高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。
2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。
3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。
二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。
2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。
3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。
导数的定义解释在数学中，导数是描述函数变化的重要概念，它表示函数增长率，既可以描述数字函数也可以描述几何函数，是数学进行求解和分析的基础。
导数的定义解释如下：1、定义：函数f（x）的n阶导数是指在变量x上，使函数的变化量（即增量）与x的变化量（即增量）的比值关系趋于某一常数，即定义为n阶导数的函数。
2、解释：函数f（x）的n阶导数，是指表示函数f（x）对变量x的变化量之比率的函数。
通俗点讲，就是当变量x发生变化时，函数f（x）所发生的变化量和x变化量之比例所确定的量。
3、形式：此量可以表示为函数f（x）的n次微分式：f（x）的n阶导数=f（（n）（x）/dxn上式中，dx表示变量x的微小变化量，即对变量x进行微分的步长，dx的数值等于变量x的变化量/微分次数，微分次数即n。
4、说明：从定义中可以看出，当函数f（x）变化时，函数f（x）的n阶导数可以看作是函数f（x）和变量x变化量之比例，也即函数f（x）关于变量x的变化率。
简单来说，导数是一种特征量，它可以对函数表达式进行更为细致的分析，可以表示函数的变化趋势，从而为数学求解和分析提供更多的有效信息。
以下为一个简单的例子，关于求解一元函数的最大值和最小值：已知函数f（x）=3x3+2x2+x+1求f（x）的最大值和最小值解：f（x）的一阶导数为f（x）=3x2+4x+1设f（x）= 0，得3x2+4x+1=0解得x=-1/6，x=-2又得f（-1/6）=-4/27，f（-2）=-17/2即函数f（x）在x=-1/6处取得最大值f（-1/6）=-4/27，在x=-2处取得最小值f（-2）=-17/2由此可见，导数在数学求解和分析中起着非常重要的作用，因此，对导数的定义解释也是十分重要的。
以上就是关于“导数的定义解释”的全部内容，希望能够帮助到大家。
在数学中，导数的概念非常重要，为我们的求解和分析提供了更多有效的信息，因此，要深入理解导数的定义解释，从而运用自如。
导数的概念及其几何意义知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． 函数的导数：“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．2.求曲线的切线方程方法：若曲线()y f x =在点00(,)P x y 及其附近有意义，给横坐标0x 一个增量x ，相应的纵坐标也有一个增量00()()y f x x f x =+-，对应的点00(,)Q x x y y ++.则PQ 为曲线()y f x =的割线.当0x →时Q P →,如果割线PQ 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()y y k x x -=-.典型例题一．选择题（共2小题）1．（2018•海南三模）已知函数f （x ）=﹣x 4+2ax 2+（a ﹣1）x 为偶函数，则f （x ）的导函数f′（x ）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1=0，解得a=1，∴f（x）=﹣x4+2x2，∴f′（x）=﹣4x3+4x；设g（x）=f′（x），则g′（x）=﹣12x2+4，令g′（x）=0，解得x=±，∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＜0；∴g（x）在x=时取得极大值为g（）=﹣4×+4×=＜2，∴导函数f′（x）的图象大致为选项A所示．故选：A．2．（2018•邯郸二模）若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y=xe x相切，则m的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，）C．（0，+∞）D．（，）【解答】解：设切点为（x0，y0），过点P的切线程为，代入点P坐标化简为m=，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到f′（x）=（﹣x﹣1）（x+2）e x，函数在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，故得到f（﹣2）＜m＜f（﹣1），即，故选：D．二．填空题（共10小题）3．（2018•天心区校级一模）已知f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1）的整数a共有n个，（x≥0）的最大值为m，且m+n=3，则实数k的取值范围为[，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣2018|+|﹣x﹣2017|+…+|﹣x﹣1|+|﹣x+1|+…+|﹣x+2017|+|﹣x+2018|=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|=f （x），即函数f（x）是偶函数；若f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1），则a2﹣3a+2=a﹣1①，或a2﹣3a+2=﹣（a﹣1）②；由①得a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）=a﹣1，即（a﹣1）（a﹣3）=0，解得a=1或a=3；由②得a2﹣3a+2=（a﹣1）（a﹣2）=﹣（a﹣1），即（a﹣1）（a﹣1）=0，解得a=1；综上a=1或a=3；又f（0）=f（1）=f（﹣1）∴当a=2时，也满足要求，∴a的值有3个，即n=3；又m+n=3，∴m=0；∴g（x）=﹣kx=﹣kx的最大值为m=0，可得≤kx（*）恒成立，其中x≥0，h（x）=设直线y=kx与曲线y=h（x）=相切于点（m，n），∵h′（x）=，∴k=h′（m）=，n=km，n=，解得cosm=1，∴k=由于≤kx（*）恒成立，其中x≥0，∴k≥故答案为：[，+∞）4．（2017秋•海陵区校级期中）已知点P在曲线y=sinx上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：y′=cosx∴tana=cosx∵﹣1≤cosx≤1即﹣1≤tanα≤1∵0≤α≤π∴0≤α≤或≤α＜π故答案为：[0，]∪[，π）．5．（2014春•三亚校级期中）点P在曲线y=x3﹣x+2上移动，设曲线在点P处切线的倾斜角是α，则α的取值范围是，，．【解答】解：∵y=x3﹣x+2，∴y′=f′（x）=3x2﹣1≥﹣1，则tanα≥﹣1，解得α∈，，，故答案为：，，6．（2014•淮阴区校级模拟）已知f（x）=x3﹣3x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：已知点（1，m）在直线x=1上；由f'（x）=3x2﹣3=0得两个极值点x=±1；由f''（x）=6x=0；得一个拐点x=0；在（﹣∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'（0）=﹣3，方程为：y=﹣3x；L与直线x=1的交点为（1，﹣3）设过点（1，m）的直线为l当m＞﹣2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；当m＜﹣3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；当﹣3＜m＜﹣2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=﹣3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条所以m的取值范围是﹣3＜m＜﹣2故答案为：（﹣3，﹣2）7．（2016春•全州县校级期中）正弦曲线y=sinx上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：根据题意得f′（x）=cosx，∵﹣1≤cosx≤1，则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率﹣1≤k≤1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈[0，]∪[，π），故答案为：[0，]∪[，π）．8．（2015春•湛江校级期中）已知f（x）=log a x（a＞1）的导函数是f′（x），记A=f′（a），B=，C=f′（a+1），则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是A＞B＞C．【解答】解：记M（a，f（a）），N（a+1，f（a+1）），则由于，表示直线MN的斜率；A=f'（a）表示函数f（x）=log a x在点M处的切线斜率；C=f'（a+1）表示函数f（x）=log a x在点N处的切线斜率．所以A＞B＞C．故答案为：A＞B＞C．9．（2016春•邯郸期中）已知f′（2）=2，则=﹣1．【解答】解：∵则==﹣f′（2）=﹣1，故答案为：﹣1．10．（2014秋•巫溪县校级月考）若函数f（x）=x2+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线相互垂直，则x2﹣x1的最小值为1．【解答】解：根据导数的几何意义，得：f′（x1）f′（x2）=﹣1，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1（x1＜x2＜0），所以（2x1+2）＜0，（2x2+2）＞0，且[﹣（2x1+2）]（2x2+2）=1，因此x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，当且仅当﹣（2x1+2）=（2x2+2）=1，即，时等号成立；所以x2﹣x1的最小值为1．故答案为：1．11．（2014秋•肥东县校级月考）若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|x2﹣x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出以下四个函数①f（x）=②f（x）=|x|③f（x）=④f（x）=x2其中是完美函数的序号是①．【解答】解：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．对于①：f（x）=，|f（x2）﹣f（x1）|=|﹣|=||＜|x2﹣x1|（因为x1，x2在区间（1，2）上，故x1x2大于1）故成立．对于②：f（x）=|x|，|f（x2）﹣f（x1）|=||x2|﹣|x1||=|x2﹣x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．对于③：f（x）=（）x，|f（x2）﹣f（x1）|=|（）x2﹣（）x1|＜|x2﹣x1|，故不成立．对于④：f（x）=x2，|f（x2）﹣f（x1）|=|x22﹣x12|=（x2+x1）|x2﹣x1|＞|x2﹣x1|，故不成立．故答案为：①．12．（2013•房山区二模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为，，计算=2012．【解答】解：∵，则f′（x）=x2﹣x+，f″（x）=2x ﹣1，令f″（x）=2x﹣1=0，求得x=，故函数y=f（x）的“拐点”为（，1）．由于函数的对称中心为（，1），∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012，故答案为（，1），2012．三．解答题（共4小题）13．（2018春•小店区校级月考）已知函数f（x）=x﹣1+．（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得f′（1）=1﹣=0，解得a=e（Ⅱ）f′（x）=1﹣①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，∴x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增；在（lna，+∞）上单调递减．∴f（x）在x=lna处取得极da值，且极da值为f（lna）=lna，无极小值综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取得极大值lna，无极小值．14．（2017秋•吕梁期中）吕梁市在创建全国旅游城市的活动中，对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，其中弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，△OBD区域用于儿童乐园出租，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；（2）如果该市规划办邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．【解答】解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．∴g′（θ）=100cosθ+50∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）15．（2016春•广安校级月考）水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．【解答】解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t又V=πr2h由图知∴r=∴V=π•（）2•h3=h3∴20t=h3，∴h=于是h′=．当h=10时，t=π，此时h′=．∴当h=10米时，水面上升速度为米/分．16．（2016春•泸州期末）已知函数f（x）=x3﹣2x．（1）若将函数f（x）的图象向下平移个单位长度得函数h（x）的图象，求函数h（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x+m在[﹣2，4]上有零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣=x3﹣2x﹣，∴h′（x）=x2﹣2，∴切线的斜率k=h′（1）=﹣1，又h（1）=﹣2，∴h（x）的图象在x=1处的切线方程为y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3x+m，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，令g′（x）=0得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3．∴当x＜﹣1或x＞3时，g′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，g′（x）＜0．∴g（x）在[﹣2，﹣1]上为增函数，在[﹣1，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数．∵g（﹣2）=﹣+m，g（﹣1）=+m，g（3）=﹣9+m，g（4）=﹣+m，∴g（x）在[﹣2，4]上的最大值为为+m，最小值为﹣9+m，∵函数g（x）在[﹣2，4]上有零点，∴，解得﹣≤m≤9．。
