广东省中山市普通高中高考数学三轮复习冲刺模拟试题：(3)

2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数 学 （三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】由集合{}0,1A =，{} ,B x y x A y A =-∈∈，根据,x A y A ∈∈，所以1,0,1x y -=-，所以B 中元素的个数是3，故选C ． 2．在复平面内，复数5i 2i +对应的点坐标为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--【答案】A 【解析】5i 5i(2i)5(12i)12i 2i (2i)(2i)5-+===+++-，∴在复平面内对应的点坐标为()1,2， 故选A ．3．用斜二测画法画水平放置的ABC △的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A B C '''．已知点O '是斜边B C ''的中点，且2O A ''=，则ABC △的面积为（ ）A ．42B ．82C ．22D ．62【答案】B【解析】由斜二测画法可知该三角形ABC 为直角三角形，90ABC ∠=︒， 根据直观图中平行于x 轴的长度不变，平行于y 轴的长度变为原来的一半， 因为2O A ''=，所以4BC =，42AB =，所以三角形ABC 的面积为1442822ABC S =⨯⨯=△，故选B ．4．已知函数3()3x xf x x a a -⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，则“1a =”是“函数()f x 为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数()f x 定义域为R ，函数()f x 为偶函数，则x ∀∈R ，331()()(3)(3)(33)()0x x xx x x f x f x x a x a x a a a a-----=-⋅--⋅-=-+-=， 而(33)x x x --+不恒为0，因此，10a a-=，解得1a =-或1a =， 所以“1a =”是“函数()f x 为偶函数”的充分不必要条件，故选A ．5．已知数列{}n a 满足2112333.3..3n n a a a a n -++++=（n ∈N *），则n a =（ ）A ．13nB ．-113nC ．13nD ．113n + 【答案】C【解析】由题设，2112333 (33)n n a a a a n-++++=①， 则221231133 (33)n n n a a a a ---++++=(2)n ≥②， ①-②得：1113333n n n n a --=-=(2)n ≥， 所以13n n a =(2)n ≥，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号由①知113a =也满足上式，故13n n a =（n ∈N *），故选C ．6．已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的标准差为2，将这组数据1x ，2x ，3x ，…，10x 中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．32【答案】C【解析】因为数据1x ，2x ，3x ，…，10x 的标准差为2，所以方差为4． 由题意知，得到的新数据为136x -，236x -，336x -，…，1036x -， 这组新数据的方差为24336⨯=，标准差为6，故选C ．7．如图，1F ､2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 的直线l 与C 的左､右两支分别交于点A 、B 两点，若2ABF △为以2F 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．233D ．3【答案】D【解析】由题意，2ABF △为等腰直角三角形， 设22AF BF m ==，1AF n =，则2AB m =，由双曲线的定义，可得212AF AF a -=，122BF BF a -=，可得222m n a m n m a-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得22m a =，()221n a =-，在12AF F △中，由余弦定理可得222121212212cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即()()()222224221222221222c a a a a ⎛⎫⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭， 整理得223c a =，即2223c e a==，所以3e =， 故选D ．8．已知关于x 的方程22ln (2)x x x k x +=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，则实数k 的取值范围为（ ）A ．ln 21,15⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．(]1,e【答案】B【解析】由已知可得22ln 2x x x k x +-=+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，令22ln ()2x x x f x x +-=+，1,)2[x ∈+∞， 则问题转化为函数()y f x =与y k =在1[,)2+∞上有两个交点，而2222(2ln 1)(2)(2ln )32ln 4()(2)(2)x x x x x x x x x f x x x --+-+-+--'==++， 令2()32ln 4g x x x x =+--，则22232(21)(2)()23x x x x g x x x x x+--+'=+-==， 因为1,)2[x ∈+∞，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在1[,)2+∞上单调递增，又(1)0g =，所以当1)[1,2x ∈时，()0g x <，则()0f x '<；当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，则()0f x '≥，所以()f x 在1[,1)2上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1f x f ==，又1112ln 129ln 29ln 2422()()1254210522f +-==+=++， 作出函数()f x 的大致图象如图示：要使得22ln 2x x x k x +-=+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，实数k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤+ ⎥⎝⎦，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．()13P A =B ．事件A 和事件B 互为对立事件C ．()12P B A =D ．事件A 和事件B 相互独立【答案】CD【解析】对于A ，()2142P A ==，可得A 错误； 对于B ，事件B 第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数， 就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A 和事件B 不是对立事件， 可得B 错误；对于C ，由221()444P AB =⨯=，可得()1()14|1()22P AB P B A P A ===，可得C 正确；对于D 选项，由()2222144442P B =⨯+⨯=，可得()()()P A P B P AB =，可知事件A 和事件B 相互独立，可得D 正确， 故选CD ．10．已知函数()()2sin 23cos sin cos f x x x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线712x π=对称B ．()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2 C ．若()()122f x f x ==，则122x x k π-=，k ∈ZD ．将()f x 的图象向右平移6π个单位得()2cos2g x x =-图象【答案】BD【解析】()2223sin cos sin cos 3sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，对于A ：令()721262k k ππππ⨯-=+∈Z ，可得12k =∉Z ， 所以直线712x π=不是()f x 的图象的对称轴，故选项A 不正确； 对于B ：当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]2sin 21,26f x x π⎛⎫∈ ⎪⎭=-⎝，故选项B 正确；对于C ：()f x 的最小正周期为22T ππ==， 所以若()()122f x f x ==，则12x x k π-=，k ∈Z ，故选项C 不正确； 对于D ：将()f x 的图象向右平移6π个单位得 ()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故选项D 正确，故选BD ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是11B CD △内部(不包括边界)的动点，若BD AP ⊥，则线段AP 长度的可能取值为（ ）A ．233B ．65C ．62D ．52【答案】ABC【解析】在正方体AC 1中，连接AC ，A 1C 1，1111AC B D O =，如图，BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，则BD ⊥平面ACC 1A 1， 因AP ⊥BD ，所以AP ⊂平面ACC 1A 1， 又点P 是△B 1CD 1内部(不包括边界)的动点，连接CO ，平面B 1CD 1平面ACC 1A 1=CO ，所以点P 在线段CO 上(不含点C ，O )， 连接AO ，在等腰△OAC 中，62,2AC AO CO ===，而底边AC 上的高为1，腰OC 上的高1233AC h OC ⋅==，从而有2323AP ≤<，66,52都符合，52不符合，故选ABC ．12．若存在正实数x ，y ，使得等式24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值可能是（ ） A ．1e - B ．31eC ．21eD ．2【答案】ACD【解析】由题意，a 不等于0，由24(3e )(ln ln )0x a y x y x +--=，得24(3e )ln 0y ya x x+-=，令(0)y t t x =>，则24ln 3e ln t t t a-=-，设2()ln 3e ln g t t t t =-，则23e ()1ln g t t t'=+-， 因为函数()g t '在(0,)+∞上单调递增，且2(e )0g '=，所以当20e t <<时，()0g t '<；当2e t >时，()0g t '>， 则()g t 在2(0,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增， 从而22min ()(e )4e g t g ==-，即244e a -≥-，解得21ea ≥或0a <， 故21(,0),e a ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量12=+a e e ，213=-b e e ，其中1e ，2e 为单位向量，向量1e ，2e 的夹角为120°，则⋅=a b __________． 【答案】1-【解析】由21111cos1202⋅=⨯⨯︒=-e e ，有221212231131⋅=-⋅-=+-=-e e e e a b ， 故答案为1-．14．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，记ABC △外接圆半径为R ，且()222sin sin (2)sin R A B a c C -=-，则角B 的大小为________．【答案】4π（或45︒） 【解析】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===，故2sin R A a =，2sin R B b =，即()222sin sin (2)sin sin sin (2)sin R A B a c C a A b B a c C -=-⇔-=-22222(2)2a b a c c a c b ac ⇔-=-⇔+-=，故2222cos 22a cb B ac +-==， 又(0,)B π∈，故4B π=，故答案为4π．15．将字母a ，A ，b ，B ，c ，C 排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻的排法种数为__________．【答案】288【解析】首先讨论Aa 相邻，剩下的4个字母排列有如下情况： bcBC 、cbCB 、bCBc 、CbcB 、BcbC 、cBCb 、BCbc 、CBcb 共8种可能，任取8种中的一种与Aa 组合，共有125210C A =种，此时Aa 相邻共有10880⨯=种，bcCB ，bCcB ，BcCb ，BCcb ，CbBc ，CBbc ，cbBC ，cBbC ，8种情况，任取8种中的一种与Aa 组合，共有222A =种，此时Aa 相邻共有2816⨯=种，所以Aa 相邻共有96种；同理，Bb 相邻共有96种，Cc 相邻共有96种，所以共有288种， 故答案为288．16．如图，点P 是半径为2的圆O 上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD （顶点A 与P 重合）沿圆周逆时针滚动．若从点A 离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A 再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A 第一次回到点P 的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A 走过的路径的长度为__________．【答案】3，(22)π+【解析】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B C D A →→→， 顶点两次回到点P 时，正方形顶点将圆周正好分成六等分， 由4和6的最小公倍数：342612⨯=⨯=， 所以到点A 首次与P 重合时，正方形滚动了3轮． 这一轮中，点A 路径A A A A ''→'→→是圆心角为6π，半径分别为2，22，2的三段弧，故路径长(22)(2222)63l ππ+=⋅++=，∴点A 与P 重合时总路径长为(22)π+． 故答案为3，(22)π+．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC △内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos cos )b c a B C +=+． （1）求A ；（2）若sin sin 2sin A C B +=，求sin sin B C +． 【答案】（1）2π；（2）75． 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理及(cos cos )b c a B C +=+， 得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+，于是得sin()sin()sin cos sin cos A C A B A B A C +++=+，化简整理得cos sin cos sin 0A C A B +=，即cos (sin sin )0A C B +=， 而sin 0,sin 0B C >>，则cos 0A =， 又0A π<<，所以2A π=．（2）因为sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理得2a c b +=，则21c ba a+=， 由（1）知，在ABC Rt △中，2BAC π∠=，222b c a +=，即221b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是解得43,55b c a a ==， 显然有sin ,sin b c B C a a ==，即43sin ,sin 55B C ==，则7sin sin 5B C +=，所以7sin sin 5B C +=．18．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又对任意的正整数,m n ，都有2n ma a n m-=--，且530S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）122n a n =-；（2）()656426612(6)n n n n T n --⎧-≤=⎨+>⎩．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2n m a a n m -=--，所以112(1)(1)a da n n m d md +--=--=--， 又530S =，即1545(2)302a ⨯+⨯-=，解得110a =，所以122n a n =-．（2）由（1）知122n a n =-，令602n an =-≥，得6n ≤，当6n ≤时，0n a ≥，从而122554662662121222222642222112n n a a n nn a n T ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅==++-=++=--，当6n >时，671254222262012222222222n n a a a a a n T ---=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++++++652(12)6361212n n ---=+=+-，综上得()656426612(6)n n n n T n --⎧-≤=⎨+>⎩． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，2PC PD ==，E 为PB 中点．（1）求证：PD //平面ACE ； （2）求二面角E AC D --的余弦值；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使得AM ⊥BD ？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）66-；（3）存在，12．【解析】（1）设BD 交AC 于点F ，连接EF ． 因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点． 又因为E 为PB 中点，所以EF //PD ， 因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ， 所以PD //平面ACE ．（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO ．因为底面ABCD 为矩形，所以BC ⊥CD ．因为PC ＝PD ，O 为CD 中点，所以PO ⊥CD ，OF ∥BC ，所以OF ⊥CD ． 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系O −xyz ，则()1,1,0A -，C （0，1，0），B （1，1，0），P （0，0，1），111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，(1,2,0)AC =-，131(,,)222AE =-，20131222AC x y AE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩m m ， 令1y =，则2x =，1z =-，所以(2,1,1)=-m ， 平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =，6cos ,6||||OP OP OP ⋅<>=-⋅m m m ，如图可知二面角E −AC −D 为钝角，所以二面角E −AC −D 的余弦值为66-．（3）假设存在棱PD 上的点M ，使得AM ⊥BD ，设,01PM PD λλ=<<，又()0,1,0D -，则(1,2,0)BD =--，(1,1,1)AP =-，()0,1,1PD =--，()1220AM BD AP PM BD AP BD PD BD λλ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=-+=，解得12λ=， 故存在棱PD 上的点M ，使得AM ⊥BD ，12PM PD =．20．（12分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(]0,1600、(]1600,3200、(]3200,4800内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和800元．方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）1933；（2）方案2投资较少，理由见解析．【解析】（1）记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A．由图可知，去年消费金额在(]3200,4000内的有8人，在(]4000,4800内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有8412+=（人），从这12人中抽取2人，共有212C种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C+种不同方法，所以()112844212C C C19C33P A+==．（2）方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=，按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为1215C2C5P==，所以()302101333232810C C5555125Pη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12233236200C55125Pη⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333328300C55125Pη⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以η的分布列为：η0 200 300P81125361258125数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为()22860212376.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元）， 因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．21．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为32，P 为椭圆E 上一点， Q 为圆222x y b +=上一点，PQ 的最大值为3（P ，Q 异于椭圆E 的上下顶点）．（1）求椭圆E 的方程；（2）A 为椭圆E 的下顶点，直线AP ，AQ 的斜率分别记为1k ，2k ，且214k k =，求证：直线PQ 过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，定点(0,1)． 【解析】（1）解：由椭圆E 的离心率为32，可得32c a =，又由PQ 的最大值为3，可得3a b +=，可得222332a b ca abc +=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,1,3a b c ===，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）解：由（1）可得点A 的坐标为(0,1)-， 因为直线,AP AQ 的斜率分别记为1k ，2k ，且214k k =，可得直线AP 的方程为11y k x +=，直线AQ 的方程为2114y k x k x +==，联立方程组122114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2211(41)80k x k x +-=，解得0x =或121841k x k =+， 将121841k x k =+代入11y k x =-，可得2111221184114141k k y k k k -=⋅-=++， 即2112211841(,)4141k k P k k -++；联立方程组122411y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得2211(161)80k x k x +-=，解得0x =或1218161k x k =+， 将1218161k x k =+代入141y k x =-，可得2121161161k y k -=+，即21122118161(,)161161k k Q k k -++， 则()22112222221111112111122112121111614116141(161)(41)(161)(41)888(224141)16141812PQk k k k k k k k k k k k k k k k k k k ---++-+-+-==--+=-+=⨯-， 所以直线PQ 的方程为21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭， 即2211222111111414112111441414414k k y x x x k k k k k k -+=-++=-+=-++++，此时直线过定点(0,1)，即直线PQ 恒过定点(0,1)．22．（12分）已知()()ln 1f x x ax a =++∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （1）若对任意0x >都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若120x x <<，证明：对任意常数a ，存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．【答案】（1）(],1-∞-；（2）证明见解析． 【解析】（1）由()0f x ≤，得ln 1ax x ≤--，即ln 1x a x+≤-， 令()ln 1x g x x +=-，则()2ln xg x x'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g ∴==-，1a ∴≤-，即a 的取值范围为(],1-∞-．（2）设()()()()1212f x f x h x f x x x -'=--，将问题转化为()h x 在区间()12,x x 上有唯一的零点，由()()()()1211221212ln ln 1f x f x x ax x ax h x f x a x x x x x -+--'=-=+---，知()h x 在区间()12,x x 上单调递减，故函数()h x 在区间()12,x x 上至多有1个零点，()1122122211121121211ln ln ln ln 1111ln x ax x ax x x x x h x a x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=+-=-=-+ ⎪---⎝⎭， ()1122121222122121221ln ln ln ln 1111ln x ax x ax x x x x h x a x x x x x x x x x x ⎛⎫+---=+-=-=-+ ⎪---⎝⎭，由（1）知：当1a =-时，ln 10x x -+≤（当且仅当1x =时取等号），120x x <<，211x x ∴>，2211ln 10x xx x ∴-+<， 又120x x -<，即1210x x <-，()10h x ∴>， 120x x <<，1201x x ∴<<，1122ln 10x xx x ∴-+<，即2112ln 10x x x x +->， 又120x x -<，即1210x x <-，()20h x ∴<， 由函数零点存在定理知：()h x 在区间()12,x x 上有唯一的零点，即存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．。

2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。