最新导数的概念及运1

导数的概念及运1导数的概念及运算重点难点分析：1．导数的定义、意义与性质：（1）函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量Δx，则函数y 相应地有改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，这两个增量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率，即。

如果当Δx→0时，有极限，我们说函数在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率）。

记作f'(x0)或，即。

（2）导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即。

（3）可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。

（4）导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。

也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。

2．求导数的方法：（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。

（2）几种常见函数的导数公式：① C'=0(C为常数)；② (x n)'=nx n-1 (n∈Q)；③ (sinx)'=cosx；④ (cosx)'=-sinx；⑤ (e x)'=e x；⑥ (a x)'=a x lna⑦；⑧（3）导数的四则运算法则：①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③（4）复合函数的导数复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

说明：1．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。

2．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。

典型例题：例1．求下列函数的导数①y=(2x-3)5②③④y=sin32x解析：①设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3由复合函数的求导法则得：y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4＝10(2x-3)4②设u=3-x，则可分解为，。

③④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x例2．已知曲线，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。

解析：，令，即，得x=4，代入，得y=5，∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为，即x-2y+6=0。

例3．已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。

①求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；②第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x∴切线斜率为k=12-6-18=-12，∴切线方程为y=-12x+8。

②由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0，。

公共点为(1,-4)（切点），，除切点外，还有两个交点。

评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。

*例4．设，求f'(x)。

解析：当x>0时，，当x<0时，，由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是：，即：。

例5．已知使函数的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。

解析：y'=3x2+2ax，令y'=0，得x=0或，由题设x=0时，y'=y=0，此时，∴a=0；当时也解出a=0。

训练题：1．已知函数，且f'(1)=2，则a的值为______。

2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。

3．给出下列命题：①；②(tanx)'=sec2x③函数y=|x-1|在x=1处可导；④函数y=|x-1|在x=1处连续。

其中正确的命题有：_____。

4．函数y=cosx在点处的切线方程为_______。

5．已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。

参考答案：1. 22.3. ②，④4.5．解：∵ f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)，∴ b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e，又∵图象过点A(0，-1)，∴ e=-1，∴ f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx，当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2......①对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。

∴点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0........②由①，②解出a=-2，c=3，因此f(x)=-2x4+3x2-1。

例谈导数在解高考试题中的应用导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。

本文将依托近几年的高考试题，例谈导数在解高考试题中的应用。

一、导数在解高考选择题中的应用例1．（1993理第14题）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为（）。

A、B、C、D、解：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l,，∵ V'=lπr-6πr2, 令V'=0，得r=0或，而r>0,∴是其唯一的极值点。

当时，V取得最大值，最大值为。

∴应选A。

例2．（1995年理第11题）已知函数y=log a(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围为（）。

A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、[2，+∞）解：，由题意可知：y'<0在x∈[0,1]上恒成立，∴，在x∈[0,1]上恒成立。

又a>0，∴，即，或在[0，1]上恒成立。

当时，由log a e>0得a>1.由2-ax>0得：在[0，1]上恒成立，而在[0，1]上的最小值为2，所以只需a<2。

由上讨论可知1<a<2。

注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。

例3．（1996年理第14题）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于（）。

A、B、C、D、解：设母线与底面夹角为α，则底面半径r=cosα，h=sinα，,∴, ,令V'=0, 得，而，∴，而它是唯一的极值点。

∴当时，V取得最大值，此时，此时侧面展开图圆心角，应选D。

评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。

二、导数在解高考解答题中的应用例1．（1991年理第24题）根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上为减函数。

分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x20, ∴f(x)=-x3+1在（-∞，+∞）上为减函数。

例2．（1997年理22题）甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。

（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解：（I）（略解）。

（II），令y'=0，得。

当时，是该函数唯一的极值点。

∴当时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。

当时，而v∈(0,c]，所以，此时y'<0，∴在v∈(0,c]为减函数，∴当v=c时全程运输成本最低。

综上所述，当时，全程的运输成本最小；当时，v=c全程运输成本最低。

例3．（2002年理第19题）设，求a的值使得f(x)为单调函数。

解：，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上恒成立。

（1）当f'(x)>0时，即在R上恒成立，而当x→∞时，，所以这样的a不存在。

（2）当f'(x)<0时，即在R上恒成立，而，所以只需a≥1即可。

∴当a≥1时，f(x)为减函数。

由上讨论可知，当a>1时f(x)为单调函数。

例4．（2001年理第20题）设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张最小？解：设画面的高为xcm, 宽为λxcm，则。

所以纸张的面积为S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160。

将代入上式得：。

，令y'=0得，它是唯一的极值点。

∴当时，S取得最小值，即当高为88cm，宽为时，能使宣传画所用的纸张最小。

当时，y'>0，所以，在时为增函数。

∴当时，能使宣传画所用的纸张面积最小。

三、反思以前我们研究函数的单调性时，时常要用到复合函数的单调性的判断，而这种方法不是教材中所要求的；在研究函数最值时，老师往往总结出许许多多的方法，学习起来非常困难.从以上例题和分析，我们不难看出，导数在解决函数问题时，有以下显著的优点：（1）变“巧法”为“通法”；（2）方法程序化，利于掌握；（3）避开初等变形的难点.因此，我们在高三学习中，要有意识地用导数法思考问题，培养用导数法解决问题的能力。