有限元第一章绪论

现代列车车厢整体结构的有限元分析模型
空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
人体肩部区域的骨胳有限元分析模型以及计算结果
有限元的发生与发展
• 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌
芽阶段； 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组 能量原理和结构分析论文。
热分析 程序可处理热传递的3种基本类型：传导、对流和辐射。热传递 的3种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模 拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热-结 构耦合分析能力。
电磁场分析 进行电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分 布、力、运动效应、电路和能量损失等。
有限元法分析过程
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。 • 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
流体动力学分析
可以是稳态和瞬态，得到压力、流量和温度分布。
声场分析 研究声波的传播、固体结构的动态特性、声场强度分布、水 对振动船体的阻尼等
压电分析 可以进行静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析， 研究二维或三维结构对直流、交流电流的响应。
有限元软件的后处理功能 有限元分析软件的后处理过程包括：位移、 温度、应力、应变、速度及热流等，输出形 式可以有图形显示和数据列表2种。

弹性力学及有限元法
Elae Element Method
机械工程与自动化学院
现代设计与分析研究所
张瑞金 Rjzhang@
弹 性 力 学 及 有 限 元 法
第一章 绪论
了解弹性力学的定义；
了解弹性力学研究方法 ； 掌握有限单元法的基本思想； 了解常用有限元计算程序； 课程计划。
绪 论
现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和 再计算的一个循环过程。 3、由求解线性问题发展到求解非线性问题 许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能 解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的 大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡 胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析，则必须考虑材料非线性。 4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 求解线性结构问题，只要离散单元足够小，所得的解就可足够逼近于精 确值。现在发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。 例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热 问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即“热力耦 合”的问题。 5、程序面向用户的开放性 商业化的提高要求给用户一个开放的环境。
解析法：得出精确的函数解
数值法： 差分法：采用差商代替微商，将弹力中导 出的微分方程及其边界条件化为差分方程 （代数方程）进行求解。 变分法：根据变形体的能量极值原理，导 出弹性力学的变分方程，并进行求解。 有限单元法：离散模型的数值解
绪 论
弹 性 3. 有限元法基本思想 力 学 及 有 将求解区域划分为有限个互不重叠的单元，单元 之间仅依靠节点连接，单元内部点的待求量可由 限 元 单元节点量通过选定的函数关系插值求得，建立 法

1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
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转向机构支架的强度分析
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动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
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谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P

考虑微段dx，内力 N=q (L-x)
dx的伸长为
Δ(dx) N(x)dx q(L x)dx

EA
x截面上的位移：
x N(x)dx x q(L x)dx q
x2
u 0 EA 0
EA
(Lx )
EA
2
根据几何方程求应变，物理方程求应力。这里
应变
du q ε x dX EA(L X)
实验方法的最大优点是结果真实可靠，通
常被当作产品最终定型的权威性依据。
实验方法也存在不足：
1）实验一定要在样品或样机试制之后才 能进行，成本高、周期长，并且只适合 批量生产的产品。
2）可以获得的数据量有限，无法对设计 提供更多的指导，更无法进行结构优化。
3）受实验手段的限制，有些参数无法测 准。
应力
σx
Eε x
q A
(L X)
有限单元法求解直杆拉伸：
1、离散化
2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
L1
1
L2
2
Li Li+1
i-1 i i+1
n-1 n
图 2-2
i-1
Li
i q (Li + Li+1)
Li+1
2
i+1
图 2-3
有限单元法求解直杆拉伸：
3、假设线单元上的位移为线性函数
五、数值分析与实验分析的比较
分析方法可分为理论计算和实验两大类。
1、基于实验的分析方法
指通过的实验测试获取需要的性能参数的 方法。这种方法获取不同的性能参数需要采用 不同的测试方法、仪器设备和辅助实验装置。 如：强度实验，可以采用电阻应变片及应变仪、 光弹涂膜或云纹栅、应变涂料等；扭转与弯曲 刚度实验则需要专门的实验台等等。