2013年高考数学40个考点总动员 考点30 圆锥曲线的综合应用(教师版) 新课标

2013年新课标数学40个考点总动员考点30 圆锥曲线的综合应用（教师版）【高考再现】热点一轨迹问题1. (2012年高考江西卷理科20)（本题满分13分）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足+=⋅++.()2MA MB OM OA OB（1）求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB 与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。

若不存在，说明理由。

2.(2012年高考四川卷理科21) (本小题满分12分) 如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围.【方法总结】求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；热点二范围问题3．(2012年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x ya b(>>0)a b的左、右顶点分别为,A B，点P在椭圆上且异于,A B两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为12，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k 满足|k .4.(2012年高考山东卷理科21)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x py =(0)p >的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点?M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M 1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22||||AB DE +的最小值．5.(2012年高考浙江卷理科21) (本小题满分15分)如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．6.(2012年高考北京卷理科19)（本小题共14分）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R .（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；m=，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线（2）设4=+与y kx4y=与直线BM交于点G，求证：A，G，曲线C交于不同的两点M，N，直线1N三点共线.【方法总结】解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．热点三定值问题7.(2012年高考湖南卷理科21)（本小题满分13分）[www.z%zstep.co*~&m^]在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.8.(2012年高考辽宁卷理科20) (本小题满分12分) 如图，椭圆()22022:+=1>b>0,a,b x y C a a b为常数，动圆222111:+=,<<C x y t b t a .点12,A A 分别为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点（1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；（2）设动圆22222:+=C x y t 与0C 相交于',',','A B C D 四点，其中2<<b t a ，12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，证明：2212+t t 为定值9.(2012年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。

过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相交于点Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

10.（2012年高考江苏卷19） （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．【方法总结】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．热点四存在性问题11.(2012年高考湖北卷理科21)（本小题满分13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。

当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C。

（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

12. (2012年高考广东卷理科20)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。

【考点剖析】一．明确要求能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.二．命题方向1.直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点弦、最值范围、定点定值的探索与证明是命题的热点．2.题型以解答题为主，注重数学思想与方法的考查．难度较大.三．规律总结一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【基础练习】1．(人教A 版教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )． A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 23．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝14．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1【名校模拟】一．基础扎实1.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为( )A ．221(0)3627x y y +=≠B ．2241(0)9x y y +=≠ C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠ 【解析】第一步识别条件：椭圆C ：22143x y +=可以画出图像画，好图形之后，赶紧把焦点标上，顶点标上，点P 为椭圆C 上的动点，赶紧把点P 标上吧。