学与物理水平测试的成绩，统计如表所示，成绩分A (优秀)、B (良好)、xyOAB (第17题)xy OPA (第16题)QC (及格)三种等级，例如：表中化学成绩为B 等级的共有20 + 18 + 4 = 42人.物理 物理化学ABCA 7 20 11B 9 18 11 Ca4b(1)估计高一学生物理和化学成绩均为优秀的百分率； (2)若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求,a b 的值； (3)若814,4a b ≤≤≥，求4a b -=的概率.19．(本题满分10分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*122()n n a S n N +=+∈，12a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若在n a 与*1()n a n N +∈之间插入n 个1，构成如下的新数列：123,1,,1,1,,1,1,1,a a a 4,,a L 求这个新数列的前2012项的和.20．(本题满分10分)已知函数22()(1)(1)x b f x a x =-+-，其中(0,)x ∈+∞.设x b t a x=+. (1)当1,4a b ==时，用t 表示()f x ，并求出()f x 的最小值；(2)设0k >，当22,(1)a k b k ==+时，若1()9f x ≤≤对任意[,]x a b ∈恒成立，求k 的取值 范围.2012年杭州市高一年级教学质量检测数学评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分, 共30分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CABBCDACCA二、填空题：本大题有5小题，每题4分，共20分．11．33 12． 25 13．54 14．2 < a ≤ 3 15. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：本大题有5小题, 共50分． 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 16．(本题满分10分)（1）由条件可得4sin 5α= ，6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1043321542353+=⨯+⨯= ．5分 （2） ()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ααsin 21cos 23+=sin 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， [0,)απ∈Q ， 4[,)333πππα∴+∈，3sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭，()αf ∴的值域是3,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦．5分 17．(本题满分10分)⑴ Q (a b +r r )⊥b r()0a b b ∴+⋅=r r r ，220,||a b b a b b ⋅+=∴⋅=-r r r r r r ,xyOPA (第16题)QxyOAB又||2||a b =r r ， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅<⋅>==-⋅r rr r r r即a r 与b r 的夹角为23π． 5分（2）由已知及题(1)得(1,3)A -，因为12OM a b λλ=+u u u u r r r ，所以12153(,)(1,3)(1,0)26λλ=-+，解得1258,66λλ==，即12λλ+＝136． 5分18.(本题满分10分)（1）样本两课均为优秀人数是7，样本容量100， 样本两课均为优秀的比例为7100， 所以所求为7%。
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第1题4分已知集合A={1,2,4}，B={0,2,4}，则A∪B=（）．A. {2,4}B. {0,1,2,4}C. {0,1,2,2,4}D. {x|0⩽x⩽4}2、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第2题4分双曲线x 24−y29=1的实轴长为（）．A. 2B. 3C. 4D. 63、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第3题4分已知圆C:(x−1)2+y2=1，直线l过点(0,1)且倾斜角为θ，则“θ=0”是“直线l与圆C相切”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第4题4分若复数a+3i1+2i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数．则实数a的值为（）．A. 4B. 3C. 6D. −65、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第5题4分2020~2021学年10月陕西咸阳武功县高三上学期月考理科第10题5分2019~2020学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科第8题5分2019~2020学年9月安徽合肥包河区合肥市第一中学高三上学期月考文科第9题5分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科第9题5分，则y=f(x)的图象大致为（）．已知函数f(x)=1x−lnx−1A.B.C.D.6、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第6题4分设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）．A. 若l//α，m//α，则l//mB. 若l//α，m ⊥l ，则m ⊥αC. 若l ⊥α，m ⊥l ，则m//αD. 若l ⊥α，m ⊥α，则l//m7、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第7题4分2019年湖南长沙开福区长沙市第一中学高三一模理科第8题5分2019~2020学年广东深圳南山区深圳市第二高级中学高二上学期段考（三）第9题5分 2020~2021学年辽宁沈阳高二下学期期末（五校协作体）第4题5分2018~2019学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中理科第5题5分 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺8、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第8题4分设a →， b →，c →为平面向量．|a →|=|b →|=a →⋅b →=2，若(2c →−a →)⋅(c →−b →)=0，则c →⋅b →的最大值是（ ）．A. √7+√3B. 52+√3C. 174D. 949、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第9题4分定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−cosx，则下列结论正确的是（）．A. f(20192)<f(20203)<f(2018)B. f(2018)<f(20203)<f(20192)C. f(2018)<f(20192)<f(20203)D. f(20203)<f(20192)<f(2018)10、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第10题4分设等差数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N∗，都有|S n+2020|⩾|S n|．则下列命题不一定成立的是（）．A. |S2020|⩽|S2021|B. |S2021|⩽|S2022|C. |a1010|⩽|a1011|D. |a1011|⩽|a1012|二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第11题6分已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2，则p=，P(X=1)=．12、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第12题6分2020~2021学年浙江杭州西湖区杭州师范大学附属中学高二上学期期中第14题6分已知实数x，y满足约束条件{x+y−2⩾0 x−y−2⩽02x−y−2⩾0，则z=x+2y的最小值为；y+1x的取值范围是．13、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第13题6分若将函数f(x)=x7表示为f(x)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a7(x−1)7，其中a0，a1，a2，⋯，a7为实数，则a3=．a0+a2+a4+a6=．14、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第14题6分已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC=b+c，则A=，又若b=2，a=x，△ABC有两解，则实数x的取值范围是．15、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第15题4分已知抛物线y2=4x，过点A(1,2)作直线l交抛物线于另一点B，Q是线段AB的中点，过Q作与y轴垂直的直线l1．交抛物线于点C，若点P满足QC→=CP→，则|OP|的最小值是．16、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第16题4分2020~2021学年广东深圳南山区深圳实验学校高二下学期段考（一）第16题5分将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有种不同的放法．17、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第17题4分已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，AD=2，∠BAC=90°，若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第18题14分设函数f(x)=cos(2x+π6)−cos(2x−3π2)+a的最小值是−1．(1) 求a的值及f(x)的对称中心．(2) 将函数f(x)图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到g(x)的图象．若g(x)⩾−12，求x的取值范围．19、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第19题15分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，CC1=2√3，∠BAC=120°．O为线段B1C1的中点，P为线段CC1上一动点（异于点C、C1)．Q为线段BC上一动点，且QP⊥OP：(1) 求证：平面A1PQ⊥平面A1OP．(2) 若BO//PQ，求直线OP与平面A1PQ所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第20题15分已知数列{a n}满足a1=2，a2=10，a n+2=a n+1+2a n，n∈N∗．(1) 证明：数列{a n+a n+1}是等比数列．(2) 求数列{a n}的通项公式．(3) 证明：1a1+1a2+⋯+1a n<34．21、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第21题15分已知M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，点P(0,2)关于直线y=−x的对称点在椭圆M上．(1) 求椭圆M的方程．(2) 如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．①求△COD面积的取值范围．②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第22题15分已知实数a⩾−1，设f(x)=(x+a)lnx，x>0．(1) 若a=−1，有两个不同实数x1，x2满足|f′(x1)|=|f′(x2)|，求证：x1+x2>2．(2) 若存在实数1e <c<4e2，使得|f(x)|=c有四个不同的实数根，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】13;256 2187;12 、【答案】2;[12,2);13 、【答案】35;64;14 、【答案】π3;(√3,2);15 、【答案】√22;16 、【答案】535;17 、【答案】5√2+254;18 、【答案】 (1) 0，(−π6+kπ2,0)，k∈Z．;(2) x∈[kπ2−π24,7π24+kπ2]，k∈Z．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√1919．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) a n=2n+1+2⋅(−1)n．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2)①4√1t −4t2∈(0,1]．②是，12．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 0<a<1e2．;。
