1.2数列极限与性质(2)

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ， 证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ， 当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛 的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调数列。 调减少）的数列统称为单调数列 调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理） 定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。 单调增加（减少）有上（ 界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ， 从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数 n,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn

C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;

a 2

a 2

0.
推论2：设 lim n
xn

A, lim n
yn

B
且存在正整数
N，当
n N 时，有 xn yn，则
A B.
1.2.3 数列极限存在的准则
（1）夹逼准则
定理4： 设数列 {xn}, {yn}, {zn}, 满足
1） 存在正整数 N， 当n N时， 有 yn xn zn
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
问题1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限
11, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......,1 ,.....
23456
n
0
2 1, 1 , 1 ,
23
1 , 1 , 1 ,......, 456
1 ,..... n
0
3 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, (1)n ,..... 0
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于
xn
1
=
(1)n1
1 n

1 n
给定 1 , 由 1 1 , 100 n 100
只要 n 100时,

，也是从右侧趋于
x0
即x x , 记作x x
0 0
的情形，这就产生了左极限和右
极限。
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定义3
设函数ｙ=f(x)在点 x0 的去心邻域内有定义，若当 x
0
ｘ从的左（右）侧趋于 x0 时，f(x)趋于A,则称f(x)当ｘ从
n xn sin 2
n
(2) 当n依次取1，2，3，4，5，…等正整数时，数列各项
n 依次为1，0，－1，0，1，…，当 n 时，sin 不能 2 无限地趋于一确定的常数a，因此数列极限不存在。
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x x0
注：法则(1)、(3)可以推广到有限个具有极限的函数的和 与积的情况且法则对于 x 情形也是成立。 例2
2x2 4 x 3 求 lim x 3 x 2 5 x 2
分析：属于 型，不能直接用四则运算法则求极限，但
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此函数在ｘ＝１处无定义，但是当 x 1 时，函数
x2 1 f x x 1, 因此当 x 1 x 1时，函数 x 1
f(x)以2为极限。
总结：函数在某一点的极限与函数在该点处的函数无关。
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定义2
设函数f(x)在点
x 0
lim f x lim x 1 1
x 0
x 0
。 。
由于 lim f x lim f x 故当x 0 时

数列极限的定义和判定方法数列是数学中的重要概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用。

在数列中，极限是一个关键的概念，它可以帮助我们更好地理解数列的变化趋势和性质。

本文将介绍数列极限的定义和判定方法，希望能够对读者有所帮助。

一、数列极限的定义数列的极限是指随着数列项的无限增加，数列的值逐渐趋近于一个常数。

数列极限的定义可以用以下形式来描述：对于给定的实数L，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，数列的项a_n满足不等式|a_n - L| < ε，那么我们说数列的极限为L。

在这个定义中，L表示数列的极限值，ε表示误差范围，N表示某个正整数。

二、数列极限的判定方法1. 数列极限的定义判定法根据数列极限的定义，我们可以通过判断数列是否满足定义来确定其极限。

具体步骤如下：（1）根据给定的极限值L和误差范围ε，找到对应的正整数N。

（2）验证对于任意大于N的整数n，数列的项a_n是否满足不等式|a_n - L| < ε。

（3）如果满足上述条件，则数列的极限为L；否则，数列不存在极限。

这种判定方法较为直接，但需要根据具体的数列和极限值进行具体的推导分析。

2. 数列极限的基本性质判定法数列极限的判定方法中，除了直接根据定义判断外，还有一些基本性质可以用来帮助判断。

以下是常用的基本性质：（1）有界性：如果数列有界，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，都有|a_n| ≤ M，那么数列必存在极限。

（2）单调性：如果数列单调递增且有上界（或递减且有下界），那么数列必存在极限。

（3）夹逼准则：如果存在两个数列{a_n}和{b_n}，使得对于所有的正整数n，都有a_n ≤ c_n ≤ b_n，且数列{a_n}和{b_n}的极限都为L，那么数列{c_n}的极限也为L。

（4）递推公式：如果数列通过递推公式来定义，且递推公式能够收敛到一个常数L，那么数列的极限也为L。

根据上述性质，我们可以利用数列的特点和性质，通过分析数列的变化趋势来判定其极限。