2.2 录像机计数器的用途
老式的录像机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似的情况。
这种计数器有什么用呢？让我们从下面的问题开始：
经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。
问题：
在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？
思考：
计数器读数是均匀增长的吗？
如果计数器读数随着录像带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著地超过6061的三分之二，即录像带已经转过两个小时多，所以显然不能再录一个小时的节目。
但其实通过观察会发现，读数并非均匀增长，而是先快又慢，这样回答上面的问题，就需要建立计数器读数与录像带转过时间的关系的数学模型。
问题分析录像机计数器的工作原理（图1）
录像带运动方向
图1 录像机计数器的工作原理示意图
观察
计数器读数增长越来越慢！
模型假设
1.录像带的运动速度是常数 v ；
2.计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；
3.录像带厚度（加两圈间空隙）为常数w，空右轮盘半径记作 r ；
4.初始时刻t=0 时读数n=0 .
模型建立
建立t 与n 的函数关系有多种途径：
1. 一种很自然的想法是计算缠绕在右轮盘上的录像带的长度。
右轮盘转第 i 圈的半径为r+w i
, m 圈的总
长度等于录像带在时间t 内移动的长度vt, 所以
1
2()m
i
i r w vt π=+=∑
考虑到w 比r 小得多，并代入
12()m
i r wi vt m kn π=⎫
+=⎪⇒⎬⎪=⎭
∑n v rk
n v wk
t ππ222
+
=
这就是我们需要的数学模型。
2. 另一种更简单的方法是考察右轮盘面积的变化，右轮盘面积的增加，等于录像带厚度乘以转过的长度，即
wvt r wkn r =-+])[(22π
由此式也可得到n v
rk
n v
wk
t ππ222
+
=
3.也可用微分方程方法的到此式。
考察t 到t+dt 录像带在右轮盘缠绕的长度，有
vdt kdn wkn r =+π2)(
所以仍然有
⇒=+vdt kdn wkn r π2)(n v
rk
n v
wk
t ππ222
+
=
思考
3种建模方法得到同一结果
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫=+=-+=+∑=vdt kdn wkn r wvt r wkn r vt
wi r m
i πππ2)(])[()(22
21
⇒n v
rk n v wk t ππ222+= 但仔细推算会发现稍有差别，请解释。
模型中有待定参数,,,,k v w r 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。
参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析
将模型改记作,2
bn an
t +=只需估计 a,b ，理论上，
已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可。
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合。
现有一批测试数据（表2）：
表2 一盘录像带的实测数据 用最小二乘法可得
t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061
.
1045.1,1061.22
6--⨯=⨯=b a
模型检验：
应该另外测试一批数据检验模型： bn an
t +=2
)1045.1,1061.2(26--⨯=⨯=b a
模型应用：
回答提出的问题：由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分，剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。
揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
评注:
从提出日常生活中的一个实际问题入手，通过观察计数器读数先快后慢的现象，了解他的工作原理，在相当合理的假设下，用几种简单的方法建立了计数器读数与录像带转过时间的数学模型，并且包含了参数估计、模型检验和应用等内容，是数学建模全过程的一个典型示例。
2.3 双层玻璃的功效
在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层的，即窗户上装两层玻璃且中间有一定空隙，如图2左图所示。
据说这是为了保暖，既减少室内向室外的热量流失。
我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如图2右图，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃能够减少多少损失给出定量的分析结果。
看看双层玻璃到底有多大的功效。
比较两个其他条件完全相同的房间，他们的差异仅仅是窗户不同，一个窗户是单层玻璃的，而另一个窗户是双层玻璃的。
假设条件：
（1）设室内热量的流失是热传导引起的，不存在室
内外的空气对流；即假设窗户的密封性能很好，两层之间的空气是不对流的。
（2）室内温度1
T 与室外温度2
T 均为常数；热传导过程
已处于稳定状态。
即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
（3）玻璃是均匀的，热传导系数为常数。
模型构成：
在上述的假设下热传导过程遵从下面的物理定律：
厚度为d 的介质，两侧温差为T ∆，则单位时间由温度高的一侧流向温度低的一侧通过单位面积的热量Q 与T ∆成正比，与d 成反比，即
T Q k d
∆=
k 为热传导系数。
先考察双层玻璃的窗户。
设每层玻璃的厚度均为d ，两层玻璃间的距离为l ，其间充满了空气，贴近内层玻璃出的空气温度为a
T ，贴近外层玻璃处的空气温度为
b T 。
设玻璃的热传导系数为1
k ，空气的热传导系数为2
k ，
则对双层玻璃的窗户有
2
12
1
2
1a b b T T T T
T T
Q k k k d
l d
---===
故有 12
112
()a b a b a T T T T k l T T T T k d +=+⎧⎪⎨
+=-⎪⎩ 解得 111212
221211
2211,22a b k l k l T T T T k d k d T T T T k l k l k d k d
⎛⎫⎛⎫
++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭==+-++ 故 112211211
1122122k l T T k d k T T Q T k k l d k l d k d k d ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥=-=⎢⎥⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
现考察厚度为2d 的单层玻璃窗户（即将两层玻璃合二为一），类似有1211
2T T Q k d
-=
故 1
1
222Q k l Q k d
=
+
一般，1
2
1632k
k =（可由查表得知）。
故 11
18Q l
Q d ≤+
记 l h d
=，并令
1
()81
f h h =
+。
图3 1
Q Q
与h 的关系
由图3可以看出，当h从0开始增大时，起初效果
非常明显（0
h=时即单层玻璃），当1
h=时，即l d=时，
1111 9100
Q Q ≤≈；当2
h=即2
l d
=时，
1
5.9
100
Q
Q
≤；当3
h=即3
l d
=时，
1
4 100
Q
Q
≤；……随着h的增大，这种改进将变得越来越迟钝，考虑到美观和使用上的方便，h不必取得过大，
例如，可取4
h=即4
l d
=时，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗的3
100。
效果极为明显。
建立一个如此简单的模型就能大致看出双层玻璃的功效，并能了解到双
层玻璃大约可节省97
100
左右的热传导损耗，这也许是我们事先未曾想到的。
类似地，我们也可以同样讨论墙壁、屋顶或地板的保暖性能，用以指导改善房间的保温性能。
