[历年真题]2015年广东省高考数学试卷(理科)

绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i - 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．315 7、已知双曲线C :22221x y a b-=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22143x y -=B ．221916x y -=C ．221169x y -=D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A 的极坐标为74π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)222m n x x x π=-=∈ (1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？ 18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间；(2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分） 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标； (2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+。

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x 4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -， 因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径， 因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，， 因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△， 故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r， ，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+， 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个， 分别为：444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， ，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形， 又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥， 又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥， 又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥， 因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠， 在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+， 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解， 亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-， 因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：， 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-， 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-， 所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=， 又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。

2015数学广东卷(理科)参考公式:样本数据x,…,x n的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考广东卷,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N等于( D ) (A){1,4} (B){-1,-4} (C){0} (D)解析:化简集合得M={-4,-1},N={1,4},显然M∩N=⌀,故选D.2.(2015高考广东卷,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以=2-3i,故选A.3.(2015高考广东卷,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D )(A)y=(B)y=x+(C)y=2x+(D)y=x+e x解析:易知y=与y=2x+是偶函数,y=x+是奇函数,故选D.4.(2015高考广东卷,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( B )(A)(B)(C)(D)1解析:从15个球中任取2个球,取法共有种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有×种,所以所求概率为P==,故选B.5.(2015高考广东卷,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A )(A)2x+y+5=0或2x+y-5=0(B)2x+y+=0或2x+y-=0(C)2x-y+5=0或2x-y-5=0(D)2x-y+=0或2x-y-=0解析:切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.故选A.6.(2015高考广东卷,理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( B )(A)4 (B)(C)6 (D)解析:由约束条件画出可行域如图.由z=3x+2y得y=-x+,易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A(1,)处取得最小值,故z min=,故选B.7.(2015高考广东卷,理7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.8.(2015高考广东卷,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( B )(A)至多等于3 (B)至多等于4(C)等于5 (D)大于5解析:首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除C,D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除A,故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9～13题)9.(2015高考广东卷,理9)在(-1)4的展开式中,x的系数为.解析:(-1)4的展开式通项为T()4-r(-1)r=(-1)r··,令=1,得r=2,从而x的系数为(-1)2=6.答案:610.(2015高考广东卷,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .解析:利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.答案:1011.(2015高考广东卷,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .解析:在△ABC中,由sin B=可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=π,利用正弦定理=,可得b=1.答案:112.(2015高考广东卷,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)解析:因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,所以全班共写了40×39=1560(条)毕业留言.答案:156013.(2015高考广东卷,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .解析:因为X～B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14.(2015高考广东卷,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ-)=,点A的极坐标为A(2,),则点A 到直线l的距离为.解析:将直线l的极坐标方程2ρsin(θ-)=化为直角坐标方程为x-y+1=0.由A(2,)得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d==.答案:15.(2015高考广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .解析:易得AC==,由OP∥BC,且O为AB的中点可知CP=AC=, OP=BC=,∠APO=∠ACB=90°.所以∠CPD=90°.因为EC是切线,所以∠DCP=∠B,从而△CPD∽△BCA,故=,所以DP=.故OD=DP+OP=+=8.答案:8三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015高考广东卷,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x∈(0,),所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sin x-cos x=sin(x-)=.又因为x∈(0,),所以x-∈(-,).所以x-=,解得x=.17.(本小题满分12分)(2015高考广东卷,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少?(精确到0.01%)?解:(1)由系统抽样知识知,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)均值==40;方差s2=×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37- 40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.(3)由(2)可知s=.由题意,年龄在-s与+s之间,即在区间[37,43]内的工人共有23人,所占的百分比为×100%≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)解:由(1)可知PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角. 在Rt△PDE中,PE==,所以tan∠PDC==.从而二面角P-AD-C的正切值为.(3)解:连接AC.因为==,所以FG∥AC.易求得AC=3,PA==5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC, 在△PAC中,cos∠PAC==.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.19.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.(1)解:函数f(x)的定义域为R.因为f′(x)=2x·e x+(1+x2)e x=(x2+2x+1)e x=(x+1)2e x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(ln a)=(1+ln2a)e ln a-a= aln2a>0,所以f(0)·f(ln a)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知,f′(x 0)=(x0+1)2=0,解得x0=-1.)-a=-a,所以y所以点P的坐标为(-1,-a).所以k OP=a-.由题意可得f′(m)=(m+1)2e m=a-.要证明m≤-1,只需要证明m+1≤,只需要证明(m+1)3≤a-=(m+1)2e m,只需要证明m+1≤e m.构造函数:h(x)=e x-x-1(x∈R),则h′(x)=e x-1.当x<0时,h ′(x)<0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减; 当x>0时,h ′(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增; 所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.所以e x -x-1≥0,故e m -m-1≥0,即m+1≤e m ,故原不等式成立. 20.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:（1）由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+= ∴圆1C 的圆心坐标为（3,0） （2）由图可知，令111(,),|||M x y OM C M =222112222211112211||||||3(3)39()24OC OM C M x y x y x y =+∴=++-+∴-+=∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点 ∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤<221122111220(3)4930(3)()442533395C ()(,3]243x y x x x x y x ∴≤-+<∴≤-+--<∴<≤∴-+=∈轨迹的方程为：（3）∵直线L ：2239(4)()124y k x x y =--+=与曲线仅有个交点联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，5(,3]13在区间有且仅有个解22224=(83)-64+1=3k k k k ∆+=±当（）0时， 此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意。

绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则MN =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．y =B ．1y x x =+C ．122x x y =+D ．x y x e =+4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．15、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -+=或20x y --=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C :22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C的方程为（ ）A ．22143x y -=B ．221916x y -=C ．221169x y -=D ．22134x y -=8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（11~13题） 9、在)41-的展开式中，x 的系数为 ．10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为74π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)2m n x x x π=-=∈ (1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分） 某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ； （3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1) 证明：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分） 设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间；(2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分） 已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈.(1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ； (3) 令111111,(1......)(2),23n n nT b a b a n n n -==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+参考答案（化学部分）7.B 8.C 9.A 10.D11.C 12.B 22.BC 23.AD30.答案（1）C 12H 9Br (2)AD(3)CH 2=CHCOOHBrCH 2CH 2COOHBrCH 2CH 2COOCH 2CH 3(4)4 、 4 （5）31.答案(1)、2HCl(g) + 1/2O2(g) H 2O(g)+Cl 2(g) △H=△H 1+△H 2 (2) ①＜ K(A) ② 见右图增大压强，平衡右移，ɑHCl 增大，相同温度下，HCl 的平衡转化率比之前实验的大。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，集合N= {x|(x-4)(x-1)=0}，则M∩N=A ．∅ B.{ -1 , -4 } C.{ 0 } D. { 1 ，4 } 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2i B.3+2i C.2+3i D. 2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=}{A.1,4}{B.1,4--}{C.D.∅(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z = A.23i -B.23i +C.32i +D.32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y =1B.y x x=+1C.22x xy =+D.x y x e =+4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为5A.2110B.2111C.21D.15. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.250250x y x y ++=+-=或B.2020x y x y +=+=或C.250250x y x y -+=--=或D.2020x y x y -=-=或6. 若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为A.4 23B.5C.6 31D.57. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为22A.143x y -= 22B.1916x y -= 22C.1169x y -= 22D.134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.3至多等于B.4至多等于C.5等于D.5大于二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9. 在4x （-1）的展开式中，x 的系数为 . 10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b= . 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。

【高考试题】2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．x e x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率e =45，且其右焦点F 2( 5 , 0 )，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 。

2015年全国普通高等学校招生统一考试（广东卷)理科数学一、选择题1.若集合()(){}()(){}|410,|410M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂= A.∅ B.{}1,4-- C.{}0 D.{}1,42.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A.32i -B.32i +C.23i +D.23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.x y x e =+B.1y x x =+C.122x x y =+D.y =4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有一个1白球，1个红球的概率为A.1B.1121C.1021D.5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.20x y -+=或20x y -=B. 20x y ++=或20x y += C.250x y -+=或250x y --= D. 250x y ++=或250x y +-=6.若变量,x y 满足约束条件45813,02x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则32z x y =+的最小值为A.315 B.6 C.235D.4 7、已知双曲线C ：2222-1(00)x y a b a b =>>，的离心率为5e 4=，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线的方程为A 、22-143x y =B 、22-1169x y =C 、22-1916x y =D 、22-134x y = 8、若空间中n 个不同的点，两两距离都相等，则正整数n 的取值A 、大于5B 、等于5C 、至多等于4D 、至多等于3 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（9~13题）9、在41)的展开式中，x 的系数为 ．10、在等差数列{n a }中，若34567a a a a a ++++＝25，则28a a +＝＿＿＿11、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1,26a B C π===，则b ＝＿＿＿12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了＿＿＿＿条毕业留言（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则p ＝＿＿＿ （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ-=A 的极坐标为A （74π），则点A 到直线l 的距离为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4,=AB EC 是圆O 的切线，切点为C ，1=BC ，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =_______.三、解答题)2,0(),cos ,(sin 22-22x oy 1216π∈==x x x n m ），，（中，已知向量分）在平面直角坐标系、（（1）若m ⊥n ，求tanx 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值；17、（本小题满分12分） 某工厂36名工人的年龄数据如下表：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值x 的方差s 2；（3）36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少？（精确到0.01%）18、(本小题满分14分)如图2，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．点E 是CD 边的中点，点F<G 分别在线段AB ，BC 上，且AF=2F ，CG=2GB 。