苏教版高中数学选修1-1高二专题复习(1)导数

3.2.1 常见函数的导数一、填空题1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是________．2．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值等于________．4．质点的运动方程是s ＝t 3(s 的单位：m ；t 的单位：s)，则质点在t ＝4时的瞬时速度为________．5．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于________．6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，且f (x )<g ′(x )，则x 的取值范围为__________．7．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．8．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )之间的大小关系是________． 9．设f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2010(x )＝________.二、解答题10．已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．11．设直线l 1与曲线y ＝x 相切于点P ，直线l 2过点P 且垂直于直线l 1，若l 2交x 轴于点Q ，又作PK 垂直于x 轴于点K ，求KQ 的长．12．经过定点(1,3)作直线l 与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，求证：抛物线上A 、B两点处的切线的交点M 在一条定直线上．答案1 解析：设切点为(x 0，x 20)，则由于y ′＝(x 2)′＝2x ，∴切线斜率为2x 0.由2x 0＝2，得x 0＝1，∴切点为(1,1)，斜率为2.∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝02 解析：由题意切线的斜率为y ′|x ＝1＝3×12＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －1)，与x 轴交点为(23，0)． ∴S ＝12|2－23|×4＝83. 答案：833 解析：f ′(x )＝α·x α－1，所以f ′(－1)＝α·(－1)α－1.当α＝4时，f ′(－1)＝4×(－1)3＝－4.答案：－44 解析：∵s ＝t 3.∴s ′＝3t 2，∴v ＝s ′|t ＝4＝3×42＝48(m/s)．答案：48 m/s5解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，于是f ′(1)＝2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4，因此f ′(0)＝－4.答案：－46解析：f ′(x )<g ′(x )⇔2x <3x 2，解得x <0或x >23. 答案：x <0或x >237 解析：因为y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，得x 0＝e.∴k ＝1e. 答案：1e8解析：f ′(x )＝2x ∈(0，12)，g ′(x )＝12x∈(1，＋∞)， ∴f ′(x )＜g ′(x )．答案：f ′(x )＜g ′(x )9解析：∵f 1(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 3(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 4(x )＝(sin x )′＝cos x ，…，由此可知f n (x )的值周期性重复出现，且周期为4，故f 2010(x )＝f 2(x )．答案：－cos x10解：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．11 解：如图所示，设P (x 0，y 0)，则kl 1＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.∵直线l 1与l 2垂直，则kl 2＝－2x 0，∴直线l 2的方程为y －y 0＝－2x 0(x －x 0)．∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝x 上，∴y 0＝x 0.在直线l 2的方程中令y ＝0，则－x 0＝－2x 0(x －x 0)．解得x ＝12＋x 0，即x Q ＝12＋x 0. 又x K ＝x 0，∴|KQ |＝x Q －x K ＝12＋x 0－x 0＝12.12证明：显然，如果直线l 的斜率不存在，则它与x 轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意．故可设直线l 的斜率为k ，则其方程为y －3＝k (x －1)，它与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k x －1y ＝x 2，消去y 得x 2－kx ＋k －3＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝k x 1x 2＝k －3.又因为y ′＝2x ，所以抛物线在A 、B 两点处的切线的斜率分别为2x 1,2x 2，切线方程分别为y －x 21＝2x 1(x －x 1)和y －x 22＝2x 2(x －x 2)，联立解得两切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 2)，即M (k2，k －3)，若令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k 2y ＝k －3，消去k 得y ＝2x －3.故抛物线上A 、B 两点处的切线的交点M 在定直线y ＝2x －3上．。

导数的应用考试内容：利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值 考试要求：了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

1导数在.函数单调性方面的应用。

求单调区间问题。

例1． 求下列函数单调区间 （1）5221)(23+--==x x x x f y（2）x x y 12-=（3）xx k y +=2)0(>k（4）αln 22-=x y例2、函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A (23,2ππ) B (π,2π) C (25,23ππ) D (2π,3π)例3、函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y )为增函数的区间是(A)]3,0[π (B)]127,`12[ππ (C)]65,3[ππ (D)],65[ππ（2）．利用函数单调性确定图象大致形状问题。

（特别注意二次函数的导函数是一次函数）例4．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能 的是（ ）AB C D例6．.函图象过原点且它的导函数的图象是如右图所示的一条直线,则( )A.第I 象限B.第II 象限C.第III 象限D.第IV 象限（3）求参数范围问题。

（全国各地各年高考中该题型屡见不鲜，望要加以注意）例7 求满足条件的a 范围。

（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数（2）使a ax x y ++=3为R 上…… （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上↑例8．设0>a ，xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。

（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数。

（试用单调性的定义与导数两种方法解决该问题）例9、设函数f ，其中a ∈R 。

所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在 [－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是 f(x) 在区间[－2，2]上的最大值和最小值.
•导数为0的点不一定是极值点；
f (x)<0
f (x)>0
•若极值点处的导数存在，则一定为0，且极值点
两O侧a导在函极小数x值异1 点号附。近x2
bx
判别函数f(x)在f(x0)是极大(小)值的方法是:
①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 , 那么,f(x0)是极大值;
…
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
判断函数单调性的常用方法：（导1数）法定义法（2）
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
例2:已知函数f(x) =ax3+bx2－3x在x=±1处取得
极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调性; (2)若x∈[0,3],求f(x)的最值.
解:(2)f(x) =x3－3x ∴ f'(x)=3x2－3=3（x+1)(x-1) 令f'(x)=0,解得x1=-1(舍),x2=1 ∵f(0)=-3, f(1)=0 ,f(3)=24
2 1 x 2(1 x)
由 f (x) 0 x 得x<-1或x>12(.1
即1x)

教学目的： 使学生应用由定义求导数的三个步骤 推导常见函数的导数公式，掌握并能运用公式正 确求函数的导数． 教学重点和难点：掌握并熟记常见函数的求导公 式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数 的导数公式的推导是本节难点．
一、复习提问 2．按定义求导数有哪几个步骤？
给定函数y=f(x)
计算 y f (x x) f (x)
思考：由（3）-（6），你能发现什么规律？
(8)(x )' x 1(为常数）
(9)(a x )' a xlna(a 0, 且a 1)
(10)(log a x)'

1 x
log a e

1 xlna
(a

0, 且a
1)
(11)(ex )' ex
(12)(lnx) ' 1 x
的夹角。
练习：P20 1，2，3，4
例3：求过曲线y cosx上点P（ ，1）且与过这点的切线
32 垂直的直线方程。
练习：曲线 y sinx在2上过点A（2，-2）的 切线方程
思考：路灯距地平面8m，一个身高为1.6m的人 以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地 平面上射影点C沿某直线离开路灯，求人影长度 的变化速率v。
(13)(sinx)' cosx
(14)(cosx) ' sinx
例1：求下列函数的导数
(1)y x12
(2)y

1 x4
(3)y 5 x3 (4)y 1 3x
例2：设曲线y

1 x2
和曲线y

1 x
在它们的交点处的
两条切线的夹角为，求tan的值。