19.2.1 正比例函数第2课时正比例函数的图象与性质课题第2课时正比例函数的图象与性质授课人教学目标知识技能会画正比例函数的图象;理解正比例函数的图象及性质.数学思考能根据正比例函数的图象和解析式y=kx(k≠0)理解k>0和k<0时函数的图象特征与增减性.问题解决通过观察图象,归纳总结概括出正比例函数性质的活动,发展数学感知、数学表征、数学概括能力.情感态度体会数形结合的思想,发展几何直观,体验数学的应用价值.教学重点用数形结合的思想方法,通过画图观察,概括正比例函数的图象特征及性质.教学难点正比例函数的图象特征及性质.授课类型新授课课时教具多媒体:PPT课件、电子白板教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是正比例函数?请你写出两个具体的正比例函数.2.描点法画函数图象的一般步骤是:列表、描点、连线.3.下列函数中,y是x的正比例函数的是①④.(填序号)①y=-5x;②y=4x;③y=3x2+5;④y=x2;⑤y=-23x-1.温故知新,为抓住本节重点、突破难点做知识储备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】请用描点法画出下列函数的图象,观察图象你能发现什么?(1)①y=x;②y=-x.(2)①y=4x;②y=-4x.[师生活动]教师讲清要求,巡视指导.学生可分小组进行合作探究,教师展示学生成果.直接引入,简洁明了,重点突出.活动二: 实践探究交流新知【探究1】用描点法画出正比例函数y=2x的图象.练习:在同一直角坐标系中用描点法画出正比例函数y=13x的图象.图19-2-5思考:对于一般的正比例函数y=kx,当k>0时,它的图象形状是怎样的?位置呢?在k>0的情况下,图象是左低右高还是左高右低?当自变量的值增大时,对应的函数值是增大还是减小?【探究2】当k<0时,正比例函数的图象特征及性质又怎样呢?请各小组画出函数y=-3x和y=-1.5x的图象,小组间进行合作研究.[师生活动]让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律:让学生观察、分析、讨论、对比图象的异同,发现函数图象的性质.在多个实例的基础上,归纳得到正比例函数图象的性质,潜移默化地对学生渗透概括、归纳、比较、分析等数学思想方法.活动二: 实践探究交流新知正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.【探究3】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线,我们知道,两点确定一条直线,现在,你知道画正比例函数图象的简便方法了吗?[师生活动]教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象:(1)y=32x;(2)y=-3x.图19-2-6[师生活动]学生合作探究交流得出结论:画正比例函数的图象时,只需除原点外再确定一个点,即找出一组满足函数解析式的对应数值即可,如(1,k),因为两点可以确定一条直线.例在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=12x;(2)y=-12x.教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象,并利用此例让学生巩固正比例函数的图象与性质.活动二: 实践探究交流新知解:画图象如图19-2-7.图19-2-7[师生活动]比较两个函数图象可以看出:两个图象都是经过坐标原点的直线.函数y=12x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大;函数y=-12x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随着x的增大y反而减小.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1当k>0时,正比例函数y=kx的图象大致是(A)图19-2-8变式已知正比例函数y=(3k-1)x,y随着x的增大而增大,则k的取值范围是(D)A.k<0B.k>0C.k<13D.k>13[师生活动]以学生独立思考解答为主,教师引导学生关注两道题目分别是由正比例函数的系数推断图象特征和由正比例函数的性质推断系数特征,从两个不同的角度了解正比例函数的图象与性质.例2汽车由天津驶往相距120千米的北京,s(千米)表示汽车离开天津的距离,t(时)表示汽车行驶的时间,s与t之间的关系如图19-2-9所示.(1)汽车用几小时可到达北京?速度是多少?(2)汽车行驶1小时,离开天津有多远?(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了多长时间?1.运用正比例函数的图象与性质解决简单问题,及时巩固所学知识,了解根据正比例函数的图象与性质解题可以“正用”,也可以“逆用”,并体会数形结合思想的具体应用.活动三: 开放 训练 体现 应用图19-2-9解法一:用图象解答.(1)从图上可以看出汽车用4个小时可到达北京. 速度=1204=30(千米/时).(2)汽车行驶1小时离开天津约30千米.(3)当汽车距北京20千米时,汽车出发了约3.3小时.解法二:用解析式解答.(1)由图象可知:s 与t 是正比例关系, 设s=kt ,当t=4时,s=120, 即120=k×4,k=30, ∴s=30t.(1)汽车4小时可达到北京,速度为30千米/时. (2)当t=1时,s=30×1=30,即离开天津30千米.(3)当s=100时,100=30t ,t=103,即汽车出发了103小时.以上两种方法比较,用图象法解题直观,用解析式法解题准确,各有优点. 2.结合实际问题情境,强化对正比例函数图象的认识,进一步理解不同的函数表示方法在解题中的应用及其相互联系与转化.【拓展提升】例3 已知函数y=x ,y=-2x ,y=12x ,y=3x. (1)在同一坐标系内画出函数的图象. (2)探索发现:观察这些函数的图象可以发现,随着|k|的增大,直线与y 轴的位置关系有何变化? (3)灵活运用:已知正比例函数y 1=k 1x ,y 2=k 2x 在同一坐标系中的图象如图1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.活动三: 开放训练体现应用19-2-10所示,则k1与k2的大小关系为.解:(1)如图19-2-11.图19-2-10(2)观察这些函数的图象可以发现,随着|k|的增大,直线与y轴的夹角越来越小.(3)由(2)的规律可知,k1>k2.图19-2-11图19-2-12变式观察图19-2-12的图象比较大小:(1)k1<k2; (2)k3<k4;(3)比较k1,k2,k3,k4的大小,并用不等号连接.[答案:k1<k2<k3<k4]2.进一步使学生巩固正比例函数的性质,使学生体验数形结合思想的运用过程.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.正比例函数y=-3x的大致图象是(C)A B C D图19-2-132.正比例函数y=-2x的图象是过点(0,0)和(1,-2)的一条直线.3.若正比例函数的图象经过点(-2,6),则其函数解析式为y=-3x.1.当堂检测,及时反馈学习效果,进一步使学生巩固正比例函数的性质.活动四: 课堂总结反思4.已知正比例函数y=kx(k≠0),点(2,-3)在该函数的图象上,则y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”).5.已知正比例函数y=(m-2)x(m是常数)的图象经过第二、四象限,则m的取值范围是m<2.6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升,所使用的汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行驶路程x(km)之间的函数解析式;(2)在平面直角坐标系内描出函数的大致图象;(3)计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.小结与作业:小结:(1)本节课我们研究了什么,得到了哪些成果?(2)正比例函数的图象及性质是怎样的?我们是如何进行研究的?(3)在正比例函数的研究过程中,你感受最深的是什么?作业:教材第98页习题19.2第1,2题.2.在练习设计上,遵循由浅入深、循序渐进的原则,使学生解决问题的能力得到进一步提升.3.学生小结能发挥学生的主体作用,逐步提高学生的语言表达能力和自我获取知识的能力.【知识网络】利用框架图回顾本节课的知识,使学生更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]在新课导入过程中,教师一定要让学生亲自动手实践运用描点法画出函数的图象,感悟函数图象的相同点与不同点,以利于学生加深对正比例函数的图象及性质的理解.②[讲授效果反思]本节课通过实例使学生了解了正比例函数的图象的特征,并掌握了图象特征与解析式的联系规律,经过思考、尝试,使学生知道了正比例函数图象的简单画法,为以后学习一次函数奠定了基础.回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力.活动四: 课堂总结反思③[师生互动反思]教学活动中教师要给学生提供充分的时间与空间,让其进行自主探索和与同伴交流,经历、体验数学活动的整个过程.④[习题反思]好题题号错题题号【学习目标】1、理解正比例函数的概念及其图象的特征2、能够画出正比例函数的图象3、能够利用正比例函数解决简单的数学问题【重点】正比例函数的图象和性质【难点】正比例函数的图象及性质【课前准备】1、什么叫正比例函数？________________ _ 。
