2012年北京市中考数学二模分类汇编

FEB AO 2012年北京市中考数学二模分类汇编——圆（一）与圆有关的填空选择题1.（西城3）若⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距12O O 的结论正确的是AA.12O O =5B.12O O =11C.12O O ＞11D. 5＜12O O ＜112.（延庆） 如图,⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ,1OD =,则BAC ∠的度数是BA ．55° B．60° C．65° D ．70° 3.（通州7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A =60o，则sin∠BDC 的值为（ ）A ．12B ．3C ．2D ．24.（丰台11）如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ， 如果1OD =，那么BAC ∠=________︒．60°5.（西城6）如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10，3cos 5BOD ∠=， 则AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 86.（顺义6）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为A ．7个单位B ．6个单位C ．5个单位D ．4个单位7.（怀柔5=5m ，横截面的圆心O 到污水面的距离OC =3m ，则污水面宽AB 等于AA ．8mB ．10mC ．12mD ．16m8.（密云7）如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，若:4:3AC B C =，10AB =cm ，则OD 的长为A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cmDO CBA-2 -9．（延庆）已知扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的弧长为DA ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10.（平谷11）如图，在⊙O 中，直径AB =6，∠CAB =40°，则阴影部分的面积是 ．11.（东城区10） 一个扇形圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为 ．23π12.（石景山11）已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是 ．13．（延庆）如图，点A 、B 、C在直径为O ⊙上，45BAC ∠=°，则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留π）3π342- 14.（西城8）如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A B CD '''，则AD 边扫过的面积(阴影部分)为A . 21π B. 31π C.41π D. 51π15.（东城12） 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ，使∠MON ＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．2π-16.（密云12）如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将两条含120︒圆心角的 AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积比是 ______ ．17.(通州8)如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ）A ．132π平方厘米B ．312π平方厘米C ．25π平方厘米D ．无法计算18.(昌平10)圆锥的母线长为3，底面半径为2，则它的侧面积为 ． 19.(房山7)已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积等于（D ）.A ．15πB ．14πC ．13πD ．12π20.(西城11)如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm ．CA-3 -（二）与圆有关的计算问题1.怀柔20. 如图，点D 在O ⊙直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且AC =CD ，∠ACD =120°. （1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积. 20.（1）证明：连结O C .………………1分∵ CDAC =，120A C D ︒∠=， ∴ 30A D ︒∠=∠=.……………2分 ∵ OCOA =,∴ 230A ︒∠=∠=. ∴ 290O C D A C D ︒∠=∠-∠=. ∴ C D 是O ⊙的切线. ………………………………3分（2）解:∵∠A=30o ， ∴ 1260A ︒∠=∠=. ∴ 2602360O B CS π⨯==扇形23π. ……………………4分 在Rt△OCD 中, tan 60CD OC =⋅︒=∴Rt 11222OCD S OC CD ∆=⨯=⨯⨯=∴ 图中阴影部分的面积为-3223π. ……………5分2.（石景山21）已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MP 的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =． （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．解：21.（1）联结CO , …………………………1分 ∵DM ⊥AB ∴∠D+∠A=90°∵PC PD =∴∠D=∠PCD ∵OC=OA ∴∠A=∠OCA ∴∠OCA+∠PCD=90°∴PC ⊥OC ∴直线PC 是⊙O 的切线 ……………………2分 （2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q∴Rt △CQA 中∴22tanD QAC tan ==∠∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3∵222AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x∴22=AQ∴242==AQ AN ∴163CD ==……………… 5分 3.（门头沟20） 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.20.(1)证明：连接OC, ∵O A=OC,∴∠OCA=∠OAC .∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO . ………………………1分 ∴∠DC O =∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分(2)解：过O作O F⊥AB，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF 为矩形，∴OC=FD ，OF=CD.-4 -∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分 ∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt△AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA . 即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=解得2x =或9x =（舍）.∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB， AB=2AF=6.4.（通州20）已知：如图直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB ．（1）求证：AC 平分∠DAB ．（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径． 20. 答案：(1)连结OC ∵DC 切⊙O 于C ∴OC ⊥DC又∵PA ⊥DC ∴ OC∥PA ∴∠PAC =∠OCA又 OC =OA ∴ ∠OCA =∠OAC ∴∠PAC =∠OAC ∴AC 平分∠DAB (2)作OF ⊥AE 于F ，设⊙O 的半径为R ……………..(3分)又∵PA ⊥DC OC ⊥DC ∴四边形OCDF 为矩形∴OF =CD =4 且 DF =OC =R 又 DA =2，∴ AF=DF-AD=R -2……………………………..(4分)在Rt △OAF 中，OF 2+AF 2=OA 2∴ 42+(R -2)2=R 2解得：R =5∴⊙O 的直径：2R =10 5.（海淀20）如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长． 20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. （2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4, ∴ CE =12BC =2. ∵ BC //AO ,∴ ∠OCE =∠DOC . ∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒, ∴ ∠COE =∠D .∵tan D =12,∴tan COE ∠=12.∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC == 在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, …………4分 由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+=…………………5分 6.（密云）19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小； （2）若AB =6，求PA 的长．- 5 -19．（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA AB⊥．∴90BAP∠=-----------------1分∵∠BAC=30，∴9060PAC BAC∠=-∠=．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA PC=--------------2分∴△PAC是等边三角形．∴60P∠=． ------------------------3分( 2 ) 如图，连结BC．∵AB是直径，∠ACB=90． --------4分在R t△ACB中，AB=6，∠BAC=30，∴cos6cos3033AC AB BAC=⋅∠==又∵△PAC是等边三角形，∴PA AC== --------------------------5分7.（西城区21）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若OC=CP，AB=33，求CD的长.21.(1)证明：连结AO，AC.(如图5)∵BC是⊙O的直径，∴90BAC CAD∠=∠=︒.﹍﹍﹍﹍﹍1分∵E是CD的中点，∴AEDECE==.∴EACECA∠=∠.∵OA=OC，∴OCAOAC∠=∠.∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC.∴90ECA OCA∠+∠=︒. ∴90EAC OAC∠+∠=︒.∴OA⊥AP.∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线.(2) 解：由(1)知OA⊥AP.在Rt△OAP中，∵90OAP∠=︒，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴ sin P21==OPOA.∴30P∠=︒. ∴60AOP∠=︒.∵OC=OA，∴60ACO∠=︒.在Rt△BAC中，∵90BAC∠=︒，AB=33，60ACO∠=︒，∴3tanABACACO===∠.又∵在Rt△ACD中，90CAD∠=︒，9030ACD ACO∠=︒-∠=︒，∴3cos cos30ACCDACD===∠︒﹍﹍﹍﹍5分8．（顺义）已知：如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP交⊙O于点C．（1）判断直线PC与⊙O位置关系，并证明你的结论；（2）若BC=2，11sin23APC∠=，求PC的长及点C到PA的距离．OCBAP- 6 -D85674321O C B AP20．解：（1）直线PC 与⊙O 相切．证明：连结OC ，∵BC ∥OP ，∴∠1 =∠2，∠3=∠4． ∵OB=OC ， ∴∠1=∠3．∴∠2=∠4． 又∵OC=OA ，OP=OP ，∴△POC ≌△POA ．∴∠PCO =∠PAO ．∵PA 切⊙O 于点A ，∴∠PAO =90°． ∴∠PCO =90°．∴PC 与⊙O 相切．…………… 2分 （2）解：∵△POC ≌△POA ，∴∠5=∠6=12APC ∠．∴11sin 5sin 23APC ∠=∠=． ∵∠PCO =90°，∴∠2+∠5=90°．∴1cos 2sin 53∠=∠=．∵∠3=∠1 =∠2，∴1cos 33∠=．连结AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∴261cos 33BC AB ===∠．∴OA=OB=OC=3，AC ==Rt △POC 中，9sin 5OCOP ==∠．∴PC == 4分过点C 作CD ⊥PA 于D ，∵∠ACB =∠PAO =90°，∴∠3+∠7 =90°，∠7+∠8 =90°． ∴∠3=∠8．∴1cos 8cos 33∠=∠=． 在Rt △CAD中，1cos 83AD AC =∠== 9.（延庆19）已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D , (1) 求证：∠AOD =2∠C (2) 若AD =8，tan C =34，求⊙O 的半径。

2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 别是CE 、CF 的中点. （1）求证：△DMN 是等边三角形； （2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P .求证：DP ＝DQ . 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .NME F C∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形.∴NG = NC CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º，∴∠NGD + ∠2 = 240º.∵∠2 + ∠3 = 240º，∴∠NGD =∠3.∴△NGD≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM .∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分（2）连接QN 、PM .∴QN=21CE= PM . ……………………5分Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5.∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7=∠8.67854P Q N M E C C 321G NM E F∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4.∴∠6= ∠8.∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . ……………………7分2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ． （1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图224．解：（1）DE =DF ．……1分A E F PB DC E B A DF P（2）DE =DF 不发生改变． (2)分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==． ∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分 同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠ ∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM CE 的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合,7654321N M C D B P F E ABN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图 1 图 2 图325. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM 2 证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ，∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°．……………1分∵ E 为CF , F A ( M ) D N D A C E N M B F E C BF N M E C B∴ GF =DG =11.22DF CD = ∴ 1.2GE CD = ∵ N 为MD (AD )的中点，∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN ,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ………2分∴ △NGE ≌△BAN ．∴ ∠1=∠2.∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°．∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分∵ ∠CDF =90°, CD =DF ,可得 ∠F =∠FCD =45°， 2.CF CD =. 于是122CF CE CE CE BM BA CD CD ==== …………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．H B C E M∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°． (5)分∵EH⊥CE，∴∠CEH =90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF =45°．∴∠CHE=∠HCE =45°．∴EC=EH,∠EHG =135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE =135°，∴∠ECB =∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE. ……………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-2CE，∴2. ……………………7分CEBM不一定等于（3）BN⊥NE；CEBM2. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD的边长为1，60ADC∠=o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =， 且112302ADC ∠=∠=∠=o ． ∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =． 又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=o∵60ADC ∠=o， ∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=o．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=o，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=oo． ∴αβ∠=∠．∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------- 8分 旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。

门头沟2012.63. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是昌平2012.62．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是AB C D朝阳2012.64．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α等于A. 19°B. 38°C. 42°D. 52°平谷2012.63．如图，□ABCD 的一个外角∠DCE =70°, 则∠A 的度数是 A ．110° B ．70° C ．60° D ．120°房山2012.65．如图所示，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM ⊥b ，垂足为点M ，若∠1=58°，则∠2的度数是（ ）．A .22B .30C .32D .42Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．mn BE第5题图2a bc MB A 1平谷2012.65．正八边形的每个内角为A．120°B．135°C．140°D．144°门头沟2012.64. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900°石景山2012.66．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8西城2012.67．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A . 4 B. 6 C. 8 D. 10东城2012.65. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形房山2012.63．若一个正多边形的每个内角都为135°，则这个正多边形的边数是（）.A.9B.8C.7D.6昌平2012.66．如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的内孔直径AB长为A．30 B．20 C．10 D．5大兴2012.64．如图，在△ABC中，D、Ｅ分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC为A．2.5 B．10 C．12 D．25丰台2012.6EDCBA 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．19西城2012.64．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E 若35AD DB =，AE =6，则EC 的长为 A . 8 B. 10 C. 12 D. 16门头沟2012.610. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若32=BD AD ，AE =3，则AC = .东城2012.67. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．4顺义2012.610．如图，□ABCD 中，E 是边BC 上一点，AE 交BD 于F ，若2BE =，3EC =，则BF DF的值为 ．昌平2012.6 11．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4∶3，则这个菱形的面积是 ．西城2012.610．若菱形ABCD 的周长为8，∠BAD =60°，则BD = ．石景山2012.63．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120︒ 的F EDCBAEDCBA菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒大兴7．中，AB ∥DC ，AD=DC=CB ， 若∠ABD ＝25°，则∠BAD 的大小是A ．30°B ．50°C ．45°D ．60°平谷2012.619．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =150°∠D =90°，AD =4，AB =6，CD =34．求四边形ABCD 的周长．延庆2012.6 17．（本题满分5分）已知：如图，在四边形A B C D 中，60=∠C ，135=∠DAB ,8=BC ，62=AB求DC 的长．石景山2012.619．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B ’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数； （2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？ 解：顺义2012.619．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长DCBA AB DE B '第3题图 FED CBA线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ， AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．燕山2012.619. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=CD=BC ，AC ⊥BC ， AB=6cm ，求AC 的长.东城2012.620． 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．门头沟2012.619.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.丰台2012.619．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．西城2012.617. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，CD 的中点.(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB =2AD =4，求BD 的长.通州2012.619．已知相邻的两根电线杆AB 与CD 高度相同，且相距BC =50m ．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E 架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45°、23°，已知测角仪EF 高1.5m ，请你帮他算出电线杆的高度．（精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.43） 显示解析DCBA MEBCDA大兴2012.619．甲、乙两人同时从某地A 出发，甲以60米/分钟的速度沿北偏东30°方向行走，乙沿北偏西45° 方向行走，10分钟后甲到达B 点，乙正好到达甲的正西方向 的C 点，此时甲、乙两人之间的距离是多少米？密云2012.620．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CBAD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长．房山2012.619．如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． ⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵如图2，若2AED EAD ∠=∠，AC =6．求DE 的长．AB A图1 图2 证明：⑴ ⑵17．如图，某场馆门前台阶的总高度CB 为0.9m ，为了方便残疾人行走，该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A ∠为8°，请计算从斜坡起点A 到台阶最高点D 的距离（即斜坡AD 的长）.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 8°≈0.139,cos 8°≈0.990,tan 8°≈0.141）C ABD解：朝阳2012.621．如图，港口B 在港口A 的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A 出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B 出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C 处，同时快艇到达D 处，测得D 处在C 处的北偏东60°的方向上，且C 、D 两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：414.12≈，732.13≈，236.25≈）朝阳2012.618．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积.昌平2012.619．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4．过点A 作A E ⊥AB 且AB =AE ，过点E 分别作E F⊥AC ，ED ⊥BC ，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC =5，求四边形ABDE 的周长．E FDA BC19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60︒方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30︒方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60︒方向．现要在主输气管道AC 上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？(2)求∠AMC的度数和AN的长.。

北京2012年中考二模试题分类汇编：代几综合题2012年北京市中考数学二模分类汇编――代几综合题图像信息+几何最值 1. （延庆）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A(4,2)，C(n,-2)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O―A―B―C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；（2）求B、C两点的坐标及图2中OF 的长；（3）若OM是∠AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO 与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。

图3 25. （1）m= …………..1分（2）∵四边形ODEF是等腰梯形∴可知四边形OABC是平行四边形……..2分由已知可得：S△AOC=8,连接AC交x轴于R点又∵A(4,2)，C(n,-2) ∴S△AOC=S△AOR+S△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8∴OR=4…………….……….3分∴OB=2RO=8，AR⊥OB ∴B(8,0) ,C(4，-2)且四边形OABC是菱形………….4分∴OF=3AO= …………..5分(3) 如图3，在OB上找一点N使ON=OG, 连接NH ………….6分∵OM 平分∠AOB ∴∠AOM=∠BOM ∵OH=OH ∴△GOH≌△NOH∴GH=NH………….………….7分∴GH+AH=AH+HN 根据垂线度最短可知，当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点∴GH+AH 的最小值=A N=2………….8分动点+面积问题 1. （门头沟）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D 在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B 出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）. （1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.25. 解：（1）把y＝4代入y＝－ x＋，得x＝1. ∴C点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2）当y＝0时，－x＋＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）. 过点C作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3. ∴BC＝＝＝5. ∴sin∠ABC＝＝. ① 0＜t＜4时，过Q作QN⊥OB于N，则QN＝BQ•sin∠ABC＝t. ∴S＝OP•QN＝（4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4）..........2分②当4＜t≤5时，连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N. 同理可得QN＝t. ∴S＝OP•QN＝×（t－4）× t. ＝ t2－ t（4＜t≤5）. (3)分③当5＜t≤6时，连接QO，QP. S＝×OP×OD＝（t－4）×4. ＝2t－8（5＜t≤6）....................4分 S随t变化的函数关系式是 . （3）①当0＜t＜4时，∵－ <0 当t＝＝2时， S最大＝＝. (5)分②当4＜t≤5时， S＝ t2－ t，对称轴为t＝－＝2，∵ >0∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大. ∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2. …………………………..6分③当5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大. ∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4………7分∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.………8分动点+面积+特殊四边形问题 2.（昌平24）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S= 时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标．24．解：（1）据题意，A(0，2)，B(2，2)， C(2，0) ．∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )，∴ ∴ ∴ ．…………………… 2分（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．∵ A（0，2）、 D（4，），∴ 直线AD的解析式为：．当x=1时，，∴ M （1，）．………………………………… 4分（3）① AP=2t, PB=2-2t, BQ=t．在Rt△PBQ中,∠B=90°，∴ ．∴ ．∴ ,（0≤t≤1）．②当，．∴ , ＞1（舍）．∴ P（1，2），Q（2，）．∴ PB = 1．根据分析，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是□PQRB．∴ R （3，）．此时，点R（3，）在抛物线上．……… 8分动点+直角三角形 3．（石景山）已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝ x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2 个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．解：25.解：（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分（2）由得，∴B（），C（） B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得∴ ………………………5分（3）当在抛物线上时，可得，，当在抛物线上时，可得，，舍去负值，所以t的取值范围是．………………8分等腰+动点与图形面积 4.（平谷25）如图，抛物线与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒 3 2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式．25．解：（1）∵抛物线过点A(－2，0)和B(4，0) ∴ 解得∴ 抛物线的解析式为…………1分（2）抛物线的对称轴为令x=0，得y=4，∴ 设T点的坐标为，对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E 在Rt△ATD中，∵TD=h，AD=3∴ ………………………………………………………………2分在Rt△CET中，∵E ∴ET= ，CE=1 ∴ ∵AT=CT ∴ ， (3)分解得 .∴ . ...............….………………………………………………………………………4分（3）当时，AM=BQ=t，∴AQ= ∵PQ⊥AQ ∴△APM∽△ACO ∴ ∴PM=2t ∴ ………………6分当时，AM=t ∴BM= .由OC=OB=4，可证BM=PM= . ∵BQ= ∴AQ= ∴ ．…………..8分综上所述，抛物线与图形面积 5.（大兴25）已知抛物线y = x2 + bx ，且在x 轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x = c．过点A的直线绕点A (c ，0 ) 旋转，交抛物线于点B ( x ，y )，交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x = c交于点D，设△AOB 的面积为S1，△ABD的面积为S2． (1) 求这条抛物线的顶点的坐标；(2) 判断S1与S2的大小关系，并说明理由． 25．解：（1）∵ 抛物线y=x2+bx，在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，∴ A(2，0)，图象与x轴的另一个交点E的坐标为 (4，0)，对称轴为直线x=2．∴ 抛物线为 y = x2 +b x经过点E (4，0) ．∴ b= -4，∴ y = x2 -4x ．∴ 顶点坐标为（2，－4）．………… 2分 (2) S1与S2的大小关系是：S1 = S2 ………… 3分理由如下：设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b (k≠0)．∴ 0 =2k+b．∴ k = b．∴ y= ．∴ 点B 的坐标为（x1 ，），点B 的坐标为（x2 ，）．当交点为B1时，，．．……………………………………… 5分当交点为B2时， = ．∴ S1 = S2．综上所述，S1 = S2．……………… 8分6.（通州24）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P′使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 24. 解：（1）将B、C两点的坐标代入得…….(1分) 解得：…………….(2分)所以二次函数的表达式为：……….(3分) （2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x，）， PP 交CO于E 若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E，…………………….(4分) ∴OE=EC= ∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）……………….(5分) （3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F….(6分) 设P （x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）. 当时，四边形ABPC的面积最大= 此时P点的坐标为，四边形ABPC 的面积．抛物线+图形变换+几何最值 7.（丰台25）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）． (1) 抛物线经过点B、C，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°< <90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°< <180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E，联结CE，当°时，线段CE的长度最大，最大值为．25．解：（1）∵矩形OABC，A（，0），C（0，2），∴B（，2）．∴抛物线的对称轴为x= ．∴b= ．……1分∴二次函数的解析式为：．……2分(2)①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A’，联结OA’，设对称轴x= 与x轴交于点D，∴OD= ．∴OA’ = OA= ．在Rt△OA’D中，根据勾股定理A’D =3．∴A’( ，-3) ．……4分②当顶点落C对称轴上时(图略)，设点C的对应点为点C’，联结OC’，在Rt△OC’D中，根据勾股定理C’D=1．∴C’( ，1)．……6分(3) 120°，4．……8分抛物线+特殊四边形 8.（顺义25）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上的一点，若，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入中，得解得∴二次函数的解析式为．…………………………… 2分（2）令，得，解得，．∴点C的坐标为（3，0）．∵ ，∴顶点P的坐标为（1，-2）．…………………………………………… 3分过点A作AE⊥x 轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F．易得．，．又，∴△ACB∽△PCD．…………………… 4分∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∴点D的坐标为．………… 5分（3）当BD为一边时，由于，∴点M的坐标为或…………… 7分当BD为对角线时，点M的坐标为…………… 8分 9.（海淀24）如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C. （1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上， Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.备用图 24.解：（1）∵ ，∴抛物线的顶点B的坐标为. (1)分（2）令，解得, . ∵ 抛物线与x轴负半轴交于点A，∴ A (m, 0), 且m<0. ........................2分过点D作轴于F. 由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO= ∴ DF = 由抛物线的对称性得 AC = OC. ∴ AF : AO=3 : 4. ∵ DF //EO, ∴ △AFD∽△AOE. ∴ 由E (0, 2)，B ，得OE=2, DF= . ∴∴ m = -6. ∴ 抛物线的解析式为 (3)分（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为 , 直线BC为 . 作点C关于直线BO的对称点，3)，连接交BO 于M，则M即为所求. 由A（-6，0），，可得直线的解析式为 . 由解得∴ 点M的坐标为(-2,2). ……………4分由点P在抛物线上，设P (t， ). (��)当AM为所求平行四边形的一边时如右图，过M作轴于G, 过P1作于H, 则xG= xM =-2, xH= xB =-3. 由四边形AM P1Q1为平行四边形，可证△AMG≌△P1Q1H . 可得P1H= AG=4. ∴ t-(-3)=4. ∴ t=1. ∴ .………………5分如右图，同方法可得P2H=AG=4. ∴ -3- t =4. ∴ t=-7. ∴ . …………6分 (��)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M作于H, 过P3作轴于G, 则xH= xB =-3，xG= =t. 由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证△A P3G≌△MQ3H . 可得AG= MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t=-5. ∴ . …………………7分综上，点P的坐标为、、 . 抛物线+圆+特殊四边形 10.（密云24）如图，在直角坐标系中，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点 ( ，0)．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；（2）将这条抛物线沿轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系中，画出平移后的抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线（B是直线与轴的交点）相交于点，判断以为圆心、为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求点的坐标，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形． 24．（本小题满分7分）（1）设，则． A（0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：．∵过点 ( ，0)，有．解得．所求抛物线解析式为 -----2分（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------3分②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线．∵ 点是对称轴与直线的相交，易求得点的坐标为（，）．由勾股定理，可求得．设原点O到直线AB的距离为d，则有．∵点A为（0，2），点B为（，0），．．．这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等．以为圆心、为半径的圆与直线相切． -------------------5分（3）设点的坐标为（，p）．∵抛物线的对称轴与轴互相平行，即AO∥PC．只需，即可使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点的坐标为（，），．．解得，．点的坐标为（，）或（，）．-----------7分因特殊情况产生相似 11.（朝阳25）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.25. 解：（1）∵抛物线经过A（－3,0），B（4,0）两点，∴ 解得∴所求抛物线的解析式为. .................................2分（2）如图，依题意知AP＝t，连接DQ，由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC＝5，BC＝，AB＝7. ∵BD＝BC，∴ . (3)分∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP. ∵BD＝BC，∴∠ DCB= ∠CDB. ∴∠CDQ= ∠DCB. ∴DQ∥BC. ∴△ADQ∽△ABC. ∴ . ∴ . ∴ . 解得.…………………4分∴ .…………………………5分∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 .（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点E. 点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M. 则，即. …………6分当BQ⊥AC 时，BQ最小. ………………7分此时，∠EBM= ∠ACO. ∴ . ∴ .∴ ，解得. ∴M（，）. ………………………8分即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得 MQ＋MA的值最小.抛物线+等分面积 12.（东城区25）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△ 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.25．解：（1）由题意，得：解得：所以，所求二次函数的解析式为：……2分顶点D的坐标为（-1，4）.……3分（2）易求四边形ACDB的面积为9. 可得直线BD的解析式为y=2x+6 设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6. ① 当时，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x. 设M 点坐标（x，-x），∴ ……4分② 当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）……5分（3）连接，设P点的坐标为，因为点P在抛物线上，所以，所以……6分……7分因为，所以当时，. △ 的面积有最大值……8分所以当点P的坐标为时，△ 的面积有最大值，且最大值为抛物线+几何定值 13.（房山25）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．25．解：解：⑴把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，------------------------1分再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；-----------------------------------------------3分⑵不变．当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°-----------------------------------------------5分⑶ ＜t＜．-----------------------------------------------7分抛物线+相似 14.（怀柔25）如图，已知抛物线过点D(0， )，且在x 轴上截得线段AB长为6，若顶点C的横坐标为4. (1) 求二次函数的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．25．解：(1) ∵抛物线对称轴为x=4，且在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 ); .........1分设抛物线解析式为：y=a(x －h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点D(0， )，∴ 解得，， . ∴ 二次函数的解析式为：y= (x-4)2－，或y= x －x+ (2)分（2）∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时，PA+PD取得最小值，……………3分∴DB 与对称轴的交点即为所求点P. 设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴ ，∴ ，∴点P的坐标为(4，)………………………4分（3）由⑴可知，C(4， )，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ① 当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3 ，BN=3，ON=10，此时点Q(10， )，…………………………………………………5分如果AB=AQ，由对称性可知Q(－2，)………………………6分② 当点Q 在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4， )，………………………………………7分经检验，点(10， )与(－2， )都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10， )或(－2， )或(4， )．…………………………8分。