【高考领航】高考数学总复习 4-4 数系的扩充与复数的引入练习 苏教版

a＋b＝0， 2a－2＝0，
解得ab＝ ＝1－，1.
故选 A.
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真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
2．(2022·浙江，2，4 分)已知 a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i 为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
Ⅰ.复数的实部和虚部
1．(2022·全国乙卷(文)，2，5 分)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中 a，b 为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1
B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝－1，b＝－1
答案：A 由(1＋2i)a＋b＝2i，得 a＋2ai＋b－2i＝0，即(a＋b)＋(2a－2)i＝0，所以
命题者说：(1)理解复数的概念．(2)熟练掌握共轭复数的概念与性质，复数相等的充要条件．
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题 第22题
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C．110
D．130
答案：D 是130 .故选 D.
因为1－1 3i ＝（1－3i1）＋（3i1＋3i） ＝110 ＋130 i，所以复数1－1 3i 的虚部
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真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
5．(2017·课标全国Ⅰ，3，5 分)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1z ∈R，则 z∈R； p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2； p4：若复数 z∈R，则 z∈R. 其中的真命题为( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4

2009~2013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节 数系的扩充与复数的引入考点一 复数的概念 1．（2013广东，5分）若i(x ＋yi)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋yi 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：本题主要考查复数运算、相等、模等知识，意在考查考生的运算求解能力．依题意得－y ＋xi ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，x ＝4，∴|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋－＝5.答案：D2．(2013安徽，5分)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：本题主要考查复数的基本运算以及基本概念，意在考查考生的运算能力． 复数a －103－i＝a －＋－＋＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.答案：D 3．（2013福建，5分）复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的几何意义，意在考查考生的数形结合能力．复数z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限． 答案：C 4．（2013北京，5分）在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的运算法则和几何意义，属于容易题，意在考查考生根据复数的乘法运算法则进行运算化简的能力，并根据复数的几何意义判断出复数在复平面内对应的点所在的象限．因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，在第一象限，故选A. 答案：A 5．（2013湖南，5分）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：本题主要考查复数的乘法运算和概念，意在考查考生对复数乘法运算和复数概念的掌握．z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限． 答案：B6．（2013江西，5分）复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 本题主要考查复数的乘法及复数的几何意义，旨在考查考生对复数知识掌握的程度．因为z ＝i(－2－i)＝－2i －i2＝1－2i ，所以它对应的点为(1，－2)，其在第四象限． 7.（2013四川，5分）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D解析：本题主要考查复数的几何表示、共轭复数的概念，意在考查考生对基本概念的理解．设点A(x ，y)表示复数z ＝x ＋yi ，则z 的共轭复数z ＝x －yi 对应的点为B(x ，－y)，选B. 答案：B8．（2012新课标全国，5分）复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i 解析：z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋－2＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.答案：D9．（2012北京，5分）在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1) 解析：由10i3＋i＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．答案：A 10．（2012湖南，5分）复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i解析：∵z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 答案：A11．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋bi ＝a －bi 为纯虚数，则a ＝0，b≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B12．（2012江西，5分）若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共扼复数，则z2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z2＋z 2的虚部为0. 答案：A13．（2011山东，5分）复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝2－i2＋i＝－－5＝35－45i ，其在复平面内对应的点在第四象限． 答案：D 14．（2010北京，5分）在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i解析：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i. 答案：C15．（2012江苏，5分）设a ，b ∈R ，a ＋bi ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：∵a ＋bi ＝11－7i1－2i ＝－＋5＝5＋3i ，∴a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8. 答案：816．（2012湖北，5分）若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i＝＋＋－＋＝3－b ＋＋2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：3 17．（2011江苏，5分）设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是____． 解析：z ＝－3＋2i i －1＝1＋3i ，所以z 的实部是1.答案：1考点二 复数的运算1.（2013新课标全国Ⅰ，5分）1＋2i－＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i解析：本题主要考查复数的基本运算.1＋2i －＝1＋2i－2i＝＋2＝－2＋i 2＝－1＋12i.答案：B2. （2013新课标全国Ⅱ，5分）⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝( )A ．2 2B ．2 C. 2 D ．1解析：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，意在考查考生对基础知识的掌握程度.21＋i ＝－2＝1－i ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋i ＝|1－i|＝12＋－＝ 2.答案：C3．（2013山东，5分）复数z ＝－i(i 为虚数单位)，则|z|＝( )A ．25 B.41 C ．5 D. 5解析：本题主要考查复数的基本概念和运算，考查运算能力．z ＝－i＝－－1＝－4－3i ，|z|＝－＋－＝5.答案：C4．(2013浙江，5分)已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i解析：本题主要考查复数的基本运算等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握程度．(2＋i)(3＋i)＝6＋2i ＋3i ＋i2＝5＋5i. 答案：C5．（2013辽宁，5分）复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况．由已知，得z ＝－1－i －1－－1＋＝－12－12i ，所以|z|＝22.答案：B6．（2013天津，5分）i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.解析：本题主要考查复数的运算，意在考查考生的运算求解能力．(3＋i)(1－2i)＝5－5i. 答案：5－5i 7．（2012山东，5分）若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i解析：z ＝11＋7i2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i5＝3＋5i. 答案：A8．（2012广东，5分）设i 为虚数单位，则复数3＋4ii ＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i解析：3＋4i i＝－i(3＋4i)＝4－3i.答案：D 9．（2012安徽，5分）复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3i D ．1－2i解析：设z ＝a ＋bi ，则(z －i)i ＝－b ＋1＋ai ＝2＋i ，由复数相等的概念可知，－b ＋1＝2，a ＝1，所以a ＝1，b ＝－1. 答案：B 10．（2012福建，5分）复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i解析：(2＋i)2＝4－1＋4i ＝3＋4i 答案：A11．（2012浙江，5分）已知i 是虚数单位，则3＋i1－i ＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 解析：3＋i 1－i ＝＋＋2＝1＋2i.答案：D12．（2011新课标全国，5分）复数5i1－2i ＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i 解析：5i1－2i＝＋－＋＝－2＋i.答案：C 13．（2011广东，5分）设复数z 满足iz ＝1，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1解析：由iz ＝1得z ＝1i＝－i.答案：A 14．（2011福建，5分）i 是虚数单位，1＋i3等于( ) A ．i B ．－iC ．1＋iD ．1－i解析：由i 是虚数单位可知：i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i. 答案：D15．（2011辽宁，5分）i 为虚数单位，1i ＋1i3＋1i5＋1i7＝( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i解析：利用i2＝－1，∴1i ＋1i3＋1i5＋1i7＝1i －1i ＋1i －1i ＝0.答案：A16．（2011北京，5分）复数i －21＋2i＝( ) A ．i B ．－i C ．－45－35iD ．－45＋35i解析：i －21＋2i ＝－2＋－＋－＝5i5＝i. 答案：A 17．（2011湖南，5分）若a 、b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋ai ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1. 答案：C 18．（2011江西，5分）若(x －i)i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋yi ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i解析：由题意得，xi ＋1＝y ＋2i ，故x ＝2，y ＝1， 即x ＋yi ＝2＋i. 答案：B19．（2010浙江，5分）设i 为虚数单位，则5－i1＋i ＝( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i 解析：5－i 1＋i ＝－－＋－＝4－6i 2＝2－3i.答案：C20．（2010辽宁，5分）设a ，b 为实数，若复数1＋2ia ＋bi ＝1＋i ，则( )A ．a ＝32，b ＝12 B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝12，b ＝32 D ．a ＝1，b ＝3解析：由1＋2i a ＋bi ＝1＋i ，得a ＋bi ＝1＋2i 1＋i＝＋－＋－＝1－i ＋2i －2i22＝3＋i 2＝32＋12i ， ∴a ＝32，b ＝12.答案：A 21．（2010江苏，5分）设复数z 满足z(2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：∵z(2－3i)＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ，∴|z|＝2|3＋2i||2－3i|＝2.答案：2。

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板块一
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板块四
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高考一轮总复习 ·数学（文） (2)i 是虚数单位，1－2i2016＋11＋ －ii6＝___0_____.
解析 原式＝1－2i21008＋11＋ －ii6＝－22i1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i0＋i2＝1－1＝0.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
－
【变式训练 1】 (1)[2015·山东高考]若复数 z 满足1－z i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(
)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
－ 解析 ∵1－z i＝i，∴－z ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i.∴z＝1－i.
1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； 2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； 3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
4．除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2＋－da2di(c＋di≠0)．
B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析 直接进行复数的乘法运算．i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
2．[2015·福建高考]若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数单位)，B＝{1，－1}，则 A∩B 等于( )
A．{－1}
－ 4．已知复数 z 的共轭复数 z ＝1＋2i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限．( × ) 5．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.复数的有关概念⑴复数的概念：形如a+bi(a9方UR)的数叫复数，其中”，b 分别是它的实部和虚部.若b = 0,则a-hbi为实数；若〃工0, 贝|a+bi为虚数；若。

=0且方H0,贝|| a+bi为纯虚数・(2)复数相等：a+"i=c+〃iOa=c 且方=〃(a, b, c9〃WR).(3)共轨复数：〃+方i 与c+〃i 共辘0a=c, b = —(l(a9 b, c9 〃WR).(4)复数的模：向量庞的模厂叫做复数z=a+bi(a f b^R)的模，记作Izl或l«+MI,即lzl = l“+bil=Q/+庆.2.复数的几何意义⑴复数Z=a+bi一-复平面内的点Z(«, b)(a,方ER).(2)复数z=a+〃i(a,方WR)—~平面向量OZ・3. 复数的运算设Zi=a+"i, Z2=c+d\(a, b, c, "WR),则①加法：Zi +Z2=(a +〃i)+(c +〃i) = (a+c) + (〃 +〃)i ；②减法:习一Z2=(a+bi)—(c+〃i) = (a —c) + (〃一〃)i；Zi • Z2=(«+^i)e (c + Ji) = (ac —bd) +(ad+bc)i ；Zi_a+〃i_ (a+〃i) (c —〃i) _ac^rbd be —ad ⑴复数的加、减、乘、 除运算法则③乘法: ④除法:Zi c+〃i (c+〃i) (c—Ji) c2^rd2c2+iZ2（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，有Z1+Z2=Z2+Z1，（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2+Z3）・產D【做二做〕1.已知复数z=*则该复数的虚部为_____________ . 解析:严力（;—l） =]+i,该复数的虚部为1・52 •若a+bi=2潭是虚数单位心〃 $ R），则"= -解析：a+方2i,所以a = l f b = —2, ab = ~2.3.已知复数Zi = —l+2i, Z2=l—i，Z3=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A, B, C,若OC=lOA+pOB^f旳，则2+“的值是].解析：由条件得荒=(3,—4),鬲=(一1, 2), OB=(l f -1),根据O C=2,OA-\-pOB得(3, —4)=2(—1, 2)+“(1, —1) = (—2 A —/z),所以2+“ = 1・4.设复数z=-l-i（i为虚数单位），z的共轨复数为s则1（1解析：依题意得(l-z)-z=(2+i)(-l+i) = -3+i, l(l-z)-zl = l-3+il=^ (-3) 2+l2=^10.5.化简:卩+f|6边+佝 (1—i 丿 \[3—\[2i 解：原式=*+ （边+価）i1.必明辨的3个易错点(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.(2)利用复数相等a+bi=c+〃i列方程时，注意a, b, c, d WR的前提条件.(3)Z2<0在复数范围内有可能成立.2.常用的3个结论(1) (l±i)2=±2i；1+i •口=1•4w + .4n _ 1 + j4n—2 9產0；、缘二绦］1.复数Z=(2—i)i在复平面内对应的点位于第_____ 象限. 解析：z=(2-i)i=2i-i2=l+2i,故复数z=(2-i)i在复平面内对应的点为(1, 2),位于第一象限.=b+i(a9 bWR)其中i为虚数单位，贝l| a+b = 解2.已知申析：根据已知可得葺2^b+i今2—ai=〃+iO即1 2\从而a+b = l.2+i3・复数爲的共轨复数是一所以其共轨复数为一i ・解析：因为Hi 4+i ) l-2i (l-2i)(l+2i) 5i (l+2i) =?4.设。